R2 b14 función racional

Bloque 14

Función Racional: discontinuidad y asíntotas

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 14 Función Racional: Discontinuidad y asíntotas

Los propósitos del bloque son:

(i) Determinar el dominio y contradominio de funciones racionales.

(ii) Usar el concepto de intervalo para describir el dominio y contradominio de funciones racionales.

(iii) Identificar los puntos donde no está definida una función racional.

(iv) Identificar asíntotas horizontales y verticales.

(v) Realizar variaciones en los coeficientes de las reglas de correspondencia de las funciones para efectuar traslaciones y reflexiones.

Las actividades del bloque acuden a la visualización de las

gráficas y ecuaciones de funciones racionales para identificar su dominio y contradominio. El uso del concepto de intervalo en este contexto conlleva a la introducción de los conceptos de intervalo, intervalo abierto y unión de intervalos.

Las funciones racionales que se incluyen en las hojas de trabajo son de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) con 𝑄(𝑥) ≠ 0, la restricción 𝑄(𝑥) ≠ 0 se percibe visualmente

como “rompimientos” de la gráfica, lo cual da lugar a la revisión de conceptos como la división entre cero, continuidad de una función, asíntota, asíntota horizontal, asíntota vertical y aproximación a una discontinuidad por la derecha y por la izquierda.

Las hojas de trabajo incluyen actividades que indican la variación de los coeficientes en la regla de correspondencia de una función para identificar sus efectos en su gráfica.

La calculadora ofrece retroalimentación inmediata a las conjeturas formuladas por el estudiante, lo cual le proporciona oportunidades para realizar un amplio trabajo de exploración que le facilita reconocer hechos matemáticos relacionados con las funciones racionales. Es importante que el futuro docente dedique tiempo a formalizar los hallazgos derivados de dichas exploraciones.



HOJA DE TRABAJO 138 HIPÉRBOLAS

1. La ecuación y = 1x produce una gráfica

distinta a las que hasta ahora has construido. Constrúyela en la calculadora y dibújala en el plano de la derecha.

Esta ecuación se puede editar en la calculadora en estas dos formas: y=1/x o y=1÷x

La gráfica que construirás con esa ecuación se llama hipérbola.

2. La hipérbola consta de dos partes. Describe cómo se despliega cada una en la pantalla de la calculadora. _________________________________________ _____________________________________________________________ ____________________________________________________________

3. ¿En qué valor de x la gráfica se “rompe”? ___________________________ 4. ¿A qué crees que se deba que la gráfica se “rompa” en ese valor de x? ______

__________________________________________________________ __________________________________________________________

Observa que el cociente 1÷0 no está definido porque no hay ningún número que multiplicado por cero dé por resultado 1. Esto significa que la función 𝑦 = 1

𝑥 no es

continua en x=0.

5. Observa la parte de la gráfica que está a la izquierda de x=0. a) ¿Cómo son los valores de y al acercarse a x=0 por la izquierda?

_______________________________________________________ 6. Observa la parte de la gráfica que está a la derecha de x=0.

a) ¿Cómo son los valores de y al acercarse a x=0 por la derecha? _______________________________________________________

b) ¿Cómo son los valores de y al alejarse de x=0 por la derecha y por la izquierda? _______________________________________________

7. ¿Cuál es el dominio de la función 𝑦 = 1

𝑥 ? Exprésalo como intervalo.

__________________________________________________________ 8. ¿Cuál es el contradominio de la función 𝑦 = 1

𝑥 ? Exprésalo como intervalo.

__________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 139 ASÍNTOTAS HORIZONTALES

1. Construye en la

calculadora la gráfica de

la ecuación 21+=

xy

y

dibújala en el plano de la derecha.

La línea horizontal punteada no aparece al construir la gráfica en la calculadora, la mostramos para que te sirva como “guía” al dibujarla.

2. ¿En qué valor de x “se rompe” la gráfica de 21+=

xy ? _________________

3. Observa la parte de gráfica que está la izquierda de x=0. ¿Cómo son los valores

de la función 21+=

xy cuando recorres la gráfica hacia la izquierda alejándote

de x=0? _____________________________________________________ 4. Observa la parte de la gráfica que está a la derecha de x=0. ¿Cómo son los

valores de la función 21+=

xy cuando recorres su gráfica hacia la derecha

alejándote de x=0? _____________________________________________ 5. ¿Qué relación encuentras entre las respuestas de los incisos (3) y (4) y la

ecuación de la recta horizontal que te sirvió de guía para trazar la gráfica en el inciso (1)? ____________________________________________________ ____________________________________________________________

Si una función tiende a un valor real L cuando el valor de x tiende a infinito o a menos infinito, entonces la gráfica de la función se aproxima a la recta y=L, la cual se llama asíntota horizontal de la gráfica. La recta y=2 es una asíntota horizontal de la gráfica

de 21+=

xy .

6. Reproduce las siguientes gráficas en la calculadora y anota las ecuaciones que

utilizaste. a)

b)

c)

y =_________

y =_________

y =_________

7. ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal de cada función del inciso (6)? ____________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 140 SIMETRÍA

1. Agrega lo necesario a la ecuación

11+=

xy para construir en la

calculadora la hipérbola que se muestra en la figura de la derecha.

2. ¿Qué modificación debiste realizar a la ecuación para obtener esa gráfica? ____________________________________________________________

3. Observa la gráfica y describe detalladamente el comportamiento que tiene la hipérbola por la izquierda y la derecha de x=0 __________________________ ____________________________________________________________ ____________________________________________________________

4. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función del inciso (1)? Exprésalos como intervalos. ____________________________________________________ ____________________________________________________________

5. Reproduce las siguientes gráficas en la calculadora y anota las expresiones que utilizaste.

y = ________ y = ________ y = ________

6. Construye en la calculadora las gráficas de las siguientes ecuaciones. Analiza el segundo miembro de cada ecuación para explicar el comportamiento de su gráfica. Después dibuja las gráficas en el plano de la derecha.

a) x

xy 1+=

b) x

xy 13 −=



HOJA DE TRABAJO 141 COEFICIENTES

1. Construye en la calculadora las gráficas de las funciones que se muestran

abajo y dibújalas en el plano. Los valores , , y son los coeficientes

de en esas funciones.

=

xy 1

32

=

xy 1

25

=

xy 1

365

=

xy 1

101

2. Describe cómo cambia cada gráfica de acuerdo a los valores del coeficiente

de . ____________________________________________________

_________________________________________________________ 3. Construye en la calculadora tres hipérbolas que se ubiquen entre las gráficas

de

=

xy 1

21 y

=

xy 1

334 . Anota las expresiones que usaste.

y=______________ y=______________ y=______________

7. Construye en la calculadora las gráficas de las siguientes ecuaciones. Analiza el segundo miembro de cada ecuación para explicar el comportamiento de su gráfica. Dibuja las gráficas en el plano de la derecha.

c) x

xy 32 +=

d) x

xy 5−=



HOJA DE TRABAJO 142 TRASLACIONES HORIZONTALES

1. Construye en la calculadora la gráfica de la

función 3

1−

=x

y y dibújala en el plano de la

derecha, utiliza La línea vertical como guía.

Considera que debe escribirse en la

calculadora como y=1/(x-3) o como y=1÷(x-3).

Cuando la gráfica de una función diverge a infinito positivo o infinito negativo conforme los valores de x se aproximan a un valor c por la derecha o la izquierda, entonces la gráfica de la función se aproxima a la línea vertical que pasa por el punto (c, 0), la cual se llama asíntota vertical. La línea vertical que pasa por (3, 0) y usaste

de guía es la asíntota vertical de la función 3

1−

=x

y .

2. ¿Qué cambios observas en esta gráfica respecto a las que has construido en las hojas de trabajo anteriores? _____________________________________

3. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función 3

1−

=x

y ?

____________________________________________________________ Justifica tu respuesta. ___________________________________________ ____________________________________________________________

4. Construye en la calculadora, para cada inciso, una hipérbola cuya asíntota sea la línea vertical que se muestra. Anota las ecuaciones usadas.

y= _____________

y = _____________

5. Escribe la ecuación de una hipérbola cuya asíntota pase por el punto (-6.3, 0).

______________________________

6. Escribe la ecuación de una hipérbola cuya asíntota pase por el punto (5.8, 0).

______________________________



HOJA DE TRABAJO 143 TRASLACIONES VERTICALES

1. Construye en la calculadora una hipérbola

cuya asíntota pase por el punto (3,0), anota la ecuación que usaste y dibuja la gráfica en el plano de la derecha.

_________________y =

2. Modifica la expresión que utilizaste en el inciso (1) de tal modo que la hipérbola tenga, además de una asíntota vertical, una asíntota horizontal determinada por la recta y=2.5. Constrúyela en la calculadora y dibújala en el plano de la derecha.

_________________y =

3. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función del inciso (2)? ____________ ____________________________________________________________ Justifica tu respuesta. ___________________________________________ ____________________________________________________________

4. Ahora construye una hipérbola que

tenga como asíntota vertical la que se muestra en el plano de abajo. Anota la ecuación y dibuja su gráfica.

5. Agrega lo que sea necesario a la ecuación del inciso (4) para que la gráfica tenga la asíntota horizontal que se muestra en el plano de abajo. Anota tu ecuación y dibuja su gráfica.

_________________y = _________________y =

5. Escribe la ecuación de una hipérbola que tenga como asíntota vertical una recta que pase por el punto (4.4, 0) y como asíntota horizontal la gráfica de la ecuación y=2.9. Construye en la calculadora la gráfica correspondiente para comprobar que tu expresión es correcta.

y=___________________



HOJA DE TRABAJO 144 ¿Y ESTAS GRÁFICAS?

1. Construye en la calculadora la

gráfica de la función 21

xy =

y

dibújala en el plano de la derecha.


xy = ? _____________

__________________________________________________________ Justifica tu respuesta. ________________________________________ __________________________________________________________

3. Construye la gráfica de la siguiente función y reprodúcela a continuación.

91

2 −=

xy


12 −

=x

y ? ___________

__________________________________________________________ Justifica tu respuesta. ________________________________________ __________________________________________________________

5. Construye la gráfica de 45

12 +−

=xx

y . ¿Cuáles son sus asíntotas? _____

_________________________________________________________

6. ¿Cuál es una ecuación para la siguiente gráfica? La asíntota vertical de la derecha es el eje Y.

y= ___________________ Comprueba en la calculadora tu respuesta. ¿Qué hiciste para encontrar la ecuación? ________ __________________________ __________________________ __________________________

7. Anticipa cómo es la gráfica de la función 22

1)x(

y+

= y descríbela. ____

____________________________________________________________________________________________________________________ Comprueba tu descripción construyendo la gráfica en la calculadora.



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. Elabora una descripción de las funciones racionales (la apariencia de sus gráficas, su dominio, contradominio, puntos de discontinuidad, asíntotas, periodicidad, crecimiento, comportamientos locales, etc.). Discútela en equipo y realiza los ajustes necesarios.

2. Indaga en diferentes fuentes matemáticas acerca de las funciones racionales. Prepara una presentación y exponla a tu grupo.

3. Indaga en fuentes bibliográficas acerca de “los ceros de una función” y elabora un resumen. Discútelo con tus compañeros y tu profesor.

4. Determina los ceros y las asíntotas verticales de la siguiente función racional:

𝑓(𝑥) =(𝑥 + 4)(𝑥 − 7)2(𝑥 + 10)(𝑥 + 1)(𝑥 − 7)(𝑥 + 10)2

5. Indaga en fuentes bibliográficas lo siguiente: a. División por cero. b. Discontinuidad de una función racional. c. Asíntota.

6. Discute en equipo las ventajas que ofrece el uso de la calculadora en el estudio de las funciones racionales.

7. Bajo la perspectiva de tu formación profesional como futuro docente, elabora un ensayo acerca la pertinencia y limitaciones de las actividades de este bloque como recurso didáctico. Discútelo con tus compañeros y tu profesor.

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