Proyectos 1 Control de Un Estanque No-Lineal Geraldo Araneda Mario Donoso

UNIVERSIDAD DEL BIO-BIO FACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

Proyecto 1 Control por Computador 410151

Control de un Estanque No-Lineal

Nombres : Geraldo Araneda

Mario Donoso

Fecha : 07/04/2015

Profesor : Jaime A. Rohten C.

Geraldo Araneda, Mario Donoso.

Proyecto 1 Control por Computador 410 151

I. Problema El estanque de la Fig. 1, posee un rea variable que

depende de la altura. La columna de agua presiona el

fondo del estanque produciendo un flujo de salida fs, el

cual es proporcional a la raz de la altura del estanque.

Para lograr una altura deseada, el operador puede

manipular una vlvula, la cual tiene un retardo en la

apertura de la misma, correspondiente a la respuesta de

un sistema de primer orden.

Asumiendo que la variable a = 2 y la variable de

proporcin del flujo de salida c = 0.27, y que a la

constate de tiempo es 0.875 y su ganancia dada por 1.3.

Responda, comente y justifique cada una de las

siguientes preguntas.

a) Encontrar el modelo del sistema incluyendo estanque y vlvula y luego definir en forma algebraica

las matrices de la representacin en variables de estado

de , , , ,u p u p x f x y h x, , con x1 representa la variable de estado asociada al estanque y x2 la variable

de estado asociada a la vlvula. En este caso definir

variables de estado, entradas, perturbaciones, y parmetros.

b) Simule el sistema con los parmetros antes dados y un flujo de entrada definido por fe(t) = 0.1u(t) + 0.07u(t 10.0) + 0.07u(t 20.0) + 0.07u(t 30.0) + 0.07u(t 40.0) + 0.07u(t 50.0) y un rango de simulacin de 0 t 100 s. Grafique h, x1 en un grfico y fe

in, fe y fs en otro grfico.

c) Explique el por qu fein

y fs son distintos en estado estacionario e incluso as en esos instantes- la altura permanece constante.

d) Debido al ruido de medicin, desarrolle al menos dos filtros analgicos que disminuyan el ruido presente en la altura del estanque sensado ruido que es natural en sensores/transmisores- desarrolle un filtro de segundo orden y un filtro Chevyshev o un Butterworth (no mayor a tercer orden). Grafique h, hf (altura

filtrada), x1 en un grfico y fein

, fe y fs en otro grfico.

e) Repita d), para e filtro de segundo orden, el filtro de ventana rectangular y un Filtro Butterworth o Chivichev (no mayor a tercer orden) pero en forma digital con Ts = 100 10

-3. Grafique h, hf (altura filtrada)

x1, en un grfico y fein

, fe y fs en otro grfico..

UNIVERSIDAD DEL BIO BIO FACULTAD DE INGENIERA DEPARTAMENTO DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

Fig. 1. Estanque no lineal de rea dependiente de la altura.


II. Solucin

a) Encontrar el modelo del sistema incluyendo estanque y vlvula y luego definir en forma algebraica las matrices de la representacin en variables de estado de , , , ,u p u p x f x y h x, , con x1 representa la variable de estado asociada al estanque y x2 la variable de estado asociada a la vlvula.

En este caso definir variables de estado, entradas, perturbaciones, y parmetros. Solucin a)

El lado del estanque viene dado por la siguiente ecuacin:

2 /y x a ,

Por lo tanto el rea de una seccin transversal est dada por:

2 2 22 /y x a ,

Primero, determino una expresin para el volumen en trminos de la altura

Pero

La ecuacin de continuidad para el volumen en el estanque dice que

Se sabe que

Y que


El modelo de la vlvula est dado por la funcin de transferencia:

Donde

Desarrollando tenemos :

Aplicando Laplace inversa y con condicin inicial de , obtenemos:

Asignando:

Variables de estado:

Entradas:

Salida:

Perturbaciones: Sistema controlado.

Parmetros: = Variable que actua sobre la valvula = Variable manipulada h = Altura

a = 2

Constante de la vlvula, ganancia en estado estacionario = 1.3 c = Variable de proporcin flujo de salida = 0.27

Constante de Tiempo = 0.875


Resultando:

Siendo el modelo de estado no lineal:

Conclusin: Mediante la modelacin del estanque propuesto en el problema se determino mediante las

variables que gobiernan su funcionamiento son; .Por tratarse de un sistema de control no lineal su comportamiento quedo definido por el sistema de ecuaciones no lineales (que representan una invariancia en

el tiempo) ya expuestas para visualizar sus condiciones de funcionamiento. Donde se observ claramente que

la altura es funcin y depende del flujo de entrada, que a su vez est condicionado al accionar de la vlvula de

la entrada del sistema, y que la salida del sistema depende de las variables ya mencionadas ms las

perturbaciones que aparecen en el sistema (tericamente pueden aparecer tanto en la entrada como en la

salida).


b) Simule el sistema con los parmetros antes dados y un flujo de entrada definido por fe(t) = 0.1u(t) + 0.07u(t 10.0) + 0.07u(t 20.0) + 0.07u(t 30.0) + 0.07u(t 40.0) + 0.07u(t 50.0) y un rango de simulacin de 0 t 100 s. Grafique h, x1 en un grfico y fe

in, fe y fs en otro

grfico.

Figura n1:Grfico h, x1

Figura n2 :Grfico fein, fe y fs

Conclusiones: A partir de la figura n1, se observa como el filtro digital implementado originalmente

reduce considerablemente el ruido de la seal proveniente del sensor transmisor; se visualiza un respuesta

optima en donde no solo sique a la seal sin perder informacin, si no que adems reduce el rudo de la seal

arrojando valores ms cercanos a los ideales o reales de la medicin. Se considera un buen filtro al reducir el

error en las mediciones, aunque como era de esperarce no lo elimina al 100% el problema el ruido, debido a

que practicamente es imposible implementar un filtro ideal que permita mantener el error en 0.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

0

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

(p

u)

h

x

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

(A

)

u

fe

fs


c) Explique el por qu fein

y fs son distintos en estado estacionario e incluso as en esos instantes- la altura permanece constante.

Expresin general

Donde E=entra

S=sale

A=acumula, en estado estacionario A=0

Termino de acumulacin (A)

m: valor total de la magnitud a la que se hace balance

vel. Cambio de m:

Balance diferencial

Conclusiones: En estado estacionario la derivada o cambio en el tiempo es igual a cero, por lo tanto la

entrada del sistema o fein

resulta ser igual a fs a pesar de que son diferentes, por consiguiente el nivel o altura

del estanque permanecer constante.


d) Debido al ruido de medicin, desarrolle al menos dos filtros analgicos que disminuyan el ruido presente en la altura del estanque sensado ruido que es natural en sensores/transmisores- desarrolle un filtro de segundo orden y un filtro Chevyshev o un

Butterworth (no mayor a tercer orden). Grafique h, hf analgica(altura filtrada), x1 en un

grfico y fein


Implementacin filtro analgico de orden 2:

Para implementar el filtro en Matlab utilizamos un bloque de funcin de transferencia

Donde ajustamos el valor del amortiguamiento (shi) lo ms ideal posible para as obtener una mejor respuesta

del filtro

(

Obteniendo las siguientes graficas:

Figura n3:Grficos filtro analgico de orden 2 ( , )


Figura n4:Scope filtro analgico de orden 2

Figura n5:Grfico fe

in, fe y fs

Nota: decidimos incluir la imagen del Scope, ya que grficamente es imposible diferenciar la accin del filtro

producto del sobrepaso (inestabilidad) y que parte de seal controlada de h y x1 se encuentran a una escala

distinta, representando la accin de hf2 sobre h y x como una lnea recta en 0.


Conclusiones: A partir de los resultados obtenidos de la implementacin se deduce que la respuesta del filtro

anlogo en comparacin a un digital (implementado en el archivo de la tarea) presenta una respuesta ms

lenta al filtra, esto producto del sobrepaso existente al comienzo de la grafica y scope; sin embargo, una vez

logra estabilizarse su respuesta demostr ser bastante buena, eliminando en gran medida el ruido de la seal

proveniente del sensor transmisor. Pero para una implementacin real este filtro sera descartado por su

lentitud; optando por uno de mayor orden o simplemente por uno de tipo digital.

Implementacin filtro Butterworth analgico de orden 3:

Para implementar el filtro utilizamos la funcin disponible en Matlab para este tipo de filtros que es:

Donde

y 'low' por ser un filtro pasa bajos (FLP); obteniendo de este modo los coeficientes del numerador ( con i=0,1,2,3) y los del denominador ( ) para su implementacin en un bloque de funcin de transferencia; obteniendo los siguientes resultado:

Figura 6:Grficos filtro butterworth analgico de orden 3


Figura 7:Scope filtro butterworth analgico de orden 3

Figura n8:Grfico fe

in, fe y fs

Nota: decidimos incluir la foto del Scope, ya que producto del sobrepaso grficamente es imposible

diferenciar la accin del filtro producto de que el sobrepaso (inestabilidad) y el resto del filtro junto con los

valores de h y x se encuentran a una escala muy diferente, representando la accin de hfanalogo sobre h y x

como una lnea recta en 0.

Conclusiones: A partir del desarrollo, implementacin y grafico obtenido del filtro se deduce que a mayor

orden de este mejora la respuesta. Tanto en grfico como el scope muestran que el filtro presenta un gran

sobrepaso al comienzo, que representa un problema de estabilidad producto del orden del filtro; este hecho

convierte al este filtro en particular inviable para el control de procesos, por no obtener valores cercanos a la

realidad y por el tiempo que toma estabilizarse antes de comenzar a obtener datos relativamente buenos.


e) Repita d), para e filtro de segundo orden, el filtro de ventana rectangular y un Filtro Butterworth o Chivichev (no mayor a tercer orden) pero en forma digital con Ts = 100 10

-3.

Grafique h, hf (altura filtrada) x1, en un grfico y fein


Implementacin filtro digital de orden 2:

Para implementar el filtro utilizamos los datos proporcionados por gua que fueron Ts=100e-3 y la gua

(cdigo) para el diseo de filtros digitales de orden 2. Posteriormente le asignamos un valor a alpha,

Figura 9:Grficos filtro digital orden 2 (h,hfventana,x)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

0

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

(p

u)

h

hfdigital2

x

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

(A

)

u

fs

fe


Figura n10:Grfico fein, fe y fs

Conclusiones: A partir de la implementacin del filtro digital de orden 2 se obtuvo que a mayor orden del

filtro mejor o mayor es el filtrado del mismo, adems de que al modificar la variable alpha el sistema

responde de diferentes maneras como el filtrar ms o menos e inclusive perder un tanto la forma al

aproximarlo a 1. La respuesta fue comparada con el de orden 1 ya implementado y se concluy lo antes

expuesto

El ruido proveniente del sensor transmisor decay considerablemente, proporcionando valores ms cercanos

o similares a los reales; esto ya que no existi sobrepasos y la respuesta del filtro fue muy buena. Al no poder

realizar prcticamente un filtro ideal, es que la respuesta del filtro implementado lo convierte en uno muy

prctico para el control de procesos como el del estanque expuesto en el problema.

Implementacin filtro Ventana rectangular:

Para implementar este filtro se realizo:

Con


Con

Figura 11:Grficos filtro ventana rectangular (h,hfventana,x)


Conclusin: de la seal muestreada en la figura n9 se visualiza que al utilizar este tipo de filtro se eliminan

ciertos armnicos no deseados que nos puedan afectar nuestro sistema de control de la altura del estanque

adems variando el valor de N este a su vez varia la respuesta del filtro ante la entrada h

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

4

6

Tiempo (s)

(p

u)

h

hfven

x

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

(A

)

u

fs

fe


Implementacin filtro Butterworth digital de orden 3:

Para implementar el filtro utilizamos la funcin disponible en Matlab para este tipo de filtros que es:

Donde: %%orden del filtro

pues para filtro digitales wn debe etar entre los valores 0 y 1; obteniendo de este modo los coeficientes

del numerador (B) y los del denominador (A) para su implementacin en un bloque de funcin de

transferencia digital (z); obteniendo los siguientes resultado:

Figura 13:Grficos filtro butterworth digital de orden 3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

0

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

(p

u)

h

hf4

x

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

1

2

3

4

Tiempo (s)

(A

)

u

fs

fe



Conclusiones: A partir del desarrollo, implementacin y grafico obtenido del filtro se obtuvo que el

filtro butterworth digital de orden 3 es ms eficiente que su simil anlogo; se aprecia que el filtrado

resultante es muy bueno y superior al compararlo con el filtro digital implementado en el archivo del

proyecto. Si, logra cumplir con el requisito de filtrar la seal y adems de no presentar anomalas como

inestabilidad o sobrepasos. Con la ayuda de Matlab y las funciones para determinar los cohefientes del

los filtros resulta sencillo verificar que a mayor orden del filtro la seal resultante del filtrado mejora an

ms, pero por enunciado y dificultad real de implementar filtros butterworth de orden superior es que

concluimos que este tipo de filtros son una opcin para proceso que requieran de gran exactitud, porque

el ruido disminuye casi en su totalidad, obteniendo a la salida valores muy cercanos a los reales (h del

estanque real).

Nota Graficas ( ):se observo que en todos los tems donde se solicita graficar estas variables de control, estas no presentaron variaciones debido a que los flujos de entrada como a su

vez los flujos de salida no fueron medidos por el sensor transmisor, por lo tanto no se aplico

acciones de filtrado sobre estas variables.

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