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Recursos Educativos Audiovisuales Para La Comprensión Del

Péndulo Simple Resumen: En este trabajo presentamos la elaboración de material docente en formato digital con contenido físico-matemático. Concretamente, nos concentramos en una práctica de laboratorio realizada en la asignatura Física del Grado en Ingeniería de Organización Industrial del Centro Universitario de la Defensa de San Javier, en la cual se estudia el péndulo simple con el objetivo de determinar la aceleración de la gravedad y verificar la ley del péndulo simple. Así, con la elaboración de vídeos se pretende profundizar en las herramientas matemáticas usadas de trasfondo, polinomio de Taylor; así como poner en evidencia la interconexión existente entre las asignaturas de Matemáticas y Física cursadas en el primer curso de dicho grado. Palabras clave: Recursos educativos audiovisuales, práctica de laboratorio, péndulo simple, polinomio de Taylor

1. Objetivosopropósitos:

Elprincipalobjetivodeestetrabajoesponerdemanifiestolaayudaquesuponela

elaboracióndematerialdocenteaudiovisualcomocomplementoalasasignaturas

Álgebra,CálculoyFísica,impartidasenelprimercursodelGradoenIngenieríade

OrganizaciónIndustrialenelCentroUniversitariodelaDefensadeSanJavier.

Concretamentenoscentraremosenunaprácticadelaboratoriotitulada“Péndulo

simple”llevadaacaboenlaasignaturaFísica,enlaqueseproponedeterminarla

aceleracióndelagravedad, !,yverificarlaleydelpéndulosimpledeformaexperimental.Dadoquelacomprensióndelaprácticaanivelteóricoesdegran

dificultad,sehanelaboradodistintosvídeosexplicativosquecontienen:poruna

parte,ladeduccióndelasclásicasecuacionesdelmovimientodelpéndulo;ypor

otraparte,elusodelpolinomiodeTaylorqueesdesumaimportanciaparala

profundacomprensióndeesteestudio.

Deestemodo,conlaelaboracióndeestematerialdecarácterinterdisciplinarlos

objetivosperseguidosson:

- Motivaralalumnadohaciéndoleconscientedelainterconexiónexistente

entrelasasignaturasmencionadaspreviamente.

- Disponerdeunabateriadevídeosdedicadosalestudiodelpéndulosimple

quepermitaalalumnadovertantesvecescomoleseanecesariosu

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contenido,facilitandodeestemodoelautoaprendizajesinqueeltiempo

limitadodeclaseseaunproblema.

- Profundizarencontenidoscomoelmovimientooscilatorio,elpolinomiode

Taylor,elestudiodeerrorescometidosyecuacionesdiferenciales.

- Estudiarelalcancedelosanteriorescontenidosparaexplicarmodelos

físicoscotidianoscomoenestecasoeselpéndulosimple.

2. Marcoteórico:

Elmodeloteóricodelpéndulosimpleconstadeunpuntomaterialdemasa!suspendidodeunpuntofijo,O,queoscilasuspendidoenunhiloinextensiblede

longitud!demasadespreciable.Estaesunasituaciónidealyaqueesimposiblelarealizaciónprácticadeunpéndulosimple,sinembargosuestudioteóricoesde

graninterés.

Elpéndulosimplesigueunmovimientoperiódicooscilanteyaquecuandolamasa

sedejaenlibertad,aldesplazarlaunciertoángulo!delaverticaloscilahaciaunladoyotrodelpuntodeequilibrioconunperiodo!.

Conlafinalidadderepasarlasecuacionesdelmovimientodelpéndulosimple

recordemosquelasfuerzasqueactúansobrelamasa!son:- latensiónTdelhilo,vectorqueapuntahaciaelpuntofijoO,

- ysupeso,!",vectorverticalqueapuntahaciaelsuelo,quesepuededescomponerensucomponentenormal,!"#$%&,ysucomponentetangencial,!"#$%&.

Figura1.Fuerzasactuandoenelpéndulosimple

Observemosquelacomponentenormalseanulaconlatensión,mientrasla

componentetangencial,perpendicularalhilo,eslaproductoradelmovimiento.

Así,sidenotamospor!lalongituddelarcosituadobajoelángulo!,tenemoslasiguienterelación! = !".UsandoahoralaSegundaLeydeNewtonalacomponentetangencialtenemos

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(1)!! = −!"#$%& = ! !!!!!! = !" !!!!!! ,

dondeelsignonegativonosindicaqueestafuerzaempujaalpéndulohaciala

posicióndeequilibrio,esdecir,esunafuerzarecuperadora.Simplificando(1)se

tiene

(2) !"#$ = − !!!!!!!! .

Llegadosaestaexpresión,enlaliteraturaesmuycomúnqueseindiquequepara

ángulossuficientementepequeñospodemosusarlasiguienteaproximación

(3)!"#$ ∼ !.

Comoejemploindicamosreferenciascomo[BBG],[PG],[Si]y[TM].

Así,teniendoencuentalasexpresiones(2)y(3),para!pequeñoseobtiene

!!!!!! = − !

! !,y!!!!!! = − !

! !,

dedondededucimosquelaaceleraciónesproporcionalaldesplazamientodela

masa,esdecir,setratadeunaaproximaciónaunmovimientoarmónicosimple.

Enestecontextoteórico,nosgustaríaremarcarlarazónporlacualpodemosusar

laaproximación(3)yparaelloesnecesarioelusodelPolinomiodeTaylor.

Recordemosquedichopolinomioesunaaproximaciónlocalaunafunciónenun

entornodeunpunto!!quevienedefinidocomo

! ! ∼ !!(!, !; !!) = ! !! + !! !!1! ! − !! + !

!! !!2! ! − !! ! +⋯+ !

! !!!! ! − !! !

yportanto,setieneque!"#$ ∼ !! !"#$,!; 0 = !,talycomoseapreciaenlasiguienterepresentacióndondeelsenoeslafunciónazulyelángulolanaranja.

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Además,elerrorcometidoconestaaproximaciónsepuedeestimarusandoel

TeoremadelaFórmuladeTaylor|!(!)− !! !, !; !! | = !! !!! ! − !! !.Véanse

referenciascomo[GV]y[St]paramásinformaciónsobreaplicacionesdel

polinomiodeTaylor.

3. Metodología:

Laelaboracióndelosvídeosexplicativosdelaprácticadelpéndulosimplehansido

frutodediversasdiscusionesentrelosmiembrosdeunproyectodeinnovación

docentedelaUniversidadPolitécnicadeCartagenaconstituidopordos

matemáticosydosfísicos.Comoresultadoelmaterialelaboradoconsisteen:

- Primervídeo-PolinomiodeTaylor.Enesteprimervídeosedefineel

polinomiodeTaylor,yseobtienecomoejemploeldelafunciónseno.

- Segundovídeo-Errorcometido.Aquíseestimaelerrorcometidoal

aproximar !"#$ ∼ !paraángulosmenoresa10ºusandoelTeoremadeTaylor.

- PrimeraanimaciónenMathematica.Consisteenunaprimeraanimación

obtenidaalprogramarensoftwarematemáticopolinomiosdeTaylorde

distintosordenesdelafunciónsenoacompañadoporunaudioexplicativo.

- SegundaanimaciónenMathematica.Serepresentanloselementosfísicos

involucradosenlaecuacióndiferencialdelpéndulosimple.

- Tercervídeo-Ecuacionesdelpéndulosimple.Sedesarrollaendetalleel

marcoteóricoexplicadopreviamentehaciendousodelasherramientas

matemáticasanteriores.

- Cuartovídeo-Prácticadelaboratorio.Seexplicaelguióndelaprácticade

laboratorioconlafinalidaddeobtenerunaaproximaciónde!.

Anivelpráctico,enellaboratorioelestudiante,trashabervistopreviamentelos

vídeosdescritosdelosqueyadisponeenelaulavirtual,debecomprobarquepara

amplitudespequeñaselperiododelpéndulosimplesatisface

! = 2! !!

midiendolalongituddelhilodelpénduloconunareglagraduadayeltiempoque

tardalamasaenefectuar20oscilacionesconuncronómetrofijandounángulo

constantedeentre5y10grados.Así,comomedidasindirectassehadeobtenerel

periodo!,elperiodoalcuadrado!!ylaaceleracióndelagravedad.Paraobtenerestaúltima,laformadeprocederconsisteenrealizarunajustelinealpormínimos

cuadradosde!!yusarlapendientedelarectaobtenidaparaestimar!.

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4. Discusióndelosdatos,evidencias,objetosomateriales:

Anivellogístico,paralaelaboracióndelmaterialaudiovisualdeestaprácticalos

recursosempleadoshansidolossiguientes:

1. Unacámaradevídeo.2. Elsoftware“Mathematica”,usadoparasimularlasecuacionesinvolucradas

ypararepresentargráficamentelassoluciones.

Enellaboratorioelalumnodisponedeunpéndulo,uncronómetro,calibreyregla

milimetrada.

Cabedestacarquecuandoelalumnodiscutelosdatosobtenidossehadeteneren

cuentaquesepuedendarmúltiplescausasdeerrorquepuedeninfluirsobreel

resultadofinal,comopuedenser:elhilotieneunaciertamasa,lamasanoesideal,

elpéndulonosiempreoscilaexactamentesobreunplano,etc.

Comopropuestaadiscutirresultadosparapróximoscursosnosgustaríatrasladar

estemismoproblemadelpéndulosimpleacasosmenossencillos.Concretamente,

seríainteresanteestudiarquésucedecuandolasamplitudesnosonmuypequeñas,

yparaelloseríadegranayudalaelaboracióndenuevosvídeosexplicandolas

diferenciasdeestenuevoproblemaconelestudiadoenestetrabajo.

5. Resultadosy/oconclusiones:

Losresultadosesperadosconlaelaboracióndelmaterialaudiovisualson:poruna

partefacilitarelritmodeaprendizajedecadaalumno,yaquedisponerdevídeos

permiterepetirlostantasvecescomoseanecesario.Porotraparte,sepretende

motivaralalumnadoymostrarlelasaplicacionesrealesquetienenlasasignaturas

estudiadasenprimercurso,facilitandoelterrenoalasmateriasquese

encontraránencursosposteriores.

6. Contribucionesysignificacióncientíficadeestetrabajo:

Laelaboracióndematerialaudiovisualparaprofundizarenelproblemadel

péndulosimplecombinandoteoríamatemático-física,softwarematemáticoy

prácticasdefísicaresultanovedosaenlaactualidad.Porello,creemosquesupone

unpasoenlainnovacióndocenteenmarcadadentrodelcontextodeestudiantesde

primercursodeingeniería.

Encuantoalcontenidocientífico,sepretendeprofundizarenelestudiodel

polinomiodeTaylorconlafinalidaddeexplicarloserrorescometidosal

aproximarlaecuacióndelpéndulosimplecuandoelánguloessuficientemente

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pequeño.Enestadirección,muchasreferenciasbibliográficasnoseadentranen

lastécnicasmatemáticas,yconlosvídeosexplicativosseintentadarunavisión

másprofundadeestosaspectos.

7. Bibliografía:[BBG]BurbanodeErcilla,S.,Burbano,E.,Gracia,C.FísicaGeneral.Ed.Tébar.

[GV]García,A.,delaVilla,A.CálculoI.Ed.Clagsa.

[PG]Peña,A.,García,J.A.Física2ºBachillerato.Ed.McGrawHill.

[Si]Simmons,G.F.,EcuacionesDiferenciales.Conaplicacionesynotashistóricas.

Ed.McGrawHill.

[St]Stewart,J.Cálculodeunavariable.Trascendentestempranas.Ed.Cengage

Learning.

[TM]Tipler,P.A.,Mosca,G.Físicaparalacienciaylatecnología.Vol1.Ed.Reverté.