PROFESORAS: Pía Azócar Farías

Isabel López Castillo

RAÍCES

RAÍCES DEFINICIÓN 1: Si n es un entero par positivo y a es un real no

negativo, entonces es el único real b , no negativo, tal que bn = an a

DEFINICIÓN 2: Si n es un entero impar positivo y a es un real

cualquiera, entonces es el único real b tal que bn = an a

Un error que se comete a menudo es = -5

Lo correcto es = |-5 | = 5

Observa:

Propiedades de las raíces.

1.- Toda potencia de exponente fraccionario se puede expresar como raíz cuyo índice es el denominador del exponente.

1335 5

234

3

2

343

2.- Multiplicación de raíces de igual índice.

Se multiplican las cantidades subradicales y se conserva el índice.

2 35 53 · 5a b abc

2 3 3 2 23 3·p q r p q 4 5 33 p q r

23pqr pq

3 45 15a b c

3 1 3 2 33 p p q q r

3.- División de raíces de igual índice.

Se dividen las cantidades subradicales y se conserva el índice.

3 2 24 418 : 9a b a b 4 2ab

3 2 23 31 1:2 5a b a b 3 52ab

4.- Raíz de raíz.

Se conserva la cantidad subradical y se multiplican los índices.

5 10pq pq 3 3 34 125 5

5.- Amplificación de una raíz.

Si se amplifica el índice de una raíz , se debe amplificar por la misma cantidad cada uno de los términos de la cantidad subradical

3 24 x y · 3 9 612 x y

6.- Simplificar una raíz.

Si se simplifica el índice de una raíz , se debe simplificar por la misma cantidad cada uno de los términos de la cantidad subradical.

10 5 515 p q r 23 p qr: 5

Racionalizar el denominador.

Se trata de transformar una expresión que contenga una raíz en el denominador por otra equivalente que no tenga raíz.

Caso 1 :5 3

·7

7

7

2

5 21

7

5 217

2 35

4m

m p

3 25

3 25·m p

m p

3 25

5 55

4m m p

m p

3 254m m p

mp

3 254 m p

p

Caso 2 :6 3

13 2 2

6 3

13 2 213 2 2

·13 2 2

2 2

6 39 12 6

13 2 2

6 39 12 613 8

6 39 12 65

Caso 3 :

4 - 5 + 3 + 2

1) 3 27

4

4

4

) 30 ) 4 3

) 3 ) 2 3

) 2 3

a d

b e

c

3 27 3 9·3 3 3 3 4 3 4 3

42 3

3 5

22)a b

ab

3 5

2( )a bab

2

2 2

ab aba b

aba

12

) )

( )) )

1)

aa a d

b

ab bb e aa

cab

3) .- El valor numérico de la expresión : 9 3 · 0,33

1 1) 3 )3 31) 3 ) 9

) 3

a d

b e

c

30,3

9

13

9 3 · 0,33

19 3 ·

33

3

3 33

3

4).- Si u = , entonces 2 3 3 ( 2)( 2)u u

( 2)( 2)u u 2 2( 2)u 2 2u

2

2 3 3 2 2 3 3 2 3 3

1) 3 3 ) 31) 2 3 ) 9

) 3

a d

b e

c

5) El valor de es :

a ) 12 d ) - 15 b ) 27 e ) 39 c ) 15

43

21

81144

34 )81(144 3312 2712

15

6.- Si u = 2/3 y v = 5/6 , entonces , la expresión : 2 2v u

17 1) )6 6

1) ) 0,661) 2

a d

b e

c

2 2v u 2 2

5 26 3

25 436 9

25 16

36

936

36

12

2) )

) )

)

xa d x yy

b xy e xy

c x y

2 3

3

x xy

x y

4 3

3

·x xy

x y

5 3

3

x y

x y 2 2x y xy

8

2 3

2 3·

2 3

2 2

16 8 24

2 3

4 2 62 3

2(2 6)1

2( 6 2)

) 2( 6 1) ) 4 6

) 2( 6 2) ) 6 4

) 3(2 6)

a d

b e

c

9. El doble de es igual a:3 4

3 3

3 6

3

) 8 ) 2 8

) 16 ) 64

) 32

a d

b e

c

32 4 33 2 ·4 3 32

10.- La expresión ( - )6 , es igual a:3·5 x

a) 125x2 d) b) 56 x6 e) n.a. c) -125 x2

)5( x

53 · x2 = 125x2

6 635 · x

11.- El valor de : 2

5 2 3

) 13 ) 37 20 3

) 37 10 3 ) 25 20 3

) 25 10 13

a d

b e

c

2

5 2 3 25 20 3 12

37 20 3

2 25 2·5·2 3 (2 3)

) 5 ) 1 5

) 4 3 ) 1 5

) 1 15

a d

b e

c

3 15

3

3·

3 9 45

3 3 3 15

3 3(1 15)

3

1 15

3 1512.

3

2

4

1

16

1 1) )16 21) ) 281) 4

a d

b e

c

2

4

1

16

212

14

13.-

14.- Al racionalizar se obtiene : 5 a

a

5 4

5 35 2

5

)

))

))

ac

aeab

adaa

45

45

5·a

a

a

a

5 5

5 4

a

aa

a

aa 5 4

5 4a

) 5 ) 10

) 2 5 ) 5 10

) 3 5

a d

b e

c

110 5

5 2 1

10 · 55

1

100· 55

20 20 5

5 · 4

2 5 5 5

115) 10 5

5

16.- Si x = 2 , el valor de la expresión es igual a :

2

12

x

9 3) )2 27) ) 225) 2

a d

b e

c

2

12

x

2

12

2

221 1

2· · 2 22 2

12 2

2

14

2 9

2

17.- Cuánto habría que restarle a para obtener52

5

2 2) 5 ) 55 53 3) 5 ) 55 55) 53

a d

b e

c

2

5

5·

5 2 5

5

2 55

5x

5 5 5 2 5x

· 5

5 2 5 5 5x

5 3 5x

5 3 5x

35

5x

18.- La solución de 1 + = 4 , es : 32 x

a) 0 d) 3/2 b) 3 e) otro valor c) 6

2x = 12 x = 6

1 2 3 4x

2 3 3x 2/

222 3 3x

2 3 9x

19.- Si x = , el valor numérico de :2

1x

x

3

16) ) 338) ) 2 334) 3

a d

b e

c

21

33

221 1

2 · · 3 33 3

12 3

3

11

3

20.- El valor numérico de la expresión es igual :

552 · 8

3

5

) 1.024 ) 64

) 32 ) 64

) 32

a d

b e

c

552 · 8

51

· 82

5

1· 4 52 32

2 3 2

2

( )x y

x

4 3

2

x yx

3

2 4

yx x

3

6

yx

632

63

2

3

2

) )

) )

)

ya x y d

x

yb x y e

x

yc

x

2 3 2

2

( )21.

x y

xEn este ejercicio había dos posibles solucionesC y E.

6

)y

ex

61

2yx

16

2

6

yx

3

6

yx

22.- En , el valor de x es : 223 x

a) 0 d) 62 b) 6 e) 64 c) 16

223 x ( )6

x + 2 = 64 x = 62

663 2 2x

23.- De las siguientes expresiones, ¿ Cuál(es) de ellas es(son)menores que 6

2

2 2 3. . .

2 3 5I II III

) )

) // )

)

a Sólo I d Sólo I y III

b Sólo e Sólo II y III

c Sólo III

22 2 4

. 222 2

I

22 2 4

. 1,33...33 3

II

23 3 9

. 1,855 5

III

2

6 6 61,5

2 2 4

24.- El valor numérico de la expresión es :

20,01 10

81

a) 1/10 d) 1/3 b) 1/9 e) 1 c) 1/5

20,01 10

81

1 1

100 1009

1 110 100

9

10 1100

9

9 1·

100 9 1

100

110

25.- La expresión tiene como valor : 1223 0,064

a) 0,8 d) 0,2 b) 0,5 e) 0,1 c) 0,4

1223 0,064

12

364

1000

124

10

410

25

2 : 5 = 0,4

3 3) ) 22 2

3 23) 2 )2 2

) 3 2 2

a d

b e

c

21

12

2

21 12 · 1

2 2

1 21

2 2 3 2 2

2 2

32

2

21

26. 12

Si , entonces : 2t 2 12t t

3) 2 2 ) 222) 3 2 ) 23

5) 22

a d

b e

c

2 12t t 2 12 · 2

2 2

2 22

4 2 22

3 22

27.-

28.- La expresión es igual a :

2

3

) )

) )

)

xa y x d y

xxb e yy

xcy

3

x y

xy

3

x y

xy x y

y xy·xy

xy

2

·

x xy

y xy

xy

29.- El valor de x en

es :

42842 xxx

a) 4 d) 4/9 b) 1/2 e) 3/4 c) 8

42842 xxx2842 xxx ( )2

2 2

x2 – 4x + 8 = x2 + 4x + 4

4 = 8x

x8

4 x2

1

30.- El valor de 333 2503165542

3

33

33

240)

231)233)

236)228)

c

eb

da

333 250316554227 · 2 8 · 2 125 · 2

333 21521026

3 231

31.- El conjunto solución de la ecuación : 24 48 x

24 48 x

2243 22 x

2243 x 2)(

22 )22()43( x

9 ( x + 4 ) = 4 · 2 9x + 36 = 8

9x = -28

289)

.)928)

289)9

28)

c

aneb

da

928x

32.- La expresión es igual a :

a

bc

abe

abb

b

ad

b

aa

3

2)

3

2)

3

2)

3

2)

2

3)

2

22

22

3

1

6

3

)8

27(

b

a

3

1

6

3

)8

27(

b

a 3

163

)27

8(

ba 3

63

27

8 ba

3

2 2ab

33.- El valor de : es :

5,45·23

a) 72 d) 135 b) 45 e) n.a c) 24

5,45·23 453·15915

34.- Al reducir 3 4 5 3333

120 4

11

60 433

3)

..)3)

3)3)

c

aneb

da3 4 5 3333

3 4 53 333·3

6 4 54 333 6 4 516 33·3 24 517 33

24 5 85 3·3 120 863 60 433

35.- El producto de es : )23(·)23(

23)

5)2)

5)1)

c

eb

da

)23(·)23(

= 3 - 2 = 1

2 2

3 2

36.- = 3·6

3·6 = 18

2·9

23

a) 9 d) b) e) 18 c)

292332

37.- Al racionalizar , se obtiene : 15

4

)15(4)

4

15)15)

)15(4)15)

c

eb

da

15

15·15

422 1)5(

)15(4

4

)15(4=

15

38.- =

3)

63)63)

63)63)

c

eb

da

)832(3

)832(3

2496 4 · 6

6236 63