Propuesta didáctica de Conceptos de Función Lineal.

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y ESTUDIOS AVANZADOS DEL

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA

Propuesta de Secuencia Didáctica para lograr un aprendizaje significativo del

CONCEPTO DE FUNCIÓN LINEAL por medio del empleo de herramientas

computacionales

México, D.F.

Diciembre 10, 2015.

Propuesta de Secuencia Didáctica para lograr un aprendizaje significativo del

CONCEPTO DE FUNCIÓN LINEAL por medio del empleo de herramientas

computacionales

Presentada por: Ernesto Bravo Díaz

EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y NUEVAS TECNOLOGÍAS

NIVEL MEDIO SUPERIOR

RESPONSABLES DEL CURSO:

Dr. Francois Pluvinage.

Dra. Ana Isabel Sacristán Rock.

México, D.F.

Diciembre 10, 2015.

2

Índice general1. Antecedentes 4

2. Justificación. 4

3. Objetivos. 5

4. Marco conceptual. 5

5. Desarrollo de la Propuesta. 11

5.1. Componentes del micromundo. 11

5.1.1. Componente Técnico 11

5.1.2. Componente Pedagógico 12

5.1.3. Componente Contextual. 12

5.1.3. Componente Alumno. 12

5.2. Sesión 1 13

5.2.1 actividad del profesor (Act. 1M). 13

5.2.2. Desarrollo de la sesión 1. 15

5.2.3. Actividad del alumno (Act. 1A). 17

5.3. Sesión 2. 20

5.3.1 actividad del profesor (Act. 2M). 20

5.3.2. Desarrollo de la sesión 2. 22

5.3.3. Actividad del alumno (Act. 2A). 24

6. Anexos. 27

7. Referencias bibliográficas 43

1. ANTECEDENTES

3

El concepto de función lineal es de suma importancia en la matemática escolar y frecuentemente

presenta problemas en su enseñanza por parte de los maestros y repercute inevitablemente en el

aprendizaje por parte de los alumnos.

En mi experiencia personal docente he observado que cuando la representación gráfica de la

función lineal se presenta de manera estática en el pizarrón, usando sólo pintarrón y marcadores

para pintarrón, a los alumnos se les dificulta mucho interpretar significativamente los valores que

representan la pendiente y/o la ordenada al origen, aún en problemas muy específicos.

El presente trabajo propone una secuencia didáctica para desarrollar el tema Función Lineal

dentro de un entorno de Tecnologías Digitales. La secuencia didáctica está diseñada para

desarrollarse en tres sesiones de 50 minutos cada una, está dirigida tanto a los estudiantes como

al maestro, y se elaboró con las siguientes intenciones:

Que sirva de instrumento para que el profesor promueva el intercambio de ideas,

experiencias y conocimientos.

Que en la interacción con los alumnos el maestro evite convertirse en el protagonista de

la clase, asistiendo a los estudiantes en su trabajo con las actividades de clase pero no

resolviéndoles los problemas planteados.

Que se logren los objetivos curriculares del programa de la Unidad de Aprendizaje

Matemáticas I del bachillerato de la UAGro.

2. JUSTIFICACIÓN

Diversos estudios en Educación Matemática señalan que el empleo de herramientas

computacionales puede ofrecer diferentes caminos y oportunidades para los estudiantes en

beneficio de sus procesos de comprensión y conceptualización matemática, “es importante

4

reconocer que existen varios tipos de artefactos tecnológicos que el estudiante puede utilizar

durante sus experiencias de aprendizaje. Cada artefacto puede ofrecer distintas oportunidades a

los estudiantes para representar, identificar, examinar y comunicar resultados matemáticos”

(Santos, 2007).

La presente, es una propuesta de secuencia didáctica para lograr un aprendizaje significativo del

CONCEPTO DE FUNCIÓN LINEAL por medio del empleo de herramientas computacionales

dentro de un entorno denominado MICROMUNDO.

3. OBJETIVOS

Básicamente se consideran los siguientes:

Que los alumnos adquieren un aprendizaje significativo del concepto FUNCIÓN

LINEAL.

Impactar al Maestro respecto a su decisión a favor del diseño e implementación de

estrategias didácticas mediante la creación de un entorno computacional.

Dar una nueva visión a los alumnos del uso racional que le pueden dar a las herramientas

tecnológicas.

4. MARCO CONCEPTUAL.

Es demasiado común que en los programas de estudio se recomiende iniciar a trabajar con el

concepto de función lineal mediante su definición formal, y todavía es mucho mas frecuente que

la función lineal se vea como una simple formula en la que hay que sustituir correctamente

ciertos valores, efectuar las operaciones indicadas y obtener su representación gráfica.

5

Definitivamente éste procedimiento permite adquirir ciertas destrezas pero éstas de ninguna

manera van ligadas a la adquisición del aprendizaje significativo del concepto de función lineal.

Una función es una regla para “convertir” un elemento dado (por ejemplo un número) en otro

elemento (en otro número, siguiendo con el mismo ejemplo). Al elemento dado se le llama

“entrada” y al otro elemento se le llama “salida”.

Ahora, la mencionada regla puede estar dada no solo en forma de una formula, sino también de

manera implícita en una tabla o en una grafica, e incluso puede estar dada como una expresión

verbal.

Ejemplo 4.1: Un estudiante de tercer año de preparatoria que trabaja en el departamento de

telefonía celular de Coppel gana semanalmente $350.00 de salario fijo, mas una bonificación

de $35.00 por cada teléfono celular que venda. Normalmente en la semana vende entre 15 y 25

teléfonos celulares. La tabla siguiente muestre el salario que percibiría si vendiera 15, 16,…24,

25 teléfonos celulares.

Teléfonos vendidos Regla para obtener el salario percibido

Salario percibido

15 $ 350.00 + $ 35.00 (15) $ 875.0016 $ 350.00 + $ 35.00 (16) $ 910.0017 $ 350.00 + $ 35.00 (17) $ 945.0018 $ 350.00 + $ 35.00 (18) $ 980.0019 $ 350.00 + $ 35.00 (19) $ 1,015.0020 $ 350.00 + $ 35.00 (20) $ 1,050.0021 $ 350.00 + $ 35.00 (21) $ 1,085.0022 $ 350.00 + $ 35.00 (22) $ 1,120.0023 $ 350.00 + $ 35.00 (23) $ 1,155.0024 $ 350.00 + $ 35.00 (24) $ 1,190.0025 $ 350.00 + $ 35.00 (25) $ 1,225.00

¿Podrías obtener una formula que relacione el salario fijo con una cantidad cualquiera de

teléfonos vendidos y te permita obtener el salario a percibir?

6

Ejemplo 4.2: La mamá de Lizbeth decide coser camisas en su casa. La tela necesaria para cada

una de ellas tiene un costo de $ 120.00 y sus respectivos accesorios (hilo, botones, etc.) tienen un

costo de $ 5.00. Si en un mes puede fabricar entre 300 y 315 camisas, ¿Cuánto dinero necesita

invertir si fabrica 300, 301,…314,315 camisas?

Solución:

La inversión por camisa es = costo de la tela + costo de los accesorios

= $ 120.00 + $ 5.00

= $ 125.00

La inversión total entonces dependerá de la cantidad de camisas que se fabriquen, es decir que

basta solo con multiplicar la inversión por camisa, por la cantidad de camisas que se fabrique.

Inversión total = ($ 125.00) (cantidad de camisas que se fabriquen)

Si designamos con c a la cantidad de camisas que se fabriquen y a la inversión total con I, para

no escribir tanto, y además como la inversión total depende de la cantidad de camisas que se

fabriquen ya que el costo de cada una de ellas es constante, entonces:

I (c) = 125 (c) -------------1

Finalmente, la expresión 1 permite obtener la inversión total necesaria para cualquier cantidad de

camisas que se fabriquen.

c I(c) c I(c)300 36 000 308 36 960301 36 120 309 37 080302 36 240 310 37 200303 36 360 311 37 320304 36 480 312 37 440305 36 600 313 37 560306 36 720 314 37 680307 36 840 315 37 800

7

Ejemplo 4.3:

Un comerciante va al D.F. a comprar camisas y pantalones para surtir su tienda de ropa. Cada

camisa le cuesta $ 300.00 y cada pantalón $ 400.00. Si pretende invertir exactamente $

120,000.00, obtén la gráfica que representa esta situación y que le permite saber, ¿cuántas

camisas y cuántos pantalones puede comprar?

Solución.

Como no sabemos que cantidad de camisas puede comprar diremos que ese un valor

desconocido, una incógnita como comúnmente se llama en matemáticas. Le asignaremos la letra

x para representar dicha cantidad.

Como no sabemos que cantidad de pantalones puede comprar diremos que ese un valor

desconocido, una incógnita como comúnmente se llama en matemáticas. Le asignaremos la letra

y para representar dicha cantidad.

Como cada camisa cuesta $ 300.00, la cantidad que invierta en la compra de las camisas

dependerá precisamente del producto: ($ 300.00)(cantidad de camisas), es decir (300)(x) o

simplemente 300x

Como cada pantalón cuesta $ 400.00, la cantidad que invierta en la compra de los pantalones

dependerá precisamente del producto: ($ 400.00) (cantidad de pantalones), es decir (400) (y) o

simplemente 400y

Finalmente, lo que invierta en la compra de las camisas más lo que invierta en la compra de los

pantalones debe ser exactamente igual a $ 120,000.00

300 x+400 y=120 000

Ahora podemos despejar a una de las incógnitas, lo haremos con y

400 y=120 000−300 x

8

y=120 000−300 x400

y=30−34

x o y=−34

x+30

Si decimos que la cantidad de pantalones a comprar ( y ¿ depende de la cantidad de camisas que

se compren (x¿, entonces podemos expresar la ecuación anterior como:

También pudimos despejar a x y hacer que x dependiera de y , es decir: x=f ( y )

y=f ( x )=−34

x+30

O simplemente:

f ( x )=−34

x+30

La grafica correspondiente de ésta función es.

Sin embargo no todos los puntos de la gráfica dan solución al problema planteado.

En la gráfica podemos “visualizar” las diferentes soluciones al problema planteado.

9

El valor de las cantidades que pueden cambiar durante un procedimiento no son en realidad tan

importantes, lo verdaderamente importante es entender como estas se relacionan entre si, con las

cantidades que permanecen constantes y qué es lo que realmente representan sus valores en

problemas específicos.

Debemos tener muy claro que todo número real es aceptado como un valor de “entrada” en las

funciones obtenidas en cada uno de los tres ejemplos anteriores, y que “la regla” aplicada al

valor de entrada siempre nos da un valor de “salida” que también pertenece a los números reales.

En el tercer problema podemos ver que cualquiera de las dos incógnitas puede ser considerada

para expresar la función como dependiente de ella.

Las funciones estudiadas son de la forma f ( x )=m x+b, en donde:

m, representa la relación que existe entre los valores de y y los valores de x, y se expresa en la

función como un cociente al que se le llama pendiente. Por lo que la pendiente es la razón de

cambio entre los valores de y y los valores de x. Cuando no aparece como un cociente se debe

interpretar que el valor de x es 1.

b, es el valor correspondiente a la ordenada al origen, es decir el punto (0, b).

Un dato sumamente importante es que el exponente de x y de y es 1.

10

Pendiente = m = yx

La representación gráfica de éste tipo de funciones es una línea recta.

5. DESARROLLO DE LA PROPUESTA.

Para desarrollar la presente Propuesta de Secuencia Didáctica para lograr un aprendizaje

significativo del Concepto De Función Lineal por medio del empleo de herramientas

computacionales lo haremos bajo el enfoque denominado micromundo.

5.1. COMPONENTES DEL MICROMUNDO.

Las componentes descritas por Hoyles, C y Noss, R. (1985) en relación a un micromundo se

atenderán de la siguiente manera.

5.1.1 Componente Técnico:

Al programar en lenguaje LOGO se exploran y utilizan conceptos matemáticos de manera

implícita, por lo que como consecuencia natural el alumno los aprende casi sin proponérselos.

Por tal razón el componente técnico principal de la SESIÓN UNO es el uso de éste lenguaje de

programación.

El software dinámico es una herramienta útil en la construcción de representaciones de entidades

geométricas (puntos, segmentos, rectas, parábolas, círculos, polígonos, etc.) y permite la

comprensión de una particular estructura matemática, ya sea por observación o por

manipulación.

En GeoGebra los estudiantes tienen la oportunidad de mover estas representaciones y observar

cambios o invariantes en el proceso de análisis del problema. La observación de invariantes en

una representación es sumamente importante para hacer conjeturas. Además “ofrece una

herramienta poderosa para examinar relaciones geométricas desde diversos ángulos (Goldenberg

& Cuoco, 1998). Por estas razones en la SESIONES DOS GeoGebra es el componente técnico

principal.

11

Cabe aclarar que además de las ventajas ya mencionadas que los componentes brindan al

estudiante para la comprensión del concepto de función lineal, también fueron elegidos porque

permiten caracterizar los problemas planteados.

5.1.2. Componente pedagógico

Cada una de las sesiones se desarrolla empleando el componente técnico mencionado

anteriormente y además se señala claramente la actividad que debe realizar tanto el maestro

como el estudiante, las hojas de trabajo a utilizar en clase, así como las tareas a efectuar fuera del

salón. El maestro como un aspecto físico del componente pedagógico es deseable que cubra los

siguientes prerrequisitos:

Es un facilitador y mediador de aprendizajes con disposición a entrar en el mundo de la

tecnología y hacer de ésta una herramienta para lograr aprendizajes significativos.

Respetuoso y disciplinado, con la capacidad para diseñar estrategias y ambientes de

aprendizaje.

En su interacción con los alumnos evita convertirse en el protagonista de la clase y dar la

solución a los problemas planteados. Más bien, propicia que en la interacción alumno-

alumno haya un intercambio de experiencias, conocimientos y aprendizajes.

5.1.3. Componente contextual

Los problemas que se desarrollan en cada sesión, en las hojas de trabajo y en las tareas son

tomados del entorno social y cultural inmediato con la finalidad de darle sentido a su resolución.

En lo posible se integrarán parejas de estudiantes para desarrollar un trabajo colaborativo que

permita la interrelación e intercambio de ideas, pistas, conjeturas.

5.1.4. Componente alumno

Para el aspecto cognitivo es deseable que el alumno tenga los siguiente prerrequisitos:

12

Conocimientos relativos a ecuaciones de primer grado con una incógnita

Ha resuelto problemas que generan ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Conoce la representación tabular de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

Ha trabajado en el plano cartesiano.

Conocimiento de algunas primitivas de LOGO

Conocimientos básicos de GeoGebra.

Para el aspecto afectivo es necesario que el profesor en su interacción con los alumnos les aliente

a trabajar considerando que el fracaso sólo es una oportunidad de reconstruir lo que estaba mal

hecho.

5.2. SESIÓN 1.

El escenario didáctico para ésta sesión se encuentra en los anexos, aquí solo se expresan las

actividades a realizar por el profesor durante la sesión, la sesión misma, y la Actividad a realizar

por parte del alumno.

5.2.1 ACTIVIDAD DEL PROFESOR (Act. 1M).

Descripción:

Introducción a las ideas intuitivas de los conceptos: función, variable dependiente, variable

independiente y regla de correspondencia, mediante el empleo de las primitivas DEVUELVE y

ESCRIBE del programa LOGO en la creación de un procedimiento.

Actividad 1Propósito(s) de la

Actividad 1

Acercar al alumno a una idea intuitiva de los conceptos: función, variable dependiente, variable independiente y regla de correspondencia.

Requisitos Tecnológicos

Tener instalado en las máquinas MSWLogoEmat y conocer: Uso de variables Operaciones LOGO predefinidas (suma, resta, etc.) Uso de la primitiva DEVUELVE (DEV) Construcción de procedimientos usando DEV Uso de la primitiva ESCRIBE (ES)

13

Prerrequisitos Matemáticos

Conocimientos aritméticos básicos Conocer el tema: Problemas que dan origen a

ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Contenidos Matemáticos correspondientes con el

programa de Matemáticas I

Noción de cantidad constante. Noción de cantidad variable. Noción de Función. Representación tabular de una función. Graficación.

De manera general se pretende que el alumno identifique qué valores se mantienen constantes durante todo el procedimiento, cuáles cambian y qué los relaciona. Se espera que esto permita alcanzar los propósitos de ésta actividad.

Apertura

Apoyándose en la comparación con las máquinas revolvedoras y hornos de fundición, hacer ver

al alumno que las funciones operan de manera similar. Es recomendable solicitar a los

estudiantes que den ejemplos.

Desarrollo

A través de la idea de “máquinas de función” que transforman un valor de entrada, mediante una

regla, en un valor de salida, acercar al alumno a la idea intuitiva del concepto FUNCIÓN.

Construir en LOGO el procedimiento llamado PAGAR para mostrar el uso de las primitivas

DEVUELVE y ESCRIBE, haciendo ver a los alumnos que:

o En programación LOGO el comando DEV (o DEVUELVE) sirve para dar salida a

un valor de entrada al que se le aplica cierta regla.

o LOGO reconoce una variable si el nombre de la variable es precedido por dos puntos

“:”

o Para que LOGO te dé el valor de salida ingresa ES, deja un espacio, ingresa

SALIDA, deja un espacio, e ingresa finalmente el valor de entrada que desees.

o Deben llenar la Tabla 1

Cierre.

14

Con apoyo en las ideas intuitivas desarrolladas por los alumnos (lluvia de ideas)

formalizar los conceptos: función, variable dependiente, variable independiente y regla

de correspondencia.

Solicitar que efectúen la Act. 1A

5.2.2. DESARROLLO DE LA SESIÓN 1.

Si a una máquina revolvedora (en operación) le viertes dentro arena, grava, cemento y agua (en

el orden adecuado), al vaciar la máquina revolvedora obtendrás una mezcla llamada concreto.

Si esos mismos materiales (arena, grava, cemento y agua) los viertes dentro de un horno de

fundición a alta temperatura ¿crees que también obtengas como resultado final la misma mezcla

llamada concreto?

En matemáticas una función es una regla para “convertir” un elemento dado (por ejemplo un

número) en otro elemento (en otro número, siguiendo con el mismo ejemplo). Al elemento dado

se le llama “entrada” y al otro elemento se le llama “salida”.

La regla puede estar dada no solo como una formula (representación simbólica), sino también de

manera implícita en una tabla, en una gráfica, o por medio de una expresión verbal.

Ejemplos:

1) Representación tabular de una función.

¿Puedes deducir la regla y expresarla como una formula en la que

ingreses el valor de x y te devuelva el valor de f(x)?

2) Representación verbal de una función (segunda columna) y de manera simbólica (tercera

columna).

15

x f(x)-2 4-1 10 01 12 2

Entrada: 5(pudo haber sido 4,3,2, cualquier valor numérico) X=5

Regla:Triplica el resultado obtenido de la suma de la

entrada y 1.73*(5+1.7)

f ( x )=3 (X+1.7)f (5) = 3(5+1.7)

Salida: 20.10 f (5)= 20.10

En programación LOGO el comando DEV (o DEVUELVE) sirve para dar salida a un valor

dado al que se le aplica cierta regla. Recuerda que LOGO reconoce una variable si el nombre de

la variable es precedido por dos puntos “:”

El siguiente problema nos servirá para ver la utilidad del comando DEV

Para convertir :minutos

dev 60*:minutos

fin

para pagar :minutos

dev 8.5+60*:minutos*0.05

fin

Para que practiques:

Llena la Tabla 1 usando el procedimiento anterior.

16

La tarifa del servicio público de taxis en la Ciudad de México tiene un costo de $8.50 el

banderazo y $0.05 por cada segundo que dure el viaje. Desarrolla dos procedimientos

en LOGO, usando la primitiva DEVUELVE, uno que te permita convertir los minutos a

segundos y otro que te permita obtener la cantidad a pagar para 5,6,7,8,9 y 10 minutos

de viaje.

Minutos de viaje 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Pagar

Ahora te toca a ti:

En la hoja de trabajo 1, resuelve la Act. 1A, sigue las instrucciones ahí dadas.

5.2.3. ACTIVIDAD DEL ALUMNO (Act. 1A)

Lee detenidamente el siguiente problema:

Un estudiante de tercer año de preparatoria que trabaja en el departamento de telefonía celular

de Coppel gana semanalmente $350.00 de salario fijo, mas una bonificación de $35.00 por

cada teléfono celular que venda. ¿Cuánto ganaría si vendiera en la semana 15, 16,…19 o 20

teléfonos celulares?

Crea en LOGO un procedimiento (llámale SALARIO) que te permita resolver el problema

anterior y llena la tabla siguiente con los valores obtenidos. Se ha convenido que en la tabla se

llame x al valor de “entrada” y que se llame f(x) al valor de “salida”.

Procedimiento en LOGO

¡Pon a prueba tu procedimiento!

Valor de entrada (x) Función Valor de salida f ( x )15 Gana semanalmente $350.00 de salario fijo, mas una

bonificación de $35.00 por cada teléfono celular que venda

1617181920

Escribe la expresión simbólica de la forma f ( x )=mx+b de la función

Con relación a lo que acabas de hacer, contesta:

¿Qué valor(es) cambia(n) durante éste procedimiento?

17

PARA___________________________ DEV ____________________________ FIN

________________________________________________________________________

¿Qué valor(es) NO cambia(n) durante éste procedimiento?

________________________________________________________________________

Con los valores obtenidos en la tabla anterior, ubica los puntos (x , f ( x ) ¿ en el siguiente sistema

rectangular, y únelos de izquierda a derecha (prolonga en ambas direcciones).

¿Qué figura se forma? ________________________________

¿Qué relación encuentras entre el valor $ 350 que aparece en la función y el eje de las ordenadas

(eje Y)?_____________________________________________________

PRUEBA CON ALGUNOS CAMBIOS

18

En LOGO también es posible, además de trabajar con algunas operaciones predefinidas,

trabajar con funciones que reciban dos o mas valores de “entrada”.

Ésta operación se pueden usar de la siguiente manera:

PRODUCTO

EJEMPLO:

Construye en LOGO un procedimiento que reciba 3 valores de entrada, m , x , b. (Como el del

ejemplo mostrado).

Ingresa valores de entrada para x = {0,3,…12,15} y:

Caso I. Cambia 450 por 250 y corre el programa.

Caso II. Cambia ahora 250 por 150 y corre nuevamente el programa.

Llena las tablas siguientes y grafica ambos casos

x f (x) x f (x)0 03 36 69 9

12 1215 15

Grafica ambos casos en el sistema rectangular siguiente.

19

: Número1 : Número2

¿Las representaciones graficas de las funciones (las líneas rectas) son paralelas? Justifica

tu respuesta.

¿Qué relación encuentras entre el valor de 250 y 150 con el eje de las y?

Caso III: retoma el ejemplo dado y ahora mantén 450 y cambia 25 en lugar de 35, corre el

procedimiento.

Caso IV: Mantén 450, cambia ahora 15 en lugar de 25 y corre el procedimiento.

Llena las tablas siguientes y grafica ambos casos Caso III Caso IVx f (x) x f (x)0 03 36 69 9

12 1215 15

20


tu respuesta.

___________________________________________________________________

¿Qué relación encuentras entre los valores 15 y 25 y la inclinación de las rectas?

___________________________________________________________________

No olvides guardar tu trabajo en un archivo con tus iniciales seguido de ACT1 (Ejemplo: Ernesto

Bravo Díaz EBD_ACT1) y enviarlo a [email protected]

5.3. SESIÓN 2.

21

mailto:[email protected]

El escenario didáctico para ésta sesión se encuentra en los anexos, aquí solo se expresan las

actividades a realizar por el profesor durante la sesión, la sesión misma, y la Actividad a realizar

por parte del alumno.

5.3.1 ACTIVIDAD DEL PROFESOR (Act. 2M).

DESCRIPCIÓN:

Mediante ideas intuitivas llegar a la conceptualización de: pendiente, ordenada al origen, forma

de la función lineal, representación gráfica de la función lineal, dominio y contradominio.

Actividad 2

Propósito(s) de la Actividad 2

Mediante la exploración de la gráfica de una función lineal acercar al alumno a la interpretación, y posterior conceptualización de: pendiente (m) y ordenada al origen (b).

Que el alumno adquiera ideas relativas a nociones de dominio y contradominio de una función.

Requisitos TecnológicosDe GeoGebra

Uso de VISTA GRAFICA (preferencias). Uso de comando PUNTO. Situar puntos (móvil sobre f).

Prerrequisitos Matemáticos

Conocimiento del plano cartesiano. Ubicación de puntos en plano cartesiano.

Contenidos Matemáticos correspondientes con el

programa de Matemáticas I

Noción de pendiente Noción de ordenada al origen Noción de Función Lineal Representación gráfica de una función lineal.

De manera general se pretende que el alumno interprete el significado de la pendiente como una razón de proporción y de la ordenada al origen, en la valoración de un problema. También se espera que mediante la aceptación de los valores que dan solución al Problema 1 adquiera nociones de dominio y contradominio de una función.

Apertura

Mencionar a los alumnos varios ejemplos de situaciones reales que pueden modelarse como

funciones lineales y pedir a ellos que mencionen más ejemplos.

Desarrollo

Mediante el archivo GeoGebra 1:

22

o Realizar actividades exploratorias que resultan de arrastrar o mover objetos particulares

de la gráfica, con la idea de detectar y explorar invariantes o relaciones matemáticas y si

dichas relaciones son válidas para una familia de casos.

Por ejemplo:

o Manipular un punto móvil (A) a lo largo de la gráfica de la función lineal y resaltar que

en la ventana gráfica se muestran las coordenadas del punto en cada nueva posición.

Hacer ver a los alumnos que cada par de coordenadas (x, y) dan solución a la función,

pero eso no implica que cada punto sea solución del problema planteado.

o Mostrar que los puntos que dan solución al problema planteado no forman una recta

sino que son un conjunto de puntos situados sobre la recta correspondiente a la

representación gráfica de la función lineal.

o Aquí se pueden dar nociones de dominio y contradominio de la función.

Cierre

Con apoyo en las ideas intuitivas desarrolladas por los alumnos (lluvia de ideas)

formalizar los conceptos: pendiente (m), ordenada al origen (b), dominio,

contradominio y función lineal.

Solicitar que efectúen la Act. 2A

5.3.2. DESARROLLO DE LA SESIÓN 2.

En un servicio de telefonía celular de prepago el costo de un mensaje de texto enviado es

de $0.88. Lo que significa que si mandas 5 mensajes estarás consumiendo $ 4.40 de tu

saldo, si mandas 8 mensajes estarás consumiendo $ 7.04.

23

El costo del servicio de taxi en la ciudad de Guadalajara es de $14.00 por abordarlo más

$2.00 por cada minuto que dure tu viaje. Es decir que por un viaje que dure 10 minutos

pagarás $14.00 + $2.00 (10). Si tu viaje dura 27 minutos pagaras $14.00 + $2.00 (27).

Situaciones como las anteriores son innumerables en la vida cotidiana y pueden ser modeladas

como funciones.

Mediante el software de geometría dinámica GeoGebra participaremos en actividades

exploratorias que resultan de arrastrar o mover objetos particulares dentro de la representación

grafica del problema siguiente, con la idea de detectar y explorar invariantes o relaciones

matemáticas y si dichas relaciones son válidas para una familia de casos o son casos aislados.

Solución.

Como lo vimos en el tema “problemas que dan origen a ecuaciones lineales de primer grado”,

éste problema puede representarse por:

x = cantidad de camisas que puede comprar.

y = cantidad de pantalones que puede comprar.

Como cada camisa cuesta $ 300.00, la cantidad que invierta en la compra de las camisas es:

(300) (x) o simplemente 300x

Como cada pantalón cuesta $ 400.00, la cantidad que invierta en la compra de los pantalones es:

(400) (y) o simplemente 400y

24

Un comerciante va al DF a comprar mercancía para surtir su tienda de ropa. Si sabe

que por cada camisa que compre le cobran $ 300.00 y $400.00 por cada pantalón.

Obtén la gráfica que le permita saber, ¿cuántas camisas y cuántos pantalones

puede comprar con $ 120,000.00? y ¿Cómo se relaciona la cantidad de camisas con

la cantidad de pantalones que puede comprar con $ 120,000.00?

Finalmente, lo que invierta en la compra de las camisas más lo que invierta en la compra de los

pantalones debe ser exactamente igual a $ 120,000.00

300 x+400 y=120 000

Despejando y (pudimos despejar x)

400 y=120 000−300 x

y=120 000−300 x400

y=30−34

x o y=−34

x+30

Si decimos que la cantidad de pantalones a comprar dependa de la cantidad de camisas que se

compren, entonces podemos expresar la ecuación anterior como:

y=f ( x )=−34

x+30

O simplemente:

f ( x )=−34

x+30

La grafica correspondiente de ésta función es.

25

Sin embargo no todos los puntos de la gráfica dan solución al problema planteado.

En la gráfica podemos “visualizar” las diferentes soluciones al problema planteado.

5.3.3. ACTIVIDAD DEL ALUMNO (Act. 2A).

Dado el siguiente problema:

Obtén la función lineal,

Construye su gráfica en GeoGebra (guarda el archivo con el nombre GeoGebra 2),

Y en la hoja de cálculo de GeoGebra obtén las parejas ( x, f(x) ) para x = 1, 2,…19, 20.

Con la gráfica y en relación al problema planteado, contesta:

¿Qué diferentes cantidades de libros y paquetes de útiles escolares pueden comprar?

Anótalas en la tabla siguiente y comprueba haciendo operaciones.

Cantidad de libros

Cantidad de paquetes de

útiles escolares

Total a pagar

0 32 0($80) + 32($50) = 1,600.00

1) ¿Cualquier pareja de puntos sobre la recta da solución al problema? Justifica tu respuesta.

_____________________________________________________________________

26

“Al inicio del año escolar tus padres tienen que comprar libros y útiles escolares para ti

y tus 2 hermanos. Los precios más bajos están en la papelería “La goma”. Ahí les

aceptan su vale del gobierno del Distrito Federal (que es de un monto de $1,600.00),

les ofrecen cada libro a $80.00 y el paquete de útiles escolares (2 cuadernos, dos

bolígrafos y dos lápices) a $50.00; pero deben gastar todo el vale exclusivamente en

esos dos tipos de productos”.

_____________________________________________________________________

2) ¿Qué intervalo de valores puede tomar x , en relación a la función? Justifica tu respuesta.

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3) ¿Qué intervalo de valores puede tomar y , en relación a la función? Justifica tu respuesta.

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4) La función f ( x )=−85

x+32 es de la forma f ( x )=m x+b. Con respecto a la cantidad de

libros y paquetes de útiles escolares, ¿Qué interpretación le das a “m”?

________________________________________________________________________

___________________________________________________________



6. ANEXOS

Escenario didáctico para la sesión 1.

Escenario didáctico para la sesión 2.

Hoja de Trabajo 1 (Act. 1A)

Hoja de Trabajo 2 (Act. 2A)

Hoja de Trabajo 1con respuestas esperadas (Act. 1A)

Hoja de Trabajo 2 con respuestas esperadas (Act. 2A)

27

Mom

ento

Función Actividades del Estudiante Actividades del Profesor Estrategiasdidácticas

Recursosdidácticos

Aper

tura

1. Reconocer el entorno.

1. Expresa verbalmente ejemplos de situaciones del entorno en las que se aprecie relación entre varios elementos (números, objetos, etc.)

1. Precisa las ideas de los alumnos. 1. Lluvia de ideas

1. Pintarrón2. Marcadores para pintarrón3. Guía del maestro para la Actividad 2.

Desa

rrol

lo

2. Adquirir y organizar nueva información.

2. Observa el desarrollo del ejemplo propuesto por el profesor.

1. Desarrolla de manera detallada el ejemplo.

1. Exposición del Profesor.

Computadora Proyector LOGO

3. Procesar nueva información.

3. Cuestiona al profesor respecto a sus dudas.4. De manera colaborativa con sus pares concluye el ejercicio iniciado por el profesor.

1. Resuelve las dudas surgidas en clase pero sin resolver el problema propuesto.2. Aprovecha los errores cometidos por los estudiantes para precisar conocimientos y propiciar el aprendizaje.

1. Trabajo colaborativo estudiante-estudiante.

Computadora LOGO

Cie

rre

4. Aplicar, transferir información.

5. Expresa verbalmente los nuevos conocimientos adquiridos.6. Toma nota de los nuevos conceptos.7. Realiza la Actividad 1

1. Precisa las ideas.2. Define conceptos, procedimientos y aprendizajes.

1. Lluvia de ideas.2. Exposición del Profesor.

1. Cuaderno de notas.2. Actividad 1A

5. Tomarconciencia(metacognición)

Se cuestiona sobre:¿Qué aprendí? ¿Que no pude aprender? ¿Por qué no pude aprender? ¿Para que me sirve este nuevo conocimiento?

ESCENARIO DIDÁCTICO PARA LA SESIÓN 1

El desarrollo detallado de la sesión 1 se encuentra en el documento DESARROLLO DE LA SESIÓN 1

Las actividades de profesor para la SESIÓN 1 se detallan en el documento denominado Act. 1M

La Actividad 1 del alumno se especifica en el documento denominado Act. 1A

28

ESCENARIO DIDÁCTICO PARA LA SESIÓN 2M

omen

to

Función Actividades del Estudiante Actividades del Profesor Estrategiasdidácticas

Recursosdidácticos

Aper

tura 1. Recuperar

conocimientos previos.

1. Expresa verbalmente ejemplos de situaciones del entorno en las que se aprecie relación entre varios elementos (números, objetos, etc.)

1. Expresa verbalmente ejemplos de situaciones que pueden modelarse como funciones.2. Retoma información previa.

1. Lluvia de ideas2. Exposición del profesor

1. Cuaderno de notas.2. Guía del maestro para la Actividad 2.

Desa

rrol

lo

2. Adquirir y organizar nueva información.

2. Atiende el desarrollo del ejemplo propuesto por el profesor.

1. Desarrolla de manera detallada el ejemplo.

Exposición del Profesor.

Computadora Proyector GeoGebra

3. Procesar nueva información.

3. Cuestiona al profesor respecto a sus dudas.4. Sigue el desarrollo del ejemplo dado en su computadora junto con un compañero.

1. Resuelve las dudas surgidas en clase pero sin resolver el problema propuesto.2. Aprovecha los errores cometidos por los estudiantes para precisar conocimientos y propiciar el aprendizaje.

Trabajo colaborativo estudiante-estudiante.

Computadora GeoGebra

Cie

rre

4. Aplicar, transferir información.

5. Expresa verbalmente los nuevos conocimientos adquiridos.6. Toma nota de los nuevos conceptos.7. Realiza la Actividad 2

1. Precisa las ideas.2. Define conceptos, procedimientos y aprendizajes.

Lluvia de ideas. Exposición del Profesor.

Cuaderno de notas.Actividad 2A

5. Tomarconciencia(metacognición)

Se cuestiona sobre:¿Qué aprendí? ¿Que no pude aprender? ¿Por qué no pude aprender? ¿Para que me sirve este nuevo conocimiento?

El desarrollo detallado de la sesión 2 se encuentra en el documento DESARROLLO DE LA SESIÓN 2

Las actividades del profesor para la SESIÓN 2 se detallan en el documento denominado Act. 2M

La Actividad 2 del alumno se especifica en el documento denominado Act. 2A

29

HOJA DE TRABAJO No. 1(Act. 1a)


Un estudiante de tercer año de preparatoria que trabaja en el departamento de telefonía

celular de Coppel gana semanalmente $350.00 de salario fijo, más una bonificación de $35.00

por cada teléfono celular que venda. ¿Cuánto ganaría si vendiera en la semana 15, 16,…19 o

20 teléfonos celulares?


anterior. Llena la tabla siguiente con los valores obtenidos. Se ha convenido que en la tabla se

llame xal valor de “entrada” y que se llame f (x) al valor de “salida”.





1617181920



¿Qué valor(es) cambia(n) durante este procedimiento?

___________________________________________________________________

¿Qué valor(es) NO cambia(n) durante el procedimiento?

________________________________________________________________________

________________________________________________________



PARA___________________________ DEV ____________________________ FIN

¿Qué figura se forma? ________________________________


(eje Y)?_____________________________________________________


EJEMPLO:

En LOGO también es posible, además de trabajar con algunas operaciones

predefinidas, trabajar con funciones que reciban dos o mas valores de “entrada”.


PRODUCTO: Número1 : Número2

Construye en LOGO el procedimiento mostrado en el ejemplo, (que reciba 3 valores de entrada,

m , x , b).

Ingresa valores de entrada para x = {0,3,…12,15} pero:

Caso I. Mantén 35 y cambia 450 por 250, corre el programa. Caso II. Mantén 35 y cambia ahora 250 por 150, corre nuevamente el programa. Llena las tablas siguientes y grafica ambos casos

Caso I Caso IIx f (x) x f (x)0 03 36 69 9

12 1215 15


tu respuesta.

__________________________________________________________________


___________________________________________________________________


procedimiento.


Llena las tablas siguientes y grafica ambos casos Caso III Caso IVx f (x) x f (x)0 03 36 69 9

12 1215 15


tu respuesta.-

___________________________________________________________________


___________________________________________________________________



mailto:[email protected]

HOJA DE TRABAJO No. 2(Act. 2a)


Obtén la función lineal en forma simbólica (en la forma f ( x )=m x+b)

Obtén su gráfica en GeoGebra (guarda el archivo con el nombre GeoGebra 2)

En la hoja de cálculo de GeoGebra obtén las parejas ( x, f(x) ) para x = 1, 2,…19, 20


¿Qué diferentes cantidades exactas de libros y paquetes de útiles escolares pueden

comprar?, anótalas en la tabla siguiente y comprueba haciendo operaciones.

Cantidad de libros


útiles escolares

Total a pagar

0 32 0($80) + 32($50) = 1,600.00


_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

“Al inicio del año escolar tus padres tienen que comprar libros y útiles escolares para

ti y tus 2 hermanos. Los precios más bajos están en la papelería “La goma”. Ahí les






________________________________________________________________________

__________________________________________________________________


________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

8) La función que obtuviste es de la forma f ( x )=m x+b. Con respecto a la cantidad de


________________________________________________________________________

___________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO No. 1(Respuestas esperadas)

Un estudiante de tercer año de preparatoria que trabaja en el departamento de telefonía

celular de Coppel gana semanalmente $350.00 de salario fijo, más una bonificación de $35.00

por cada teléfono celular que venda. ¿Cuánto ganaría si vendiera en la semana 15, 16,…19 o

20 teléfonos celulares?


anterior. Llena la tabla siguiente con los valores obtenidos. Se ha convenido que en la tabla se

llame xal valor de “entrada” y que se llame f (x) al valor de “salida”.





87516 91017 94518 98019 101520 1050



¿Qué valor(es) cambia(n) durante este procedimiento?

La cantidad de celulares vendidos y el salario total percibido, es decir los valores de

entrada y de salida_____________________

¿Qué valor(es) NO cambia(n) durante el procedimiento?

El salario fijo que es de $ 350 y la bonificación por pieza vendida que es de $35

PARA_SALARIO :ENTRADA ________ DEV __350 + 35*:ENTRADA ____ FIN

f ( x )=35 x+350



¿Qué figura se forma? ___una línea recta________________


(eje Y)?____que indica en donde se intersectan la recta y el eje de las ordenadas.______


EJEMPLO:

En LOGO también es posible, además de trabajar con algunas operaciones

predefinidas, trabajar con funciones que reciban dos o mas valores de “entrada”.


PRODUCTO: Número1 : Número2

Construye en LOGO el procedimiento mostrado en el ejemplo, (que reciba 3 valores de entrada,

m , x , b).

Ingresa valores de entrada para x = {0,3,…12,15} pero:

Caso I. Mantén 35 y cambia 450 por 250, corre el programa. Caso II. Mantén 35 y cambia ahora 250 por 150, corre nuevamente el programa. Llena las tablas siguientes y grafica ambos casos

Caso I Caso IIx f (x) x f (x)0 250 0 1503 355 3 2556 460 6 3609 565 9 465

12 670 12 57015 775 15 675


tu respuesta.

__si son paralelas porque la distancia entre ellas es constante_____________________


Es donde la recta se corta con el eje de las ordenadas____________________


procedimiento.


Llena las tablas siguientes y grafica ambos casos Caso III Caso IVx f (x) x f (x)0 450 0 4503 525 3 4956 600 6 5409 675 9 585

12 750 12 63015 825 15 675


tu respuesta._____no son paralelas porque se interceptan______________________


__que entre mas grande sea ese valor mas inclinada esta la recta___________________



HOJA DE TRABAJO No. 2 (respuestas esperadas)


Obtén la función lineal en forma simbólica (en la forma f ( x )=m x+b)

f ( x )=−85

x+32

Obtén su gráfica en GeoGebra (guarda el archivo con el nombre GeoGebra 2)

En la hoja de cálculo de GeoGebra obtén las parejas ( x, f(x) ) para x = 1, 2,…19, 20


¿Qué diferentes cantidades exactas de libros y paquetes de útiles escolares pueden

comprar?, anótalas en la tabla siguiente y comprueba haciendo operaciones.

Cantidad de libros


útiles escolares

Total a pagar

0 32 0($80) + 32($50) = 1,600.005 24 5($80) + 24($50) = 1,600.0010 16 10($80) + 16($50) = 1,600.0015 8 15($80) + 8($50) = 1,600.0020 0 20($80) + 0($50) = 1,600.00


“Al inicio del año escolar tus padres tienen que comprar libros y útiles escolares para

ti y tus 2 hermanos. Los precios más bajos están en la papelería “La goma”. Ahí les





No. Porque se trata de cantidades enteras pues no pueden comprarse un libro y 30.4

paquetes de útiles escolares_______________________________________________


Cualquier número real, desde - ∞ hasta + ∞ , porque la grafica se puede prolongar

infinitamente hacia ambos lados.


Cualquier número real, desde - ∞ hasta + ∞ , porque la grafica puede prolongarse

infinitamente hacia arriba y hacia abajo.

12) La función que obtuviste es de la forma f ( x )=m x+b. Con respecto a la cantidad de


A medida que compre más libros la cantidad de paquetes escolares que pueda comprar

disminuye. Es decir, por cada 5 libros que compre dejaría de comprar 8 paquetes de útiles

escolares. El valor de m da esta relación o “proporción”, es una razón de cambio.



BIBLIOGRAFIA:

Santos, T.L.M. (Julio, 2006). La Educación Matemática, resolución de problemas, y el empleo

de herramientas computacionales. Trabajo presentado en la XII Conferencia

Interamericana de Educación Matemática, celebrada en Querétaro, México.

Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2011. Año 6. Número

8. pp 35-54. Costa Rica

Propuesta didáctica de Conceptos de Función Lineal.

Science

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