Resumen de Calculo I

Armin Luer Villagra

21 de marzo de 2006

1. Numeros Reales

1.1. Axioma de Cuerpo

1. a, b ∈ R ⇒ (a+ b) ∈ R,∀a, b ∈ R

2. a+ b = b+ a,∀a, b ∈ R

3. a+ (b+ c) = (a+ b) + c, ∀a, b, c ∈ R

4. 0 + a = a+ 0 = a,∀a ∈ R

5. ∀a ∈ R,∃(−a) ∈ R :a+ (−a) = (−a) + a = 0

6. a, b ∈ R ⇒ a · b ∈ R,∀a, b ∈ R

7. a · b = b · a,∀a, b ∈ R

8. a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ R

9. ∃1 ∈ R llamado neutro de la multiplicacion :1 · a = a · 1 = a,∀a ∈ R

10. ∀a ∈ R ∃a−1 llamado inverso multiplicativode a : a · a−1 = a−1 · a = 1

11. a ·(b+c) = (b+c) ·a = a ·b+a ·c, ∀a, b, c ∈ R

Observacion:

1. a− b = a+ (−b)

2.a

b= a · b−1, b 6= 0

3. 0 · a = 0

4. (−a) · b = a · (−b) = −a · b

5. (−a) · (−b) = a · b

6. a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0

7. a · (b− c) = a · b− a · c

8.a

b+c

d=ad+ bc

bd; b, d 6= 0

9.a

b· cd

=a · cb · d

; b, d 6= 0

10.abcd

=ad

bc, b, c, d 6= 0

1.2. Axioma de Orden

1. R+ es cerrado para la adicion: a, b ∈ R+ ⇒(a+ b) ∈ R+

2. R+ es cerrado para la multiplicacion: a, b ∈R+ ⇒ (a · b) ∈ R+

3. a ∈ R ⇒ a = 0 ∨ a > 0 ∨ a < 0 Ley deTricotomıa

Utiles en demostraciones

1. R− = x ∈ R/− x ∈ R+

2. a > b⇔ a− b ∈ R+

3. a ≥ b⇔ a− b ∈ R+ ∨ a− b = 0

4. x < y ⇒ x+ a < y + a

5. x < y ∧ y < z ⇒ x < z

6. x < y ∧ a < b⇒ x+ a < y + b

7. x < y ∧ a > 0 ⇒ a · x < a · y

8. x < y ∧ a < 0 ⇒ a · x > a · y

9. x 6= 0 ⇒ x2 > 0

10. x > 0 ⇒ x−1 > 0

1

11. 0 < a < b⇒ b−1 < a−1

12. 0 < a < b ∧ 0 < x < y ⇒ a · x < b · y

1.2.1. Intervalos

1. Intervalos finitos

a) Abierto: si ninguno de los extremosdel intervalo pertenecen al conjuntoque determina el intervalo. (a, b) =x ∈ R/a < x < b

b) Cerrado: si ambos extremos del intervalopertenecen al conjunto que determina elintervalo. [a, b] = x ∈ R/a ≤ x ≤ b

c) Semiabierto o semicerrado: si uno de losextremos no pertenece al conjunto quedetermina el intervalo.

1) (a, b]=x ∈ R/a < x ≤ b2) [a, b) = x ∈ R/a ≤ x < b

2. Intervalos infinitos

a) [a,+∞) = x ∈ R/x ≥ a

b) (a,+∞) = x ∈ R/x > a

c) (−∞, a] = x ∈ R/x ≤ a

d) (−∞, a) = x ∈ R/x < a

e) (−∞,+∞) = x ∈ R = R

Expresiones notables:

1. x2 − y2 = (x+ y)(x− y)

2. (x± y)2 = x2 ± 2xy + y2

3. (x± y)3 = x3 ± 3x2y + 3xy2 ± y3

4. x3 ± y3 = (x± y)(x2 ∓ xy + y2)

5. (x+y+z)2 = x2 +y2 +z2 +2xy+2xz+2yz

1.2.2. Desigualdades

1. Conviene agrupar todos los terminos algebrai-cos en un lado de la inecuacion y resolver ası.Ej: 7x− 2 < 5x+ 7 ⇔ 2x < 9 ⇔ x < 9

2

2. En expresiones mas complejas descomponeren factores y analizar por intervalos. Ej: x2 −4x− 5 ≤ 0 ⇔ (x− 5)(x+1) ≤ 0 Analizamosen los intervalos (−∞,−1), (−1, 5), (5,+∞)Determinando signo de la expresion y selec-cionamos en los que se cumpla la desigualdad.Ver tambien las fronteras de los intervalos. R:S = x ∈ R/− 1 ≤ x ≤ 5

1.2.3. Valor Absoluto

|x| es el valor absoluto del real x, que se definecomo:

x, si x ≥ 0

-x, si x < 0

Propiedades del valor absoluto

1. |x| =√x2

2. x ≤ |x|

3. |xy| = |x| |y|

4.∣∣∣x

y

∣∣∣ = |x||y|

5. |x| − |y| ≤ |x|+ |y|

6. |x| ≤ a⇒ −a ≤ x ≤ a

7. |x| ≥ a⇒ x ≥ a ∨ x ≤ −a

8. |x+ y| ≤ |x| + |y| OJO! Desigualdad trian-gular

En las desigualdades con valor absoluto seopera de forma similar a las desigualdades mascomplejas, pero se deben agregar intervalos.Se deben considerar los valores en los que losvalores absolutos cambian de signo.

1.3. Axioma de Completitud

Sea S ⊂ R :

1. Si S esta acotado superiormente, entonces Stiene supremo.

2. Si S esta acotado inferiormente, entonces Stiene ınfimo.

2

1.4. Principio de Induccion Ma-tematica

Si a cada n ∈ N se le asocia una proposicionP(n), que cumple:

1. P (1) es verdadera

2. P (k) verdadera ⇒ P (k + 1) verdadera

entonces P (n) verdadera ∀n ∈ N

1.5. Operatoria en N1.5.1. Potenciacion

an = a · a · a · · · a, n factores de a

a1 = a

an+1 = an · a

1.6. Operatoria en ZZ = N ∪ N− ∪ 0

1.6.1. Potenciacion entera

a0 = 1

a−n =(a−1

)n=

(1

a

)n

=1

an, a 6= 0

Propiedades de la potenciacion entera

1. am · an = am+n

2. (a · b)n = an · bn

3. (am)n = amn

4.am

an= am−n, a 6= 0

5. (a

b)n =

an

bn, b 6= 0

1.7. Numeros racionales QSu definicion es:

Q =x ∈ R/x =

a

b, a ∈ Z, b ∈ Q− 0

1.7.1. Radicacion

xn = a⇔ x = n√a

A tener en cuenta:

1.√a = 2

√a

2.n√

0 = 0

3. ( n√a)n = a

4. Si a > 0 ⇒ ( n√a)n = a = n

√an

1.7.2. Exponentes racionales

Sean a ∈ R− 0 , p ∈ Z, q ∈ R+ tq ∃a1/q.

ap/q = q√ap = ( q

√a)p = (a1/q)p = (ap)1/q

Cumplen las mismas propiedades que laspotencias, al igual que las potencias reales.

1.8. Numeros irracionales II = R−Q

1.9. Teorema del Binomio

Sean n ∈ N, a, b ∈ R, entonces

(a+ b)n =n∑

k=0

(n

k

)an−kbk

2. Geometrıa Analıtica

2.1. Distancia entre dos puntos

d =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

2.2. Punto de Division

Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) puntos del planocartesiano y P (x, y) un punto que divide al seg-mento en la relacion r = P1P/PP2. Las coorde-nadas de dicho punto, que divide en una razon r elsegmento P1P2 son:

x =rx2 + x1

1 + r; y =

ry2 + y1

1 + r

3

2.3. La Recta

Es el L.G. de los puntos (x1, y1), (x2, y2) distin-tos que cumplen la relacion:

y2 − y1

x2 − x1

= k

Su pendiente viene dada por:

m = tg θ =y2 − y1

x2 − x1

Tener en cuenta que si L1L2 rectas:

L1||L2 ⇔ m1 = m2

L1⊥L2 ⇔ m1 ·m2 = −1

El angulo entre dos rectas, que llamaremos α es:

α = arc tg

(m2 −m1

1 +m1m2

)Ecuaciones de la recta

1. Punto-pendiente:

y − y1 = m(x− x1)

2. Pendiente-ordenada:

y = mx+ b

donde b es la ordenada (el punto (0,b) quepertenece a la recta)

3. Punto-punto:

y − y1 =y2 − y1

x2 − x1

(x− x1)

4. Simetrica:x

a+y

b= 1

donde la recta pasa por (a,0) y (0,b)

5. General:Ax+By + C = 0

con A, B, C constantes, con A y B noanulandose al mismo tiempo.

6. Normal:Si Ax+By+C=0 la ecuacion de una recta, lade su normal viene dada por:

Ax+By + C√A2 +B2

= 0

Distancia de un punto a una recta SeaAx+By+C=0 una recta y P (x1, x2) un punto, ladistancia d del punto a la recta es:

d =|Ax1 +By1 + C|√

A2 +B2

2.4. Ecuaciones Cuadraticas

Tienen la forma

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

Si B = 0 ademas:

1. A = C ⇒ Circunferencia

2. A y C distinto signo ⇒ Hiperbola

3. A y C igual signo, A 6= C ⇒ Elipse

4. A = 0 ⇒ Parabola

5. C = 0 ⇒ Parabola

2.4.1. Circunferencia

Es el L.G de todos los puntos que se encuentran auna distancia r, de un punto (h, k), llamado centro.Su ecuacion :

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

(Figura 1).

2.4.2. Parabola

Es el L.G de todos los puntos que se encuentrana una misma distancia de un punto fijo F (Foco) yde una recta fija D (Directriz). (Figura 2).

Ecuaciones generalizadas: Sea el vertice(h, k), el foco a una distancia a del vertice. Ladirectriz esta a una distancia 2a del foco.

1. Eje de simetrıa paralelo al eje x, directriz a laizquierda del foco

(y − k)2 = 4a(x− h)

2. Eje de simetrıa paralelo al eje x, directriz a laderecha del foco

(y − k)2 = −4a(x− h)

4

Figura 1: Circunferencia de ecuacion(x− h)2 + (y − k)2 = r2.

Figura 2: Parabola de ecuacion (y−k)2 = 4a(x−h)

Figura 3: elipse de ecuacion (x−h)2

a2 + (y−k)2

b2= 1

3. Eje de simetrıa paralelo al eje y, directriz bajoel foco

(x− h)2 = 4a(y − k)

4. Eje de simetrıa paralelo al eje y, directriz sobreel foco

(x− h)2 = −4a(y − k)

2.4.3. Elipse

Es el L.G de todos los puntos cuya suma de dis-tancias a dos puntos fijos, llamados focos (F1 y F2)es constante, e igual a 2a.

Ecuaciones generalizadas

1. Elipse con centro en (h, k) y eje mayor en di-reccion del eje x

(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1

(Figura 3).

2. Elipse con centro en (h, k) y eje mayor en di-reccion del eje y

(x− h)2

b2+

(y − k)2

a2= 1

5

Figura 4: Hiperbola de ecuacion (x−h)2

a2 − (y−k)2

b2=

1

2.4.4. Hiperbola

Es el L.G. de todos los puntos cuya diferencia dedistancias a dos puntos fijos (F1 y F2) es constante,e igual a 2a.

Ecuaciones generalizadas

1. Hiperbola con centro en (h, k) y eje real endireccion del eje x

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1

(Figura 4)

2. Hiperbola con centro en (h, k) y eje real endireccion del eje y

(y − k)2

a2− (x− h)2

b2= 1

2.4.5. Transformacion de coordenadas

Traslacion Sea un sistema de ejes primitivos,donde un punto tiene coordenadas (x, y). Si el ori-gen del sistema de coordenadas se mueve al pun-to (h, k) y las nuevas coordenadas del punto son(u, v), entonces las ecuaciones de transformacionpor traslacion son:

x = h+ u

y = k + v

(Figura 5)

Figura 5: Traslacion del origen de los ejes a (h, k)

Figura 6: Rotacion de los ejes en un angulo θ

Rotacion Sea el sistema de coordenadas xy serota un cierto angulo θ. Si los nuevos ejes son uv,las ecuaciones de transformacion son:

x = u cos θ − v sen θ

y = u sen θ + v cos θ

(Figura 6)

6

3. Funciones

Trigonometricas

3.1. Prerrequisitos

Conversion grados-radianes

3.2. Funciones Trigonometricas

En el triangulo rectangulo:

senα =opuesto

hipotenusa

cosα =adyacente

hipotenusa

tgα =opuesto

adyacente

cotgα =1

tgα

secα =1

cosα

cscα =1

senα

3.2.1. Funciones de angulos complemen-tarios

En un triangulo, sean α y β los dos angulos agu-dos de este triangulo (el tercero es el angulo recto).Cumplen que como β = 90− α:

senα = cos β

cosα = sen β

tgα = cotg β

cotgα = tg β

secα = csc β

cscα = sec β

Signo en los distintos cuadrantes Siguen laregla I,II,III,IV ⇒ Todas SIN TA-COS

3.2.2. Reduccion al primer cuadrante

Se separa en casos, sea α agudo, y ψ el anguloa reducir:

1. Si ψ = (90 ± α) o ψ = (270 ± α) corres-ponden a la cofuncion de α, con el signo delcua-drante de ψ.

2. Si ψ = (180 ± α) o ψ = (360 ± α) corres-ponden a la funcion de α, con el signo delcuadrante de ψ.

3. Resumiendo:Si ψ=(n · 90 ±α), corresponde a la funcionde α si n es par, sino es igual a la cofuncionde este. (Considerar el signo del cuadrante deψ)

3.3. Grafica de funciones trigo-nometricas

3.3.1. Amplitud, fase y periodo

1. Amplitud es la mitad de la distancia entredos valores maximos y mınimo

2. Fase es el corrimiento horizontal que sufrefuncion

3. Periodo Cambio necesario de la variable paraque la funcion realice un ciclo completo

3.4. Identidades trigonometricas

1. sen2 α+ cos2 α = 1

2. 1 + tg2 α = sec2 α

3. 1 + cotg2 α = csc2 α

4. cscα =1

senα

5. secα =1

cosα

6. tgα =1

cotgα

7. tgα =senα

cosα

8. sen(x± y) = sen x · cos y ± cosx · sen y

7

9. cos(x± y) = cosx · cos y ∓ sen x · sen y

10. tg(x± y) =tg x± tg y

1∓ tg x · tg y

11. sen(2x) = 2 senx · cosx

12. cos(2x) = cos2 x− sen2 x

13. sen(x

2) = ±

√1− cosx

2

14. cos(x

2) = ±

√1 + cos x

2

15. sen x+ sen y = 2 sen(x+ y

2) · cos(

x− y

2)

16. sen x− sen y = 2 cos(x+ y

2) · sen(

x− y

2)

17. cosx+ cos y = 2 cos(x+ y

2) · cos(

x− y

2)

18. cosx− cos y = −2 sen(x+ y

2) · sen(

x− y

2)

3.5. Funciones trigonometricasinversas

Son los llamados “arcos”, son las funciones in-versas. Requieren biyectividad por parte de las fun-ciones trigometricas, y por esto en las siguienteexpresiones se restringe su “rango de validez”.

1. Seno

Arcsen(senα) = α, ∀α ∈[−π

2, π

2

]sen(Arcsenx) = x, ∀x ∈ [−1, 1]

2. Coseno

Arccos(cosα) = α, ∀α ∈ [0, π]

cos(Arccosx) = x, ∀x ∈ [−1, 1]

3. Tangente

Arctg(tgα) = α, ∀α ∈(−π

2, π

2

)tg(Arctgx) = x, ∀x ∈ R

3.6. Ecuaciones trigonometricas

No existe una forma unica de resolverlas, peroes se suelen seguir las sigtes. recomendaciones:

Llevar todas las relaciones trigonometricas auna sola, mediante identidades.

Dejar todo expresado en la misma cantidad,ya sea x, 2x, etc.

No aplicar raız cuadrada, de no ser estricta-mente necesario, porque se pierden soluciones.

Es preferible resolver las ecuaciones cuadrati-cas.

3.7. Teoremas utiles engeometrıa

3.7.1. Ley de los senos

En todo triangulo los lados son proporcionales alos senos de los angulos opuestos:

a

senA=

b

senB=

c

senC

3.7.2. Ley de los cosenos

En todo triangulo el cuadrado de un lado es iguala la suma de los cuadrados de los otros dos ladosmenos el doble producto de estos lados por el co-seno del angulo comprendido:

a2 = b2 + c2 − 2bc · cosA

b2 = a2 + c2 − 2ac · cosB

c2 = a2 + b2 − 2ab · cosC

4. Sucesiones Numericas

Si X es un conjunto, familia de X se anota (xn),n ∈ I, con I conjunto de ındices y cualquierelemento n ∈ I es un ındice. Si I = N, se lellama sucesion. Diremos que dos sucesiones soniguales ⇔ todos sus terminos correspondientesson iguales. En sımbolos:

Sean (an), (bn) sucesiones iguales⇔ (ai) = (bi)∀i ∈ N

8

4.1. Antes de seguir...

4.1.1. Factorial

0! = 1! = 1, (n+ 1)! = (n+ 1)n!

4.1.2. Sumatoria

1.n∑

i=0

ai = a0 + a1 + a2 + . . .+ an

2.0∑

i=0

ai = a0

3.n+1∑i=0

ai = an+1 +n∑

i=0

ai

4.n∑

i=0

(ai ± bi) =n∑

i=0

ai ±n∑

i=0

bi

5.n∑

i=0

k · ai = k ·n∑

i=0

ai

6.n∑

i=0

ai =n+r∑i=r

ai−r, r > 0

7.n∑

i=0

ai =m−1∑i=0

ai +n∑m

ai,m < n

4.2. Sucesion aritmetica

Cumple que an+1 − an = d,∀n ∈ N, tal que:

Sn =n∑

i=1

ai = a1 + a2 + . . .+ an =n

2(a1 + an)

es la llamada Serie aritmetica.

4.3. Sucesion geometrica

Cumple que an+1 = r · an,∀n ∈ N, tal que:

Sn =n∑

i=1

ai = a1+a2+. . .+an =a1(r

n − 1)

r − 1, r 6= 1

es la llamada Serie geometrica.

4.4. Sucesion armonica

Si tres numeros a, b, c estan en sucesion armoni-

ca sia

c=a− b

b− cAdemas

1

a,1

b,1

cestan en sucesion

aritmetica.

4.5. Sucesiones monotonas

4.5.1. Criterios

Diferencia

• (xn) creciente⇔ xn+1−xn ≥ 0,∀n ∈ N

• (xn) decreciente⇔ xn+1−xn ≤ 0,∀n ∈N

Cuociente

• (xn) creciente ⇔ xn+1

xn

≥ 1,∀n ∈ N

• (xn) decreciente ⇔ xn+1

xn

≤ 1,∀n ∈ N

Si se quiere que sean estrictas, se le quita el iguala los criterios, quedando como < o bien como >.

4.6. Sucesiones convergentes

lımn→∞

xn = L⇔ (∀ε > 0)(∃N ∈ N)

(n > N ⇒ |xn − L| < ε)

Si una sucesion tiene lımite es convergente, encaso contrario, divergente.

4.6.1. Determinar convergencia

Si Si (xn) converge a L ⇒ toda subsucesionxnk

converge a L.

Si existen dos subsucesiones que convergenhacia lımites distintos, entonces (xn) diverge

O mejor dicho, si una sucesion converge, en-tonces su lımite es unico.

9

4.7. Sucesiones acotadas

4.7.1. Supremo

Sea (xn) acotada superiormente, y β supremo.Entonces

xn ≤ β, ∀n ∈ N

(∀ε > 0)(∃k ∈ N)(xk > β − ε)

4.7.2. Infimo

Sea (xn) acotada inferiormente, y α ınfimo. En-tonces

xn ≥ α, ∀n ∈ N

(∀ε > 0)(∃k ∈ N)(xk < α + ε)

Si una sucesion es acotada, lo es tanto superiorcomo inferiormente.

Teoremas

Toda sucesion (xn) convergente es acotada.

Toda sucesion monotona y acotada es conver-gente.

Una sucesion (xn) monotona converge⇔ es acotada.

Si (xn) es creciente, entonces

lımn→∞

xn = supxn

•• Si (xn) es decreciente, entonces

lımn→∞

xn = ınf xn

4.8. Calculo de lımites

Una sucesion convergente a cero se llama nu-la.

La suma de dos sucesiones nulas o el productode una sucesion acotada por una por una nulaes una nueva sucesion nula.

4.8.1. Algebra de lımites

Si lımn→∞

an = a, lımn→∞

bn = b,

entonces:

1.lım

n→∞(an ± bn) = a± b

2.lım

n→∞(an · bn) = a · b

3.lım

n→∞

an

bn=a

b

4.9. Teoremas de lımites de suce-siones

1. Sea (an) sucesion:

a)

lımn→∞

|an| =∣∣∣ lımn→∞

an

∣∣∣b)

an ≥ 0 ⇒ lımn→∞

an ≥ 0

c)an ≥ bn ⇒ lım

n→∞an ≥ lım

n→∞bn

d)

an ≥ 0 ⇒ lımn→∞

√an =

√lım

n→∞an

2. Sea (an) sucesion real:

a)0 < a < 1 ⇒ lım

n→∞an = 0

b)a > 1 ⇒ lım

n→∞an = ∞

3. (Sandwich) Si:

bn ≤ an ≤ cn ∧ lımn→∞

bn = lımn→∞

cn = L,

entonces:lım

n→∞an = L

10

4. a)

lımn→∞

an = a, an > 0 ⇒

lımn→∞

(logb an) = logb

(lım

n→∞an

)b)

lımn→∞

an = a > 0 ⇒

lımn→∞

abn = ab

c)

lımn→∞

an = a, b > 0 ⇒

lımn→∞

ban = ba

d)

lımn→∞

bn = b > 0, lımn→∞

an = a

⇒ lımn→∞

bann = ba

4.10. Lımites infinitos

4.10.1. Algebra de lımites infinitos

Suma

1. xn →∞∧ yn →∞⇒ (xn + yn) →∞

2. xn → L ∧ yn →∞⇒ (xn + yn) →∞

3. xn → L ∧ yn → −∞⇒ (xn + yn) → −∞

4. xn → −∞∧ yn → −∞⇒ (xn + yn) → −∞

Producto

1. xn →∞∧ yn →∞⇒ (xn · yn) →∞

2. xn → −∞∧ yn →∞⇒ (xn · yn) → −∞

3. xn → −∞∧ yn → −∞⇒ (xn · yn) →∞

4. xn → L > 0 ∧ yn →∞⇒ (xn · yn) →∞

5. xn → L > 0∧yn → −∞⇒ (xn ·yn) → −∞

6. xn → L < 0 ∧ yn →∞⇒ (xn · yn) → −∞

7. xn → L < 0 ∧ yn → −∞⇒ (xn · yn) →∞

Cuociente

1. xn → ±∞⇒ 1

xn

→ 0

2. xn → L ∧ yn → ±∞⇒ xn

yn

→ 0

3. xn → L 6= 0 ∧ yn → 0 ⇒∣∣∣∣xn

yn

∣∣∣∣ → +∞

4.10.2. Teoremas Utiles de lımites

1. Si (an) es una sucesion divergente a infinito,sin terminos nulos y tal que 1 + 1

an> 0, en-

tonces

lımn→∞

(1 +

1

an

)an

= e

2. Stolz Si (xn) sucesion arbitraria, (yn) suce-sion estrictamente creciente y divergente a∞.Si existe

lımn→∞

xn+1 − xn

yn−1 − yn

entonceslım

n→∞

xn

yn

existe y tiene el mismo valor. O bien:

lımn→∞

xn+1 − xn

yn−1 − yn

= lımn→∞

xn

yn

Consecuencias de Stolz

a)lım

n→∞an = a

⇒ lımn→∞

a1 + a2 + . . .+ an

n= a

b)lım

n→∞an = a, an > 0

⇒ lımn→∞

n√a1 · a2 · . . . · an = a

c)

lımn→∞

an

an−1

= L, an > 0

⇒ lımn→∞

n√an = lım

n→∞

an

an−1

d)

lımn→∞

n√n = 1, lım

n→∞n√a = 1, a > 1,

lımn→∞

n√n! = ∞

11

5. Lımite de Funciones

Definicion de trabajo La funcion f : R → Rtiene lımite L, en el punto de acumulacion x0, ⇔dado ε > 0 arbitrario, exisite δ > 0 tq:

0 < |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε

en otra forma:

lımx→x0

f(x) = L

5.1. Algebra de lımites

Sean

lımx→x0

f(x) = A, lımx→x0

g(x) = B,

1.lım

x→x0

(f ± g)(x) = A±B

2.lım

x→x0

(f · g)(x) = A ·B

3.

lımx→x0

(f

g

)(x) =

A

B

5.1.1. Propiedades de los lımites

1.lımx→a

|f(x)| =∣∣∣ lımx→a

f(x)∣∣∣

2.

f(x) ≥ g(x) ⇒ lımx→a

f(x) ≥ lımx→a

g(x)

3.

f(x) ≥ 0 ⇒ lımx→a

√f(x) =

√lımx→a

f(x)

4.f(x) ≥ 0 ⇒ lım

x→af(x) ≥ 0

5.1.2. Teoremas de lımites

1. Sea f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),∀x ∈ V (a, ε).

lımx→a

f(x) = lımx→a

h(x) = L⇒ lımx→a

g(x) = L

2.lımx→0

sen x

x= 1

5.2. Lımites laterales

5.2.1. Lımite por la derecha

lımx→x+

0

f(x) = L⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)

(x0 < x < x0 + δ ⇒ |f(x)− L| < ε)

5.2.2. Lımite por la izquierda

lımx→x−0

f(x) = L⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)

(x0 − δ < x < x0 ⇒ |f(x)− L| < ε)

Conclusion

lımx→x0

f(x) = L⇔ lımx→x+

0

f(x) = lımx→x−0

f(x) = L

5.3. Lımites infinitos

5.3.1. A tener en cuenta

1. f →∞, g →∞⇒ (f + g)(x) →∞

2. f →∞, ⇒ k · f(x) →∞, k ∈ R+

3. f →∞, ⇒ k · f(x) → −∞, k ∈ R−

4. f →∞, g →∞⇒ f(x) · g(x) →∞

5. f →∞⇒ 1

f(x)→ 0

6. f → 0 ⇒ 1

f(x)→∞, f ≥ 0

5.4. Continuidad

Definicion de trabajo f : R → R es conti-nua en x0 ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0) tq:

|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

Ademas hay q tener en cuenta que:Si la funcion f : R → R es continua en x0 ⇔

⇔ lımx→x0

f(x) = f(x0)

“En un punto de discontinuidad, el lımite de lafuncion es la funcion del lımite”

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5.5. Continuidad Lateral- Discon-tinuidad

La funcion f tiene una discontinuidad evitableen un punto, si el lımite en ese punto existe pero esdiferente del valor de la funcion en el punto. La su-ma, diferencia, producto y cuociente de funcionescontinuas en un punto x0, salvo cuando se anule eldenominador en el ultimo caso.

5.5.1. Teoremas

1. BolzanoSea f : [a, b] ⊂ R → R continua sobre [a, b]y tal que f(a) y f(b) tienen signos opuestos,entonces existe por lo menos un punto x0 ∈[a, b] tal que f(x0) = 0.

2. Valor intermedioSea f funcion continua sobre [a, b]. Si x1 <x2 son dos puntos cualesquiera de [a, b], conf(x1) 6= f(x2), entonces la funcion f tomatodos los valores comprendidos entre f(x1) yf(x2), por lo menos una vez en el intervalo(x1, x2).

3. Si f : [a, b] ⊂ R → R es una funcion conti-nua e inyectiva, entonces f es monotona sobre[a, b].

4. Si la funcion real f es estrictamente crecienteen [a, b], entonces la funcion inversa f−1 existey es estrictamente creciente.

5. Sea f funcion real continua sobre [a, b]. Si lafuncion inversa f−1 existe, entonces es conti-nua sobre [f(a), f(b)].

5.5.2. Continuidad uniforme

Definicion de trabajo La funcion f : I ⊂R → R es uniformemente continua sobre el inter-valo I,⇔ ∀ε > 0,∃δ > 0 independiente del puntox0 ∈ I tq:

|x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

A tener en cuenta Toda funcion continua so-bre un intervalo cerrado es uniformemente continuasobre ese intervalo.

6. Derivadas

Definicion de trabajo Sea f : A ⊂ R → Rfuncion. Se llama derivada de f a la funcion quese anota f ′, y tal que su valor en cualquier puntox del dominio de definicion de f est dado, siempreque exista el lımite, por:

f ′(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lım

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

6.1. Derivadas laterales

Son, las llamadas derivadas derecha e izquierda,cuyas expresiones respectivas son:

f ′+(x) = lımh→0+

f(x+ h)− f(x)

h

f ′−(x) = lımh→0−

f(x+ h)− f(x)

h

Debemos recalcar que:

f ′(x0) = L⇔ f ′+(x0) = f ′−(x0) = L

6.2. Relacion entre continuidad ydiferenciabilidad

f diferenciable ⇒ f continua

6.3. Tabla de Derivadas

f(x) = xk ⇒ f ′(x) = kxk−1, k ∈ R

f(x) =1

x⇒ f ′(x) = − 1

x2

f(x) = sen x⇒ f ′(x) = cosx

f(x) = cosx⇒ f ′(x) = − sen x

f(x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

f(x) = ax ⇒ f ′(x) = ax ln a

f(x) = tg x⇒ f ′(x) = sec2 x

f(x) = cotg x⇒ f ′(x) = − csc2 x

f(x) = sec x⇒ f ′(x) = sec x tg x

f(x) = csc x⇒ f ′(x) = − csc x cotg x

13

f(x) = lnx⇒ f ′(x) =1

x

f(x) = loga x⇒ f ′(x) =1

x ln a

f(x) = Arcsenx⇒ f ′(x) =1√

1− x2,

x ∈ (−1, 1)

f(x) = Arccosx⇒ f ′(x) = − 1√1− x2

,

x ∈ (−1, 1)

f(x) = Arctgx⇒ f ′(x) =1

1 + x2, x ∈ R

f(x) = Arccotgx ⇒ f ′(x) = − 1

1 + x2, x ∈

R

f(x) = Arcsecx⇒ f ′(x) =1

|x|√x2 − 1

,

|x| > 1

f(x) = Arccscx⇒ f ′(x) = − 1

|x|√x2 − 1

,

|x| > 1

6.4. Algebra de derivadas

1. (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x)

2. (f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

3.

(f

g

)′

(x) =f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)

g2(x)

6.5. Regla de la cadena

Permite derivar funciones compuestas. Dice que:

dy

dx=dy

dz· dzdx

Donde, por ejemplo dydx

representa la derivada dela funcion y(x) respecto a la variable x. Para otroscasos mas complejos y ası sucesivamente:

dy

dx=dy

dw· dwdz

· dzdx

6.6. Derivada de las funciones hi-perbolicas

Debemos saber que:

senh x =1

2

(ex − e−x

), coshx =

1

2

(ex + e−x

)Las diversas identidades entre las funciones trigo-nometricas se siguen teniendo validez para las fun-cioneshiperbolicas, salvo las que relacionan los cua-drados de dichas funciones, las que no se cumplen,como sen2 x + cos2 x = 1. Sus derivadas tambiensiguen las mismas reglas, solamente hay que agre-garles el apellido hiperbolico.

6.7. Derivada de una funcion ele-vada a funcion

(uv)′ = uv · v′ · lnu+ v · uv−1 · u

6.8. Derivada de la funcion inver-sa

Sea f funcion biyectiva y derivable ∀x en su do-minio. Si g = f−1 es su inversa, entonces:

g′(x) =1

f ′ [g(x)]

6.9. Derivadas de orden superior

Corresponden a derivar n veces una funcion. Laderivada n-esima se anota como:

f (n)(x) =dnf

dxn

6.10. Derivada de funciones pa-rametricas

En estos casos la funcion se representa pordos ecuaciones bajo una misma variable llamadaparametro, usualmente x = f(t), y = g(t). Laderivada de estas funciones es:

dy

dx=dy

dt· dtdx

=dydtdxdt

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6.11. Derivada de las funcionesimplıcitas

Se realizan considerando las ’y’ como funcionesde x, y al derivarlas como y′. Usando la regla dela cadena se deriva termino a termino y luego sedespeja y′.

7. Aplicaciones de la deri-

vada

7.1. Maximos y mınimos

Una funcion tiene un mınimo relativo en un va-lor x0, si en la vecindad de x0, la funcion entregavalores mayores que f(x0). Si tiene un mınimo rela-tivo en x0, en la vecindad de x0, la funcion entregavalores menores que f(x0). Si f alcanza valoresmaximos o mınimos, entonces esos valores se lla-man valores extremos.

7.1.1. Importante:

Si la funcion real derivable f tiene un valor ex-tremo en el punto x0, entonces f ′(x0) = 0.

7.1.2. Criterio de la primera derivada

Sea x0 un valor extremo, si:

1. Si la derivada pasa de ser positiva a negativaen x0, entonces (x0, f(x0) es un maximo dela funcion.

2. Si la derivada pasa de ser negativa a positivaen x0, entonces (x0, f(x0) es un mınimo de lafuncion.

7.2. Teoremas

7.2.1. Rolle

Sea f : [a, b] ⊂ R → R funcion que satisface:

1. continua sobre [a, b]

2. diferenciable sobre (a, b)

3. f(a) = f(b)

entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) talque:

f ′(c) = 0

7.2.2. Valor medio (TVM)

Sea f : [a, b] ⊂ R → R funcion que satisface:

1. continua sobre [a, b]

2. diferenciable sobre (a, b)

entonces existe a lo menos un punto c ∈ (a, b) talque:

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a

Consecuencias del TVM Si f satisface elTVM en un intervalo I:

Si f tiene derivada nula sobre I, entonces fes constante sobre I.

Sean f(x) y g(x) diferenciables en I. Sif ′(x) = g′(x)∀x ∈ I, entonces f y g difie-ren en una constante.

• Si f ′(x) ≥ 0 ⇔ creciente sobre I.

• Si f ′(x) ≤ 0 ⇔ decreciente sobre I.

7.2.3. TVM generalizado

Sean f , g : [a, b] ⊂ R → R funciones tales que

1. f y g son continuas sobre [a, b]

2. f y g son diferenciables sobre (a, b)

3. g′(x) 6= 0,∀x ∈ (a, b)

entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) talque

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)

g′(c)

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7.3. Grafica de funciones

7.3.1. Etapas de la graficacion

1. Establecer el dominio de la funcion. Se debever en que puntos la funcion no esta definida,es decir, cuando los logaritmos son de numerosmenores o iguales que cero, raıces de pares concantidad subradical negativa, etc. Ej: f(x) =√x2 − 1 ⇒ Dom f = (−∞,−1] ∪ [1,∞)

2. Determinar las intersecciones con los ejes. Lasintersecciones con el eje x se obtienen con(y = 0), y para las intersecciones con el eje ycon (x = 0)

3. Establecer paridad, imparidad, periodicidad,acotamientos.

f es par ⇒ f(x) = f(−x)

f es impar ⇒ f(−x) = −f(x)

f tiene periodo T ⇒ f(x) = f(x+ T )

4. Determinar los intervalos de monotonıa. Sedetermina considerando los intervalos en losque la funcion f ′(x) tiene signo positivo (cre-ciente) o cuando tiene signo negativo (decre-ciente).

5. Ver si hay maximos y/o mınimos. Utilizandocriterio de la primera derivada o el criterio dela segunda derivada.

6. Determinar en que intervalos la funcion esconvexa o concava, junto con los puntos deinflexion. Def: Sea f : I ⊂ R → R funciondos veces derivable

a) f ′′(x) > 0 sobre I ⇒ f convexa oconcava hacia arriba.

b) f ′′(x) < 0 sobre I ⇒ f concava oconcava hacia abajo.

Sea x0 ∈ Dom f . f ′′(x0) = 0 ⇒ (x0, f(x0))punto de inflexion.

7. Establecer la existencia de asıntotas (vertica-les, horizontales, oblicuas).

7.3.2. Definiciones de asıntotas

La recta x = c es una asıntota verticala la grafica de la funcion f si uno delos lımites laterales en c es infinito. Larecta y = L es una asıntota horizontalde la grafica de la funcion f si uno de loslımites, cuando x → ∞ o bien cuandox→ −∞ es L.

La recta mx+n es asıntota oblicua a lagrafica de la funcion f , si la distanciaentre la funcion y la recta tiende a ce-ro cuando la variable x es infinitamentegrande (positiva o negativa), donde loscoeficientes son:

m = lımx→∞

f(x)

x;n = lım

x→∞(f(x)−mx)

7.4. Extremos Absolutos

Se dan en funciones reales de variable real defi-nida en conjuntos cerrados de R. Para encontrarlosse procede como sigue:

Se determinan los extremos relativos (candi-datos a maximos o mınimos).

Se agregan a la lista los extremos del conjunto(un intervalo para este caso).

Se evaluan todos estos valores en la funcion.

El menor de todos los f(xextremos) es el mıni-mo absoluto.

Y el mayor de todos los f(xextremos) es elmaximo absoluto.

7.5. Aproximacion del valor deuna funcion en un punto

Sea f(x) funcion diferenciable y se desea obte-ner una aproximacion del valor f(x0). La expresionutilizada para esto es, para valores de x cercanos ax0:

f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

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7.6. Reglas de L’Hopital

7.6.1. Para mascara0

0

Si f y g son funciones reales definidas sobre unintervalo I, x0 punto de acumulacion finito o infi-nito de I, y se cumple:

1.lım

x→x0

f(x) = 0 = lımx→x0

g(x)

2. f y g son derivables sobre I o sobre I − x0

3. g′(x) 6= 0,∀x 6= x0

4.

lımx→x0

f ′(x)

g′(x)= L

L es finito o infinito, entonces:

lımx→x0

f(x)

g(x)= lım

x→x0

f ′(x)

g′(x)= L

7.6.2. Para mascara∞∞

Si f y g son funciones reales definidas sobre unintervalo I, x0 punto de acumulacion finito o infi-nito de I, y se cumple:

1.lım

x→x0

f(x) = ∞ = lımx→x0

g(x)

2. f y g son derivables sobre I o sobre I − x0

3. g′(x) 6= 0,∀x 6= x0

4.

lımx→x0

f ′(x)

g′(x)= L

L es finito o infinito, entonces:

lımx→x0

f(x)

g(x)= lım

x→x0

f ′(x)

g′(x)= L

7.6.3. Regla de L’Hopital para otras for-mas

Forma 0 ·∞ Se escribe como1

0= ∞ o

1

∞= 0.

Con lo que se obtiene:

0 · ∞ =0

0=∞∞

Forma ∞ − ∞ Se agrupan los terminos y secalcula el lımite.

Forma 00 Se usan logaritmos para “bajar” el ex-ponente, quedando en alguna de las otras formas.

Forma 1∞ Se usan logaritmos para “bajar” elexponente, quedando en alguna de las otras for-mas.

7.6.4. L’Hopital en sucesiones

Sea f funcion tal que an = f(n) para n ∈ R. Si

lımx→∞

f(x) = L

existe, entonces la sucesion (an) converge y se tieneque

lımn→∞

an = L

7.7. Optimizacion

No existe una metodologıa unica de resolucion,pero en lıneas generales consiste en:

Leer bien el problema y entenderlo completa-mente.

Identificar los valores que se mantienen cons-tantes y cuales son variables.

Asociarle letras a los distintos valores oparametros.

Crear una “funcion objetivo” que sera la fun-cion a la que encontraremos los extremos.

Reducir todas las variables a una sola, de talmanera que se obtenga un “f(x)”.

Acotar el dominio de la funcion para que seacoherente con el enunciado (por ejemplo, si lafuncion a optimizar tiene relacion con la can-tidad de cierta cosa, descartar los valores ne-gativos del dominio de la “funcion objetivo”).

Encontrar los maximos o mınimos de la “fun-cion objetivo” de acuerdo a lo que se extraigadel enunciado del problema.

Entregar la respuesta solicitada.

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8. Anexo A: Simbologıa

∈ en, pertenece

/∈ no en, no pertenece

∪ union

∩ interseccion

⊂ subconjunto, pero no igual

⊆ subconjunto, o igual

< menor que

> mayor que

≤ menor o igual que

≥ mayor o igual que

= igual

6= distinto

≡ equivalente

≈ aproximado

∼= congruente

∃ existe

∃! existe un unico

∀ para todo

∧ y (logico)

∨ o (logico)

9. Anexo B:Letras Griegas

9.1. Minusculas

α↔ alfa

β ↔ beta

χ↔ chi

δ ↔ delta

ε↔ epsilon

φ, ϕ↔ phi

γ ↔ gamma

η ↔ eta

ι↔ iota

κ↔ kappa

λ↔ lambda

µ↔ mu

ν ↔ nu

ø ↔ o

π,$ ↔ pi

θ, ϑ↔ theta

ρ↔ rho

σ, ς ↔ sigma

τ ↔ tau

υ ↔ upsilon

ω ↔ omega

ξ ↔ xi

ψ ↔ psi

ζ ↔ zeta

9.2. Minusculas

∆ ↔ Delta

Φ ↔ Phi

Γ ↔ Gamma

Λ ↔ Lambda

Π ↔ Pi

Θ ↔ Theta

Σ ↔ Sigma

Υ ↔ Upsilon

Ω ↔ Omega

Ξ ↔ Xi

Ψ ↔ Psi

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