Proporciones de los radiosy distancias en una ”cadenade Steiner” de seiscircunferencias

BORRADOR

1

Contents

1 Nuestra meta, y la estrategia de la solucion 3

1.1 La meta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 La estrategia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Desarrollar una expresion para t2 partiendo desde rho1 4

2.1 Formulas preliminarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 rho1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 t1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.3 cos2alpha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Desarrollar rho2 en terminos de r1, q, y rr . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 cos2omega2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Desarrollar t2 en terminos de r1, q, y rr . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Desarrollar una expresion para t2 partiendo desde rho4 10

3.1 Formulas preliminarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1 rho4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.2 t3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.3 cos2beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Desarrollar rho3 en terminos de rr y q . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1 cos2omega3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Desarrollar t2 en terminos de r1, q, y rr . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Igualar las dos expresiones obtenidas para t2 16

5 Expresar rho1, rho2, rho3, rho4, r2, and d en terminos de q 17

5.1 rho1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2 rho2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3 rho3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.4 rho4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.5 r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.6 d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

6 Analisis 20

6.1 Sucession rho1, rho2, rho3, rho4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.1.1 Diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.1.2 Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Nuestra meta, y la estrategia de la solucion

Figure 1: Presentacion de la meta: Desarrollar una expresion para r1 enterminos de q, tal que los centros de la primera y la cuarta circunferenciasrojas esten sobre el mismo diametro de la circunferencia azul. ( En los trabajosrealizados con Maxima, se usara el sımbolo ”rr” en vez de ”r1”.)

1.1 La meta

Desarrollar una expresion para r1 (en los trabajos realizados con Maxima, seusara el sımbolo ”rr” en vez de ”r1”) en terminos de q, tal que los centros dela primera y la cuarta circunferencias rojas esten sobre el mismo diametro de lacircunferencia azul.

1.2 La estrategia

Primero, se desarrollara una expresion para ρ1 , en terminos de r1 y q. Apartir de esta, se desarrollara una expresion para t2 en terminos de las mismasvariables.

3

Despues, se desarrollara una expresion para ρ4 , en terminos de r1 y q. A partirde esta, se desarrollara una segunda expresion para t2 en terminos de las mismasvariables.

Ya obtenidas dos expresiones para t2, las igualaremos, para obtener una ecuacionen la cual las unicas literales seran r1 y q. Para terminar, despejaremos a la r1.

2 Desarrollar una expresion para t2 partiendodesde rho1

2.1 Formulas preliminarias

2.1.1 rho1

Figure 2: Para expresar ρ1 en terminos de r1 y q: Se comienza con r1 − q =√rr2 + ρ21 + ρ1.

--> rho1=((r1-q)^2-rr^2)/(2*(r1-q));

(%o109) rho1 =(r1 − q)2 − rr2

2 · (r1 − q)

2.1.2 t1

--> t1=((r1-q)^2-rr^2)/(2*rr);

4

h

Figure 3: Para expresar t1 en terminos de r1 y q.

(%o110) t1 =(r1 − q)2 − rr2

2 · rr

2.1.3 cos2alpha

--> cos2alpha=(r1^2-t1^2)/(r1^2+t1^2);

(%o111) cos2alpha =r1 2 − t1 2

t1 2 + r1 2

2.2 Desarrollar rho2 en terminos de r1, q, y rr

--> (rho1+rho2)^2=(r1-rho1)^2+(r1-rho2)^2-2*(r1-rho1)*(r1-rho2)*cos2alpha;

(%o113) (rho1 + rho2 )2

= −2·cos2alpha·(r1 − rho1 )·(r1 − rho2 )+(r1 − rho2 )2+(r1 − rho1 )

2

--> solve([%], [rho2]);

(%o114) [rho2 =(1− cos2alpha) · r1 2 + (cos2alpha − 1) · r1 · rho1

(1 + cos2alpha) · rho1 + (1− cos2alpha) · r1]

Sustituir cos2alpha

5

h

Figure 4: Para expresar cos 2α en terminos de r1 y q. Se comienza con tanα =t1/ρ1, para luego usar cos 2α = 2 cos2 α− 1, siendo cos2 α = 1/(1 + tan2 α).

h

Figure 5: Para expresar ρ2 en terminos de r1 y q.

6

--> subst((r1^2-t1^2)/(r1^2+t1^2), cos2alpha, %);

(%o115) [rho2 =r1 2 ·

(1− r12−t12

t12+r12

)+ r1 · rho1 ·

(r12−t12

t12+r12 − 1)

rho1 ·(

1 + r12−t12

t12+r12

)+ r1 ·

(1− r12−t12

t12+r12

) ]

--> ratsimp(%);

(%o116) [rho2 = − (rho1 − r1 ) · t1 2

t1 2 + r1 · rho1]

Sustituir t1

--> subst(((r1-q)^2-rr^2)/(2*rr), t1, %);

(%o117) [rho2 = −(rho1 − r1 ) ·

((r1 − q)2 − rr2

)24 · rr2 ·

(((r1−q)2−rr2)

2

4·rr2 + r1 · rho1) ]

--> ratsimp(%);

(%o118) [rho2 = −−q4 · r1 + 4 · q3 · r1 2 − 6 · q2 · r1 3 + 4 · q · r1 4 − r1 5 +

(r1 4 − 4 · q · r1 3 + 6 · q2 · r1 2 − 4 · q3 · r1 + q4

)· rho1 +

((−2 · q2 + 4 · q · r1 − 2 · r1 2

)· rho1 + 2 · r1 3 − 4 · q · r1 2 + 2 · q2 · r1

)· rr2 + (rho1 − r1 ) · rr4

rr4 +(−2 · q2 + 4 · q · r1 − 2 · r1 2 + 4 · r1 · rho1

)· rr2 + r1 4 − 4 · q · r1 3 + 6 · q2 · r1 2 − 4 · q3 · r1 + q4

]

Sustituir rho1

--> subst(((r1-q)^2-rr^2)/(2*(r1-q)), rho1, %);

(%o119) [rho2 = −−q4 · r1 + 4 · q3 · r1 2 − 6 · q2 · r1 3 + 4 · q · r1 4 − r1 5 + rr2 ·

((−2·q2+4·q·r1−2·r12)·((r1−q)2−rr2)

2·(r1−q) + 2 · r1 3 − 4 · q · r1 2 + 2 · q2 · r1)

+ rr4 ·(

(r1−q)2−rr2

2·(r1−q) − r1)

+(q4−4·q3·r1+6·q2·r12−4·q·r13+r14)·((r1−q)2−rr2)

2·(r1−q)

rr4 + rr2 ·(−2 · q2 + 4 · q · r1 − 2 · r1 2 +

2·r1 ·((r1−q)2−rr2)r1−q

)+ r1 4 − 4 · q · r1 3 + 6 · q2 · r1 2 − 4 · q3 · r1 + q4

]

--> ratsimp(%);

(%o120) [rho2 = −q4 − 2 · q3 · r1 + 2 · q · r1 3 − r1 4 +

(2 · q · r1 − 2 · q2

)· rr2 + rr4

(2 · q + 2 · r1 ) · rr2 + 2 · r1 3 − 6 · q · r1 2 + 6 · q2 · r1 − 2 · q3]

2.2.1 cos2omega2

--> cos2omega2=(rr^2-rho2^2)/(rr^2+rho2^2);

(%o112) cos2omega2 =rr2 − rho2 2

rr2 + rho2 2

7

h

Figure 6: Para expresar cos 2ω en terminos de r1 y q. Se usan las mismas ideasque se usaron para encontrar cos2α a partir de tanα.

2.3 Desarrollar t2 en terminos de r1, q, y rr

--> (t1+t2)^2=(rr+t1)^2+(rr+t2)^2-2*(rr+t1)*(rr+t2)*cos2omega2;

(%o121) (t1 + t2 )2

= (rr + t2 )2−2·cos2omega2 ·(rr + t1 )·(rr + t2 )+(rr + t1 )

2

--> solve([%], [t2]);

(%o122) [t2 = − (cos2omega2 − 1) · rr2 + (cos2omega2 − 1) · rr · t1(1 + cos2omega2 ) · t1 + (cos2omega2 − 1) · rr

]

Sustituir t1

--> subst(((r1-q)^2-rr^2)/(2*rr), t1, %);

(%o123) [t2 = −(cos2omega2−1)·((r1−q)2−rr2)

2 + (cos2omega2 − 1) · rr2(1+cos2omega2)·((r1−q)2−rr2)

2·rr + (cos2omega2 − 1) · rr]

--> ratsimp(%);

(%o124) [t2 = −((cos2omega2 − 1) · r1 2 + (2− 2 · cos2omega2 ) · q · r1 + (cos2omega2 − 1) · q2

)· rr + (cos2omega2 − 1) · rr3

(cos2omega2 − 3) · rr2 + (1 + cos2omega2 ) · r1 2 + (−2− 2 · cos2omega2 ) · q · r1 + (1 + cos2omega2 ) · q2]

8

h

Figure 7: Para expresar t2 en terminos de r1 y q.

Sustituir cos2omega2

--> subst((rr^2-rho2^2)/(rr^2+rho2^2), cos2omega2, %);

(%o125) [t2 = −rr3 ·

(rr2−rho22

rr2+rho22 − 1)

+ rr ·(r1 2 ·

(rr2−rho22

rr2+rho22 − 1)

+ q2 ·(

rr2−rho22

rr2+rho22 − 1)

+ q · r1 ·(

2− 2·(rr2−rho22)rr2+rho22

))r1 2 ·

(1 + rr2−rho22

rr2+rho22

)+ q2 ·

(1 + rr2−rho22

rr2+rho22

)+ rr2 ·

(rr2−rho22

rr2+rho22 − 3)

+ q · r1 ·(−2− 2·(rr2−rho22)

rr2+rho22

) ]

--> ratsimp(%);

(%o126) [t2 = −(r1 2 − 2 · q · r1 + q2

)· rho2 2 + rho2 2 · rr2

rr3 +(−q2 + 2 · q · r1 − r1 2 + 2 · rho2 2

)· rr

]

Sustituir rho2

--> subst(-(q^4-2*q^3*r1+2*q*r1^3-r1^4+(2*q*r1-2*q^2)*rr^2+rr^4)/((2*q+2*r1)*rr^2+2*r1^3-6*q*r1^2+6*q^2*r1-2*q^3), rho2, %);

(%o127) [t2 = −(q2−2·q·r1+r12)·(−q4+2·q3·r1−2·q·r13+r14−(2·q·r1−2·q2)·rr2−rr4)

2

(−2·q3+6·q2·r1−6·q·r12+2·r13+(2·r1+2·q)·rr2)2+

rr2·(−q4+2·q3·r1−2·q·r13+r14−(2·q·r1−2·q2)·rr2−rr4)2

(−2·q3+6·q2·r1−6·q·r12+2·r13+(2·r1+2·q)·rr2)2

rr ·(−q2 + 2 · q · r1 − r1 2 + 2·(−q4+2·q3·r1−2·q·r13+r14−(2·q·r1−2·q2)·rr2−rr4)2

(−2·q3+6·q2·r1−6·q·r12+2·r13+(2·r1+2·q)·rr2)2

)+ rr3

]

--> ratsimp(%);

(%o128) [t2 = −−q6 + 2 · q5 · r1 + q4 · r1 2 − 4 · q3 · r1 3 + q2 · r1 4 + 2 · q · r1 5 − r1 6 +

(−r1 4 + 4 · q · r1 3 − 2 · q2 · r1 2 − 4 · q3 · r1 + 3 · q4

)· rr2 +

(r1 2 + 2 · q · r1 − 3 · q2

)· rr4 + rr6

2 · rr5 +(−4 · q2 + 16 · q · r1 + 4 · r1 2

)· rr3 +

(2 · q4 − 16 · q3 · r1 + 28 · q2 · r1 2 − 16 · q · r1 3 + 2 · r1 4

)· rr

]

9

3 Desarrollar una expresion para t2 partiendodesde rho4

Para cada segmento y angulo, se usan las mismas obras trigonometricas, etc.,que se usaron para desarrollar expresiones para cantidades semejantes, partiendode ρ1.

3.1 Formulas preliminarias

3.1.1 rho4

Figure 8: Para expresar ρ1 en terminos de r1 y q: Se comienza con r4 + q =√rr2 + ρ24 + ρ4.

--> rho4=((r1+q)^2-rr^2)/(2*(r1+q));

(%o129) rho4 =(q + r1 )

2 − rr2

2 · (r1 + q)

3.1.2 t3

--> t3=((r1+q)^2-rr^2)/(2*rr);

(%o130) t3 =(q + r1 )

2 − rr2

2 · rr

10

Figure 9: Para expresar t3 en terminos de r1 y q.

3.1.3 cos2beta

--> cos2beta=(r1^2-t3^2)/(r1^2+t3^2);

(%o131) cos2beta =r1 2 − t3 2

t3 2 + r1 2

3.2 Desarrollar rho3 en terminos de rr y q

--> (rho3+rho4)^2=(r1-rho3)^2+(r1-rho4)^2-2*(r1-rho3)*(r1-rho4)*cos2beta;

(%o133) (rho3 + rho4 )2

= −2·cos2beta·(r1 − rho3 )·(r1 − rho4 )+(r1 − rho4 )2+(r1 − rho3 )

2

--> solve([%], [rho3]);

(%o134) [rho3 =(1− cos2beta) · r1 2 + (cos2beta − 1) · r1 · rho4

(1 + cos2beta) · rho4 + (1− cos2beta) · r1]

Sustituir cos2beta

--> subst((r1^2-t3^2)/(t3^2+r1^2), cos2beta, %);

(%o135) [rho3 =r1 2 ·

(1− r12−t32

t32+r12

)+ r1 · rho4 ·

(r12−t32

t32+r12 − 1)

rho4 ·(

1 + r12−t32

t32+r12

)+ r1 ·

(1− r12−t32

t32+r12

) ]

11

Figure 10: Para encontrar una expresion para cos 2β en terminos de r1 y q.Se usan las mismas obras trigonometricas, etc., que se usaron para desarrollarexpresiones para cos 2α, partiendo de ρ1.

--> ratsimp(%);

(%o136) [rho3 = − (rho4 − r1 ) · t3 2

t3 2 + r1 · rho4]

Sustituir t3

--> subst(((q+r1)^2-rr^2)/(2*rr), t3, %);

(%o137) [rho3 = −(rho4 − r1 ) ·

((q + r1 )

2 − rr2)2

4 · rr2 ·(

((q+r1)2−rr2)2

4·rr2 + r1 · rho4) ]

--> ratsimp(%);

(%o138) [rho3 = −−q4 · r1 − 4 · q3 · r1 2 − 6 · q2 · r1 3 − 4 · q · r1 4 − r1 5 +

(r1 4 + 4 · q · r1 3 + 6 · q2 · r1 2 + 4 · q3 · r1 + q4

)· rho4 +

((−2 · q2 − 4 · q · r1 − 2 · r1 2

)· rho4 + 2 · r1 3 + 4 · q · r1 2 + 2 · q2 · r1

)· rr2 + (rho4 − r1 ) · rr4

rr4 +(−2 · q2 − 4 · q · r1 − 2 · r1 2 + 4 · r1 · rho4

)· rr2 + r1 4 + 4 · q · r1 3 + 6 · q2 · r1 2 + 4 · q3 · r1 + q4

]

Sustituir rho4

--> subst(((q+r1)^2-rr^2)/(2*(r1+q)), rho4, %);

12

Figure 11: Para encontrar una expresion para ρ3 en terminos de r1 y q.

(%o139) [rho3 = −−q4 · r1 − 4 · q3 · r1 2 − 6 · q2 · r1 3 − 4 · q · r1 4 − r1 5 + rr2 ·

((−2·q2−4·q·r1−2·r12)·((q+r1)2−rr2)

2·(r1+q) + 2 · r1 3 + 4 · q · r1 2 + 2 · q2 · r1)

+ rr4 ·(

(q+r1)2−rr2

2·(r1+q) − r1)

+(q4+4·q3·r1+6·q2·r12+4·q·r13+r14)·((q+r1)2−rr2)

2·(r1+q)

rr4 + rr2 ·(−2 · q2 − 4 · q · r1 − 2 · r1 2 +

2·r1 ·((q+r1)2−rr2)r1+q

)+ r1 4 + 4 · q · r1 3 + 6 · q2 · r1 2 + 4 · q3 · r1 + q4

]

--> ratsimp(%);

(%o140) [rho3 = −q4 + 2 · q3 · r1 − 2 · q · r1 3 − r1 4 +

(−2 · q · r1 − 2 · q2

)· rr2 + rr4

(2 · r1 − 2 · q) · rr2 + 2 · r1 3 + 6 · q · r1 2 + 6 · q2 · r1 + 2 · q3]

3.2.1 cos2omega3

--> cos2omega3=(rr^2-rho3^2)/(rr^2+rho3^2);

(%o132) cos2omega3 =rr2 − rho3 2

rr2 + rho3 2

3.3 Desarrollar t2 en terminos de r1, q, y rr

--> (t3+t2)^2=(rr+t3)^2+(rr+t2)^2-2*(rr+t3)*(rr+t2)*cos2omega3;

13

Figure 12: Para encontrar una expresion para cos 2ω3 en terminos de r1 y q.Se usan las mismas obras trigonometricas, etc., que se usaron para desarrollarexpresiones para cos 2ω2, partiendo de ρ1.

(%o141) (t2 + t3 )2

= (rr + t3 )2−2·cos2omega3 ·(rr + t2 )·(rr + t3 )+(rr + t2 )

2

--> solve([%], [t2]);

(%o142) [t2 = − (cos2omega3 − 1) · rr2 + (cos2omega3 − 1) · rr · t3(1 + cos2omega3 ) · t3 + (cos2omega3 − 1) · rr

]

Sustituir t3

--> subst(((q+r1)^2-rr^2)/(2*rr), t3, %);

(%o143) [t2 = −(cos2omega3−1)·((q+r1)2−rr2)

2 + (cos2omega3 − 1) · rr2(1+cos2omega3)·((q+r1)2−rr2)

2·rr + (cos2omega3 − 1) · rr]

--> ratsimp(%);

(%o144) [t2 = −((cos2omega3 − 1) · r1 2 + (2 · cos2omega3 − 2) · q · r1 + (cos2omega3 − 1) · q2

)· rr + (cos2omega3 − 1) · rr3

(cos2omega3 − 3) · rr2 + (1 + cos2omega3 ) · r1 2 + (2 + 2 · cos2omega3 ) · q · r1 + (1 + cos2omega3 ) · q2]

Sustituir cos2omega3

14

Figure 13: Para encontrar una expresion para t2 en terminos de r1 y q.

--> subst((rr^2-rho3^2)/(rr^2+rho3^2), cos2omega3, %);

(%o145) [t2 = −rr3 ·

(rr2−rho32

rr2+rho32 − 1)

+ rr ·(q · r1 ·

(2·(rr2−rho32)

rr2+rho32 − 2

)+ r1 2 ·

(rr2−rho32

rr2+rho32 − 1)

+ q2 ·(

rr2−rho32

rr2+rho32 − 1))

q · r1 ·(

2 + 2·(rr2−rho32)rr2+rho32

)+ r1 2 ·

(1 + rr2−rho32

rr2+rho32

)+ q2 ·

(1 + rr2−rho32

rr2+rho32

)+ rr2 ·

(rr2−rho32

rr2+rho32 − 3) ]

--> ratsimp(%);

(%o146) [t2 = −(r1 2 + 2 · q · r1 + q2

)· rho3 2 + rho3 2 · rr2

rr3 +(−q2 − 2 · q · r1 − r1 2 + 2 · rho3 2

)· rr

]

Sustituir rho3

--> subst(-(q^4+2*q^3*r1-2*q*r1^3-r1^4+(-2*q*r1-2*q^2)*rr^2+rr^4)/((2*r1-2*q)*rr^2+2*r1^3+6*q*r1^2+6*q^2*r1+2*q^3), rho3, %);

(%o147) [t2 = −(q2+2·q·r1+r12)·(−q4−2·q3·r1+2·q·r13+r14−(−2·q2−2·q·r1)·rr2−rr4)

2

(2·q3+6·q2·r1+6·q·r12+2·r13+(2·r1−2·q)·rr2)2+

rr2·(−q4−2·q3·r1+2·q·r13+r14−(−2·q2−2·q·r1)·rr2−rr4)2

(2·q3+6·q2·r1+6·q·r12+2·r13+(2·r1−2·q)·rr2)2

rr ·(−q2 − 2 · q · r1 − r1 2 + 2·(−q4−2·q3·r1+2·q·r13+r14−(−2·q2−2·q·r1)·rr2−rr4)2

(2·q3+6·q2·r1+6·q·r12+2·r13+(2·r1−2·q)·rr2)2

)+ rr3

]

--> ratsimp(%);

(%o148) [t2 = −−q6 − 2 · q5 · r1 + q4 · r1 2 + 4 · q3 · r1 3 + q2 · r1 4 − 2 · q · r1 5 − r1 6 +

(−r1 4 − 4 · q · r1 3 − 2 · q2 · r1 2 + 4 · q3 · r1 + 3 · q4

)· rr2 +

(r1 2 − 2 · q · r1 − 3 · q2

)· rr4 + rr6

2 · rr5 +(−4 · q2 − 16 · q · r1 + 4 · r1 2

)· rr3 +

(2 · q4 + 16 · q3 · r1 + 28 · q2 · r1 2 + 16 · q · r1 3 + 2 · r1 4

)· rr

]

15

4 Igualar las dos expresiones obtenidas para t2

La expresion obtenida partiendo desde rho1

--> t2=-(-q^6+2*q^5*r1+q^4*r1^2-4*q^3*r1^3+q^2*r1^4+2*q*r1^5-r1^6+(-r1^4+4*q*r1^3-2*q^2*r1^2-4*q^3*r1+3*q^4)*rr^2+(r1^2+2*q*r1-3*q^2)*rr^4+rr^6)/(2*rr^5+(-4*q^2+16*q*r1+4*r1^2)*rr^3+(2*q^4-16*q^3*r1+28*q^2*r1^2-16*q*r1^3+2*r1^4)*rr);

(%o149) t2 =q6 − 2 · q5 · r1 − q4 · r1 2 + 4 · q3 · r1 3 − q2 · r1 4 − 2 · q · r1 5 + r1 6 −

(3 · q4 − 4 · q3 · r1 − 2 · q2 · r1 2 + 4 · q · r1 3 − r1 4

)· rr2 −

(−3 · q2 + 2 · q · r1 + r1 2

)· rr4 − rr6

2 · rr5 +(−4 · q2 + 16 · q · r1 + 4 · r1 2

)· rr3 +

(2 · q4 − 16 · q3 · r1 + 28 · q2 · r1 2 − 16 · q · r1 3 + 2 · r1 4

)· rr

La expresion obtenida partiendo desde rho4

--> t2=-(-q^6-2*q^5*r1+q^4*r1^2+4*q^3*r1^3+q^2*r1^4-2*q*r1^5-r1^6+(-r1^4-4*q*r1^3-2*q^2*r1^2+4*q^3*r1+3*q^4)*rr^2+(r1^2-2*q*r1-3*q^2)*rr^4+rr^6)/(2*rr^5+(-4*q^2-16*q*r1+4*r1^2)*rr^3+(2*q^4+16*q^3*r1+28*q^2*r1^2+16*q*r1^3+2*r1^4)*rr);

(%o150) t2 =q6 + 2 · q5 · r1 − q4 · r1 2 − 4 · q3 · r1 3 − q2 · r1 4 + 2 · q · r1 5 + r1 6 −

(3 · q4 + 4 · q3 · r1 − 2 · q2 · r1 2 − 4 · q · r1 3 − r1 4

)· rr2 −

(−3 · q2 − 2 · q · r1 + r1 2

)· rr4 − rr6

2 · rr5 +(−4 · q2 − 16 · q · r1 + 4 · r1 2

)· rr3 +

(2 · q4 + 16 · q3 · r1 + 28 · q2 · r1 2 + 16 · q · r1 3 + 2 · r1 4

)· rr

Igualarlas

--> (q^6-2*q^5*r1-q^4*r1^2+4*q^3*r1^3-q^2*r1^4-2*q*r1^5+r1^6-(3*q^4-4*q^3*r1-2*q^2*r1^2+4*q*r1^3-r1^4)*rr^2-(-3*q^2+2*q*r1+r1^2)*rr^4-rr^6)/(2*rr^5+(-4*q^2+16*q*r1+4*r1^2)*rr^3+(2*q^4-16*q^3*r1+28*q^2*r1^2-16*q*r1^3+2*r1^4)*rr)=(q^6+2*q^5*r1-q^4*r1^2-4*q^3*r1^3-q^2*r1^4+2*q*r1^5+r1^6-(3*q^4+4*q^3*r1-2*q^2*r1^2-4*q*r1^3-r1^4)*rr^2-(-3*q^2-2*q*r1+r1^2)*rr^4-rr^6)/(2*rr^5+(-4*q^2-16*q*r1+4*r1^2)*rr^3+(2*q^4+16*q^3*r1+28*q^2*r1^2+16*q*r1^3+2*r1^4)*rr);

(%o151)q6 − 2 · q5 · r1 − q4 · r1 2 + 4 · q3 · r1 3 − q2 · r1 4 − 2 · q · r1 5 + r1 6 +

(r1 4 − 4 · q · r1 3 + 2 · q2 · r1 2 + 4 · q3 · r1 − 3 · q4

)· rr2 +

(−r1 2 − 2 · q · r1 + 3 · q2

)· rr4 − rr6

2 · rr5 +(−4 · q2 + 16 · q · r1 + 4 · r1 2

)· rr3 +

(2 · q4 − 16 · q3 · r1 + 28 · q2 · r1 2 − 16 · q · r1 3 + 2 · r1 4

)· rr

=q6 + 2 · q5 · r1 − q4 · r1 2 − 4 · q3 · r1 3 − q2 · r1 4 + 2 · q · r1 5 + r1 6 +

(r1 4 + 4 · q · r1 3 + 2 · q2 · r1 2 − 4 · q3 · r1 − 3 · q4

)· rr2 +

(−r1 2 + 2 · q · r1 + 3 · q2

)· rr4 − rr6

2 · rr5 +(−4 · q2 − 16 · q · r1 + 4 · r1 2

)· rr3 +

(2 · q4 + 16 · q3 · r1 + 28 · q2 · r1 2 + 16 · q · r1 3 + 2 · r1 4

)· rr

Despejar rr

--> solve([%], [rr]);

(%o152) [rr = −√q2 − r1 2, rr =

√q2 − r1 2, rr = −

√4 · r1 ·

√r1 2 + 3 · q2 + 5 · r1 2 + 3 · q2

√3

, rr =

√4 · r1 ·

√r1 2 + 3 · q2 + 5 · r1 2 + 3 · q2

√3

, rr = −

√−4 · r1 ·

√r1 2 + 3 · q2 + 5 · r1 2 + 3 · q2

√3

, rr =

√−4 · r1 ·

√r1 2 + 3 · q2 + 5 · r1 2 + 3 · q2

√3

]

Probar cada solucion con q=0, donde rr deber ser r1/sqrt(3). Las primeras tressoluciones fallan, obviamente, y la quinta tambien.

--> Prueba1=sqrt(4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2)+5*r1^2+3*q^2)/sqrt(3);

(%o153) Prueba1 =

√4 · r1 ·

√r1 2 + 3 · q2 + 5 · r1 2 + 3 · q2

√3

--> subst(0, q, %);

(%o154) Prueba1 =

√4 · r1 · |r1 |+ 5 · r1 2

√3

16

--> Prueba2=sqrt(-4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2)+5*r1^2+3*q^2)/sqrt(3);

(%o155) Prueba2 =

√−4 · r1 ·

√r1 2 + 3 · q2 + 5 · r1 2 + 3 · q2

√3

--> subst(0, q, %);

(%o156) Prueba2 =

√5 · r1 2 − 4 · r1 · |r1 |√

3

--> subst(abs(r1), r1, %);

(%o157) Prueba2 =|r1 |√

3

Funciono. Entonces,

--> rr=sqrt(-4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2)+5*r1^2+3*q^2)/sqrt(3);

(%o158) rr =

√−4 · r1 ·

√r1 2 + 3 · q2 + 5 · r1 2 + 3 · q2

√3

5 Expresar rho1, rho2, rho3, rho4, r2, and d enterminos de q

El radio r2 es el radio de la circunferencia a la que las circunferencias de la”cadena” estan exteriormente tangentes, y d es la distancia entre el centro deesta, y el centro de la circunferencia que encierre todas las demas.

5.1 rho1

rho1 es el radio de la mas pequena de las circunferencias de la cadena

--> rho1=((r1-q)^2-rr^2)/(2*(r1-q));

(%o159) rho1 =(r1 − q)2 − rr2

2 · (r1 − q)

--> subst(sqrt(-4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2)+5*r1^2+3*q^2)/sqrt(3), rr, %);

(%o160) rho1 =(r1 − q)2 − 3·q2+5·r12−4·r1 ·

√r12+3·q2

3

2 · (r1 − q)

17

--> ratsimp(%);

(%o161) rho1 =−3 · q · r1 − r1 2 + 2 · r1 ·

√r1 2 + 3 · q2

3 · r1 − 3 · q

5.2 rho2

--> rho2=-(q^4-2*q^3*r1+2*q*r1^3-r1^4+(2*q*r1-2*q^2)*rr^2+rr^4)/((2*q+2*r1)*rr^2+2*r1^3-6*q*r1^2+6*q^2*r1-2*q^3);

(%o162) rho2 =−q4 + 2 · q3 · r1 − 2 · q · r1 3 + r1 4 −

(2 · q · r1 − 2 · q2

)· rr2 − rr4

(2 · q + 2 · r1 ) · rr2 + 2 · r1 3 − 6 · q · r1 2 + 6 · q2 · r1 − 2 · q3

--> subst(sqrt(-4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2)+5*r1^2+3*q^2)/sqrt(3), rr, %);

(%o163) rho2 =−q4 + 2 · q3 · r1 − 2 · q · r1 3 + r1 4 −

(2·q·r1−2·q2)·(3·q2+5·r12−4·r1 ·

√r12+3·q2

)3 −

(3·q2+5·r12−4·r1 ·

√r12+3·q2

)2

9

(2·q+2·r1)·(3·q2+5·r12−4·r1 ·

√r12+3·q2

)3 + 2 · r1 3 − 6 · q · r1 2 + 6 · q2 · r1 − 2 · q3

--> ratsimp(%);

(%o164) rho2 = −−6 · q2 · r1 − 6 · q · r1 2 +

√r1 2 + 3 · q2 ·

(5 · r1 2 + 3 · q · r1

)− 4 · r1 3

(3 · q + 3 · r1 ) ·√r1 2 + 3 · q2 − 6 · r1 2 + 3 · q · r1 − 9 · q2

5.3 rho3

--> rho3=-(q^4+2*q^3*r1-2*q*r1^3-r1^4+(-2*q*r1-2*q^2)*rr^2+rr^4)/((2*r1-2*q)*rr^2+2*r1^3+6*q*r1^2+6*q^2*r1+2*q^3);

(%o165) rho3 =−q4 − 2 · q3 · r1 + 2 · q · r1 3 + r1 4 −

(−2 · q2 − 2 · q · r1

)· rr2 − rr4

(2 · r1 − 2 · q) · rr2 + 2 · r1 3 + 6 · q · r1 2 + 6 · q2 · r1 + 2 · q3

--> subst(sqrt(-4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2)+5*r1^2+3*q^2)/sqrt(3), rr, %);

(%o166) rho3 =−q4 − 2 · q3 · r1 + 2 · q · r1 3 + r1 4 −

(−2·q2−2·q·r1)·(3·q2+5·r12−4·r1 ·

√r12+3·q2

)3 −

(3·q2+5·r12−4·r1 ·

√r12+3·q2

)2

9

(2·r1−2·q)·(3·q2+5·r12−4·r1 ·

√r12+3·q2

)3 + 2 · r1 3 + 6 · q · r1 2 + 6 · q2 · r1 + 2 · q3

--> ratsimp(%);

(%o167) rho3 = −−6 · q2 · r1 + 6 · q · r1 2 +

√r1 2 + 3 · q2 ·

(5 · r1 2 − 3 · q · r1

)− 4 · r1 3

(3 · r1 − 3 · q) ·√r1 2 + 3 · q2 − 6 · r1 2 − 3 · q · r1 − 9 · q2

18

5.4 rho4

rho1 es el radio de la mas grande de las circunferencias de la cadena

--> rho4=((q+r1)^2-rr^2)/(2*(r1+q));

(%o168) rho4 =(q + r1 )

2 − rr2

2 · (r1 + q)

--> subst(sqrt(-4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2)+5*r1^2+3*q^2)/sqrt(3), rr, %);

(%o169) rho4 =(q + r1 )

2 − 3·q2+5·r12−4·r1 ·√

r12+3·q23

2 · (r1 + q)

--> ratsimp(%);

(%o170) rho4 =3 · q · r1 − r1 2 + 2 · r1 ·

√r1 2 + 3 · q2

3 · r1 + 3 · q

5.5 r2

--> r2=r1-(rho1+rho4);

(%o171) r2 = −rho4 − rho1 + r1

--> subst(((r1-q)^2-rr^2)/(2*(r1-q)), rho1, %);

(%o172) r2 = − (r1 − q)2 − rr2

2 · (r1 − q)− rho4 + r1

--> subst(((q+r1)^2-rr^2)/(2*(r1+q)), rho4, %);

(%o173) r2 = − (q + r1 )2 − rr2

2 · (r1 + q)− (r1 − q)2 − rr2

2 · (r1 − q)+ r1

--> ratsimp(%);

(%o174) r2 =r1 · rr2

r1 2 − q2

--> subst(sqrt(-4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2)+5*r1^2+3*q^2)/sqrt(3), rr, %);

(%o175) r2 =r1 ·

(3 · q2 + 5 · r1 2 − 4 · r1 ·

√r1 2 + 3 · q2

)3 ·(r1 2 − q2

)--> ratsimp(%);

(%o176) r2 = −−3 · q2 · r1 − 5 · r1 3 + 4 · r1 2 ·√

r1 2 + 3 · q23 · r1 2 − 3 · q2

19

5.6 d

--> d=r1-r2-2*rho1;

(%o177) d = −2 · rho1 − r2 + r1

--> subst(((r1-q)^2-rr^2)/(2*(r1-q)), rho1, %);

(%o178) d = − (r1 − q)2 − rr2

r1 − q− r2 + r1

--> subst(sqrt(-4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2)+5*r1^2+3*q^2)/sqrt(3), rr, %);

(%o179) d = −r2 −(r1 − q)2 − 3·q2+5·r12−4·r1 ·

√r12+3·q2

3

r1 − q+ r1

--> ratsimp(%);

(%o180) d = −−3 · q · r1 − 5 · r1 2 + 4 · r1 ·√r1 2 + 3 · q2 + (3 · r1 − 3 · q) · r2

3 · r1 − 3 · q

6 Analisis

6.1 Sucession rho1, rho2, rho3, rho4

6.1.1 Diferencias

rho2-rho1

--> rho2-rho1=-(-6*q^2*r1-6*q*r1^2+sqrt(r1^2+3*q^2)*(5*r1^2+3*q*r1)-4*r1^3)/((3*q+3*r1)*sqrt(r1^2+3*q^2)-6*r1^2+3*q*r1-9*q^2) - (-3*q*r1-r1^2+2*r1*sqrt(r1^2+3*q^2))/(3*r1-3*q);

(%o181) rho2−rho1 =6 · q2 · r1 + 6 · q · r1 2 −

√r1 2 + 3 · q2 ·

(3 · q · r1 + 5 · r1 2

)+ 4 · r1 3

(3 · q + 3 · r1 ) ·√r1 2 + 3 · q2 − 6 · r1 2 + 3 · q · r1 − 9 · q2

−−3 · q · r1 − r1 2 + 2 · r1 ·√r1 2 + 3 · q2

3 · r1 − 3 · q

--> ratsimp(%);

(%o182) rho2−rho1 =−21 · q3 · r1 − 6 · q2 · r1 2 +

√r1 2 + 3 · q2 ·

(4 · q · r1 2 + 12 · q2 · r1

)− 5 · q · r1 3

−6 · r1 3 +√r1 2 + 3 · q2 ·

(3 · r1 2 − 3 · q2

)+ 9 · q · r1 2 − 12 · q2 · r1 + 9 · q3

rho3-rho2

20

--> rho3-rho2= (-q^4-2*q^3*r1+2*q*r1^3+r1^4-(-2*q^2-2*q*r1)*rr^2-rr^4)/((2*r1-2*q)*rr^2+2*r1^3+6*q*r1^2+6*q^2*r1+2*q^3) - (6*q^2*r1+6*q*r1^2-sqrt(r1^2+3*q^2)*(3*q*r1+5*r1^2)+4*r1^3)/((3*q+3*r1)*sqrt(r1^2+3*q^2)-6*r1^2+3*q*r1-9*q^2);

(%o183) rho3−rho2 =−q4 − 2 · q3 · r1 + 2 · q · r1 3 + r1 4 +

(2 · q · r1 + 2 · q2

)· rr2 − rr4

(2 · r1 − 2 · q) · rr2 + 2 · r1 3 + 6 · q · r1 2 + 6 · q2 · r1 + 2 · q3−

6 · q2 · r1 + 6 · q · r1 2 −√r1 2 + 3 · q2 ·

(3 · q · r1 + 5 · r1 2

)+ 4 · r1 3

(3 · q + 3 · r1 ) ·√r1 2 + 3 · q2 − 6 · r1 2 + 3 · q · r1 − 9 · q2

--> ratsimp(%);

(%o184) rho3−rho2 = −(−9·q6−3·q5·r1+48·q4·r1 2+86·q3·r1 3+75·q2·r1 4+45·q·r1 5+14·r1 6+(8 · r1 4 + 16 · q · r1 3 + 6 · q2 · r1 2 + 18 · q4

)·rr2+

(−6 · r1 2 + 3 · q · r1 − 9 · q2

)·rr4+

√r1 2 + 3 · q2·

((3 · q + 3 · r1 ) · rr4 +

(−6 · q3 − 6 · q2 · r1 − 2 · q · r1 2 − 10 · r1 3

)· rr2 − 13 · r1 5 − 45 · q · r1 4 − 54 · q2 · r1 3 − 22 · q3 · r1 2 + 3 · q4 · r1 + 3 · q5

))/(

√r1 2 + 3 · q2·

(6 · q4 + 24 · q3 · r1 + 36 · q2 · r1 2 + 24 · q · r1 3 + 6 · r1 4 +

(6 · r1 2 − 6 · q2

)· rr2

)+(18 · q3 − 24 · q2 · r1 + 18 · q · r1 2 − 12 · r1 3

)·rr2−12·r1 5−30·q·r1 4−36·q2·r1 3−48·q3·r1 2−48·q4·r1−18·q5)

rho4-rho3

--> rho4-rho3= ((q+r1)^2-(3*q^2+5*r1^2-4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2))/3)/(2*(r1+q)) - (-q^4-2*q^3*r1+2*q*r1^3+r1^4+(2*q*r1+2*q^2)*rr^2-rr^4)/((2*r1-2*q)*rr^2+2*r1^3+6*q*r1^2+6*q^2*r1+2*q^3);

(%o185) rho4−rho3 =(q + r1 )

2 − 3·q2+5·r12−4·r1 ·√

r12+3·q23

2 · (r1 + q)−−q4 − 2 · q3 · r1 + 2 · q · r1 3 + r1 4 +

(2 · q · r1 + 2 · q2

)· rr2 − rr4

(2 · r1 − 2 · q) · rr2 + 2 · r1 3 + 6 · q · r1 2 + 6 · q2 · r1 + 2 · q3

--> ratsimp(%);

(%o186) rho4−rho3 =3 · q5 + 15 · q4 · r1 + 22 · q3 · r1 2 + 6 · q2 · r1 3 − 9 · q · r1 4 − 5 · r1 5 +

(−2 · r1 3 + 2 · q · r1 2 − 18 · q2 · r1 − 6 · q3

)· rr2 +

√r1 2 + 3 · q2 ·

((4 · r1 2 − 4 · q · r1

)· rr2 + 4 · r1 4 + 12 · q · r1 3 + 12 · q2 · r1 2 + 4 · q3 · r1

)+ (3 · r1 + 3 · q) · rr4(

6 · r1 2 − 6 · q2)· rr2 + 6 · r1 4 + 24 · q · r1 3 + 36 · q2 · r1 2 + 24 · q3 · r1 + 6 · q4

6.1.2 Cocientes

rho4/rho3

--> rho4/rho3=(((q+r1)^2-(3*q^2+5*r1^2-4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2))/3)/(2*(r1+q)))/((-q^4-2*q^3*r1+2*q*r1^3+r1^4+(2*q*r1+2*q^2)*rr^2-rr^4)/((2*r1-2*q)*rr^2+2*r1^3+6*q*r1^2+6*q^2*r1+2*q^3));

(%o187)rho4

rho3=

((q + r1 )

2 − 3·q2+5·r12−4·r1 ·√

r12+3·q23

)·(2 · q3 + 6 · q2 · r1 + 6 · q · r1 2 + 2 · r1 3 + (2 · r1 − 2 · q) · rr2

)2 · (r1 + q) ·

(−rr4 + (2 · q2 + 2 · q · r1 ) · rr2 + r1 4 + 2 · q · r1 3 − 2 · q3 · r1 − q4

)--> ratsimp(%);

(%o188)rho4

rho3= −

6 · q4 · r1 + 16 · q3 · r1 2 + 12 · q2 · r1 3 − 2 · r1 5 +(−2 · r1 3 + 8 · q · r1 2 − 6 · q2 · r1

)· rr2 +

√r1 2 + 3 · q2 ·

((4 · r1 2 − 4 · q · r1

)· rr2 + 4 · r1 4 + 12 · q · r1 3 + 12 · q2 · r1 2 + 4 · q3 · r1

)(3 · q + 3 · r1 ) · rr4 +

(−6 · q3 − 12 · q2 · r1 − 6 · q · r1 2

)· rr2 − 3 · r1 5 − 9 · q · r1 4 − 6 · q2 · r1 3 + 6 · q3 · r1 2 + 9 · q4 · r1 + 3 · q5

rho3/rho2

21

--> rho3/rho2= ( (-q^4-2*q^3*r1+2*q*r1^3+r1^4+(2*q*r1+2*q^2)*rr^2-rr^4)/((2*r1-2*q)*rr^2+2*r1^3+6*q*r1^2+6*q^2*r1+2*q^3) ) / ( (6*q^2*r1+6*q*r1^2-sqrt(r1^2+3*q^2)*(3*q*r1+5*r1^2)+4*r1^3)/((3*q+3*r1)*sqrt(r1^2+3*q^2)-6*r1^2+3*q*r1-9*q^2) );

(%o189)rho3

rho2=

(−9 · q2 + 3 · q · r1 − 6 · r1 2 + (3 · r1 + 3 · q) ·

√r1 2 + 3 · q2

)·(−q4 − 2 · q3 · r1 + 2 · q · r1 3 + r1 4 +

(2 · q · r1 + 2 · q2

)· rr2 − rr4

)(4 · r1 3 −

√r1 2 + 3 · q2 ·

(3 · q · r1 + 5 · r1 2

)+ 6 · q · r1 2 + 6 · q2 · r1

)·((2 · r1 − 2 · q) · rr2 + 2 · r1 3 + 6 · q · r1 2 + 6 · q2 · r1 + 2 · q3

)rho2/rho1

--> rho2/rho1= ( (6*q^2*r1+6*q*r1^2-sqrt(r1^2+3*q^2)*(3*q*r1+5*r1^2)+4*r1^3)/((3*q+3*r1)*sqrt(r1^2+3*q^2)-6*r1^2+3*q*r1-9*q^2) ) / ( (-3*q*r1-r1^2+2*r1*sqrt(r1^2+3*q^2))/(3*r1-3*q) );

(%o190)rho2

rho1=

(3 · r1 − 3 · q) ·(

6 · q2 · r1 + 6 · q · r1 2 −√r1 2 + 3 · q2 ·

(3 · q · r1 + 5 · r1 2

)+ 4 · r1 3

)(

2 · r1 ·√r1 2 + 3 · q2 − r1 2 − 3 · q · r1

)·(

(3 · q + 3 · r1 ) ·√r1 2 + 3 · q2 − 6 · r1 2 + 3 · q · r1 − 9 · q2

)--> ratsimp(%);

(%o191)rho2

rho1=

6 · q3 − 2 · q · r1 2 +√r1 2 + 3 · q2 ·

(5 · r1 2 − 2 · q · r1 − 3 · q2

)− 4 · r1 3

−4 · r1 3 +√r1 2 + 3 · q2 ·

(9 · q2 + 2 · q · r1 + 5 · r1 2

)− 7 · q · r1 2 − 6 · q2 · r1 − 15 · q3

rho4/rho1

--> rho4/rho1= ( ((q+r1)^2-(3*q^2+5*r1^2-4*r1*sqrt(r1^2+3*q^2))/3)/(2*(r1+q)) ) / ( (-3*q*r1-r1^2+2*r1*sqrt(r1^2+3*q^2))/(3*r1-3*q) );

(%o192)rho4

rho1=

(3 · r1 − 3 · q) ·(

(q + r1 )2 − 3·q2+5·r12−4·r1 ·

√r12+3·q2

3

)2 · (r1 + q) ·

(2 · r1 ·

√r1 2 + 3 · q2 − r1 2 − 3 · q · r1

)--> ratsimp(%);

(%o193)rho4

rho1=−3 · q2 + 4 · q · r1 − r1 2 + (2 · r1 − 2 · q) ·

√r1 2 + 3 · q2

(2 · q + 2 · r1 ) ·√r1 2 + 3 · q2 − r1 2 − 4 · q · r1 − 3 · q2

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