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Reacciones Nucleares

José Jesús MENA DELGADILLO Se dice que se produce una reacción nuclear cuando un núcleo es bombardeado una partícula con suficiente energía que permita cambios en las propiedades o identidad del núcleo perturbado. La primera reacción nuclear experimental fue producida por el físico E. Rutherford en 1919. Usando partículas α con una energía de 7.68 Mev, obteniendo partículas de He4

2 del núcleo de Po21484 , que bombardean a el núcleo de N147 y obteniendo en

la reacción O178 más protones. Esta reacción nuclear se puede representar de la forma:

OHNHe 178

11

147

42 +→+

Simbólicamente una reacción nuclear se representa de la forma:

YyXx +→+ (1)

En donde x corresponde a la partícula proyectil; X corresponde al núcleo blanco; y corresponde la partícula producto de la reacción; y Y representa el núcleo producto o de retroceso. Frecuentemente la ecuación (1), se puede escribir de la forma:

( )YyxX ,

En donde para el caso especifico de la reacción nuclear anterior se representa:

( ) OpN 178

147 ,α (2)

La reacción nuclear (2), es llamada la reacción (α , p). En esta colisión nuclear la partícula proyectil es α y la partícula producto o resultante es p.

En 1931. R. Van de Graaff construye el primer acelerador de partículas de alto voltaje, lo cual posibilita el estudio de un gran número de reacciones nucleares de partículas α y β así como sus isotopos radiactivos. Actualmente existen una gran cantidad de aceleradores de partículas, desde el propio tipo Van de Graaff, hasta generadores de partículas cargadas, aceleradores lineales y ciclotrones.

2

En particular el estudio de reacciones nucleares de bajas energías, en donde la energía cinética de las partículas proyectil es menor de 10 Mev por otro lado se emplean para este tipo de reacciones partículas ligeras como α, β, protones, neutrones, rayos ϒ y fotones. Las partículas producto son también partículas ligeras.

Todas las reacciones nucleares, de alta o baja energía, cumplen las siguientes propiedades:

1. Conservación de la carga eléctrica.

Se dice que existe conservación de carga eléctrica en una reacción nuclear, si se satisface la siguiente condición; la suma del número de protones después de una reacción nuclear, es igual a la suma del número de protones antes de producirse dicha reacción nuclear, es decir:

∑∑ = finalInicial ZZ (3)

2. Conservación del número total de nucleones.

La suma de las masas atómicas, antes y después de la reacción nuclear debe de ser la misma, es decir:

∑∑ = finalInicial AA (4)

3. Conservación masa-energía.

Para un sistema aislado, en donde la masa y la energía se intercambian, la masa-energía total del sistema permanece constante.

4. Conservación de momento lineal.

Si la resultante de las fuerzas eetiF!

que actúan sobre un cuerpo o sistema en la

reacción nuclear es nula, entonces el momento lineal extieeti vmP !!= total de la

reacción es constante, es decir:

∑∑ = nuclerreacciónladeDespuésnuclearlareaccióndeAntes PP!!

(5)

5. Conservación del momento angular.

Si el momento de fuerzas externas eetiF!

que actúan sobre un cuerpo o sistema la

reacción nuclear es cero, el momento total angular extieeti PrL ×= !!

es constante, es

decir:

3

∑∑ = nuclearreacciónladeDespuésnuclearlareaccióndeAntes LL!!

(6)

La energía obtenida Q en una reacción nuclear.

En una reacción nuclear ( )YyxX , en donde, suponemos que el núcleo blanco X se encuentra en reposo. El balance por conservación de masa-energía dada por la expresión:

YYyyXxx KcMKcmcMKcm +++=++ 2222 (7)

En donde:

xK : Energía cinética de la partícula proyectil.

XK : Energía cinética del núcleo blanco.

YK : Energía cinética del núcleo residual o de retroceso.

yK : Energía cinética de la partícula producto.

c : velocidad de la luz en el vacío.

xm : Es la masa de la partícula proyectil.

xM : Es la masa del núcleo blanco en reposo.

ym : Es la masa de la partícula producto.

Ym : Es la masa del núcleo de retroceso.

xx Kcm +2 : Es la energía total de la partícula proyectil.

2cM x : Es la energía del núcleo blanco en reposo.

yy Kcm +2 : Es la energía total de la partícula producto.

YY Kcm +2 : Es la energía total del núcleo de retroceso.

4

El valor de Q en una reacción nuclear, desde el punto de vista de la diferencia de masas de las partículas y los núcleos antes y después de la reacción está dada por la expresión:

( ) ( )[ ] xyYYyXx KKKcMmMmQ −+=+−+= 2 (8)

Observe que se considera que el núcleo blanco se encuentra en reposo.

Si en una reacción nuclear se produce una pérdida de masa, entonces a expensas de esta pérdida de masa, se crea energía.

La energía creada, es por lo tanto, la diferencia entre la energía cinética de salida y la energía cinética de entrada. Esta transformación de masa y energía se expresa formalmente:

( ) EcmQ Δ=Δ= 2 (9)

En donde mΔ corresponde al defecto de masa o masa pérdida durante la reacción nuclear y EΔ es la energía obtenida en el proceso. Las reacciones, en donde, Q > 0 son llamadas exoenergéticas, por que se obtiene una ganancia de energía. Cuando Q < 0 son llamadas endoenergéticas.

La relación de transformación de masa en energía en una reacción nuclear, esta dada por la relación:

2cEm Δ

=Δ (10)

Ejemplo.

¿Calcular el valor de Q para la siguiente reacción nuclear?

( ) eHndH 42

31 ,

Solución.

La ecuación anterior se puede escribir de la forma:

eHnHH 42

10

31

21 +→+

Observe que la partícula d corresponde al deuterio y n corresponde a un neutrón.

5

En esta reacción el núcleo blanco H31 (tritio) es bombardeado por partículas de H21(deuterón) y como resultado se obtiene un núcleo residual de He4

2 (Helio) y partículas resultantes de n10 (neutrones).

Considerando los valores de las masas atómicas antes de la reacción nuclear:

Masa atómica de H21 : 2.014102 unidades de masa atómica.

Masa atómica de H31 : 3.016049 unidades de masa atómica.

Por lo tanto. La masa atómica del núcleo y la partícula antes de la reacción nuclear es:

Masa atómica antes de la reacción antesM : 5.030151 unidades de masa atómica.

En forma análoga para después de la reacción nuclear, se considera:

Masa atómica de n10 : 1.008665 unidades de masa atómica.

Masa atómica de eH42 : 4.002603 unidades de masa atómica.

Por lo tanto. La masa atómica del núcleo y la partícula después de la reacción nuclear es:

Masa atómica después de la reacción despuésM : 5.011268 unidades de masa

atómica.

De lo anterior, la diferencia de masas antes y después de la reacción nuclear (defecto de masas), está dada por:

despuésantes MMm −=Δ : 0.018883 unidades de masa atómica.

A partir de la ecuación (9) considerando valores, resulta:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

2

21627

2

216 10910031363.0109018883.0

smxKgx

smxuamQ

( ) MeveVxJoulesxQ 619.17107619.11028226.0 711 === −

Considerando:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== 2

216282 109)103(smx

smxc

6

Kgxuam 27106604.11 −=

1 Joule = 6.242 X 1018 eV.

Dado que Q es positiva la reacción es exoenergética, obteniendo una energía de 17.619 Mev.

Energía de enlace.

Si Q > 0 para un cierto proceso nuclear y además muy grande, entonces la reacción ocurre casi espontáneamente.

Si Q < 0, no se realiza el proceso nuclear, a menos que se provea energía al sistema desde una fuente externa.

La energía de enlace BE, está dada, desde el punto de vista formal por:

- Q = EB (11)

Como ejemplo considere la siguiente reacción nuclear:

( ) PnAl 3015

2713 ,α

La ecuación anterior se puede escribir de la forma:

QnPAlHe ++→+ 10

3015

2713

42

Realizando el cálculo de la diferencia de masas de la reacción nuclear.

Masa atómica de He42 : 4.00260 unidades de masa atómica.

Masa atómica de Al2713 : 26.98154 unidades de masa atómica.

Por lo tanto. La masa atómica del núcleo y la partícula antes de la reacción nuclear es:

Masa atómica antes de la reacción antesM : 30.98414 unidades de masa atómica.

En forma análoga para después de la reacción nuclear, se considera:

Masa atómica de P3015 : 29.97832 unidades de masa atómica.

7

Masa atómica de n10 : 1.00866 unidades de masa atómica.

Por lo tanto. La masa atómica del núcleo y la partícula después de la reacción nuclear es:

Masa atómica después de la reacción despuésM : 30.98698 unidades de masa

atómica. De lo anterior, la diferencia de masas antes y después de la reacción nuclear (defecto de masas), está dada por:

despuésantes MMm −=Δ : - 0.00284 unidades de masa atómica.

A partir de la ecuación (9) considerando valores, resulta:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

2

21627

2

216 10910004715.010900284.0

smxKgx

smxuamQ

( ) MeveVxJoulesxQ 649.2102649.01042439.0 711 −=−=−= −

Dado que Q es negativa, la reacción es endoenergética, obteniendo una energía y por lo tanto no puede realizarse en forma instantánea.

Desde el punto de vista de la energía de unión o enlace de los nucleones BE, el valor para el presente ejemplo es:

BE = 2.649 Mev

Umbral de Energía.

Para que ocurra una reacción nuclear, es necesario determinar la mínima energía (umbral de energía) necesaria en el proceso para la reacción ocurra.

Desde el punto físico, el estudio de una reacción nuclear corresponde a la colisión de un sistema de dos partículas en un sistema coordenado.

En general un sistema de n partículas con momentos p1, p2,…,pn con su centro de masa CM ubicado en un punto OI del sistema coordenado. El centro de masa CM del sistema de partículas se mueve por simplicidad paralelo al eje horizontal con

una velocidad ivV oo⌢"

= .

Consideremos un punto ( )zyxP ,,=!

localizado en el sistema de partículas y con vectores de posición r! y r ʹ! relativos al sistema laboratorio, entonces, se establece para una or

! resultante:

8

rrr o ʹ+= !!! (12)

Obteniendo la derivada de la expresión (12) con respecto al tiempo, resulta:

tdrd

tdrd

tdrd o ʹ

+=!!!

(13)

En donde tdrdv!

! = , corresponde a la velocidad instantánea en un punto P!

relativo

al sistema laboratorio; y tdrdvʹ

=ʹ!

! , la velocidad en el punto .P!

Es decir la expresión (13), puede expresarse en la forma:

vvv o ʹ+= !!! (14)

Considerando todas las partículas del sistema pueden ser escritas de la forma:

i

n

iio

n

iii

n

ii vmvmvm ʹ+= ∑∑∑

===

!!!

111

(15)

Dado que:

01

!! =ʹ∑=

i

n

iivm (16)

Dado que el origen del movimiento en el sistema laboratorio; se encuentra en la

posición del centro de masa y en este caso, 01

!=ʹ∑

=i

n

iivm entonces resulta de la

ecuación:(15)

( )17)(11

oo

n

iii

n

ii vMvmvm !!! == ∑∑

==

El momento lineal total del sistema de n partículas es igual al momento lineal de todas las masas concentradas en el centro de masa moviéndose con una velocidad ov

! relativa al sistema laboratorio.

Considerando la relación (15) se obtiene:

( )ioi

n

i

n

iio

n

iii

n

ii vvmvmvmvm ʹ+=ʹ+= ∑∑∑∑

==== 1111 21

21

21

21

9

2

1

2

1 21

21

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ʹ+=∑∑

==ioi

n

ii

n

ii vvmvm

Es decir:

( )io

n

iii

n

iio

n

iii

n

ii vvmvmvmvm ʹ⋅+ʹ+= ∑∑∑∑

====

!!

1

2

1

2

1

2

1 21

21

21

Simplificando la relación anterior se obtiene:

ʹ⋅+ʹ+= ∑∑∑===

i

n

iioi

n

iioi

n

ii vmvvmvMvm !!

1

2

1

22

1 21

21

21

Dado que, 01

!=ʹ∑

=i

n

iivm entonces resulta:

)18(21

21

21 2

1

22

1i

n

iioi

n

ii vmvMvm ʹ+= ∑∑

==

En donde:

2

1 21

i

n

iivm∑

=

: representa la energía cinética total del sistema de n partículas.

2

1 21

i

n

iivm ʹ∑

=

: representa la energía cinética del movimiento de las n partículas,

tomando en cuenta el origen en el punto del centro de masa y es independiente del sistema de referencia.

2

21

ovM : representa la energía cinética del punto del centro de masa asociado al

movimiento de las n partículas, en función del sistema de referencia.

Energía umbral de una reacción endoenergética.

En un sistema coordenado X con respecto al centro de masa en una colisión de partículas proyectil-blanco desde un marco de laboratorio el centro de masa esta dado por:

)19(Xx

Xxcm Mm

XMxmx

+

+=

10

A continuación se muestra en la fig.1 de manera esquemática la colisión de dos partículas en el sistema laboratorio de una reacción endoenergética.

Y Y1

mx MX

vx vcm Sistema de referencia cm X1

x

xcm

X

Sistema de referencia laboratorio X

Figura 1. Muestra esquemáticamente la colisión de dos partículas en una reacción endoenergética.

Por lo tanto la velocidad del centro de masa relativo al marco laboratorio, está dada por la expresión:

)20(xXx

xcm v

Mmm

v ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

La energía cinética total después de la colisión está dada por:

nuclearreacciónlaenproducidacmx KKK += (21)

11

En donde:

( ) 2

21

cmXxcm vMmK +=

( ) ( )22

´ 21

21 I

XXÍxxnuclearreacciónlaenproducida vMvmK +=

VxI y vX

I corresponden a las velocidades relativas al marco del sistema centro de masa.

De la expresión (21), resulta:

( ) 2

21

cmXxxnuclearreacciónlaenproducida vMmKK +−= (22)

Es decir, la energía obtenida en la reacción nuclear es igual a la energía total del

inicio de la reacción menos la energía llevada por el movimiento referente al centro

de masa.

Sustituyendo la ecuación (20) en (22), resulta:

( )( ) ( )Xx

xxx

Xx

xxXxxnuclearreacciónlaenproducida Mm

vmK

Mmvm

MmKK+

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−=

22

2

22

21

21

Dado que: 2

21

xxx vmK = entonces, x

xx m

Kv

22 = y sustituyendo en la ecuación

anterior resulta:

( ) ( )Xx

xxx

xXx

xxxnuclearreacciónlaenproducida Mm

KmK

mMmKm

KK+

−=+

−=2

21 2

( )( )( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

Xx

xXxx

Xx

xxnuclearreacciónlaenproducida Mm

mMmK

Mmm

KK 1

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

Xx

Xxnuclearreacciónlaenproducida Mm

MKK

Es decir, se establece a partir de la relación anterior que la energía mínima para producir una reacción nuclear endoenergética está dada por:

12

( ) QKMm

MK xXx

Xnuclearreacciónlaenproducida −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+= minmin)( (23)

Y la mínima energía de entrada para que se genere la reacción es:

( ) ( )X

Xxx M

MmQK

+−=min (24)

Observe que: ( ) Umbralx EK =min .

La energía obtenida por el centro de masa está dada por:

QEK Umbralcm += (25)

Ejemplo 1.

Calcular la energía umbral de la reacción:

( ) BnN 115

147 ,α

Solución.

Determinando el valor de Q para la reacción:

Masa atómica de mx = n10 : 1.008665 unidades de masa atómica.

Masa atómica de MX = N147 : 14.003074 unidades de masa atómica.

mx + MX : 15.011739 unidades de masa atómica.

Y

Masa atómica de my = α42 : 4.002603 unidades de masa atómica.

Masa atómica de MY = B115 : 11.009305 unidades de masa atómica.

my + MY : 15.011908 unidades de masa atómica.

La diferencia de masas en la reacción:

( mx + MX ) – ( my + MY ) = - 0.000169 unidades de masa atómica.

Por lo tanto:

13

MevamuMevamuQ 16.093100169.0 −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

En donde: MevQ 16.0=− corresponde a la energía de la reacción.

Ahora calculando la mínima energía de inicio de la reacción o energía umbral, utilizando la relación (24), resulta:

( ) ( ) ( )amu

amuamuMevKE xUmbral 003074.14003074.14008665.116.0

min+−−

==

( ) MevKE xUmbral 17.0min ==

Ejemplo 2.

Del ejemplo 1. ¿Calcule la velocidad del centro de masa inmediatamente después de producirse la reacción nuclear?.

Solución.

La energía producida por a través del centro de masa está dada por la ecuación (25):

MevMevMevKcm 01.016.017.0 =−=

Dado que: ( ) 2

21

cmXxcm vMmK += , despejando cmv , resulta:

Xx

cmcm Mm

Kv

+=

2

Sustituyendo valores, resulta:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=−

−

umakgxuma

MevJoulesxMev

vcm27

13

1067.1011739.15

106.101.02

smxvcm

51058.3=

Sección de impacto de una reacción nuclear.

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La efectiva sección de impacto de una reacción nuclear medida en función de la superficie del blanco, se puede deducir a partir del espesor t de una “rebanada” del blanco en una superficie A. Si n es el número de núcleos blancos por unidad de volumen, entonces el número de núcleos en el total de “rebanadas” es: n A t. Si σ corresponde a la sección eficaz de cualquier núcleo o el área de interacción de cualquier núcleo, entonces el área expuesta del núcleo blanco en las diversas interacciones está dada por: n σ A t.

De manera que la probabilidad para que una reacción nuclear ocurra está dada por:

)19(exp tnAtAn

totalÁreauestatotalÁreaP σ

σ===

La probabilidad anterior corresponde también a la razón del número de partículas incidentes por segundo denotado por: N que se experimenta una reacción nuclear con respecto al número total de partículas que se impactan en el núcleo por segundo y se representa por No.

La probabilidad para que esta reacción ocurra se expresa de la forma:

)20(oNNP =

Considerando la ecuaciones (19) y (20), resulta:

)21(tnNNPo

σ==

De la ecuación anterior se observa que la probabilidad de que ocurra una reacción nuclear es proporcional a σ.

Si la reacción es endoenergética la sección de impacto σ, es cero. Es decir la energía de las partículas incidentes es menor que la energía umbral.

Ejemplo.

Una muestra de oC5927 con un espesor de 0.02 cm, es irradiada con un flujo de

neutrones de sm

neutrones2

1610 produciendo la siguiente reacción nuclear:

( ) oo CnC 6027

5927 ,γ

15

¿Calcular cuántos núcleos de oC6027 se han producido este tiempo de irradiación de

2 h?

Solución.

La densidad de oC6027 es de 8.9 X 103 Kg / m3.

La sección de impacto para capturar un neutrón de oC6027 es de 30 barns.

El número de núcleos blanco por unidad de volumen, esta dado por la expresión:

328

263

3

101.959

1002.6109.8

mnúcleoX

molkgkg

molkgnúcleoX

mkgX

MNn A =

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

==ρ

En donde NA corresponde al número de Avogadro.

De la ecuación (21)..

tnNN o σ=

Sustituyendo valores:

( )mXnúcleomX

mnúcleoX

smneutronesN 4

228

328

216 1021030101.910 −−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

smneutronesXN 2

14105.5 −=

BIBLIOGRAFIA.

_ Tippens P., FÍSICA conceptos y aplicaciones, Edit. Mc Graw Hill, México, 1987.

_ Acosta V., Cowan C., Graham B., Essentials of Modern Physics, Harper & Row, N.Y. USA, 1973.

José Jesus MENA DELGADILLO