Maestría Ingeniería en NegociosMaestría Ingeniería en Negocios

MATEMÁTICAS FINANCIERASMATEMÁTICAS FINANCIERAS

Maestro: Dr. Noel Álvarez

TEMAEJERCICIOS RESUELTOS

MAESTRANTES• Maridalia Mejía Solórzano• Alejandra Carrillo• Giovanni Rojas• Carlos Valle• Fernando Marín • Paola Cartagena• Ninoska Banegas• Gloria Duarte• Wilfredo Oseguera• Iliana Cruz

Tegucigalpa M.D.C. 9 de mayo del 2011

3

Primera parte

a.- (ax 4)¿ = a4 x9

b.- (a2 y5 ) (b2 y5 )=a2b2 y10c.-(a3 x4 ) (a2 y3 ) (x2 y6)=a5 x6 y9d.- (3 x5 ) (5x2 ) (2 x6 )=30 x13

e.- y2

y = y

f.-y5

y6= y−1

= 1y

g.- (x2 y3 )(x y5)y4 y3

= x3 y8

y7

= x3 y 8−7

= x3 yh.- (d¿¿2)5¿ = d10

i.-¿=i9i6

= i15

j.- (3 x¿¿2)4¿¿¿ =(81 x¿¿8)(x15)(9 x4)(81 x8)

¿

= x15

9 x4

k.-( 5x/ x2)3= 125x3

x6

= 125 x3 x−6

= 125 x−3

= 1251

x3

= 125

125¿

3

¿

l.- (x3 y5)2 = x6 y10

m.- ( x3 / y5 ) 2 = x6y10

3n.- ¿= ¿

= x12 y21

y21

= x12

3

ñ.- ( 2 z5x3 y5 ) = 8 z15

x9 y15

o.- (1+0.06 ) (1+0.06 ) = ( 1.06 ) = 2.40

p.- (1.805)(1.803)(1.802)

1.801 = 1.8010

1.801

= 1.8010−1

= 1.809

2. Simplifiquea.- 10 = 1

b.- ¿ = 1 x 1 = 1

c.- b15 x b

14 = b

15 +¿

14 ¿ = b

920

d.- b1 /5

b1 /4 = b

15 −¿

14 ¿ = b

¿ 120 =

1

b120

e.- ( b3 /4 x b6 /8b1/4 )1/4

= ( b3/2b1 /4 )1/4

¿¿¿

= b5/16

f.- (x−2 ) (x−5 ) (x3 )= 1

X2 . 1

X3 . X3

= X3

X7 = x3−7 = x−4 =

1

X4

g.- ( y−2)3 = y−6 = 1

y6

h.- ( y−3)−5 ( y2)−2 = y15 . y−4 = y11

i.- (a−1/4)−2 = a2/4 = a1/2

j.- (a−2/5) = 1

a2 /5 =

15√a2

k.- ( y¿¿−4/7)4 ¿¿¿ = ¿¿¿ = ¿¿

= y32/7

y−1/5 = y

327

+¿15 ¿ = y−153 /35 =

1

y153/35

3 12 15

L.- (125−1/5) (125)−2 /5 = 125−3 /5 = 1

1253/5 =

15√1253

m.- (1+0.075)−5 (1+0.075 ) = 1.075−4 = 1

1.0754

n.- (1.60)−4 ¿¿ = (1.60)−5

1 =

1

(1.60)5

SEGUNDA PARTEEjercicios página 48

1. Se obtiene un crédito por $180,000.00 a 160 días con 30% simple. ¿Qué cantidad deber de pagar al vencerse su deuda?.C=180,000T= 160 díasi= 30% 0.30= 0.00083 360

M= 180,000 (1+(0.00083)(160)M= 180,000 (1.133)M= 204, 000

I=204,000 -180,000= 24,000

2. Si una persona deposita hoy $50,000.00 a plazo fijo con 2.20% de interés mensual, y no retira su depósito y reinvierte sus interés, ¿Cuánto tendrá en su cuenta 3 meses después si la tasa de interés no varía?C=50,000i = 2.20% mensual = 0.022t = 3 meses

M1= 50,000(1+0.022)(1)M=51,100

M2= 51,100(1+0.022)(1)M= 52,224.20

M3= 52,224.20(1+0.022)(1)M= 53,373.13

3. María Eugenia desea adquirir un inmueble dentro de 2 años. Supone que el enganche que habrá de pagar hacia esas fechas será de $60,000.00 si desea tener esa cantidad dentro de 2 años, ¿Qué cantidad debe invertir en su depósito de renta fija que rinde 3% de interés mensual simple?M=60,000t = 2 años= 24 mesesi = 0.03 mensual

valor presente c=___60,000__= 60,000 =34, 883.72_m__ = c (1+(0.03)(24) 1.72 (1+it)

4. Cuál es el valor actual de un pagaré por $5,000.00 que vence el 15 de diciembre si se considera un interés del 24% anual simple y hoy es 11 de junio.M= 5,000t = 11 de julio a 15 de diciembre= 155 díasi = 25 /año= 0.25/360= 6.94

c=_____50,000_____= _5,000 = 4,516.95 (1+(0.000694)(154) 1.10694

5. Un mes después de haber obtenido un préstamo, José Luis debe pagar exactamente $. 850.00 ¿Cuánto obtuvo en préstamo, si el pago que debe hacer incluye intereses al 40% anual?

C=M/((1+it))M = 850.00i = 0.40 / 12 = 0.03333t = 1 mes

C=850/(1+0.0333 (1)) = 822.58Comprobación:M = C (1 + it)850 = 822.58 (1 + 0.03333 (1)850 = 822.58 (1.03333)850 = 850

6. Una persona que cobra $. 5000.00 mensuales de sueldo es despedida por problemas financieros de la empresa. Al despedir al trabajador se le paga su correspondiente indemnización; que incluyendo 3 meses de sueldo, días por antigüedad y descuentos por impuestos, arroja un saldo neto de $. 45,000.00 ¿Qué ingreso fijo mensual le correspondería al ahora desempleado depositar el monto de su liquidación en una inversión que paga 18% de interés simple anual? M=C (1+it)

C = 45,000i = 0.18 / 12 = 0.015t = 3 meses

M = 45,0000 (1+0.015 (3)M = 45,000 (1.045)M = 47,025

47,025 / 3 = 15,6755,000 x 3 = 15,00018% Interés 675

7. ¿Cuánto debe pagar por concepto de intereses una persona que tiene una deuda por $. 22,000.00 si la liquida 6 meses después y le cobran intereses a razón del 26% anual simple?

M=C (1+it)

C = 22,000i = 0.26 / 12 = 0.021666t = 6 meses

M = 22,0000 (1+0.021666 (6)M = 22,000 (1.13)M = 24,860

I = 24,860 – 22,000 = 2,860

8. Salomé tiene 2 deudas:a) Le debe $. 80,000.00 a un banco que cobra 3.5% mensual.b) Compró a crédito un automóvil; pagó determinado enganche y le quedó un saldo de $. 125,000.00 que comenzará a pagar dentro de 8 meses; mientras tanto, debe pagar 24% de interés simple anual durante ese lapso.

a) M=C (1+it)

C = 80,000i = 0.035 mensualt = 6 meses

M = 80,0000 (1+ 0.035 (6)M = 96,800

I = 96,800 – 80,000 = 16,800

b) M=C (1+it)

C = 125,000i = 0.24 / 12 = 0.02t = 6 meses

M = 125,0000 (1+ 0.02 (6)M = 140,000I = 140,000 – 125,000 = 15,000Total intereses = 31,800

Ejercicios de la página 54

21. Encontrar el Interés Simple

a) Real

Formula: I = citI = ?c = $1.500,00t = 60 díasi = 35%

I = (1500)(35%)(60/360)Ia = $87,50

b) Aproximado

Ib = $88,00

23. Con Tiempo Ordinario ¿Días Transcurridos del 15 marzo al 18 diciembre?

Meses: 9Dias Extras: 3Calculo:(Meses x 30 Dias) + Dias Extras

273 dias

25. Calcular Tasa Interés Simple Anual

Formula: I = citI = $500,00c = $2.500,00t = 6 Mesesi = ?

i = I/cti = 500/(2500)(6/12)i = 40%

27. ¿En qué tiempo $ 2000.00 se convierten en $2 500.00 a 54% de interés simple anual?C = 2000M = 2500i = 54%

M = C (1+it)

25002000

= 1+ 0.54 t

1.25 = 1+0.54 t

1.25 – 1 = 0.54 t

0.25 = 0.54 t

0.250.54

= t

t = 0.46 años t = 5.5 meses

29. El señor Martínez obtiene un préstamo por $2000.00 y paga después de 8 meses $2400.00¿Qué tasa de interés mensual simple le cobraron?

C= $ 200N=8 meses M=$2,400 i=?

M = C (1+it)

2400 = 2000 (1+i8)

24002000

= 1+i8

1.2 = 1+i8

1.2 – 1 = i8

0.2 = i8

i = 0.28

i = 0.025

i =2.5%

R/ Le cobraron 2.5% mensual.

31. ¿Cuál es la tasa de interés simple proporcional bimestral equivalente a una tasa de 30%? re = 30%P= 6

re = ( 1+ rn¿n-1

0.03 = (1+ r6¿6-1

1+0.03= (1+ r6¿6

6√1.30 = 1+ r6

1.0446 = 1+ r6

1.0446 – 1 = r6

6 (0.0446) = r

r = 0.268.1

r = 26.81%

33. ¿Cuál es la fecha de vencimiento de un pagaré contratado el 15 de junio un plazo de 180 días?  

Tiempo Días15 de junio-11 de junio 30

11 de agosto 6015 de septiembre 90

15 de octubre 12015 de noviembre 15015 de diciembre 180

35. Una persona adquiere una licuadora que cuesta $320.00 el 14 de agosto y la paga el 26 de noviembre con un abono de $350.00. ¿Qué tasa de interés simple anual exacto pagó?

14 agosto – 14 septiembre = 30 días14 septiembre – 14 octubre = 30 días14 octubre – 14 noviembre = 30 días14 noviembre-26noviembre = 12 dias Total = 102 días

M = $ 350 M = C (1+iT)C = $ 320 M/C = 1+iTT = 102 días M/C -1 i = ? ---------- = i T 350/320 -1 1.09375 – 1 0.09375i = -------------- = ---------------- = ------------- = 0.00092 x 365 x 100 = 102 102 102

37. Investíguese qué tasa de interés simple mensual carga alguna tienda de departamento sobre cuentas de crédito corriente.

R. Tiendas Novedades del 6 en San Pedro Sula, que es una tienda que vende zapatos americanos tiene un 6.5% de tasa de interés simple mensual.

i = 33.58%

Ejercicios de la página 120

3. Los precios de la canasta básica de alimentación se han incrementado a una tasa anual de 25% durante 3 años. Si el precio actual es de $ 765.00, ¿cuál era su valor hace 3 años?

R. tM = 765 $ M = C (1+i)i = 0.25 MT = 3 C = ------- t (1+i) 765 765 C = ------- 3 = ---------- = 391.67 = Va (1+0.25) 1.953135. Los Salarios mínimos se han incrementado a una tasa del 13% anual promedio durante los últimos 4 años. Si continuara dicha tendencia, ¿en qué tiempo se triplicará su valor nominal?.

N= Ln 3 Ln 3 Ln 3 1.0986 --------- = -------- = ------------ = ----------- = 8.99 = 9 años Ln (1 + i) Ln (1+0.13) Ln 1.13 0.12221

7. Un país posee 5 refinerías para proveerse de combustible. Su producción actual es de 1,000,000.00 barriles diarios y trabajan al 80% de su capacidad. Si el crecimiento promedio del consumo ha sido de 4% anual, ¿en qué tiempo requerirá dicho país poner en operación una nueva refinería?1,000,000/x = 0.80/11,000,000/0.80 = x1,250,000 = xT = log M – log Clog (1+i)T= log 1,250,000 – log 1,000,000 Log (1+0.04)T= 5.69 años.

9. Una deuda de $400,000 debe liquidarse con dos pagos iguales a 60 y 120 días. ¿Cuál es el importe de dichos pagos si la tasa de interés anual es de 26% con capitalización bimestral?

c = 400,000 i = 0.26/6 = 0.04333 t = 60/60 = 1 M1 = c (1 + i)tM = 400,000 (1 + 0.04333)1M = 417,333.33 M2 = 400,000 (1.04333)2M2 = 435,415

417,333.33 + 435,415 / 2 = 426,374.17

11. Determine el periodo de capitalización y la frecuencia de conversión de:a) Una inversión en certificados de la Tesorería de la Federación con vencimiento cada 91 días.360/91 = 3.96 = 4 trimestresb) Una inversión en cuenta de ahorros que paga intereses del 20% anual semestralmente.0.20/2 = 0.10 = 10% c) Una inversión en pagarés liquidables cada 28 días.360/28 = 12.86 = 12 meses

13. Un banco ofrece las siguientes alternativas de inversión: a) Depósito a plazo fijo de un año 12.0%b) Depósito a plazo fijo capitalizable mensualmente 11.5%c) Depósito a plazo fijo con intereses capitalizables trimestralmente 11.6%d) Depósito a plazo fijo con interés capitalizable semestralmente 11.8%Si desea invertir $50,000 ¿Cuál es la mejor alternativa?

a) n= 1 año; ʲ =12.0% C= $50000

M=C(1+ ʲ )ⁿM = 50000(1 + 0.13)M= 50000(1.13)M = $56,000

b) n= 1 año; P = 12 ʲ =11.5% C= $50000

n*p = 1*12 = 12

M=C(1+ ʲ )ⁿM = 50000(1 + 0.115/12)¹²M= 50000(1.0095)¹²M = $56,062.97

c) n= 1 año; P = 4 ʲ =11.6% C= $50000

M=C(1+ ʲ )ⁿM = 50000(1 + 0.116/4)M= 50000(1.029)M = $56,057.21

d) n= 1 año; P = 2; ʲ =11.8%; C= $50000n*p = 1*2 = 2

M=C(1+ ʲ )ⁿM = 50000(1 + 0.118/2)²M= 50000(1.059)²

4

M = $56,074.05

Respuesta: le conviene la opción d

15. ¿Cuál será el monto de una cuenta de ahorros en la que se depositan $50,000 durante 10 años, si la tasa de interés es de 8% capitalizable semestralmente?

a) ¿Cuál será el monto en 15 años? b) ¿en 20 años?

n= 10 años; P = 2; ʲ =8%; C= $50000n*p = 10*2 = 20

M=C(1+ ʲ )ⁿM = 50000(1 + 0.08/2)M= 50000(1.04)M= 50000(2.19114)M = $109,556.16

a. n= 15 años; P = 2; ʲ =8%; C= $50000n*p = 15*2 = 30

M=C(1+ ʲ )ⁿM = 50000(1 + 0.08/2)M= 50000(1.04)M= 50000(3.243)M = $162,169,88

b. n= 20 años; P = 2; ʲ =8%; C= $50000n*p = 20*2 = 40

M=C(1+ ʲ )ⁿM = 50000(1 + 0.08/2)M= 50000(1.04)M= 50000(4.801)M = $240,051.03

17. las ventas al menudeo se han incrementado a razón de 3% anual. Si el número de unidades vendidas fue de 100,000 en el año. ¿Cuáles son las ventas estimadas para dentro de 5 años si se mantiene el ritmo de crecimiento?

n= 5 años; ʲ =3%; C= $100,000

M=C(1+ ʲ )ⁿM = 100,000(1 + 0.03)M= 50000(1.03)

20

20

30

30

40

40

5

5

M= 50000(1.1593)M = 115,927 unidades

19. Una persona deposita $5,000.00 en una cuenta de ahorros que paga el 10% de interés anual convertible semestralmente ¿Cuál será el importe reunido después de 28 meses? Calcular por el método exacto y por el aproximado.

n= 28 meses = 2.33 años; P = 2; ʲ =10%; C= $5,000n*p = 2.33*2 = 4.66M=C(1+ ʲ )ⁿM = 5000(1 + 0.10/2)M= 5000(1.05)M= 5000(1.2553)M = $6,276.42

21.- Determine la tasa nominal de interés J equivalente a una tasa efectiva de:a) i=15% m= 1J= m [〖(1+i)〗^(1/m)- 1] J= 1 [(〖1+0.15)〗^(1/1)- 1]J= 1 (〖1.15)〗^1- 1J= 1 (1.15- 1)J= 1 (0.15)J= 0.15J= 15%

b) i= 15% m= 2J= m [〖(1+i)〗^(1/m)- 1] J= 2 [(〖1+0.15)〗^(1/2)- 1]J= 2 (〖1.15)〗^(1/2)- 1J= 2 (1.072380- 1)J= 2 (0.072380)J= 0.1447J= 14.47%

c) i=15% m= 4J= 4 [(〖1+0.15)〗^(1/4)- 1]J= 4 (〖1.15)〗^(1/4)- 1J= 4 (1.035558- 1)J= 4 (0.035558)J= 0.1422J= 14.22%

d) i=15% m= 12J= 12 [(〖1+0.15)〗^(1/12)- 1]J= 12 (〖1.15)〗^(1/12)- 1

4.66

4.66

J= 12(1.011667- 1)J= 12 (0.011667)J= 0.1400J= 14%

e) i=26% m= 12J= 12 [(〖1+0.26)〗^(1/12)- 1]J= 12 (〖1.26)〗^(1/12)- 1J= 12(1.019367- 1)J= 12(0.019367)J= 0.2324J= 23.24%

EJECICIOS PAGINA 148 (anualidades)

13.- Una empresa contrata una deuda de 100000 con un banco. Si este carga a este tipo de préstamos 22% anual convertible mensualmente, ¿Cuánto tendría que pagar mensualmente la empresa para saldar su deuda dentro de 15 meses?C= 100000i= 0.22/12 =0.01833t= 15 meses

R= ci

1−(1+i)−t

R= 100000 (0.01833)1−(1+0.01833)−15

R= 1833.33

1−(1.01833)−15

R= 1833.33

1−0.761466153

R= 1833.33

0.238533847R=7, 685.84

15.- Una persona contrato una deuda que le obliga a pagar 150000 el 1 de enero de cada uno de varios años. Como ahora se da cuenta de que le seria más fácil pagar haciendo abonos trimestrales vencidos ¿de cuánto tendrían que ser los pagos en el nuevo plan, si se considera el interés 8% convertible trimestralmente?C= 150000I= 0.08/4 = 0.02t= 1x4 = 4

R= ci

1−(1+i)−t

R= 150000(0.02)1−(1+0.02)−4

R= 3000

1−(1.02)−4

R= 3000

1−0.923845426

R= 3000

0.076154574R= 39, 393.56

17.- Para saldar un préstamo de 785000 contratado hoy, el deudor acuerda hacer 5 pagos semestrales, iguales y vencidos y, finalmente, un pago único de 300000, 2 años después de realizado el último pago semestral ¿De cuánto deberá ser cada uno de los pagos iguales, si el interés es de 25% capitalizable semestralmente?C = 785000i = 0.25/2 = 0.125t = 5

R= ci

1−(1+i)−t

R= 785000(0.125)1−(1+0.125)−5

R= 98125

1−(1.125)−5

R= 98125

1−0.554928

R= 98125

0.445071042R= 220,470.42

19.- La señora Jiménez desea vender un comedor que pose y considera vale $35,000.Hay dos compradores interesados que la hacen ciertas propuestas.a) El comprador A ofrece pagarle 12 mensualidades vencidas de $3,100b) El comprador B ofrece pagarle 18 mensualidades vencidas de $2,250

a.) t = 12 mesesR = 3,100i = 14.4 %

A=R⟦ (1+i )n−1

i ⟧A=3,100 ⟦ (1+0.144 )12−1

❑ ⟧ = 39,756.11

b.) t = 18 mesesR = 2,250i = 14.4 %

A=R⟦ (1+i )n−1

i ⟧A=2,250 ⟦ (1+0.144 )12−1

❑ ⟧ = 44,907.69

Respuesta: La opción B

21.- Una deuda de $850.00 contraída hoy se va a liquidar mediante pagos trimestrales iguales y vencidos de $185.00 . Si el interés es de 3.9% trimestral, calcúlese el número de pagos completos y el valor del pago final menor que saldan el compromiso.

( 850 / 185 ) -1 = ( 1 – (1.039)t+1 / 0.039( ( 850/185) – 1) 0.039 = 1 – ( 1.039 ) t+1

( 1.039 ) t+1 = 1 – ( ( 850 / 185 ) - 1 ) 0.039( -t + 1 ) Ln 1.039 = Ln ( 1 – ( ( 850 / 185 ) – 1 ) 0.039 )-t = ( Ln 0.8598 / Ln 1.039 ) - 1-t = - 4.95T = 4.95Respuesta : 4 pagos completes

1 pago por 175.75 ( 0.95 * 185 )

23.- El 12 septiembre la doctora Gudiño adquiere un automóvil usado en $ 118,000 . Acuerda pagarle al vendedor mensualidades vencidas de $4,148.53. Si se considera un interés a %16% anual convertible con la misma periodicidad que los pagos. ¿Cuándo terminara de pagar?C = 118,000R = 4,148.53i = 16 % anual ( 0.16 / 12 = 0.0133 mensual ) -t ( ( Ln 1 – 0.16 / 12 ( 118,000 / 4,148.53 ) - 1 / ( Ln ( 1 + 0.16 / 12 ) ) – 1 - t = - 35.39T = 35.39 ( 1 año / 12 meses ) = 2.92 años = 3 años.

Respuesta : 12 Octubre ( 3 años después )

25. - Si un trabajador ahorra $ 100 mensuales en una cuenta de ahorros que paga 8% anual convertible mensualmente

a) En qué tiempo reunirá $1,000b) Si desea juntar esa cantidad en un periodo exacto de meses , ¿ cuantos depósitos completos

de 100 debe hacer y de que cantidad ( mayor de $ 100.00 ) debe ser el último depósito para que al realizarlo haya reunido la cantidad precisa de $ 1,000

a.) R = 100 mensualesi = 8% ( 0.08 / 12 = 0.0067 ) M = 1,000

t = ( Ln ( ( M x I / R ) + 1 ) / Ln ( 1 + i ) t = ( Ln ( 1,000 ( 0.08 / 12 ) / 100 + 1 ) / Ln ( 1 + 0.08/ 12 )t = 9.71 meses

b.) M = 1,000t = 1 mesR = ? i = 8% annual

R = ( 1,000( 0.08 / 12 ) ) / ( 1 + 0.08/ 12 ) – 1R = 999.99

27.- ¿ A que tasa de interés se deben hacer depósitos semestrales de $ 1,000.00 para acumular $ 8,000.00 en 3 años ?R = 1,000M = 8,000T = 3 años x 2 = 6 semestresI = ?

S=R ((1+i )n−1

i)

8,000=1,000((1+ i )6−1

i)

i = 0.1143

Respuesta: i = 11.43 %

29.- Una persona adquirio, mediante 24 abonos quincenales de $280, un televisor que al contado costaba $ 5,250.a. ) ¿ Que tasa nominal anual pago ?b.- ) ¿ Que tasa efectiva quincenal pago ?c.- ) ¿ Que tasa efectiva anual pago ?

31.- En 2 almacenes se vende el mismo modelo de cocina integral, con igual precio de contado: $ 9,995. Las condiciones del crédito son :

El almacén “La Ganga” la vende mediante 8 mensualidades de $1,395. El almacén “La Bagatela” la vende a 12 mensualidades de $995.

a. ¿ En qué almacén es más conveniente comprar la cocina?Almacén la Ganga

M = 9,995T = 8

R = 1,395 ¡ = ?

9,995=1,395((1+i )8−1

i)

I = 2.52Valor futuro a tasa 2.52 = 12,195.51Almacén La Bagatela

M = 9,995T = 12

R = 995 ¡ = ?

9,995=995((1+i )12−1

i)

I = 2.85%Valor futuro a tasa 2.85 = 14,001.33b.- ¿ Que diferencia existe entre las tas mensuales efectivas que se aplican en los 2 casos ?2.85%

TE=(1+( it )) t−1La Ganga2.85% = 2.89%La Bagatela2.52% = 2.55%