Regularización Jun 2013 Guía Geo Y Trigo

Plantel “Emiliano Zapata” Tizayuca

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

CURSO DE REGULARIZACIÓN Junio 2013

GUÍA DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Alumno:________________________________________

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE HIDALGO


Curso de Regularización Junio 2013

Academia de Matemáticas Guía Geometría y Trigonometría

Academia de Matemáticas (Geometría y Trigonometría Página 2

Mensaje Estimado alumno:

Con el propósito de que el curso de regularización que estas por enfrentar sea aprovechado por ti, te

ofrecemos el siguiente material, mismo que deberás de revisarlo conjuntamente con tu maestro asesor y

elegir aquellos ejercicios que presenten mayor dificultad y que te sirvan de muestra para reforzar los temas

que componen el temario de las asignaturas de matemáticas.

“Los únicos límites en nuestra vida son aquellos que nosotros mismos imponemos.” Bob Proctor

Asimismo, te invitamos a que no incurras constantemente en la reprobación, para que realmente aproveches

el período vacacional al máximo, pero sobre todo que adquieras los conocimientos necesarios que requieres

para que tu preparación académica sea óptima y de fortalecimiento matemático.

“La gente no decide su futuro, deciden sus hábitos y sus hábitos deciden su futuro.” FM Alexander

Finalmente, debes de tomar en cuenta que el tiempo asignado al curso de regularización no es suficiente para

volver a tarar los temas vistos en clase, por lo que contamos con tu interés no sólo en acreditar la asignatura,

sino también con tú necesidad de aprender y prepararte con perseverancia y empeño para cumplir

cabalmente con el nivel medio superior de bachillerato.

“Los altibajos de la vida proporcionan ventanas de oportunidades para determinar tus valores y objetivos. Piensa en usar todos los obstáculos como escalones para construir la vida que quieres.”

Marsha Sinetar Por la Academia de Matemáticas: Mtro. Rodolfo Hernández Pelcastre. Mtra. Nelly de Jesús Chapa Contreras. Ing. Eloy Alembert Fernández Honorato. Ing. Filiberto Espinosa Noble. Lic. Juan García Olguín. Ing. Cristóbal Meneses Hidalgo. Ing. Manuel Jair Flores Guzmán. Ing. Luis Edwin Moreno Muñoz. Ing. Antonio Torres Martínez Ing. Rommel Ramírez Hernández






Objetivo: Reconocer distintos tipos de triángulos y encontrar la medida de sus ángulos.

Instrucciones: Esta guía la debes desarrollar en tu cuaderno. Tienes una clase para desarrollarla. Lee atentamente cada uno de los enunciados, deja constancia del procedimiento utilizado.

1.- Clasifica los siguientes ángulos según sus lados: a) b) c) d) 2.- Clasifica los siguientes ángulos según sus ángulos: a) b) c) d)

3.- En la siguiente figura, ¿cuál es la medida del ángulo CAB y el ángulo CBA?: L1 // L2

4.- En el siguiente triángulo, X + Y + Z = 5.- En las siguientes figuras determina el ángulo que se pide: a) <CAB = ______ b) x = _______ c) x = ______ d) MN = ON; < x = ____

30º

65º

b b

a

a a

a b

c

c

30

30º 30º

c

b

a

127º

C

B A

z y

x

L2

L1

45º

A B

C

60º y

x

z

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

____________________






e) x + y =

108º, f) x = _____ g) x = ________ h) ABC triángulo isósceles

w = ______

Contesta las siguientes preguntas: 6.- ¿Cuánto miden los ángulos interiores y exteriores de un triángulo equilátero?

7.- Si en un triángulo la medida del primer ángulo es el doble de la medida del segundo pero la mitad del tercero. ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo?

8.- Si dos ángulos de un triángulo miden 30º y 40º ¿cuánto mide el tercer ángulo y los ángulos exteriores?

y x

C

B A

w






CONGRUENCIA

Determinar los valores de las incógnitas en los siguientes triángulos congruentes:

Ejemplos: a)

Dado que los Δs son , sólo basta con igualar los ∡s y los lados homólogos para determinar los valores tanto de “x” como de “y”, entonces tenemos:

Para “y” Para “x”

b) Los Δs I y II son congruentes. Determinar el valor de las incógnitas y de los ángulos.

Por ser ángulos alternos internos se observa:

𝐗

𝟐 𝟔

𝐗 𝟒

𝟑𝐘 𝟏𝟓

𝟒𝟖

3b

72°

24°

2a

A

B C

D

I

II






Resolver los siguientes Δs, calculando los elementos faltantes:

1)

2)

3)

4)

B

C

D A

I

II

𝟑𝒂 𝟐

𝟑𝟒

𝟐𝒃 𝟕

𝟓𝟕

5𝑥 5

3𝑥

2𝑦 5

4𝑦

𝑰

𝑰𝑰

𝑪 𝑫

𝑩 𝑨 I

D C A

B

E

II

B

C

A

X+3

2y

4y+58

4x

I

II






SEMEJANZA ~ Ejemplos:

Establecer las proporciones al comparar el ΔCEB con el ΔDBA

De acuerdo con la figura tenemos:

a) Determinar el valor de la longitud del lado “a” en el ΔABC.

b) Encontrar la longitud de los lados. En los Δs ∡A = ∡A’, ∡C = ∡ C’, entonces ΔABC ~ ΔA’B’C’ por lo que se establece la proporcionalidad entre los lados homólogos.

De la relación se obtiene:

B’

A’

C’ C

B

A

a’ = 4

c’ = 6

a

40°

c = 24

𝒂

𝒂′ 𝒄

𝒄′

𝒂

𝟒 𝟐𝟒

𝟔

𝟔𝒂 𝟐𝟒 𝟒

𝟔𝒂 𝟗𝟔

𝒂 𝟗𝟔

𝟔

𝒂 𝟏𝟔

30

16

21

10

7 8

A D

B

E

C

c

b = 24 a =12 60°

40°

A B

C

B’

C’

A’

a’ = 4 b’

c’= 6

60°

40°

′

′

′

′

′






Resuelve los siguientes ejercicios:

Encontrar las medidas de los lados faltantes de los siguientes Δs:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

10

6

8 4 c’

a’ 6

4 y-1

6

X+1 8

2y+4

12

8

2x-1

6

7.5

b’

12

24

a

20

15

2x

20

24

10

11

𝒚

𝟑

15

12 U+3

t-2

4

10






TEOREMA DE THALES

′ ′ ′ ′ ′ Ejemplo:

En el siguiente Δ determinar el valor de , si

CUANDO EN UN Δ SE TRAZA UNA RECTA PARALELA A UNO DE LOS LADOS, EL Δ QUE SE FORMA ES SEMEJANTE A L PRIMERO.

B A

C

B’ A’

D E

B

A

C

x 28

14 12

B

A

C

X+12 42

A

D E

14 12







Encontrar las medidas de los lados faltantes de los siguientes Δs:

1) 2)

EJERCICIOS DE SEMEJANZA

1) A cierta hora del día un edificio de 60 ft de altura proyecta una sombra de 42 ft ¿Cuál es la longitud de la sombra que proyecta un semáforo de 10 ft de altura a la misma hora?

2) Javier mide 1.6m de estatura, en un momento dado proyecta una sombra de 0.50m de largo. En ese instante el asta bandera del patio del colegio proyecta una sombra de 1.40m. Calcular la altura del asta bandera.

T

Q

P S

R

12 15

x+26

2x

E B

D A

C

5

F 25

x

12

B C

A

D

E

42 ft

10 ft

60 ft

0.5m

1.40m 1.60m

a






3) Una regla de 1.0m de largo se coloca verticalmente en el piso y vemos que proyecta una sombra de 85cm de

largo. En ese instante el poste de la luz proyecta una sombra de 4.80m. Calcular la altura del poste.

4) Para encontrar la anchura de un río se construyeron 2 Δs semejantes, como se muestra en la figura. Y al medir se encontró que: 5 2 ¿Cuál es la anchura del río?

5) Para medir lo largo de un lago se construyeron los siguientes Δs semejantes en los cuales se tiene que: 2 5 ′ 5 ′ ′ 2 ¿Cuál es la longitud del largo?

1.0m

x

4.80m 0.85m

C

E

B A

D

A’

A

B’

C

B






6) Dos buitres acechan a un conejo en su madriguera, parados en dos árboles que se encuentran a una

distancia de 25m uno del otro. El árbol del primer buitre mide 15m de altura, y del segundo, 9m. al salir el conejo a tomar el sol, ambos buitres se lanzan sobre él cogiéndolo al mismo tiempo entre sus garras. ¿A qué distancia estaba el conejo de ambos buitres?

7) Se quiere calcular el ancho de un cañón inaccesible, se decide seleccionar un árbol en la otra orilla (punto A), y en la orilla en que nos encontramos seleccionamos dos puntos, B y C, además sobre la línea un punto D y sobre la línea en el punto E, de manera que Y sean paralelas. ¿Cuál es el ancho del cañón?

d1 d2

25 - x

25 m

15 m

x

9 m

A

A

D

C

E

a

10 m

8 m

3 m






8) Realiza la siguiente actividad geométrica y de acuerdo a lo que observas; investiga el nombre de los

elementos y técnicas geométricas que emplaste en su trazo:

Por un punto dado entre dos rectas concurrentes, hacer pasar una tercera recta que concurra al vértice común. Las rectas son AB y CD, el punto dado es P. Sobre las rectas se dan dos puntos cualesquiera E y F, que se unen entre si y con el punto dado P formando el ΔEFP. A continuación en cualquiera de las rectas, por ejemplo AB se da otro punto arbitrario G. con ayuda de las escuadras, se traza por G una paralela a la recta EF, determinando H sobre CD; por G se traza otra paralela a EP y para finalizar, por H se dibuja, paralela a PF, otra recta que cortará a la anterior en el punto J. la unión de J con P, originará la recta pedida.






APLICACIONES DE SEMEJANZA

Ejemplos:

a) ¿Qué altura tiene un poste que proyecta una sombra de 16 m al mismo tiempo que un observador de 1.80 m de estatura proyecta una sombra de 1.20?

b) Nelly (N) y Caro (C) desean calcular la anchura de un río. Ellas se encuentran en un lado de la rivera y no tienen acceso al otro lado. Por lo que Nelly observa una roca (R) que se localiza al otro lado del río. Carolina avanza 5m hacia el este y observa la roca. En ese instante, Juan (J) se encuentra a 4 m al este de Caro y avanza 3 m hacia el sur y observa la roca. ¿Cuál es el claro del río?

B

16 m

a

C

A

1.8 m 1.20 m

B’

C’

A’

∡ ∡ ∡ ∡

′ ′ ′

2

2

2

2

24

O

N

E

S

𝐴𝑟

3 𝑚

5

4

4 𝐴𝑟 3 5

𝐴𝑟 5

4

𝐴𝑟 3 5 𝑚

𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒏𝒅𝒐

𝟑 𝟕𝟓 𝒎

𝟑 𝟓

𝟒

𝟑 𝟕𝟓 𝟒 𝟑 𝟓

𝟏𝟓 𝟏𝟓

A

N

J

C 3 m 5 m 4 m

R






TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Elementos que lo conforman: Se llaman catetos o lados a los que forman el ángulo de 90°

E hipotenusa a la unión de los catetos o lados En la mayoría de los textos se emplea la letra “C” mayúscula para representar el ángulo de 90°, pero no es una condición y se puede usar cualquier letra. El lector deberá de observar cuidadosamente la simbología. En estos apuntes se empleará la primera característica.

Simbología:

TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo:

Demostración 1: A través de los tiempos el hombre se ha apoyado este teorema para establecer diversas circunstancias, debido a su bondad, se ha preocupado por establecer demostraciones, existiendo una gran gama de ellas. Aquí mostraremos sólo dos de ellas y sugerimos a los alumnos investiguen sobre éstas, a fin de divertirse y observar el trabajo geométrico.

“EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS”

a y b = catetos o lados

c = hipotenusa

A C

B

c

a

b

Se observa que al formar cuadrados en los lados o catetos la

cantidad de éstos forman el cuadrado de la hipotenusa;

dicho de otra manera la cantidad de unidades cuadradas de

los catetos es igual a las unidades cuadradas en la

hipotenusa.

a

b

c

A

B

C






Demostración 2: Se traza la altura sobre la hipotenusa.

∡ ∡ ∡ ∡

∡ ∡ ∡ ∡

Obtención de la hipotenusa. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Ejemplos: Determinar el valor de la hipotenusa del ABC que se muestra, según los datos proporcionados en cada uno de los siguientes incisos:

a) 2 b) 3

A

B

C b

a

c

A b

a

c

B

C

D

a

c

b

2

44

225

√225

u

3

3

45

√45

√ u






Obtención de los catetos. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual a la diferencia de los cuadrados de la hipotenusa y del otro cateto.

Utiliza la figura para determinar el cateto que se pide en cada inciso:

Ejemplos:

a) 24 25

b) 4√3

c) b Resuelve los siguientes ejercicios: Encontrar las medidas de los lados faltantes de los siguientes Δs rectángulos:

1) 3 2) 5

3) 2 4) 2 25

5) √ 5 6)

7) 5√2 8) 5

9) 4 10) 5 2

a

c

b

25 24

25 5

4

√4

u

(4√3)

4 4

√

u

4 3

2

√2

√ u






NATURALEZA DEL TRIÁNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Sea el ΔABC, cuyo lado mayor es el lado “c”, éste será un Δ rectángulo, acutángulo u obtusángulo, si al aplicar el Teorema de Pitágoras se cumple que:

1) Ejemplos:

a) Sea un Δ cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades. Comprobar si es un .

Se toma el valor mayor como la hipotenusa 5 3 4

25

25 25

Por lo tanto el triángulo es rectángulo.

b) Sea el Δ cuyos lados miden 7, 9 y 12 unidades. Determinar qué tipo de triángulo es:

Se toma el mayor de los lados como “c”, entonces:

2

44 4

44 3

3

c) Determinar la naturaleza de un Δ cuyos lados miden 6, 4 y 5 unidades.

Aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene:

4 5

3 25

3 4

4


Determinar la naturaleza de los siguientes triángulos, cuyos lados miden:

1) 4 5 2) 3) 24 25 4)

√

5) 5 6) √2 2 7)

2) {






APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Ejemplos:

a) Determinar la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado “x” cm.

Al trazar la diagonal en un cuadrado, se forman 2 s, entonces:

2

√2

√2

√

b) Al abrir una escalera de pintor, se forma un Δ isósceles, la distancia entre las bases es de 1 m y los lados iguales miden 1.40 m. determinar la altura de la escalera.

La altura de un Δ isósceles divide a la base en 2 partes iguales, formándose 2 :

c) Un automóvil viaja a una velocidad constante de 2 5 ⁄ y pasa por debajo de un puente peatonal. Determinar a los 2 la distancia entre el automóvil y el punto de ubicado exactamente arriba del paso del mismo, si la altura del puente es de 6 m.

3

3

3

√ 3

3 5

y

x cm

x cm

h

1.40m

0.5m

4 5

25

√

3

30m

P

6m d

La altura del puente es de 6 m y a los 12 s el automóvil recorre 12(2.5) = 30m, entonces:






d) Determina el valor de los lados del ΔACB

√𝟏𝟗𝟑

3x

2x-1

A

C B

(√ 3) 3 2

3 4 4

3 4 2

√ 4

2

4 √ 4 4 3 2

2 3

4 √ 4

2

4 √

2

4

2

4

2






e) Calcula la altura de un edificio, si se sabe que desde una altura de sus ventanas, que se encuentran a una altura de 2 m, se pone una escalera que tiene una longitud de 4 m. se sabe también que desde la puerta más alta del edificio a la base de la escalera hay una longitud de 38m.

f) A qué distancia de la pared se encuentra la escalera en la siguiente figura:

2m

x

4m

38m

2 4

√

√ 4

√

√3 2

√ 432

38 x

4

2

a

A

B C

D

h

x

7m

𝒉 𝟓𝒎

𝒙 ?

5

√4 25

√24







Encontrar las medidas de los lados faltantes de los siguientes Δs rectángulos:

1) Carlos tiene un terreno rectangular cuyas medidas son 23 m de ancho por 41 m de largo, por el cual debe atravesar un cable de teléfono para establecer comunicación de la bodega ubicada en la parte final del terreno, empleando la mínima cantidad posible de cable de teléfono. ¿Qué medida deberá tener el cable?

2) Calcular la distancia que debe recorre el teleférico, sabiendo que debe salir de la estación de servicio y llegar a al cima de la montaña cuya altura es de 650 m, como se muestra en la siguiente figura:

3) 4)

√𝟏𝟔𝟗

2x+3

2x+1

A

C

B

𝒙 𝒙

𝟏

𝟓 A C

B

41 m

23 m

Teléfono

Cable ⇒

4 𝑚

5 𝑚






5) Un televisor de 5 de ancho por 5 5 de altura se anuncia a la venta con pantalla de 25 , ¿Por

qué se anuncia así? Explica y demuestra.

TERNAS PITAGÓRICAS

Existen medidas de s que satisfacen el Teorema de Pitágoras, tales como Estas se conocen como Ternas Pitagóricas y se forman con la siguiente relación:

2 Ejemplo:

a) ¿Qué terna pitagórica se forma con los números 7 y 5?

5

2 4 25 2 5 4 25

24 4

4

3

5

8

15 17

9

41

40

2

2 2 2 2

4 2

2 4

2

2






4 24

54 5 4 54 54


Encontrar las ternas pitagóricas con las siguientes parejas de números:

1) 3 2) 5

3) 4) 5 4

5)

PERIMETRO Y ÁREA

Perímetro. De un polígono, se define como el contorno de una figura. Se obtiene con la suma de sus lados. Semiperímetro. Se define como el promedio de los lados del triángulo. O la semisuma de los lados del triángulo

Superficie. Se define como la región limitada por la figura en dos dimensiones. Es frecuente emplear superficie y área como sinónimos, sin embargo ésta se entiende como el valor numérico de la superficie determinada por la expresión algebraica, denominada fórmula, de acuerdo a la forma de la figura geométrica.

Para los triángulos la formula general es:

b

c a

c

b

a h c

b

a

h a

b

c

h






Área de un triángulo en función de sus lados denominada Fórmula de Herón de Alejandría.

√

Particularmente el área de un triángulo equilátero es:

√

Demostración 1: Fórmula de Herón de Alejandría

?

2 ?

2

4

4

4

2 2

4

[ ][ ]

4

4

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

4

2

√

2 √






√ Demostración 2: Fórmula de área de triángulo equilátero

√

2 2

3

3 2

2

3

2 4

√3

2(3

2 ) (

3

2 ) (

3

2 ) 5

3

2

3 2

2

2

5

√3

2

2

2

2

√3

√

Ejemplos: a) Determinar el perímetro y área de un triángulo isósceles, si los lados miden 3, 3 y 5cm.

3 3 5

√

2

3 3 5

2

2






√

2(

2 3) (

2 3) (

2 5) √

2(5

2) (

5

2) (

2) √

25

√

2 5

√

b) Calcular el área del triángulo equilátero de 85 cm por lado.

√

√

√

𝒍 𝒍

𝒍

𝒍 𝒍

𝒍

√ 5 42 5 √ 225 25 √54 5 3

5 3

2

25 5

2

Regularización Jun 2013 Guía Geo Y Trigo

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