Reformulacion de la propuesta
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La siguiente situación propone que los alumnos identifiquen o implementen el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas. Para ello se necesitara que los alumnos tengan conocimiento sobre ángulos, centro de una figura, altura, distancia, etc. El docente presentara la siguiente situación: Problema: La anchura de mi calle es de 20m y, colocándome en el centro de la misma, puedo ver los edificios de ambos lados. Mido los ángulos que forman las visuales con los puntos más altos de los edificios y la horizontal: resultan ser de 45º y de 60º respectivamente. a) ¿Qué altura tienen los edificios? b) En lo alto de cada edificio hay un pájaro. Tiran una miga de pan en la calle y ambos pájaros se lanzan por ella al mismo tiempo y a la misma velocidad. Llegan en el mismo instante a la miga. ¿A qué distancia del edificio A esta la miga? ¿Con que inclinación voló cada pájaro? a) Se les pedirá a los alumnos que realicen un dibujo o esquema de la situación anterior. “¿Si llamamos A al edificio mas alto y B al restante, a que edificio le corresponde el ángulo de 60 o ? ¿Y el de 45 o ?” “¿A que distancia se encuentra el centro de la calle con respecto de los edificios?”
Transcript of Reformulacion de la propuesta
La siguiente situación propone que los alumnos identifiquen o implementen el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas.
Para ello se necesitara que los alumnos tengan conocimiento sobre ángulos, centro de una figura, altura, distancia, etc.
El docente presentara la siguiente situación:
Problema:
La anchura de mi calle es de 20m y, colocándome en el centro de la misma, puedo ver los edificios de ambos lados.
Mido los ángulos que forman las visuales con los puntos más altos de los edificios y la horizontal: resultan ser de 45º y de 60º respectivamente.
a) ¿Qué altura tienen los edificios?
b) En lo alto de cada edificio hay un pájaro. Tiran una miga de pan en la calle y ambos pájaros se lanzan por ella al mismo tiempo y a la misma velocidad. Llegan en el mismo instante a la miga. ¿A qué distancia del edificio A esta la miga? ¿Con que inclinación voló cada pájaro?
a) Se les pedirá a los alumnos que realicen un dibujo o esquema de la situación anterior.
“¿Si llamamos A al edificio mas alto y B al restante, a que edificio le corresponde el ángulo de
60o? ¿Y el de 45o?”
“¿A que distancia se encuentra el centro de la calle con respecto de los edificios?”
Los alumnos que hallan podido realizar el dibujo podrán completar los datos. De esta manera será más fácil para el docente poder guiarlos ya que sin el dibujo es seguro que no pueden interpretar los datos.
Una vez propuesto el dibujo con los datos del alumno podrá comprobar que la altura de los edificios coincide con uno de los lados del triangulo rectángulo que se forma.
Para poder llegar a la solución, el docente preguntará:
¿Qué razón o razones trigonométricas involucra los datos que tenemos, que son: ángulo, altura que coincide con el lado opuesto del ángulo y el lado adyacente a dicho ángulo que coincide con la mitad de la calle?
La respuesta mayoritaria de los alumnos será “la tangente”
De esta manera podrán calcular dichas alturas:
Altura del edificio A:
tan 45°=hB10m
1=hB10m
hB=10mAltura del edificio B:
tan60°=hA10m
√3=hA10m
hA=10√3mb) Al igual que el ítem anterior el docente pedirá a los alumnos que realicen un dibujo o esquema de la situación
“¿Si los pájaros vuelan a la misma velocidad y llegan al mismo tiempo como son las distancias, desde el edificio hasta la calle?”
El alumno deberá identificar que dichas distancias son iguales.
Para encontrar el punto indicado se trabajara con una planilla de calculo variando la distancia de la miga al edificio a para hallar el punto en donde la inclinación sea la misma.
Distancia de la miga al Altura del Inclinación de vuelo en
edificio A edificio Bedificio
Aedificio
B edificio A edificio B
10 10 10√3 10 2014,1421356
2
12 8 10√3 1021,071307
512,8062484
7
14 6 10√3 1022,271057
511,6619037
9
16 4 10√3 1023,579652
210,7703296
1
18 2 10√3 10 24,97999210,1980390
3
8 12 10√3 10 19,07878415,6204993
5
6 14 10√3 1018,330302
817,2046505
3
5 15 10√3 1018,027756
418,0277563
8
4 16 10√3 1017,776388
818,8679622
6Entonces podemos ver claramente que el punto indicado es 5m.
Si no contamos con una planilla de cálculo lo podemos resolver de la siguiente forma.
Si llamamos x a la longitud de la inclinación y “a” a la distancia que hay desde el punto donde se juntan los pájaros del edificio B.
El docente preguntará “¿Qué relación hay entre x, a y la altura de B?
¿Qué otra relación podemos encontrar?
El alumno podrá aplicar el teorema de Pitágoras para poder armar las siguientes ecuaciones:
x2=(20−a)2+(10√3)2
x2=a2+102
El alumno deberá identificar que tiene un sistema de ecuaciones, y luego resolverlo:
Por igualación:
(20−a)2+300=a2+102
400−40a+a2+300=a2+102
−40a=100−300−400
−40a=−600
a=15
Como lo que necesitamos es la distancia de la miga al edificio A restamos a 20m los 15m obtenidos, entonces podemos concluir que la distancia al edificio A es de 5m.
Debemos calcular la inclinación de vuelo de cada pájaro:
El docente preguntara al igual que la situación anterior que relación hay entre los datos que tenemos.
El alumno deberá identificar las razones a ocupar y luego resolver.
Llamaremos α al ángulo del edificio B:
tanα=1510
α=56°18¿35.76¿∨¿ ¿
Llamaremos β al ángulo del edificio A:
tan β= 510
√3
β=16°6¿7.61¿∨¿¿
10√3
