Resonancia y Lugares Geométricos

RESONANCIA Y LUGARES GEOMÉTRICOS

Fuente senoidal con amplitud constante.

Variar la frecuencia (𝝎 = 𝟐𝝅𝒇).

Respuesta en frecuencia del circuito.

Aplicaciones: Sistemas de comunicaciones.

Circuito resonante (o sintonizado): Combinación de elementos R, L, C

03/10/2014 ING. GEOVANNY MATUTE 2

Resonancia: Condición que se da en todo sistema físico cuando una función forzada senoidal de amplitud fija produce una respuesta de amplitud máxima.

Circuito resonante (R, L, C): La tensión y la corriente en los terminales de entrada están en fase (factor de potencia unitario).

Reactancia capacitiva = Reactancia Inductiva (Impedancia resistiva)

Circuito resonante serie (impedancia pequeña)

Circuito resonante paralelo (impedancia alta)

Se utilizan en filtros para sintonizar una frecuencia.

Ejemplo: Seleccionar estaciones de radio y de televisión.


En resonancia:

Impedancia en resonancia: (Valor mínimo de 𝒁𝑻)

Frecuencia de resonancia:


Corriente a través del circuito en resonancia:

En resonancia el voltaje de entrada y la corriente están en fase.

En resonancia el voltaje en el capacitor y en el inductor tienen la misma magnitud pero están desfasados 180°.


Diagrama fasorial para el circuito serie en resonancia:

El factor de potencia del circuito en resonancia es:


Factor de calidad 𝑸𝑺:

Relación entre la potencia reactiva y la potencia activa.

Relación entre la energía almacenada y la disipada.

Usualmente es mayor que 1.


Tensión en el inductor y en el capacitor en resonancia:


𝒁𝑻 en función de la frecuencia

Módulo de la impedancia


Ángulo de la impedancia


SELECTIVIDAD:

Frecuencias de banda, de corte o de media potencia: 𝒇𝟏, 𝒇𝟐

Ancho de banda:


∆𝐟 = 𝒇𝟐 − 𝒇𝟏 𝐁𝐖 = 𝒇𝟐 − 𝒇𝟏

𝐁𝐖 = 𝝎𝟐 − 𝝎𝟏

[𝑯𝒛]

[𝒓𝒂𝒅/𝒔]

Las frecuencias de media potencia son aquellas en que la potencia entregada es la mitad de la entregada en la frecuencia de resonancia.


Menor ancho de banda mayor selectividad

𝑸𝑺 pequeño 𝑩𝑾 grande

𝑸𝑺 grande 𝑩𝑾 pequeño


Si 𝑸𝑺 ≥ 𝟏𝟎

• La curva resonante es simétrica.


𝒇𝟏 ≈ 𝒇𝑺 −𝑩𝑾

𝟐

𝒇𝟏 ≈ 𝒇𝑺 +𝑩𝑾

𝟐

Para cualquier 𝑸𝑺


Ancho de banda fraccional:


Ejercicio 1: Para el circuito de la figura:

a) Encuentre el valor de 𝑿𝑪 para la resonancia.

b) Determine la impedancia total del circuito en resonancia.

c) Encuentre la magnitud de la corriente 𝑰.

d) Calcule los voltajes 𝑽𝑹, 𝑽𝑳 y 𝑽𝑪 en resonancia.

e) ¿Cuál es el factor de calidad del circuito?

f) ¿Cuál es la potencia disipada por el circuito en resonancia?


Ejercicio 2:

a) Encuentre el ancho de banda de un circuito resonante en serie que tiene frecuencia de resonancia de 6000 Hz y 𝑸𝑺 de 15.

b) Encuentre las frecuencias de corte.

c) Si la resistencia del circuito en resonancia es de 3 Ω, ¿cuáles son los valores de 𝑿𝑳 y 𝑿𝑪 en ohms?

d) ¿Cuál es la potencia disipada en las frecuencias de corte de media potencia si la corriente máxima que fluye por el circuito es de 0,5 A?


Ejercicio 3:

a) El ancho de banda de un circuito resonante en serie es de 200 Hz. Si la frecuencia de resonancia es de 2000 Hz, ¿cuál es le valor de 𝑸𝑺 para el circuito?

b) Si 𝑹 = 𝟐 𝛀, ¿cuál es el valor de 𝑿𝑳 en resonancia?

c) Encuentre el valor de L y C en resonancia.

d) Encuentre las frecuencias de corte.


• Este circuito es ideal porque en la práctica la bobina tiene una resistencia interna.

• La admitancia total de la red es:


• El circuito entra en resonancia cuando la parte imaginaria es cero.


• Gráfica de 𝒀 en función de la frecuencia:

• En resonancia, la admitancia es:


Circuito LR-C en paralelo práctico (circuito tanque):

• En resonancia, la parte imaginaria es cero:


• La admitancia en resonancia es:


• Otro método para analizar el circuito LR-C en paralelo:

• Se encuentra una red equivalente en paralelo para la rama R-L en serie.


• Red equivalente en paralelo:

• Red equivalente con el mismo formato que la configuración ideal:


Circuito LR-CR en paralelo:


Lugares geométricos de impedancias o de admitancias.

Se utiliza para el estudio de circuitos que tienen un elemento variable.

• Resistencia variable: 0 Ω ∞ Ω

• Reactancia variable: -∞ Ω +∞ Ω

-∞ Ω 0 Ω Reactancia capacitiva

0 Ω +∞ Ω Reactancia inductiva

Gráfica en el plano complejo de los puntos que representan la variación de la impedancia o de la admitancia.


Caso 1: Resistencia variable y reactancia inductiva constante.

• R = 0 La impedancia es puramente inductiva.

• R = ∞ La impedancia es puramente resistiva.

Lugar geométrico de Z:


𝒁 = 𝑹 + 𝒋𝑿𝟏

𝒁𝒎𝒊𝒏 = 𝒋𝑿𝟏

𝒁𝒎𝒂𝒙 = ∞

El lugar geométrico es una recta horizontal.

Lugar geométrico de Y:

• Se iguala la parte imaginaria porque la parte real es variable.


𝒁 =𝟏

𝒀

𝒀 = 𝑮 + 𝒋𝑩

𝑹 + 𝒋𝑿𝟏 =𝟏

𝑮 + 𝒋𝑩 𝑹 + 𝒋𝑿𝟏 =

𝑮

𝑮𝟐 + 𝑩𝟐+ 𝒋

−𝑩

𝑮𝟐 + 𝑩𝟐

𝑿𝟏 =−𝑩

𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 𝑿𝟏𝑮𝟐 + 𝑿𝟏𝑩𝟐 + 𝑩 = 𝟎 𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 +𝑩

𝑿𝟏= 𝟎

𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 +𝑩

𝑿𝟏+

𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐

=𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐

𝑮𝟐 + 𝑩 +𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐

=𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐

Ecuación de una circunferencia

• Centro:

• Radio:


𝑮𝟐 + 𝑩 +𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐

=𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐

𝟎, −𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝒓 =𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝒀𝒎𝒂𝒙 =𝟏

𝒁𝒎𝒊𝒏=

𝟏

𝒋𝑿𝟏= −𝒋

𝟏

𝑿𝟏

𝒀𝒎𝒊𝒏 =𝟏

𝒁𝒎𝒂𝒙=

𝟏

∞= 𝟎

El lugar geométrico es una semicircunferencia.

Caso 2: Resistencia variable y reactancia capacitiva constante.

• R = 0 La impedancia es puramente capacitiva.

• R = ∞ La impedancia es puramente resistiva.



𝒁 = 𝑹 − 𝒋𝑿𝟏

𝒁𝒎𝒊𝒏 = −𝒋𝑿𝟏


El lugar geométrico es una recta horizontal.


• Se iguala la parte imaginaria porque la parte real es variable.


𝒁 =𝟏

𝒀


𝑹 − 𝒋𝑿𝟏 =𝟏

𝑮 + 𝒋𝑩 𝑹 − 𝒋𝑿𝟏 =

𝑮

𝑮𝟐 + 𝑩𝟐+ 𝒋

−𝑩

𝑮𝟐 + 𝑩𝟐

𝑿𝟏 =𝑩

𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 𝑿𝟏𝑮𝟐 + 𝑿𝟏𝑩𝟐 − 𝑩 = 𝟎 𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 −𝑩

𝑿𝟏= 𝟎

𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 −𝑩

𝑿𝟏+

𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐

=𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐

𝑮𝟐 + 𝑩 −𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐

=𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐


• Centro:

• Radio:


𝑮𝟐 + 𝑩 −𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐

=𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝟐

𝟎,𝟏

𝟐𝑿𝟏

𝒓 =𝟏

𝟐𝑿𝟏


𝒁𝒎𝒊𝒏=

𝟏

−𝒋𝑿𝟏= 𝒋

𝟏

𝑿𝟏


𝒁𝒎𝒂𝒙=

𝟏

∞= 𝟎

El lugar geométrico es una semicircunferencia.

Caso 3: Resistencia constante y reactancia variable.

• 𝑿: -∞ +∞

𝑿𝑪: -∞ 0

𝑿𝑳: 0 +∞



𝒁 = 𝑹𝟏 + 𝒋𝑿

𝒁𝒎𝒊𝒏 = 𝑹𝟏

El lugar geométrico es una recta vertical.



• Se iguala la parte real porque la parte imaginaria es variable.


𝒁 =𝟏

𝒀


𝑹𝟏 + 𝒋𝑿 =𝟏

𝑮 + 𝒋𝑩 𝑹𝟏 + 𝒋𝑿 =

𝑮

𝑮𝟐 + 𝑩𝟐+ 𝒋

−𝑩

𝑮𝟐 + 𝑩𝟐

𝑹𝟏 =𝑮

𝑮𝟐 + 𝑩𝟐 𝑹𝟏𝑮𝟐 + 𝑹𝟏𝑩𝟐 − 𝑮 = 𝟎 𝑮𝟐 −𝑮

𝑿𝟏+ 𝑩𝟐 = 𝟎

𝑮𝟐 −𝑮

𝑹𝟏+

𝟏

𝟐𝑮𝟏

𝟐

+ 𝑩𝟐 =𝟏

𝟐𝑹𝟏

𝟐

𝑮 −𝟏

𝟐𝑹𝟏

𝟐

+ 𝑩𝟐 =𝟏

𝟐𝑹𝟏

𝟐


• Centro:

• Radio:


𝟏

𝟐𝑹𝟏, 𝟎

𝒓 =𝟏

𝟐𝑹𝟏


𝒁𝒎𝒊𝒏=

𝟏

𝑹𝟏


𝒁𝒎𝒂𝒙=

𝟏

∞= 𝟎

El lugar geométrico es una circunferencia. 𝑮 −𝟏

𝟐𝑹𝟏

𝟐

+ 𝑩𝟐 =𝟏

𝟐𝑹𝟏

𝟐

Generalmente la tensión es constante, por lo tanto la variación de 𝑰 depende de 𝒁 o de 𝒀.

• 𝒁𝒎𝒊𝒏 , 𝑰𝒎𝒂𝒙 𝒁 = 𝟎 , 𝑰 → ∞ 𝒀𝒎𝒊𝒏 , 𝑰𝒎𝒊𝒏

• 𝒁𝒎𝒂𝒙 , 𝑰𝒎𝒊𝒏 𝒁 → ∞ , 𝑰 = 𝟎 𝒀𝒎𝒂𝒙 , 𝑰𝒎𝒂𝒙


• Lugar geométrico de Z:


𝑰 =𝑽

𝒁= 𝑽𝒀


El lugar geométrico de corrientes va a tener la misma forma del lugar geométrico de Y.

Se obtiene el lugar geométrico de Y y luego se multiplica por V.


𝑰 =𝑽

𝒁= 𝑽𝒀

Para 𝑽 = 𝑽 ∠𝟎°

• Lugar geométrico de corrientes:


𝑰𝒎𝒂𝒙 = −𝒋𝟏

𝑿𝟏∙ 𝑽

𝑰𝒎𝒊𝒏 = 𝟎

Para 𝑽 = 𝑽 ∠𝜽

• El lugar geométrico de corrientes se desplaza un ángulo 𝜽:


Caso 2: Resistencia variable y reactancia capacitiva constante.

Lugar geométrico de Z Lugar geométrico de Y


• Lugar geométrico de corrientes para 𝑽 = 𝑽 ∠𝟎°:


𝑰𝒎𝒂𝒙 = 𝒋𝟏

𝑿𝟏∙ 𝑽

𝑰𝒎𝒊𝒏 = 𝟎

• Lugar geométrico de corrientes para 𝑽 = 𝑽 ∠𝜽:


El circuito debe tener elementos variables.

El lugar geométrico de 𝑺 tiene la misma forma que el lugar geométrico de 𝒀 y de 𝑰.

Se obtiene el lugar geométrico de 𝒀, luego se refleja para hallar el de 𝒀∗ y finalmente se multiplica por 𝑽 𝟐.


𝑺 = 𝑽𝑰∗ 𝑺 = 𝑷 + 𝒋𝑸 𝑺 = 𝑽 𝑽𝒀 ∗ = 𝑽𝑽∗𝒀∗ = 𝑽 𝟐𝒀∗


Lugar geométrico de potencia compleja S

Lugar geométrico de Y


• Ejercicio 1: Determine el LG de Z y de Y para C variable.

• Solución:


• Ejercicio 2: Determine el LG de Z y de Y para G variable.

• Solución:


• Ejercicio 3:

Para la red de la figura, determine el LG de la admitancia Y vista por el generador.


• Solución:

• LG de Z y de Y para la combinación serie RC.


• LG de Y considerando G2.


• Ejercicio 4:

Para la red de la figura, determine el LG de la corriente 𝑰 para C variable.


• Ejercicio 5:

Para la red de la figura, determine el LG de la corriente 𝑰 para:

a) 𝑹𝑪 variable.

b) 𝑹𝑳 variable.

c) 𝑳 variable.


• Ejercicio 6:

Determine el LG de la admitancia de entrada para el circuito equivalente aproximado de un motor de inducción que se muestra en la figura.

(R’ es una resistencia que representa la carga mecánica del motor, y la potencia suministrada a R’ es la potencia útil de salida del motor)


• Solución:


LG de 𝒁𝒎 (rama que contiene a R’)

LG de 𝐘𝐦 y de 𝐘𝐓

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