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QUINTO de prImarIa | maTemáTIcaUD ProPuesta didáctica: unidad didáctica

1.

Resumen:En esta Unidad Didáctica se reconocen las razones, las proporciones y los por cientos. Se determinan potencias de base 10. Se identifican los términos de la potencia y de la raíz. Se representan potencias de manera gráfica y se obtienen raíces cuadradas.

Para desarrollar esta Unidad Didáctica se recomienda utilizar las siguientes metodologías: Explorar los conocimientos previos con ejercicios para el cuaderno y la pizarra, uso de re-cursos gráficos, ejercicios para trabajarlos en el cuaderno y la pizarra y diseñar actividades para trabajarlas en grupos en las que tengan que construir proporciones partiendo de razo-nes dadas, y determinar cuartas proporcionales. Finalmente, diseñar problemas basados en situaciones cotidianas que involucren el uso de razones y proporciones, cálculo de por cientos y determinación de potencias de base 10.

Nivel: Primario Grado: Quinto

Área: Matemática SC 8: Razones y proporciones

Identificación

Razones y proporciones

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razones y proporciones



Descripción2.Base teórica o conceptual:

Razones

La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee: Siete es a cuatro. El primer término (7) es el antecedente y el segundo (4) es el consecuente.

Proporciones

Consisten en la igualdad entre 2 razones y se representan de dos maneras:

a/b = c/d o a:b::c:d

Y se lee: a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.

Propiedades

A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extre-mos: a × d= b × c.

B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los extremos dividido por el otro MEDIO: b = a × d ∕c.

C) En toda proporción un EXTREMO es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA:

Cuando el cociente entre dos magnitudes es constante decimos que las magnitu-des son directamente proporcionales.

EJEMPLO:

Si un kilogramo de naranjas cuesta 125 pesos, ¿cuánto cuestan 3 kilogramos de naranjas?

1/3 = 125/x x = 125 × 3/1 x = 375 pesos.

Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta.

Vueltas 4 8 12 16 20 24 28Tiempo 12 24 36 48 60 72 84

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PROPORCIONALIDAD INVERSA:

Si una magnitud crece mientras la otra decrece, decimos que son dos magnitudes inversa-mente proporcionales. El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.

Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.

EJEMPLO:

En una camioneta se pueden transportar 280 litros de agua. La tabla muestra algunas posi-bilidades de transportar el agua, según el número de envases y la capacidad de cada uno.

No. de envases Capacidad Litros10 28 28020 14 28040 7 28070 4 280140 2 280

Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes, número de envases y su capacidad en litros son inversamente proporcionales.

Orientaciones para el/la docente

En el proceso de enseñanza-aprendizaje del contenido de esta Secuencia Curricular, el o la docente debe recurrir al uso de una serie de herramientas pedagógicas y recursos que faciliten y sirvan de apoyo al trabajo realizado y que permitan la mejor comprensión de los mismos por parte de los estudiantes.

•Reconocimiento de razones, proporciones y por cientos.

•Determinación de potencias de 10.

• Identificación de los términos de la potencia y de la raíz.

•Representación gráfica de potencia de 10.

•Obtención de raíces cuadradas.

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Mapa conceptual

Razones y proporciones

Reconocerán

Proporciones Propiedades

Porciento Porciento como fracción

Cuarta proporcional

Aprendizajes esperados

Al concluir el proceso de enseñanza de esta Unidad Didáctica, las y los estudiantes serán capaces de resolver problemas y operaciones:

•Explica los conceptos de razón, proporción y por ciento.

•Lee, escribe e interpreta razones, proporciones y por cientos.

•Utiliza la notación correcta de por cientos.

• Identifica la proporción como dos razones equivalentes.

•Argumenta cuando dos razones forman una proporción.

•Determina razones equivalentes a una razón dada para obtener una proporción.

•Define y aplica, en diferentes contextos, el concepto de por ciento.

•Expresa por cientos como fracciones y como decimales y viceversa.

•Representa gráficamente razones, proporciones y por cientos.

•Resuelve problemas que involucren razones, proporciones y por cientos en múltiples contextos.

•Utiliza herramientas tecnológicas para determinar y representar gráficamente razones, proporciones y por cientos.

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Recursos didácticos digitales

Para el docente

•Razones y proporciones. www.comuni-dadunete.net/index.php/component/k2/item/729-razones-y-proporciones

•Ejercicios interactivos de proporciones. http://www.vitutor.com/di/p/a_2e.html

•Razones y proporciones. http://www.thatqu iz .o rg/es/prev iewtes t?E/X/M/P/48981196304623

Recursos didácticos

que se aportan como anexo

•Anexo 1. Recursos imprimibles para el docente. Documento imprimible.

•Anexo 2. Recursos imprimibles de ra-zones y proporciones: http://mathe-maticspedro.blogspot.com/2012/05/razones-y-proporciones.html

•Pizarra.

•Cartulina.

•Hojas en blanco.

•Lápices de colores.

•Periódicos y revistas.

•Papel de construcción.

•Computadora o laptop (recomendable).

•Objetos del entorno escolar o familiar.

Recursos materiales necesarios

para las actividades





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Actividad de inicio

Formamos e identificamos razones

Duración: 2 sesiones de 45 minutos

Para desarrollar los procedimientos relacionados con las fracciones decimales, es conveniente, primero, recuperar las experiencias previas de sus estudiantes y, des-pués, adecuar el ambiente con el grupo a fin de que se logre la atención de todos.

Formar grupos de 3 o 4 estudiantes. Luego, escribir algunas expresiones en la piza-rra con las que puedan formar razones, como las siguientes:

•Para preparar 2 libras de bizcocho se necesitan 10 huevos. ¿Cuál es la razón entre el bizcocho y los huevos?

Resp.: La razón es 2/5 o 2:5 y se lee: Dos es a cinco.

•Se colocan 30 rosas en 5 floreros. ¿Cuál es la razón entre las rosas y los floreros?

Resp.: La razón es 30/5 o 30:5 y se lee: Treinta es a cinco.

•De cada 10 personas, 8 tienen teléfonos celulares. ¿Cuál es la razón entre el número de personas y los celulares?

Resp. La razón es 10/8 o 10:8 y se lee: Diez es a ocho.

Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y, luego, invitarles a la pizarra para las correcciones.

Aplicar las estrategias indicadas en las sugerencias al docente para facilitar el aprendizaje de los temas.

Si cuenta con tecnología, utilizar los recursos digitales. Si no cuenta con tecnología, utilizar los recursos propuestos en los anexos 1 y 2.

Secuencia didáctica3.

Tiempo total estimado para todas las actividadesEl tiempo total estimado para todas las actividades es de 14 sesiones de 45 minutos.

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Otras actividades

Formamos proporciones


Formar los estudiantes de la misma forma en la que estuvieron organizados en la actividad anterior. Luego, escribir algunas razones en la pizarra y mostrarles, cómo se forman proporciones partiendo de las razones. Explicarles que las pro-porciones se forman con fracciones equivalentes a las razones dadas.

Por ejemplo: 2/4 es equivalente 6/12, por lo tanto, son proporcionales.

2/4 = 6/12 ; 2 : 4 :: 6 : 12 ; se lee: Dos es a cuatro como seis es a doce.

2 y 12 son los extremos y 4 y 6 son los medios.

En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. 4 x 6 = 2 x 12.

Otro ejemplo: 8/16 es equivalente 2/4, por lo tanto, son proporcionales.

8/16 = 2/4 ; 8 : 16 :: 2 : 4 ; se lee: Ocho es a dieciséis como dos es a cuatro.

8 y 4 son los extremos y 16 y 2 son los medios.

En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extre-mos. 16 x 2 = 8 x 4

Otro ejemplo: 3 : 4 :: 15 : 20

3 x 20 = 4 x 15

60 = 60

•Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuader-nos y, luego, invitarles a la pizarra para las correcciones. Utilizar los recursos de los anexos 1 y 2.





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Actividad de cierreCompletamos tablas de valores directamente proporcionales


En esta oportunidad las y los estudiantes completarán tablas de valores directa-mente proporcionales extraídos de situaciones cotidianas.

•Explicar a sus estudiantes que dos valores son directamente proporcionales cuando tienen el mismo comportamiento, es decir, cuando un valor aumenta o disminuye, el otro también aumenta o disminuye. Por ejemplo: Para hacer 3 vasos de jugo se necesitaron 9 naranjas, para hacer 6 vasos se necesitan 18 naranjas, … Si un valor se duplica, el otro también lo hará. En toda variable di-rectamente proporcional hay una constante de proporcionalidad, en este caso es 3. (6/2 = 3; 9/3=3; 12/4=3; 18/6 = 3).

Formar los estudiantes en grupos de 3 o 4 integrantes. Mostrarles la tabla con los datos anteriores en la pizarra. Por ejemplo:

Vasos de jugo 2 3 4 5

Naranjas 6 9 12 18

Otro ejemplo: Cuatro botellones de agua contienen 24 litros de agua, ¿cuántos litros habrá en 9 botellones?

Botellones 4 5 6 7 8 9

Litros de agua 24 30 36 42 48 54

Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y, luego, invitarles a la pizarra para las correcciones. Utilizar los recursos anexos 1 y 2.

Para concluir, motivar a sus estudiantes para que inventen situaciones con datos directamente proporcionales y para que completen las tablas correspondientes. Al concluir con las producciones, invitarles a la pizarra para que resuelvan los problemas y expliquen a sus compañeros los pasos que siguieron.

Felicitar a sus estudiantes y evaluar si se lograron los objetivos perseguidos al inicio de estas actividades.

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Si observas, trata…4.Si observas Trata

Que algún estudiante tiene dificultad para formar proporciones partiendo de razones dadas.

De preparar ejercicios de reforzamiento para el cuader-no y la pizarra. Solicitar la cooperación de los padres. Si es posible, recurrir a las salas de tareas. Utilizar los recursos anexos 1 y 2.

Que algún estudiante tiene dificultad para completar o construir tablas de proporcio-nalidad directa.

De preparar ejercicios de reforzamiento para el cuader-no y la pizarra. Utilizar los recursos anexos 1 y 2. Solici-tar la cooperación de los padres.

4.





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Recursos didácticos para el docente y el estudiante5.

Anexo 1:Para ampliar conocimientos del docente: thttp://mathematicspedro.blogs-pot.com/2012/05/razones-y-proporciones.html

1. RAZONES

La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente.

2. PROPORCIONES

•Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras: a/b = c/d o a:b::c:d

•Se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los pun-tos b y c se llaman medios.

PROPIEDADES

•En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extre-mos: a × d = b × c.

•En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los extremos dividido por el otro MEDIO: b = a × d/c.

•En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO: a = b × c/d.

•PROPORCIONALIDAD DIRECTA

•Cuando el cociente entre dos magnitudes es constante decimos que las mag-nitudes son directamente proporcionales.

EJEMPLO

•Si una silla plástica cuesta $1 200, ¿cuánto cuestan 8 sillas plásticas?

1/8 = 1 200/x x = 1 200 × 8/1 x = $9 600

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EJEMPLO:

•Por cada 5 libras de peso en una persona, aproximadamente 2 libras son de músculo. Calcular cuánto pesan los músculos en un niño de 4 lb, 62 Lb, 85 Lb.

•El precio por galón de gasolina es de $3 250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2, 5, 7, 10 galones.

•Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla:

No. de vueltas 4 8 20 23 30

Tiempo 12 35 50

PROPORCIONALIDAD INVERSA

•Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales. El producto constante se llama constante de proporcio-nalidad inversa.

•Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es cons-tante, son inversamente proporcionales.

EJEMPLO

•En una camioneta se pueden transportar 280 litros de agua. La tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, según el número de garrafas y la capacidad de cada uno.

No. de garrafas Capacidad de garrafas (L) Producto

10 28 28020 14 28040 7 28070 4 280140 2 280

•Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitude,s número de garrafas y su capacidad en litros son inversamente proporcionales.





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EJERCICIOS.

•Por cada 5 libras de peso de una persona, aproximadamente dos libras son de músculo. Calcular cuánto pesa un niño de 45 libras, otro de 62 libras, y un tercero de 85 libras.

•El precio por galón de gasolina es de $185 pesos. Elaborar una tabla que indique el precio de 2 galones, 3 galones, 7 galones y 12 galones

•La tabla describe la relación entre el número de obreros y el número de días que tardan en hacer un trabajo.

Obreros 6 12 40

Días 30 10

a) Completar la tabla.

b) ¿Cuántos obreros se necesitan, para completar la obra en 4 días?

c) ¿Cuántos días tardarán 14 obreros en hacer la misma obra?

•Santiago dispone de $5 000 pesos para comprar algunos pantalones. Al llegar al almacén observa que hay pantalones de $800, $500, $600, $300 y $1 000. Completa la tabla para saber cuántos pantalones podría llevar de una sola clase.

No. de pantalones 6 10

Precio x pantalón 800 500

Precio de compra 4 800

•En la clase de Juan, 15 estudiantes deciden hacer una excursión y compran comi-da suficiente para 10 días.

a) Si solo pueden ir 10 estudiantes, ¿podrían quedarse más días? Justifica tu respuesta.

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b) Completa la siguiente tabla y determina cuántos días más pueden quedarse en la excursión, si solo van 5 estudiantes.

No. de estudiantes No. de días Producto

15 10 1501085

Si solo van 8 estudiantes, ¿para cuantos días alcanzará la comida?

•En la siguiente tabla se muestra la relación entre el diámetro de una tubería por la que desagua un tanque y el tiempo que tarda en vaciarse

Diámetros (pul) 1/2 1 2 2 1/2 3

Tiempo (seg) 80

a) Completa la tabla.

b) Explica si las magnitudes son inversamente proporcionales.

c) Determina el tiempo que tardará en vaciarse en una tubería de 6 pulgadas de diámetro.





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Anexo 2: Razones y proporciones

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