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Equation Chapter 1 Section 1

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Industrial

Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de

remodelación ósea

Autor: Silvestre Prado González

Tutores: Francisco Javier Martínez Reina

Javier García Rodríguez

Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

iii

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Industrial

Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de

remodelación ósea

Autor:

Silvestre Prado González

Tutor:

Francisco Javier Martínez Reina

Profesor contratado, Doctor

Javier Grcía Rodríguez

Dep. de Ingeniería Mecánica y Fabricación

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

v

Proyecto Fin de Carrera: Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea

Autor: Silvestre Prado González

Tutores: Francisco Javier Martínez Reina

Javier García Rodríguez

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2016

El Secretario del Tribunal

vii

A mi familia, por su insistencia y su

apoyo en muchas de las decisiones

que tomé al principio del camino

universitario.

A mis maestros, por todos los

conocimientos que me han aportado

a lo largo de mis años en el colegio.

A Ana, por su apoyo incondicional

y esa sonrisa incansable que espero

me acompañen siempre.

ix

Agradecimientos

Este proyecto o trabajo, que más adelante se describe, no hubiera podido realizarse sin la gran ayuda

y aportación de sus conocimientos sobre la materia de dos personas. Pero primero quiero darles las

gracias a todos esos profesores que, a lo largo de estos años, me han enseñado y con los que he

empezado a aprender a ser ingeniero.

En segundo lugar, tengo que acordarme de Javi. Gracias por aclarar todas las dudas que me iban

surgiendo sobre el proyecto, por contestar con tanta rapidez los correos, incluso cuando estaba de

vacaciones, por todas esas horas en el laboratorio ayudándome con Abaqus y explicándome el

proceso de piezoelectricidad. Por todo esto y mucho mas que se me habrá olvidado, gracias.

Por último quiero agradecer al profesor Martínez Reina, el haberme aceptado para que realizara este

proyecto, que se ha alargado más de los que seguramente él esperaba, pero que, si no llega a ser por

sus últimas clases en la asignatura de Tecnología de Máquinas de segundo, yo nunca hubiera

conocido el campo de la biomecánica y mucho menos hubiera querido realizar este trabajo tutorizado

por él. Muchas gracias Javi.

xi

Resumen

A lo largo de la historia se ha investigado sobre el organismo y sus funciones. Hoy en día, la ciencia

ha avanzado lo suficiente para que se realicen estudios que permitan controlar el comportamiento del

organismo mediante programas numéricos. Así, se puede analizar el proceso de remodelación de un

hueso para posteriormente, mediante un problema numérico, podamos controlarlo.

En eso consiste este trabajo. Se analizará el proceso de remodelación ósea gracias a los efectos de la

piezoelectricidad, propiedad analizada en profundidad en el trabajo. Mediante este proceso

denominado efecto piezoeléctrico, estudiaremos el comportamiento del hueso antes diferentes

estímulos que proporcionarán una deformación del hueso que hará que se remodele para adaptarse a

ellas.

xiii

Abstract

Throughout history it has been investigated on the body and its functions. Today, science has

advanced enough for studies to control the behavior of the organism using numerical programs are

implemented. So you can analyze the process of remodeling bone later by a numerical problem, we

can control.

That is what this work. Thanks to the effects of piezoelectricity, property analyzed in depth at work

the bone remodeling process will be analyzed. Through this process called piezoelectric effect, we

will study the behavior of the bone before different stimuli that will provide a deformation of bone is

remodeled to make them fit.

-Translation by Dictionary Reference-

xv

Índice

Agradecimientos ix

Resumen xi

Abstract xiii

Índice xv

Índice de Tablas xvii

Índice de Figuras xix

Notación xxi

1 Introducción 1

2 Biología ósea 3 2.1. Composición del hueso 4

2.1.1 Fase orgánica 4 2.1.2 Fase inorgánica 5

2.2. Células óseas 6 2.2.1. Osteoclastos 6 2.2.2. Osteoblastos 7 2.2.3. Osteocitos 8 2.2.4. Células de borde 9

2.3. Morfología del tejido óseo 9 2.3.1. Hueso cortical 9 2.3.2. Hueso trabecular 10

2.4. Morfología del femur 10 2.5. Remodelación ósea 12

2.5.1 Remodelación ósea interna (ROI) 12 2.5.2 Remodelación ósea externa (ROE) 14

2.6. Propiedades mecánicas 15 2.6.1 Heterogeneidad 15 2.6.2 Anisotropía 16

2.7. Efecto piezoeléctrico 17

3 Modelos de piezoelectricidad 19 3.1 Modelo piezoeléctrico 19

3.1.1 Definición del modelo isótropor 19 3.1.2 Definición del modelo ortótropo 21 3.1.3 Definición del modelo con giro 22

3.2 Modelo de elementos finitos 22 3.2.1 Definición de la malla geométrica 22 3.2.2 Aplicación de las cargas 24 3.2.3 Condiciones de contorno 25

4 Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano 27 4.1 Simulaciones y resultados 28

4.1.1 Modelo piezoeléctrico isótropo 28 4.1.2 Modelo piezoeléctrico ortótropo 32 4.1.3 Modelo piezoeléctrico ortótropo con giro aplicado 35

4.2 Dependencia del desplazamiento eléctrico con las deformaciones tangenciales 38 4.3 Comparación de resultados 40

4.3.1 Modelo isótropo vs Realidad 40 4.3.2 Modelo isótropo vs Modelo ortótropo 40 4.3.3 Modelo isótropo vs Modelo ortótropo con giro aplicado 40

4.4 Distribución del desplazamiento eléctrico 42

5 Conclusiones y desarrollos futuros 49 5.1 Resumen del trabajo realizado y conclusions 49 5.2 Desarrollos futuros 50

Referencias 53

Glosario 55

xvii

Índice de Tablas

Tabla 3-1: Combinación de cargas 25

Tabla 3-2: Condiciones de contorno aplicadas al modelo 26

xix

Índice de Figuras

Figura 2-1: Sistema esquelético 3

Figura 2-2: Fase orgánica. Colágeno tipo I 5

Figura 2-3: Micrografía en la que se aprecian los cuatro tipos de células óseas 6

Figura 2-4: Osteoclasto 7

Figura 2-5: Mecanismo de reabsorción ósea 7

Figura 2-6: Osteoblasto 8

Figura 2-7: Osteocito 9

Figura 2-8: Tejido óseo 10

Figura 2-9: Fémur humano derecho [7] 11

Figura 2-10: Secciones del fémur 12

Figura 2-11: Fases de la remodelación ósea interna (ROI) 13

Figura 2-12: BMU de un hueso cortical 14

Figura 2-13: BMU de un hueso trabecular 14

Figura 2-14: Resistencia frente a porosidad 16

Figura 2-15: Tensión vs deformación del tejido cortical 17

Figura 2-16: Estructura trabecular para la medición de MIL y función 2D resultante. 17

Figura 2-17: Efecto piezoeléctrico 18

Figura 3-1: Elemento usado en el modelo 23

Figura 3-2: Modelo de elementos finitos. A) Tamaño del callo 0%, b) Tamaño del callo 25%, c) Tamaño del

callo 50%, d) Tamaño del callo 75%, e) Tamaño del callo 100%. 23

Figura 3-3: Zona central de estudio para un callo sin remodelación. 24

Figura 3-4: Deformación del periostio y del endostio sin cerrar el canal medular completamente. 24

Figura 4-1: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de flexión. 29

Figura 4-2: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de torsión 30

Figura 4-3: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de flexo-torsión 31

Figura 4-4: Desplazamiento eléctrico para un material ortótropo ante carga de flexión 32

Figura 4-5: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo ante carga de torsión 33

Figura 4-6: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo ante carga de flexo-torsión 34

Figura 4-7: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de flexión 35

Figura 4-8: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de torsión. 36

Figura 4-9: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de flexo-torsión

37

Figura 4-10: Distribución de las deformaciones tangenciales ante carga de flexión en un material isótropo

39

Figura 4-11: Distribución de la deformación tangencial en el material ortótropo con giro aplicado ante carga de

flexión 39

Figura 4-12: Modelo isótropo vs Modelo ortótropo 41

Figura 4-13: Modelo isótropo vs Modelo ortótropo con giro aplicado 42

Figura 4-14: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Flexión 43

Figura 4-15: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Torsión 43

Figura 4-16: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Flexo-Torsión

44

Figura 4-17: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Flexión 44

Figura 4-18: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Torsión 45

Figura 4-19: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Flexo-Torsión

45

Figura 4-20: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo con giro aplicado. Carga de

Flexión. 46


Torsión. 46


Flexo-Torsión. 47

xxi

Notación

V Volumen

v Fracción volumétrica

m Masa

ρ Densidad

α Fracción de ceniza

E Módulo de elasticidad o de Young

υ Coeficiente de Poisson

MPa Unidad de presión (106 Pa)

σij Tensor de tensiones

bi Fuerzas aplicadas

Di Desplazamiento eléctrico

b4 Cargas aplicadas

Skl Deformación elástica

El Campo eléctrico

cijkl Tensor de compatibilidad Tensión/Deformación

eikl Tensor de compatibilidad Desplazamiento eléctrico/Deformación

elij Tensor de compatibilidad Campo eléctrico/Tensiones

εil Tensor de compatibilidad Campo eléctrico/Desplazamiento eléctrico

u Desplazamientos

θ Giros

ϕ Potencial eléctrico

M, γ Propiedades del hueso

μ(ρ), λ(ρ) Coeficientes de Lame

β Tensor de premisividad eléctrica

∈ Tensor de piezoelectricidad

I Matriz identidad

Div Divergencia de un vector

ρ* Densidad de referencia

G Módulo de cortadura o cizalladura

φ, δ Ángulos de giro del tensor de piezoelectricidad

1

1 INTRODUCCIÓN

l aparato locomotor es absolutamente esencial para la subsistencia de todos los seres vivos. En

efecto, los animales necesitan de la acción conjunta de huesos (como “estructura portante”) y

músculos para desplazarse y efectuar las tres funciones vitales que todo organismo vivo

necesita, nutrición, relación y reproducción. Incluso en el reino vegetal son necesarias estas

estructuras portantes para dar forma a las plantas. El sistema óseo otorga al organismo su capacidad

portante, protección para los órganos internos y puntos fijos de inserción de los distintos músculos,

que propician el movimiento del mismo. Ambos sistemas, el óseo y el muscular, forman el aparato

locomotor que debe estar en condiciones óptimas a lo largo de toda la vida del organismo.

Centrándonos más concretamente en el sistema óseo humano, el tejido óseo tiene un interés especial

por su importancia. Al tratarse de un tejido vivo y teniendo en cuenta su estructura interna hacen que

se trate de un material muy complejo. Puede ser considerado un material estructural orgánico,

presentando así, características típicas de materiales de construcción y de organismos vivos.

Viendo el hueso como material estructural tenemos que hablar de sus propiedades mecánicas. Esto se

hará más adelante. Cabe decir que el hueso es un material anisótropo, heterogéneo en su

comportamiento a tracción y compresión y además presenta comportamiento viscoso. Puede sufrir

deformaciones como cualquier material sometido a ciertas cargas y puede llegar a romperse debido a

cargas demasiado altas.

Al ser además un material orgánico, se puede afirmar que es un material vivo, haciendo que sus

características cambien con el paso del tiempo. Además, es capaz de reparar el daño producido a

causa de su uso normal o anormal adaptándose incluso al desuso.

1.1. Motivación del trabajo

A lo largo de la historia, se ha intentado estudiar y comprender el tejido óseo, y como responde a

determinadas solicitaciones, las cuales se presentan a lo largo de toda la vida de un individuo. Pero, a

pesar de los estudios que existen sobre la materia, aun no hay una respuesta clara que nos

proporciones la solución de ciertas preguntas: ¿Cómo el hueso sabe que está dañado? ¿Cómo se

adapta el hueso para soportar mejor la carga? ¿Qué estímulos gobiernan la reparación del mismo tras

la ruptura?

El presente trabajo se engloba en una labor investigadora mayor que trata de aplicar los modelos de

piezoelectricidad a la remodelación ósea, con la intención de simular el tiempo de recuperación de un

hueso, así como, la evolución de las propiedades mecánicas del tejido óseo de un hueso largo en

reparación, desde la formación del callo de fractura hasta la reabsorción completa del mismo.

E

Introducción

2

1.2. Objetivos y descripción del trabajo

El objetivo principal del proyecto es aplicar un modelo piezoeléctrico a una sección de un hueso

largo, en este caso un fémur humano, y analizar el comportamiento del desplazamiento eléctrico

frente a distintos casos de carga y para distintos tipos de materiales.

El capítulo 2 nos introduce teóricamente el trabajo. Se hará en primer lugar, una descripción

biológica del hueso implicada en el proceso de remodelación y se comentarán las diferentes

microestructuras que se presentan en el mismo y la importancia de sus propiedades.

En el capítulo 3 se desarrolla el grueso del trabajo. Como introducción, se presentará el modelo de

remodelación piezoeléctrica que se va a utilizar a lo largo de todo el trabajo. Se realizará a

continuación un análisis de los distintos casos de carga que hemos aplicado y las diferentes

consideraciones que hemos hecho en el hueso, ya que hemos tomado distintos tipos de materiales.

En el capítulo 4 mostraremos los resultados obtenidos con el análisis de los distintos modelos y la

comparación de los mismos.

Por último, en el capítulo 5 se expondrán las distintas conclusiones que se han alcanzado y se

propondrán otras líneas de investigación para un posible desarrollo futuro dentro del campo de la

piezoelectricidad.

3

2 BIOLOGÍA ÓSEA

lo largo del día realizamos innumerables actividades que requieren del movimiento de nuestro

cuerpo, estas actividades podemos realizarlas gracias al sistema musculo esquelético. Este

sistema está formado por el sistema muscular y el sistema óseo. En este estudio vamos a

centrarnos únicamente en el sistema óseo el cual está formado por el esqueleto.

El esqueleto es la estructura que soporta nuestro cuerpo, protege nuestros órganos y permite nuestros

movimientos. Se caracteriza por tener una gran robustez en comparación con su ligereza y por ser un

tejido dinámico ya que se encuentra continuamente en proceso de remodelación.

Figura 2-1: Sistema esquelético

Al existir diferentes tipos de huesos y de formas muy distintas, cumplen varias funciones [9]:

Soporte: los huesos otorgan un lugar rígido para el anclaje de músculos y tejidos blandos.

Protección: algunos huesos forman distintas cavidades que protegen los órganos internos

más importantes de posibles traumatismos. El cráneo protege al cerebro y la caja torácica

protege los pulmones y el corazón.

A

El esqueleto, oculto a la vista y a menudo a la mente, es una masa formidable de tejido que

supone alrededor del 9% del volumen del cuerpo y el 17% de su peso. La estabilidad y la

inalterabilidad de los huesos secos y su persistencia durante cientos o incluso millones de

años, después de que los tejidos blandos se hayan convertido en polvo, nos ofrecen una

imagen falsa de lo que es el hueso en vida. Su fijeza tras la muerte está en franco contraste

con su incesante actividad durante la vida

Cooke, 1955 [5]

Biología ósea

4

Movimiento: gracias a las articulaciones y a los músculos que se insertan en los huesos a

través de los tendones se produce el movimiento al contraerse los mismos.

Homeostasis mineral: el tejido óseo almacena una serie de minerales, especialmente calcio

y fósforo, necesarios para la contracción muscular y otras muchas funciones. Cuando son

necesarios el hueso libera dichos minerales en la sangre que los distribuye a otras partes del

organismo.

Producción de células sanguíneas: en el interior de ciertas cavidades situadas en algunos

huesos, un tejido conectivo denominado medula ósea roja produce los glóbulos rojos o

hematíes mediante el proceso denominado hematopoyesis.

Almacén de grasa de reserva: la medula ósea amarilla, situada en algunos huesos, consiste

principalmente en adipocitos1 con unos pocos hematíes. Es una importante reserva de energía

química.

2.1. Composición del hueso

El hueso es un componente vivo del organismo. Es además heterogéneo y altamente anisótropo. Está

formado por cuatro tipos distintos de células (osteoclastos, osteoblastos, osteocitos y células de

borde) y una matriz extracelular que muestra estructura y propiedades diferentes dependiendo del

tipo de hueso del que hablemos (Nordin y Frenkel, 2004 [8]).

Teniendo en cuenta que no todos los huesos son iguales y que cada uno puede tener una composición

distinta, en promedio la composición de la matriz ósea es de un 10% de agua, aproximadamente un

65% de minerales y un 20% aproximadamente de materia orgánica, principalmente colágeno.

Debido a un proceso denominado remodelación ósea, los materiales tanto inorgánicos como

orgánicos no permanecen fijos sino que están constantemente intercambiándose y reemplazándose

por otros.

2.1.1 Fase orgánica

Está formada principalmente por fibras de colágeno tipo I que suponen entre el 90 y el 95% de la

fase orgánica. Las fibras de colágeno son similares a las que se presentan en otros tejidos y están

distribuidas formando un entramado aleatorio. Cada fibra está formada por una triple hélice a

derechas de cadenas. A su vez cada cadena está formada por una triple hélice a izquierdas de

polipéptidos (Figura 2-2).

El segundo componente en importancia es la osteonectina, una proteína que puede interactuar tanto

con el colágeno como con las sales. Es una proteína altamente reactiva que se encuentra en las zonas

más calcificadas.

Otras proteínas que componen la fase orgánica son las osteopeptina que se une a la hidroxiapatita y

que es producida por los osteoblastos, las proteínas óseas morfogenéticas (BMPs) que juegan un

papel parecido al de los factores del crecimiento y los proteoglicanos ácidos.

1 Células que forman el tejido adiposo. Se encargan del almacenamiento de grasa (triglicéridos)

5 Análisis del efecto piezoeléctrico en el proceso de remodelación ósea

Figura 2-2: Fase orgánica. Colágeno tipo I

2.1.2 Fase inorgánica

Contiene abundantes sales minerales cristalizadas, en particular calcio, fosfato y carbonato en forma

de pequeños cristales de hidroxiapatita, 𝐶𝑎10(𝑃𝑂4)6(𝑂𝐻)2 y algo de carbonato cálcico. Estas sales

se encuentran depositadas en una matriz reticular formada por las fibras de colágeno. El proceso por

el cual las sales se depositan en dicha matriz se denomina calcificación. Aunque la dureza del hueso

es debida a los componentes minerales cabe destacar que sin la retícula de colágeno el hueso seria

frágil.

Las fibras de materia orgánica aportan flexibilidad y resistencia a la tensión. Si faltasen estas fibras o

fueran defectuosas se producirían enfermedades como la ontogénesis imperfecta o huesos de cristal.

En el caso de que el defecto se produzca por insuficiencia de sales resultaría una estructura flexible y

esponjosa.

La caracterización de la composición volumétrica del tejido óseo es muy importante, especialmente

de la matriz extracelular pues es la que confiere las propiedades mecánicas al hueso. En primer lugar

debemos definir el volumen del hueso, Vt. Este volumen se descompone en el volumen de la matriz

ósea, Vb, y el volumen de los poros, Vv, ocupados por la medula ósea [10].

Vt = Vb + Vv (2-1)

Se define la fracción volumétrica de hueso y poros como

vb =Vb

Vt p =

Vv

Vt= 1 − vb (2-2)

La densidad del tejido óseo es

ρt =mt

Vt=

ρbVb + ρvVv

Vt (2-3)

Donde ρb es la densidad aparente de la matriz ósea y ρv es la densidad aparente de la medula ósea.

Biología ósea

6

La matriz ósea se divide en componente orgánica, Vc, componente mineral, Vh y agua, Vw.

ρb =mb

Vb=

Vcρc + Vhρh + Vwρw

Vb (2-4)

Existe un parámetro que caracteriza la mineralización del tejido, la fracción de ceniza. Este valor

representa la masa de mineral frente a la masa seca del tejido, es decir, tomando el volumen de agua

cero ya que se evapora.

Α =mh

mc + mh (2-5)

2.2. Células óseas

Existen cuatro tipos de células óseas que se pueden dividir en dos grupos, las que reabsorben hueso,

osteoclastos, y las que crean hueso, osteoblasto, o lo han formado, osteocitos y células de borde

(Figura 2-3).

Figura 2-3: Micrografía en la que se aprecian los cuatro tipos de células óseas

2.2.1. Osteoclastos

Son las células responsables de la reabsorción de la matriz ósea. Son células polinucleadas de gran

tamaño que se localizan en las superficies óseas asociadas a la matriz del hueso. Los osteoclastos se

forman por la fusión de varias células mononucleadas derivadas de una célula madre sanguínea de la

medula ósea, lo que hace que presenten muchas propiedades de los leucocitos macrófagos2.

Los osteoclastos se caracterizan por tener una parte de su membrana ondulada (arrugada) en forma

de cepillo rodeada de un citoplasma libre de orgánulos, llamada “zona clara”, con la que se adhiere a

la superficie del hueso (Figura 2-4). El proceso de reabsorción se inicia cuando el aparato de Golgi 3excreta lisosomas

4 con enzimas

5 capaces de generar un ambiente acido por debajo de la membrana

2 Células del sitema inmunitario que se encuentran en los tejidos 3 Orgánulo celular que se encarga de la fabricación de algunas proteinas


arrugada como consecuencia del transporte de protones. Las enzimas sólo son liberadas en la zona

clara en las proximidades del borde arrugado produciendo las reacciones de degradación de la

matriz que deben darse antes de que el medio ácido disuelva las sales del hueso.

La reabsorción realizada por los osteoclastos (Figura 2-5) depende de una serie de factores

reguladores externos como la hormona paratiroidea. Otros factores que afectan a la funcionalidad de

los osteoclastos son los glucocorticoides y las prostaglandinas.

Concluida la reabsorción ósea, los osteoclastos mueren por apóptosis, muerte celular programada que

se conoce también como suicidio celular. Cuando una célula muere por apóptosis empaqueta su

contenido lo que evita que se produzca la respuesta inflamatoria característica de la necrosis. En

lugar de hincharse y reventar, derramando su contenido, que puede llegar a ser dañino, las células en

un proceso de apóptosis se encogen y con frecuencia se fragmentan. De esta manera, pueden ser

eficientemente reabsorbidas por otras células, mediante fagocitosis6, utilizándose sus componentes

por macrófagos o por células de los tejidos adyacentes.

Figura 2-4: Osteoclasto

Figura 2-5: Mecanismo de reabsorción ósea

2.2.2. Osteoblastos

Son las células responsables de la formación de la matriz extracelular del hueso y de su posterior

4 Orgánulo celular que contiene enzimas que se encargan de la digestión de partículas externas 5 Proteina que favorece las reacciones químicas en la célula 6 Proceso por el cual cierta célula captura partículas nocivas para el organismo deformando su citoplasma

Biología ósea

8

mineralización. Además liberan algunos factores que son probablemente mediadores de la

reabsorción ósea (Figura 2-6).

Son células que forman una capa en la superficie de los huesos en crecimiento o que rodean áreas de

osificación. Parte de la membrana plasmática se encuentra en contacto con el borde osteoide, zona

donde se está dando la calcificación. Al tener que fabricar proteínas poseen un retículo

endoplasmático rugoso bastante abundante y un aparato de Golgi muy desarrollado. Posee también

vesículas de pinocitosis cerca de la membrana, las cuales son las responsables de la secreción del

colágeno.

Los osteoblastos maduros se encargan principalmente de generar colágeno tipo I que constituye el

90% de las proteínas de un hueso. Las principales proteínas con actividad enzimática producidas por

los osteoblastos son la fosfatasa alcalina y la colagenasa.

Otra función de los osteoblastos es segregar determinadas sustancias que les permiten comunicarse

con otras células, como el RANK-ligando (RANK-L) [12], que activa la función de osteoclastos

precursores; osteonectina y osteocalcina, para la mineralización ósea; osteopontina, para sellar la

zona donde actúa el osteoclasto; sialoproteina ósea, que se encarga de unir los osteoblastos y los

osteocitos a la matriz extracelular; y M-CSF, factor estimulante de colonias de macrófagos. Además

de esto, poseen receptores de hormonas, vitaminas y citosinas, como la vitamina D, el estrógeno o la

PTH.

Cuando el osteoblasto entra en estado de inactividad le puede suceder tres cosas: que la matriz ósea

lo vaya envolviendo, quedando atrapado y convirtiéndose en osteocitos, que permanezca sobre la

superficie ósea, transformándose en una célula de borde, o que sufra apóptosis.

Figura 2-6: Osteoblasto

2.2.3. Osteocitos

Son células óseas maduras que derivan de los osteoblastos al quedarse confinados dentro de la matriz

extracelular y que constituyen la mayor parte del tejido óseo. Se encuentran en los huesos

completamente formados ya que residen en lagunas interiores a la matriz ósea mineralizada. Son

células que han perdido la capacidad de dividirse y por lo tanto de reproducirse. Son células que no

segregan materiales de la matriz ósea, pero que se encargan de mantener las actividades celulares del

tejido óseo, como el intercambio de nutrientes.

Su forma debe de adaptarse a la laguna en la que se ha quedado confinado por lo que tiene que

formar prolongaciones largas que se extienden por los canalículos de la matriz ósea. Estas

prolongaciones los mantienen en contacto con otros osteocitos. Estas zonas de conexión forman una

unión que les permite el intercambio de iones, moléculas pequeñas y hormonas (Figura 2-7). Son

muy similares a los osteoblastos pero menos activos. Esta bajada en su actividad hace que el retículo

endoplasmático rugoso y el aparato de Golgi estén menos desarrollados. Están ampliamente


relacionadas con la mecanotransducción, proceso por el cual reaccionan a la tensión ejercida

induciendo la adición de los osteoblastos para la remodelación del hueso.

Figura 2-7: Osteocito

2.2.4. Células de borde

Provienen de los osteoblastos que al terminar el proceso de remodelación, a diferencia de los

osteocitos, no quedan encerradas dentro de la matriz ósea. Se sitúan en la superficie del hueso

cubriéndola casi completamente. Son células planas y alargadas.

Tiene un papel muy importante en la homeostasis del calcio, transfiriéndolo de la matriz ósea a la

médula si disminuyese la concentración en sangre. Se encargan de proteger la matriz ósea de los

agentes químicos externos que transporta la sangre y que podrían disolver el mineral. Mantienen la

comunicación constantemente con los osteocitos por medio de las prolongaciones de los mismos y

además poseen receptores de hormonas, que podrían iniciar la remodelación, si se recibe una señal

desde los osteocitos que así lo determine.

2.3. Morfología del tejido óseo

El tejido óseo puede clasificarse de distintas formas atendiendo a diversos factores:

El hueso no es completamente macizo, sino que contiene una alta porosidad. Por estos

espacios discurren los vasos sanguíneos que se encargan de nutrir a las células óseas y

además reducen el peso del hueso. Dependiendo del tamaño de estos poros y de la cantidad

que haya, el hueso se denomina compacto o esponjoso

Si se observan de cerca el hueso cortical y el trabéculas se verá que están compuestos por dos

tipos de tejidos: hueso lamelar y hueso fibroso.

El hueso cortical puede clasificarse en primario y secundario dependiendo del estado de

desarrollo en el que se encuentre.

2.3.1. Hueso cortical

El hueso cortical posee una baja porosidad, entre el 5 y el 10% y constituye el 80% del esqueleto

humano.

Forma la mayor parte de la diáfisis de los huesos largos, así como, la parte externa del resto de

huesos del cuerpo. Constituye una protección y un soporte para el organismo. Posee una estructura

Biología ósea

10

de láminas o anillos concéntricos que se sitúan alrededor de los canales centrales o canales de Havers

que se extienden longitudinalmente por todo el hueso y que contienen los vasos sanguíneos,

linfáticos y nervios. Los distintos canales de Havers están conectados entre sí por otros canales,

canales de Volkman, que perforan el periostio y que también contienen vasos sanguíneos, linfáticos y

nervios. Entre las láminas concéntricas de la matriz mineralizada, aparecen pequeñas lagunas donde

se alojan los osteocitos. Gracias a los canales que existen en cada laguna y a las ramificaciones de los

osteocitos, estos pueden intercambiar nutrientes con el líquido intersticial. Estos canalículos están

conectados entre sí, y de vez en cuando, están conectados a los canales de Havers. Al conjunto de

láminas, conducto de Havers, laguna, canales y osteocitos incluidos en ellas, recibe el nombre de

osteón. Las restantes láminas entre osteones se llaman láminas intersticiales (Figura 2-8).

2.3.2. Hueso trabecular

El hueso esponjoso tiene una porosidad entre el 75 y el 95% y es el principal constituyente de la

epífisis de los huesos largos y del interior del resto de los huesos del sistema esquelético.

A diferencia del hueso cortical, este hueso no posee osteones, sino que las láminas están dispuestas

de forma irregular formando unos tabiques llamados trabéculas. Las trabéculas forman una estructura

esponjosa dejando huecos que se rellenan de medula ósea roja. Dentro de las trabéculas se

encuentran los osteocitos que yacen en sus lagunas con canales. Los vasos sanguíneos en este caso,

penetran directamente en el hueso esponjoso y permiten el intercambio de nutrientes con los

osteocitos.

Figura 2-8: Tejido óseo

2.4. Morfología del femur

Todo el contenido de este capítulo es aplicable a cualquier hueso del sistema esquelético humano, ya

sea largo, corto, plano o irregular, pero se hace especial hincapié en este hueso, el fémur, debido a

que se van a realizar diferentes análisis sobre una mella de elementos finitos de una sección,

perteneciente a la diáfisis, de dicho hueso. Por tanto es necesario tener algunas ideas de las diferentes

partes del fémur (Figura 2-9).

El fémur es el hueso más largo del cuerpo humano. Presenta una oblicuidad de arriba abajo y de

fuera hacia adentro. Se encuentra articulado en su extremo inferior con la tibia mediante la

articulación de la rodilla y en su extremo superior con la pelvis a través de la articulación de la

cadera. Analicemos los dos extremos del hueso.


Extremidad superior (Epífisis superior): Presenta una cabeza que sirve de apoyo articular

con la cadera y que se encuentra recubierta por cartílago articular. Esta seguida de un cuello

que la conecta al resto de la epífisis. Existen también dos protuberancias, el trocante mayor y

el trocante menor, que se encargan de la inserción de los músculos de la pierna.

Extremidad inferior (Epífisis inferior): En esta zona aparecen dos protuberancias llamadas

cóndilos. Son superficies lisas que se encargan de articular el fémur con la tibia. Entre ellos

aparece una depresión articular que sirve para alojar la articulación de la rodilla.

Como en todos los huesos largos, la diáfisis está compuesta por una capa externa de tejido compacto

o cortical que está limitada por el periostio que la protege del exterior y por el endostio que la protege

de los agentes químicos que contiene la medula ósea. La medula ósea se encuentra en el canal

medular por lo que el modelo del fémur es hueco en su zona central. Los extremos del fémur se

encuentran principalmente formados por hueso trabecular recubiertos por una fina capa de hueso

cortical. Las trabéculas se orientan según la carga a la que está sometido el hueso así en la epífisis

superior se encuentran dispuestas oblicuamente alineadas con la orientación del cuello (Figura 2-10).

Figura 2-9: Fémur humano derecho [7]

Biología ósea

12

Figura 2-10: Secciones del fémur

2.5. Remodelación ósea

El hueso tiene la capacidad de adaptarse a cualquier influencia mecánica a la que esté sometido. Esto

lo consigue variando tanto su microestructura interna como su forma externa. Este fenómeno es

conocido con el nombre de remodelación ósea, y es esencial para comprender los cambios que

experimenta el hueso debido a diferentes alteraciones, en su funcionamiento o a la implantación de

prótesis.

La remodelación es un proceso biológico en el que factores hormonales, junto a variaciones en la

presión local sobre las membranas celulares activas o inhiben la formación o desaparición de nuevo

tejido. Esta compleja sucesión de señales bioquímicas que promueven la remodelación se realiza a

través de la activación de lo que se conoce como BMU. Un estudio de la biología del tejido óseo

debe de ser previo a la comprensión de este fenómeno. Este fenómeno puede dividirse en dos,

dependiendo de la forma en que se exprese.

2.5.1 Remodelación ósea interna (ROI)

El remodelado óseo se lleva a cabo mediante la acción conjunta de osteoclastos y osteoblastos sobre

una misma superficie del tejido óseo. Cada ciclo de remodelación constan de seis fases: activación,

reabsorción, inversión, formación, mineralización y fin de la adaptación (Figura 2-11).


Figura 2-11: Fases de la remodelación ósea interna (ROI)

Activación: Como ya hemos visto, el tejido óseo está formado por un tramado de osteocitos,

conectados entre sí y con las células de borde, mediante sus ramificaciones. Estos filamentos

son sensibles a los esfuerzos tangenciales producidos por el fluido sanguíneo, el cual fluye a

través de los canalículos de las lagunas, en las que se encuentran los osteocitos. Si dicho flujo

se interrumpe debido a cualquier factor, los osteocitos dejan de emitir la señal inhibitoria a

las células de borde.

Reabsorción: Las células de borde son las encargadas de comenzar la remodelación. Su

tendencia es la de promover la remodelación ósea en todo momento, pero la señal inhibitoria

que emiten los osteocitos evita que esto se produzca. Al dejar de sentir la señal de los

osteocitos comienzan a segregar una sustancia química, el RANK-L, que es detectada por los

precursores de los osteoclastos presentes en la medula ósea, provocando su diferenciación y

la formación de osteoclastos maduros mediante fusión celular. En este momento las células

de borde se contraen dejando libre la superficie del hueso que hay que reabsorber. Los

osteoclastos comienza la reabsorción del tejido disolviendo la matriz extracelular y formando

un túnel hacia el interior en el hueso cortical (Figura 2-12) y un hueco superficial en el hueso

trabecular (Figura 2-13).

Inversión: De la formación de nuevo tejido se encargan los osteoblastos, pero su acción no

es inmediata, sino que en un hueso humano ocurre sobre 30 días después de la activación de

los osteoclastos.

Formación: Los preosteoblastos son formados por diferenciación de las células

mesenquinales y son atraídos por las paredes de la cavidad dejada por los osteoclastos por

factores químicos. Allí maduran y dan lugar a los osteoblastos, que desde ese momento

comienzan a depositar osteoide rellenando la cavidad (Figura 2-12 y 2-13). Jaworski y

Hooper [1] han demostrado que los osteoblastos no avanzan con la BMU, si no que al

terminar de cubrir la sección en la que se encuentran se diferencian a osteocitos o células de

borde o sufren apóptosis. Para otras secciones es necesario atraer a otros preosteoblastos. La

formación de estos preosteoblastos está condicionada a la existencia de un cierto nivel de

estímulo mecánico.

Mineralización: Los osteoblastos solo depositan osteoide, no mineral. El mineral comienza

a depositarse uno 10 días después de la deposición del osteoide, al desplazar el agua que este

Biología ósea

14

contiene. Al principio, la mineralización es muy rápida alcanzando niveles altos en pocos

días, mineralización primaria. Después de ésta, comienza la mineralización secundaria

alcanzándose el valor máximo más lentamente.

Fin de la adaptación: Los osteoclastos sufren apóptosis y la BMU se detiene. Los

osteoblastos finalizan el relleno de la cavidad y se diferencian en osteocitos o células de

borde en función de donde se encuentren. Estas células serán las encargadas de iniciar futuras

remodelaciones en la zona en la que se encuentran. La BMU termina mucho antes de la

mineralización completa del tejido óseo, puesto que la vida media de la BMU es de unos 100

días.

Figura 2-12: BMU de un hueso cortical

Figura 2-13: BMU de un hueso trabecular

2.5.2 Remodelación ósea externa (ROE)

La característica principal de la ROE es la acción independiente de osteoclastos y osteoblastos de

forma que se puede producir reabsorción y formación en diferentes superficies del hueso. Esta

remodelación, es necesaria dado que el crecimiento longitudinal de los huesos no produce siempre la

forma correcta para cada persona.

En la metáfisis, zona entre la diáfisis y la epífisis, el crecimiento es asociado a fenómenos de


reabsorción en la superficie externa y de formación en la interna. Así mismo, en la diáfisis ocurre lo

contrario. Esto permite que los huesos conserven su forma a lo largo de las distintas etapas del

crecimiento. Por otro lado, el modelado óseo es el mecanismo por el cual se permite que exista una

renovación constante del sistema óseo antes de que cese el crecimiento.

La ROE está programada genéticamente, pero puede darse la posibilidad de que existan factores

mecánicos que puedan influir en el mismo. Existen datos experimentales que tanto las tensiones

como las presiones en el periostio son factores que promueven la formación de osteoclastos y

osteoblastos sobre la superficie externa del hueso. (Carpenter y Carter [2]).

El tejido óseo es el único que es capaz de repararse a sí mismo de manera completa reactivando los

procesos que tiene lugar en la embriogénesis. Cuando el hueso es sometido a fuerzas superiores a su

resistencia mecánica aparece una línea de fractura. En primer lugar, se produce un hematoma que es

reabsorbido por los macrófagos. Posteriormente, aparecen células formadoras de hueso procedentes

de ambos lados de la línea de fractura. Estas células forman puentes de tejido óseo inmaduro, sin

orientación definida (callo de fractura), que unen los extremos del hueso fracturado. En la siguiente

fase, este hueso, mediante un proceso de modelado, es sustituido por otro, de tipo laminar, orientado

según las líneas de fuerza que actúan sobre la zona.

La fatiga mecánica puede provocar fracturas trabeculares las cuales no afectan a la morfología

externa del hueso. Estas fracturas se reparan a través de microcallos de fractura que muestran la

misma dinámica que la de los callos que aparecen cuando la fractura es externa.

2.6. Propiedades mecánicas

Hemos visto a lo largo de este capítulo, la gran heterogeneidad tanto hablando de microestructura

como de composición que posee un hueso. Dependiendo del tipo de hueso, de su función y de la

zona del mismo a la que nos refiramos, el tejido óseo puede presentar unas propiedades u otras.

Tomando como ejemplo, el brazo y la pierna, las propiedades mecánicas a tracción de un hueso del

brazo son mayores que las de uno de la pierna, sin embargo, si hablamos de compresión es al

contrario. Localmente el hueso mejora sus propiedades para adaptarse a los distintos esfuerzos

mecánicos, optimizando su estructura y su composición. En este caso, atendiendo a las propiedades

mecánicas se puede afirmar que el hueso es un material heterogéneo y anisótropo. La heterogeneidad

está relacionada con la cantidad de mineral y la porosidad de la matriz ósea. Por otro lado, la

anisotropía se presenta porque el hueso se comporta de manera diferente en función de la dirección y

sentido de la carga.

2.6.1 Heterogeneidad

La heterogeneidad se da principalmente por la porosidad de los distintos tipos de huesos, cortical y

trabecular, y por la mineralización del tejido óseo. Analicemos estos aspectos por separado.

Porosidad: Como sabemos el tejido óseo no es homogéneo, dado que presenta porosidad

que puede alcanzar valores hasta del 90% en el hueso trabecular. Debido a esto, aunque las

propiedades del tejido cortical no se vean afectadas, las propiedades mecánicas a nivel

macroscópico disminuyen. Se puede comprobar que al aumentar la porosidad de un 5 a un

30% (Figura 2-14), la resistencia se ve disminuida en un 50%. Para la rigidez existen gran

variedad de expresiones que la definen relacionando la composición volumétrica con el

módulo de elasticidad, siendo la más usada la de Beaupré [3] que usa la densidad del tejido

como variable.

E = {2014ρ2.5 ρ ≤ 1.2g/cm3

1763ρ3.2302 ρ > 1.2g/cm3 (2-6)

Biología ósea

16

ν = {0.2 ρ ≤ 1.2g/cm3

0.32 ρ > 1.2g/cm3 (2-7)

El valor de ρ = 1.2g/cm3 se considera el límite entre el hueso cortical y el trabecular.

Mineralización: Es importante tener en cuenta también el comportamiento del tejido óseo

con el nivel de mineralización. El contenido elevado de mineral, convierte al hueso en un

material más resistente, más rígido y menos dúctil. Mejora sus propiedades mecánicas pero

lo hace más frágil y por lo tanto más propenso a posibles fracturas por impacto, por esto, el

contenido de mineral de un tejido óseo se mantiene siempre en un intervalo de variación muy

pequeño (α ∈ [0.68 − 0.72]) que proporciona una resistencia y una rigidez menores pero

con un aumento de la ductilidad. Esto hace que el efecto del contenido mineral sea algo

menos importante que el efecto de la porosidad.

Figura 2-14: Resistencia frente a porosidad

2.6.2 Anisotropía

La anisotropía generalmente es debida al tipo de hueso al que hagamos referencia.

Hueso cortical: debido a la alineación de las osteonas con la dirección de la carga que

soporta el hueso, el tejido cortical puede considerarse que tiene un comportamiento

transversalmente isótropo. Se puede asemejar a un material compuesto con las fibras en la

dirección de la carga, las cuales se deslaminan con respecto a la matriz al sufrir una carga de

tracción en dirección transversal. Esto hace que se llegue a la conclusión de que el

comportamiento del hueso es mejor (mayor rigidez y resistencia) en dirección longitudinal

que en dirección transversal. También hay que tener en cuenta, que la resistencia es

asimétrica, es mayor a compresión que a tracción.

Hueso trabecular: la anisotropía del hueso trabecular está íntimamente relacionada con su

forma u orientación de los poros del tejido, y no con su tamaño. Se suele recurrir a la medida

de la anisotropía local de una microestructura que se realiza mediante el fabric tensor

definido por el concepto de longitud de intersección promedio, MIL. Consiste en trazar líneas

paralelas sobre el hueso trabecular y medir la distancia entre dos intersecciones de dicha línea

con el material óseo. Este valor es función del ángulo θ y representa una elipse orientada

según la dirección de la carga. Para el caso tridimensional tendríamos un tensor simétrico de

segundo orden, el MIL, denotado por L. Este tensor se normaliza para desacoplar la


influencia de la porosidad de la de la microestructura.

Figura 2-15: Tensión vs deformación del tejido cortical

Figura 2-16: Estructura trabecular para la medición de MIL y función 2D resultante.

2.7. Efecto piezoeléctrico

La piezoelectricidad es un fenómeno que fue descubierto y puesto de manifiesto por Pierre y Jacques

Curie en 1883 y que ocurre en determinados cristales que, al ser sometidos a tensiones mecánicas, se

produce en ellos una separación de cargas positivas y negativas de su centro de gravedad y una

movilización de electrones y cargas eléctricas, por lo que adquieren una polarización eléctrica en su

masa y una diferencia de potencial en sus superficies, generándose dipolos elementales en su masa

(Figura 2-17). Esta propiedad, aparece en sistemas altamente organizados, gracias a su estructura

reticular. Este fenómeno se presenta también a la inversa, es decir, los materiales se deforman bajo la

acción de fuerzas internas cuando son sometidos a un campo eléctrico o voltaje exterior.

Como sabemos, los huesos del organismo están formados por una matriz extracelular que combina la

acción del colágeno tipo I como parte orgánica y de los diferentes cristales de hidroxiapatita como

parte inorgánica. Al sufrir un hueso un esfuerzo mecánico, la matriz de colágeno se deforma,

transmitiendo esa deformación a los cristales de hidroxiapatita lo que hace que aparezca un potencial

eléctrico en ellos, haciéndolos responsables del efecto piezoeléctrico en el sistema óseo.

Biología ósea

18

También hemos visto, que al producirse una rotura en un hueso se forma alrededor de la misma un

callo de fractura de fibras de colágeno no orientadas, pero mineralizadas. Este callo, provoca

deformaciones en el hueso lo que hace que aparezcan tensiones de remodelación, haciendo también

que la hidroxiapatita se comporte como material piezoeléctrico y aparezcan diferencias de potencial

y cargas eléctricas, lo que nos hace pensar que el proceso de remodelación ósea es un proceso

gobernado por el comportamiento piezoeléctrico de la fase mineral de la matriz extracelular.

Figura 2-17: Efecto piezoeléctrico

19

3 MODELOS DE PIEZOELECTRICIDAD

omo hemos visto el hueso posee unas propiedades mecánicas que se acoplan a unas propiedades

piezoeléctricas que son las encargadas de que las células óseas se activen y comience la

remodelación.

A lo largo de este capítulo, vamos a ver la formulación del modelo piezoeléctrico que

posteriormente se utilizara sobre la malla de elementos finitos para analizar la influencia de este

efecto sobre la remodelación ósea. Se hará todo de forma numérica, sin necesidad de recurrir a los

experimentos en vivo, por ser estos más costosos, por razones éticas o por imposibilidad de ser

realizados.

En este trabajo se va a tratar con detenimiento el estudio del efecto piezoeléctrico sobre la

remodelación ósea, de tal forma que veamos cómo evoluciona el desplazamiento eléctrico que

aparece en un hueso largo al ser sometido a un esfuerzo mecánico concreto.

3.1 Modelo piezoeléctrico

3.1.1 Definición del modelo isótropor

Las ecuaciones que gobiernan el efecto piezoeléctrico en un material, sin importar cuál sea, en

equilibrio estático pueden expresarse mediante dos ecuaciones independientes, una representa la

conservación del momento lineal y la otra la conservación de la carga eléctrica.

Σij,j + bi = 0 (3-1)

Di,i + b4 = 0 (3-2)

Las variables representan la tensión, 𝜎𝑖𝑗, el desplazamiento eléctrico, 𝐷𝑖, las fuerzas, 𝑏𝑖, y las cargas,

𝑏4. Los índices repetidos indican suma, y las comas indican derivación. Las ecuaciones constitutivas

relativas al efecto de la deformación y del campo eléctrico sobre la tensión y el desplazamiento

eléctrico serian:

σij = cijklSkl − elijEl (3-3)

Di = eiklSkl + εilEl (3-4)

C

Modelos de piezoelectricidad

20

Donde S representa la deformación elástica y E representa el campo eléctrico. La deformación está

relacionada con el desplazamiento u y el campo eléctrico está relacionado con el potencial eléctrico.

Sij =1

2(ui,j + uji) (3-5)

Ei = −ϕ,i (3-6)

Estas son las ecuaciones básicas del efecto piezoeléctrico para cualquier material. Cabe destacar que

al tratarse de un material óseo tenemos que caracterizarlas para nuestro modelo. Para ello, tenemos

que considerar nuestro material óseo como un material elásticamente isótropo asumiendo que el

módulo de Poisson es independiente de la densidad del hueso. También destacamos, que el módulo

de Young se puede modelar por la siguiente ecuación.

E(ρ) = Mργ (3-7)

Donde M y γ son constantes positivas que caracterizan el comportamiento del hueso. Podemos

obtener estas constantes analizando el hueso. El valor de las constantes seria:

M = 3790 γ = 3 ν = 0.3 (3-8)

Para introducir el comportamiento piezoeléctrico en el modelo, tenemos que acoplar el efecto

mecánico al efecto eléctrico mediante el término (𝜌/𝜌∗)𝛾. Esta función garantiza que el campo

eléctrico se incrementa con la densidad del hueso. Aplicando esto a las ecuaciones constitutivas del

tensor de tensiones y el desplazamiento eléctrico tenemos:

𝛔 = 2μ(ρ)𝛆(𝐮) + λ(ρ)Div(𝐮)I − (ρ

ρ∗)

γ

ϵ∗𝐄(φ) (3-9)

𝐃 = 𝐃𝛆 + 𝐃𝐄 = (ρ

ρ∗)

γ

ϵ𝛆(𝐮) + (ρ

ρ∗)

γ

β𝐄(φ) (3-10)

En esta ecuación se identifican el desplazamiento, la deformación y el campo eléctrico por sus

denotaciones habituales, 𝐮, 𝛆, 𝐄(φ). También incluimos tres tensores, el piezoeléctrico, 𝜖, el tensor

de permitividad eléctrica, 𝛽, y el operador identidad, I. Aplicamos la divergencia al vector

desplazamiento, Div(u), y además añadimos dos coeficientes de Lame, 𝜇(𝜌) y 𝜆(𝜌), del materia

asumiendo dependencia con la densidad aparente del hueso.

En este trabajo asumimos que el hueso se comporta como un cristal con geometría hexagonal

(Fotiadis et al., 1999; Qin and Ye, 2004). Por tanto, el tensor piezoeléctrico está definido por cuatro

valores y el tensor de permisividad eléctrica es una matriz diagonal con dos constantes. Estos

tensores se expresan con las siguientes matrices:

ϵ = [0 0 00 0 0

e31 e31 e33

e14 e15 0e15 −e14 00 0 0

] β = [

β11 0 00 β11 00 0 β33

] (3-11)

Donde la tercera dirección coincide con la dirección longitudinal de un hueso largo. De acuerdo con

Fotiadis et al. (1999) consideramos que las constantes arriba descritas toman los siguientes valores.

E31 = 1.50769 x 10−9C

mm2 e33 = 1.87209 x 10−9

C

mm2 (3-12)


e15 = 3.57643 x 10−9C

mm2 e14 = 17.88215 x 10−9

C

mm2

β11 = 8854 x 10−12C2

N mm2 β33 = 106.248 x 10−12

C2

N mm2

Según García-Aznar [6], este es el procedimiento de obtención de las propiedades piezoeléctricas del

hueso y son las que se van a utilizar al aplicar dicho modelo de piezoelectricidad a nuestro modelo de

elementos finitos, que describiremos a continuación.

3.1.2 Definición del modelo ortótropo

Como hemos visto en el punto anterior, se define el modelo piezoeléctrico considerando que el

material óseo es completamente isótropo. Durante el capítulo 2 definimos el material que formaba el

tejido óseo, y vimos que se trataba de un material completamente isótropo, debido a la orientación de

las fibras de colágeno y a los cristales de hidroxiapatita.

Se han hecho grandes simplificaciones en el aparatado anterior para llegar a considerar al hueso

como material isótropo. Además de realizar esta consideración, hemos decidido ver también el efecto

de la piezoelectricidad en un material ortótropo que se separa un poco del que ya hemos definido,

pero que no llega a ser completamente anisótropo.

Para definir un material ortótropo, es necesario introducir al modelo el módulo de cortadura G. Es

necesario definir de nuevo los parámetros del material. En este caso, se tienen los siguientes

parámetros:

E1 = E2 = 45.98ρ2.45α3.01 (3-13)

E3 = 52.74ρ0.95α2.72 (3-14)

G31 = G32 = 19.65ρ1.79α3.10 (3-15)

ν12 = 0.51 − 0.83ρ − 1.29α + 3.96ρα + 1.32α2 − 3.79ρα2 (3-16)

ν13 = ν23 = −0.29 + 1.77ρ + 0.77α − 4.90ρα − 0.64α2 + 4.04ρα2 (3-17)

ρ = (1.41 + 1.29α)vb (3-18)

α = 0.7 (3-19)

Como vemos en este caso, tenemos que aparecen muchos más parámetro en la definición del

material que harán que el hueso se comporte como ortótropo en lugar de como isótropo. Esta

definición de los parámetros está definida por Reina [4].

Tenemos que, para analizar correctamente el problema ortótropo, es necesario definir la variable

independiente del mismo. En este caso, como en el del material isótropo, determinamos que la

variable independiente va a ser la densidad del hueso, la cual tomará los valores deseados para poder

analizar las diferentes situaciones del hueso.

Por ello y, aun contradiciéndome con lo citado anteriormente, vamos a tomar un valor de la densidad

tal que la fracción de hueso (vb) alcance el 90%. Teniendo en cuenta este valor y el de la fracción de

ceniza (α) podemos obtener el valor de la densidad para la que se van a realizar todos los análisis.

Vb = 90% = 0.9 ρ = 2.08 ≅ 2.1 (3-20)


22

3.1.3 Definición del modelo con giro

Además de definir un segundo modelo para el posterior análisis, vamos a definir otro que aplique un

giro al sistema coordenado de forma que adquiera una configuración más similar a la real.

En el material isótropo hemos tomado la hipótesis de que las fibras de colágeno siguen la dirección

del eje longitudinal del hueso. Esto nos permite suponer que el módulo de cortadura es despreciable

con respecto al módulo de elasticidad y que además ninguna de las constantes del hueso depende de

la fracción de hueso y de la fracción de ceniza.

A la hora de introducir la ortotropía en el material hace que las fibras de colágeno se orienten

aleatoriamente apareciendo las dependencias antes mencionadas.

Vamos a volver a modificar el modelo para que se parezca aún más a la realidad del hueso. Para que

el modelo sea lo más parecido a la realidad, vamos a aplicar el giro antes mencionado al sistema de

referencia local del hueso. Las fibras de colágeno se encuentran, más que orientados en la dirección

longitudinal o de manera aleatoria en el hueso, formando una espiral abierta, en forma de cono, que

se va expandiendo a lo largo de la diáfisis. Para poder implementar este giro en el sistema de

referencia local, en nuestro caso coordenadas cilíndricas, simplemente aplicamos un giro sobre el eje

radial y otro sobre el eje circunferencial.

Φ = −20° δ = 5° (3-21)

En este caso, el primer ángulo representa el giro sobre el eje radial y el segundo, representa el giro

con respecto al eje circunferencial.

3.2 Modelo de elementos finitos

3.2.1 Definición de la malla geométrica

Dado el método de resolución que vamos a aplicar en este trabajo, es necesario definir un modelo

geométrico tridimensional de elementos finitos. El modelo a tratar será un cilindro hueco, que

dependiendo de la etapa, tendrá su superficie interior y exterior deformada de cierta manera. El

proceso por el cual vamos a obtener la malla es muy simple.

En concreto, para este trabajo se ha utilizado una malla de 11220 nodos y de 10000 elementos todos

correspondientes al tipo C3D8 (Figura 3-1).

Una vez definidos los elementos que se van a usar en el modelo, es necesario crear la forma del

mismo. Nosotros vamos a analizar una sección de un hueso largo, en este caso un fémur humano, en

la que se ha producido una fractura y se ha formado el callo. Vamos a definir por tanto cinco

geometrías, que serían cinco estadios distintos en el proceso de reabsorción del callo de fractura. Para

ello, simplemente se ha ampliado la dimensión radial de los elementos centrales de la sección (Figura

3-2).

Definido el número de elementos y el modelo sobre el que vamos a aplicar la piezoelectricidad, es

necesario pararse a pensar sobre qué zona vamos a estudiar el comportamiento del desplazamiento

eléctrico. Aplicando el criterio de Saint Venant tenemos que la solución será válida a una distancia D

de la zona en la que se aplican las cargas y en la que se encuentra las condiciones de contorno.

Debido a esto, únicamente se va a analizar la zona central de nuestro cilindro, ya que, es la zona en la

que la solución es válida. En la figura 3-3 mostramos la zona de análisis para un callo de fractura sin

remodelación, completamente formado.

Cabe destacar que el callo de fractura, no sólo deforma la superficie exterior de nuestro cilindro, lo


que se asemejaría al periostio del hueso, sino que también deforma la superficie interior, aunque con

menos curvatura, del mismo, se asemejaría al endostio. Decir también, que en un proceso de

remodelación el hueso se tapona por completo, llegando el canal medular a cerrarse dividiéndose en

dos. Es nuestro caso, no hemos podido cerrar el canal medular al completo, ya que posteriormente,

en los análisis el modelo piezoeléctrico da problemas (Figura 3-4).

Figura 3-1: Elemento usado en el modelo

a) b)

c) d)

e)

Figura 3-2: Modelo de elementos finitos. A) Tamaño del callo 0%, b) Tamaño del callo 25%, c) Tamaño del

callo 50%, d) Tamaño del callo 75%, e) Tamaño del callo 100%.


24

Figura 3-3: Zona central de estudio para un callo sin remodelación.

Figura 3-4: Deformación del periostio y del endostio sin cerrar el canal medular completamente.

3.2.2 Aplicación de las cargas

Como queremos obtener el efecto de la piezoelectricidad en un fémur humano, vamos a medir el

desplazamiento eléctrico en cada una de las mallas que hemos definido anteriormente. Para que se

produzca este desplazamiento eléctrico, es necesario que sobre el hueso esté aplicada una carga que

lo deforme, haciendo así que los cristales obtengan la diferencia de potencial que activa el efecto

piezoeléctrico.

Para nuestro proyecto, vamos a considerar tres tipos distintos de métodos de carga. Al aplicar estas

cargas queremos ver si coincide con los procesos biológicos que tiene lugar en el hueso, en nuestro

caso ver si el desplazamiento eléctrico va disminuyendo conforme el callo se va reabsorbiendo.

Carga de Flexión: se va a aplicar una carga de flexión horizontal en la dirección del eje ‘X’

cartesiano positivo. Esta carga se va a aplicar sobre un grupo de nodos de la diáfisis. Cada

nodo estará sometido a una fuerza de 20 puntos de magnitud. Al encontrarse los cinco


elementos sometidos a la misma carga, en la misma dirección y con el mismo sentido, la

fuerza total de flexión es de 100 puntos en la dirección antes mencionada.

Carga de Torsión: la carga de torsión se aplicará en cuatro nodos distintos del periostio de

la diáfisis del hueso. La carga se aplicará en los nodos que se encuentran en el eje ‘X’ y en el

eje ‘Y’ cartesiano, tanto en la parte positiva como negativa de los mismos. La carga de

torsión será de 20 puntos en los cuatro nodos citados, pero con sentidos distintos para

producir el efecto de torsión deseado.

Carga combinada de Flexo-Torsión: Vamos a combinar las cargas descritas anteriormente

para ver el comportamiento que tiene nuestra sección de hueso. Para ello, se van a aplicar dos

cargas distintas en los cuatro mismos nodos en los que se aplicó la carga de torsión. En este

caso las cargas a aplicar serán:

Tabla 3-1: Combinación de cargas

Nodo Dirección X Dirección Y

1 -19.2684 -19.9911

2 4.9011 4.1784

3 -19.2684 28.3478

4 -43.4378 4.1784

3.2.3 Condiciones de contorno

Para poder completar el análisis del modelo es necesario definir las condiciones de contorno que

vamos a aplicar en nuestro modelo. Como bien sabemos las condiciones de contorno son las

restricciones al movimiento que se aplica sobre un cuerpo. Existen diferentes tipos de restricciones,

las cuales se pueden aplicar sobre un punto concreto de cualquier estructura o sólido. Nuestro solido

(hueso) está definido por infinidad de nodos, concretamente 11220, y estos, a su vez, forman los

elementos (10000) que definen el mallado de nuestro hueso.

Necesitamos conocer el valor del desplazamiento eléctrico en los elementos de la diáfisis que no

estén expuestos a las variaciones en las tensiones, debido al criterio de Saint Venant.

Queremos imponer unas condiciones de contorno que impidan completamente el movimiento de la

base del hueso, es decir, queremos representar un empotramiento perfecto en el extremo opuesto al

que se van a aplicar las cargas. Para poder obtener este empotramiento aplicamos la siguiente tabla

de restricciones.

Como observamos, el desplazamiento en las tres direcciones está completamente restringido. Por un

lado, dos nodos específicos restringen el desplazamiento en la dirección horizontal y vertical, y por

otro, toda la cadena de nodos del contorno exterior del hueso tiene tanto el desplazamiento en la

dirección longitudinal del hueso, como los tres giros restringidos, por lo que esto implica que esa

cadena de nodos no va a desplazarse ni girar en ninguna de las direcciones, posee todos los grados de

libertad restringidos.


26

Tabla 3-2: Condiciones de contorno aplicadas al modelo

Nodo Ux Uy Uz θx θy θz

201 0 0 - - - -

211 - 0 - - - -

1-220 - - 0 0 0 0

27

4 ANÁLISIS DE LOS MODELOS DE

PIEZOELÉCTRICIDAD APLICADO A UN FÉMUR

HUMANO

na vez se han desarrollado los distintos modelos de piezoelectricidad que vamos a usar, se ha

procedido a implementarlos numéricamente para su posterior análisis en un programa de

resolución de problemas mediante el método de los elementos finitos. Para ello, se ha hecho

uso del programa ABAQUS© 6.10-2 y el programa Matlab R2013a, en el que se ha modelado

geométricamente un trozo de fémur humano, semejante a un cilindro hueco. Se han incluido también

las cargas definidas en el capítulo anterior.

Las distintas variantes del modelo piezoeléctrico isótropo se han implementado en ABAQUS©, el

cambio de material, y en Fortran©, el giro que se aplica posteriormente, mediante la subrutina

ORIENT, incluida en la definición del efecto piezoeléctrico, y que puede ser leída por ABAQUS

como una extensión del problema de elementos finitos. Esta subrutina es usada para definir la

orientación que va a experimentar el sistema de referencia local que posee nuestro hueso.

Se van a implementar tres tipos distintos de material, cada uno de ellos con tres casos de cargas

distintos, lo que hace que tengamos que resolver un total de 9 problemas de piezoelectricidad.

En este momento y para cada uno de los caso de carga, vamos a definir diferentes etapas de la

remodelación ósea y comprobaremos el valor del desplazamiento eléctrico y de algunas variables

que interviene en este proceso.

El parámetro que más nos interesa es, claramente, el vector desplazamiento eléctrico, pero

especialmente en una dirección, ya que la mayor remodelación se va a encontrar en la dirección

radial, lugar donde se va a apreciar más el cambio que experimenta el hueso. Analizaremos en los

siguientes puntos lo descrito anteriormente.

Se analizará el valor del desplazamiento eléctrico en la sección central del hueso ya que es el lugar

donde se alcanzan los mayores valores del mismo, y donde no aparecen valores extraños debido a las

condiciones de contorno y a la carga aplicada.

U

Análisis de los modelos de piezoeléctricidad aplicado a un fémur humano

28

4.1 Simulaciones y resultados

4.1.1 Modelo piezoeléctrico isótropo

Este es el modelo más sencillo que vamos a analizar. En la figura 4-1 vamos a observar los distintos

valores que va a tomar el vector desplazamiento eléctrico para la evolución del tamaño del callo de

fractura y para la carga de flexión.

Usando la lógica, al aplicar una carga de flexión en la dirección en la que se indica en el capítulo

anterior, el hueso se deforma en dicha compresión haciendo que la mitad del mismo se comprima y

la otra mitad se traccione. Al comprimirse cierta zona del hueso deben de aparecer cargas negativas

lo que favorece la aparición de un desplazamiento eléctrico positivo que hace que se empiece a

generar hueso en esa zona para paliar los efectos de la compresión. Por otro lado, la zona

traccionada, que sufre cargas positivas, debe experimentar un desplazamiento eléctrico negativo, lo

que implica que el hueso va a ir destruyéndose poco a poco y ajustándose a una configuración más

favorable.

Esa sería la situación teórica y que, más o menos, podría ser la real. Si observamos las distintas

configuraciones de la figura 4-1, podemos ver que el desplazamiento eléctrico no se encuentra en la

zona que teóricamente debe de estar, lo que implica que no sea del todo correcto.

Analicemos por otro lado el modulo del desplazamiento eléctrico. Dicho modulo debe alcanzar su

valor máximo cuando el callo está completamente formado, e ir disminuyendo conforme éste se

reabsorbe y el hueso se remodela, llegando a su valor mínimo cuando el hueso está completamente

remodelado.

Volvemos a observar que esto no ocurre ya que obtiene su valor máximo cuando el hueso está

completamente remodelado. Esto implica que el desplazamiento eléctrico promueve más

remodelación en el momento en el que el callo de fractura no existe que cuando está completamente

formado.

Si hablamos de carga de torsión, sabemos que esta se encuentra distribuida por todo el contorno de

nuestro hueso, lo que implica que la superficie exterior, el periostio, sufra una mayor tensión que la

superficie interior, endostio.

Al tratarse de una carga de torsión, sabemos que la sección más desfavorable no va a ser la central,

ya que la mayor carga se va a concentrar en los puntos donde se encuentran las restricciones al

movimiento. Aun así, la sección que más nos interesa analizar es la central debido a que es en la que

el callo alcanza su mayor tamaño.

En este caso, el desplazamiento eléctrico va disminuyendo conforme nos acercamos al centro del

hueso. Esto implica que aparece una mayor remodelación en el contorno exterior que en el interior lo

que implicaría, en términos biológicos, que el callo no se estaría reabsorbiendo sino que se estaría

creando haciendo que el hueso aumentara de tamaño (Figura 4-2).

Como último análisis para este material, vamos a ver el comportamiento del desplazamiento eléctrico

a la hora de aplicar una carga combinada de flexión y torsión. Al realizar esta combinación, es

necesario tener en cuenta la contribución de cada carga a las tensiones finales de la sección.

En este caso, la tensión no sigue una dirección coordenada. Esto implica que, en principio, el

desplazamiento eléctrico sea también una combinación lineal de los dos desplazamientos anteriores

para las cargas separadas. Al realizar el análisis vemos que no es así, ya que el desplazamiento

eléctrico se encuentra distribuido de manera completamente diferente.

Dicho desplazamiento toma valores positivos solamente en una zona concreta de la sección, lugar de


destrucción del hueso, y en el resto de la misma toma valores por debajo de cero, zona de creación de

hueso (Figura 4-3).

a) b) c)

d) e)

Figura 4-1: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de flexión.


30

a) b) c)

d) e)

Figura 4-2: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de torsión


a) b) c)

d) e)

Figura 4-3: Desplazamiento eléctrico para el material isótropo ante carga de flexo-torsión


32

4.1.2 Modelo piezoeléctrico ortótropo

Este modelo lo que pretende es ajustar más aun los resultados del material isótropo ya que hemos

hecho una gran simplificación a la hora de despreciar diversas constantes que definen el material.

A la luz de los resultados anteriores, suponemos que el cambio de material únicamente proporcionará

una resolución del problema más fina que la del material isótropo, ajustando más el modulo del

desplazamiento eléctrico.

Vamos a realizar el mismo análisis que en el apartado anterior para ver exactamente los resultados

para los distintos casos de carga. Obtenemos los resultados para la carga de flexión (Figura 4-4), para

la carga de torsión (Figura 4-5) y frente a la combinación de ambos esfuerzos (Figura 4-6).

a) b) c)

d) e)

Figura 4-4: Desplazamiento eléctrico para un material ortótropo ante carga de flexión


a) b) c)

d) e)

Figura 4-5: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo ante carga de torsión


34

a) b) c)

d) e)

Figura 4-6: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo ante carga de flexo-torsión


4.1.3 Modelo piezoeléctrico ortótropo con giro aplicado

Como hemos descrito anteriormente, se le ha aplicado un giro al sistema de referencia local para

asemejar aún más el material que estamos definiendo al real. Este modelo realiza un ajuste más fino

de la situación real que se puede llegar a dar en el hueso.

Como resultados del análisis de este modelo, esperamos obtener resultados parecidos a los anteriores,

pero que además se encuentran girados con respecto a ellos, debido al giro que experimenta el

sistema de referencia de nuestro hueso.

Realizando el mismo análisis que en los apartados anteriores, podemos obtener los resultados

mostrados en las distintas figuras para las distintas cargas, flexión (Figura 4-7), torsión (Figura 4-8) y

flexo-torsión (Figura 4-9).

a) b) c)

d) e)

Figura 4-7: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de flexión


36

a) b) c)

d) e)

Figura 4-8: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de torsión.


a) b) c)

d) e)

Figura 4-9: Desplazamiento eléctrico de un material ortótropo con giro aplicado ante carga de flexo-torsión


38

4.2 Dependencia del desplazamiento eléctrico con las deformaciones tangenciales

En el apartado anterior hemos visto cómo se comporta el vector desplazamiento eléctrico,

dependiendo del tipo de carga y del material que apliquemos al modelo. Pero, unido a estas dos

dependencias, existe una mucho más importante que a su vez depende del tipo de material y de la

carga. Esta dependencia, que verdaderamente es la que impone la dirección y el módulo del

desplazamiento eléctrico, la podemos ver en la ecuación (3-11) que nos muestra la definición de

dicho desplazamiento.

La parte predominante de la ecuación de definición del desplazamiento eléctrico es la contribución

mecánica, lugar donde entra en juego la deformación que sufre el hueso. Esto hace que el

desplazamiento eléctrico se adapte a ella. A su vez, dentro de las deformaciones que sufre el hueso,

tenemos que centrarnos en las deformaciones tangenciales debido a que, según la definición del

tensor de piezoelectricidad, son las únicas que están multiplicadas por un coeficiente distinto de cero

para la componente del vector desplazamiento eléctrico que nos interesa, la componente radial.

Se va a analizar el efecto de la deformación en la sección del hueso remodelada solamente al 50% ya

que el efecto es idéntico en el resto de secciones.

Como podemos observar la deformación tiene diferente distribución dependiendo de la dirección en

la que se mire. En este caso, la distribución predominante es la que se encuentra en la dirección

tangencial 2-3, tomando valores de al menos un orden de magnitud superior a las otras dos. Esto

hace que el comportamiento del desplazamiento eléctrico sea el que “impone” la deformación en la

dirección antes citada.

Si observamos el tensor de piezoelectricidad (ecuación (3-11)) vemos, que las componentes del

vector deformación que impondrían la dirección y el modulo del desplazamiento eléctrico serían ε12

y ε13. Por otro lado, la deformación tangencial que nos quedaría analizar estaría multiplicada por

cero, por lo que no contribuiría al desplazamiento eléctrico.

Como vemos en nuestro modelo, no se alcanzan los resultados definidos por la teoría de la

piezoelectricidad que realizan Fernández, García-Aznar y Martínez, debido a que el desplazamiento

se asemeja a la deformación predominante, lo que nos hace pensar que dicha deformación no se

encuentra multiplicada por un coeficiente nulo.

Estos resultados son extrapolables a los distintos casos de carga que hemos analizado en el apartado

anterior, y a los diferentes materiales aplicados al modelo, no siendo necesario mostrarlos todos. Si

vamos a analizar el comportamiento del modelo al que se le ha aplicado el material ortótropo, y el

giro en el sistema de referencia local del hueso ante la misma carga, flexión pura.

Como observamos en la figura 4-11, la deformación tangencial ε12 y ε23 aparecen giradas, debido al

cambio de orientación que se ha aplicado al sistema de referencia local del hueso. Esto hace que el

desplazamiento eléctrico, al depender directamente de la deformación, aparezca girado como vemos

en la figura 4-7.


Figura 4-10: Distribución de las deformaciones tangenciales ante carga de flexión en un material isótropo

Figura 4-11: Distribución de la deformación tangencial en el material ortótropo con giro aplicado ante carga de

flexión


40

4.3 Comparación de resultados

4.3.1 Modelo isótropo vs Realidad

En primer lugar, es necesario comparar el modelo isótropo usado, ya que es el modelo básico que se

aplica para analizar la piezoelectricidad, con lo que ocurre en un hueso real. Cuando un hueso se

fractura y se forma el callo, éste se regenera sin necesidad de que se aplique ninguna carga externa,

debido a la remodelación ósea impulsada por el efecto piezoeléctrico. Este efecto produce un

desplazamiento eléctrico que permite la remodelación, siendo mayor cuando las tenciones internas

del hueso son mayores, momento en el que el callo de fractura es mayor.

Como hemos descrito, el momento en el que las cargas que aparecen en el hueso son mayores,

momento con el callo sin remodelar, el desplazamiento eléctrico experimenta sus mayores valores.

En nuestro caso ocurre exactamente lo contrario, cuando el callo de fractura es mayor, el

desplazamiento eléctrico es menor y viceversa. Esto es debido a la distribución de deformaciones

que experimenta el hueso, como se comenta en el apartado anterior, haciendo que el desplazamiento

eléctrico no solo no se ajuste a la realidad, sino que además su comportamiento es opuesto al que

debe de tener.

4.3.2 Modelo isótropo vs Modelo ortótropo

Si comparamos ahora los modelos en los que se aplican materiales distintos, vamos a ver que no

existe gran diferencia entre ellos. La única diferencia apreciable (Figura 4-12) es el valor que toma el

módulo del desplazamiento eléctrico, ya que para el material ortótropo es mayor que para el isótropo.

Como podemos observar en la figura, la distribución es exactamente la misma para los tres casos de

carga.

A la hora de analizar ocurre exactamente lo mismo ante carga de torsión y flexo-torsión. El módulo

del desplazamiento eléctrico es mayor conforme se remodela el hueso y también aumenta al cambiar

el tipo de material.

4.3.3 Modelo isótropo vs Modelo ortótropo con giro aplicado

A la hora de aplicarle el giro al sistema de referencia local, y por tanto al tensor de piezoelectricidad,

vamos a obtener una distribución del desplazamiento eléctrico distinta. Esta distribución se asemeja

más a la realidad, pero debido al modelo isótropo, que, según la teoría, debería asemejarse al real, las

distribuciones son muy dispares (Figura 4-13). Con respecto al valor del módulo del desplazamiento

eléctrico tenemos que decir, que también se alcanzan valores muy dispares, ya que la diferencia es de

varios órdenes de magnitud, siendo la distribución del ortótropo con giro, la que alcanza mayores

valores de dicho módulo.


Material Isótropo Material ortótropo

Figura 4-12: Modelo isótropo vs Modelo ortótropo


42

Material Isótropo Material ortótropo con giro aplicado

Figura 4-13: Modelo isótropo vs Modelo ortótropo con giro aplicado

4.4 Distribución del desplazamiento eléctrico

A lo largo de este capítulo hemos visto los distintos resultados del análisis de nuestros modelos. A la

hora de realizar el proceso de remodelación ósea obtenemos diferentes valores del desplazamiento

eléctrico. Vamos a comparar cómo es dicho valor para el elemento más desfavorable en cada caso de

carga y para cada modelo empleado.


Figura 4-14: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Flexión

Figura 4-15: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Torsión

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11x 10

-12

% de tamaño del callo

Despla

zam

iento

Ele

ctr

ico

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10

-12


Despla

zam

iento

Ele

ctr

ico


44

Figura 4-16: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material isótropo. Carga de Flexo-Torsión

Figura 4-17: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Flexión

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

-11


Valo

r absolu

to d

el D

espla

zam

iento

Ele

ctr

ico

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-8


Despla

zam

iento

Ele

ctr

ico


Figura 4-18: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Torsión

Figura 4-19: Distribución del desplazamiento eléctrico para un material ortótropo. Carga de Flexo-Torsión

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

-8


Despla

zam

iento

Ele

ctr

ico

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5x 10

-8


Valo

r absolu

to d

el despla

zam

iento

Ele

ctr

ico


46


Flexión.


Torsión.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1002

4

6

8

10

12

14x 10

-9


Despla

zam

iento

Ele

ctr

ico

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x 10

-8


Despla

zam

iento

Ele

ctr

ico



Flexo-Torsión.

Como podemos observar la tendencia de las distribuciones son a ascender, es decir, conforme la

remodelación se realiza, el valor del desplazamiento eléctrico aumenta.

Si pensamos en el proceso de remodelación, parece lógico imaginar que, cuanto mayor sea el tamaño

del callo, mayor será el valor del desplazamiento eléctrico y viceversa. En este caso, vemos que

difieren muchísimo de la realidad, debido a que dicha distribución hace que el desplazamiento

eléctrico aumente conforme se remodela el hueso, es decir, a mayor tañano del callo, menor valor del

desplazamiento eléctrico.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-8


Valo

r absolu

to d

el D

espla

zam

iento

Ele

ctr

ico


48

49

5 CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS

5.1 Resumen del trabajo realizado y conclusions

El objetivo principal de este trabajo era observar el efecto de la piezoelectricidad en el proceso de

remodelación ósea, aplicándolo a un modelo de elementos finitos de una sección de un hueso largo,

en nuestro caso un fémur humano, sometido a distintas cargas. Para analizar dicho proceso, se tomó

como variable el desplazamiento eléctrico que aparece en el hueso a la hora de ser sometido a una

determinada carga.

En el capítulo 2 se realiza una introducción a la biología del tejido óseo y del proceso de

remodelación de dicho tejido. En primer lugar, se detalla la estructura propia de los distintos tipos de

tejido óseo y se hace una clasificación de dicha estructura. A continuación, se detallan las diferentes

células óseas que componen el tejido antes mencionado y se describe detalladamente su función y su

importancia en el proceso de remodelación ósea. También hablamos de la morfología del hueso a

estudiar, en nuestro caso un fémur humano, y de las distintas zonas que la componen y de donde se

va a obtener nuestra sección de estudio. Posteriormente, hablamos del proceso propio de

remodelación, analizando las diferentes fases que intervienen en dicho proceso junto con la actividad

celular asociada. Por último se comenta que es el efecto piezoeléctrico y por qué se da en este tipo de

material.

Siguiendo por el capítulo 3, se hace una descripción detallada del modelo piezoeléctrico que se va a

utilizar en los distintos análisis, así como las variantes que le hemos aplicado al mismo. Se ha

contemplado tanto el modelo isótropo original como un modelo que se ajusta más al proceso,

haciendo el material ortótropo, y otro que se ajusta aún más al proceso, añadiendo un giro al tensor

de piezoelectricidad. Se ha analizado el modelo de elementos finitos empleado, así como, las

diferentes cargas y condiciones de contorno aplicadas.

Para terminar, en el capítulo 4 se han presentado los resultados de los diferentes análisis para los

distintos modelos y se han comparado los mismos. Se ha usado el desplazamiento eléctrico como

variable para comparar los diferentes modelos entre sí.

Con esto, es posible sacar algunas conclusiones:

1. El modelo de piezoelectricidad empleado en este trabajo no asemeja los resultados a la

realidad, ya que no proporciona una solución correcta para el proceso remodelatorio.

2. Es fácil obtener el desplazamiento eléctrico a partir de las cargas y deformaciones a través

del tensor de piezoelectricidad.

Conclusiones y desarrollos futuros

50

3. Es necesario contemplar la posibilidad de que estos resultados son así debido a un fallo en el

tensor de piezoelectricidad a la hora de implementarlo o de generar sus constantes. Es preciso

señalar también que no se ha encontrado dicho error dentro del modelo y que por tanto no ha

sido posible subsanarlo.

4. El material ortótropo es capaz de ajustarse mejor a las condiciones reales del hueso en el

proceso de remodelación, aun no teniendo la distribución del desplazamiento eléctrico

deseada.

En este punto deberíamos preguntarnos, ¿por qué se producen estos errores si se ha aplicado el

mismo modelo que expresa García-Aznar? A la hora de realizar los análisis, es lógico pensar que

deberían obtenerse al menos resultados parecidos a los que expresa nuestro autor referente en su

artículo.

Si tuviesesmos que plantarnos responder a la pregunta formulada antes, diríamos, como se explica en

el punto 4 anterior, que dichos errores se han producido por algún fallo cometido en el diseño de

García-Aznar. En este caso, sabemos que el modelo es completamente correcto deido a que ya ha

sido porbado por el propio García-Aznar en su modelo. Aquí surge otra pregunta, ¿qué es lo que

produce este fallo?

Se ha explicado con anterioridad qu el tensor de deformaciones va multiplicado por el tensor de

piezoelectricidad y que esto lleva a que alguno de los términos se anulen, ¿por qué en nuestro caso

no se están anuladon los términos correctos? Queda claro que el modelo aplicado es el mismo, en

cambio no se otienen los mismo resultados.

¿Qué falla en nuestro modelo que si ha sido considerado por García-Aznar en el suyo? Podríamos

pensar que el fallo es interno o que efectivamente es un fallo del modelo, pero debemos descartar

esta última opción por lo mencionado antes. Si el fallo que se produce es interno, deberíamos poder

solventarlo.

A la hora de definir las deformaciones en el capitulo 3, mencionamos que la predominante es la

deformación en la dirección 3 y que esto provoca que el desplazamiento eléctrico cambie de

dirección. Este es el error que se produce en nuestro modelo. Clao está hemos encontrado el foco del

problema pero no conseguimos saber por qué se produce ya que se han usado los mismo coeficientes

que en el modelo diseñado por García-Aznar.

Tras las investigaciones realizadas no se ha encontrado el origen del problema que nos lleva a estas

conclusiones. Al no encontrarse, no hemos podido solucionarlos para que el modelo nos proporcione

los resultados correctos, cerrando el proyecto en el estado que se nos ha proporcionado.

5.2 Desarrollos futuros

A pesar del trabajo realizado, son muchos los caminos de mejora que parten de este proyecto. En

efecto, la biomecánica es una ciencia reciente y que aún no ha avanzado demasiado, sigue en

crecimiento. Muchas son las investigaciones que surgen cada día en este campo y que actúan sobre

aspectos distintos del proceso de remodelación del propio organismo. Esto permite que los modelos

numéricos empleados sigan mejorando cada día más, y cada vez asemejándose más aun a la realidad.

Aquí planteamos algunas líneas futuras de investigación:

Aplicar el modelo piezoeléctrico a un material que se asemeje más al real (anisótropo).

Realizar un análisis exhaustivo del modelo de piezoelectricidad para detectar posibles fallos.


Aplicar el modelo de piezoelectricidad a un hueso completo.

Analizar el efecto piezoeléctrico variando algunas propiedades del material

Conclusiones y desarrollos futuros

52

53

Referencias

[1] Zaworski, Z. F. G. & Hooper, C.. Study of cel kinetics evolving secondary hervasian system. J.

Anatomy, 131:91-102, 1980

[2] Carpenter, R. D. & Carter, D. R.. The mechanobiological effects of periosteal surface loads.

Biomechant Model Mechanobiol, 7:227-242, 2008

[3] G. S. Beaupré et al. An approach for time-dependent bone modelling and remodelling -

application: A preliminary remodeling simultion. J. Orthoped. Res., 5:662 - 670, 1990

[4] Martinez, J., Domínguez, J. & García-Aznar, J. M. . Effect of porosity and mineral content on

the elastic constant of cortical bone: a multiscale approach. Springer-Verlag, 2010

[5] Cooke, A. M.. Osteoporosis, Lancet, i: 878 - 882 & 929 - 937, 1955

[6] Fernández, J. R., García-Aznar, J. M. & Martínez, R.. Piezoelectricity could predict sites of

formation/resorption in bone remodellig and modelling. Journal of Theoretical Biology.

[7] Schünke, M., Schulte, E. & Schumacher, U.. Prometheus. Atlas de anatomía. Panamericana, p.

531, 2013

[8] Nordin, M. & Frenkel, V. H.. Bases biomecánicas del sistema musculoesquelético. McGraw-

Hill Interamericana, pp. 25-26, 2004

[9] Harrison, F. (2004). Sistema óseo: estructura y función. IQB: Instituto Químico Biológico. Sitio

web: http://www.iqb.es/cbasicas/fisio/cap06/cap6_1.htm#estructura

[10] García, J. & Martinez, J. Modelo de remodelación ósea interna y externa aplicados al estudio

del comportamiento del femur humano. 9, 2012

[11] Duarte, V. & Cerrolaza, M.. Modelado piezoeléctrico del hueso mediante el método de los

elementos de contorno. Revista de la Facultad de Ingeniería, 28, pp. 131-142, 2013

[12] Luque, M. L. & Reina, J.. Estudio de la morfologia del cuerpo vertebral en una L4 humana con

modelos de remodelación ósea interna y esterna. Universidad de Sevilla, proyecto fin de

carrera, p. 44, 2009

55

Glosario

ABAQUS©: Programa de elementos finitos 25

BMP: Proteínas óseas morfogénicas 4

BMU: Basic multicellular unit 12

C3D8: Elemento cuadrilátreo de 3 dimensiones con 8 nodos y 8 puntos de Gauss 21

Fortran©: Programa de gestión de programas y subrrutinas 25

Matlab: Programa de resolución de problemas matemáticos 25

MIL: Longitud de intersección promedio 15

ORIENT: Subrrutina que permite aplicar el giro al tensor de piezoelectricidad 25

PTH: Hormona paratiroidea 7

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