USMP guia de trigo y geo pre

Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes

CICLO REGULAR 2014 – II

PUEBLO LIBRE 2014

MANUAL DE LA ASIGNATURA

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

2

ÍNDICE DE CONTENIDO

UNIDAD DE APRENDIZAJE I: ÁNGULOS, TRIÁNGULOS, LINEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Y CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS PRIMERA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Ángulos: Clasificación. Teoremas y propiedades elementales ............................. 4 SESIÓN 02: Seminario Práctico ............................................................................................................ 8

SEGUNDA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Triángulos: clasificación. Teoremas elementales ............................................... 12 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 14

TERCERA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Líneas notables en un triángulo. ........................................................................ 18 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 21

CUARTA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Congruencia de triángulos. ................................................................................ 23 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 27

UNIDAD DE APRENDIZAJE II: CUADRILÁTEROS, CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO,

PERÍMETRO, ÁREA Y POLIEDROS

QUINTA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Cuadriláteros: paralelogramos, trapecios ........................................................... 30 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 33 SEXTA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Circunferencia y círculo: elementos y propiedades. ........................................... 36 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 43 SÉPTIMA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Perímetro y área: circunferencia, triángulos, círculos y cuadriláteros ................. 49 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 56

3

OCTAVA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Poliedros: ángulos diedro y triedro. .................................................................... 60 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 65 UNIDAD DE APRENDIZAJE III: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOVENA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Razones trigonométricas ................................................................................... 67 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 70 DÉCIMA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Reducción al primer cuadrante. ......................................................................... 78 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 83 DÉCIMA PRIMERA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Identidades trigonométricas ............................................................................... 84 SESIÓN 02: Seminario Práctico ........................................................................................................... 92 DÉCIMA SEGUNDA SEMANA SESIÓN 01: Tema 1: Resolución de triángulos rectángulos................................................................. 95 SESIÓN 02: Seminario Práctico ......................................................................................................... 100

4

UNIDAD I: ÁNGULOS, TRIÁNGULOS, LINEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Y CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

PRIMERA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: ÁNGULOS

DEFINICIÓN.

Se llama ángulo, a la reunión de dos rayos

que tienen el mismo origen sin que se

encuentren en la misma línea recta.

Elementos: Vértice : O

Lados :

OA y

OB

Notación:

AOB: se lee, ángulo AOB

1.1. MEDIDA DE UN ÁNGULO. Un ángulo se mide con un instrumento llamado transportador, el cual señala la cantidad de grados sexagesimales

que indican su medida. (mAOB = )

1.2. DE UN ÁNGULO. BISECTRIZ

Es el rayo que divide al ángulo en dos, de igual medida.

𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ =Bisectriz

1.3. CLASIFICACIÓN. 1.3.1. Según su medida:

Ángulo Agudo: Su medida es menor

que 90°.

Ángulo Recto: Su medida es igual a

90°.

Ángulo Obtuso: Su medida es mayor

que 90°

Recto Agudo Obtuso

Observaciones:

1) La medida de un ángulo

geométrico es mayor que 0° y

menor que 180°.

2) Cuando los lados del ángulo están

en sentidos contrarios, éste

degenera en recta.

1.3.2. Según la suma de sus medidas:

Ángulos Complementarios: Son dos

ángulos cuya suma de medidas es 90°.

0° << 180°

5

Ángulos Suplementarios: Son dos

ángulos cuya suma de medidas es 180°.

Observaciones:

1) El complemento de un ángulo se

denota como C .

2) El suplemento de un ángulo se

denota como S .

Ejemplo (1): El complemento de 41°es

Resolución: C41° = 90°- 41°= 49°

Ejemplo (1): El suplemento de 120°es

Resolución: S120° = 120° - 60° = 60°

1.3.3. Según su posición:

Ángulos adyacentes: Tienen el mismo

vértice, un lado común y los otros en

semiplanos distintos.

Ángulos Consecutivos: Son los que se

encuentran uno a continuación de otro.

Par Lineal: Son dos adyacentes, cuyas

medidas suman 180º.

Ángulos opuestos por el vértice: Son

aquellos en que los lados de uno son los

opuestos de los lados del otro.

Ángulos adyacentes

Los ángulos AOB y BOC son

adyacentes.

Ángulos Consecutivos

Los ángulos AOB, BOC, COD y

DOE son consecutivos

Par Lineal

α+β=180°

Ángulos opuestos por el vértice

x = y

x =y

+ = 180°

6

Observación:

a)

b)

y

xz

w

1.4. ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS

PARALELAS Y UNA SECANTE A

ELLA.

Si las rectas L1 y L2 son paralelas y L3

es una secante a ellas, tendremos las

relaciones entre pares de ángulos:

1.4.1. Ángulos alternos

Ubicados a uno y otro lado de la

secante, en su intersección con

cada paralela; tienen igual medida.

Pueden ser:

. Alternos internos: = = .

. Alternos externos: = = .

1.4.2. Ángulos correspondientes

Los que tienen sus lados dirigidos

en el mismo sentido. Miden igual:

= ; = ; = ; = .

1.4.3. Ángulos conjugados

Ubicado a un mismo lado de la recta

secante y en su intersección con

cada paralela. Son suplementarios.

. Conjugados internos:

+ = 180° ; + = 180°.

. Conjugados externos:

+ = 180° ; + = 180°.

1.5. TEOREMAS.

1.5.1. Si

21 LL // , entonces:

1.5.2. Si


+ + + = 180°

x + y + z + w = 360°

x = +

x = 2y

7

1.5.3. Si


1.5.4. Si


1.6. ÁNGULOS DE LADOS

PARALELOS.

Si estos están dirigidos en el mismo

sentido o en sentidos contrarios, son

congruentes.

Si estos están dirigidos unos en el

mismo sentido y los otros dos en

sentidos contrarios, son

suplementarios.

1.7. ÁNGULOS DE LADOS

PERPENDICULARES.

Si ambos son obtusos o agudos, tienen

igualmedida. Si uno es agudo y el otro

obtuso, son suplementarios.

+ + + + = 180°

x + y = + +

=

+ = 180°

=

=

= =

=

+ = 180°

8

PRIMERA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE ÁNGULOS QUE SE INDICAN A

CONTINUACIÓN:

01.- De la figura calcule el valor de “x”, si la mAOD = 120º y la mBOC = 20’.

02.- En la figura mAOX = 130º y OX es bisectriz del ángulo BOC. Calcule la mAOB.

03.- Del gráfico determine el valor de “x”

04.- Si: mAOC + mBOD = 130º, calcule “x”

x°

A B

C

D O

x° 2°

5°

D

C

B A

O

3x° 2x°

C

X B

O A

ÁNGULOS

ACTIVIDAD N°1

9

05.- Calcule “x”, si - = 6º

06.- Si el complemento de “” y el suplemento de “” suman 70°, calcule “x”.

07.- En la figura, calcule el ángulo “x”, si: mBON=22°, ON es bisectriz de AOX y OM es

bisectriz de AOX’.

08.- Calcule “x” en la figura, si: mPOR=100°

09.- En la figura, calcule “+”; si el ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD es 90º.

°

°

x°

x° °

°

120°

10

B. A PARTIR DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS PROCEDA A PLANTEAR LOS

PROBLEMAS Y RESUELVA.

10.- Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD cuyas medidas son proporcionales

a 4; 3 y 5 respectivamente, tal que la mAOD=120º. Calcule la mAOC.

11.- Se tiene dos ángulos consecutivos AOB y BOC de manera que OM es bisectriz del ángulo

BOC.

Si la mAOB + mAOC = 136º. Calcule la mAOM.

12.- Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC en donde se trazan las bisectrices OM y

ON de los ángulos AOB y MOC respectivamente, halle la mNOB, si:

mAOC – 3mAOM = 36º. ( BOC >AOB)

13.- Sean los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan OX, OY y OZ bisectrices de

los ángulos AOB, COD y XOY respectivamente. Halle mBOZ, si: mBOY - mAOX =

36°.

14.- Sean los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan la bisectriz OM y ON de

AOC y BOD. Halle mMON, si: mAOB + mCOD = 152°.

15.- Si a la medida de un ángulo se le disminuye su suplemento resulta 20º. ¿Cuánto mide

dicho ángulo?

16.- Las medidas de dos ángulos complementarios están en la relación de 4 a 5. Calcule el

suplemento del mayor.

17.- La suma de las medidas de dos ángulos es 60º y si el complemento del primero es el

doble del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos.

18.- Si a uno de dos ángulos suplementarios se le disminuye su complemento para

agregárselo al otro: éste nuevo ángulo resulta ser ocho veces lo que queda del primero.

Calcule el menor de dichos ángulos suplementarios.

19.- Si: se cumple: x 2xCCC SSSSS 210º

Halle el complemento de “x”

20.- Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento. ¿Cuál es la medida

del ángulo?

11

C. RESUELVA LOS PROBLEMAS DE ÁNGULOS ENTRE RECTAS PARALELAS QUE SE

INDICAN A CONTINUACIÓN:

21.- Halle “x”

22.- Halle “”

23.- Halle “x”

24.- Halle “x”

25.- Halle “x”

26.- Si: L1//L2 , halle “”

27.- Halle “x”

28.- Halle “y”

29.- Si: L1// L2 , halle “x”

30.- Halle “x” en la figura:

12

SEGUNDA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN.

El triángulo es la figura formada por la

unión de los tres segmentos determinados

al unir tres puntos no colineales.

Elementos:

Vértice : A, B y C

Lados : CA y BC AB,

Notación:

ABC: se lee, triángulo ABC

Observación:

El perímetro del triángulo indica la suma

de longitudes de los lados y se simboliza

generalmente como 2p.

Así: 2p = AB + BC + AC, de donde:

AB BC AC

2p

es el semiperímetro.

1.1. CLASIFICACIÓN.

1.1.1. POR SUS LADOS

Triángulo Escaleno: No tiene lados

congruentes.

Triángulo Isósceles: Tiene dos lados

congruentes; el tercero se llama base y los

ángulos en la base son congruentes.

Triángulo Equilátero: Tiene sus tres lados

congruentes. Cada ángulo interior mide

60°.

Triángulo Triángulo Triángulo

Escaleno Isósceles Equilátero

1.1.2. POR SUS ÁNGULOS

Triángulo Rectángulo: Tiene un ángulo

recto. El mayor lado se llama hipotenusa

y los otros, catetos.

Triángulo Oblicuángulo: No tiene

ángulo recto. Se llama acutángulo si sus

tres ángulos interiores son agudos y

obtusángulo si un ángulo interior es

obtuso.

Rectángulo Acutángulo Obtusángulo

13

x

1.2. TEOREMAS BÁSICOS.

a) Las medidas de los tres ángulos

interiores suman 180°

b) Cada ángulo exterior mide igual

que la suma de dos interiores no

adyacentes a él.

c) Las medidas de los tres ángulos

exteriores, uno por cada vértice,

suman 360°.

d) Cualquier lado es mayor que la

diferencia de los otros dos y menor

que la suma de ellos.

Si a b c,

entonces:

e) En un mismo triángulo: A mayor

ángulo se opone mayor lado, y

viceversa.

Si

entonces:

1.3. TEOREMAS AUXILIARES.

+ + = 180°

= +

+ + = 360°

c – a< b < c + a

>

b > a

x = + +

+ = +

14

SEGUNDA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS QUE SE INDICAN A

CONTINUACIÓN:

01.- Halle: m ABC

02.- Si: AB=BC=BD, calcule "x+y"

03.- De la figura, determine entre qué

valores se encuentra “x”

04.- Halle: m RBC. Si: BR=BC.

05.- En la figura, halle: m ABC.

06.- En la figura AP es bisectriz del ángulo

"A". Halle: m ABC.

TRIÁNGULOS

ACTIVIDAD N°1

15

07.- En un triángulo ABC, se traza BP ("P"

está en ÁC) de tal manera que: BP=PC.

Halle la medida del ángulo ABC, sabiendo

además que:

m ABP – m BAC = 40°

08.- Calcule "++"

09.- Calcule "x"

10.- En la figura el triángulo ABC es

equilátero. Calcule su perímetro, si:

AB = 2x + 1 y BC = 3x - 2.

11.- Calcule el mayor valor impar de "x'".

12.- Calcule el menor valor entero de "x".

13.- Calcule "x"

14.- Calcule "x"

15.- Calcule "x'", si: AC = BC

16.- Los lados de un triángulo isósceles

miden 5u y 13u. Halle su perímetro.

17.- Calcule "x"

16

18. Calcule "x'", si: AB = BC = AD.

19.- En un triángulo las longitudes de dos

lados son 7u y 8u respectivamente. Halle el

perímetro del triángulo, si la longitud del

tercer lado es el doble de la longitud de uno

de los otros lados.

20.- Dos lados de un triángulo miden 8 y

15. Determine el mínimo valor entero del

tercer lado; si su ángulo interior opuesto es

obtuso.

21.- Si en el gráfico: AB=BD=DE=EC,

calcule “x”

22.- Las longitudes de los lados de un

triángulo están en progresión aritmética de

razón 11. Halle el mínimo valor entero que

puede asumir el perímetro del triángulo.

23.- Halle “x”

24.- En el gráfico, x+y = 260º, calcule

aº+bº+cº+dº

25.- En el gráfico el triángulo ABC es

equilátero. mBCD = 90º y BC = CD.

Calcule mADB

26.- Calcule “” de la figura, si: AB=BC=BD

27.- En el gráfico, halle “x”.

Si: AB = BC = AD

17

28.- En el gráfico: DE = EC = CF = FG.

Calcule: “”

29.- En el gráfico, calcule x – y

30.- Según la figura AD y BE son

bisectrices de los ángulos BAC y HBC

respectivamente y mAPB = 3mBCA,

calcule: m BCA

m BAC

18

TERCERA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: LÍNEAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

1.1. Mediana: Segmento que une un

vértice con el punto medio del

lado opuesto.

B

A C

BM: mediana

1.2. Mediatriz: Recta perpendicular a

un lado, en su punto medio.

B

A C

L : mediatriz

1.3. Bisectriz interior: Segmento de

bisectriz de un ángulo interior,

limitado por el lado opuesto.

1.4. Bisectriz exterior: Segmento de

bisectriz de un ángulo exterior,

limitado por la prolongación del

lado opuesto.

B

A C E

BE : bisectriz exterior

1.5. Altura: Segmento perpendicular

a un lado o a su prolongación,

trazado desde el vértice opuesto.

Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo

Triangulo obtusángulo

1.6. Ceviana: Es aquel segmento que

parte de un vértice y cae en

cualquier punto del lado opuesto

o de su prolongación.

L

M

B

α α

D

BD: Bisectriz exterior

19

B

1.7. TEOREMAS AUXILIARES

a. Ángulo entre la bisectriz

interior y exterior de un

ángulo de un triángulo

b. Ángulo entre bisectrices

interiores en un triángulo.

c. Ángulo entre bisectrices

exteriores en un triángulo.

d. Ángulo entre bisectrices

interior y exterior:

e. Ángulo en el pie de la

Bisectriz interior:

f. Ángulo entre Altura y

Bisectriz interior:

x = 90°+2

Bm

φ=90°2

m A

2x

A

2

m B

A C

B

X

α

α

B

α α

β β

X

α α θ θ

M N

B

A C

mMBN=90°

20

PROBLEMAS RESUELTOS

01.- Calcule “x” en la figura, si: mB=90°,

AE es bisectriz del ángulo BAC y HE

bisectriz del ángulo BHC.

Resolución

Luego:

Propiedad: x = 2

42= 21°

02.- En la figura mostrada, halle “x”, si: a+b

= 260°

Resolución:

f) En el ABC

a+b+2 = 360°

260°+2 = 360 = 50°

g) Luego: en el CPL

Por propiedad : x = 2

x = 2

50x = 25°

03.-En la figura, calcule Xº

Resolución

Por Angulo externo

x = y + 25º ........ (I)

y = 35º + 20º .....(II)

(II) en (I)

x = 35º + 20º + 25º x = 80°

04.- En la figura, EFGH es un cuadrado.

Halle el valor de x

Resolución

En el triángulo PAH

75º + 45º + y = 180º

y = 60º ..... (I)

En ABC

x + y = 90 ...... (II)

(I) en (II)

x + 60º = 90º

x = 30º

20°

35° 25°

x

y

75°

E

F H

G

x

75°

E

F H

G

x

P

A

C y

45°

45°

21

TERCERA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE LÍNEAS NOTABLES QUE SE

INDICAN A CONTINUACIÓN:

01.- SI: BH y CD son alturas y

mB+mC=110º. Calcule “x”.

02.- SI CH es altura y AD es bisectriz y

mB+mC=118º. Calcule “x”.

03.- Halle “x”

04.- Halle “x”

05.- Halle “x”

06.- Halle “x”

07.- Halle “x”

08.- Halle “x”

LÍNEAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

ACTIVIDAD N°1

22

09.- En la figura, halle GM, si “G” es

baricentro del triángulo ABC y BM = 12

10.- En la figura halle GM + GN, si BM=27

y AN = 36

B. A PARTIR DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS PROCEDA A PLANTEAR LOS

PROBLEMAS Y RESUELVA.

11.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH. La bisectriz del HBC

intersecta en P a HC. Si AB=5, calcule el máximo valor entero de BP.

12.- En un triángulo ABC, mB = 90° la bisectriz del ángulo exterior A intersecta en P y Q a

las prolongaciones de CB y de la altura BH respectivamente, si BP=13 y HQ=7. Calcule BH.

13.- En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se traza la altura AH. Calcule la mHAC, si

mB=80°.

14.- En un triángulo ABC: mA = 20° y mC = 40°. Calcule la medida del menor ángulo

formado por las alturas que parten de A y C.

15.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz interior

AD, las cuales se intersectan en P. Si BP=6 y DC=13, Calcule BC.

16.- En un triángulo ABC, si I es el incentro y la suma de las medidas de los ángulos exteriores

de A y B es 290°, calcule la mAIB.

17.- En un triángulo ABC la bisectriz exterior en A y la bisectriz interior en C se intersectan en

E. Si el ángulo AEC mide 12° menos que el ángulo ABC, calcule la medida del ángulo ABC.

18.- En un triángulo ABC las bisectrices exteriores en B y C se intersectan en E. Si la medida

del ángulo BAC es el triple de la medida del ángulo BEC, calcule la medida del ángulo BEC.

19.- En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH y la mediana BM, tal que AH =

5 y HC = 11. Calcule HM.

20.- En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD.

Si: mA=2mC ; AB=8 ; BC=13. Calcule AD.

23

CUARTA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

En general, dos figuras congruentes tienen

la misma forma e igual tamaño. En

particular, dos triángulos congruentes tienen

sus lados y ángulos respectivamente

congruentes, de tal manera que:

A lados congruentes se oponen

ángulos congruentes y viceversa.

ABC DEF

1.1. POSTULADOS DE LA

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos serán congruentes si tienen

tres pares de elementos congruentes siendo

uno de ellos por lo menos un lado. Así, los

postulados de la congruencia indican que

dos triángulos serán congruentes, si tienen...

a. Postulado ALA:

Un lado y los ángulos adyacentes,

respectivamente congruentes.

b. Postulados LAL:

Dos lados y el ángulo comprendido,

respectivamente congruentes.

c. Postulado LLL:

Los tres lados congruentes

d. Caso Particular ALL o LLA:

Dos lados congruentes y congruente el

ángulo que se opone al lado congruente

mayor

e. Distancia de un punto a una recta

o segmento:

Es la perpendicular trazada de dicho punto

a la recta o segmento.

F D A

E

C

B

d

P

A

B d

P

24

1.2. TEOREMAS DE LA

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

a. TEOREMA DE LA BISECTRIZ

Cualquier punto de la bisectriz de un

ángulo, equidista de los lados del

ángulo.

B

F

P y

A H C P, equidista de

AB y

AC

b. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ

Todo punto situado en la mediatriz de

un segmento, equidista de sus

extremos.

P

P, equidista de

A y B.

A M B

c. TEOREMA DE LA BASE MEDIA

En todo triángulo, el segmento que

une los puntos medios de dos lados

es paralelo al tercer lado y mide la

mitad de este último.

Si: AM = MB

y BN = NC

entonces:

y

d. TEOREMA DE LA MEDIANA EN

EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

En cualquier triángulo rectángulo, la

mediana relativa a la hipotenusa mide

la mitad de dicha hipotenusa.

C

M

A B

e. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

NOTABLES

Llamamos así a aquellos triángulos en los

que son conocidas las medidas de los

ángulos agudos y las relaciones entre las

longitudes de los lados. Algunos de estos

ángulos que vamos a estudiar tienen dichas

medidas exactas y otros, aproximadas.

a. Triángulo rectángulo isósceles (45°,

45°)

45°

a 2 a

45°

a

b. Triángulo rectángulo de 30° y 60°

PF = PH

AF = AH

PA = PB

ACMN //

2

ACMN

2

ACBM

MCBMAM

B

M N

A C

Hipotenusa =(cateto)x 2

hipotenusacateto=

2

2a

a

a 3

60°

30°

25

c. Triángulo rectángulo de 15° y 75°

C

A 15°

A H B

d. Triángulo rectángulo de 37° y 53°

(Aproximado)

53°

5k

37° 3k

4k

e. Otros casos aproximados:

2

53 = 26,5° = 26°30´

4a

4

ABCH

18,5° 3a

a

4ª

a

14°

8° 7a

a

a

2a

74° 7a 25a

16° 24a

26

PROBLEMAS RESUELTOS

01.- En la figura: AE=BC, BE=AD. Calcule

x.

Resolución:

En la figura: EAD EBC(LAL)

Luego: mBCE= mAED=β

mBEC= mEDA=α

EC=ED

BEC: α+β=90°

En “E”:

α+β+ mCED=180°

90°+ mCED=180°

mCED=90°

DEC(isósceles):

2x+90°=180°

x=45°

02.-En el triángulo ABC, donde mA+

mC=58°, se trazan las mediatrices

de los lados AB y BC que interceptan

al lado AC en “P” y “Q”. Calcule

mPBQ.

Resolución:

Por mediatriz de AB:

AE=EB

mA= mABE=α

Por mediatriz de BC:

BQ=QC, mC= mQBC=β

Por dato: α+β=58°

En “B”: α+β+x=180°-58°

58°+x=122°

x=64°

03.-En el triángulo ABC se traza la ceviana

AN que interseca a la mediana BM en su

punto medio “E”. Calcule AE si EN=2m.

Resolución:

Se traza MP paralelo a AN.

MBP: Por base media:

MP=2(EN)=2(2)=4

ANC: Por base media:

AN=2(MP)

X+2=2(4)…….X+2=8

X=6m

04.-En el triángulo escaleno ABC se trazan

las bisectrices de los ángulos A y B que

se intersecan en E, además

mABC=120°. Calcule BE si la

distancia del punto E al lado AC es 6m.

Resolución:

2θ=120°…..θ=60°

Por bisectriz del A:

EP=EQ=6

BPE: 60°:

BE=2(6/ 3)

BE=4 𝟑m

05.- En el triángulo rectángulo ABC donde

mABC=90°, mBCA=22,5° y

AC=12m. Calcule la medida de la altura

BH.

Resolución:

Se traza la mediana BM, tal que:

BM=AM=MC=6m

BMC es isósceles y 2α=45°

BHM, por ángulo de 45°……x=3 𝟐

a

x E

A

C

D

B

α

α

β

β

a

b

b

x E

A

C

D

B

2

M

P x E

A C

N

B

b b

a

a

x

Q

α α β

β

E A C

B

x

Q

α α

θ P

E

A C

B

6

θ

C

6 6

A

B

H M

α

π

α

π

2α

π

6 α=22.5°

dato

27

CUARTA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS QUE SE INDICAN A

CONTINUACIÓN:

01.- Calcule “x”

02.- Halle QT, si: PQ = 5 ; ST = 12 y PR =

RS

03.- Calcule “x+y”


05.- Si : AC = EC , AB = 6 ; ED = 9. Calcule

BD

06.- Halle “PQ”, Si AB = 17 y AH = 8.

07.- Calcule “”, si: AP = BC y PM es

mediatriz de AC.

08.- Halle PQ, si: AB = 8 y BC = 15

20° 20°

x°

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULO

ACTIVIDAD N°1

28

09.- En la figura, calcule “x”; 2BP = PC

10.- Si: L es mediatriz de AC, calcule “x”

11.- BM es mediatriz de AD; BN es

mediatriz de DC y AB = 0,9

Halle “BC”

12.- Halle “AB” , si: NC = 12

a) 8

b) 10

c) 12

d) 14

e) 16





17.- En un triángulo rectángulo, calcule la

mediana relativa a la hipotenusa si los

catetos miden 7 y 24.

18.- En un triángulo ABC (B=90º) se traza

la mediana BM. Si mABM=70º, calcule:

mACB

19.- Se tiene un triángulo rectángulo ABC

(B=90º), se traza la mediana BM y la altura

BH, tal que mHBM=50º. Calcule: mC.

20.- Si: (AB)(NR) = 32cm2. Halle “AB”

29

21.- Halle “BQ”, si: AC=16

22.- Halle “MN”, si: AB=8cm y AC=18cm

23.- Si: AM=MC y HN = k . Halle: AC

24.- Si: AB=9cm; BC=13cm y AC=14cm.

Halle MN

25.- Halle MH.

26.- Si: AC=24u y BC=16u. Halle MH

27.- Si: MN//BE y MN=6cm. Halle “BF”

28.- En un triángulo ABC: m∢A=105

m∢C=25º y AB=9. Si la mediatriz de

interseca a en “P”. Calcule “PC”

29.- En un triángulo rectángulo ABC recto

en “B”; sobre la hipotenusa se ubica un

punto “D” tal que m∢ABD=24º y m∢C=38º.

Calcule “AC” si además BD=5

30.- Dado un triángulo equilátero ABC, sea

“P” punto de y “Q” un punto exterior

relativo al lado de modo que los

triángulos BP y BQC son equiláteros.

Calcule la m∢CAQ.

30

UNIDAD II: CUADRILÁTEROS, CIRCUNFERENCIA Y

CIRCULO, PERÍMETRO, ÁREA Y POLIEDROS

QUINTA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: CUADRILÁTEROS

DEFINICIÓN. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Los cuadriláteros pueden ser: convexos y no convexos.

°

Convexo No convexo

+ + = 360 x = + +

1.1. CLASIFICACIÓN

Considerando el paralelismo de sus lados los cuadriláteros se clasifican en:

a. TRAPEZOIDE

Es un cuadrilátero en el que ningún par de lados opuestos son paralelos.

Un caso particular de los trapezoides, es el trapezoide simétrico o bisósceles.

OBSERVACIÒN:

Trapezoide simétrico: Es aquel trapezoide en el cual una diagonal es mediatriz de la otra diagonal.

En la figura AC es mediatriz de BD;

luego AB = AD y BC = CD.

b. TRAPECIO

Es un cuadrilátero en el que un solo par de lados opuestos son paralelos. Estos lados paralelos se llaman bases del trapecio.

El segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos se denomina mediana del trapecio o base media; el segmento perpendicular entre las bases viene a ser la altura del trapecio.

Base menor Altura

Mediana

Base mayor

1.2. TEOREMAS

a. TEOREMA

En todo trapecio, la mediana es paralela a las bases y su longitud es igual a la

β

° β°

α θ α إل°

x

D

B

C A

31

semisuma de las longitudes de las bases.

2

BCADMN

b. TEOREMA

En todo trapecio la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases.

PQ = 2

BCAD

1.3. CLASES DE TRAPECIOS

a) Trapecio escaleno.-Es el trapecio que tiene sus lados no paralelos no congruentes.

b) Trapecio rectángulo.- Un trapecio escaleno se llama trapecio rectángulo si uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases.

Altura

c) Trapecio isósceles.- Es el trapecio que tiene sus lados no paralelos congruentes. En un trapecio isósceles las diagonales son congruentes.

1.4. PARALELOGRAMO Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que dos pares de lados opuestos son paralelos.

𝑨𝑩̅̅ ̅̅ //𝑪𝑫̅̅ ̅̅

𝑩𝑪̅̅ ̅̅ //𝑨𝑫̅̅ ̅̅

a. TEOREMA

En un paralelogramo, dos lados opuestos y dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes.

b. TEOREMA

Los diagonales de un paralelogramo se bisecan.

a

B C

A D

M N

B C

A D

M N

P Q

B C

A D

α β

°

α

B C

A D θ

B C

A

C B

A D

B C b

β

° α a

α β

°

A D

b

D

32

1.4.1. CLASIFICACIÓN DE LOS PARALELOGRAMOS

a) Rectángulo.-Es un paralelogramo cuyos cuatro ángulos son rectos.

Las diagonales del rectángulo son congruentes.

o

b) Rombo.- Es un paralelogramo cuyos lados son congruentes entre sí. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.

° °

° °

° °

° °

c) Cuadrado.-Es un rectángulo que tiene sus cuatro lados congruentes. Es el cuadrilátero regular.

45° 45°

45° 45°

45° 45°

d) Romboide.-Es el paralelogramo que no es cuadrado, rectángulo ni rombo es el paralelogramo propiamente dicho.

𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ≠ 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ ,𝒎𝑨 ≠ 𝒎𝑩

A

B C

D

B C

A D

B C

A D

B

A C

D

33

QUINTA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

01.- Halle “x”


03.- Si ABCD es un romboide, calcule “x” 04.- Calcule “x”, si ABCD es un trapecio isósceles 05.- Si ABCD es un cuadrado, DM = MC y AQ = 6. Calcule MQ.

CUADRILÁTEROS

ACTIVIDAD N°1

34

06.- Si: ABCD es un romboide, calcule “x”:

07.- Si ABCD es un trapecio rectángulo y CM = MD. Calcule “x”. 08.- En el trapecio isósceles ABCD, calcule “x”, si: AP = PC = BD P 09.- En un trapecio isósceles, las bases miden 8 y 14cm respectivamente. Si los lados no paralelos determinan con la base ángulos de 53° ¿Cuánto mide la altura?

10.- La mediana de un trapecio mide 8cm y el segmento determinado por los puntos medios de las diagonal es mide 2 cm. ¿Cuánto miden las bases del trapecio?

11.- En la figura, calcule BQ si ABCD es un paralelogramo.

12.- Se tiene un cuadrado ABCD y DECF de modo que F es exterior al cuadrado ABCD.

Calcule la mAFB.

35

13.- Si: AD=6, BC=10 y CD=8. Calcule “MN” sabiendo que AB=4AM.

14.- En la figura: JKMN es un cuadrado y KL=KM .Calcule “” 15.- Si “G” es baricentro del triángulo ABC. Halle GH. Si: AE=5 y CF=4 16.- En la figura: ABCD es un cuadrado. CDE: triángulo equilátero. Halle “x”. 17.- En la figura AE+DG = 16. Calcule SF 18.- Siendo “o” centro del cuadrado y si EF=10cm, halle “x”

36

SEXTA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

DEFINICIONES.

1.1. CIRCUNFERENCIA Es el conjunto de los infinitos puntos del plano que equidistan de otro punto fijo del mismo plano llamado centro.

1.2. CÍRCULO Parte del plano limitada por la circunferencia y los puntos de ella.

En la circunferencia se observan:

Centro : O

Radio : R

Cuerda : EF

Diámetro : AB

Flecha : PQ

Arco : FB

Recta secante:

sL

Recta tangente:

TL

P F

E Q

R

A B O

Lt

N

Ls

37

1.3. POSICIÓN RELATIVA DE UN PUNTO.

a) B, pertenece a la circunferencia. b) A y C, no pertenece a la circunferencia. c) A, no pertenece al círculo. d) B y C, pertenecen al círculo.

1.4. POSICIONES RELATIVAS DEDOS CIRCUNFERENCIAS

1.4.1. CONCÉNTRICAS: Si tienen el mismo centro.

1.4.2. EXCÉNTRICAS: Si no tienen el mismo centro. Las excéntricas pueden ser:

a) EXTERIORES:

𝑶𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒅(distancia entre centros)

d > R + r

b) TANGENTES EXTERIORES:

d = R + r

A B

C

r R

O O1

O1

R r O

38

c) SECANTES:

d< R + r

d > R – r

d) TANGENTES INTERIORES:

d = R – r

e) INTERIORES:

d < R – r

1.5. ÁNGULOS RELACIONADOS CON ARCOS DE CIRCUNFERENCIA

1.5.1. ÁNGULO CENTRAL:

x =

1.5.2. ÁNGULO INSCRITO:

αx=

2

1.5.3. ÁNGULO INTERIOR:

α+θx=

2θ

R r

O O1

O1 O

d

R r

d

x

α

O

x

α

x α

θ

39

1.5.4. ÁNGULO SEMINSCRITO:

αx=

2

tangente

1.5.5. ÁNGULO EXTERIOR:

a) Dos secantes:

2

x

b) Tangente y Secante:

2x

c) Dos tangentes:

2

x

Además:

x + = 180°

- x = 180°

α

x

x

α

x

θ

α

x

α

θ

40

1.6. TEOREMAS BÁSICOS

1.6.1. El radio trazado al punto de tangencia con una recta, es perpendicular a ella.

x= 90°

1.6.2. Los segmentos tangentes trazados desde el mismo punto, son congruentes.

PA = PB

A y B: Puntos bde tangencia

PO biseca el APB

1.6.3. En la misma circunferencia, arcos congruentes subtienden cuerdas congruentes y recíprocamente.

Si: AB CD,

entonces: CDAB

1.6.4. Todo diámetro perpendicular a una cuerda, divide dicha cuerda y a los arcos en partes congruentes.

AB : diámetro

Si AB CD ,

entonces:

MDCM y CB BD

A

O

T

x

O P

α

B

B

A

C

D

D

C

A

B

O

M

41

1.6.5. En la misma circunferencia, cuerdas paralelas determinan arcos congruentes.

Si ABCD// , entonces

AC BD

1.6.6. Los ángulos inscritos en cualquier semicircunferencia, son rectos.

diámetroAB :

x = 90°

= 90°

1.7. TEOREMAS AUXILIARES

1.7.1. Teorema de Poncelet

En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de los catetos es igual a la suma de longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita.

r

r: inradio del ABC

AB + BC = AC + 2r

1.7.2. Teorema de Pitoth

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de longitudes de los otros dos.

AB + CD = AD + BC

C

D

A

B

A

B

C

r

A

B

C

D

B

A

O

α

x

42

OBSERVACION: Teorema de la Circunferencia Exinscrita a un Triángulo

p: semiperímetro

del ABC

AT = AF = p

1.8. CUADRILÁTERO INSCRITO Tiene sus cuatro vértices en la misma circunferencia. Se cumple que:

a) Los ángulos interiores opuestos son suplementarios.

+ = 180°

b) Las diagonales determinan ángulos congruentes con los lados opuestos.

=

c) Cada ángulo exterior mide igual que el ángulo interior opuesto.

=

Nota:Un cuadrilátero será inscriptible en una circunferencia

si cumple con cualquiera de las propiedades del cuadrilátero

inscrito

A

B

F

E

T

A

B

C

D

α

β

α

ω

θ

α

43

SEXTA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

01.- Halle “x” 02.- ABC: equilátero. Calcule “x” 03.- En la figura, calcule “x”:

04.- Halle “”

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

ACTIVIDAD N°1

44


06.- Halle “x”, el punto “O” centro. mA=80°, mC=40°

07.- Siendo “P” y “Q” puntos de tangencia, halle “x”

08.- Hallar “x”, si: m AB = 110º y mCD = 50º

09.- Si: “B” es punto de tangencia, halle mCBP

45

10.- Si "O" es centro, mBAC = 24°. Halle: mABC.

11.- Si: m AB = 80°, mCD = 40° Calcule "x"

12.- Halle "x", si: m AB = 72°

13.- Halle "", si: "A" y "B" son puntos de tangencia.

14.- Si: "P", "Q", "N" y "T" son puntos de tangencia, calcule “x”

46

15.- Calcule “”, si "P" y "T" son puntos de tangencia.

16.- Si: mB + mC = 124°, halle "x". ("P", "Q" y "T" son puntos de tangencia).

17.- Hallar "x", si "P" es punto de tangencia. BM = CM . Halle “x”.

18.- Calcule el inradio de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12.

19.- Calcule el perímetro del cuadrilátero circunscrito.

20.- En la figura, calcule x

B

A D

C

8

13

20

x

47

21.- Halle el diámetro de la circunferencia mostrada

22.- Si: BC//AD; AB = CD = 13, calcule el valor de la mediana del trapecio mencionado.

23.- Del gráfico R = 6 ; r = 2 . Halle “x”. 24.- Halle AB 25.- Calcule el inradio de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 y 24.

26.- Calcule "x" de la figura mostrada.

48

27.- Calcule "x" en la figura.

28.- En la figura mostrada, calcule "x".

29.- Calcule "x".

30.- Si: BC = 8 , calcule "CD".

49

SÉPTIMA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: PERÍMETRO Y ÁREA

1.1. REGIÒN TRIANGULAR

Es una figura geométrica (conjuntos de

puntos) que consiste en un triángulo más

su interior.

1.2. REGION POLIGONAL

Es una figura geométrica formada por la

reunión de un número finito de regiones

triangulares en un plano, de modo que si

dos cualesquiera de ellas se intersecan, su

intersección es o bien un punto o un

segmento.

Dos regiones cualesquiera que tienen igual

área se llaman equivalentes,

independiente de la forma que tenga cada

región. Ejemplo: el triángulo y el rectángulo

que tiene igual área, son equivalentes.

1.3. ÁREA DEL CUADRADO

El área de un cuadrado es igual a la longitud

de su lado al cuadrado; o sea:

S = L2

1.4. ÁREA DEL RECTÀNGULO

El área de un rectángulo es el producto de su base por

S= a.b

1.5. ÁREA DE UN TRIÀNGULO CUALQUIERA

El área de todo triángulo es igual al semiproducto de la longitud de un lado y la altura relativa a dicho lado.

S = Area (ABC) S = 2

h.b

m+n = b

1.6. ÁREA DE UN TRIÀNGULO EQUILÀTERO

El área de todo triángulo equilátero es igual al cuadrado de la longitud del lado

multiplicado por el factor 4

3.

S = Area (ABC

S = 4

3L2

8m2 < > 8m2

S L

L

b

a

30º30º

hLL

60º60ºA CL

2L2 L

B

h

HCA

B

nm

b

50

b

a

DEFArea

ABCArea=

)Δ(

)Δ(

1.7. FÒRMULA TRIGONOMÈTRICA

En todo triángulo, el área se puede

expresar como el semiproducto de dos

lados, por el seno del ángulo comprendido

entre ellos.

S=Área (ABC)

S= Sen2

c.b

1.8. ÀREA DEL TRIÀNGULO EN

FUNCIÒN DE SUS LADOS

S = Área (ABC)

p :semiperimetro

p = 2

cba

S = )cp)(bp)(ap(p

1.9. ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÓN DEL INRADIO:

El área de todo triángulo es igual al producto del semiperimetro y el inradio.

S = Área (ABC)

r :Inradio S = p.r

P: semiperimetro

1.10. ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÒN DEL CIRCUNRADIO

El área de todo triángulo es igual al producto de las longitudes de los tres lados, divido por el cuádruple del circunradio

S = Área (ABC) S =R4

abc

R :Circunradio

1.11. ÀREA DE UN TRIÀNGULO EN FUNCIÒN DE UN EXRADIO

El área de todo triangulo es igual al producto del exradio relativo a un lado y la diferencia entre el semiperímetro y dicho lado.

S = (p-a) ra

ra: Exradio relativo al lado a

1.12. COMPARACIÒN DE REGIONES TRIANGULARES, PROPIEDADES

12.1. Si dos triángulos tienen igual altura, sus áreas son proporcionales a sus respectivasbases.

c

Ab

C

h

B

c

Ab

C

ha

B

r

rr I

CA

B

A C

B

c a

h

R

b

E

ra

CbA

B

ca

ra

ra

aA C

B

b

E

FD

h

51

12.2. Relación de áreas al trazar una ceviana

b

a

S

S

2

1

12.3. Si dos triángulos tienen igual base, sus áreas son proporcionales a sus respectivas alturas.

2

1

2

1

h

h

S

S

12.4. En todo triángulo, una mediana

cualquiera determina dos triángulosparciales equivalentes.

BM= Mediana S1 = Area (ABM), S2 = Area (MB

S1 = S2 = 2

h.b

12.5. En todo triángulo, al unir los puntos

medios de los tres lados, se determinan cuatro triángulos parciales equivalentes.

12.6. En todo triángulo, al trazar las tres medianas se determinan seis triángulos parciales equivalentes

G:BARICENTRO

x = y = z

12.7. Si dos triángulos tienen un ángulo congruente o suplementario entonces sus áreas son proporcionales a los productos de los lados que forman ese ángulo que mide igual o esos ángulos suplementarios.

Àrea( AFE) AF.AE

Àrea( ABC) AB.AC

12.8. Si dos triángulos son semejantes entonces sus áreas son proporcionales a los cuadrados del cualquier par de elementos homólogos.

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1 Kr

r

a

a

h

h

b

b

S

S

S1

S2

A C

B

h

a Db

bA C

B

S1h1

S2

E

FD

h2

b

S1 S2

A CMb b

B

h

B

CA

M N

P

S2

S3

S4

S1

M N

B

CAP

x

x

y

G

y

zz.

.

B

C

F

EA

B

CA b1

S1

h2

B´

C´A´ b2

S2

a1

h1

a2

52

1.13. ÁREA DELPARALELOGRAMO(S)

S = b. h b : base

h : altura

1.14. ÁREA DEL ROMBO (S)

S = 2

BD.AC

1.15. ÁREA DEL TRAPECIO (S)

S = h.2

ba

S = m.h

1.16. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA

(S)

S = 2

SenBD.AC

1.17. ÁREA DEL CUADRILÁTERO

CIRCUNSCRITO

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, el área es igual al producto del semiperímetro y el radio de dicha circunferencia.

S =p.r

1.18. TEOREMA

Si se une el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio con los extremos del otro lado no paralelo, se forma un triángulo cuya área es igual a la mitad del área del trapecio.

S = Área (CMD

S Àrea(ABCD)

2

1.19. Si en un cuadrilátero convexo se

trazan las diagonales se determina

cuatro triángulos parciales y cumple

que los productos de las áreas de

los triángulos opuestos son iguales.

S1 . S3 = S2 . S4

b

b

h h

b

b

h

0

LL

D

CA

B

LL

C

D

N

B

M

Aa

b

mh

.

.

0

h1 h2

A

B

C

D

r

r

r

r

b

c

DAd

cB

a

I

C

NM

B

DA

m

X

X.

.h

h2

h2

C

D

B

A

S1

S2

S3

S4

b

a

53

1.20. En todo trapecio, las áreas de los

triángulos laterales determinados al

trazar las dos diagonales, son

iguales. Es decir dichos triángulos

son equivalentes.

1.21. CÍRCULO: El área de todo círculo es igual al semiproducto de la longitud de su circunferencia y el radio

S: Área del Círculo C: Longitud de la circunferencia

C = 2 R

S=πr2

1.22. SECTOR CIRCULAR: Es la porción del círculo limitada por dos radios. El área de todo sector circular de radio R y ángulo

central “” es:

S: Área del Sector Circular

º360

RS

2

S =2

Rl

1.23. SEGMENTO CIRCULAR: Es la

porción del círculo limitada por una cuerda y su respectivo arco.

S =

Sen

1802

R2

1.24. ZONA O FAJA CIRCULAR Es la porción de círculo limitada por dos cuerdas paralelas.

S = SAD

segmento – SBCsegmento

1.25. CORONA CIRCULAR: Se llama

así a la región del plano exterior a la menor de dos circunferencias concéntricas e interior a la mayor

S = (R² - r²)

S = 4

AB2

1.26. TEOREMA: Si se une el punto

medio de un lado no paralelo de un

trapecio con los extremos del otro

lado no paralelo, se forma un

triángulo cuya área es igual a la

mitad del área del trapecio.

S=2

)ABCD(Area

S = Área (CMD)

1.27. Si en un cuadrilátero convexo se

trazan las diagonales se determina

cuatro triángulos parciales y cumple

que los productos de las áreas de

los triángulos opuestos son iguales.

Do

R

o

R

R

S

A

B

C

D

Ro

AB

S

rRoR

o

R R

S

l

C

NM

B

DA

m

X

X.

.h

h2

h2

Z

S1S2

A D

CB

b

h

54

S1 . S3 = S2 . S4

1.28. En todo trapecio, las áreas de los

triángulos laterales determinados al

trazar las dos diagonales, son

iguales. Es decir dichos triángulos

son equivalentes.

S1 = S2

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Calcule el área de la región limitada por

un rombo donde el perímetro y las

medidas de sus diagonales suman

102m, además el lado y la diagonal

menor están en la relación de 5 es a 6.

Resolución:

Del dato: a/AC=5/6

A=5k y AC=6k

Del dato:

4a+ BD+ AC=102

4(5k) + 8k + 6k=102

34k=102 k=3

Àrea total= (6k)x(8k)/2

= (48) (3)2=72m2

2) En el triángulo rectángulo ABC recto en

B donde AB=6cm y BC=4cm, se

construye exteriormente el cuadrado

AMNC. Calcule el área del triángulo

ABM.

Resolución:

ABC: α+θ=90°

ABC= AHC

(ALA)

HM=AB=6

Área ABM=(AB.MH)/2

= 6x6/2= 18cm2

3) Calcule el área de la figura sombreada

si el lado del cuadrado mide 6cm.

Resolución:

Àreasom= AsecBAE - AsegAE

Asom=π62(30°)/360°-AsegAE

AsegAE=

=π62(60°)/360°- 62 3/4

=6π-9 3

Asom=3π-(6π-9 3)

Asom=9 3-3π= 3(3 𝟑-π) cm2

4) En un triángulo rectángulo la circunferencia inscrita determina en la hipotenusa dos segmentos que miden 13m y 8m. Halle el área de la región triangular.

A

B

C

N M

H α α

θ

θ

*

*

*

*

6 4

6

B C

DA

B C

DA

E

60° 60°

60°

30° 30°

6

6

6

6

6 6

a=5k

A

B

C

D

O

a= 5k

a a

3k 3k

H 4k

4K

C

D

B

A

S1

S2

S3

S4

b

a

Z

S1S2

A D

CB

b

h

55

Resolución:

Área ABC= A

ABC(Pitágoras):

AB2+BC2=AC2

(13+r)2+ (8+r)2= (13+8)2

(169+26r+r2)+ (64+16r+r2)=441

2r2+42r-208=0 r2+21r=104

A=(ABxBC)/2 A=(13+r)(8+r)/2

2A=r2+21r+104 2A=104+104

A=104m2

A

B

C T

F

E

O 13

13

r r

r r

8

8

56

SEPTIMA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

01.- El largo de un rectángulo excede al ancho en 2m. Si el perímetro es 16m. Halle el área del rectángulo.

02.- Las diagonales de un cuadrado suman 12m. El área del cuadrado es: 03.- Dos lados consecutivos de un romboide se diferencian en 8m.; el perímetro es de 64m.

y la altura correspondiente al lado mayor mide 10m. Calcule el área del romboide. 04.- La base de un triángulo mide 40cm y su altura relativa es los 35/4 de dicha base. El área

del triángulo es: 05.- En un triángulo rectángulo de hipotenusa 50cm. y donde un cateto es el doble del otro.

Calcule su área. 06.- Calcule el área de un triángulo cuyos lados miden: 10m; 17m y 21m. 07.- Las diagonales de un rombo son proporcionales a 2 y 3 respectiva-mente. Calcule la

diagonal menor, si el área del rombo es 48m2. 08.- Calcule la altura de un trapecio de bases 4m y 12m si es "equivalente" (igual área) a un

cuadrado de lado 6m.

09.- Halle el área de la región del triángulo equilátero, sabiendo que el radio de la

circunferencia inscrita mide 2cm.

10.- Halle el área de la región triangular ABC, si: AB=13u y BC=14u y AC= 15u

PERÍMETRO Y ÁREA

ACTIVIDAD N°1

57

11.- Halle el área del triángulo equilátero ABC, si: BH = 3u.

12.- Los lados de un triángulo ABC miden AB = 5 u, BC = 8 u y AC = 11 u. Halle el área de

la región triangular.

13.- El perímetro de un hexágono regular es 12 m. Halle el área de la región del hexágono.

14.- Halle el área de la región rectangular ABCD cuyo perímetro es 42 m. Además: 4AB =

3BC.

15.- Un terreno tiene forma rectangular y se sabe que su perímetro mide 46 u siendo su

diagonal igual a 17 u. Halle el área de la región del terreno.

16.- En la figura el triángulo ABC es equilátero y MN//AC. Halle el área de la región del

triángulo ABN, si: AC = 12m y AM=10m.

17.- Si el área del DEC=15u2. Halle el área del paralelogramo ABCD.

18.- Halle el área de paralelogramo ABCD.

19.- Halle el área sombreada.

58

20.- Halle el área de la región sombreada, r=2cm. "O" y "O1" son centros.

21.- El lado de un cuadrado inscrito en un círculo mide 6cm. Calcule el área del círculo.

22.- Halle el área de la región sombreada. Si AB, BC y AC son diámetros.

23.- Halle el área de la región sombreada. Si: ABCD es un cuadrado de lado 2m.

24.- En el siguiente cuadrado ABCD cuyo lado mide 4cm, determine el área de la región sombreada. 25.- Halle el área de la superficie sombreada si el lado del triángulo equilátero es:

26.- Halle el área de la región sombreada

59

27.- El cuadrado ABCD tiene 10 cm de lado. Calcule el área de la región sombreada.

28.- Halle el área sombreada

29.- Halle el área indicada

30.- Halle el área de la región sombreada

60

OCTAVA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: POLIEDROS

1.1. GEOMETRÍA DEL ESPACIO OESTEREOMETRÍA

Estudia la forma y extensión de las figuras geométricas cuyos puntos no están en un mismo plano (espacio tridimensional)

PLANO: Figura geométrica que no tiene definición, pero nos da la idea de una figura ilimitada de dos dimensiones, en donde dos puntos cualesquiera de ella determinan una recta contenida en dicho plano.

1.2. DETERMINACIÓN DE UN PLANO

Un plano queda determinado por:

a. Tres puntos no colineales.

b. Una recta y un punto exterior a ella.

c. Dos rectas secantes.

d. Dos rectas paralelas.

1.3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

a. Rectas secantes.- Cuando se intersecan y tiene por tanto un punto común. Las rectas secantes son coplanares.

L1

L2

0

R

B

C

P

A.

..

L1

L2

U

L

E

A.

L1 L2

P

P

A B

61

b. Rectas paralelas.- Cuando se encuentran en un mismo plano y no se intersecan.

c. Rectas alabeadas.- Llamado también rectas que se cruzan, son aquellas rectas que no están en un mismo plano y no tiene ningún punto común.

1.4. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

Dados una recta L y un plano M, que pueden estar situadas de tres distintas maneras.

a. Secantes.- Cuando se intersecan, la recta y el plano sólo tienen un punto común.

b. Contenida en el plano.- En cuyo caso todos los puntos de la recta pertenecen al plano. Para lo cual, basta que la recta y el plano tengan dos puntos comunes.

c. Paralelos.- En cuyo caso no tienen punto común alguno.

Propiedad: Para que una recta sea paralela a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea paralela a una recta del plano.

R

L1

L2

L1 L2

E

L

M

L

MA

B

L

M

62

1.5. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

a. Planos secantes.- Cuando se intersecan y tiene por tanto una recta común llamada

intersección de dos planos.

b. Planos paralelos.- Son aquellos que no tienen punto común alguno.

1.6. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS

Es el ángulo que forma una de ellas con una paralela a la otra trazada por un punto cualquiera de la primera.

: Es el ángulo que forman las rectas que se cruzan L1 y L2

1.7. RECTAS PERPENDICULARES Son aquellas dos rectas que al interceptarse o al cruzarse en el espacio forman ángulo recto.

1.8. RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Si una recta es perpendicular a un plano entonces es perpendicular a todas las rectas

contenidas en el plano.

Propiedad: Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes del plano.

L

P

O

L3

L2

L1

P

63

D

C

B

A

P

M

1.9. ÀNGULO DE UNA RECTA SECANTE CON UN PLANO Es el ángulo que hace la recta con su proyección sobre el plano.

1.10. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO. La longitud del segmento de perpendicular trazada del punto al plano.

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES

Si desde el pie de una perpendicular a un plano trazamos una segunda perpendicular a una recta del plano, entonces toda recta que une el pie de la segunda perpendicular con un punto cualquiera de la perpendicular al plano será perpendicular a la recta del plano.

mPDC = 90º

1.11. ÀNGULO DIEDRO Es la figura formada por dos semiplanos que tienen la misma recta de origen común.

A los semiplanos se les denominan caras y a la recta común arista

a. La medida de un ángulo diedro está dada por la medida de su ángulo plano o

rectilíneo que es aquel ángulo determinado al trazar por un punto cualquiera de la

arista AB, dos rectas perpendiculares a la arista, una contenida en cada cara.

b. Los diedros se clasifican similarmente a los ángulos en el plano

P EB

A

P

α

θ

64

1.12. PLANOS PERPENDICULARES Son aquellos planos que al interceptarse forman diedros rectos.

a. Si una recta es perpendicular a un plano, todo plano que pasa por ella es perpendicular

al primero.

b. Si dos planos son perpendiculares entre sí, toda recta contenida en uno de ellos y

perpendicular a su intersección, es perpendicular al otro plano.

1.13. ÀNGULO TRIEDRO El triedro es un ánguloide de tres caras, tres aristas y tres diedros; es el ángulo poliedro de menornúmero de carasque puede haber, no pudiendo ser más que convexo.

- Caras: a, b, c

- Vértice: El punto V

- Aristas: VA, VB, VC.

- Diedros: , ,

Notación : Triedro V-ABC

1.14. POLIEDROS Son aquellas figuras geométricas limitados por cuatro o más regiones poligonales no

coplanares llamadas caras, que da el nombre al poliedro.

Elementos:

- Caras: Son polígonos

- Aristas: OA, OB, AB,.....

- Vértices: O, A, B,....

-Diagonal: Es el segmento que une dos vértices que no están en la misma caras.

- Diedros

- Ángulos poliedros

EP

R

a bc

C

B A..

V

65

1.14.1. CLASES DE POLIEDROS

a. Poliedros Convexos.-

Cuando al considerar cualquiera de las caras, todo el sólido queda a un mismo lado de él.

b. Poliedros Cóncavos.-

Cuando al considerar alguna de las caras, todo el poliedro queda repartido a uno y otro

lado de la cara considerada.

1.14.2. TEOREMAS DE LOS POLIEDROS CONVEXOS

a. TEOREMA DE EULER: En todo poliedro se cumple que su número de caras más el

número de vértices es igual al número de aristas más 2.

C + V = A + 2

b. TEOREMA: En toda poliedro la suma de los ángulos en todas sus caras es igual a 360º por el número de vértices menos 2.

S Ang. = 360º (V-2) caras

c. POLIEDROS REGULARES: Son aquellos poliedros convexos que tienen todas sus

caras y ángulos congruentes. Solamente existen 5 poliedros regulares: Tetraedro,

Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.

d. Tetraedro regular: 4 triángulos equiláteros.

- Arista=L

- OG=h=L 6/3

- Área=L2 3

- Volumen=L3 2/12

A

B

C

O

G

l

D

C

B

A

O

66

e. Hexaedro regular: 6 cuadrados

-Arista=L - BH=diagonal

BH=L 3 - - Área= 6L2 - - Volumen=L3

f. Octaedro regular: 8 triángulos equiláteros

-Arista=L

-AC= diagonal

AC=L 2

-Area=2L2 3

-Volumen=V V= 2L3 3/3

g. Dodecaedro

12 pentágonos

Regulares

h. Icosaedro Regular

20 triángulos equiláteros

l

B C

D A

M

N

lB

A

G

C

E

D

F

H

l

l

67

PROBLEMAS RESUELTOS

01.-En la figura, el segmento BP es perpendicular al plano del cuadrado ABCD si: CE=6m,

ED=2m y BP=2 11m. Calcule PE.

Resolución

h. En el BCE: (BC)2=62+82 BC=10

i. En el PBE:

PE2=102+(2 11)2 PE=12

02.-En el plano P, se tiene el segmento AB y Q un punto exterior, tal que BQ=16m, además los segmentos BQ y AQ forman con el plano ángulos de 30° y 53° respectivamente. Calcule AQ.

Resolución:

j. En el BHQ por 30° QH=8

k. En el AHQ por 45° AQ=10

03.-Por un punto B de una circunferencia de diámetro AB contenida en un plano, se traza el segmento BD perpendicular al plano y luego se ubica un punto C en la circunferencia tal que: BD=6cm, BC=8cm y mABC= 37°. Calcule el área de la región triangular ACD.

A D

B C

E

P

A D

B C

E

P

2 11

2

6

8

8

10

A

B

Q

P

A

B

Q

P

H

16 8

X

53°

30°

68

Resolución:

l. Por diámetro AB,

lamACB=90° m. Por el teorema de

3 perpendiculares

lamACD=90° n. En el DBC:

CD=10 o. En el BCA, por ángulo de 37°, AC=6 p. Área del ACD=(AC)(CD)/2

X=(6)(10)/2 X=30

04.-En el tetraedro regular cuya altura mide 12m. Calcule su área. Resolución

q. OG=L 6/3

12= L 6/3

L= 6 6 r. Área=A

A=4(L2 3)/4

A=216

A

B

C

O

G

l

A

C B

D

37°

6 10

8

6 180°

69

OCTAVA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

01. Si: AB = 13 y la distancia del punto “A” al plano “P” es 12. Halle la longitud de la proyección del segmento AB sobre el plano “P”.

02. Si la proyección de AB sobre el plano “Q” es 24 y la distancia de “A” al plano es 7, calcule

“AB”.

03. Desde “p” se traza perpendicular a un plano, "Q" está en el plano. Haciendo centro en Q,

se traza una circunferencia de radio 9m, por un punto B de esta, se traza la tangente BC

de 8m.

Halle "PC" si: PQ = 12.

04. En la figura, OA es perpendicular al plano “P”. Si: OA = 4u; OB = 3u.

AD = 29 u. Calcule “DB”.

POLIEDROS

ACTIVIDAD N°1

70

05. Las distancias de “A” y “B” al plano mostrado son 6 y 2 cm respectivamente. Halle la

distancia entre “A” y “B” si la proyección del segmento AB sobre el plano mide 15cm.

06. Si: L es perpendicular al plano “P”. Calcule “AD”, si: AB=2 ; BC=2 3 y CD = 3

07. En un cubo la suma de las longitudes de todas sus aristas es de 144 cm. Halle la diagonal

del cubo.

08. El área total de un tetraedro regular es 9 3 m2. Calcule el volumen de dicho tetraedro.

09. En un tetraedro regular el segmento que une los puntos medios de dos aristas

concurrentes mide “a”. Halle el área de dicho tetraedro regular.

10. Calcule el área total del sólido que se forma al unir los puntos medios de las caras de un

cubo de 8m3 de volumen.

11. La altura de la cara de un tetraedro regular mide 1cm. Halle el valor de su área.

12. Calcule el volumen de un octaedro regular cuya área es igual al área de un cubo de aristas

igual a 2 cm.

13. Se da un octaedro regular y un tetraedro regular, donde la arista del segundo es el triple

de la arista del primero. Halle la relación de áreas de estos sólidos.

14. ¿Cuál es el área total de un tetraedro regular de 4m de arista?

71

UNIDAD III: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Y

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

NOVENA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

1.1. RAZÓN TRIGONOMÉTRICA

Es el cociente que resulta de dividir dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo;

para ello se toma como referencia a uno de los ángulos agudos. Estas razones

trigonométricas son seis, cuyos nombres son: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente,

Secante y Cosecante y que se representan por : Sen , Cos , Tan , Cot , Sec y Cs c

respectivamente.

Las razones trigonométricas de un ángulo agudo A en un triángulo rectángulo ABC (recto

en C) se definen de la siguiente manera:

EJEMPLOS

a) En un triángulo rectángulo ABC recto en B reducir:

E = senAsecC + cosCcscA

Resolución:

Del gráfico:

a

bx

b

a

a

bx

b

aE

E = 1 + 1 E = 2

a

c=

opuestoCateto

Hipotenusa=CscA

b

c=

adyacenteCateto

Hipotenusa=SecA

a

b=

opuestoCateto

adyacenteCateto=CotA

b

a=

adyacenteCateto

opuestoCateto=TanA

c

b=

Hipotenusa

adyacenteCateto=CosA

c

a=

Hipotenusa

opuestoCateto=SenA

B

C b A

a c

ELEMENTOS:

a: Cateto opuesto

b: Cateto adyacente

c: Hipotenusa

A B

C

a

c

b

72

b) Si: es un ángulo agudo tal que 3

1cos . Calcule tg.

Resolución:

Del dato: 3

1cos

“” debe estar dentro de un triángulo rectángulo.

Por Pitágoras:

222 BC13

22BC

Piden: 221

22tg

1.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

Los triángulos rectángulos notables son aquellos triángulos donde conociendo las medidas

de sus ángulos agudos (ángulos notables), se puede saber la proporción existente entre

sus lados.

Como por ejemplo:

Triángulo Notable de 45º y 45º

Triángulo Notable de 30º y 60º

TRIÁNGULO APROXIMADO

cateto adyacente hipotenusa

2 2

A B

C

1

3

a a

a

a

45º

45º

2a 2a

60º 60º

30º 30º

a a

2a

60º

30º

a

a

a

45º

45º

a

73

De los triángulos anteriores:

Ángulo

R.T. 30º 37º 45º 53º 60º

sen 1

2

3

5 2

2

4

5 3

2

cos 3

2

4

5 2

2

3

5

1

2

tg 3

3

3

4 1

4

3 3

ctg 3 4

3 1

3

4 3

3

sec 2 3

3

5

4 2

5

3 2

csc 2 5

3 2

5

4 2 3

3

EJEMPLOS

a) Calcular: E = sen230º + tg37º

Reemplazando valores: 1E4

3

4

1

4

3

2

1E

2

b) Evaluar: º30csc

º60cosº45senE

2

Reemplazando: 2

1

221

42

2

21

22

2

5a 3a

37º

53º

4a

74

NOVENA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:

01.- Siendo “” agudo, y además:

Tg = 12

5. Calcule: E =

2

1Sen+4Cos

02.- Si: SecA = 13

5, calcule:

E =2SenA 3CosA

4SenA 9CosA

03.- Calcule: Sen, si Tg = 1

2

04.- Si “” es agudo, además:

3Tg - 2 = 0.

Halle: E = Sen . Cos

05.- Si: Sen = 0,75 0° << 90°. Calcule: 3 7 Ctg

06.- Si: Csc =2

3 ; Cos =

5

7

Halle:E = 3(Tg.Ctg+Cos.Sec) 07.- En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°); reduzca: L = tanAtanC +1

08.- Si se tiene que: “” es agudo y Sec=4/3. halle el valor de:

E = Csc2 + 7

4Ctg

09.- Calcule mediante construcción Tg2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

ACTIVIDAD N°1

75

10.- Del gráfico mostrado, calcule: “Cos2”

11.- En un triángulo ABC, recto en “A”, reduzca:

E = 2 1 CosC(a b) 2bc.

1 CosC

12.- En un ABC, recto en B, se cumple que: TgA . Cos C = 3 Calcule el valor de:

E = 2Sec A 3CscC

13.- En un triángulo rectángulo se cumple que la diferencia de las medidas de la hipotenusa con uno de los catetos es 8 y con el otro es 9. Calcule el valor de la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. 14.- En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°); reduzca:

b(1 senA senC)S

2p

Siendo: 2p: perímetro 15.- En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90°); reduzca:

K = c .CscC + C .tan A + C .cotB

2

Si su perímetro es 20m.

B. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:

01.- Evalúe: 2 4sen 60 sen 45

L2

02.- Evalúe: 2 2tan 60 sec 45

L4sec37

03.- Halle el valor entero de “x” en:

2 2x Csc30º 3xSec53º Tg 60º 0

04.- Del gráfico, halleCtg

76

05.- A partir del gráfico, halle “BN”

06.- En la figura, calculeTg, siendo ABC triángulo equilátero 07.- Encuentre el valor de “x” en: x.Cos60° – 2cos45° = (1–Sen45°)2

08.- Si:P(x) =

2

2

(Sen4x cos2x)

1 Cos 3x

Calcule el valor numérico de P(15°) 09.- Calcule:

2 4 212sen 45 tan 60 sec 45

2Lsec60 4tan37

10.- Del gráfico calcule el valor de Tg

11.- Del gráfico, calcule “tan”

77

12.- Calcule:

4 4

2

tan 60 sec 45J

sec30 cot60

13.- Sabiendo que:

cos60º . cot45ºP tan45º . sen30º

Q = 2 csc245º - 3sec230º

Calcule: P2 + Q4

78

DÉCIMA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Definición.

Como las funciones trigonométricas son periódicas, los valores que toman dichas funciones son repetitivos, por lo tanto basta con conocer los valores que toma en el primer cuadrante para conocer los valores en los demás cuadrantes, ya que el valor numérico se repite en todos los cuadrantes variando únicamente su signo. Este tema tiene como objetivo encontrar el equivalente de la R.T. de un ángulo cuya medida

difiera a la de un ángulo agudo en términos de la R.T. (puede ser la misma o su R.T.

complementaria) de un ángulo por lo general agudo.

1.1. CASOS DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE.

1.1.1. Reducción de ángulos positivos menores de una vuelta.

COMPROBACIÓN.

cosr

b

r

y)º90(sen

senr

a

r

x)º90cos(

cota

b

x

y)º90(tg

Nótese que la R.T. original cambia a su R.T. complementaria toda vez que aparece 90º ó 270º y el signo + ó – depende de la R.T. original según el cuadrante donde actúa. Ejemplo:

IC IIC IIC IVC

m∢

R.T. 90º- 90º+

270º-

270º+

sen +cos +cos -cos -cos

cos +sen -sen -sen +sen

tg +cot -cot +cot -cot

cot +tg -tg +tg -tg

sec +csc -csc -csc +csc

csc +sec +sec -sec -sec

x

y (-a; b)

90º+

a

b r

En el

79

Reducir la siguiente expresión: E = cos(90º + A) + cos(270º + A)

Resolución:

Recomendamos seguir el siguiente orden:

1. Primero señalamos el cuadrante.

2. Luego indicamos el signo de la R. T. Original en ese cuadrante.

E = cos(90º + A) + cos(270º + A)

E = [-senA] + [+senA]

E = -senA + senA E = 0

COMPROBACIÓN .

senr

b)º–180(sen

cosr

a)º180cos(

tga

b)º180(tg

Nótese que la R.T. original no cambia toda vez que aparece 180º ó 360º y el signo +

ó – depende de la R.T. original.

Ejemplo: Reducir: E = csc(180º - x) + csc(360º - x)

Resolución:

Siguiente los pasos del ejemplo anterior.

IIC – IVC

+

“En ambos cambiamos a su R.T.

complementaria por el 90º y 270º”

IC IIC IIC IV

m∢

R.T. 180º- 180º+

360º-

sen +sen -sen -sen

cos -cos -cos +cos

tg -tg +tg -tg

cot -cot +cot -cot

sec -sec -sec +sec

csc +csc -csc -csc

En el

x

y

(-a;b)

180º -

a

b r

80

E = csc(180º - x) + csc(360º - x)

E = [+cscx] + [-cscx]

E = cscx – cscx E = 0

Ejemplo:

Calcular: E = 8sen150º + sec240º + 3cot315º

Resolución: Para este tipo de medidas se sugiere relacionarlas exclusivamente con 180º ó 360º y luego continuar

con los pasos del ejemplo anterior.

E = 8sen(180º - 30º) + sec(180º + 60º) + 3cot(360º - 45º)

E = 8 [+sen30º] + [-sec60º] + 3[-cot45º]

E = 8 .2

1 - 2 - 3 .1 = 4 - 2 - 3 E = -1

1.1.2. Reducción de ángulos mayores de una vuelta.

Para este caso la medida angular que es mayor a una vuelta () será dividida entre

360º; tomando el resto () de dicha operación como medida angular resultante; manteniéndose la R.T. original, esto es:

360º = 360º . n + R.T. = R.T.

n

También podríamos decir que el #entero (n) de vueltas (360º) se elimina

Ejemplo:

Calcular: “tg1223º”

Resolución:

Realizamos la operación mencionada.

1223º 360º 1223º = 360º .3 + 143º

1080º 3

143º

tg1223º = tg143º

IIC + IVC

–

IVC –

IIIC –

IIC +

supuesto

81

Observamos que 143º es menor a una vuelta pero falta reducir al primer cuadrante.

tg143º =tg(180º - 37º) = - tg37º = -4

3

4

3º1223tg

1.1.3. Reducción de ángulos negativos.

COMPROBACIÓN .

senr

b

r

b)(sen

cosr

a)cos(

tga

b)(tg

El signo negativo de la Medida Angular es colocado adelante de la R.T. salvo los R.T. coseno y secante en las cuales el signo de la medida angular puede obviarse.

Ejemplo:

Calcular: E = tg(sen20º) + tg(sen340º)

Resolución:

1. Primero reducimos: sen340º = sen(360º - 20º) = -sen20º

2. Reemplazando:

E = tg(sen20º) + tg(-sen20º)

E = tg(sen20º) –tg(sen20º) E = 0

IIC –

sen(-) = -sen

cos(-) = cos

tg(-) = -tg

cot(-) = -cot

sec(-) = sec

csc(-) = -csc

x

y

(a; b)

(a; -b) r

r

-

IVC –

82

1.2. ARCOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS

1.2.1. ARCOS COMPLEMENTARIOS

Si dos ángulos suman 90º ( x + y = 90 º ) se cumple:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Sen x Cos y Cot x Tan y

Cos x Sen y Sec x Csc y

Tan x Cot y Csc x Sec y

En general : )y.(T.F.C)x.(T.F

1.2.2. ARCOS SUPLEMENTARIOS

Si dos ángulos suman 180º ( x + y = 180 º ) se cumple:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Sen x Seny Cot x Cot y

Cos x Cosy Sec x Sec y

Tan x Tany Csc x Csc y

En general: )y.(T.Fsigno)x.(T.F

En donde: [ signo ] es positivo si la Función Trigonométrica es Seno ó Cosecante y negativo con cualquier otra función.

83

DÉCIMA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE REDUCCIÓN AL

PRIMER CUADRANTE QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:

01.- Calcule el valor de: E = cos210°- tan120° + cot330° + sen240° 02.- Calcule el valor de:

E sen240 .sen120 .cos330 .cos150

03.- Calcule el valor de: E = sen225°. Cos210°. Tan120°. Cot330° 04.- Calcule el valor de: E = sec135°. csc150°. tan240°. Cot210° 05.- Calcule el valor de:

E = sen120 cos240 tan150

cot240 sen210 cos330

06.- Simplifique:

E = sen(270º x) cos(90º x)

cos(360º x) sen(180º x)

07.- Simplifique:

E = tan(270º x) cot(90º x)

cot(180º x) tan(360º x)

08.- Simplifique:

E =

3tan x .sec -x .sen x

2 2

cos x

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

ACTIVIDAD N°1

84

09.- Halle: Cos2850° 10.- Halle: Tg3000° 11.- Halle: Sec1500°

12.- Halle: Sec79

3

13.- Halle: Sec1845° 14.- Halle: Sen2100° 15.- Calcule: E = Cos60°.Cos600° . Cos6000° 16.- Halle el valor de:

E = Sen750 Cos1500 Tg945

Sen1420 Cos1510 Sec1140

17.- HalleCtg(-2917°) 18.- Halle:Sen(-1770°) 19.- Calcule el valor de :

E = cos( 750º) sen( 1020º)

cot( 210º)

20.- Calcule el valor de:

E= csc( 240º) sec( 150º) cos( 120º)

cot( 315º) sen( 135º) cos( 225º)

85

DÉCIMA PRIMERA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1.1. IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA

Es una igualdad de expresiones conformadas por funciones trigonométricas que se verifica para todo valor permitido del ángulo. Ejemplos:

Cos1Cos1Cos1 2 , para todo

2Tan θ-1

= Tanθ + 1Tanθ - 1

, para todo Tan 1

1.2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

1.3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

1.4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS POR DIVISIÓN

1.5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PITAGÓRICAS

86

1.6. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES

1 Tgx+ Ctgx = Secx .Cscx

2 Sec2x + Csc2x = Sec2x . Csc2x

3 Sen4x + Cos4x = 1 – 2Sen2x . Cos2x

4 Sen6x + Cos6x = 1 – 3Sen2x . Cos2x

5 (Senx + Cosx)2 = 1 + 2Senx .Cosx

6 (Senx – Cosx)2 = 1 – 2Senx .Cosx

7 (1 SenxCosx)2 = 2 (1 Senx)(1 Cosx)

8

Si : Secx + Tgx = n Secx – Tgx = 1

n

Si : Cscx + Ctgx = m Cscx – Ctgx = 1

m

Observación: Al resolver ejercicios y problemas sobre identidades trigonométricas es recomendable tener en cuenta lo siguiente: a) Si la expresión a ser resuelta presenta funciones trigonométricas que se relacionan

directamente, entonces es recomendable trabajar con dichas relaciones. b) Si la expresión a ser resuelta presenta funciones trigonométricas que no se relacionan

directamente, entonces se sugiere escribir los términos de la expresión en función Seno y Coseno.

Los ejercicios y problemas sobre identidades trigonométricas que se presentan son de 4 tipos. 1. Demostraciones 2. Simplificaciones 3. Condicionales 4. Eliminación angular

EJERCICIOS DE DEMOSTRACIÓN Demostrar una identidad, implica que el primer miembro se pueda reducir al segundo miembro o viceversa o que cada miembro por separado se pueda reducir a una misma forma. La verificación de identidades se efectúa usando las diferentes transformaciones tanto algebraicas o trigonométricas. No existe desgraciadamente una regla única que sirva como norma para verificar identidades. Por lo general de los dos miembros se procura reducir del más complicado al más simple; en efecto, el estudiante debe tener presente la expresión a la que pretende llegar; pensar en todas las relaciones fundamentales (identidades) y seleccionar aquellas que le permitan obtener la expresión deseada. 01.- Demuestre que: Tg2x.Cosx.Cscx = Tgx

87

Resolución: En este problema, la idea es reducir el miembro de la igualdad más complicada y obtener un resultado igual al otro miembro. Uno de los criterios más utilizados, es el de colocar la expresión a reducir, en términos de senos y/o cosenos; y por ello es bueno recordar:

Cscx =

Tanx =

En este problema: Tan2x.cosx.cscx = tanx ; note que:

Tan2x=

Reduciendo:

Lo que queda demostrado

EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN Se buscará una expresión reducida de la planteada con ayuda de las identidades fundamentales y/o auxiliares con transformaciones algebraicas.

01.- Reduzca: E (Secx + Tgx – 1)(Secx – Tgx + 1) Resolución: Si bien, el pasar a senos y cósenos, es un criterio muy generalizados; no siempre es necesario tales cambios; sino también el manejar las otras razones trigonométricas siempre que tengan relación. En el problema, por ejemplo: E = (Sec x + Tgx – 1 )(Secx – Tgx + 1) Operando: E = Sec2x-Secx.Tgx+Secx+Tgx.Secx-Tg2x+Tgx-Secx+Tgx-1

Reduciendo: E = Sec2x – Tg2x + 2Tgx – 1

E = 1 + 2Tgx - 1 E = 2Tgx

cosx

1secx ;

senx

1

senx

cosxcotx ;

xcos

senx

xcos

xsen

2

2

xtansenx

1.xcos.

xcos

xsen

2

2

tanxtanx tanxcos

senx

88

02.- Simplifique: H = Tgx.Cos2x - Ctgx.Sen2x Resolución: Vamos a colocar la expresión en términos de senos y cosenos; así: H = Tgx.Cos2x - Ctgx.Sen2x

2 2Senx CosxH .Cos x .Sen x

Cosx Senx

Reduciendo: H = Senx.Cosx - Cosx.Senx H = 0 03.- Reduzca: L = (Secx - Cosx) (Cscx - Senx) Resolución: Pasando a senos y cosenos:

L=

Operando: ; pero:1-Cos2x = Sen2x

1-Sen2x = Cos2x Remplazando:

L= L = senx.cosx

EJERCICIOS DE TIPO CONDICIONAL Si la condición es complicada debemos simplificarla hasta llegar a una expresión que puede ser la pedida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión pedida. 01.- Sabiendo que: Tgx + Ctgx = 4 ; calcule: C = Senx.Cosx Resolución: De la condición: Tgx + Ctgx = 4 ; piden: C = Senx.cosx Pasando a senos y cosenos:

Operando:

02.- Siendo: Tgx + Ctg = 3 ; Calcular: C = Tg2x + Ctg2x Resolución: A partir del dato: Tgx + Ctgx = 3 Elevando al cuadrado: (Tgx + Ctgx)2 = 32

Tg2x + 2Tgx.Ctgx + Ctg2x = 9

senx

senx

1xcos

xcos

1

senx

xsen1

xcos

xcos1L

22

senx

xcos.

xcos

xsen 22

4senx

xcos

xcos

senx

4senx.xcos

xcosxsen 22

4

1C 4

C

1

89

Tg2x + Ctg2x + 2 = 9

C + 2 = 9 C = 7 03.- Siendo:

; calcule: C = Tgx + Ctgx

Resolución: Recuerde que: a3+b3 = (a+b)(a2 – ab + b2) En la condición: sen3x + cos3x = (Senx+cosx)(Sen2x-Senx.Cosx + cos2x) Luego:

Reduciendo:

Sen2x - Senx.Cosx + cos2x =

1 - Senx.cosx =

Piden: C = Tgx + Ctgx =

Operando: C = C = 8

EJERCICIOS DE ELIMINACIÓN ANGULAR Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo. 01.- Elimine “x”, si: Tgx = a ; Ctgx = b Resolución: Los problemas de eliminación de variable; permiten encontrar relaciones entre los parámetros diferentes de la variable a eliminar que intervienen en el problema. Este problema, es el caso mas simple, ya que se conocen dos razones trigonométricas de la variable “x”; y lo único que haremos es buscar una relación entre estas R.T.

Tenemos: Tgx = a Ctgx = b

Sabemos: Tgx.Ctgx = 1 ab = 1 02.- Elimine: “x”, si: Secx = m ; Cscx = n Resolución:

De las condiciones: Secx = m

Cscx = n

Pero: Sen2x + Cos2x = 1

Operando:

8

7

xcossenx

xcosxsen 33

8

7

)xcossenx(

)xcosxcos.senxxsen)(xcossenx( 22

2 27; pero : sen x cos x 1

8

8

1xcos.senx

8

7

senx

xcos

xcos

senx

xcos.senx

1

senx.xcos

xcosxsen 22

1cosx

m

n

1senx

1m

1

n

1

22

2 22 2 2 2

2 2

m n1 m n m n

n m

90

1.7. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO DOBLE

1.7.1. SENO DEL ÁNGULO DOBLE.

Sen2x = 2Senx.Cosx

Por ejemplo:

Sen2 = 2Sen.Cos

Sen40° = 2Sen20°.Cos20°

Sen80° = 2Sen40°.Cos40°

Sen4 = 2Sen2.Cos2

Sen =2Sen.Cos

2Sen.Cos = Sen2

2Sen4°.Cos4° = Sen8°

2Sen3.Cos3 = Sen6

1.7.2. COSENO DEL ÁNGULO DOBLE.

Cos2x = Cos2x - Sen2x 1 - x2coscos2x

x2sen-1cos2x2

2

Por ejemplo:

Cos2 = Cos2 - Sen2

Cos2 = Cos2 - Sen2 = 1 – 2Sen2

= 2Cos2 - 1

Cos40° = Cos220° - Sen220° = 1 – 2Sen220° = 2Cos220° - 1

1.7.3. TANGENTE DEL ÁNGULO DOBLE.

Tg 2x = 2

2tanx

1 - tan x

1.8. IDENTIDADES DE DEGRADACIÓN

De las identidades básicas del coseno del ángulo doble se deducen las siguientes identidades:

1.9. IDENTIDADES AUXILIARES

2Sen2x = 1 – Cos2x 2Cos2x = 1 + Cos2x

Cotx + Tanx = 2Csc2x Cotx – Tanx = 2Cot2x

91

1.10. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO TRIPLE 1.10.1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE

DEL ÁNGULO TRIPLE

xTg31

xTgTgx3x3Tg

Cosx3xCos4x3Cos

xSen4Senx3x3Sen

2

3

3

3

1.10.2. FÓRMULAS ESPECIALES

1x2Cos2

1x2Cos2Tgxx3Tg

)1x2Cos2(Cosxx3Cos

)1x2Cos2(Senxx3Sen

1.10.3. FÓRMULAS DE DEGRADACIÓN

x3CosCosx3xCos4

x3SenSenx3xSen43

3

1.11. PROPIEDADES

x3Tg)x60(Tg)x60(TgxTg

x3Cos)x60(Cos)x60(CosxCos4

x3Sen)x60(Sen)x60(SenxSen4

Observación:

4

1536Cos

4

1518Sen

92

DÉCIMA PRIMERA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE IDENTIDADES

TRIGONOMÉTRICAS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:

DEMOSTRACIONES

01.- Demuestre:

02.- Demuestre:

03.- Demuestre:

04.- Demuestre:

05.- Demuestre:

SIMPLIFICACIONES

06.- Simplifique:

L =

07.- Simplifique:

08.- Simplifique:

L = 09.- Simplifique:

10.- Simplifique:

1 SenSec Tg

1 Sen

Senx Senx2Cscx

1 Cosx 1 Cosx

4 4 2Sen x Cos x 2Sen x 1

2 2

1 11

1 Cos x 1 Sec x

2 2 2Sen x.Ctg x 1 Sen x

xcosxcossenx

xcosxsen 44

1 1E

Csc Ctg Csc Ctg

4 4 2Sec x Tg x 2Tg x

1 1E

1 Cosx 1 Cosx

2 2L Ctg Cos . 1 Tg

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

ACTIVIDAD N°1

93

CONDICIONALES

11.- Si: Senx .Cosx = , halle:

K =

12.- Si Sen + Cos = ; halle

E = Sec.Csc + 1 13.- Si: Cosx + Secx = 2 ; halle

E =

14.- Si se cumple que: Sec . Csc = 5

Calcule R = Tg2 + Ctg2

15.- Siendo: Sen + Cos =

Calcule: E = Tg + Ctg

ELIMINACIONES

16.- Elimine “”

17.- Elimine “”

18.- Elimine “” Sen Cos aSen Cos b

19.- Elimine “x”

20.- Elimine “x”

B. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO DOBLE Y TRIPLE QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:

ÁNGULO DOBLE

01.- Si: Senx = 0,6666….. ; 0º < x < 90º

Calcule: Sen2x

2

02.- Reduzca:

E = Sen2x

Senx -

Cos2x

Cosx

1

44 4Sen x Cos x

6

2

3 3Cos x Sec x

4

3

Cos 1 x

Sec 1 y

2 2

2 2

Sen Csc a

Cos Ctg b

Cscx m

Tgx n

2 2

Tgx Ctgx m

Tg x Ctg x n

94

03.- Simplifique:

E = 1 Cos2 Sen

Sen2 Cos

04.- Simplifique: P = Csc2x . (1-2Sen2x).Tg2x 05.- Halle:

M = 6Sen22º30'.Cos22º30'

(Cos15º Sen15º)(Cos15º Sen15º)

06.-Siendo: Tgx = 0,5 . Halle: W = Tg2x .Ctgx 07.- Encontre el valor de “x” 08.- Halle:

B = 2

2Tg67º30'

1 Tg 67º30'

09.- Reduzca:

2 2sen2x sen2x

Jcosx senx

10.- Simplifique:

sen2x 2senxJ

1 cosx

ÁNGULO TRIPLE

11.- Si: 3

2Senx ,

Calcule: Sen3x 12.- Simplifique:

22 CosSen

3SenSen

13.- Reduzca:

x4Sen

x3xSenCosx3xCosSen 33

14.- Indique el valor de P . Q de la siguiente identidad: SenxCos2x = PSenx + QSen3x

95

15.- Reduzca: E = 16Sen18°Sen42°Sen78° – 1 16.- Calcule: P = 8Cos320° – 6Cos20° 17.- Si: Sen3x = mSenx

Halle: Cos2x en función de “m”

18.- Del gráfico, calcule la longitud de AB

2

B

A C

6

2

M

96

DÉCIMA SEGUNDA SEMANA

SESIÓN 1

TEMA 01: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

DEFINICIÓN.

Resolver un triángulo significa encontrar las medidas de todos sus elementos básicos conociendo la medida de dos de ellos, uno de los cuales debe ser un lado. Esto quiere decir que, para resolver un triángulo rectángulo sólo necesitamos dos datos de los cuales uno de ellos debe ser un lado. Se nos pueden presentar cualquiera de los dos casos siguientes: a. Si los dos datos conocidos son dos lados. El tercer lado se calcula con el Teorema de

Pitágoras y los ángulos agudos, con cualquier razón trigonométrica.

b. Si los dos datos conocidos son un lado y un ángulo agudo. Aplicamos:

Lado Incógnita

. .lado dato

R T de agudo

De la relación anterior se puede calcular con facilidad los otros dos lados; para ello tomaremos en cuenta las siguientes observaciones o casos:

Caso 1 (Si el lado conocido es la hipotenusa)

Caso 2 (Si se conoce el cateto opuesto al ángulo conocido)

m

m

mcos

msen

m

m

mctg

mcsc

97

Caso 3 (Si se conoce el cateto adyacente al ángulo conocido) Observaciones:

EJEMPLO:

Halle el perímetro del triángulo ABC en función de “m” y “”

Resolución:

Analizando la figura:

En el BHC: Sec = BC

m BC = mSec

En el ABC: Tg = AB

m Secα AB = m TgSec

Sec = AC

m Sec α AC = m Sec2

m

mtg

m

msec

a a

2acos

a S

b

sen2

abS

a

a

2sena2

x

B

H

A

mSec2

C m

mTg.Sec m.Sec

B

H

A m

C

98

Hallamos el perímetro del ABC: 2p = AC + AB + BC

2p = m Sec2 + m Tg Sec + mSec

2p = m Sec (Sec + Tg + 1)

1.1. APLICACIÓN DE LA RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN

PROBLEMAS DE ÁNGULOS VERTICALES.

1.1.1. Ángulos Verticales

Son aquellos ángulos que están ubicados en el plano vertical imaginario; que en la práctica son formados por una línea visual y una línea horizontal como consecuencia de una observación y se les mide con instrumentos de ingeniería, llamados “teodolitos”. a. Línea visual: Es la línea recta que une el ojo de un observador con un objeto que

se observa.

b. Línea horizontal: Es la línea recta paralela a la superficie horizontal referencial,

que pasa por el ojo del observador.

c. Ángulos de elevación: Es un ángulo formado por la línea visual y la línea

horizontal cuando el objeto se halla por encima de la línea horizontal.

d. Ángulo de depresión: Es el ángulo formado por la línea visual y la línea horizontal

cuando el objeto se halla por debajo de la línea horizontal.

y : ángulos verticales por su ubicación, se clasifican en :

: Ángulo de elevación

: Ángulo de depresión

NOTA: En todo problema donde no se mencione la altura del observador, entonces se considera un punto fijo sobre la superficie de la tierra.

99

EJEMPLOS:

1. Desde un punto “P” en tierra se observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30° y acercándose 20 m en línea recta se observa el punto anterior con un ángulo de elevación de 45°. Determine la altura del edificio.

2. Desde un helicóptero que se encuentra a 100 3 cm sobre el nivel del mar, los ángulos

de depresión de dos botes que están situados a la dirección sur del observador son 15° y 75°; halle la distancia que separa a los dos botes. Resolución De la figura:

100 3 ctg75° + x = 100 3 ctg15°

x = 100 3 (Ctg15° - Ctg75°)

x = 100 3 (2 + 3 - 2+ 3 )

x = = 100 3 (2 3 ) :.X = 600 cm

¡No olvides!

* tg 15° = ctg 75° = 2 - 3 y * tg 75° = ctg 15° = 2 + 3

3. Desde un punto en el suelo un observador mira la parte superior de un poste de luz

con un ángulo de elevación “” pero si se acerca una distancia igual a la mitad de la distancia que lo separa del poste, observaría el foco con un ángulo de elevación que

es complemento de “”. Halle: tg”. Resolución:

Resolución:

De la figura:

AP = hCtg 30°

AP’ = hCtg 45°

AP – AP’ = h ( 3 ) - h(1)

20 = h ( 3 - 1)

h = 20/( 3 -1)

h = 10( 3 +1)m

x

15°

75°

75° 15°

1003

1003 ctg15°

En el menor:

tg = 𝑎

2𝑎𝑡𝑔𝜃tg =

1

2

tg = 2

2

* tg 1° = ctg 75°

= 2 -

* tctg 15° = 2 +

20 P P’

30° 45°

h

A

2a a a

90 -

2a tg

100

DÉCIMA SEGUNDA SEMANA

SESIÓN 2

SEMINARIO PRÁCTICO

A. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE RESOLUCIÓN DE

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS QUE SE INDICAN A CONTINUACIÓN:

01.- Halle “x” del gráfico mostrado en función de “y” “” y “”

02.- Halle “x” en función de “m” “” y “”

03.- Calcule “x” en función de “L” y “” en la figura mostrada a continuación

04.- Calcule “x” de la figura mostrada, si se conocen “b”, “” y “”

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

ACTIVIDAD N°1

101

05.- Halle “x” en función de “a”, “” y “”

06.- Calcule “x” en la figura mostrada, si se conocen “k” y “”

07.- Calcule “x” en función de “a”, “b” “” y “” en la figura mostrada a continuación

08.- En el rombo mostrado calcule “x”, si se conocen “L” y “”.

09.- En el paralelogramo mostrado, calcule “x”, si se conocen “a” “b” y “”

102

10.- Halle la suma de longitudes de los catetos del triángulo rectángulo ABC en función de “R”

y “”

B. RESUELVA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE ÁNGULOS VERTICALES

APLICANDO RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:

01.- Una persona observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación de 30º y luego de alejarse 40m observa nuevamente con un ángulo de elevación de 15º. Halle la altura del edificio

02.- Un niño de estatura 1 m observa los ojos de una señorita de estatura 3 m con un

ángulo de elevación . Halle la distancia que los separa sabiendo que: ctg = 13

03.- Desde un punto en el suelo se observa la parte superior de una estatua con un ángulo de elevación de 60º y a la parte superior de su pedestal con un ángulo de elevación de 30º. Si la altura del pedestal es de 2m. Halle la altura de la estatua

04.- Desde las azoteas de dos edificios de 20 y 12m de altura, se observa un punto en

el suelo entre ambos edificios con ángulos de depresión de 53º y 37º respectivamente.

Calcule la distancia entre ambos edificios.

05.- Desde la parte superior de un edificio se observa un punto en el suelo con una depresión

angular “”. Determine la altura sabiendo que la línea visual mide “a”

06.- Desde un punto en el suelo se ubica la parte superior de un árbol con una elevación

angular de 37º, nos acercamos 5m y la nueva elevación angular es 45º. Halle la altura del

árbol.

07.- En la parte superior de un edificio se encuentra una bandera, a 5m de distancia del edificio se observa la parte inferior y superior del asta de la bandera con ángulos de

elevación y respectivamente. Halle la altura del asta si: tg = 1,4 y tg = 1,7m

08.- Desde lo alto de dos torres de 12 m y 314 m de altura respectivamente, se observa un

punto en el suelo entre ambas torres con ángulos de depresión de 37º y 60º respectivamente.

Calcule la distancia entre dichas torres.

USMP guia de trigo y geo pre

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