Representación entera de teselaciones periódicas con ...
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Taller de Geometría Discreta y Computacional Encuentro Nacional de Computación 2021 ACCESO ABIERTO *Contacto [email protected] Representación entera de teselaciones periódicas con polígonos regulares José Ezequiel Soto Sánchez 1* 1 PhD en matemáticas por el IMPA, posdoc en UFMA/PUC-Rio PLÁTICA Abstract En la plática, describiré una representación simple y entera para las teselaciones periódicas con polígonos regulares usando números complejos, actual estado del arte de estos objetos. Discutiré algunas propiedades de la representación, y mostraré algoritmos elegantes y ecientes para su adquisición, reconstrucción, representación gráca y clasicación cristalográca por detección automática de simetrías. Palabras clave: teselaciones, representación, simetría 1 Introducción Una teselación es una subdivisión del plano en caras cerradas y acotadas, cada una de ellas topológicamente equivalente al disco unitario. Nos enfocaremos en las teselaciones periódicas – esto es, invariantes a la acción de dos traslaciones linealmente independientes – cuyas caras son polígonos regulares. Estas restricciones imponen bastante rigidez al problema al mismo tiempo que posibilitan una gran variedad de teselaciones. Teselar el plano de forma periódica con polígonos regulares es un tema fascinante [1, 2]. El primer abordaje formal fue propuesto hace poco más de 400 años por Kepler en su "Harmonices Mundi" (1619), sin embargo, hasta ahora no disponemos de una clasicación exhaustiva de este tipo de teselaciones. Figure 1. Representación de una teselación y su reconstrucción computacional. En la plática presentaré una representación simple y entera de las teselaciones periódicas con polígonos regulares usando números complejos Cada teselación es representada por una matriz entera de ( 2+ n )× 4, como ilustra la Figura 1. Esta representación permite la adquisición, reconstrucción, representación gráca y clasicación cristalográca por detección automática de simetrías de las teselaciones perióidicas con polígonos regulares. Los resultados presentados forman parte de mi tesis doctoral [6] y fueron publicados a inicios de este año [7]. Los resultados fueron presentados el pasado 3 de marzo como abertura del Toronto Geometry Colloquium 1 número 16. Resultados preliminares del proyecto fueron presentados en Computer Graphics International 2019 [5] y en SIBGRAPI 2018 [4]. Más información sobre el proyecto de investigación puede ser consultada en: chequesoto.info/tilings.html. 1 https://toronto-geometry-colloquium.github.io/
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Taller de GeometríaDiscreta y Computacional
Encuentro Nacional deComputación 2021
ACCESOABIERTO
Representación entera de teselacionesperiódicas con polígonos regularesJosé Ezequiel Soto Sánchez1*
1PhD en matemáticas por el IMPA, posdoc en UFMA/PUC-Rio
PLÁTICA
AbstractEn la plática, describiré una representación simple y entera para las teselaciones periódicas conpolígonos regulares usando números complejos, actual estado del arte de estos objetos. Discutiréalgunas propiedades de la representación, y mostraré algoritmos elegantes y eficientes para suadquisición, reconstrucción, representación gráfica y clasificación cristalográfica por detecciónautomática de simetrías.
Palabras clave: teselaciones, representación, simetría
1 IntroducciónUna teselación es una subdivisión del plano en caras cerradas y acotadas, cada una de ellastopológicamente equivalente al disco unitario. Nos enfocaremos en las teselaciones periódicas– esto es, invariantes a la acción de dos traslaciones linealmente independientes – cuyas carasson polígonos regulares. Estas restricciones imponen bastante rigidez al problema al mismotiempo que posibilitan una gran variedad de teselaciones. Teselar el plano de forma periódica conpolígonos regulares es un tema fascinante [1, 2]. El primer abordaje formal fue propuesto hacepoco más de 400 años por Kepler en su "Harmonices Mundi" (1619), sin embargo, hasta ahora nodisponemos de una clasificación exhaustiva de este tipo de teselaciones.
Figure 1. Representación de una teselación y su reconstrucción computacional.
En la plática presentaré una representación simple y entera de las teselaciones periódicas conpolígonos regulares usando números complejos Cada teselación es representada por una matrizentera de (2 + n) × 4, como ilustra la Figura 1. Esta representación permite la adquisición,reconstrucción, representación gráfica y clasificación cristalográfica por detección automáticade simetrías de las teselaciones perióidicas con polígonos regulares. Los resultados presentadosforman parte de mi tesis doctoral [6] y fueron publicados a inicios de este año [7]. Los resultadosfueron presentados el pasado 3 de marzo como abertura del Toronto Geometry Colloquium1
número 16. Resultados preliminares del proyecto fueron presentados en Computer GraphicsInternational 2019 [5] y en SIBGRAPI 2018 [4]. Más información sobre el proyecto de investigaciónpuede ser consultada en: chequesoto.info/tilings.html.
1https://toronto-geometry-colloquium.github.io/
2 DefinicionesUna teselación poligonal arista con arista es una teselación cuyas caras son polígonos y en lacual la intersección entre dos caras es exclusivamente vacía, una arista o un vértice. Un vérticeArquimediano es un vértice de una teselación arista con arista con polígonos regulares. Existen15 vértices Arquimedianos que teselan el plano (figura 2). Una teselación con polígonos regulareses clasificada como n-uniforme k -Arquimediana cuando sus vértices pertenecen a n clases deequivalencia por el grupo de simetría y a k distintas clases de vértices Arquimedianos [3, 7].
12 12
3
G
(3 · 122)
12
4
6
H
(4 · 6 · 12)
8
4
8
J
(4 · 82)
6 6
6
K
(63)
12
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L
(32 · 4 · 12)
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M
(3 · 4 · 3 · 12)
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N
(3 · 42 · 6)
64
3
4
P
(3 · 4 · 6 · 4)
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Q
(32 · 62)
6
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3
R
(3 · 6 · 3 · 6)
4 4
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S
(44)
4 4
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T
(33 · 42)
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U
(32 · 4 · 3 · 4)
6
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V
(34 · 6)
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33
3
W
(36)
Figure 2. Vértices Arquimedianos.
3 ProblemasNos interesa una representación simple y computacionalmente eficiente de las teselacionesperiódicas con polígonos regulares. ¿La representación es robusta, consistente, permite identificarteselaciones iguales? También abordaré el problema de adquisición, es decir, crear una repre-sentación a partir de una imagen. Además de la clasificación automática por grupo de simetría deuna teselación y su clasificación como n-uniforme k -Arquimediana.
4 ResultadosPresentaré los detalles de una representación entera de teselaciones periódicas con polígonosregulares, sus propiedades, así como algoritmos basados en esta representación que permiten lasíntesis, la comparación, la exploración y el análisis de dichas teselaciones, incluyendo su clasifi-cación automática por grupo de simetría y clase n-uniforme k -Arquimediana. Esta representacióny sus propiedades son un aspecto crucial para el estudio y las aplicaciones de las teselaciones.
References[1] Branko Grunbaum and Geoffrey C. Shephard. Tilings and Patterns. W.H.Freeman & Co Ltd,
1986.
[2] Craig S. Kaplan. Introductory Tiling Theory for Computer Graphics. Morgan &Claypool Publishers,2009.
[3] Nils Lenngren. k -uniform tilings by regular polygons. Technical report, 2009.
[4] AslaMedeiros e Sá, Luiz Henrique de Figueiredo, and José Ezequiel Soto Sánchez. Synthesizingperiodic tilings of regular polygons. In SIBGRAPI 2018, pages 17–24. IEEE, Computer Press,2018.
[5] José Ezequiel. Soto Sánchez, Asla Medeiros. e Sá, and Luiz Henrique de Figueiredo. Acquiringperiodic tilings of regular polygons from images. Visual Computer, 35(6):899–907, 2019.
[6] José Ezequiel Soto Sánchez. On Priodic Tilings with Regular Polygons. PhD thesis, Instituto deMatemática Pura y Aplicada (IMPA), 08 2020.
[7] José Ezequiel Soto Sánchez, TimWeyrich, AslaMedeiros e Sá, and Luiz Henrique de Figueiredo.An integer representation for periodic tilings of the plane by regular polygons. Computers &Graphics, 95:69–80, 2021.
