REGRESION LINEAL III

Mario Briones L.MV, MSc

2005

Gráfico de residuales de la regresión El gráfico de residuales de una

regresión se obtiene ubicando en un plano de coordenas los valores de la variable independiente (en el eje X) y la magnitud de la desviación que existe entre cada punto observado y la línea de regresión, con respecto al eje Y.

Ejemplo, osos grises

Variable X 1 Gráfico de los residuales

-150

-100

-50

0

50

100

34 44 54 64 74 84

Variable X 1

Re

sid

uo

s

Objetivo del examen del gráfico de residuales: El gráfico de residuales permite apreciar

más claramente la “adecuación” del modelo lineal a los datos.

Si la relación “real” entre las dos variables es lineal, entonces los puntos aparecen distribuidos homogéneamente alrededor del valor cero de Y, sin ningún patrón reconocible.

La presencia de patrones de distribución de los puntos de residuales pueden indicar que el supuesto de linearidad no se sostiene

Ejemplo Precio de huevos en USA según peso

grado peso grs precio promedio 92-94 (centavos/unidad)LL 73 13.36L 67 13.55M 61 11.92

MS 55 9.1S 49 7.4

SS 43 4.83

Regresión Se observa un alto valor del

coeficiente de determinación

y = 0.3044x - 7.6274

R2 = 0.9434

0

5

10

15

20

40 50 60 70 80

peso (grs)

prec

io (

cent

s)

Gráfico de residuales Se observa una distribución desuniforme

alrededor de ceroVariable X 1 Gráfico de los residuales

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 20 40 60 80

Variable X 1

Re

sid

uo

s

Análisis de residuales y adecuación del modelo

y = 0.0191x + 41.857

R2 = 0.4174

0100

200300400

500600

700800

0 5000 10000 15000 20000 25000

Ingreso per cápita

Gas

to m

ilita

r

Resumen

Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple0.64604099Coeficiente de determinación R 2̂0.41736896R 2̂ ajustado 0.4065795Error típico 136.153868Observaciones 56

ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertadSuma de cuadradosPromedio de los cuadradosF Valor crítico de F

Regresión 1 717100.891 717100.891 38.6830132 7.5658E-08Residuos 54 1001045.29 18537.8757Total 55 1718146.18

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepción 41.8569756 24.8379283 1.68520398 0.09772057 -7.94011553 91.6540667ING_CAP 0.01905844 0.00306427 6.21956696 7.5658E-08 0.01291494 0.02520194

Gráfico de residuales

ING_CAP Gráfico de los residuales

-400

-200

0

200

400

600

800

0 5000 10000 15000 20000 25000

ING_CAP

Re

sid

uo

s

Gráfico de probabilidad normal

Gráfico de probabilidad normal

0

200

400

600

800

0 20 40 60 80 100 120

Muestra percentil

GA

ST

_MIL

Residuales estandarizados

20 191.570963 81.2032301 0.6019047721 46.2387577 -43.7387577 -0.3242059122 77.3725481 682.627452 5.0598568623 49.038212 -25.7703023 -0.1910178724 45.1719604 -42.7992419 -0.3172419125 44.2915393 -34.154865 -0.2531669826 48.4114564 -39.217908 -0.290695927 83.1072474 30.247183 0.2242019728 54.2103627 -44.3552902 -0.3287758529 46.3978347 -42.4737841 -0.3148295130 132.156909 508.355912 3.7680994831 45.7029287 -36.8567749 -0.2731944132 48.3441601 -25.5494003 -0.1893804733 67.0646249 0.73652233 0.00545934

Gráfico de los datos transformados

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5

RegresiónResumen

Estadísticas de la regresiónCoeficiente de correlación múltiple 0.89602746Coeficiente de determinación R 2̂ 0.80286521R^2 ajustado 0.79907416Error típico 0.28865576Observaciones 54

ANÁLISIS DE VARIANZAGrados de libertadSuma de cuadradosPromedio de los cuadradosF Valor crítico de F

Regresión 1 17.6458731 17.6458731 211.778909 5.6418E-20Residuos 52 4.33275156 0.08332215Total 53 21.9786246

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepción -1.33192219 0.21441509 -6.21188643 8.8964E-08 -1.76217725 -0.90166713log_cap 0.90534999 0.06221214 14.5526255 5.6418E-20 0.78051228 1.0301877

Gráfico de residuales

log_cap Gráfico de los residuales

-0.8-0.6-0.4-0.2

0

0.20.40.60.8

0 1 2 3 4 5

log_cap

Re

sid

uo

s

Gráfico de probabilidad normal

Gráfico de probabilidad normal

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 20 40 60 80 100 120

Muestra percentil

log

_mil

Intervalo de predicción para un valor individual de Y Dado un valor fijo X, el intervalo de

confianza para un valor individual es:

Y

Donde t/2 es el valor de t para los grados de libertad de la regresión y la mitad del valor de alfa decidido para el intervalo

^

22

2

2/ )()(

)(11

XXn

XXn

nSet

Ejemplo, osos grises De acuerdo con los datos del último

ejercicio, con un b0= -351.66 y b1= 9.65, para una medición de largo corporal de 71 pulgadas, el valor predicho de peso es de 334 lbs.

La construcción de un intervalo de confianza de 95% para este valor predicho dará una idea de la confiabilidad de esta predicción

Ejemplo, osos grises

= 176

Por lo tanto, para un valor de X de 71 pulgadas el intervalo de confianza de 95% para la predición de peso de 334 lbs es 334176 libras, es decir, desde 158 a 510 libras.

2

2

)5.516)7.34525(8)6.6471(8

81

1)6.66)(447.2(

Intervalo de confianza de 95 % para los valores estimados de peso de osos grises, a partir de la medición de largo corporal

-400

-200

0

200

400

600

34 44 54 64 74

largo en pulgadas

peso

en

lbs

Y predicho

lím inferior

lim superior

Intervalo de predicción para la pendiente de la recta

b1

n

XX

St e

22

2/)(

Ejemplo, osos grises

b1

b1= 4.91 El intervalo de confianza de 95% para la

pendiente de esta regresión es 9.66 4.91. El intervalo va de 4.91 a 14.41 y no incluye el

cero

8

)5.516(7.34525

6.66447.2

2

Intervalo de confianza de 95% para la línea de regresión (Systat)

30 40 50 60 70 80LARGO

0

100

200

300

400

500P

ES

O

Regresión lineal múltiple Una ecuación de regresión lineal

múltiple expresa una relación lineal entre una variable dependiente y dos o más variables independienes (X1, X2, ...Xk)

Notación Y= b0+b1X1+b2X2+...bkXk

k= número de variables independientes o predictoras

0= valor de Y cuando todas las variables predictoras son cero (el estimador es b0)

1, 2..k= son los valores de los coeficientes de las variables independientes (los estimadores son b1, b2..bk)

^