Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Industrial

Equation Chapter 1 Section 1

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Industrial

MÉTODOS DE DECISIÓN MULTICRITERIO

ELECTRE Y TOPSIS APLICADOS A LA

ELECCIÓN DE UN DISPOSITIVO MÓVIL

Autor: Jaime Ruiz Pallarés

Tutor: Jesús Muñuzuri Sanz

Dep. Organización Industrial y Gestión de

Empresas II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

iii

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Industrial

MÉTODOS DE DECISIÓN MULTICRITERIO

ELECTRE Y TOPSIS APLICADOS A LA

ELECCIÓN DE UN DISPOSITIVO MÓVIL

Autor:

Jaime Ruiz Pallarés

Tutor:

Javier Muñuzuri Sanz

Profesor titular

Dep. Organización Industrial y Gestión de Empresas II

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

v

Proyecto Fin de Carrera: MÉTODOS DE DECISIÓN MULTICRITERIO ELECTRE Y TOPSIS

APLICADOS A LA ELECCIÓN DE UN DISPOSITIVO MÓVIL

Autor: Jaime Ruiz Pallarés

Tutor: Jesús Muñuzuri Sanz

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2015

El Secretario del Tribunal

vii

A todas las personas que me han

hecho llegar hasta aquí

ix

Agradecimientos

Quisiera aprovechar estas líneas para hacer una mención de agradecimiento a todas las personas que me han

hecho llegar hasta aquí.

En primer lugar a mi familia. Durante todos estos años en la carrera nunca me ha faltado su apoyo, sustento

económico y comprensión. Sé que si para mí no ha sido fácil, para ellos tampoco.

Mención especial a mi novia Begoña que, aunque no haya tenido que aguantarme durante la carrera completa,

si en gran parte de ella. No ha tenido que ser fácil soportarme durante épocas de exámenes.

Sin olvidarme de mis amigos, los que ya tenía previamente a empezar la carrera y los que he hecho durante la

misma. Con ellos ha sido muchísimo más llevadero. Me gustaría hacer especial mención a mi compañero y

amigo Manuel Fontana Viñuales con el que llevo junto desde que teníamos 6 años en el colegio hasta día de

hoy. Ha sido quizá la persona más importante durante la carrera y ha sido una gran experiencia llevar el proyecto

en paralelo con él trabajando codo con codo.

Por último a mi tutor del proyecto Don Jesús Muñuzuri por todo lo que he aprendido durante la realización del

mismo y la total disponibilidad que ha mostrado a la hora de cualquiera tutoría o duda. Haber recibido clases

con él y conocer su metodología de trabajo fue clave a la hora de decidir el tutor del proyecto.

Gracias a todos, porque cada uno en su medida, habéis hecho posible la consecución de mi carrera y lo que

supone para mí a nivel personal y académico.

Jaime Ruiz Pallarés

Alumno de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Sevilla, 2015

xi

Resumen

En un mundo cada vez más complejo y globalizado en el que hay tal cantidad de factores interrelacionados a la

hora de la toma de una decisión, muchos de ellos contrapuestos, es de gran utilidad tener el mayor número de

herramientas posibles de las que podamos servirnos para elegir una alternativa entre las posibles. El grupo de

decisores se ayudará de las herramientas que les sean necesarias para, en base a distintos criterios que se analizan

de cada alternativa, elegir la alternativa a priori idónea.

En definitiva, con unos buenos decisores y unas buenas herramientas, podremos maximizar las posibilidades de

éxito de nuestra decisión.

En este proyecto aplicaremos los métodos ELECTRE y TOPSIS para la elección de un dispositivo de telefonía

móvil entre una serie de ellos de distinta gama y características. Debido a la inmensa competitividad del sector

de la telefonía móvil y su gran número de opciones a la hora de elegir un dispositivo, hemos pensado que podría

ser un gran ejemplo de aplicación. Contaremos para ello con un total de ocho decisores que nos ayudarán a elegir

la solución óptima en base a los criterios que previamente hemos elegido.

El estudio realizado podría aplicarse para que tanto fabricantes de teléfonos móviles como operadoras móviles

que también venden dispositivos móviles fabricados por los primeros, tengan una mejor visión de qué

características buscan los usuarios a la hora de elegir un teléfono móvil.

xiii

Abstract

In an increasingly globalized and complex world that has such related factors in our decision making, many of

them opposing factors, it is very useful having the greater number of tools in order to making a choice between

all the possible alternatives. Decision makers group will draw on necessary tools that enable them to make the

optimum decision.

In short, with good tools and decision makers, we could maximize the chances of success for decision making.

In this project we shall apply the Multi-Criteria Decision Methods ELECTRE and TOPSIS for the election of a

cell phone between a number of them with different technical details. Due to high competitiveness in mobile

phone sector, we have thought it could be a great example application. For this we will count on eight decision

makers who will help us to make the optimum decision.

The study could apply to have a better view of the user preferences when deciding to purchase a mobile phone

what could be useful for mobile phone makers and operators.

Índice Agradecimientos ix

Resumen xi

Abstract xiii

Índice de Tablas xvi

Índice de Figuras xviii

Notación xix

1 Introducción y Objeto del Proyecto 11

2 Planteamiento del problema 12

3 Desarrollo teórico de los métodos 15 3.1 Reseña histórica 15 3.2 El proceso de toma de decisiones multicriterio 16 3.3 El Método TOPSIS 18

3.3.1 El concepto de Alternativa Ideal 18 3.3.2 El algoritmo TOPSIS 21

3.4 El método ELECTRE 24 3.4.1 Análisis de Concordancia 25 3.4.2 Conceptos básicos de los métodos ELECTRE 26 3.4.3 Tipos de criterios utilizados en los métodos ELECTRE 26 3.4.4 Método ELECTRE I 27 3.4.5 El algoritmo ELECTRE I 29

4 Aplicación de los métodos 33 4.1 El método TOPSIS aplicado a nuestro problema 33

4.1.1 Construcción de la matriz de decisión 33 4.1.2 Normalización de la matriz de decisión 33 4.1.3 Construcción de la matriz de decisión normalizada ponderada 34 4.1.4 Determinación de la solución ideal positiva y la solución anti-ideal o ideal negativa 45 4.1.5 Cálculo de las medidas de distancia 46 4.1.6 Cálculo de la proximidad relativa de cada alternativa a la solución ideal positiva y negativa 48 4.1.7 Clasificación final 49 4.1.8 Análisis de sensibilidad. Eliminando el factor precio 51

4.2 El método ELECTRE aplicado a nuestro problema 54 4.2.1 Construcción de la matriz de decisión 54 4.2.2 Construcción de la matriz de concordancia 55 4.2.3 Normalización de la matriz de decisión 57 4.2.4 Construcción de la matriz de decisión normalizada y ponderada 57 4.2.5 Construcción de la matriz de discordancia 58 4.2.6 Definición de umbrales 59 4.2.7 Cálculo de la matriz de dominancia concordante 59 4.2.8 Cálculo de la matriz de dominancia discordante 60 4.2.9 Cálculo de la matriz de dominancia agregada 60 4.2.10 Obtención del grafo 61 4.2.11 Clasificación final 62 4.2.12 Análisis de sensibilidad. Eliminando el factor precio 63

5 Análisis de resultados y conclusiones 67

Referencias 69

Anexo A. Características de los teléfonos móviles 71

xv

Anexo B. Cuestionario 77

Anexo C. Respuestas de los Decisores al Cuestionario 83

Índice de Tablas

Tabla 1: Matriz de decisión TOPSIS 22

Tabla 2: Matriz de decisión del decisor Curro 33

Tabla 3: Matriz de decisión normalizada 34

Tabla 4: Pesos asignados por cada usuario a los distintos criterios 34

Tabla 5: Matriz de ponderación 1 34

Tabla 6: Matriz de ponderación 2 35

Tabla 7: Matriz de ponderación 1 ordenada 35

Tabla 8: Matriz de ponderación 2 ordenada 36

Tabla 9: Valores Saaty para criterios 37

Tabla 10: Comparación de métodos del cuestionario 38

Tabla 11: Matriz A Alfonso 39

Tabla 12: Matriz A Carlos 39

Tabla 13: Matriz A Guillermo 40

Tabla 14: Matriz A Ignacio 40

Tabla 15: Matriz A Javier 40

Tabla 16: Matriz A Pedro 40

Tabla 17: Matriz A Jaime 41

Tabla 18: Matriz A Curro 41

Tabla 19: Ponderación AHP 42

Tabla 20: Orden de importancia de criterios según ponderación 43

Tabla 21: Matriz normalizada ponderada 45

Tabla 22: Ideal positivo y negativo por criterio 45

Tabla 23: Distancias de cada dispositivo al ideal positivo y negativo 46

Tabla 24: Proximidad relativa de cada alternativa a la solución ideal positiva y negativa 48

Tabla 25: Clasificación final TOPSIS 50

Tabla 26: Clasificación final TOPSIS sin factor precio 52

Tabla 27: Variación obtenida en el análisis de sensibilidad TOPSIS 54

Tabla 28: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad TOPSIS 54

Tabla 29: Matriz de decisión decisor Alfonso 54

Tabla 30: Matriz de concordancia 55

Tabla 31: Matriz de concordancia iPhone 6 frente al resto 55

Tabla 32: Matriz de concordancia Galaxy S5 frente al resto 56

Tabla 33: Matriz de decisión normalizada 57

Tabla 34: Matriz de decisión normalizada y ponderada 58

Tabla 35: Matriz de discordancia 58

xvii

Tabla 36: Matriz de discordancia II 59

Tabla 37: Matrtiz de dominancia concordante 59

Tabla 38: Matrtiz de dominancia discordante 60

Tabla 39: Matrtiz de dominancia agregada 60

Tabla 40: Matrtiz de dominancia agregada II 60

Tabla 41: Comparación vectores de decisión Xiaomi MI 4 y HTC One 61

Tabla 42: Clasificación final ELECTRE 62

Tabla 43: Clasificación final ELECTRE sin factor precio 64

Tabla 44: Comparación clasificación final ELECTRE con y sin factor precio 65

Tabla 45: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad ELECTRE 66

Tabla 46: Clasificación final de los cuatro métodos 67

Índice de Figuras

Figura 3-1: Proximidad al ideal y anti-ideal 20

Figura 3-2: Esquema TOPSIS 21

Figura 3-3: Grafo ELECTRE 32

Figura 4-1: Media de pesos AHP 42

Figura 4-2: Distribución de pesos por usuario AHP 43

Figura 4-3: Diferencia entre el peso máximo y mínimo por método 44

Figura 4-4: Perfiles de los pesos según métodos de cálculo 44

Figura 4-5: Ideal positivo por criterio y decisor 45

Figura 4-6: Ideal negativo por criterio y decisor 46

Figura 4-7: Distancia de cada alternativa al ideal positivo 47

Figura 4-8: Distancia de cada alternativa al ideal negativo 47

Figura 4-9: Clasificación final por decisor 48

Figura 4-10: Puntuación por dispositivo 49

Figura 4-11: Media final 50

Figura 4-12: Media final (2) 51

Figura 4-13: Tanto por uno que representa el precio entre el total de pesos 52

Figura 4-14: Media final con análisis de sensibilidad 53

Figura 4-15: Media final con análisis de sensibilidad (2) 53

Figura 4-16: Concordancia iPhone 6 56

Figura 4-17: Concordancia Galaxy S5 57

Figura 4-18: Grafo ELECTRE 61

Figura 4-19: Núcleo del Grafo ELECTRE 62

Figura 4-20: Clasificación final ELECTRE 63

Figura 4-21: Clasificación final ELECTRE sin factor precio 65

xix

Notación

ELECTRE

TOPSIS

AHP

PROMETHEE

Elimination et Choix Tradusiant la Realité

Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution

Analytic Hierarchy Process

Preference Ranking Organization Methods for Enrichment Evaluations

35

1 INTRODUCCIÓN Y OBJETO DEL

PROYECTO

La toma de decisiones (decisión-making) es el proceso mediante el cual se realiza un juicio o una

elección entre dos o más acciones o alternativas con el objetivo de dar una solución a un problema.

Todos nuestros actos, conscientes o no, son el resultado de alguna decisión. La información que

recabamos para comprender un suceso nos sirve a su vez para desarrollar buenos juicios a la hora

de tomar decisiones sobre sucesos similares. La toma de decisiones constituye toda una ciencia

hoy en día.

La importancia de la toma de decisiones ha dado lugar a su estudio desde un punto de vista más

operativo a la aparición de diversas metodologías que nos ayudan mediante procesos matemáticos

más o menos sencillos, a resolver estos problemas. Es aquí donde se encuentran los métodos de

decisión multicriterio, sistemas creados a priori para usar por un grupo reducido de expertos en una

determinada materia cuando quieren ejecutar una acción o solucionar un problema y disponen de

diversas alternativas para hacerlo.

Con este proyecto hemos queridos analizar desde un punto de vista teórico dos de los métodos más

extendidos a fin de comprobar su comportamiento cuando se enfrentan ambos al mismo problema.

Son los métodos TOPSIS y ELECTRE. Como se desarrollará más adelante, ambos métodos

pertenecen a familias distintas dentro de la subdivisiones que se hacen para clasificar estos

métodos, por lo que el estudio de similitudes y diferencias entre los resultados finales de uno y otro

se hace interesante.

Ambos métodos han sido aplicados a una problemática muy presente para cualquier persona hoy

en día: la elección de un dispositivo móvil. Aunque las personas encargadas de tomar la decisión

no se pueden definir exactamente como expertos, son personas con suficiente conocimiento de la

materia como para tener claro las distintas alternativas que se han planteado y los criterios que

debían de ser evaluados. Desde este punto de vista el proyecto se asemeja a un estudio de mercado

pero ya que nuestro objetivo es un estudio metodológico, donde la solución final no va ligada a la

ejecución de ninguna acción, la aplicación de las técnicas está totalmente justificada.

Es precisamente por esto último por lo que antes de la aplicación de los métodos, hemos convenido

desarrollar la teoría de ambas técnicas para que cualquier persona que lea el proyecto pueda

comprender sin acudir a una fuente externa (las cuales suelen encontrarse mayoritariamente en otra

lengua) todos los cálculos que se van realizando y dotar a todo de sentido. Esto también resulta

importante para analizar correctamente las conclusiones finales que se exponen y apreciar los

posibles paralelismos y divergencias existentes entre los métodos.

12

2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Como se ha comentado en la introducción, el problema en torno al cual gira el proyecto, es la

elección del dispositivo móvil que se adapte mejor a las preferencias de un grupo de personas. Las

alternativas posibles pertenecen a un mismo segmento del mercado, en concreto a los dispositivos

de gama más alta de las principales firmas del mercado en diciembre de 2014. Se escogió a un

grupo de ocho personas con suficiente información en la materia para que nos mostraran sus

preferencias a través de un cuestionario que se muestra en el Anexo A, y se les pidió diversas

evaluaciones sobre los productos según los siguientes atributos:

- Tamaño de dispositivo/pantalla

- Cámara: calidad y nitidez con que se muestran y/o capturan imágenes y videos en el

dispositivo.

- Capacidad de almacenamiento: memoria interna del dispositivo y posibilidad de ampliarla

mediante dispositivos externos

- Batería: duración en suspensión y en llamada

- Diseño: estética del producto y calidad de los materiales usados en su fabricación

- Procesador: Capacidad del dispositivo de realizar funciones complejas con rapidez y

eficacia

- Precio

Las alternativas concretas entre las que tuvieron que elegir, y las características técnicas de cada

uno relacionadas con los atributos mencionados arriba, eran las siguientes:

Apple IPhone 6:

Tamaño de la pantalla: 4.7 pulgadas

Cámara:

Resolución: 1334x750.

Características: 8 megapíxeles. Vídeo a 1080p/30fps. Graba Slow-motion

Capacidad de almacenamiento: 128 GB (interno). Sin almac. externo

Batería: 250h en stand-by. 14h en conversación

Procesador: Dual-core 1.39 GHz. 1 GB RAM

Precio: 990€

Sony Xperia Z3


Cámara:

Resolución:

1080x1920.

13

Características: 20.7 megapíxeles. Vídeo a 2160p/30fps. Graba Slow-motion

Capacidad de almacenamiento: 16 GB (interno). Con almac. externo (no incluido)


Procesador: Quad-core 2.5 GHz. 3 GB RAM

Precio: 535 €

Motorola Moto X


Cámara:

Resolución:

1080x1920.

Características: 13 megapíxeles. Vídeo a 2160p/30fps



Procesador: Dual-core 1.7 GHz. 2GB RAM

Precio: 497 €

Samsung Galaxy S5


Cámara:

Resolución:

1080x1920

Características: 16 megapíxeles. Vídeo UHD (4000p)/30fps.




Precio: 442 €

Xiaomi MI 4

Tamaño de la pantalla: 5 pulgadas

Cámara:

Resolución:

1080x1920

Características: 13 megapíxeles. Vídeo a 2160p/30fps.

14




Precio: 444 €

HTC One (M8)


Cámara:

Resolución:

1080x1920





Precio: 534 €

Además se acompañaban fotografías para que se pudiera evaluar el diseño del producto, otro de

los atributos. Estas fotografías también se encuentran en el anexo.

15

3 DESARROLLO TEÓRICO DE LOS

MÉTODOS

Como ya sabemos, los métodos que vamos a utilizar para solucionar el problema explicado en el

apartado anterior están englobado dentro de los Métodos de Decisión Multicriterio. En este

apartado veremos las características comunes que comparten y donde se sitúan dentro de un

proceso genérico de toma de decisiones, para después explicar con detalle aquellos que hemos

elegidos para su estudio.

3.1 Reseña histórica

Aunque el problema de la toma de decisiones ha sido siempre de carácter multicriterio, al principio

no existía ningún método de llevarlo a cabo. Es entonces cuando se empieza a hablar de la Toma

de decisiones multicriterio o MCDM (multi-criteria decision-making) que estudia los muy variados

métodos de resolución de problemas con más de un criterio y alternativas.

Los primeros indicios tienen lugar en la aristocracia del siglo XVII cuando el Marqués de Caritat

de Condorcet en 1785 analizó de forma teórica el efecto de la elección social cuando un grupo de

electores y a la vez candidatos cada uno con sus propios criterios deben elegir un único candidato.

Sin embargo el verdadero impulso se encuentra en los estudios socio-económicos de finales del

siglo XIX y comienzos del XX realizados por el teórico italiano Wilfredo Pareto. Su Teoría del

Bienestar, basada en los conceptos de equilibro de Pareto y eficiencia de Pareto, sentó las bases

para el análisis multicriterio en el que ningún criterio podía mejorar sin que otro empeorase. Aparte

de estos estudios socio-económicos, la Investigación Operativa (conocida también como la teoría

de la toma de decisiones) también ha hecho una importante contribución en MCDM.

Los orígenes de la Investigación Operativa se remontan a la Revolución Industrial, en la década de

1770. Esta época supuso un cambio en la estructura de las organizaciones, reflejado en la

especialización del trabajo propuesta por Adam Smith. Esta especialización trajo problemas en las

organizaciones ya que cada agente era autónomo en sus decisiones y tenía sus metas y objetivos

propios. Estos problemas y la necesidad de resolverlos concurrieron en la aparición de la

Investigación Operativa.

Hasta la llegada de la Segunda Guerra Mundial, las decisiones se toman basándose en la

experiencia y la intuición, pero la popularidad que obtuvieron las técnicas de resolución de

problemas de decisión durante la guerra también contribuyó en gran medida al desarrollo de la

Investigación Operativa.

A esta época corresponden los trabajos de Hitchcock sobre los fundamentos de la programación

lineal en 1941, las investigaciones de George Dantzig en 1947, quién desarrolló el método

SIMPLEX, y las aportaciones de Richard Bellman sobre la programación dinámica. Años más

tarde Albert Tucker y Harold Kuhn desarrollaron las bases de la programación no lineal, y en 1954

Ochard-Hays investigó las relaciones de la programación lineal con el análisis numérico. También

a mediados del siglo XX Tucker y Kuhn fusionan los conceptos de Investigación Operativa con

los estudios de Pareto para establecer la teoría sobre la maximización de un vector de funciones

objetivo. En 1961 Cooper y Charnes proponen el método de la Programación por Metas, una de

16

las técnicas de optimización multiobjetivo con más relevancia. En 1968 Bernard Roy formula el

método de decisión multicriterio ELECTRE (Elimination et Choix Tradusiant la Realité).

En 1972 tiene lugar la Primeria Conferencia Internacional sobre la Toma de Decisiones

Multicriterio en la Universidad de Carolina del Sur y a partir de ese momento, junto a la aparición

del ordenador empiezan las grandes aportaciones en este campo. Surgen técnicas más generales y

aplicables a más tipos de decisiones que las existentes hasta la fecha y con gran capacidad y

velocidad de cómputo de información para los decisores. Esto convirtió a la programación lineal

como el principal modelo de planificación para las empresas.

Tras una década de controversia entre los defensores del uso de una función multiobjetivo y una

simple aparecen dos escuelas de gran importancia: la americana, enfocada en el análisis desde una

perspectiva teórica, y la europea, interesada en una resolución de componente más práctico. En el

primero grupo están entre otros Keeney y Raiffa, responsables de los fundamentos de la Teoría

Multiatributo y Saaty, que en 1981 publicó el Proceso de Análisis Jerárquico o AHP (Analytic

Hierarchy Process). A la segunda pertenecen el ya mencionando Bernard Roy, Vansnick o Jean-

Pierre Brans, que público en 1982 el método PROMETHEE (Preference Ranking Organization

Methods for Enrichment Evaluations).

A partir de entonces cabe destacar la obtención del premio Nobel de economía por parte de Herbert

A. Simon en 1977 por sus investigaciones sobre procesos de elección y teoría de decisión. Desde

los ochenta hasta hoy los principales avances en MCDM vienen relacionados con el uso de la

informática para la aplicación de problemas cada vez más complejos.

3.2 El proceso de toma de decisiones multicriterio

Para comprender como se lleva a cabo un proceso de este tipo, empezaremos por definir algunos

conceptos básicos en la literatura de los métodos que utilizaremos.

En primer lugar tenemos al decisor (decisión-maker), como su propio nombre dice, es la persona

o grupo de personas encargados de tomar una decisión, según sus propias preferencias expresadas

con respecto a los objetivos a alcanzar y sopesando la importancia relativa de cada criterio. Es

importante que actúe libremente y bajo ninguna coacción ya que él es el protagonista de la toma

de decisión. Como se ha mencionado, un problema puede ser planteado por más de un decisor. En

este caso obtendremos distintas soluciones según la visión de cada uno y existirán métodos para

llegar a una solución de compromiso entre todos en caso de que fuera necesario.

A continuación aparece el analista, es aquella persona encargada de seleccionar el método

cuantitativo de decisión a emplear, y que conociendo las preferencias del decisor o grupo de

decisores, extrae del mismo unas conclusiones que permitan tomar la decisión o decisiones

correspondientes. Es el encargado de modelar el problema y de hacer recomendaciones a los

decisores, pero en ningún caso se encarga de ejecutar le decisión final o de expresar opiniones

personales.

Siguiendo con otras definiciones básicas, ahora no relacionados con los agentes del proceso, surge

el concepto de alternativa, que no son más que las posibles acciones o soluciones a adoptar por

el/los decisores. Dichas alternativas poseerán diversas características para la toma de decisión que

podrán ser de carácter cualitativo o cuantitativo. A su vez, según la naturaleza de nuestro problema,

podremos tener un número determinado o infinito de posibles alternativas. El siguiente concepto

es el de atributo, que no es más que cada una de las mencionadas características que marcan el

comportamiento de una alternativa, y que a veces pueden medirse de manera independiente al

criterio del decisor. Ejemplos de este último caso son conceptos como precio, peso o tamaño.

Una vez clarificados los conceptos, explicaremos las etapas del proceso, que vienen recogidas en

la siguiente figura:

17

1. Fase de iniciación: En esta fase el decisor acepta la existencia de un problema y la

necesidad de resolverlo. S recoge la información relevante para el análisis racional del

problema.

2. Formulación del problema: Después de un análisis detallado de la situación habrá que

definir el problema en los términos propios de la terminología y especificar tanto los

criterios a tener en cuenta como las posibles alternativas.

3. Modelado del sistema: En esta fase establecemos las relaciones lógicas entre los distintos

elementos del sistema para el método de análisis elegido. Es aquí donde por ejemplo se

produce la normalización entre las distintas magnitudes que aparezcan en los atributos.

4. Análisis y evaluación: En función de los criterios o juicios de decisión se analizarán las

ventajas y desventajas de cada alternativa. Posteriormente con las preferencias del decisor

escogeremos la alternativa que mejor se adapte a él. Debido a que estamos ante un proceso

dinámico, ninguna alternativa puede ser descartada

5. Implementación: Una vez que se ha tomado la decisión, es conveniente verificar tras su

implementación si ha resultado satisfactoria para realizar una nueva evaluación en caso de

que no lo fuera.

Por último, para cerrar este apartado, mencionaremos una de las clasificaciones existentes para los

métodos de decisión multicriterio, comentando las particularidades de cada uno.

1. Programación multiobjetivo: estos métodos se utilizan cuando buscamos un conjunto

de soluciones eficientes en un contexto definido por múltiples objetivos a optimizar que

compiten entre ellos y que deben satisfacer un conjunto determinado de restricciones.

Cada objetivo debe llevar asignado un atributo. Este modelo no recoge las preferencias

del decisor y las soluciones no son definidas a priori, sino que son el resultado de

operaciones matemáticas. Un ejemplo de este tipo de métodos es el conocido por todos

método SIMPLEX

2. Programación por metas: coloca el énfasis en el logro de niveles satisfactorios para cada

criterio u objetivo relevante a la decisión, ante la imposibilidad de optimizar todos los

objetivos que compiten entre sí. Para ello, a cada criterio identificado como relevante a la

decisión, debe asociarse un atributo cuantificable y una meta o nivel de aspiración. Un

área de incertidumbre al aplicar la programación por metas es la fijación de de los niveles

de aspiración por parte de los participantes. Por otra parte, el método requiere que los

18

objetivos estén asociados a atributos cuantificables. De esta forma, el método se limita a

problemas que puedan ser formulados en esos términos y excluye problemas que

incorporan criterios que se evalúan subjetivamente

3. Métodos basados en funciones de valor: Cuando se usa este tipo de metodologías se

asocia una puntuación numérica o valor a cada alternativa, de forma de producir un orden

de preferencia, consistente con los juicios de valor expresados por los participantes.

4. Métodos de sobreclasificación: Los métodos de sobrecalificación para el ordenamiento

de un conjunto de alternativas de acuerdo a más de un criterio, se basan en las relaciones

de sobrecalificación que pueden existir entre cada dos alternativas del grupo más que en

la evaluación individual de cada una de ellas. Una alternativa ‘a’ se dice que sobrecalifica

a otra alternativa ‘b’, sí “a es tan buena como b” en la mayoría de los criterios y no

significativamente peor en el resto de ellos. El manejo posterior de las relaciones de

sobrecalificación para el ordenamiento de las alternativas, varía con el método particular

utilizado.

Métodos basados en jerarquías y redes analíticas: Estos métodos tienen en común que utilizan

una estructura jerárquica o una red para describir el problema y las interacciones entre sus

elementos. Los métodos permiten la incorporación al proceso de los juicios de los grupos que

puedan resultar afectados por la decisión, sobre (i) la intensidad de la importancia de un criterio

sobre otro, con relación a un tercero jerárquicamente superior, en rondas de comparaciones por

pares entre los criterios y (ii) el grado de cumplimiento de cada alternativa con relación a cada

criterio, expresado el primero como una medida relativa sobre otra alternativa del conjunto, en

comparaciones por pares entre las alternativas.

3.3 El Método TOPSIS

La técnica de ordenación de preferencias por similaridad a la solución ideal mejor conocida como

TOPSIS (Technique for Order of Preference by Similarity to Ideal Solution) es un método de

análisis de decisión multicriterio el cual fue originalmente desarrollado por Hwang y Yoon en

1981. El método TOPSIS se basa en el concepto del ideal y del anti-ideal en la elección de

alternativas, ya que en este método las alternativas elegidas deben tener la distancia geométrica

más corta de la solución ideal positiva (ideal) y la distancia geométrica más larga de la solución

ideal negativa (anti-ideal).

Este método se basa en que es deseable que una determinada alternativa se ubique a la distancia

más corta respecto de una solución ideal positiva y a la mayor distancia respecto a una solución

ideal negativa. En este método una solución ideal se define como un conjunto de niveles (o

puntuaciones) ideal respecto a todos los atributos considerados de un determinado problema, aun

cuando la solución ideal usualmente sea imposible o no sea factible de obtener. En consecuencia,

desde este punto de vista la racionalidad de la conducta humana consiste en ubicarse lo más cerca

posible de tal solución ideal y en alejarse lo más posible de una solución anti-ideal o ideal negativa.

En el método TOPSIS se define un índice llamado similaridad o proximidad relativa combinando

los valores de la proximidad a la solución ideal positiva y la lejanía respecto a la solución ideal

negativa. La idea es seleccionar la alternativa que tenga la máxima similaridad con respecto a la

solución ideal positiva.

3.3.1 El concepto de Alternativa Ideal

19

El concepto de alternativa ideal tiene una larga tradición en diversos campos científicos,

especialmente en la literatura psicométrica, en donde se maneja una noción absoluta de ideal.

Zeleny (1973 y 1982) lo impone como pieza central de su propuesta de “solución de compromiso”,

en el sentido de la alternativa más próxima a la ideal. Para dicho autor los conceptos de “ideal” y

de “solución de compromiso” incluso son una hipótesis sobre la racionalidad subyacente en los

procesos humanos de decisión. Es en el método TOPSIS donde se contemplan las sutilezas que el

concepto de “ideal” tiene y se construye un método operativo. Conviene, entonces, formalizar

algunas definiciones básicas: Dado un conjunto {𝑨𝒊} de m alternativas de decisión, un conjunto

{𝑪𝒋} de n criterios (básicamente en su componente atributo) y una matriz V cuyos elementos

𝒗𝒊𝒋 son las evaluaciones de cada una de las alternativas respecto a cada criterio de decisión

normalizados:

Se denomina punto ideal en 𝑹𝒏 al punto o vector:

𝑨+ = [𝑨𝟏+, 𝑨𝟐

+, … , 𝑨𝑴+ ] donde 𝑨𝒊

+ es el 𝑚𝑎𝑥𝑖 𝒗𝒊𝒋 para el caso de los criterios que representan

atributos deseables (como beneficios en sentido amplio) y 𝑨+ = [𝑨𝟏−, 𝑨𝟐

−, … , 𝑨𝑴− ] donde 𝑨𝒊

− es

el 𝑚𝑖𝑛𝑖 𝒗𝒊𝒋 para el caso de los criterios que representan atributos indeseables (como costos en

sentido amplio).

La alternativa 𝑨+ se llama alternativa ideal.

Análogamente, se considera punto anti-ideal en 𝑹𝒏 al punto o vector:

𝑨− = [𝑨𝟏−, 𝑨𝟐

−, … , 𝑨𝑴− ] donde 𝑨𝒊

− es el 𝑚𝑖𝑛𝑗 𝒗𝒊𝒋 para el caso de los criterios que representan

atributos deseables y 𝑨− = [𝑨𝟏+, 𝑨𝟐

+, … , 𝑨𝑴+ ] donde 𝑨𝒊

+ es el 𝑚𝑎𝑥𝑗 𝒗𝒊𝒋 para el caso de los criterios

que representan atributos indeseables.

Podemos concluir que el método TOPSIS trata de acercarse a la menor distancia posible al punto

ideal y alejarse del punto anti-ideal. Trabajar con estos dos conceptos puede conducir a resultados

diferentes. Véase la Figura 3-1 en la que se representan cinco alternativas (A,B,C,D y E) para un

problema con dos criterios (C1 y C2) con su correspondiente punto ideal y anti-ideal:

20

Figura 3-1: Proximidad al ideal y anti-ideal

En la Figura 3-2 podemos observar como la alternativa C es la más próxima al ideal, sin embargo,

no es la más lejana al anti-ideal, siendo estos B y D.

TOPSIS resuelve este problema basándose en una idea que Dasarathy aplicó en un contexto de

análisis multivariante de datos. El método calcula para cada alternativa, las distancias ponderadas

al ideal y al anti-ideal según un a métrica p escogida previamente.

Así:

𝐴𝑖 = [𝑣𝑖1, 𝑣𝑖2, … , 𝑣𝑖𝑛] ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑚, se calculan las distancias ponderadas al ideal y al anti-

ideal según la métrica seleccionada. La más utilizada es la métrica de Minkowski entre dos puntos

de 𝑅𝑛, que en este caso se define de la siguiente manera:

𝑑𝑝+(𝐴𝑖) = [∑ 𝑤𝑗

𝑝

𝑗

[𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗+]

𝑝

]

1𝑝⁄

𝑑𝑝−(𝐴𝑖) = [∑ 𝑤𝑗

𝑝

𝑗

[𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗−]

𝑝

]

1𝑝⁄

Donde p es el parámetro de distancia. En nuestro caso utilizaremos la distancia elucídela (p=2) de

forma que:

21

𝑑+(𝐴𝑖) = √∑ 𝑤𝑗2

𝑗

[𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗+]

2

𝑑−(𝐴𝑖) = √∑ 𝑤𝑗2

𝑗

[𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗−]

2

Una vez que tenemos las distancias ponderadas al ideal y al anti-ideal, se determina lo que se

denomina “ratio de similaridad al ideal”:

𝑅𝑆(𝐴𝑖) =𝑑𝑝

−(𝐴𝑖)

𝑑𝑝+(𝐴𝑖) + 𝑑𝑝

−(𝐴𝑖)

Este ratio será el que utilizaremos para el ordenamiento final de las alternativas según las distancias

que en él se reflejan hacia la solución ideal y anti-ideal.

3.3.2 El algoritmo TOPSIS

A continuación se presenta un esquema en el que se sintetizan los pasos que deben realizarse a la

hora de aplicar TOPSIS.

Figura 3-2: Esquema TOPSIS

22

3.3.2.1 Construcción de la matriz de decisión

El método TOPSIS evalúa la siguiente matriz de decisión (Tabla X) que se refiere a m alternativas

𝐴𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 las cuales son evaluadas según n criterios 𝐶𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, asociando un peso

𝑤𝑗 a cada uno de ellos.

w1 w2 … wj … wn

C1 C2 … Cj … Cn

A1 r11 r12 r1j r1n

A2 r21 r22 r2j r2n

…

Ai

…

Am rm1 rm2 rmj rmn

Tabla 1: Matriz de decisión TOPSIS

Donde 𝑟𝑖𝑗 denota la valoración de la i-ésima alternativa en términos del j-ésimo criterio.

A la hora de seleccionar un vector de pesos que pondere cada una de las alternativas en función de

la opinión de los decisores, tendremos varios posibles métodos.

3.3.2.2 Normalización de la matriz de decisión

Aunque en el método TOPSIS no se obligue a normalizar según un método concreto, el más

habitual es el siguiente:

𝑣𝑖𝑗 =𝑟𝑖𝑗

√∑ (𝑟𝑖𝑗)2𝑚

𝑖=1

, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑛

3.3.2.3 Construcción de la matriz de decisión normalizada ponderada

Cada valor normalizado ponderado 𝒗𝒊𝒋 de la matriz en cuestión 𝑽 se calcula como el producto

23

entre cada 𝒘𝒋 por cada 𝒗𝒊𝒋, j= 1,2,…n; i= 1,2,…, m. Donde 𝒘𝒋 es el peso del j-ésimo criterio, tal

que ∑ 𝒘𝒋 puede ser igual a 1, si hablamos del caso general que verifica la igualdad. Es bien

conocido que los pesos de los criterios en un problema de decisión no tienen el mismo significado

y no todos tienen la misma importancia. Como se comentó anteriormente, en nuestro caso

ponderaremos mediante AHP.

3.3.2.4 Determinación de la solución ideal positiva y la solución anti-ideal o ideal negativa

El conjunto de valores ideal positivo 𝐴+ y el conjunto de valores ideal negativo 𝐴− se determinan

como sigue:

𝐴+ = {𝐴1+, 𝐴2

+, … , 𝐴𝑛+} = {(max

𝑖𝑣𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐽) (min

𝑖𝑣𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐽′)} ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚

𝐴− = {𝐴1−, 𝐴2

−, … , 𝐴𝑛−} = {(min

𝑖𝑣𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐽) (max

𝑖𝑣𝑖𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐽′)} ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚

Donde J está asociado con los criterios que representan atributos deseables y J' está asociado con

los criterios que representan atributos indeseables. Donde J está asociado con los criterios que

representan atributos deseables y J' está asociado con los criterios que representan atributos

indeseables.

En nuestro caso, todos los criterios son deseables, ya que el precio (costo) se ha evaluado de manera

positiva por los decisores en caso de ser un precio más bajo y negativamente en caso de ser un

precio más alto.

3.3.2.5 Cálculo de las medidas de distancia

La distancia de cada alternativa de la solución ideal positiva 𝐴+ viene dada como:

𝑑𝑖+ = √∑ (𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗

+)2

𝑗

y la correspondiente a la distancia de la solución ideal negativa 𝐴− se toma como:

𝑑𝑖− = √∑(𝑣𝑖𝑗 − 𝐴𝑗

−)2

𝑗

Como comentamos anteriormente hemos tomado p=2 para obtener la distancia elucídela m-

multidimensional.

24

3.3.2.6 Cálculo de la proximidad relativa de cada alternativa a la solución ideal positiva y negativa

Esto se obtiene, como se dijera, con el ratio de similaridad, que puede expresarse como sigue:

𝑅𝑆𝑖 =𝑑𝑖

−

𝑑𝑖+ + 𝑑𝑖

− ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚

Si 𝑅𝑆𝑖 = 1, 𝐴𝑖 entonces es igual a 𝐴+ (Solución Ideal). Si 𝑅𝑆𝑖 = 0, entonces 𝐴𝑖es igual 𝐴−

(Solución Anti-ideal). Es decir, que cuanto más próximo es el valor del ratio a 1, indica una mayor

prioridad de la alternativa i-ésima.

3.3.2.7 Ordenación de alternativas de acuerdo a su proximidad relativa

Simplemente se ordenan las alternativas de acuerdo con el ratio, en orden descendente.

3.4 El método ELECTRE

En el contexto de la Ayuda a la Decisión Multicriterio se ha observado, en las últimas dos décadas,

la aparición de numerosas metodologías que permiten resolver problemas de decisión reales. Las

metodologías que han tenido más aceptación y que continúan evolucionando con la presentación

de nuevas y renovadas versiones, son aquellas que tienen como fundamento las Relaciones de

Superación (outranking relations).

En este trabajo, la atención recae sobre una de las versiones de los Métodos ELECTRE

(Elimination et Choix Traduisant la Realité) que pertenecen a la familia de Métodos de Relaciones

de Superación y que, si bien, no es la de más reciente aparición, se utiliza aquí por la importancia

que tiene al considerar “criterios verdaderos” (the true criteria).

Los estudios científicos sobre decisión han ido ocupando a un sector cada vez más amplio de

investigadores que de manera rigurosa han analizado el tema sobre todo en las últimas décadas. En

particular, el análisis de la decisión con criterios múltiples y contradictorios se ha extendido

sorprendentemente en todo el mundo y en todos los campos. Existen numerosas sociedades

internacionales y grupos nacionales dedicados a estas investigaciones, cuyo trabajo ha dado lugar

a la aparición de numerosas metodologías que llevan añadido en su título “Toma de Decisiones

Multicriterio”, y en los últimos años la nueva tendencia es incorporar a la denominación la palabra

“ayuda” con lo que el resultado se conoce como “Ayuda a la Decisión Multicriterio”. De esta

manera debería entenderse mejor la diferencia entre analista y decisor, y la idea de que debe ser el

analista el ayudante del decisor en el camino que le conduce para tomar su mejor elección, y no

creer que la simple metodología de toma de decisiones multicriterio, recogida en programas

informáticos, es decir, softwares de decisión, pueda servirle al decisor como una herramienta que

sustituye al analista, para decidir por él mismo la elección que debe tomar.

La cantidad de aplicaciones posibles de esta teoría, en todos los campos del conocimiento, ha

atraído a investigadores, científicos y muchos otros que se limitan a poner en práctica aquellas

25

innovaciones técnicas y/o científicas que han sido ya estudiadas. Esta diversidad de personas

dedicadas al uso científico, racional y profesional del análisis de decisiones, ha originado multitud

de métodos de ayuda a la decisión durante todas las etapas consideradas en el proceso de adopción

de la mejor solución de compromiso.

Los métodos que incorporan en sus análisis las denominadas “Relaciones de Superación” tuvieron

su origen en Francia y Bélgica; nacen de la mano de Bernard Roy y su equipo de colaboradores en

1966. La idea es comparar las alternativas por pares sobre la base de dos medidas: la concordancia

y la discordancia. La concordancia se refiere a aquellos pares de alternativas que superan a otro; la

discordancia es el caso inverso, es decir un par de alternativas superado por otro. Los principales

representantes de estas ideas son los métodos ELECTRE (Elimination et Choix Traduisant la

Realité), aunque posteriormente hacen su aparición los métodos PROMETHEE (Preference

Ranking Organization Methods for Enrichment Evaluations), con facilidad de aplicación y

comprensión por parte del decisor, de la mano de los investigadores Jean P. Brans y Phillip Vincke,

en 1985.

Esta parte del proyecto se centra en los métodos ELECTRE, con especial énfasis en el análisis de

concordancia y la posterior construcción de la Relación de Superación, tomando la versión

ELECTRE I, que aunque no es la más reciente, es la única que considera los “criterios verdaderos”

, que resultan los más apropiados para su aplicación a problemas como el estudiado.

3.4.1 Análisis de Concordancia

El análisis de concordancia hace uso de diversas y sencillas funciones matemáticas para indicar el

grado de dominancia de una alternativa o grupo de alternativas, y posibilita la existencia de

incomparabilidades. Dado su carácter no compensatorio, no se admiten los intercambios o

compensaciones de un criterio respecto de otro para cada elección individual. Este rasgo permite

diferenciarlo de los modelos de la Teoría de la Utilidad Multiatributo (MAUT), que son de carácter

compensatorio y aditivo. El análisis de concordancia está reconocido como un modelo de decisión

multicriterio de naturaleza no-compensatoria.

La comparación entre las alternativas se efectúa por pares y con respecto a cada uno de los criterios

de decisión seleccionados, y establece el grado de dominancia que una alternativa tiene sobre la

otra; es decir, determina su “grado de superación”. Este grado de superación o dominancia lo

establecen las relaciones matemáticas que se formulan, determinando hasta qué punto una

alternativa destaca sobre las restantes. Además los pesos que el decisor asigna a cada criterio y que

reflejan sus preferencias, confirman o contradicen la relación de dominancia binaria entre las

alternativas de decisión.

El método analiza tanto el grado de concordancia, como el de discordancia, es decir:

1. El grado en el que las ponderaciones que reflejan las preferencias están de acuerdo con la

relación binaria de dominación, y

2. El grado en el cual las evaluaciones ponderadas difieren entre sí.

Estas etapas se fundamentan en los denominados conjuntos de concordancia y discordancia. Una

de las ventajas de este tipo de análisis es que utiliza la información disponible en forma muy

intensiva, exigiendo muy poco al decisor. El proceso finaliza con la selección de una alternativa o

grupo de alternativas preferidas, consideradas como “la mejor solución de compromiso”.

De todos los métodos y versiones de software que se han realizado con esta metodología del

análisis de concordancia, el más reconocido representante es el método ELECTRE.

26

3.4.2 Conceptos básicos de los métodos ELECTRE

Todos los métodos ELECTRE construyen una relación, llamada de “superación” que representa

las preferencias del decisor sobre el conjunto de alternativas, dada la información disponible. Es

un modelo de decisión multicriterio que utiliza diversas funciones matemáticas para indicar el

grado de dominancia de una alternativa respecto de otra. Al formar parte de la familia de los

métodos de relaciones de superación facilita las comparaciones binarias entre alternativas

asignando ponderaciones iniciales a los criterios de decisión, lo cual permite un posterior análisis

de sensibilidad cuando se varían las citadas ponderaciones para aproximarlas al valor exacto que a

veces es desconocido. Todo esto puede completarse con un análisis de robustez, lo cual otorgará

mayor fiabilidad al modelo. Las comparaciones se efectúan por pares de alternativas y bajo cada

uno de los criterios de decisión, y a partir de ellas se obtiene el grado de “dominancia” o

“superación” de una alternativa respecto de otra. El resultado es el ordenamiento del conjunto de

alternativas.

Los métodos ELECTRE han sido ampliamente utilizados en problemas de planificación y

administración gubernamental.

Actualmente hay seis versiones de este método, ELECTRE I, II, III, IV, Tri e Is. Tal como se ha

comentado precedentemente la metodología, en general, involucra un análisis sistemático de las

relaciones entre todos los pares posibles de alternativas, sobre la base de las evaluaciones que

poseen las alternativas respecto de cada uno de los criterios. La metodología contempla la

construcción de una relación de superación, la generación de índices de concordancia y

discordancia (incluyendo la noción de importancia relativa para cada criterio) y un análisis de los

resultados obtenidos de la evaluación completa de todas las relaciones de superación obtenidas.

En cada versión del método, las alternativas de decisión son evaluadas en términos de los criterios

múltiples; siendo cada criterio una medida de las preferencias del decisor de acuerdo con algún

punto de vista. La versión del modelo ELECTRE que se debe emplear depende, esencialmente, de

los tipos de criterios involucrados. La definición de estos criterios es pues de vital importancia y

relevancia para la adecuada comprensión del método.

3.4.3 Tipos de criterios utilizados en los métodos ELECTRE

Las estructuras de preferencia utilizadas por los métodos de relaciones de superación, recogen

distingos tipos de criterios, dependiendo de la complejidad de su formulación y de la naturaleza

del problema de decisión.

Así se pueden distinguir:

El criterio verdadero o real

El semi-criterio

El criterio de intervalo

El pseudo criterio

La versión del ELECTRE I., utiliza “criterios verdaderos”, por lo que se especificará este tipo de

criterios con más precisión, para comprender mejor el funcionamiento de la metodología en este

caso particular, y reconocer así la importancia que conlleva, en el tipo de problemas que nos ocupa.

Las últimas versiones del ELECTRE trabajan con pseudo-criterios incorporando así complejidad

a las estructuras de preferencia, ya que se pretende mejorar la estructura de preorden, que como se

sabe es la más sencilla. De esta forma se perfila con mayor profundidad el tratamiento de la

incertidumbre al incorporar nuevos umbrales (preferencia, indiferencia veto).

Criterio real o verdadero es la forma más sencilla de formular un criterio y se utiliza en aquellas

27

estructuras de preferencia denominadas “tradicionales”. En ellas no deben determinarse umbrales

y las diferencias entre las evaluaciones de los criterios se utilizan para decidir cuál es la alternativa

preferida. La estructura de preferencia del ordenamiento resultante es un preorden completo.

Cualquier estructura de preferencia o superación puede caracterizarse completamente mediante

una relación de superación (S), que define las condiciones necesarias para que una alternativa a

supere a otra b. Así, la alternativa a supera (S) a la alternativa b si el decisor la prefiere a b o es

indiferente (I) entre ambas. Formalmente se puede escribir de la forma

𝑎𝑆𝑏 ⟺ 𝑎𝑃𝑏 ó 𝑎𝐼𝑏

En una estructura de preferencia tradicional, la preferencia P del decisor satisface el modelo

siguiente:

𝑎𝑃𝑏 ⟺ 𝑔(𝑎) > 𝑔(𝑏)

𝑎𝐼𝑏 ⟺ 𝑔(𝑎) = 𝑔(𝑏)

𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴

Siendo a y b dos alternativas del conjunto A y g la función de valor de uno de los criterios.

S se define como la unión de P e I, es decir:

𝑆 = 𝑃 ∪ 𝐼

𝑎𝑆𝑏 ⇔ 𝑔(𝑎) ≥ 𝑔(𝑏)

La relación de indiferencia I, resulta tener la importante propiedad transitiva, es decir que si 𝑎𝐼𝑏 y

𝑏𝐼𝑐, entonces 𝑎𝐼𝑐. Esta estructura de preferencia se denomina preorden completo y cumple las

propiedades reflexiva, transitiva y la completitud. Todas las alternativas tienen que ser ordenadas

de la mejor a la peor, admitiendo empates o incomparabilidades entre alternativas del mismo rango.

Si no existiesen empates, la relación podrá transformarse en un orden completo, satisfaciendo las

propiedades reflexiva, antisimétrica, transitiva y la completitud.

3.4.4 Método ELECTRE I

En general, en un problema de decisión multicriterio, se dice que la alternativa a supera a la

alternativa b si, dados el nivel de conocimiento de las preferencias del decisor y la calidad de la

información respecto de todos los criterios relevantes disponibles para evaluar cada alternativa,

existen argumentos suficientes a favor de considerar que la alternativa a es al menos tan buena

como la alternativa b, y no existen argumentos sólidos que indiquen lo contrario.

Al construir la relación de superación, la definición debe enriquecerse de forma tal que facilite la

solución del problema de decisión. El método ELECTRE afronta su “enriquecimiento” en dos

etapas diferentes:

28

1. La construcción de una relación de superación

2. La explotación de la relación construida

En la versión objeto de este estudio, el método ELECTRE I, que fue la primera versión del modelo

presentado por Bernard Roy en 1968 para la formulación y resolución de problemas de decisión

con criterios múltiples, el objetivo consiste en obtener un subconjunto, kernel o núcleo N de

alternativas de tal forma que cualquier alternativa que no pertenezca al conjunto N es superada por

al menos otra alternativa de N. Debe enfatizarse que no se trata de un conjunto de alternativas

preferidas sino un conjunto en el que puede encontrarse la mejor solución de compromiso. Por

tanto, el método ELECTRE I busca obtener una partición del conjunto de alternativas A, que es un

conjunto finito y contiene todas las alternativas factibles consideradas, en dos subconjuntos 𝑁 y

𝑁, tales que:

1. Cada alternativa de 𝑁es superada por al menos una alternativa de N,

2. Las alternativas de 𝑁 son incomparables entre sí.

3. 𝑁 ∩ 𝑁 es el conjunto vacío

4. 𝑁 ∪ 𝑁 es el conjunto A

En la primera fase del Electre I, construcción de la relación de superación, a cada criterio se le

asigna una ponderación o peso 𝑤𝑗 con 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, siendo n el número de criterios, que refleja

las preferencias del decisor. Estos pesos son crecientes en relación a la mayor importancia del

criterio. Se define el índice de concordancia para cada par ordenado de alternativas (a,b), C(a,b)

de la forma:

𝐶(𝑎, 𝑏) = ∑ 𝑤𝑗

𝑗|𝑔𝑗(𝑎)>𝑔𝑗(𝑏)

+ 0,5 ∑ 𝑤𝑗

𝑗|𝑔𝑗(𝑎)=𝑔𝑗(𝑏)

Siendo 𝑟𝑗(𝑎) la evalución de la alternativa a bajo el criterio j.

Así pues, el índice de concordancia toma valores comprendidos entre 0 y 1, y además mide la

fuerza de la afirmación “la alternativa a supera a la alternativa b”. No obstante, cualquier

superación de la alternativa b por la alternativa a puede ser debilitada o considerada dudosa por el

índice de discordancia 𝐷(𝑎, 𝑏) que se define como:

𝐷(𝑎, 𝑏) =

max(𝑎,𝑏)|𝑔𝑗(𝑎)<𝑔𝑗(𝑏)

𝑔𝑗(𝑏) − 𝑔𝑗(𝑎)

max∀(𝑎,𝑏)

|𝑔𝑗(𝑏) − 𝑔𝑗(𝑎)|

De esta forma, D(a,b) es un índice cuyos valores están comprendidos entre 0 y 1, y se incrementa

si la preferencia de la alternativa b sobre la alternativa a es importante para al menos un criterio.

Este índice puede utilizarse, sólo si las evaluaciones de los diferentes criterios son comparables y

no son de naturaleza cualitativa. Si el índice de discordancia alcanza un cierto valor umbral, la

superación de la alternativa b por la alternativa a que podría indicar el índice de concordancia, es

rechazada.

Así, la relación de superación del ELECTRE I se construye comparando los índices de

concordancia y discordancia, previa especificación de sus respectivos límites o umbrales. Si se

supone que c* es el valor límite especificado para el índice de concordancia (umbral de

concordancia como máximo igual a 1), y d* es el valor límite especificado para el índice de

29

discordancia (umbral de discordancia como mínimo igual a 0), entonces la relación de superación

S, puede definirse tomar la forma:

𝑎𝑆𝑏 ⇔ 𝐶(𝑎, 𝑏) ≥ 𝑐∗ 𝑦 𝐷(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑑∗

Respecto a la segunda fase, la explotación de la relación de superación, el método ELECTRE,

mediante la utilización de los índices establecidos anteriormente, busca obtener una partición del

conjunto de alternativas A, que como ya se ha comentado, es un conjunto finito y contiene todas

las alternativas factibles consideradas, en dos subconjuntos 𝑁 y 𝑁, tales que:

1. ∀𝑏 ∈ 𝑁, existe 𝑎 ∈ 𝑁, tal que 𝑎𝑆𝑏

2. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁, 𝑎𝑆𝑏 y 𝑏𝑆𝑎

3. 𝑁 ∩ 𝑁 es el conjunto vacío

4. 𝑁 ∪ 𝑁 es el conjunto A

Si se realiza la representación gráfica de la relación S, el conjunto N constituye el núcleo o kernel

del grafo resultante. Si el grafo no posee circuitos, dicho núcleo existe y además contiene un único

elemento. En cualquier caso, el número de alternativas del núcleo podría reducirse, relajando los

valores de c* (disminuyendo a partir de uno), y de d* (incrementándose a partir de 0).

La búsqueda de la mejor solución de compromiso debería completarse con un análisis refinado de

las alternativas que componen el núcleo.

3.4.5 El algoritmo ELECTRE I

Como cuando estudiamos el método anterior, detallaremos los pasos a seguir para aplicar el

método ELECTRE I.

3.4.5.1 Construcción de la matriz de decisión

El método ELECTRE evalúa la siguiente matriz de decisión que se refiere a m alternativas 𝐴𝑖, 𝑖 =1,2, … , 𝑚 las cuales son evaluadas según n criterios 𝐶𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, asociando un peso 𝑤𝑗 a cada

uno de ellos.

30

w1 w2 … wj … wn

C1 C2 … Cj … Cn

A1 r11 r12 r1j r1n

A2 r21 r22 r2j r2n

…

Ai

…

Am rm1 rm2 rmj rmn

Tabla 1: Matriz de decisión TOPSIS

Donde 𝑟𝑖𝑗 denota la valoración de la i-ésima alternativa en términos del j-ésimo criterio.

A la hora de seleccionar un vector de pesos que pondere cada una de las alternativas en función de

la opinión de los decisores, tendremos varios posibles métodos.

3.4.5.2 Construcción de la matriz de concordancia

Con la matriz de decisión (𝐴𝑖 , 𝐶𝑗) y el vector de pesos W se calcula la matriz de índices de

concordancia. Cada índice de esta matriz 𝑐(𝑖, 𝑘) entre las alternativas 𝐴𝑖 y 𝐴𝑘 se obtiene sumando

los pesos asociados a cada criterio en los que la alternativa i es mejor que la alternativa k (en caso

de que el criterio fuera a minimizar sería lo contrario). En caso de empate se le asignará la mitad

de peso a cada alternativa.

𝐶(𝑎, 𝑏) = ∑ 𝑤𝑗

𝑗|𝑟𝑗(𝑎)>𝑟𝑗(𝑏)

+ 0,5 ∑ 𝑤𝑗

𝑗|𝑟𝑗(𝑎)=𝑟𝑗(𝑏)

3.4.5.3 Normalización de la matriz de decisión

Normalizamos la matriz de decisión mediante:



𝑖=1

, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑛

3.4.5.4 Construcción de la matriz de decisión normalizada ponderada

Cada valor normalizado ponderado 𝒗𝒊𝒋 de la matriz en cuestión 𝑽 se calcula como el producto

entre cada 𝒘𝒋 por cada 𝒗𝒊𝒋, j= 1,2,…n; i= 1,2,…, m. Donde 𝒘𝒋 es el peso del j-ésimo criterio, tal

que ∑ 𝒘𝒋 puede ser igual a 1, si hablamos del caso general que verifica la igualdad. Como se

31

comentó anteriormente, en nuestro caso ponderaremos mediante AHP.

3.4.5.5 Construcción de la matriz de discordancia

Con la matriz de decisión (𝐴𝑖 , 𝐶𝑗) y el vector de pesos W se calcula la matriz de índices de

discordancia. Cada índice de esta matriz 𝑑(𝑖, 𝑘) entre las alternativas 𝐴𝑖 y 𝐴𝑘 se obtiene de la

diferencia mayor entre los criterios para los que la alternativa i es dominada por la alternativa k,

dividiendo esa cantidad por la mayor diferencia en valor absoluto entre los índices de la matriz de

decisión normalizada y ponderada de i y k.

𝐷(𝑖, 𝑘) =

max(𝑖,𝑘)|�̅�𝑗(𝑖)<�̅�𝑗(𝑘)

�̅�𝑗(𝑘) − �̅�𝑗(𝑖)

max∀(𝑖,𝑘)

|�̅�𝑗(𝑘) − �̅�𝑗(𝑖)|

3.4.5.6 Definición de umbrales

Se establecen los umbrales mínimo y máximo para los índices de concordancia y discordancia. Si

se supone que c* es el valor límite especificado para el índice de concordancia (umbral de

concordancia como máximo igual a 1), y d* es el valor límite especificado para el índice de

discordancia (umbral de discordancia como mínimo igual a 0), entonces la relación de superación

S, puede definirse tomar la forma:

𝑎𝑆𝑏 ⇔ 𝐶(𝑎, 𝑏) ≥ 𝑐∗ 𝑦 𝐷(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑑∗

Definimos c* y d* como la media aritmética de los índices de concordancia y discordancia

respectivamente.

3.4.5.7 Cálculo de la matriz de dominancia concordante

Se calcula de manera que cuando un elemento de la matriz de índices de concordancia es mayor

que el valor umbral c* en la matriz de dominancia concordante se escribe 1, de lo contrario se

escribe 0.

3.4.5.8 Cálculo de la matriz de dominancia discordante

Se define de manera análoga a la de dominancia concordante. Cuando un elemento de la matriz de

índices de discordancia es menor que el valor umbral d* en la matriz de dominancia discordante

se escribe 1, de lo contrario se escribe 0.

3.4.5.9 Cálculo de la matriz de dominancia agregada

Se obtiene al multiplicar los elementos homólogos de las matrices de dominancia concordante y

discordante.

La interpretación de esta matriz es clara e intuitiva. Así, si el elemento (𝑖, 𝑘) toma valor un 1, esto

significa que la alternativa i-ésima es mejor que la alternativa k-ésima para un número importante

32

de criterios (concordancia) y no es claramente peor para ningún criterio (discordancia).

Consecuentemente la alternativa i-ésima sobreclasifica a la k-ésima. Por el contrario, si el

elemento (𝑖, 𝑘) toma valor 0, significa que la alternativa i-ésima no es mejor que la alternativa k-

ésima para un número importante de criterios y/o es claramente peor para algún criterio.

3.4.5.10 Obtención del grafo

Se tienen tantos nodos como alternativas tengamos. Únicamente habrá un arco entre la alternativa

i-ésima y la k-ésima si existe un 1 en la matriz de dominancia agregada en el elemento (𝑖, 𝑘). Dicho

nodo sale de i y entra en k.

El grafo obtenido es una representación gráfica de la ordenación parcial de preferencias de las

alternativas del problema.

El núcleo del grafo de ELECTRE I estará formado por los nodos no dominados, es decir, aquellos

que no tienen arcos de llegada. Las alternativas pertenecientes al núcleo serán preferibles al resto.

Figura 3-3: Grafo ELECTRE

En la figura se observa que el único nodo perteneciente al núcleo es A4, por lo que la alternativa 4

sobreclasifica al resto.

33

4 APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS

4.1 El método TOPSIS aplicado a nuestro problema

En apartado aplicaremos cada uno de los pasos del algoritmo de resolución explicado en el

apartado anterior. Para no repetir la explicación, se hará ésta sobre un solo decisor (Curro), ya que

el proceso es análogo en el resto. Sin embargo las gráficas y demás serie de resultados sí harán

referencia al conjunto de decisores.

4.1.1 Construcción de la matriz de decisión

La matriz de decisión se toma directamente de los datos aportados por los decisores en el

cuestionario. Esta matriz pasa a ser nuestra matriz de partida a partir de la cual iremos realizando

todos los tratamientos matemáticos requeridos por el método.

En la Tabla 2 se adjunta la matriz de decisión de Curro.

Dispositivo /Criterio Tamaño Cámara Almacen. Batería Diseño Procesador Precio

IPhone6 8 6 10 5 10 4 3

SonyXperia 4 8 1 9 2 10 5

Motorola 4 7 1 7 1 2 5

SGalaxyS5 5 7 1 6 1 8 6

XiamiMI4 6 7 7 9 2 10 6

HTCOne 6 1 1 7 7 6 5

Tabla 2: Matriz de decisión del decisor Curro

4.1.2 Normalización de la matriz de decisión

Aplicamos la normalización a nuestra matriz de decisión mediante:



𝑖=1

, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Y obtenemos 𝑽:


IPhone6 0,58 0,38 0,81 0,28 0,79 0,22 0,24

SonyXperia 0,29 0,51 0,08 0,50 0,16 0,56 0,40

Motorola 0,29 0,44 0,08 0,39 0,08 0,11 0,40

SGalaxyS5 0,36 0,44 0,08 0,33 0,08 0,45 0,48

XiamiMI4 0,43 0,44 0,57 0,50 0,16 0,56 0,48

HTCOne 0,43 0,06 0,08 0,39 0,56 0,34 0,40

34

Tabla 3: Matriz de decisión normalizada

4.1.3 Construcción de la matriz de decisión normalizada ponderada

Una vez normalizada la matriz deberemos proceder a ponderar según los pesos definidos por los

decisores para cada criterio. Cada valor normalizado ponderado 𝒗𝒊𝒋 de la matriz en cuestión 𝑽 se

calcula como el producto entre cada 𝒘𝒋 por cada 𝒗𝒊𝒋, j= 1,2,…n; i= 1,2,…, m.

Para definir el vector de pesos tenemos diferentes alternativas, en primer lugar estudiaremos las

más comunes de ellas en el método ELECTRE, a los que llamaremos ponderación 1 y ponderación

2, y posteriormente el método de ponderación AHP.

En el cuestionario dado se les pide que evalúen cada criterio de 0 a 10 según su importancia (siendo

10 la máxima).

Criterio Alfonso Carlos Guillermo Ignacio Javi Pedro Jaime Curro

Tamaño 6 7 7 4 5 6 8 7

Cámara 8 3 9 7 6 5 6 10

Capac. Almac. 8 10 10 9 7 4 6 8

Batería 7 8 9 9 7 7 7 10

Diseño 3 9 8 4 6 7 6 10

Procesador 7 5 7 10 8 6 8 6

Precio 6 10 8 10 10 9 10 6

Tabla 4: Pesos asignados por cada usuario a los distintos criterios

La primera fórmula que usaremos para ponderar los pesos será la siguiente:

𝑤𝑗 =𝑣𝑗

∑ 𝑣𝑗𝑛𝑚=1

Y con ella obtenemos los siguientes resultados:

Criterio Alfonso Carlos Guillermo Ignacio Javi Pedro Jaime Curro Media

Tamaño 0,13 0,13 0,12 0,08 0,10 0,14 0,16 0,12 0,12

Cámara 0,18 0,06 0,16 0,13 0,12 0,11 0,12 0,18 0,13

Capac. Almac. 0,18 0,19 0,17 0,17 0,14 0,09 0,12 0,14 0,15

Batería 0,16 0,15 0,16 0,17 0,14 0,16 0,14 0,18 0,16

Diseño 0,07 0,17 0,14 0,08 0,12 0,16 0,12 0,18 0,13

Procesador 0,16 0,10 0,12 0,19 0,16 0,14 0,16 0,11 0,14

Precio 0,13 0,19 0,14 0,19 0,20 0,20 0,20 0,11 0,17

Tabla 5: Matriz de ponderación 1

35

La segunda vendrá definida como:

𝑤𝑗 =𝑣𝑗

2

∑ 𝑣𝑗2𝑛

𝑚=1

Y arroja los siguientes valores:

Criterio Alfonso Carlos Guillermo Ignacio Javi Pedro Jaime Curro Media

Tamaño 0,12 0,11 0,10 0,04 0,07 0,12 0,17 0,10 0,10

Cámara 0,21 0,02 0,17 0,11 0,10 0,09 0,09 0,21 0,12

Capac. Almac. 0,21 0,23 0,20 0,18 0,14 0,05 0,09 0,13 0,16

Batería 0,16 0,15 0,17 0,18 0,14 0,17 0,13 0,21 0,16

Diseño 0,03 0,19 0,13 0,04 0,10 0,17 0,09 0,21 0,12

Procesador 0,16 0,06 0,10 0,23 0,18 0,12 0,17 0,07 0,14

Precio 0,12 0,23 0,13 0,23 0,28 0,28 0,26 0,07 0,20

Tabla 6: Matriz de ponderación 2

Reordenando ambos métodos de ponderación:

Ponderación 1

𝑤𝑗 =𝑣𝑗

∑ 𝑣𝑗𝑛𝑚=1

Criterio Alfonso Carlos Guillermo Ignacio Javi Pedro Jaime Curro MEDIA

Precio 0,13 0,19 0,14 0,19 0,20 0,20 0,20 0,11 0,17

Batería 0,16 0,15 0,16 0,17 0,14 0,16 0,14 0,18 0,16

Capac. Almac. 0,18 0,19 0,17 0,17 0,14 0,09 0,12 0,14 0,15

Procesador 0,16 0,10 0,12 0,19 0,16 0,14 0,16 0,11 0,14

Cámara 0,18 0,06 0,16 0,13 0,12 0,11 0,12 0,18 0,13

Diseño 0,07 0,17 0,14 0,08 0,12 0,16 0,12 0,18 0,13

Tamaño 0,13 0,13 0,12 0,08 0,10 0,14 0,16 0,12 0,12

Tabla 7: Matriz de ponderación 1 ordenada

36

Ponderación 2

𝑤𝑗 =𝑣𝑗

2

∑ 𝑣𝑗2𝑛

𝑚=1

Criterio Alfonso Carlos Guillermo Ignacio Javi Pedro Jaime Curro MEDIA

Precio 0,12 0,23 0,13 0,23 0,28 0,28 0,26 0,07 0,20

Batería 0,16 0,15 0,17 0,18 0,14 0,17 0,13 0,21 0,16

Capac. Almac. 0,21 0,23 0,20 0,18 0,14 0,05 0,09 0,13 0,16

Procesador 0,16 0,06 0,10 0,23 0,18 0,12 0,17 0,07 0,14

Cámara 0,21 0,02 0,17 0,11 0,10 0,09 0,09 0,21 0,12

Diseño 0,03 0,19 0,13 0,04 0,10 0,17 0,09 0,21 0,12

Tamaño 0,12 0,11 0,10 0,04 0,07 0,12 0,17 0,10 0,10

Tabla 8: Matriz de ponderación 2 ordenada

Podemos observar que ambas ponderaciones presentan muy pocas diferencias en los pesos que

asignan a cada criterio, de hecho la clasificación que obtenemos según la media de cada decisor

queda exactamente igual. Veamos qué ocurre con el método AHP.

Con el fin de calcular un peso para cada criterio, el método AHP comienza creando una matriz de

comparación 𝐴. La matriz 𝐴 es una matriz real 𝑚𝑥𝑚 donde m es el número de criterios de nuestro

problema. Cada valor de la matriz 𝑎𝑗𝑘 representa la importancia relativa del criterio j con respecto

al k. Si 𝑎𝑗𝑘 > 1, entenderemos que el criterio j tiene más importancia que k, si por el contrario

𝑎𝑗𝑘 < 1 el criterio j es menos importante que k. Para criterios con la misma importancia 𝑎𝑗𝑘 = 1,

incluyendo los valores de la diagonal de la matriz 𝑗 = 𝑘.

Además los valores de la matriz tienen que cumplir el axioma de reciprocidad, a saber:

𝑎𝑗𝑘 · 𝑎𝑘𝑗 = 1

Por lo que el número de comparaciones que un usuario deberá realizar en este paso serán

37

𝑚 · 𝑚 − 𝑚

2

que corresponden a cualquiera de las dos diagonales (inferior o superior) de la matriz, siendo la

diagonal opuesta calculada por el mencionado axioma de reciprocidad.

Los valores con los que se rellenará dicha matriz serán valores numéricos extraídos de las

comparaciones realizadas por los usuarios. Estos valores formarán parte de una escala numérica

comprendida desde 1 hasta 9, cuyo significado en términos de importancia relativa se recogen en

la siguiente tabla. Aunque solo se recoge la interpretación para cinco valores, el usuario podrá

escoger valores intermedios. Hay que tener en cuenta que las clasificaciones de los usuarios pueden

contener inconsistencias, aunque estas no generan mayor problema siempre que se encuentren en

un intervalo razonable.

Valor de 𝑎𝑗𝑘 Interpretación

1 j y k son igual de importantes

3 j es ligeramente más importante que k

5 j es más importante que k

7 j es considerablemente más importante que k

9 j es absolutamente más importante que k

Tabla 9: Valores Saaty para criterios

Una vez construida la matriz 𝐴, el paso siguiente para la sintetización de los datos es obtener a

partir de ella la matriz normalizada 𝐴𝑛𝑜𝑟𝑚, igualando a la unidad la suma de los valores de cada

columna. Cada valor esta matriz se calcula como:

â𝑗𝑘 =𝑎𝑗𝑘

∑ 𝑎𝑙𝑘𝑚𝑙=1

Una vez calculada esta matriz, el vector de pesos de criterio 𝑤 se obtiene calculando el valor medio

de cada columna de 𝐴𝑛𝑜𝑟𝑚:

38

𝑤𝑗 =∑ â𝑗𝑙

𝑚𝑙=1

𝑚

Para obtener el vector de pesos en el método AHP debemos comparar los criterios entre sí según

la importancia dada por cada decisor. Dichas comparaciones fueron recogidas en la tabla del

cuestionario, que se reproduce a continuación:

Tamaño Cámara 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. Batería 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Procesador 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Precio Tamaño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cámara Batería 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. Diseño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Procesador Precio 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tamaño Capac. de almac. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cámara Diseño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Batería Procesador 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Tamaño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Procesador Cámara 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Precio Capac. de almac. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Batería Tamaño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cámara Precio 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tamaño Procesador 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Batería 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cámara Capac. de almac. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Batería Precio 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. Procesador 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Precio 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tabla 10: Comparación de métodos del cuestionario

Para no hacer la explicación demasiada farragosa, a continuación mostraremos las evaluaciones de

39

cada usuario traspasadas directamente a la matriz A y el valor final de los pesos de los criterios, en

lugar de todos los cuestionarios contestados. También se mostrará para cada matriz A el valor de

su razón de consistencia para evaluar si las comparaciones realizadas son consistentes o no.

Alfonso Tamaño Cámara 3 Cap. almac Batería Diseño Procesador Precio

Tamaño 1,00 0,17 0,20 0,14 3,00 0,14 3,00

Cámara 6,00 1,00 4,00 0,50 7,00 0,20 6,00

Cap. almac. 5,00 0,25 1,00 0,25 4,00 0,20 4,00

Batería 7,00 2,00 4,00 1,00 8,00 0,33 7,00

Diseño 0,33 0,14 0,25 0,13 1,00 0,11 0,50

Procesador 7,00 5,00 5,00 3,00 9,00 1,00 7,00

Precio 0,33 0,17 0,25 0,14 2,00 0,14 1,00

Tabla 11: Matriz A Alfonso

𝑅𝐶 = 0,09517359 < 0,1, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒.

Carlos Tamaño Cámara Cap. almac. Batería Diseño Procesador Precio

Tamaño 1,00 0,33 0,20 0,17 2,00 0,14 0,13

Cámara 3,00 1,00 0,20 0,33 2,00 0,17 0,20

Cap. almac. 5,00 5,00 1,00 1,00 5,00 0,25 0,25

Batería 6,00 3,00 1,00 1,00 6,00 0,50 0,25

Diseño 0,50 0,50 0,20 0,17 1,00 0,14 0,11

Procesador 7,00 6,00 4,00 2,00 7,00 1,00 0,33

Precio 8,00 5,00 4,00 4,00 9,00 3,00 1,00

Tabla 12: Matriz A Carlos


Guillermo Tamaño Cámara Cap. almac. Batería Diseño Procesador Precio

Tamaño 1,00 0,11 0,20 0,20 1,00 1,00 0,50

Cámara 9,00 1,00 3,00 5,00 3,00 8,00 7,00

Cap. almac. 5,00 0,33 1,00 3,00 5,00 2,00 3,00

Batería 5,00 0,20 0,33 1,00 3,00 5,00 5,00

Diseño 1,00 0,33 0,20 0,33 1,00 2,00 0,50

Procesador 1,00 0,13 0,50 0,20 0,50 1,00 0,50

Precio 2,00 0,14 0,33 0,20 2,00 2,00 1,00

40

Tabla 13: Matriz A Guillermo


Ignacio Tamaño Cámara Cap. almac. Batería Diseño Procesador Precio

Tamaño 1,00 0,20 0,20 0,17 0,33 0,11 0,14

Cámara 5,00 1,00 0,20 0,17 4,00 0,14 0,14

Cap. almac. 5,00 5,00 1,00 0,33 5,00 0,50 0,50

Batería 6,00 6,00 3,00 1,00 7,00 0,50 0,50

Diseño 3,00 0,25 0,20 0,14 1,00 0,13 0,11

Procesador 9,00 7,00 2,00 2,00 8,00 1,00 1,00

Precio 7,00 7,00 2,00 2,00 9,00 1,00 1,00

Tabla 14: Matriz A Ignacio


Javier Tamaño Cámara Cap. almac. Batería Diseño Procesador Precio

Tamaño 1,00 0,33 0,20 0,17 2,00 0,14 0,13

Cámara 3,00 1,00 0,20 0,33 2,00 0,17 0,20

Cap. almac. 5,00 5,00 1,00 1,00 5,00 0,25 0,25

Batería 6,00 3,00 1,00 1,00 6,00 0,50 0,25

Diseño 0,50 0,50 0,20 0,17 1,00 0,14 0,11

Procesador 7,00 6,00 4,00 2,00 7,00 1,00 0,33

Precio 8,00 5,00 4,00 4,00 9,00 3,00 1,00

Tabla 15: Matriz A Javier


Pedro Tamaño Cámara Cap. almac. Batería Diseño Procesador Precio

Tamaño 1,00 0,50 0,50 0,33 3,00 0,33 0,17

Cámara 2,00 1,00 0,50 1,00 4,00 0,50 0,20

Cap. almac. 2,00 2,00 1,00 0,33 3,00 0,50 0,25

Batería 3,00 1,00 3,00 1,00 3,00 0,50 0,25

Diseño 0,33 0,25 0,33 0,33 1,00 0,20 0,14

Procesador 3,00 2,00 2,00 2,00 5,00 1,00 0,25

Precio 6,00 5,00 4,00 4,00 7,00 4,00 1,00

Tabla 16: Matriz A Pedro

41


Jaime Tamaño Cámara Cap. almac. Batería Diseño Procesador Precio

Tamaño 1,00 5,00 7,00 1,00 6,00 1,00 0,50

Cámara 0,20 1,00 4,00 0,20 0,33 0,17 0,13

Cap. almac. 0,14 0,25 1,00 0,33 0,50 0,14 0,13

Batería 1,00 5,00 3,00 1,00 4,00 0,33 0,13

Diseño 0,17 3,00 2,00 0,25 1,00 0,20 0,13

Procesador 1,00 6,00 7,00 3,00 5,00 1,00 0,33

Precio 2,00 8,00 8,00 8,00 8,00 3,00 1,00

Tabla 17: Matriz A Jaime


Curro Tamaño Cámara Cap. almac. Batería Diseño Procesador Precio

Tamaño 1,00 0,20 3,00 0,33 3,00 3,00 2,00

Cámara 5,00 1,00 5,00 1,00 5,00 8,00 5,00

Cap. almac. 0,33 0,20 1,00 0,14 1,00 3,00 0,20

Batería 3,00 1,00 7,00 1,00 3,00 7,00 7,00

Diseño 0,33 0,20 1,00 0,33 1,00 3,00 1,00

Procesador 0,33 0,13 0,33 0,14 0,33 1,00 0,33

Precio 0,50 0,20 5,00 0,14 1,00 3,00 1,00

Tabla 18: Matriz A Curro


Afortunadamente todas las matrices son consistentes (aunque algunas por un estrecho margen) por

lo que no debemos revisar o desechar ningún dato.

42

Ponderación AHP

Alfonso Carlos Guillermo Ignacio Javi Pedro Jaime Curro Media

Tamaño 0,05 0,11 0,04 0,02 0,03 0,06 0,18 0,12 0,08

Cámara 0,17 0,03 0,41 0,06 0,06 0,10 0,04 0,33 0,15

Capac. Almac. 0,10 0,15 0,20 0,13 0,13 0,10 0,03 0,05 0,11

Batería 0,23 0,24 0,17 0,20 0,13 0,13 0,11 0,31 0,19

Diseño 0,02 0,10 0,06 0,03 0,03 0,03 0,05 0,07 0,05

Procesador 0,39 0,03 0,05 0,27 0,24 0,17 0,19 0,03 0,17

Precio 0,03 0,34 0,07 0,27 0,38 0,41 0,39 0,09 0,25

Tabla 19: Ponderación AHP

A continuación mostramos un par de tablas que permiten evaluar estos datos desde una perspectiva

gráfica:

Figura 4-1: Media de pesos AHP

En esta primera tabla podemos observar la gran importancia que el conjunto de los usuarios da al

precio del dispositivo (0,25), cinco veces más que al criterio menos valorado, el diseño (0,05), y

aproximadamente tres veces más que al segundo menos valorado, el tamaño (0,08). El resto de los

criterios se mueven en un razonable intervalo.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

43

Figura 4-2: Distribución de pesos por usuario AHP

En este apartado podemos ver como existen criterios para los que la valoración de los usuarios es

bastante parecida, como en los criterios de batería o diseño; mientras que en otros como la cámara

o incluso el precio (que obtiene de media el valor más alto de manera destacada) el valor del peso

para cada usuario incluye un espectro muy amplio de valores.

Criterio AHP Ponderaciones

Tamaño 6 7

Cámara 4 5

Capac. Almac. 5 3

Batería 2 2

Diseño 7 6

Procesador 3 4

Precio 1 1

Tabla 20: Orden de importancia de criterios según ponderación

Podemos observar cómo se producen variaciones en el orden de importancia de los criterios según

AHP y las ponderaciones.

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

Alfonso

Carlos

Guillermo

Ignacio

Javi

Pedro

Jaime

Curro

44

Figura 4-3: Diferencia entre el peso máximo y mínimo por método

En la Figura 4-3 podemos observar la mayor diferencia entre pesos según lo distintos criterios de

ponderación.

Figura 4-4: Perfiles de los pesos según métodos de cálculo

En la Figura 4-4 vemos como el método AHP introduce mayor varianza entre pesos de criterios

que ambas ponderaciones.

Al encontrarnos ante un problema en el que las alternativas son muy parecidas entre sí, hemos

considerado más conveniente ponderar según un método que introduzca mayor varianza entre los

criterios. El método elegido es finalmente el de ponderación AHP para ambos métodos (TOPSIS

y ELECTRE).

A continuación se adjunta la matriz normalizada ponderada

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

AHP Ponderación 1 Ponderación 2

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

AHP Ponderación 1 Ponderación 2

1 Tamaño

2 Cámara

3 Capac. Almac.

4 Batería

5 Diseño

6 Procesador

7 Precio

45

Dispositivo/Criterio Tamaño Cámara Almacenam. Batería Diseño Procesador Precio

IPhone6 0,07 0,13 0,04 0,09 0,06 0,01 0,02

SonyXperia 0,03 0,17 0,00 0,15 0,01 0,02 0,04

Motorola 0,03 0,15 0,00 0,12 0,01 0,00 0,04

SGalaxyS5 0,04 0,15 0,00 0,10 0,01 0,01 0,04

XiaomiMI4 0,05 0,15 0,03 0,15 0,01 0,02 0,04

HTCOne 0,05 0,02 0,00 0,12 0,04 0,01 0,04

Tabla 21: Matriz normalizada ponderada

4.1.4 Determinación de la solución ideal positiva y la solución anti-ideal o ideal negativa

Ahora determinaremos el conjunto de valores ideal positivo 𝐴+ y el conjunto de valores ideal

negativo 𝐴−

Tamaño Cámara Almacenam. Batería Diseño Procesador Precio

A+ 0,069 0,167 0,044 0,154 0,056 0,017 0,043

A- 0,035 0,021 0,004 0,086 0,006 0,003 0,021

Tabla 22: Ideal positivo y negativo por criterio

Introducimos dos figuras en las que se compara los distintos valores de ideal positivo y negativo

según cada decisor.

Figura 4-5: Ideal positivo por criterio y decisor

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

ALF CAR GUI IGN JAV PED JAI CUR

A+


46

Figura 4-6: Ideal negativo por criterio y decisor

Estas figuras nos dan una idea de no sólo que criterio es más y menos importante para cada decisor,

lo cual por si solo sería el peso asignado, sino si hay algún dispositivo en el estudio con ese criterio

satisfecho necesariamente.

Vemos en la gráfica como el decisor Guillermo (GUI) obtiene un ideal positivo del criterio Cámara

de 0.216, siendo el mayor de todos los valores de cualquier decisor. Esto es debido a que pondera

dicho criterio con 0.41 y valora al Sony Xperia con un 9 en el criterio Cámara.

4.1.5 Cálculo de las medidas de distancia

Ayudándonos del ideal positivo y el ideal negativo obtenidos anteriormente obtenemos la distancia

de cada dispositivo a cada uno de ellos.

di+ di

-

IPhone6 0,0836 0,1272

SonyXperia 0,0692 0,1627

Motorola 0,0843 0,1307

SGalaxyS5 0,0884 0,1290

XiaomiMI4 0,0537 0,1485

HTCOne 0,1574 0,0532

Tabla 23: Distancias de cada dispositivo al ideal positivo y negativo

Podemos observar como el Xiaomi MI4 tiene la menor distancia al ideal positivo, pero sin embargo

no la mayor respecto del ideal negativo, por lo que tendremos en el siguiente paso del algoritmo

calcular la proximidad relativa a ambas para poder jerarquizar las alternativas.

Procedemos al análisis conjunto de las distancias para cada uno de los decisores. En la figura 4-7

podemos ver la distancia de cada alternativa al ideal positivo.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14


A-


47

Figura 4-7: Distancia de cada alternativa al ideal positivo

Lo primero que llama nuestra atención es que el iPhone 6, a priori un móvil que es técnicamente

de los mejores del estudio, es el dispositivo que más se aleja del ideal positivo en seis de los ocho

casos. Algo también muy llamativo es la gran varianza que existe en las distancias asignadas a

cada dispositivo en casi todos los decisores.

Respecto a la distancia al ideal negativo vemos en la Figura 4-8:

Figura 4-8: Distancia de cada alternativa al ideal negativo

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25


d+

Iphone6 SonyXperia Motorola SGalaxyS5 XiaomiMI4 HTCOne

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25


d-


48

Aquí comprobamos a simple vista una disminución muy significativa de la varianza aunque es el

iPhone de nuevo el que presenta una menor distancia al ideal negativo en seis de los ocho casos.

Ambas gráficas son coherentes, ya que los decisores que suelen coincidir que el dispositivo con

mayor distancia al ideal positivo también sea el que presenta menor distancia al ideal negativo.

4.1.6 Cálculo de la proximidad relativa de cada alternativa a la solución ideal positiva y negativa

Aplicando el coeficiente explicado anteriormente obtendremos el ratio de similaridad que teniendo

en cuenta tanto la distancia al ideal positivo (la menor posible) como la distancia al ideal negativo

(la mayor posible) nos darán los valores necesarios para establecer la clasificación de los

dispositivos según cada decisor. En nuestro caso:

RSi Clasificación

XiaomiMI4 0,73 1

SonyXperia 0,70 2

Motorola 0,61 3

IPhone6 0,60 4

SGalaxyS5 0,59 5

HTCOne 0,25 6

Tabla 24: Proximidad relativa de cada alternativa a la solución ideal positiva y negativa

Ahora veremos cómo queda la clasificación final de cada uno de los decisores y también la

evaluación de cada dispositivo por todos los decisores. Vayamos primero por el primer caso que

se muestra en la Figura 4-9:

Figura 4-9: Clasificación final por decisor

El dispositivo que más veces se encuentra en primera posición es el Xiaomi MI4, le sigue el

Samsung Galaxy S5 con dos y el Sony Xperia con una. El teléfono móvil que más aparece en la

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1


RS


49

última posición es iPhone 6 con seis veces, le sigue el HTC One con dos.

Ahora exponemos las puntuaciones por dispositivo:

Figura 4-10: Puntuación por dispositivo

Observamos a simple vista que la mejor alternativa entre las posibles va a estar entre el Xiaomi

MI4 y el Samsung Galaxy S5. Son claramente los dispositivos con unos ratios de similaridad más

altos superando 0,9 en dos ocasiones cada uno. En el caso del Xiaomi MI4 llega a tener un ratio

de similaridad de prácticamente la unidad (solución ideal positiva) según el decisor Jaime.

En el otro extremo tenemos el iPhone 6 que presenta ratios de similaridad menores de 0,3 en

opinión de seis de los ocho decisores. Como comprobaremos en el siguiente apartado parece

evidente que obtendrá la última posición.

4.1.7 Clasificación final

Finalmente realizamos la media ponderada de los ratios de similaridad para cada dispositivo y así

obtendremos nuestra clasificación final.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1


RS


50

Media Final Clasificación

XiaomiMI4 0,79 1

SGalaxyS5 0,76 2

SonyXperia 0,65 3

Motorola 0,58 4

HTCOne 0,58 5

IPhone6 0,27 6

Tabla 25: Clasificación final TOPSIS

Como podíamos intuir, los dos primeros clasificados son el Xiaomi MI4 en primer lugar, seguido

muy de cerca por el Samsung Galaxy S5. En la última posición obtenemos al iPhone 6, el cual

queda a una gran distancia del antepenúltimo.

Figura 4-11: Media final

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

RS

med

io


51

Figura 4-12: Media final (2)

4.1.8 Análisis de sensibilidad. Eliminando el factor precio

El análisis de sensibilidad tiene por objetivo identificar el impacto que resulta en los resultados del

problema original luego de determinadas variaciones en los parámetros, variables o restricciones

del modelo, sin que esto pase por resolver el problema nuevamente.

Hemos propuesto como análisis de sensibilidad tomar el peso del precio igual a cero, con esto

pretendemos plantear cómo variaría la decisión final si los decisores dispusiesen de recursos

ilimitados a la hora de elegir el dispositivo.

Forzamos una situación irreal en la que queremos que los decisores tomen su decisión basándose

únicamente las características técnicas y el diseño de los dispositivos.

En la Figura 4-13 adjunta podemos observar el peso relativo del precio con respecto al total de

pesos para cada decisor.

Iphone67%

SonyXperia18%

Motorola16%

SGalaxyS521%

XiaomiMI422%

HTCOne16%

52

Figura 4-13: Tanto por uno que representa el precio entre el total de pesos

Para cinco de los ocho decisores el criterio peso representa más del 25% del peso relativo de los

siete criterios. En conclusión tenemos cinco decisores muy sensibles al precio a la hora de

decantarse por un dispositivo.

Obtenemos los resultados siguientes:

Media Final Clasificación

SonyXperia 0,68 1

XiaomiMI4 0,65 2

SGalaxyS5 0,65 3

HTCOne 0,51 4

IPhone6 0,45 5

Motorola 0,36 6

Tabla 26: Clasificación final TOPSIS sin factor precio

Como vemos el Sony Xperia desbanca de esta forma al Xiaomi MI4 y Samsung Galaxy S5 aunque

ambos le van a la zaga. El iPhone únicamente sube una posición dejando como último al Motorola

Moto X.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45


53

Figura 4-14: Media final con análisis de sensibilidad

Figura 4-15: Media final con análisis de sensibilidad (2)

Ahora veremos la variación porcentual que han sufrido los dispositivos obviando el peso del

precio.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

RS

med

io


Iphone613%

SonyXperia21%

Motorola11%

SGalaxyS520%

XiaomiMI420%

HTCOne15%

54

Rsi con factor Precio Rsi sin factor Precio Variación (%)

IPhone6 0,27 0,45 65,79

SonyXperia 0,65 0,68 4,24

Motorola 0,58 0,36 -38,63

SGalaxyS5 0,76 0,65 -14,37

XiaomiMI4 0,79 0,65 -16,89

HTCOne 0,58 0,51 -11,83

Tabla 27: Variación obtenida en el análisis de sensibilidad TOPSIS

Se observa como las variaciones en general no son excesivas salvo en los casos del iPhone 6 y el

Motorola Moto X. Los decisores han castigado fuertemente el alto precio del primero y valorado

positivamente el bajo precio del segundo.

Clasificación con AS Clasificación sin AS Variación

SonyXperia 1 3 +2

XiaomiMI4 2 1 -1

SGalaxyS5 3 2 -1

HTCOne 4 5 +1

IPhone6 5 6 +1

Motorola 6 4 -2

Tabla 28: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad TOPSIS

4.2 El método ELECTRE aplicado a nuestro problema

Procedemos a aplicar al estudio de la elección de un dispositivo móvil el método ELECTRE I

anteriormente explicado. Para ello vamos a utilizar los datos proporcionados por el decisor Alfonso

que van a ser tratados por el método.

4.2.1 Construcción de la matriz de decisión

A raíz de los cuestionarios entregados a los decisores, obtenemos las matrices de decisión de cada

uno de ellos. En concreto para el decisor Alfonso obtenemos la siguiente:


IPhone6 9 6 9 6 7 6 3

SonyXperia 6 7 6 7 9 8 5

Motorola 6 7 6 6 7 7 6

SGalaxyS5 7 8 6 8 6 9 6

XiamiMI4 8 7 8 7 7 10 6

HTCOne 8 6 6 8 7 9 5

Tabla 29: Matriz de decisión decisor Alfonso

55

4.2.2 Construcción de la matriz de concordancia

A partir de la matriz de decisión, obtenemos comparado pares de alternativas la matriz de

concordancia.

𝐶(𝑎, 𝑏) = ∑ 𝑤𝑗

𝑗|𝑟𝑗(𝑎)>𝑟𝑗(𝑏)

+ 0,5 ∑ 𝑤𝑗

𝑗|𝑟𝑗(𝑎)=𝑟𝑗(𝑏)

Como se observa, al comparar la alternativa a con la b, el índice 𝐶(𝑎, 𝑏) se obtendrá de la suma

de los pesos de cada criterio en los que los que la alternativa a es mejor que la b. En caso de que la

alternativa b supere a la a no sumará y en caso de que ambas tengan la misma valoración para un

criterio, se tomará la mitad del peso de éste. Cada índice podrá estar comprendido entre 0 y 1. A

continuación se adjunta la matriz de concordancia de nuestro decisor.

IPhone6 SonyXperia Motorola SGalaxyS5 XiaomiMI4 HTCOne

IPhone6 0,15 0,28 0,17 0,16 0,25

SonyXperia 0,85 0,80 0,07 0,23 0,26

Motorola 0,72 0,20 0,09 0,12 0,27

SGalaxyS5 0,83 0,93 0,91 0,42 0,57

XiaomiMI4 0,84 0,77 0,88 0,58 0,73

HTCOne 0,75 0,74 0,73 0,43 0,27

Tabla 30: Matriz de concordancia

Poniendo como ejemplo la comparación del iPhone 6 con el resto de dispositivos:


IPhone6 0,15 0,28 0,17 0,16 0,25

SonyXperia 0,85 0,80 0,07 0,23 0,26

Motorola 0,72 0,20 0,09 0,12 0,27

SGalaxyS5 0,83 0,93 0,91 0,42 0,57

XiaomiMI4 0,84 0,77 0,88 0,58 0,73

HTCOne 0,75 0,74 0,73 0,43 0,27

Tabla 31: Matriz de concordancia iPhone 6 frente al resto

Obtenemos los siguientes índices de concordancia representados en la gráfica:

56

Figura 4-16: Concordancia iPhone 6

En la que observamos que debido a que en la matriz de decisión del decisor Alfonso las

puntuaciones dadas al iPhone para los distintos criterios son bajas con respecto al resto, no

obtenemos ningún índice de concordancia superior a 0,30.

En el lado opuesto tenemos:


IPhone6 0,15 0,28 0,17 0,16 0,25

SonyXperia 0,85 0,80 0,07 0,23 0,26

Motorola 0,72 0,20 0,09 0,12 0,27

SGalaxyS5 0,83 0,93 0,91 0,42 0,57

XiaomiMI4 0,84 0,77 0,88 0,58 0,73

HTCOne 0,75 0,74 0,73 0,43 0,27

Tabla 32: Matriz de concordancia Galaxy S5 frente al resto

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

SonyXperia Motorola SGalaxyS5 XiaomiMI4 HTCOne

57

Figura 4-17: Concordancia Galaxy S5

En los que los índices de concordancia de dicho dispositivo son mayores que 0,8 con respecto a 3

dispositivos.

4.2.3 Normalización de la matriz de decisión

Ahora procedemos a normalizar la matriz de decisión aplicando:



𝑖=1

, ∀𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Y obtenemos:

Tamaño Cámara Almacen. Batería Diseño Procesador Precio

IPhone6 0,50 0,36 0,53 0,35 0,40 0,30 0,23

SonyXperia 0,33 0,42 0,35 0,41 0,51 0,39 0,39

Motorola 0,33 0,42 0,35 0,35 0,40 0,35 0,46

SGalaxyS5 0,39 0,48 0,35 0,46 0,34 0,44 0,46

XiaomiMI4 0,44 0,42 0,47 0,41 0,40 0,49 0,46

HTCOne 0,44 0,36 0,35 0,46 0,40 0,44 0,39

Tabla 33: Matriz de decisión normalizada

4.2.4 Construcción de la matriz de decisión normalizada y ponderada

Para calcular el valor normalizado ponderado multiplicamos cada 𝒗𝒊𝒋 por su peso 𝒘𝒋 por cada

alternativa i-ésima, resultando:

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

Iphone6 SonyXperia Motorola XiaomiMI4 HTCOne

58

Tamaño Cámara Almacen. Batería Diseño Procesador Precio

IPhone6 0,03 0,06 0,05 0,08 0,01 0,12 0,01

SonyXperia 0,02 0,07 0,03 0,09 0,01 0,15 0,01

Motorola 0,02 0,07 0,03 0,08 0,01 0,13 0,02

SGalaxyS5 0,02 0,08 0,03 0,11 0,01 0,17 0,02

XiaomiMI4 0,02 0,07 0,05 0,09 0,01 0,19 0,02

HTCOne 0,02 0,06 0,03 0,11 0,01 0,17 0,01

Tabla 34: Matriz de decisión normalizada y ponderada

4.2.5 Construcción de la matriz de discordancia

Una vez obtenida la matriz de decisión normaliza y ponderada podemos proceder al cálculo de la

matriz de discordancia.

Esta matriz se construye según:

𝐷(𝑖, 𝑘) =

max(𝑖,𝑘)|�̅�𝑗(𝑖)<�̅�𝑗(𝑘)

�̅�𝑗(𝑘) − �̅�𝑗(𝑖)

max∀(𝑖,𝑘)

|�̅�𝑗(𝑘) − �̅�𝑗(𝑖)|

Siendo �̅�𝑗(𝑘) el índice correspondiente a la matriz de decisión normalizada y ponderada de la

alternativa k para el criterio j.

Lo cual da como resultado:


IPhone6 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

SonyXperia 0,45 0,14 1,00 1,00 1,00

Motorola 0,89 1,00 1,00 1,00 1,00

SGalaxyS5 0,30 0,21 0,04 1,00 0,14

XiaomiMI4 0,07 0,07 0,00 0,68 0,68

HTCOne 0,30 0,54 0,27 1,00 1,00

Tabla 35: Matriz de discordancia

A simple vista podemos ver que los índices que tienen un valor de 1 en esta matriz denotan que

van a superar el umbral mínimo de discordancia. Dicho umbral que introduciremos más adelante

lo obtendremos por la media ponderada de cada uno de los elementos de esta matriz, por lo que al

ser 1 el valor máximo que puede alcanzar el índice, y no serlo todos, la media va a ser menor que

1. Esto conllevará a que aunque los elementos de la matriz de concordancia superen el umbral

mínimo de concordancia, lo que significa que en un número de criterios la alternativa i es mejor

que la k, si su índice de discordancia es 1, va a dar a lugar a que se rechace la sobreclasificación i

sobre k.

59


IPhone6 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

SonyXperia 0,45 0,14 1,00 1,00 1,00

Motorola 0,89 1,00 1,00 1,00 1,00

SGalaxyS5 0,30 0,21 0,04 1,00 0,14

XiaomiMI4 0,07 0,07 0,00 0,68 0,68

HTCOne 0,30 0,54 0,27 1,00 1,00

Tabla 36: Matriz de discordancia II

Sin haber definido todavía los umbrales, tenemos la seguridad de que se va a producir con los 1 de

la matriz, aunque podría ocurrir en más casos.

4.2.6 Definición de umbrales

En este apartado definiremos los umbrales mínimo y máximo para los índices de concordancia y

discordancia respectivamente, siendo c* es el valor límite mínimo especificado para el índice de

concordancia y d* es el valor límite máximo especificado para el índice de discordancia -La

relación de superación S, puede definirse de la forma:

𝑎𝑆𝑏 ⇔ 𝐶(𝑎, 𝑏) ≥ 𝑐∗ 𝑦 𝐷(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑑∗

Definiendo c* y d* como la media aritmética de los índices de concordancia y discordancia

respectivamente, resulta para el caso del decisor Alfonso:

c* 0,50

d* 0,66

4.2.7 Cálculo de la matriz de dominancia concordante

Sustituyendo por 1 en la matriz de índices de concordancia en los que su valor supere al umbral c*

y por 0 en el resto, obtenemos:


IPhone6 0 0 0 0 0

SonyXperia 1 1 0 0 0

Motorola 1 0 0 0 0

SGalaxyS5 1 1 1 0 1

XiaomiMI4 1 1 1 1 1

HTCOne 1 1 1 0 0

Tabla 37: Matrtiz de dominancia concordante

60

4.2.8 Cálculo de la matriz de dominancia discordante

Se construye de manera análoga la matriz de dominancia concordante con la salvedad que ahora

rellenamos con 1 en las celdas en las que los valores de índices de discordancia no superen el valor

máximo d* y con 0 en el resto.


IPhone6 0 0 0 0 0


Motorola 0 0 0 0 0

SGalaxyS5 1 1 1 0 1

XiaomiMI4 1 1 1 0 0

HTCOne 1 1 1 0 0

Tabla 38: Matrtiz de dominancia discordante

4.2.9 Cálculo de la matriz de dominancia agregada

La obtenemos multiplicando término a término cada elemento de las matrices de dominancia tanto

concordante como discordante.


IPhone6 0 0 0 0 0


Motorola 0 0 0 0 0

SGalaxyS5 1 1 1 0 1

XiaomiMI4 1 1 1 0 0

HTCOne 1 1 1 0 0

Tabla 39: Matrtiz de dominancia agregada

Podemos observar que elementos que elementos (𝑖, 𝑘) de la matriz de dominancia concordante

que tomaban valores 1, no lo mantienen en la de dominancia agregada. A continuación resaltamos

en rojo dichos elementos:


IPhone6 0 0 0 0 0


Motorola 0 0 0 0 0

SGalaxyS5 1 1 1 0 1

XiaomiMI4 1 1 1 0 0

HTCOne 1 1 1 0 0

Tabla 40: Matrtiz de dominancia agregada II

61

Si observamos la comparación entre el Xiaomi MI4 con el HTC One, la matriz de dominancia

concordante tiene valor 1 porque hay un número importante de criterios en los que el dispositivo

de Xiaomi supera al de HTC según nuestro decisor, sin embargo, al obtener el segundo mayor

puntuación que el primero en el segundo criterio con más peso (batería), la matriz de dominancia

discordante tiene valor 0 y por ende, la matriz de dominancia agregada.

PESO 0,05 0,17 0,10 0,23 0,02 0,39 0,03


XiaomiMI4 8 7 8 7 7 10 6

HTCOne 8 6 6 8 7 9 5

Tabla 41: Comparación vectores de decisión Xiaomi MI 4 y HTC One

4.2.10 Obtención del grafo

Finalmente con la matriz de dominancia agregada obtenemos el grafo.


IPhone6 0 0 0 0 0


Motorola 0 0 0 0 0

SGalaxyS5 1 1 1 0 1

XiaomiMI4 1 1 1 0 0

HTCOne 1 1 1 0 0

Tabla 39: Matrtiz de dominancia agregadaTabla 39

Figura 4-18: Grafo ELECTRE

62

En el grafo obtenido del decisor Alfonso podemos observar la ordenación parcial de preferencias.

Según la ordenación parcial obtenida el Xiaomi MI 4 y Samsung Galaxy S5 pertenecen al núcleo

del grafo por lo que son preferibles respecto al resto de alternativas.

Figura 4-19: Núcleo del Grafo ELECTRE

4.2.11 Clasificación final

Para obtener una clasificación final conforme a la ordenación parcial de preferencias de todos los

decisores hemos sumado el número de veces que aparece cada teléfono como alternativa elegida

en cada uno de los decisores. De esta forma obtenemos:

Total de veces en el

Núcleo Clasificación

XiaomiMI4 5 1

SGalaxyS5 3 2

SonyXperia 2 3

IPhone6 1 4

Motorola 0 5

HTCOne 0 5

Tabla 42: Clasificación final ELECTRE

Con lo que concluimos que la mejor opción para nuestros decisores es por mayoría el Xiami MI4

seguido del Samsung Galaxy S5. La última posición la comparten el Motorola Moto X y el HTC

One.

63

Figura 4-20: Clasificación final ELECTRE

4.2.12 Análisis de sensibilidad. Eliminando el factor precio

Como ya hiciéramos anteriormente en el método TOPSIS, vamos a variar los parámetros del

problema de manera que el factor precio de cada teléfono móvil, no tuviese ninguna influencia a

la hora de determinar cuál es el modelo idóneo.

Para ello el peso del criterio precio tomará un valor 0 para todos los decisores. Tomamos la gráfica

del peso del criterio peso con respecto al resto de criterios del método TOPSIS.

0

1

2

3

4

5N

º to

tal d

e ve

ces

en e

l nú

cleo


64

Figura 4-13: Tanto por uno que representa el precio entre el total de pesos

Se observa que es un factor totalmente determinante para cinco de los ocho decisores.

Una vez eliminado el factor precio obtenemos la siguiente clasificación:

Total de veces en el

Núcleo Clasificación

XiaomiMI4 5 1

SonyXperia 3 2

SGalaxyS5 3 2

HTCOne 2 3

IPhone6 1 4

Motorola 0 5

Tabla 43: Clasificación final ELECTRE sin factor precio

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

1


65

Figura 4-21: Clasificación final ELECTRE sin factor precio

Total de veces en el Núcleo con

criterio peso

Total de veces en el Núcleo sin

criterio peso

Variación veces en el

núcleo

IPhone6 1 1 0

SonyXperia 2 3 +1

Motorola 0 0 0

SGalaxyS5 3 3 0

XiaomiMI4 5 5 0

HTCOne 0 2 +2

Tabla 44: Comparación clasificación final ELECTRE con y sin factor precio

Por lo que concluimos que ELECTRE I es un método mucho menos sensible a la variación del

peso del criterio peso que TOPSIS, ya que apenas se producen cambios significativos en las

preferencias.

0

1

2

3

4

5N

º to

tal d

e ve

ces

en e

l nú

cleo


66


XiaomiMI4 1 1 0

SGalaxyS5 2 2 0

SonyXperia 2 3 +1

HTCOne 3 5 +2

IPhone6 4 4 0

Motorola 5 5 0

Tabla 45: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad ELECTRE

67

5 ANÁLISIS DE RESULTADOS Y

CONCLUSIONES

Tras obtener las clasificaciones de las alternativas de los cuatro métodos estudiados, TOPSIS y

ELECTRE analizados en este proyecto y AHP y PROMETHEE en el proyecto de Manuel Fontana

Viñuales, observamos la convergencia casi total de los métodos.

Coinciden totalmente en la ordenación las tres primeras alternativas y hay muy leves variaciones

en las tres restantes.

TOPSIS ELECTRE AHP PROMETHEE

IPhone6 6 4 4 6

SonyXperia 3 3 3 3

Motorola 4 5 6 5

SGalaxyS5 2 2 2 2

XiaomiMI4 1 1 1 1

HTCOne 5 5 5 4

Tabla 46: Clasificación final de los cuatro métodos

Se observa que pese a la alta sensibilidad al precio mostrada por la mayoría de nuestros decisores

como se muestra en la Figura 4-1, hace que el dispositivo que queda primero en la clasificación de

alternativas, el Xiaomi MI 4, tenga un precio de únicamente 444€, menos de la mitad que el

dispositivo más caro (iPhone 6) con 990€ de precio. El segundo clasificado tampoco supero los

450€ de coste.

Figura 4-1: Media de pesos AHP

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

68

En cuanto a las particularidades de los métodos y siguiendo con el factor precio, observamos en

los análisis de sensibilidad realizados a ambos que el método TOPSIS es más sensible a la

eliminación de dicho factor que el método ELECTRE como puede observarse en las Tablas 28 y

45.


SonyXperia 1 3 +2

XiaomiMI4 2 1 -1

SGalaxyS5 3 2 -1

HTCOne 4 5 +1

IPhone6 5 6 +1

Motorola 6 4 -2

Tabla 28: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad TOPSIS


XiaomiMI4 1 1 0

SGalaxyS5 2 2 0

SonyXperia 2 3 +1

HTCOne 3 5 +2

IPhone6 4 4 0

Motorola 5 5 0

Tabla 45: Variación en la clasficación con y sin análisis de sensibilidad ELECTRE

Se concluye finalmente que si necesitamos obtener un ránking de alternativas totalmente

jerarquizado en el que en todo momento podamos medir cuantitavimaente qué alternativa

sobreclasifica a las restantes, el método más indicado es TOPSIS. Sin embargo, en el caso de que

no haya una diferenciación entre alternativas sea más difusa y queramos tener la certeza de qué

alternativa es y no es dominada por las demás, nuestra mejor opción sería el método ELECTRE.

69

REFERENCIAS

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Fontana, M., 2015. Métodos de decisión multicriterio AHP y PROMETHEE aplicados a la elección de un dispositivo móvil. Proyecto Fin de Carrera. Escuela Técnica Superior de Ingeniería. Universidad de Sevilla.

García-Cascales, M. del S. & Jiménez, M.T.L., 2009. Métodos para la comparación de alternativas mediante un Sistema de Ayuda a la Decisión (S.A.D.) y “Soft Computing.” Tesis Doctoral. Universidad Politécnica de Cartagena.

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Leyva-Lopez, J.C. & Fernandez-Gonzalez, E., 2003. A new method for group decision support based on ELECTRE III methodology. European Journal of Operational Research, 148(1), pp.14–27.

Lin, M.-C. et al., 2008. Using ANP and TOPSIS approaches in customer-driven product design process. Computers in Industry, 59(1), pp.17–31.

Mareschal, B., 1988. Weight stability intervals in multicriteria decision aid. European Journal of Operational Research, 33(1), pp.54–64.

Romero, C., 1996. Análisis de las decisiones multicriterio, Isdefe Madrid, Spain.

Saaty, T.L., 2012. Fundamentals of Decision Making and Priority Theory With the Analytic Hierarchy Process. Analytic Hierarchy Process Series Vol. 6. , 6.

Valiente, S.M., 2000. Uso de análisis multicriterio en la toma de decisiones grupales en el ámbito universitario. Tesis Doctoral. Universidad Nacional de Mar del Plata.

Vitoriano, B., 2007. Teoría de la decisión: decisión con incertidumbre, decisión multicriterio y teoría de juegos. Universidad Complutense de Madrid, pp.3–104.

70

Xue, D., Zhao, Q. & Guo, X., 2008. TOPSIS method for evaluation customer service satisfaction to fast food industry. In Service Operations and Logistics, and Informatics, 2008. IEEE/SOLI 2008. IEEE International Conference on. IEEE, pp. 920–925.

71

Anexo A. Características de los teléfonos móviles

Apple iPhone 6:


Cámara:

Resolución: 1334x750.

Características: 8 megapíxeles. Vídeo a 1080p/30fps. Graba Slow-motion



Procesador: Dual-core 1.39 GHz. 1 GB RAM

Precio: 990€

72

Sony Xperia Z3


Cámara:

Resolución:

1080x1920.

Características: 20.7 megapíxeles. Vídeo a 2160p/30fps. Graba Slow-motion




Precio: 535 €

73

Motorola Moto X


Cámara:

Resolución:

1080x1920.




Procesador: Dual-core 1.7 GHz. 2GB RAM

Precio: 497 €

74

Samsung Galaxy S5 Tamaño de la pantalla: 5.1 pulgadas

Cámara:

Resolución:

1080x1920

Características: 16 megapíxeles. Vídeo UHD (4000p)/30fps.




Precio: 442 €

75

Xiaomi MI 4


Cámara:

Resolución:

1080x1920

Características: 13 megapíxeles. Vídeo a 2160p/30fps.




Precio: 444 €

76

HTC One (M8)


Cámara:

Resolución:

1080x1920





Precio: 534 €

77

Anexo B. Cuestionario

Suponga que a la hora de adquirir un nuevo teléfono móvil, usted se rige por los siguientes criterios:

- Tamaño de dispositivo/pantalla

- Cámara: calidad y nitidez con que se muestran y/o capturan imágenes y videos en el

dispositivo.

- Capacidad de almacenamiento: memoria interna del dispositivo y posibilidad de

ampliarla mediante dispositivos externos

- Batería: duración en suspensión y en llamada

- Diseño: estética del producto y calidad de los materiales usados en su fabricación

- Procesador: Capacidad del dispositivo de realizar funciones complejas con rapidez y

eficacia

- Precio

1. En primer lugar indique para cada uno de los anteriores atributos (a la derecha de cada

uno) la importancia que éste tiene para usted en una escala del 0 al 10, asignando el 0 a un

atributo totalmente prescindible o sin relevancia, y el 10 para un atributo imprescindible

o de total trascendencia.

- Tamaño de dispositivo/pantalla:

- Cámara:

- Capacidad de almacenamiento:

- Batería:

- Diseño:

- Procesador:

- Precio:

2. A continuación, se le irán presentando estos atributos por parejas, y usted tendrá que

escoger cual es más decisivo para usted a la hora de escoger un dispositivo y la importancia

relativa de un atributo frente a otro, del siguiente modo:

Criterio A Criterio B 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Marcando una X al lado del criterio que considere más importante de la pareja y marcando otra X

al lado de sólo uno de los números de importancia relativa significando estos:

- 1: Ambos criterios tienen la misma importancia (en este caso de igual el criterio elegido)

- 3: El criterio elegido es ligeramente más importante que el no elegido

- 5: El criterio elegido es más importante que el no elegido

- 7: El criterio elegido es bastante más importante que el no elegido

- 9: El criterio elegido es completamente más importante que el no elegido

78

(Puede elegir valores intermedios)

Tamaño Cámara 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. Batería 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Procesador 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Precio Tamaño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cámara Batería 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Procesador Precio 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tamaño Capac. de almac. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cámara Diseño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Batería Procesador 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Tamaño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Procesador Cámara 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Precio Capac. de almac. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Batería Tamaño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cámara Precio 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tamaño Procesador 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Batería 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cámara Capac. de almac. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Batería Precio 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. Procesador 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Precio 1 2 3 4 5 6 7 8 9

79

3. Una vez conocida las características de los seis dispositivos móviles, le pedimos que

valore para cada uno de ellos las siguientes características en una escala del 0 al 10, siendo

0 un nivel pésimo del atributo para ese dispositivo, 5 un nivel aceptable y 10 excelente

(puede usar valores intermedios).

Tamaño de dispositivo/pantalla:

Apple IPhone 6

Sony Xperia Z3

Motorola Moto X

Samsung Galaxy S5

Xiaomi MI 4

HTC One (M8)

Cámara:

Apple IPhone 6

Sony Xperia Z3

Motorola Moto X

Samsung Galaxy S5

Xiaomi MI 4

HTC One (M8)

Capacidad de almacenamiento

Apple IPhone 6

Sony Xperia Z3

Motorola Moto X

Samsung Galaxy S5

Xiaomi MI 4

HTC One (M8)

80

Batería

Apple IPhone 6

Sony Xperia Z3

Motorola Moto X

Samsung Galaxy S5

Xiaomi MI 4

HTC One (M8)

Diseño

Apple IPhone 6

Sony Xperia Z3

Motorola Moto X

Samsung Galaxy S5

Xiaomi MI 4

HTC One (M8)

Procesador

Apple IPhone 6

Sony Xperia Z3

Motorola Moto X

Samsung Galaxy S5

Xiaomi MI 4

HTC One (M8)

81

Precio

Apple IPhone 6

Sony Xperia Z3

Motorola Moto X

Samsung Galaxy S5

Xiaomi MI 4

HTC One (M8)

4. Por último, deberá comparar pares de dispositivos móviles según varios criterios eligiendo

cual valora más de los dos y cómo de mejor considera usted que es, de la siguiente forma:

Criterio C

Dispositivo A Dispositivo B 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Marcando una X al lado del dispositivo de la pareja que le parezca mejor según el criterio C y

marcando otra X al lado de sólo uno de los números de importancia relativa significando estos:

- 1: Ambos dispositivos son iguales respecto al criterio

- 3: El dispositivo elegido es ligeramente mejor que el no elegido

- 5: El dispositivo elegido es claramente mejor que el no elegido

- 7: El dispositivo elegido es notablemente mejor que el no elegido

- 9: El dispositivo elegido es absolutamente mejor que el no elegido

(Puede elegir valores intermedios)

Criterio: Diseño

IPhone 6 Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Xiaomi MI 4 HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 Motorola Moto X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Samsung Galaxy S5 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

82

Sony Xperia Z3 Motorola Moto X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 IPhone 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Criterio: Cámara

IPhone 6 Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Xiaomi MI 4 HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 Motorola Moto X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Samsung Galaxy S5 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Motorola Moto X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 IPhone 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9

83

Anexo C. Respuestas de los Decisores al Cuestionario

En este anexo vamos a reproducir cada una de las tablas del cuestionario rellenadas por los

usuarios para que el lector que lo desee compruebe los datos de origen que hemos usado en los

cálculos

Alfonso

Tamaño Cámara X 1 2 3 4 5 6X 7 8 9

Capac. de almac. Batería X 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

Diseño ProcesadorX 1 2 3 4 5 6 7 8 9X

Precio TamañoX 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Cámara Batería X 1 2X 3 4 5 6 7 8 9


Procesador X Precio 1 2 3 4 5 6 7X 8 9

Tamaño Capac. de almac.X 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

CámaraX Diseño 1 2 3 4 5 6 7X 8 9

Batería 4 Procesador X 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Diseño Tamaño X 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

ProcesadorX Cámara 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

Precio Capac. de almac.X 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

BateríaX Tamaño 1 2 3 4 5 6 7X 8 9

CámaraX Precio 1 2 3 4 5 6X 7 8 9

Tamaño ProcesadorX 1 2 3 4 5 6 7X 8 9

Diseño BateríaX 1 2 3 4 5 6 7 8X 9

CámaraX Capac. de almac. 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

BateríaX Precio 1 2 3 4 5 6 7X 8 9

Capac. de almac. ProcesadorX 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

84

Diseño 5 PrecioX 7 1 2X 3 4 5 6 7 8 9


Apple IPhone 6 9

Sony Xperia Z3 6

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 7

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 8

Cámara:

Apple IPhone 6 6

Sony Xperia Z3 7

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 6


Apple IPhone 6 9

Sony Xperia Z3 6

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 6

Batería

Apple IPhone 6 6

85

Sony Xperia Z3 7

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 8

Diseño

Apple IPhone 6 7

Sony Xperia Z3 9

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 7

Procesador

Apple IPhone 6 6

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 9

Xiaomi MI 4 10

HTC One (M8) 9

Precio

Apple IPhone 6 3

Sony Xperia Z3 5

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 6

86

Xiaomi MI 4 6

HTC One (M8) 5

Criterio: Diseño

IPhone 6 (1) Sony Xperia Z3X (2) 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

Motorola Moto XX

(3)

Samsung Galaxy S5

(4) 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

Xiaomi MI 4X (5) HTC One (M8) (6) 1X 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 (1) Motorola Moto XX

(3) 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3X (2) Samsung Galaxy S5

(4) 1 2 3 4 5 6X 7 8 9

Samsung Galaxy S5

(4) HTC One (M8)X (6) 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3X (2) Motorola Moto X (3) 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5

(4) IPhone 6X (1) 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5

(4) Xiaomi MI 4X (5) 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

Motorola Moto XX

(3) HTC One (M8) (6) 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3XX

(2) Xiaomi MI 4 (5) 1 2 3 4X 5 6X 7 8 9

HTC One (M8) (6) IPhone 6X (1) 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) (6) Sony Xperia Z3X (2) 1 2 3 4 5 6X 7 8 9

Motorola Moto XX

(3) Xiaomi MI 4 (5) 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

IPhone 6X (1) Xiaomi MI 4 (5) 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Criterio: Cámara:

IPhone 6 (1) Sony Xperia Z3X (2) 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

87

Motorola Moto XX

(3)

Samsung Galaxy S5

(4) 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

Xiaomi MI 4X (5) HTC One (M8) (6) 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

IPhone 6 (1) Motorola Moto XX

(3) 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3X (2) Samsung Galaxy S5

(4) 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5

(4) HTC One (M8)X (6) 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3X (2) Motorola Moto X (3) 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5

(4) IPhone 6X (1) 1 2 3 4 5 6 7 8X 9

Samsung Galaxy S5

(4) Xiaomi MI 4X (5) 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto XX

(3) HTC One (M8) (6) 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3XX

(2) Xiaomi MI 4 (5) 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) (6) IPhone 6X (1) 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) (6) Sony Xperia Z3X (2) 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

Motorola Moto XX

(3) Xiaomi MI 4 (5) 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Carlos

Tamaño X Cámara 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

Capac. de almac. Batería X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Diseño X Procesador 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Precio X Tamaño 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Cámara Batería X 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Capac. de almac. X Diseño 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Procesador Precio X 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

88

Tamaño Capac. de almac. X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Cámara Diseño X 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

Batería X Procesador 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Diseño Tamaño X 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

Procesador Cámara X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Precio X Capac. de almac. 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Batería X Tamaño 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Cámara Precio X 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

Tamaño X Procesador 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Diseño Batería X 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Cámara Capac. de almac. X 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

Batería Precio X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. X Procesador 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Diseño Precio X 1 2 3 4 5 6 7 8 X 9


Apple IPhone 6 7

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 9

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 8

Cámara:

Apple IPhone 6 8

Sony Xperia Z3 6

Motorola Moto X 7

89

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 6


Apple IPhone 6 6

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 2

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 3

HTC One (M8) 8

Batería

Apple IPhone 6 6

Sony Xperia Z3 5

Motorola Moto X 5

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 5

HTC One (M8) 6

Diseño

Apple IPhone 6 8

Sony Xperia Z3 5

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 8

90

Procesador

Apple IPhone 6 7

Sony Xperia Z3 9

Motorola Moto X 8

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 9

HTC One (M8) 8

Precio

Apple IPhone 6 2

Sony Xperia Z3 4

Motorola Moto X 5

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 6

HTC One (M8) 4

Criterio: Diseño

IPhone 6 X Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 X 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

Xiaomi MI 4 HTC One (M8) X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 X Motorola Moto X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Samsung Galaxy S5 X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 HTC One (M8) X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Motorola Moto X X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 IPhone 6 X 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

91

Samsung Galaxy S5 Xiaomi MI 4 X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X HTC One (M8) X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Xiaomi MI 4 X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 X 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) X Sony Xperia Z3 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Motorola Moto X Xiaomi MI 4 X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 X Xiaomi MI 4 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

Criterio: Cámara:

IPhone 6 X Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Xiaomi MI 4 X HTC One (M8) 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 X Motorola Moto X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Samsung Galaxy S5 X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 X HTC One (M8) 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Motorola Moto X X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 IPhone 6 X 1X 2 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 X Xiaomi MI 4 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X X HTC One (M8) 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Xiaomi MI 4 X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 X 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 X 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X Xiaomi MI 4 X 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 X Xiaomi MI 4 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Guillermo

Tamaño Cámara X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

92

Capac. de almac. X Batería 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Diseño X Procesador 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Precio X Tamaño 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cámara X Batería 1 2 X 3 4 5 X 6 7 8 9

Capac. de almac. X Diseño 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Procesador Precio 1 2 X 3 4 5 6 7 X 8 9

Tamaño Capac. de almac. X 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Cámara X Diseño 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Batería X Procesador 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Diseño X Tamaño 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Procesador Cámara X 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

Precio Capac. de almac. X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Batería X Tamaño 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Cámara X Precio 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Tamaño X Procesador 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Batería X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Cámara X Capac. de almac. 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Batería Precio X 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Capac. de almac. X Procesador 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Precio X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9


Apple IPhone 6 5

Sony Xperia Z3 4

Motorola Moto X 4

Samsung Galaxy S5 4

Xiaomi MI 4 4

93

HTC One (M8) 4

Cámara:

Apple IPhone 6 6

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 7

Xiaomi MI 4 6

HTC One (M8) 2


Apple IPhone 6 9

Sony Xperia Z3 4

Motorola Moto X 4

Samsung Galaxy S5 4

Xiaomi MI 4 5

HTC One (M8) 4

Batería

Apple IPhone 6 3

Sony Xperia Z3 7

Motorola Moto X 4

Samsung Galaxy S5 5

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 6

Diseño

Apple IPhone 6 9

94

Sony Xperia Z3 5

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 5

HTC One (M8) 1

Procesador

Apple IPhone 6 3

Sony Xperia Z3 5

Motorola Moto X 4

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 7

Precio

Apple IPhone 6 3

Sony Xperia Z3 5

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 5

Criterio: Diseño

IPhone 6 x Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 x 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Xiaomi MI 4 x HTC One (M8) 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

95

IPhone 6 x Motorola Moto X 1 2 3 4 5 6 7 x 8 9

Sony Xperia Z3 Samsung Galaxy S5 x 1 2 3 4 5 6 x 7 8 9

Samsung Galaxy S5 x HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9

Sony Xperia Z3 Motorola Moto X x 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 IPhone 6 x 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 x 7 8 9

Motorola Moto X x HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 x 8 9

Sony Xperia Z3 Xiaomi MI 4 x 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 x 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X x Xiaomi MI 4 1 2 x 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 x 8 9

Criterio: Cámara:

IPhone 6 x Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 x 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

Xiaomi MI 4 x HTC One (M8) 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

IPhone 6 x Motorola Moto X 1 2 x 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Samsung Galaxy S5 x 1 2 3 4 5 6 x 7 8 9


Sony Xperia Z3 Motorola Moto X x 1 2 3 4 x 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 x IPhone 6 1 2 x 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

Motorola Moto X x HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9

Sony Xperia Z3 Xiaomi MI 4 x 1 2 3 4 x 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 x 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 x 1 2 3 4 5 6 x 7 8 9

96

Motorola Moto X Xiaomi MI 4 x 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 x 7 8 9

Ignacio

Tamaño Cámara x 1 2 3 4 5x 6 7 8 9

Capac. de almac. Batería x 1 2 3x 4 5 6 7 8 9

Diseño Procesador x 1 2 3 4 5 6 7 8x 9

Precio x Tamaño 1 2 3 4 5 6 7x 8 9

Cámara Batería x 1 2 3 4 5 6x 7 8 9

Capac. de almac. x Diseño 1 2 3 4 5x 6 7 8 9

Procesador Preciox 1x 2 3 4 5 6 7 8 9

Tamaño Capac. de almac.x 1 2 3 4 5x 6 7 8 9

Cámara x Diseño 1 2 3 4x 5 6 7 8 9

Batería Procesador x 1 2 x 3 4 5x 6 7 8 9

Diseño x Tamaño 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

Procesador x Cámara 1 2 3 4 5 6 7x 8 9

Preciox Capac. de almac. 1 2 3 4 5x 6 7 8 9

Batería x Tamaño 1 2 3 4 5 6x 7 8 9

Cámara Precio x 1 2 3 4 5 6 7x 8 9

Tamaño Procesador x 1 2 3 4 5 6 7 8 9x

Diseño Batería x 1 2 3 4 5 6 7x 8 9

Cámara Capac. de almac. x 1 2 3 4 5x 6 7 8 9

Batería Precio 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. Procesadorx 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Preciox 1 2 3 4 5 6 7 8 9x


Apple IPhone 6 8

97

Sony Xperia Z3 5

Motorola Moto X 5

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 7

Cámara:

Apple IPhone 6 5

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 7

Xiaomi MI 4 6

HTC One (M8) 4


Apple IPhone 6 7

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 8

Batería

Apple IPhone 6 8

Sony Xperia Z3 9

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 7

Xiaomi MI 4 9

98

HTC One (M8) 8

Diseño

Apple IPhone 6 8

Sony Xperia Z3 7

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 7

Xiaomi MI 4 5

HTC One (M8) 5

Procesador

Apple IPhone 6 7

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 9

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 8

Precio

Apple IPhone 6 1

Sony Xperia Z3 5

Motorola Moto X 4

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 7

99

Criterio: Diseño

IPhone 6 x Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5x 6 7 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 x 1 2 3 4x 5 6 7 8 9

Xiaomi MI 4 HTC One (M8) x 1 2 3x 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 x Motorola Moto X 1 2 3 4 5 6x 7 8 9

Sony Xperia Z3 Samsung Galaxy S5 x 1 2x 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 x HTC One (M8) 1 2 3x 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 x Motorola Moto X 1 2 3x 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 IPhone 6 x 1 2 3 4x 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6x 7 8 9

Motorola Moto X HTC One (M8) x 1x 2 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5x 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 x 1 2 3 4 5 6x 7 8 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 x 1 2 3 4x 5 6 7 8 9

Motorola Moto X x Xiaomi MI 4 1 2x 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7x 8 9

Criterio: Cámara:

IPhone 6 x Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5x 6 7 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5x 1 2 3 4x 5 6 7 8 9

Xiaomi MI 4x HTC One (M8) 1 2x 3 4 5 6x 7 8 9

IPhone 6x Motorola Moto X 1 2 3 4 5 6x 7 8 9

Sony Xperia Z3 Samsung Galaxy S5x 1 2 x 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5x HTC One (M8) 1 2 3 4x 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3x Motorola Moto X 1 2 3 4x 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 IPhone 6x 1 2 x 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5x 6 7 8 9

100

Motorola Moto X HTC One (M8)x 1 x 2 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5x 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6x 1 2 3 4x 5 6 7 8 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3x 1 2 3 4 5 6x 7 8 9

Motorola Moto X Xiaomi MI 4x 1 2 3x 4 5 6 7 8 9

IPhone 6x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7x 8 9

Javier

Tamaño Cámara X 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. Batería X 1X 2 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Procesador X 1 2 3 4 5 6 7X 8 9

Precio X Tamaño 1 2 3 4 5 6 7 8X 9

Cámara Batería X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. X Diseño 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

Procesador PrecioX 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Tamaño Capac. de almac. X 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Cámara X Diseño 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

Batería Procesador X 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

DiseñoX Tamaño 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

ProcesadorX Cámara 1 2 3 4 5 6X 7 8 9

PrecioX Capac. de almac. 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

Batería X Tamaño 1 2 3 4 5 6X 7 8 9

Cámara Precio X 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

Tamaño ProcesadorX 1 2 3 4 5 6 7X 8 9

Diseño Batería X 1 2 3 4 5 6X 7 8 9

Cámara Capac. de almac. X 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

Batería Precio X 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

101

Capac. de almac. Procesador X 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Diseño Precio X 1 2 3 4 5 6 7 8 9X


Apple IPhone 6 9

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 8

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 8

Cámara:

Apple IPhone 6 6

Sony Xperia Z3 9

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 5


Apple IPhone 6 10

Sony Xperia Z3 7

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 7

Xiaomi MI 4 9

HTC One (M8) 7

Batería

Apple IPhone 6 5

102

Sony Xperia Z3 10

Motorola Moto X 9

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 10

HTC One (M8) 7

Diseño

Apple IPhone 6 9

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 9

Xiaomi MI 4 9

HTC One (M8) 9

Procesador

Apple IPhone 6 6

Sony Xperia Z3 10

Motorola Moto X 8

Samsung Galaxy S5 9

Xiaomi MI 4 10

HTC One (M8) 9

Precio

Apple IPhone 6 0

Sony Xperia Z3 3

Motorola Moto X 4

Samsung Galaxy S5 4

Xiaomi MI 4 4

103

HTC One (M8) 3

Criterio: Diseño

IPhone 6 X Sony Xperia Z3 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 X 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Xiaomi MI 4 HTC One (M8)X 1X 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 X Motorola Moto 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Samsung Galaxy S5X 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 HTC One (M8)X 1X 2 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3X Motorola Moto X 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 IPhone 6X 1X 2 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 Xiaomi MI 4X 1X 2 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X HTC One (M8)X 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Xiaomi MI 4X 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6X 1X 2 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8)X Sony Xperia Z3 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X Xiaomi MI 4X 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 Xiaomi MI 4X 1X 2 3 4 5 6 7 8 9

Criterio: Cámara:

IPhone 6 Sony Xperia Z3 X 1 2 3 4 5 6 7X 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 X 1X 2 3 4 5 6 7 8 9

Xiaomi MI 4 X HTC One (M8) 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

IPhone 6 Motorola Moto X X 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

104

Sony Xperia Z3 X Samsung Galaxy S5 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 X HTC One (M8) 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 X Motorola Moto X 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5X IPhone 6 1 2 3 4 5X 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5X Xiaomi MI 4 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X X HTC One (M8) 1 2 3 4X 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 X Xiaomi MI 4 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 X 1 2X 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 X 1 2 3 4 5 6 7 8X 9

Motorola Moto X Xiaomi MI 4 X 1X 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 Xiaomi MI 4 X 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Pedro

Tamaño Cámara X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. Batería X 1 2 3X 4 5 6 7 8 9

Diseño Procesador X 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Precio X Tamaño 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

Cámara Batería X 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. X Diseño 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Procesador Precio X 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Tamaño Capac. de almac. X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Cámara X Diseño 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Batería Procesador X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Tamaño X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Procesador X Cámara 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Precio X Capac. de almac. 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Batería X Tamaño 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

105

Cámara Precio X 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Tamaño Procesador X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9


Cámara Capac. de almac. X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Batería Precio X 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Capac. de almac. Procesador X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Precio X 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9


Apple IPhone 6 6

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 8

Samsung Galaxy S5 7

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 7

Cámara:

Apple IPhone 6 9

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 8

Samsung Galaxy S5 9

Xiaomi MI 4 6

HTC One (M8) 7


Apple IPhone 6 10

Sony Xperia Z3 7

Motorola Moto X 7

106

Samsung Galaxy S5 7

Xiaomi MI 4 4

HTC One (M8) 6

Batería

Apple IPhone 6 7

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 10

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 9

Diseño

Apple IPhone 6 9

Sony Xperia Z3 6

Motorola Moto X 5

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 6

HTC One (M8) 5

Procesador

Apple IPhone 6 6

Sony Xperia Z3 10

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 10

Xiaomi MI 4 10

HTC One (M8) 9

107

Precio

Apple IPhone 6 1

Sony Xperia Z3 6

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 7

Xiaomi MI 4 5

HTC One (M8) 5

Criterio: Diseño

IPhone 6 X Sony Xperia Z3 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 X 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

Xiaomi MI 4 HTC One (M8) X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 X Motorola Moto X 1 2 3 4 5 6 7 8 X 9

Sony Xperia Z3 Samsung Galaxy S5 X 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 X HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Sony Xperia Z3 X Motorola Moto X 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 IPhone 6 X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 X Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Motorola Moto X X HTC One (M8) 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 X Xiaomi MI 4 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 X 1 2 3 4 5 6 7 8 X 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 X 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Motorola Moto X X Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

IPhone 6 Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

Criterio: Cámara:

108

IPhone 6 X Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Xiaomi MI 4 X HTC One (M8) 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 X Motorola Moto X 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 Samsung Galaxy S5 X 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 X HTC One (M8) 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 X Motorola Moto X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 X IPhone 6 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 X Xiaomi MI 4 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Motorola Moto X HTC One (M8) X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 X Xiaomi MI 4 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 X 1 2 3 4 X 5 6 7 8 9

Motorola Moto X X Xiaomi MI 4 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 X Xiaomi MI 4 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Jaime

Tamaño x Cámara 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

Capac. de almac. Batería x 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

Diseño Procesador x 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

Precio x Tamaño 1 2 x 3 4 5 6 7 8 9

Cámara Batería x 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

Capac. de almac. Diseño x 1 2 x 3 4 5 6 7 8 9

Procesador Precio x 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

Tamaño x Capac. de almac. 1 2 3 4 5 6 7 x 8 9

Cámara x Diseño x 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

Batería Procesador x 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

Diseño Tamaño x 1 2 3 4 5 6 x 7 8 9

Procesador x Cámara 1 2 3 4 5 6 x 7 8 9

Precio x Capac. de almac. 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9

109

Batería x Tamaño 1x 2 3 4 5 6 7 8 9

Cámara Precio x 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9

Tamaño x Procesador 1 x 2 3 4 5 6 7 8 9

Diseño Batería x 1 2 3 4 x 5 6 7 8 9

Cámara x Capac. de almac. 1 2 3 4 x 5 6 7 8 9

Batería Precio x 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9

Capac. de almac. Procesador x 1 2 3 4 5 6 7 x 8 9

Diseño Precio x 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9


Apple IPhone 6 7

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 8

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 8

Cámara:

Apple IPhone 6 7

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 8

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 8

HTC One (M8) 5


Apple IPhone 6 10

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 8

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 9

HTC One (M8) 8

Batería

110

Apple IPhone 6 5

Sony Xperia Z3 7

Motorola Moto X 5

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 6

Diseño

Apple IPhone 6 8

Sony Xperia Z3 6

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 7

Procesador

Apple IPhone 6 7

Sony Xperia Z3 9

Motorola Moto X 6

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 9

HTC One (M8) 8

Precio

Apple IPhone 6 1

Sony Xperia Z3 5

Motorola Moto X 5

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 6

Criterio: Diseño

IPhone 6 x Sony Xperia Z3 1 x 2 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 x 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

Xiaomi MI 4 x HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

111

IPhone 6 Motorola Moto X 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 x Samsung Galaxy S5 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 x HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 7 x 8 9

Sony Xperia Z3 x Motorola Moto X 1 2 x 3 4 5 6 x 7 8 9

Samsung Galaxy S5 x IPhone 6 1 2 x 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 x Xiaomi MI 4 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X x HTC One (M8) 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 x 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 6 7 x 8 9

Motorola Moto X Xiaomi MI 4 x 1 x 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 x Xiaomi MI 4 1 2 x 3 4 5 6 7 8 9

Criterio: Resolución de pantalla y cámara:

IPhone 6 Sony Xperia Z3 x 1 2 3 4 5 6 7 x 8 9

Motorola Moto X Samsung Galaxy S5 x 1 2 3 4 5 6 7 x 8 9

Xiaomi MI 4 x HTC One (M8) 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 x Motorola Moto X 1 x 2 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 x Samsung Galaxy S5 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9


Sony Xperia Z3 x Motorola Moto X 1 2 3 4 5 6 7 8 x 9

Samsung Galaxy S5 x IPhone 6 1 2 3 4 5 x 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 x 5 6 7 8 9

Motorola Moto X x HTC One (M8) 1 2 3 4 x 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 x 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 x 1 2 x 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 x 1 2 3 4 5 x 6 7 8 x 9

Motorola Moto X Xiaomi MI 4 x 1 x 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 x Xiaomi MI 4 1 2 3 4 x 5 6 7 8 9

112

Curro

Tamaño Cámara X 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Capac. de almac. Batería X 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Diseño X Procesador 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Precio Tamaño X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Cámara Batería X 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

Capac. de almac. Diseño X 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

Procesador Precio X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Tamaño X Capac. de almac. 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Cámara X Diseño 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Batería X Procesador 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Diseño Tamaño X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Procesador Cámara X 1 2 3 4 5 6 7 8 X 9

Precio X Capac. de almac. 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Batería X Tamaño 1 2 3 x 4 5 6 7 8 9

Cámara X Precio 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Tamaño X Procesador 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9


Cámara X Capac. de almac. 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

Batería X Precio 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Capac. de almac. X Procesador 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9

Diseño X Precio 1 x 2 3 4 5 6 7 8 9


Apple IPhone 6 8

Sony Xperia Z3 4

Motorola Moto X 4

113

Samsung Galaxy S5 5

Xiaomi MI 4 6

HTC One (M8) 6

Cámara:

Apple IPhone 6 6

Sony Xperia Z3 8

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 7

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 1


Apple IPhone 6 10

Sony Xperia Z3 1

Motorola Moto X 1

Samsung Galaxy S5 1

Xiaomi MI 4 7

HTC One (M8) 1

Batería

Apple IPhone 6 5

Sony Xperia Z3 9

Motorola Moto X 7

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 9

HTC One (M8) 7

114

Diseño

Apple IPhone 6 10

Sony Xperia Z3 2

Motorola Moto X 1

Samsung Galaxy S5 1

Xiaomi MI 4 2

HTC One (M8) 7

Procesador

Apple IPhone 6 4

Sony Xperia Z3 10

Motorola Moto X 2

Samsung Galaxy S5 8

Xiaomi MI 4 10

HTC One (M8) 6

Precio

Apple IPhone 6 3

Sony Xperia Z3 5

Motorola Moto X 5

Samsung Galaxy S5 6

Xiaomi MI 4 6

HTC One (M8) 5

Criterio: Diseño

IPhone 6 X Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 6 7 8 X 9


Xiaomi MI 4 HTC One (M8) X 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

115

IPhone 6 X Motorola Moto X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

Sony Xperia Z3 X Samsung Galaxy S5 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 HTC One (M8) X 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Sony Xperia Z3 X Motorola Moto X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 IPhone 6 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X

Samsung Galaxy S5 Xiaomi MI 4 X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X HTC One (M8) X 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

Sony Xperia Z3 Xiaomi MI 4 X 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 X 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

HTC One (M8) X Sony Xperia Z3 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

Motorola Moto X Xiaomi MI 4 X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 X Xiaomi MI 4 1 2 3 4 5 6 7 8 X 9

Criterio: Cámara:

IPhone 6 Sony Xperia Z3 X X 1 2 3 X 4 5 6 7 8 9


Xiaomi MI 4 X HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

IPhone 6 Motorola Moto X X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Sony Xperia Z3 X Samsung Galaxy S5 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 X HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

Sony Xperia Z3 X Motorola Moto X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 X IPhone 6 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

Samsung Galaxy S5 X Xiaomi MI 4 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

Motorola Moto X X HTC One (M8) 1 2 3 4 5 6 X 7 8 9

Sony Xperia Z3 X Xiaomi MI 4 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

HTC One (M8) IPhone 6 X 1 2 3 4 5 X 6 7 8 9

HTC One (M8) Sony Xperia Z3 X 1 2 3 4 5 6 7 X 8 9

116

Motorola Moto X Xiaomi MI 4 X 1 X 2 3 4 5 6 7 8 9

IPhone 6 Xiaomi MI 4 X 1 2 X 3 4 5 6 7 8 9

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