UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

(SNNA)

PROYECTO DE AULA

AUTORES:

REINA CHAVEZ

JOSSELYN MAYORGA

JESSICA SALAZAR

GABRIELA SANCHEZ

AMANDA TAMAY

AREA:

EDUCACIÓN, COMERCIO Y ADMINISTRACIÓN

DOCENTE:

ING. ROBIN ANGUIZACA

PERÍODO: JUNIO-AGOSTO DEL 2013

MILAGRO-ECUADOR

1. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

SUMA:

(Grado 2)

(Grado 3)

]

El polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con

ceros. Así de llaman las columnas que faltan delante de uno de los polinomios,

para que quede encolumnados termino a término con el otro polinomio.

La recta se la puede transformar en suma, cambiando todos los signos del

segundo polinomio.

Ejercicios Adicionales:

Hallar la suma de A(x)+B(x)+C(x).

Q(x) =

R(x) =

Hallar la suma de Q(x)+R(x).

RESTA:

(El polinomio Q ordenado y completo)

(El polinomio R ordenado y completo)

(Grado 2)

(Grado 3)

La resta se la puede transformar en suma, cambiando todos los signos del

segundo polinomio.

]

Igual a la suma: el polinomio de mayor grado, se pueden completar los

primeros términos con ceros. Así se rellenan las columnas que faltan delante

de uno de los polinomios, para que quede encolumnados término a término con

el otro polinomio.

Ejercicios Adicionales:

2. DIVISIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

MULTIPLICACIÓN:

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del

segundo polinomio:

Se suman los monomios del mismo grado

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los

polinomios que se multiplican.

Tambien podemos de la siguiente manera:

(El polinomio Q ordenado y completo)

(El polinomio R ordenado y completo)

(El predominio R con todos los signos

cambiados).

Ejercicios Adicionales:

DIVISIÓN:

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio es incompleto dejamos

huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de la caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividiendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos del dividendo.

Procedemos igual que antes:

Volvemos hacer las mismas operaciones:

Es su resto porque su grado menor que el del divisor y por lo tanto no se puede seguir dividiendo.

3. FACTORIZACIÓN

CASO IV (TRINOMIO DE LA FORMA 1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer

término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio, o sea”X”.

2. En el primer factor después de x, se escribe el signo del segundo

término, en el segundo factor, después de x se escribe el signo que

resulta de multiplicar los signos del segundo y tercer término del

trinomio.

3. Luego se buscan dos números cuya suma sea el coeficiente del

segundo término y cuyo producto sea el tercer término del trinomio,

estos son los términos independientes de los binomios.

4. POTENCIA Y RADICACIÓN

POTENCIA: La potencia tiene dos partes, la base y el exponente que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.

Despejamos todos los términos uno por uno como son términos iguales los denominadores pasan a restar al numerador cuando tenemos términos semejantes “x” los exponentes los sumamos de acuerdo con la regla de los signos, y cuando tenemos potencia elevada a otra potencia los exponentes se multiplican. RADICACIÓN:

1. Descomponemos al 64 que vendría hacer , y los demás términos

pasan iguales.

2. Descomponemos los radicales individualmente.

3. Para desaparecer el radical los términos correspondientes a cada

potencia pasa a ser divididos para dos,

4. Procedemos a realizar las divisiones de cada uno de los términos

.

5. luego sacamos las potencias de cada uno de los términos y

obtenemos nuestro resultado.

5. RACIONALIZACIÓN Para racionalizar tienes que quitar la raíz del denominador y para hacer este tiene que multiplicar el denominador y el numerador (propiedad de invariancia) por el mismo número, este número es:

Haciendo se obtiene:

Cuando se multiplica la raíz cuadrada de un número por la raíz cuadrada del mismo número, es como elevar el cuadrado del número debajo de la raíz; entonces se quita la raíz:

Y así se terminó la racionalización.

6. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS SIMPLES

1. descomponemos factoralmente la siguiente expresión:

Nos damos cuenta que es una diferencia de cuadrados, debemos extraer la raíz cuadradas de sus términos

5

2. Descomponemos factoralmente la siguiente fracción:

Nos damos cuenta que es una suma se cubos perfectos, debemos extraer la raíz cubica, multiplicamos por la primera raíz al cuadrado, menos el producto de las raíces, más la tercera raíz al cuadrado.

7. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS

8. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 1. Para resolver la ecuación se agrupa los números a un lado del signo igual todos los términos que tengan incógnita (x) y juntar en el otro lado los términos que no tiene paréntesis (x). Para hacer esta transposición los signos que van delante de cada número cambian. Así que el que esta sumado en un lado para el otro restando y viceversa; y el que está multiplicando para al otro dividiendo.

2. Resuelve de forma separada las operaciones de cada lado del igual. Es decir para resolver la ecuación de primer grado debe resolver las operaciones hasta dejar un numero al lado del igual.

3. Finalmente para resolver la ecuación de primer grado el número que está multiplicando a la x para dividir el valor del otro lado del igual en nuestro caso:

9. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1. Igualar la ecuación a 0.

El primer paso será agrupar todos los términos de la ecuación en un lado del igual e igualar esa ecuación a cero.

Al pasar los términos se pasan a un lugar a otro del igual cambian de signo. Los positivos se convierten en negativos, y viceversa y lo mismo cuando se multiplica pasa a dividir.

2. A continuación operan los dígitos que tengan el mismo exponente. En

nuestro caso tenemos dos números elevados a , que al operar 6-3 nos da un

resultado de . La x como solo tenemos una se queda “x” y los números enteros 3-2 da un resultado de 1, por lo que nos quedara una ecuación como la que tenemos. Al resolver estas operaciones te quedas como una ecuación tipo

3. Apréndete esta Fórmula:

4. Aplicar la Formula:

Mira la imagen y comprueba como a cada letra de la formula le hemos aplicado el número de nuestra ecuación. 5. Resolver la fórmula:

Al resolver nuestro ejemplo se obtiene 2 resultados, que son las soluciones de la ecuación. Si lo que queda dentro de la raíz cuadrada tiene un valor negativo, la ecuación no tiene solución real siendo su solución un número complejo. 6. Simplificar:

Puedes hacer un paso más una voz que tenga el resultado de la ecuación. Deberás fijarte bien en los números para ver si los puedes dividir entre un mismo coeficiente para simplificar el resultado. En nuestro ejemplo podemos dividir entre dos tanto el 8 como 6.

10. INECUACIONDE DE PRIMER GRADO

Eliminamos los denominadores al multiplicar todos los términos por 20:

Dividimos ambos números de la inecuación entre -13), pero cambiamos el sentido de la inecuación el ser negativo el número que pasa dividiendo (fíjate el ≤ ha cambiado por ≥) este símbolo no cambiaría si el número que hemos pasado dividiendo fuera positivo y sucedería lo mismo si el numero pasara multiplicando.

En este caso la solución será todos los infinitos números que son mayores o iguales a 3 lo que se expresa como [3, ∞) Procedemos a Graficar en la recta numérica: -∞ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ∞+

11. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

-∞ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ∞+

1. Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las

raíces de la ecuación de segundo grado.

2. Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de

cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

3. La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan

el mismo signo que el polinomio.

Si el discriminante es igual a cero: Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R. El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

CONJUNTOS Unión La unión entre los conjuntos A, B, C es un conjunto formado por los elementos que representan al conjunto A o B o al conjunto C. Se denotaría por el símbolo U y se define como unión. En el aula hay cierto número de alumnos que hemos de determinar. Se

sabe que cada uno de los elementos presentes en el aula estudian al

menos una de las tres asignaturas: Matemáticas, Física y Química. Pues

bien en sucesivas veces se piden que

levanten la mano los que estudian:

a) Matemática y lo hacen 48

b) física y lo hacen 45

c) Química y lo hacen 49

d) Matemática y física y lo hacen28

e) Matemática y química y lo hacen 26

f) Física y química y lo hacen 28

g) Las 3 asignaturas y lo hacen 1

Se pregunta:

1. ¿Cuántos alumnos hay en el aula?

2. ¿Cuántos estudian Matemática y física pero no química?

3. ¿Cuántos estudian nada más que química?

DESARROLLO

A B C 1.- Procedemos a graficar cada uno de los datos que nos da el enunciado.

A intersección B tiene un total de

28 estudiantes. Matemática y

Física.

B intersección C tiene un total de 28

estudiantes.

Física y química

2.- Para saber cuántos alumnos estudian matemáticas y física pero no química procedemos a realizar lo siguiente:

3.- Para saber cuántos estudian solamente química procedemos a realizar lo siguiente:

Ejercicios Adicionales:

A intersección C tiene en total de 26

estudiantes.

Matemática y química.

A intersección B intersección C tiene un

total de 18 estudiantes.

Matemática y física y química.

Esto nos indica que el conjunto A y el

conjunto B deben ser resultado del

conjunto C.

Esto nos indica que el conjunto C debe ser

restado de la unión del conjunto a más la

unión del conjunto B así.

El resultado que obtenemos de la resta de

los conjuntos es 13.

Intersección La intersección entre los conjuntos A, B, C son un nuevo conjunto formado por

elementos que pertenecen al conjunto A, B, C. Se nota por y se define como intersección. De 1000 televidentes encuestados se obtiene la siguiente información:

391 son programas deportivos

230 son programas cómicos

545 son programas sobre el mundo animal

98 son programas cómicos y deportivos

152 son programas cómicos y mundo animal

88 son programas deportivos y mundo animal

90 no ven ninguno de esos tres programas

Se pregunta: ¿Cuántos entrevistados ven los tres tipos de programas?

1.- Procedemos a graficar cada uno de los datos que nos dan en la información del enunciado.

A y B en su intersección tienen un total

98 programas de TV.

B y C en su intersección tienen 152

programas de TV.

2.-Procedemos a realizar la suma total de cada uno de los conjuntos individualmente. 3.-Una vez obtenido los valores procedemos a reemplazar en la formula dada: Diferencia La diferencia entre los conjuntos A, B, C es un nuevo conjunto formado por los elementos A pero no pertenecen al conjunto B y viceversa de igual manera con los elementos del conjunto C. Se denota por el signo – y se define como diferencia. En una sección de 45 alumnos, 24 juegan futbol de los cuales solo 12 juegan futbol , 25 juegan básquet, 10 solo básquet, 19 juegan vóley y 5 solo vóley y 9 juegan futbol y básquet. Si todos practican al menos un deporte:

¿Cuántos juegan básquet y vóley?

¿Cuántos juegan futbol y no básquet?

¿Cuántos juegan vóley y no básquet?

1.- Graficamos cada uno de los conjuntos ya establecidos por un valor: 2.-Procedemos a encontrar cada uno de los valores de las intersecciones del conjuntos A, B, C. 3.-establecemos uno de los datos más importantes y relevantes

A y C en su intersección tienen 88

programas de TV.

Conjunto A= 391

Conjunto B= 230

Conjunto C= 545

Respuesta: 1166 -- Resultado de las suma de los

conjuntos.

Dice que no ven ningún programa

1000-90=910

Sumamos cada una de las intersecciones

Respuesta: 338

Esto quiere decir que:

1166-338=828

910-828=82

La suma de las

intersecciones del conjunto

A, B, C. tiene como dar

resultado 1845-27=18

datos con los que nueve juegan futbol y básquet este quiere decir que la intersección de A y B tienen que tener como suma total 9.

Ejercicio Adicional:

Complementario Sea A un conjunto dentro del conjunto universal.

El complemento de A se escribe = Sea:

FUNCIONES Dominio

Sea una función de variable real

. El conjunto para el cual se encuentra definida, constituye el dominio de la función. Este conjunto se

representa simbólicamente por . Se dijo anteriormente que el dominio de una función los constituyen los valores

posibles de , estos valores serán aquellos para los cuales la expresión este definida en los reales. A partir de eso podemos los

siguientes:

- Si contiene un cociente, este no existe si el denominador se hace cero,

por lo que se deben excluir del dominio aquellos valores de que provocan esta situación.

Determine el dominio de la función

Solución: Resulta evidente que la regla de la correspondencia dada no presenta restricción alguna.

Por lo tanto, -Si contiene una raíz de índice par, esta existirá solo si el radicando es positivo o cero.

Determine el dominio de la función

Solución:

El cociente está definido cuando es decir, cuando .

Por lo tanto

Rango Un procedimiento para obtener la imagen de una función , es el siguiente: Despejar algebraicamente la variable en la función.

El rango será el conjunto de valores que puede formar y la variable, y ha

la vez despejada la variable .

-Determine el rango de la función

Solución:

1.-

2.- 3.-

4.-

El cociente esta definido cuando , es decir, cuando .

Por lo tanto, Funciones Lineales

Tenemos la siguiente función 1.- Realizamos la tabla ubicando y :

-2

-1

0

1

2

2.- en la ubicación de la procedemos a reemplazar el valor de la incógnita y restado de

-2 2(-2)-3=-7

-1 2(-1)-3=-5

0 2(0)-3=-3

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6 7

0 -1 1 -2 2

1 2(1)-3=-1

2 2(2)-3=1

3.-Luego de obtener los valores de la tabla tomara los valores de:

-2 -7

-1 -5

0 -3

1 -1

2 1

4.- graficamos los puntos en el plano cartesiano:

Ecuación de la Recta: 1.- Tenemos los siguientes puntos a los

cuales les damos el valor de y .

2.- Procedemos a ubicar los puntos en el

plano cartesiano debidamente en el eje de las y en el eje de las .

3.- Procedemos a aplicar la regla para la ecuación de la recta que es:

Pendiente: 1. Para el cálculo de la pendiente de una recta conociendo dos puntos se

requiere realizar lo siguiente:

2. Con los puntos dados procedemos a graficarlos en la recta.

3. aplicamos la regla de la pendiente.

En esta fórmula procedemos a reemplazar los valores del plano.

Hallar b: 1. para calcular el punto b conociendo 2 o 1 punto y la pendiente:

Aplicamos la regla

2. Procedemos a reemplazar los valores en las incógnitas propuestas:

Paralelismo

1. Verificamos si las funciones cumplen con la característica para ser

paralelas:

La regla dice que las funciones son paralelas cuando y son

iguales

Y=3x+10 Y=3x-10

2. Luego de haber comprobado si cumplen con las características

procedemos a reemplazar el valor de x y sumando 10:

x y

-2 3(-2)+10=4

-1 3(-1)+10=6

0 3(0)+110=10

En m1 está el #3

en m2 está el #3

entonces si cumple con la regla.

1er

ecuación

1 3(1)+10=13

2 3(2)+10=16

3. Procedemos a reemplazar el valor xy restarle 10 a la segunda

ecuación:

x y

-2 3(-2)-10=-16

-1 3(-1)-10=-13

0 3(0)-10=-10

1 3(1)-10=-7

2 3(2)-10=-4

4. Por los valores obtenidos en las dos ecuaciones procedemos a

graficarlos en la recta:

Perpendicular

1.-verificamos si la función dada cumple con los requisitos de la regla: Y=2x+10

Y=

2.-La regla dice que para sacar la perpendicular debemos restar m1 y m2:

3.-Cuando el producto de su resta da menos 1 la recta sin perpendicular. 4.- Luego de haber comprobado si cumplía con las características procedemos a reemplazar los valores en los siguientes ejes: x y

2da

ecuación

-2 2(-2)+10=6

-1 2(-1)+10=8

0 2(0)+10=10

1 2(1)+10=12

2 2(2)+10=14

5.- procedemos a reemplazar los valores en los ejes (x -y) de la segunda ecuación: x y

-2

-1

0

1

2

6.- con los valores obtenidos en las 2 ecuaciones procedemos a aplicarlo en el plano cartesiano.

SISTEMAS DE 3 ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS

MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN. Para resolver un sistema de ecuación lineal con tres incógnitas por el método de reducción, se recomienda los siguientes pasos:

3x + 2y + z = 1

5x + 3y + 4z = 2

x + y – z = 1

1) Ordenamos, ponemos como primera ecuación lo que tenga como

coeficiente de x = 1 o -1 en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z cambiando el orden de las incógnitas:

1. x + y – z = 1 2. 3x + 2y + z = 1 3. 5x + 3y + 4z = 2

2) Se preparan dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convengan. La idea es igualar los coeficiente de una mínima variable pero con signo contrario para poder suprimirlas: Hacemos la reducción con la primera y segunda ecuación para eliminar la x en la segunda ecuación: 3x + 2y + z = 1 segunda (-3) x + y – z = 1 primera 3x + 2y + z = 1 - 3x – 3y + 3z = -3 // - y + 4z = - 2 2da. Ecuación.

3) Hacemos lo mismo en la ecuación 1ra y 3ra ecuación para eliminar el término en x.

5x + 3y + 4z = 2 tercera (-5) x + y – z = 1 primera 5x + 3y + 4 z = 1 - 5x – 5y + 5z = -5

// - 2y + 9z = - 3 3ra. Ecuación. 4) Tenemos las ecuaciones 2da y 3ra. Transformadas para hacer

reducción y eliminar el término en y.

-2y + 9z = -3 tercera de la ecuación obtenida en el paso 3

(-2) -y + 4z = -2 segunda de la ecuación obtenida en el paso 2 -2y + 9z = -3 2y – 8z = 4 // z = 1

5) Obtenemos el sistema equivalente escalonado:

x – y – z = 1 –y + 4z = -2 z = 1

6) Como último paso procederemos a reemplazar los valores de las

incógnitas encontradas:

z = 1 en las ecuaciones determinadas en el paso 5

- y + 4z = - 2 y + 4(1) = -2 y + 4 = -2 y = -6

x – y – z = 1 x – 6 – 1 = 1 x = -6 + 1 + 1 x = -4

SISTEMAS DE 3 ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS

MÉTODO DE IGUALACIÓN

El método de igualación consiste en despejar una misma variable de las 3 ecuaciones y luego igualarlas todas:

x + y + z = 11 (I)

x – y + 3z = 13 (II)

2x + 2y – z = 7 (III)

Despejemos “x” de todas las ecuaciones

x = 11 – y – z (IV)

x = 13 + y – 3z (V)

x = (7 – 2y + z)/2 (VI)

Como al lado izquierdo de (IV), (V) y (VI) tenemos el mismo valor “x” podemos por la ley de transitividad igualar los lados derechos

11 – y – z = 13 + y – 3z (VII) 13 + y – 3z = (7 – 2y + z)/2 (VIII)

Trabajamos con (VII): 11 – 13 = y – 3z + y + z -2 = 2y – 2z (IX)

Ahora con (VIII): 13 – (7/2) = -y + (z/2) – y + 3z 19/2 0 -2y + (7/2) z 19 = -4y +7z (x)

Luego hemos producido nuestro inicial sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas a uno de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

2y – 2z = -2 (XI) -4y + 7z = 19 (XII)

Resolvamos este también por igualación, despejando “y” en ambos casos. En (XI)

2y = 2z – 2 y = (2z – 2)/2 y = z – 1 (XIII)

En (XII)

7z – 19 = 4y (7z – 19)/4 = y (XIV)

Igualando (XIII) y (XIV)

z -1 = (7z – 19)/4 4 (z-1) = 7z – 19 4z – 4 = 7z – 19 -4 + 19 = 7z – 4z 15 = 3z 15/3 = z 5 = z

Hemos encontrado el valor de Zi debemos sustituirlo en (XI) o en (XII) para encontrar el valor de “y” (lo voy hacer en ambas ecuaciones pero en realidad solo se requiere hacerlo en una:

2y – 2(5) = -z (XI) 2y – 10 = -2 2y = -2 +10 2y = 8 y = 8/2 y = 4 -4y + 7(5) = 19 (XII) -4y + 35 = 19 35 – 19 = 4y 16 = 4y 16/4 = y y = 4

Ya tenemos valores para “y” y para “z”, los sustituimos en (i), en (ii) o en (iii) (de nuevo: solo se requiere hacerlo en una de las 3 ecuaciones, pero lo voy a hacer en los 3 para que veas que da igual)

x + 4 + 5 = 11 (i) x + 9 = 11 x = 11 – 9 x = 2 x – 4 + 3(5) = 13 (ii) x – 4 + 15 = 13 x +11 = 13 x = 13 – 11 x = 2 2x + 2(4) – 5 = 7 (iii) 2x + 8 – 5 = 7 2x + 3 = 7 2x = 7 – 3 2x = 4 x = 4/2 x = 2

El sistema está resuelto: x = 2 y = 4 z = 5

Sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

Método de Sustitución 2x – y + z = -3 (1) 3x + 2y – z = 1 (2) x – 3y + 2z = 6 (3) 1) Debemos despejar una incógnita de una de las ecuaciones. En este caso escogimos la incógnita z de la primera ecuación z = -3 -2x + y (4) 2) Luego sustituimos la ecuación (4) en las otras dos ecuaciones que no hemos utilizado es decir las ecuaciones (2) Y (3) 3x + 2y – (-3 – 2x +y) =1 - Sustitución de (4) en (2) 3x + 2y + 3 + 2x – y =1 5x + y = 1- 3 5x + y = -2 = (5) x -3y + 2 (-3 -2x +y) =6 - Sustitución de (4) en (3) x – 3y – 6 – 4x + 2y = -6 -3x –y = -6 +6 -3x – y = 0 (6) 3) Tenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas (5) y (6), vamos a solucionar este sistema por sustitución

- Reducido el sistema original; de 2 ecuaciones con 2 incógnitas vamos a seleccionar una incógnita para despejar y luego sustituir. En este caso hemos seleccionado a y.

5x + y = -2 y = -2 -5x

4) Sustituimos (7) en (6) y = -2 -5x - 3x – (-2 -5x) = 0 Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita - 3x + 2 +5x = 0 2x = - 2 x = -2/2 x = -1

5) Sustituimos el valor de x en la ecuación (7) y = -2 -5 (-1) y = - 2 +5 y = 3 6) Sustituimos el valor de x y y en la ecuación (4) z = -3 -2(-1) + 3 z = 2

SISTEMAS DE 3 ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS POR MATRICES

x y z b

x +y +z =11 2x -y +z =5 3x +2y +z =24

x + y + z = 11 2x – y + z = 5 1) Escribimos unas ecuaciones con 3 incógnitas 3x + 2y +z = 24 2) Ordenamos la ecuación y sacamos cada uno de sus Coeficientes para obtener la determinante 3) Para sacar la determinante seguimos los siguientes pasos:

- Cogemos los números de la primera fila que es el 1. Eliminamos las primeras columnas y a la primera fila, utilizamos los 4 números que nos quedan: -1 1

2 1

1 1 1 2 -1 1 -1 1 2 1 2 -1 3 2 1 = 1 2 1 -1 3 1 +1 3 2 = 1 (-1 -2) -1 (2-3) + 1 (4+3) = 1 (-3) -1 (-1) + 1(7) = -3 + 1 +7 = 5 Determinante

- Siempre colocaremos el signo (-) cogemos el 2do. número de la

primera fila 1, eliminamos la 2da. Columna y la 2da. fila, utilizamos los 4 números restantes: 2 1

3 1

- Hacemos lo mismo con el 3er. número de la primera fila. Luego para resolver las determinante de 2x2, procedemos a:

-1 1 1 multiplicamos en forma diagonal el 1er. numero de la primera fila, Luego multiplicamos

1 1 2 el número de la segunda columna con el de la 2da. Fila primera Columna: el valor de la multiplicación lo colocamos con signo – Ejemplo: 1(-1 -2) Este paso lo seguimos realizando con el resto.

- Destruimos los paréntesis y multiplicamos. Eso sumamos o restamos dependiendo de los signos. Esa es la respuesta. = 5

4) Sacamos la incógnita de x, y, z.

- Para sacar la incógnita de x, formamos la matriz, pero reemplazamos los valores x por los de B así:

11 +1 +1

X 5 -1 +1 -11 5 1 5 -1 24 +2 +1 = 11 2 1 -1 24 1 +1 242 5 5 Dividiéndolo para la determinante

- Hacemos los pasos que utilizamos para sacar la determinante

=

=

=

=

x = 4 Este es el valor de x

5) Sacamos la incógnita de Y, para sacar la incógnita de Y formamos la matriz, reemplazamos a los valores de Y por los de B: Valor de B

1 11 1

Y 2 5 1

3 24 1

5 determinante

- Hacemos el mismo paso que utilizamos para sacar la incógnita x.

5 1 2 1 2 5 = 124 1 - 11 3 1 +1 3 24

=

=

=

Y = 3

6) Sacamos la incógnita Z, para sacar esta incógnita formamos la matriz, reemplazamos los valores de Z por los de B.

1 1 11

Z 2 - 1 5

3 2 24

5 Valor de la B

Se la divide por la determinante

- Hacemos el mismo procedimiento que utilizamos en X, Y.

-15 2 5 2 -1 = 12 24 - 1 3 24 +11 3 2

=

=

=

Z = 2

DISTANCIA DE UN PUNTO A LA RECTA

Ecuación General de L1

1.- Determinar si la recta que pasa por los puntos A y E es paralela a L1.

Las rectas tienen pendientes diferentes

2.- Determinar si la recta que pasa por los puntos A yD es perpendicular a L1.

Las Rectas L1 y L2 no son Perpendiculares

3.- Calcular la distancia del punto E a la recta L1.

Cálculo de la distancia de un punto a la recta

4.- Determinar la ecuación de la recta paralela a L1 que pasa por el punto D

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente

5.- Determinar la ecuación de la recta perpendicular a L1 que pasa por el punto E

Cálculo de la recta perpendicular a L1

6.- Calcular la distancia del punto E a la recta perpendicular a L1, que pasa por A

Distancia de E a la Perpendicular a L1

7.- Calcular la distancia del punto D a la recta paralela a L1, que pasa por E

Distancia del punto D a la recta paralela a L1

Hallar la distancia entre r ≡ 3 x - 4 y + 4 = 0 y s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.

Calcula la distancia del punto P(2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0.

CONCLUSION

A lo largo del siguiente proyecto abordamos como influye el orden, la paciencia,

la dedicación en cuanto al desarrollo de ejercicios matemáticos pues el llevar

una secuencia en la resolución de ejercicios se facilita de una manera

sumamente radical.

Hemos concluido con que cada tema matemático lleva un proceso el mismo

que se divide en pequeños procesos los mismos que facilitan el desarrollo y si

utilizaremos estos procesos de paso a paso todo ejercicio se nos haría mucho

más fácil dado que se desglosa parte por parte del ejercicio.

La elaboración de este proyecto de aula nos ha ayudado a comprender de

mejor manera los temas visto a lo largo del módulo 3 del CURSO DE

NIVELACION Y ADMISION pues ha sido un repaso en general de todo sus

temas, el explicarlos y desarrollarlo una y otra vez nos ha ayudado en gran

manera a aclarar las pequeñas o grandes dudas que algún momento pudimos

haber tenido.

La constancia, orden y perseverancia son las mejores cualidades del ser

humano y más cuando este las combina en la resolución de un problema

matemático, las personas deberían investigar el proceso desglosado de cada

tema así se dejara de satanizar a las matemáticas dado que es una asignatura

no más complicada que otras solo necesita de un poco de concentración y

dedicación.