En esta primera edición hablaremos un de los vectores y su importancia en

el álgebra, además podrán ver u total de 5 ejercicios resueltos para el

análisis de vectores. Para conocer un poco de la importancia de ellos que

siempre dejamos a un lado y no notamos que serán importantes en nuestro

desarrollo profesional como ingenieros.

Se tocaran unos temas a fondo como sus normas y como reconocer algunas

de sus características. Los invito a leer un poco más de ALGEBRA MAGAZINE

y asi profundizar el mundo del algebra y los vectores.

Todo esto realizado en la “Universidad Fermín Toro” editado por el

estudiantes de ALGEBRA LIEAL.

Contreras Ronald.

Un vector es una magnitud física tal que,

una vez establecida una base, se representa por

una secuencia de números o componentes

independientes tales que sus valores sean

relacionables de manera sistemática e inequívoca

cuando son medidos en diferentes sistemas de coordenadas.

Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos

de recta dirigidos o flechas en planos o ; es decir, bidimensional

o tridimensional.

Operaciones con vectores:

a) Suma de vectores.

b) Regla del paralelogramo

c) Producto de un vector por un escalar.

d) Método del triángulo

Un vector es un elemento de un espacio vectorial para el que, en ocasiones,

especialmente en Física y Geometría, interesa conocer su longitud. Esto es lo

que hace el operador norma: determina la longitud del vector bajo

consideración.

Definición de norma euclídea

En un espacio euclídeo ordinario los vectores son representables como

segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un

espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector se define como la distancia

entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector. De hecho, en un espacio

euclídeo la norma de un vector coincide precisamente con el módulo del

vector AB.

Definición matemática general

La definición general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales

abstractos de la noción de módulo de un vector de un espacio euclídeo. A

partir de las propiedades de la norma euclídea definida más arriba se extraen

algunas condiciones razonables que debe cumplir la "longitud de un vector" o

norma.

En álgebra lineal, el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt es un

algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio

prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal

de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y

Erhard Schmidt. Por ejemplo. Se considera uno de los vectores como fijo, y

será respecto del cual se ortogonalizaran los otros “n” restantes.

Sea V un K-espacio vectorial con producto interno y = {v1,…,v2}una base

de V entonces:

= {v1,…,v2} es ortogonal y satisfacen la siguiente ecuación vectorial:

1) Determinar si el siguiente conjunto es ortogonal {(-1,4,-3),(3,-4,-7),(5,2,1)}

Primero se comprobara qie los vectores sean ortogonales, para ello usaremos productos de

unos y ceros. ( ) ( ) ( ) De tal manera que:

) ) )

Por lo tanto tenemos que:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Por lo tanto decimos que NO es ortogonal a

Ahora

( ) ( )

Por lo tanto decimos que es ortogonal con

Ahora

( ) ( )

Por lo tanto decimos que es ortogonal con

Dado que no son ortogonales el conjunto no es ortogonal.

2) Determina si el siguiente conjunto de vectores es ortonormal:

u = (0,1,0), v = (0,-1,0)

Solución: Son ortogonales si se cumple que ( ) ( ) de manera que

Se observa que U no es ortogonal a V por lo tanto podemos afirmar que no son

ortonormales pues.

U = 1 = √ = √ = 1 y V = √ ( ) = √ = 1

Se observa que el resultado de U y de V es 1 pero ellos no son ortogonales por lo

tanto no pueden formar un conjunto. Esto se debe a que el producto interno U.V ≠ 0 y por

lo tanto no forman un conjunto ortogonal.

3) Dada la base, construir su respectiva base ortonormal por el procedimiento

de Gram-Schmidt, B = { ( - 2 , 6 ) , ( - 3 , 8 ) }

Solución: El proceso de Gram Schmidt consist en llamar a un vector W cualquiera

siendo ( ) por lo tanto ( ) posteriormente se realiza la

proyección sale W, obteniendo de la siguiente ecuación:

lo que sería lo mismo que expresar

( ) asi tenemos que:

( ) ( ) ( )

[( ) ( )] ; ( )

( ) ( )

( ) ( )

; ( )

( )

Entonces ( ) (

) Así ( ) (

)

Arrojando que (

) Por lo tanto (

)

Una vez conseguido y los analizamos haciendo

y

de tal

manera que {

}

( )

√

√ (

)

( ⁄ ⁄ )

√ ⁄ ⁄

( ⁄

⁄ )

√

De donde {(

) ( ⁄ ⁄ )}

4) Determine si el siguiente conjunto forma una base para R3. {(2, 1, 3), (1, 2, 1), (1, 1, 4),

(-1, 1, 5)} y verifique al conjunto base, si genera al vector (2, 1, 3).

Solución:

Para ser el conjunto dado una base ellos deben ser linealmente independiente (Li) y además

generar el espacio. Ahora si el vector (2, 1, 3) no es combinación lineal de los vectores que

forman el conjunto ya que el mismo forma parte del conjunto, lo cual no hace a los 4 vectores

dados linealmente independientes por lo tanto sobre dependencia lineal, Dimensión de espacio

vectorial podemos afirmar que la dimensión de R3 debe ser 3, es decir, que hay 3 vectores Li y

capaces de generar todo R3 en caso de ser Li entonces el vector (2,1,3) es igual al vector nulo ya

que (1, 2, 1) + 2 (1, 1, 4) + 3 (-1, 1, 5) = (0, 0, 0) y por lo tanto (2, 1, 3) ≠ (1, 2, 1) +

2 (1, 1, 4) + 3 (-1, 1, 5).

Así podemos afirmar que el conjunto (2, 1, 3); (1, 2, 1); (1, 1, 4); (-1, 1, 5 no forma una

base para

Por otra parte es decir, si probamos que los vectores Fm Li. Debemos hacer la combinación

lineal de estos e iguala a cero y si conseguimos L1=L2=L3=L4=L0 Fm Li así:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Resolviendo el sistema tenemos:

Aplicando el método de Gaus Jordan tenemos:

[

] [

]

[

]

F3=F3-3F1 [

]

[

⁄

]

[

⁄

⁄

⁄ ]

[

⁄

⁄

⁄ ]

[

⁄

⁄

⁄ ]

Así el sistema reducido queda:

⁄

⁄

⁄

Observemos que dependen de por lo tanto si decimos que

Tenemos que ls vectores no limitan Li ya que ⁄ ; ⁄ ; ⁄ y

No son ceros. Por lo tanto no forman base

5) Utilizando el método de los mínimos cuadrados, calcular la solución aproximada del

sistema de ecuaciones.

{

Solución: Partiendo de ( ) tenemos que:

(

) Matriz de los coeficientes

(

)Transpuesta de A

( ) Términos independientes

Calculo de At . A

(

) (

) ; (

) ; (

)

Así tenemos que (

)

Ahora el calculo de (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

Ahora

( ) (

) Así tenemos

(

) (

) ( )

Luego

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

De esta manera calculamos:

(

) ( ) (

)

(

) ( ) (

)

Podemos decir que:

;

Algebra

Bases

Dimensión

Gram

Longitud

Matriz

Schmidt

Sub espacios

Vectores