Revista Conocimiento 57

LA ENSEÑANZA DE LAS

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Director Luis Eugenio Todd

El Método Montante reduce determinantes de orden con enterosRené Mario MontantePágina 24

Apreciación de las MatemáticasJuan Lauro AguirrePágina 3

Las situaciones didácticas para aprender Matemáticas Leticia Rodríguez ArizpePágina 5

El futuro de la enseñanza de las MatemáticasHéctor Antonio González FloresPágina 7

Uso de las tecnologías de información y comunicación en la enseñanzade las MatemáticasLilia Guadalupe GarcíaPágina 9

Matemáticas y realidad educativaJuan Antonio Alanís RodríguezPágina 18

El problema de la variación y sus implicaciones culturalesSalvador BorregoPágina 27

“La escuela de Atenas”(Raffaello)

Pitágoras de Samos

Matemáticas

Ricardo Cantoral, uno de los matemáticos más distinguidos de México

Centro de Estudios Cientificos y Tecnológicos del Estado de Nuevo León

MAESTROS DEL CECyTE-NL DESTACAN EN EL PAIS

Con motivo de la reforma curricular que se está llevando a cabo en el sub sistema tecnológico nacional, cuatro maestros del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos de Nuevo León han participado en forma destacada en la elaboración de las Guías de Aprendizaje del Componente de Formación Profesional, y tres se han desempeñado como Formadores en el Curso Nacional de Multiplicadores de Ejes de la Reforma, lo cual es digno de resaltar y de reconocer.

Maestros que colaboran como Formadores en el Curso Nacional de Multiplicadores de Ejes de la Reforma:

Maestro Plantel Colaboración en la carrera

Adriana Martínez Silva Cadereyta Instrumentación

José Gerardo Menchaca Reyna Sabinas Hidalgo Electromecánica

Mario Dena Silva Marín Análisis y Tecnología de Alimentos

Francisco García Ledesma Linares Electrónica

Maestros que colaboran en la elaboración de Guías de Aprendizaje.

Adriana LuisaRomero Castellón, Plantel Estanzuela

María del CarmenGarza Salazar,Plantel Cadereyta

Olga Elena Dávila Rodríguez, Plantel Marín














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Re ConocimientoJuan Roberto ZavalaA personajes nuestros, estudiosos de las emociones humanas

[email protected]

A personajes nuestros en la enseñanza de la Ciencia Matemática

Maestro Martín Martínez GutiérrezMaestro de matemática desde 1968, en la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la Universidad Autónoma de Nuevo León, Martín Martínez Gutiérrez ha impartido cursos de esta disciplina en las Facultades de Ingeniería Civil e Ingeniería Química de esa institución. De 1971 a 1973 y de 1992 a 1994 fue también catedrático de matemáticas en la División de Ingeniería y Ciencias de la Universidad Regiomontana, y actualmente imparte cursos de esta materia en la

Escuela de Graduados de la Escuela Normal Superior Profesor Moisés Sáenz Garza. Es licenciado en Ciencias Físico Matemáticas por la UANL y tiene una Maestría en Enseñanza de las Ciencias, con especialidad en Matemáticas. Estudió también la Maestría en Física en el CINVESTAV. Desde 1970 pertenece a la Sociedad Matemática Mexicana.

Licenciado y profesor Juan Manuel Bazaldúa PérezDedicado a la enseñanza de las matemáticas desde 1969; habiendo impartido esta materia 21 años en el nivel de secundaria, 23 en la Normal Superior Profesor Moisés Sáenz Garza, cinco en las preparatorias de la Universidad Regiomontana y 15 en la Preparatoria Eu-genio Garza Lagüera del ITESM, Juan Manuel Bazaldúa Pérez es coautor de 12 libros de texto para secundaria, Matemáticas I, Matemáticas II y Matemáticas III, así

como de tres Cuadernos de Trabajo y tres Cuadernos de Prácticas y Tareas de Matemáticas para esos mismos grados, todos autorizados por la SEP y editados por Publicaciones Cultural y Editorial Limusa Noriega.

Es profesor egresado de la Escuela Normal Profesor Serafín Peña, y tiene una Licenciatura en Educación Media, con especialidad en Matemáticas, de la Escuela Normal Superior del Estado. En esa misma institución hizo estudios de Maestría, con especialidad en Matemáticas.

Maestra María Guadalupe Almaguer GarzaDestacada maestra de matemáticas en los diferentes niveles educativos: primaria, secundaria, y la licenciatura en la Escuela Normal Superior Profesor Moisés Sáenz Garza, María Guadalupe Almaguer Garza ha sido, de 1985 a 1991 y de 1996 a la fecha, asesora técnica pedagógica, adscrita a la Coordinación Técnica de Primaria de la Secretaría de Educación de Nuevo León.

Con una clara visión innovadora de la enseñanza de esta disciplina, es coautora de varios libros de texto de matemáticas y de diversos cuadernos de prácticas y tareas de la materia, todo publicado por Editorial Limusa.

Hizo sus estudios de profesora de primaria en la Escuela Normal Miguel F. Martínez, y una Maestría, con Especialidad en Matemáticas, en la Escuela de Graduados de la Escuela Normal Superior Profesor Moisés Sáenz Garza.

Doctor José Luis González VelardeCon una destacada trayectoria en la enseñanza de las matemáticas y en la investigación en los campos de optimización combinatoria y diseño de heurísticas, José Luis González Velarde ha sido profesor visitante en universidades de Estados Unidos y Colombia, y es coautor de tres libros: Variable Compleja, Optimización Heurística y Redes Neuronales y Computing Tools for Modeling, Optimization and Simulation. Desde 1990 es profesor del Centro de Sistemas Integrados de

Manufactura en el ITESM, donde es también coordinador del Doctorado en Ingeniería Industrial y titular de la Cátedra de Investigación en Ingeniería Industrial.

Es licenciado en Matemáticas por el ITESM y tiene maestrías en Ciencias, con especialidad en Matemáticas, del CINVESTAV, y en Ingeniería Industrial e Investigación de Operaciones, de la Universidad de California, en Berkeley, Estados Unidos. Su doctorado en Ingeniería Industrial e Investigación de Operaciones es de la Universidad de Texas, en Austin. En la séptima edición del libro Who s Who in Science and Engineering aparece su biografía.

Doctor Salvador Borrego AlvaradoCreador de las “Cartas de Navegación Política”, que vienen a ser las encuestas de última generación, Salvador Armando Borrego Alvarado es uno de los más destacados matemáticos de la entidad, experto en estadística, rama de la ciencia que apoya en los procesos de toma de decisiones, estimando los riesgos de equivocación en términos probabilísticos. Es director general de Saba Consultores, una de las empresas de consultoría estadística más destacadas

del país. Ha sido profesor y subdirector de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la UANL.

Licenciado en matemáticas por la UANL, tiene Maestría en Matemáticas, por la Universidad de Texas, en Edimburgo, y Maestría y Doctorado en Estadística, por la Southern Methodist University, en Dallas. Es maestro de enseñanza media, con especialidad en Orientación Vocacional, por la Escuela Normal Superior del Estado. Articulista de periódicos y revistas, es autor también, entre otros libros, de Crónica de una sucesión presidencial.

Profesora María del Socorro Salas LunaCoautora de los libros para secundaria Matemáticas I, Matemáticas II y Matemáticas III, María del Socorro Salas Luna fue, durante 11 años, maestra de matemáticas en el nivel de secundaria; 19 años en la Normal Superior del Estado y ocho en preparatoria. Asimismo, y durante otros ocho años fue, en la Secretaría de Educación, asesora técnica de matemáticas para maestros de secundaria. Ha sido miembro y tesorera de la Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas.

Es profesora de Primaria egresada de la Escuela Normal Miguel F. Martínez, y maestra de Educación Media, con especialidad en Matemáticas, por la Escuela Normal Superior Profesor Moisés Sáenz Garza, institución que la reconoció como maestra distinguida.

PresidenteIngeniero Juan Antonio González Aréchiga

Director de Comunicación Social del Gobierno del Estado

Licenciado Omar Cervantes RodríguezIngeniero Xavier Lozano MartínezM. C. Silvia Patricia Mora CastroDoctor Mario César Salinas CarmonaDoctora Diana Reséndez PérezDoctor Alan Castillo RodríguezIngeniero Jorge Mercado Salas

Director del Programa Ciudad Internacional Del Conocimiento

Ingeniero Antonio Zárate Negrón

Director GeneralDoctor Luis Eugenio Todd

Director EditorialFélix Ramos Gamiño

Secretario EditorialMaestro Rodrigo Soto

EducaciónProfesor Ismael Vidales Delgado

Ciencia en FamiliaLicenciado Juan Roberto Zavala

Ciencias Económicas y SocialesDoctor Jorge N. Valero Gil

Ciencias Básicas y del AmbienteDoctor Juan Lauro Aguirre

Desarrollo Urbano y SocialIngeniero Gabriel Todd

Ciencias MédicasDoctor David Gómez Almaguer

Ciencias Políticas y/o de Administración Pública

Contador Público José Cárdenas CavazosCiencias de la Comunicación

Doctora Patricia Liliana Cerda PérezLa Ciencia es Cultura

Licenciado Jorge Pedrazae ingeniera Claudia Ordaz

Educación Física y DeporteDoctor Óscar Salas Fraire

Las Universidades y la CienciaDoctor Mario César Salinas

RedacciónLicenciada Alma TrejoLicenciado Carlos Joloy

DiseñadorLicenciado Víctor Eduardo Armendáriz Ruiz

Arte GráficoArquitecto Rafael Adame Doria

Circulación y AdministraciónProfesor Oliverio Anaya Rodríguez

LA REVISTA CONOCIMIENTO ES EDITADA POR LA COORDINACIÓN DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA DE NUEVO LEÓN, Y ABRE SUS PÁGINAS A LAS INSTITUCIONES DE EDUCACIÓN SUPERIOR PARA LA PUBLICACIÓN DE ARTÍCULOS Y NOTICIAS DE CARÁCTER CIENTÍFICO. TELÉFONOS EN LA REDACCIÓN: 83 46 74 99 Y 83 46 73 51 [email protected] REGISTRO SOLICITADO PREVIAMENTE CON EL NOMBRE DE CONOCIMIENTO.

LAS OPINIONES EXPRESADAS EN LOS ARTÍCULOS SON RESPONSABILIDAD EXCLUSIVADE SUS AUTORES.

El pensamiento matemático y el método científico son hermanos inseparables; a través de ellos

se busca la verdad reproducible y se genera el conocimiento que, transferido, aplicado e innovado, produce en buena tesis ética un mejor nivel de vida de los habitantes del planeta.

Enseñar matemáticas es entonces parte del proceso de darle al estudian-te un instrumento permanente para tener toda su vida un método lógico que le permita investigar, analizar, participar en los procesos dialécticos de la síntesis y de la antítesis, y así ir buscando gradualmente las verdades

Pienso, luego existo DESCARTES

1596 a 1650

El que sabe contar sabe pensar, y el que sabe pensar puede aprender y así llegar a ser...

El que sabe contar sabe pensarque transforman el universo, que son aquéllas derivadas de la ciencia, el conocimiento y el arte.

La enseñanza de las matemáticas, a pesar de su importancia, no ha tenido el nivel jerárquico adecuado, y los resultados de nuestro país en el ámbito internacional son muy pobres en relación con otros países más desarrollados económicamente. Esto limita nuestro potencial de creatividad, propicia las dependencias, arriesga nuestra soberanía y nos impide entrar en la competitividad global.

Creo, igual que muchos investigadores en pedagogía, que la falta de formación adecuada de los profesores en esta temática y el desconocimiento de los valores sobre la realidad de lo que la enseñanza de los números significa, ha propiciado estas debilidades que debemos corregir, recordando siempre que en el nuevo mundo de la educación deben existir los cuatro idiomas básicos:

El primero, saber contar y pensar; el segundo, saber leer e interpretar; el tercero, internacionalizar la comu-nicación a través de un nuevo idioma; y el cuarto y último, aprovechar la informática y el teleproceso como instrumentos estratégicos para hacer más eficiente el proceso educativo.

Sobre estos temas y muchos otros, escriben autores reconocidos, y es-peramos que esta edición sacuda conciencias y permita una reflexión integral sobre la necesidad imperiosa que tenemos en México de incrementar nuestro interés por la enseñanza de las ciencias y de las matemáticas.

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familias nos presentan una muestra de los experimentos y las experiencias vividas”, puntualizó.

El funcionario señaló que, además de los logros académico-científicos, existen otros beneficios, cuya trascendencia es “profunda y perdurable”, como lo es el clima de respeto de las comunidades al ver a padres, maestros y alumnos trabajando juntos por el bienestar común.

“Hoy concluye la tercera etapa de participación de cinco mil familias de 62 escuelas con 62 directores y 397 maestros que intervinieron; además, se incorporaron mil niños de dos escuelas particulares durante el año escolar”, insistió Zavala.

CONOCIMIENTO: ANTÍDOTO CONTRA LA VIOLENCIALa doctora Adriana Elizondo Herrara, coordinadora del programa, recordó que éste se inició en el periodo escolar 2004-2005, con la participaron de dos mil niños de escuelas primarias de Apodaca y Monterrey; un año después la cifra se incrementó a casi cuatro mil niños, con escuelas de Santa Catarina y Montemorelos, y este año escolar se superó por mucho la integración de escuelas del sistema público y el Colegio San Patricio.

“Ciencia en Familia fomenta el trabajo colaborativo; la participación de cinco mil familias es prueba de ello. Agradecemos la participación de todos los padres de familia, y es una razón para continuar este programa que implica formación y fomento de valores, como amor a la naturaleza. Eso ayuda a las familias a luchar contra la violencia”, insistió Elizondo Herrera, quien agradeció a los padres de familia su colaboración en el programa y su asistencia a la ceremonia de clausura.

Dijo que “con este programa se pretende apoyar la responsabilidad del Estado de dar conocimientos y valores. Nuestra misión es integrar todas las capacidades. Ese respeto que nos ha permitido tener estos logros, que nos permitan crear una verdadera sociedad del conocimiento”. Agradeció el apoyo de la Agencia de Protección al Medio Ambiente y Recursos Naturales, para promover la cultura ambiental;

a Servicios de Agua y Drenaje de Monterrey, a la UANL, a las empresas Gamesa, Lala y Productos Alen, por su participación de tres años en diversos programas educativos y de información.

Los trabajos de dicho programa cerraron con exhibiciones de los programas educativos implementados por las empresas paraestatales y privadas mencionadas.

NACIMIENTO DE CIENTÍFICOSEl doctor Juan Lauro Aguirre, director de Prospectiva Científica y Tecnológica de la Coordinación de Ciencia y Tecnología, auguró el nacimiento de cuando menos cien científicos, producto de su participación en este programa.

“Actualmente en México hay 20 mil científicos; eso significa que tenemos un científico por una población de cinco mil habitantes; si tomamos en consideración que se registra una población de 100 millones de habitantes, aproximadamente. En los próximos 20 años, de estos 5 mil niños, cuando menos cien de ellos participaran en la ciencia, cuando menos cien de ellos llegarán a ser científicos, principalmente y gracias al apoyo que hayan obtenido de sus familias por haber visto sus aptitudes a través de este programa”, auguró.

PROGRAMAS EDUCATIVOSEn el cierre oficial de las actividades de este año escolar, hubo exhibiciones de los trabajos que realizaron los alumnos del Programa Ciencia en Familia. En el stand de la Facultad de Biología de la Universidad Autónoma de Nuevo León, los niños tuvieron la

oportunidad de observar a través del microscopio larvas de lepidópteros, con el objetivo de estudiar sus diversas características. La doctora Patricia Tamez Guerra, encargada de investigación científica de dicha facultad, coordinó el trabajo de promoción realizado por alumnos de esa facultad que con sencillez y calidez explicaron a niños y padres de familia la forma de investigar a través del microscopio.

“En el laboratorio creamos mariposas que son usadas en ornamentación de eventos sociales”, explicó un alumno. “eso lo hacemos con el objetivo de venderlas y tener fondos para la conservación y mantenimiento de nuestros laboratorios”.

CIENCIA EN FAMILIADurante el año escolar, los niños trabajaron con folletos que les indicaban el trabajo de investigación científica a realizar. ¡Con ritmo!, Que no te den gato por liebre, Ecopintura, Extrayendo el ADN, Tras la huella, ¡Quien sube, sube!, son los folletos explicativos para realizar los experimentos tanto en el aula como en su casa. Durante el trabajo científico, los chicos tenían que leer las instrucciones, esclarecer los objetivos, investigar en bibliografía y apuntar los resultados de su experimentación.

En una libreta debían registrar las fechas de experimentación, ampliar la información de los dípticos por medio de investigación bibliográfica en otras fuentes como archivos, libros de texto y enciclopedias; realizaron la experimentación y anotaron las conclusiones sobre el trabajo.

Elizondo Herrera puntualizó que con estos ejercicios, los niños manifiestan sus aspiraciones de conocimiento y se relacionan positivamente con la naturaleza.

Al finalizar el evento otorgaron varios premios consistentes en estancias familiares en el Hotel Bahía Escondida, Motel Cola de Caballo y Bioparque Estrella; además, se entregaron juguetes didácticos a los niños que hicieron las mejores presentaciones de sus investigaciones.

En el trascurso del programa participa-ron alrededor de cinco mil familias de 62 escuelas con 62 directores y 397 maestros.

www.conocimientoenlinea.com CONOCIMIENTO número 57, del 6 al 19 de julio de [email protected]

Pitágoras de Samos. “La escuela de Atenas”. Raffaello.

La enseñanza de las Matemáticas

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Apreciación de las Matemáticas

Las situaciones didácticas para aprender Matemáticas

El futuro de la enseñanza de las Matemáticas

Uso de las tecnologías de comunicación e información en la enseñanza de las

Matemáticas

Innovadora propuesta para la enseñanza del cálculo en las escuelas de ingeniería

Visualización matemática como habilidad docente

Matemática y realidad educativa

¿Es factible desarrollar la intuición matemática en los estudiantes?

Método Montante reduce determinantes de orden con números enteros

El problema de la variación y sus implicaciones culturales

Matemáticas, disciplina fundamental para el desarrollo

Métodos alternos para las Matemáticas

Las Matemáticas en el CECyTENL

Maestría para profesores de educación básica en el CINVESTAV

Las Matemáticas: belleza simplista y lenguaje de genios

Celebrará la Sociedad Matemática Mexicana su congreso anual en la UANL

Permanencia de los objetos

EducaciónConsolidan reforma curricular

en el Bachillerato Tecnológico

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importante legado artístico

Se reúnen en Monterrey

ex alumnos de la U de Texas

Participaron 5,200 niños

de primaria en el Programa

Ciencia en Familia

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(Aproximadamente 582 a. C. - 507 a. C.) Fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no sólo al mismo Pitágoras. Quien demostró dicho teorema fue unode sus discípulos: Hipaso de Metaponto.

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ienciafamilias nos presentan una muestra de los experimentos y las experiencias vividas”, puntualizó.





















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Por Alma Trejo

Con la participación de cinco mil familias, que integran a cinco mil 200 alumnos de tercero a sexto grado, de 62 escuelas primarias, y la incorporación de mil niños

de dos colegios particulares, concluyó el Programa Ciencia en Familia del año escolar 2006-2007, implementado por la Secretaría de Educación, con apoyo de la Coordinación de Ciencia y Tecnología de Nuevo León y la Universidad Autónoma de Nuevo León.

Con el deseo y esperanza de colaborar en la formación científica de estudiantes de primaria, Ciencia en Familia cerró sus actividades “exitosamente”, gracias a la participación de cientos de familias, maestros y alumnos, congregadas en el sábado 23 de junio en el Parque La Pastora, consideró la doctora Adriana Elizondo, coordinadora general del programa de la SE.

El licenciado Juan Roberto Zavala, director de Cultura Científica, en representación del doctor Luis Eugenio Todd, director de la Coordinación de Ciencia y Tecnología de Nuevo León, explicó que el programa nació con la idea de fomentar, a través de la experimentación, el conocimiento e interés de las familias nuevoleonesas por la ciencia y la tecnología.

MEJOR FUTURO PARA NUESTROS HIJOSDebemos “crear conciencia de que sólo a través de ellas lograremos una vida mejor y un mejor futuro para nuestros hijos”, dijo. “Parte de la premisa de que siendo el niño un investigador por naturaleza, se podía integrar un sistema para la participación de los padres y los maestros en la formación científica de los alumnos, generando en ellos las aspiraciones de saber”.

Zavala insistió en que se busca que el alumno cree sus propios conocimientos a través de indagar y manipular, para desarrollar habilidades como la capacidad de aprender de manera permanente y autónoma, aplicar el conocimiento y fomentar la creatividad, la curiosidad, el respeto y la sensibilidad.

“El día de hoy nos sentimos muy contentos porque vemos los frutos de esta tercera etapa del programa Ciencia en Familia. Es de mencionar que durante el año escolar en los salones de tercero a sexto de primaria, los padres y alumnos, con el apoyo de los maestros, presentaron los trabajos realizados e invitaron al resto de la comunidad educativa a que los conociera. El día de hoy, algunas

Brillante clausura en el Parque La Pastora

Participaron 5,200 niños de primaria en el Programa Ciencia en Familia

El programa “Ciencia en Familia” busca crear un sistema de participación entre padres y maestros para la formación científica de los alumnos, generando en ellos las aspiraciones del saber.

Matem

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En un número anterior, dedicado a las ciencias naturales, propuse que antes de hablar de la

enseñanza y del aprendizaje de esas disciplinas, deberíamos hablar de cómo lograr su apreciación, sobre todo por los alumnos de educación básica.

Mencioné también que la apreciación de algo se demuestra a través de las actitudes relacionadas con ese algo; si le prestamos atención, si le dedicamos tiempo, si vemos o buscamos ese algo en las personas u objetos que conocemos; en fin, si nos hace generar y enfocar una cierta energía interna… si nos motiva.

El problema es saber cómo se desa-rrollan las actitudes. Mi propuesta entonces y ahora es que las actitudes se desarrollan a través de reforzamientos sistémicos positivos de ciertos comportamientos, parti-cularmente durante la niñez, lo cual significa que debemos detectar (para interiorizar y luego practicar) ciertos comportamientos recurrentes tanto en nuestros maestros, como en nuestros padres y otros familiares y amigos cercanos, como en personas de los medios de comunicación y también en nosotros mismos, en relación con cosas concretas como son las ciencias naturales y las matemáticas.

TODO ES SISTÉMICOEl adjetivo sistémico es muy importante; es, realmente, la clave, porque en relación con temas como las ciencias naturales y las matemáticas, más que los reforzamientos positivos, abundan los reforzamientos negativos: son muy difíciles, nadie las entiende,

Doctor Juan Lauro Aguirre VillafañaDirector de Prospectiva Científica y Tecnoló[email protected]

no sirven para gran cosa, es mejor esto o aquello, etcétera, y entonces no se da aquella apreciación que facilita el aprendizaje de todo lo relacionado con él.

En el caso particular de las mate-máticas, además del anterior refor-zamiento sistémico, indispensable para lograr su apreciación temprana, existe otro tipo de reforzamientos sistémicos positivos relacionados con su didáctica, que además permiten exhibir una actitud muy especial al maestro que utiliza este sistema de enseñanza.

Aunque parezca un poco filosófico, este sistema de enseñanza parte de la pregunta: ¿Qué cosa son las matemáticas?

El Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española nos da la definición de la matemática como sigue:

1. f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. U. m. en pl. con el mismo significado que en sing.1. f. pl. Estudio de la cantidad considerada en relación con ciertos fenómenos físicos.1. f. pl. Estudio de la cantidad considerada en abstracto.

Con el debido respeto a la Real Academia Española, ninguna de las definiciones anteriores es capaz de generar en el espíritu del alumno de educación básica algún elemento de apropiación… sino todo lo contrario.

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El maestro de matemáticas deseoso de generar ese otro sistema de reforzamientos positivos debe empezar por utilizar una definición más adecuada a sus propósitos.

Mi propuesta, desde hace más de 30 años, es la de empezar con la frase:Las matemáticas son una creación de la mente humana.

Cualquier cosa que venga después, lo que la frase anterior implica es que las matemáticas son una parte importante del quehacer humano, como lo son los automóviles, los aviones, los edificios, etcétera, y si los automóviles y aviones fueron muy simples al principio y ahora son cada vez más avanzados y complejos, es gracias a los diseñadores y a los ingenieros (con sus conocimientos matemáticos) que dedican todo su talento y su esfuerzo.

DE LO SIMPLE A LO COMPLEJOAsimismo, también las matemáticas al principio fueron muy simples. Ahora son cada vez más avanzadas y complejas, gracias a los matemáticos, hombres y mujeres, que actualmente dedican todo su talento y su esfuerzo en crearlas, aplicarlas y comunicarlas.

Es natural que si se habla de matemáticas, se mencione que han existido y existen en la actualidad hombres y mujeres que dedican lo mejor de su vida a crear y a aplicar las matemáticas.

Es necesario que los alumnos de educación básica entiendan que las ciencias naturales y las matemáticas son, primero que nada, una actividad humana tremendamente relevante y tremen-damente actual.

Asegurado lo anterior, es muy conveniente hacer dos tipos de inter-venciones didácticas: las históricas y las biográficas.

Naturalmente que para que un maestro realice intervenciones históricas y biográficas se requiere que además de preparar su clase de acuerdo con el programa oficial, analice algunas de las magníficas obras de consulta sobre historia (¿origen?) de

las matemáticas y biografías de los grandes matemáticos, prepare las fichas y planee las intervenciones.

LAS MATEMÁTICAS ENCIERRAN GRANDES ASPIRACIONES HUMANASSigamos con la definición de matemáticas. Para mí, la definición de la Real Academia Española solamente encierra una de las tres aspiraciones que se integran en las matemáticas: la aspiración por la cuantificación (¿certeza?); las otras dos son la aspiración por la inclusión, o sea por incluirlo todo (¿universalidad?), y la aspiración por la perfección (¿belleza?).

Usualmente, la enseñanza de las matemáticas se relaciona obsesiva-mente con la cuantificación, o sea con la enseñanza de los conceptos y las reglas para hacer operaciones matemáticas, y esto es lo que las hace parecer abstractas (por definición, según la RAE), cuando en realidad son tan concretas que se encuentran en todas partes, y por ello tienen miles de aplicaciones.

Sobre esto también hay muchas obras de referencia de cuya consulta un buen maestro puede extraer elementos valiosos para realizar este tipo de intervenciones.

LA ASPIRACIÓN POR LA BELLEZA EXISTE EN LAS MATEMÁTICAS Y EN LA FÍSICANos queda referirnos un poco al aspecto de las matemáticas relacionado con la perfección y la belleza. Éste podría ser el aspecto más elusivo, pero es también el más cautivador y desde el cual han surgido temas tan modernos como los fractales y el caos, que, por increíble que parezca, pueden y deben introducirse en la educación básica mediante intervenciones apropiadas con ejemplos muy simples.

Dado que la física también es una creación de la mente humana, comparte con las matemáticas todas sus aspiraciones pero agrega una nueva; la aspiración por la explicación de lo que sucede fuera y dentro de nosotros, (¿inteligibilidad?... ¿realidad?).

Pareciera que esa inteligibilidad proviene de que siempre se utiliza una serie de explicaciones y deducciones lógicas y manipu-laciones matemáticas para derivar conclusiones irrebatibles. Ahora si, como dice la RAE de la matemática, la física es una ciencia deductiva.

Sin embargo, en lo más profundo, la física descansa en conjeturas o hipótesis (cada vez más extrañas y sorprendentes) que se denominan axiomas o postulados; en forma elegante: axiomas, postulados o ecuaciones fundamentales de cierto tipo de fenómenos, o en forma reverencial: axiomas, postulados o ecuaciones de quien las propuso (¿descubrió?).

El físico inglés Paul Adrien Maurice (P.A.M.) Dirac propuso la que actualmente conocemos como Ecuación de Dirac, diciendo que no le era posible concebir una ecuación con una estructura matemática más bella (y que si era así de bella debería ser así de correcta).

C0NCLUSIÓNImaginemos por un momento a un maestro de educación básica que les dice a sus alumnos que van a aprender la forma más bella de expresar las cantidades y de sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas…y se los cumple… esa sí que es la actitud y la didáctica suprema de un maestro de matemáticas.

Juan Lauro Aguirre VillafañaOriginario del Estado de Tamaulipas, es licenciado en Ciencias Físico-Matemáticas y doctor

en Físico Química por la Universidad de Maryland. Actualmente es director de Prospectiva Científica y Tecnológica en la Coordinación de Ciencia y Tecnología de Nuevo León.

Por Carlos Joloy

Ex alumnos de la Universidad de Texas en Austin se reunieron en Monterrey para conmemorar

su paso por la institución, además de rendir un homenaje a un destacado ex alumno: Adrián Sada Treviño, presidente honorario del Consejo Vitro.

En el evento que tuvo lugar el pasado 28 de junio en el Museo de Historia Mexicana, Antonio Garza, embajador de Estados Unidos en México, comentó que los ex alumnos mexicanos de la Universidad de Texas, en Austin, se han convertido en verdaderos líderes en México, y como muestra mencionó el trabajo de Adrián Sada Treviño, quién concluyó la carrera de ingeniería en 1941 en la UT.

ALTO NIVEL DE PROFESORES Y ALUMNOS“La universidad nunca ha sido un lugar para tejanos; más bien ha sido una Universidad muy especial con el más alto nivel con profesores y alumnos

que atienden al llamado y compromiso que exige el liderazgo. Los egresados de la Universidad de Texas en Austin se han convertido en verdaderos líderes dentro y fuera de los Estados Unidos, y esta noche estamos reconociendo a un líder que ha sobresalido no sólo como empresario, sino en cada uno de los ámbitos de su vida y en el compromiso que tiene con su país”.

COLABORACIÓN BINACIONALPor su parte, el gobernador, Natividad González Parás, destacó la influencia e intercambio que existe en materia educativa entre México y Estados Unidos, el cual dijo, seguirá siendo reforzado mediante más programas de colaboración binacional. “También, las relaciones de colaboración y de intercambio, no solamente en la formación educativa sino en el desarrollo científico, tecnológico, cultural entre las universidades norteamericanas y las universidades de México, y particularmente las de Nuevo León, han aportado grandes cuotas para el progreso, y un de-

sarrollo más armónico; es el caso de la Universidad de Texas, con quienes estamos vinculados en un gran proyecto para el progreso regional”.Siendo México la principal fuente de estudiantes internacionales de la Universidad de Texas, su presidente, Bill Powers, explicó que desde hace años existen programas de apoyo para la colaboración con el país; sin embargo, se reforzará el compromiso y específicamente en el caso de Nuevo León trabajarán más de cerca con el gobierno estatal y las instituciones de educación superior, así como en apoyo del programa de la Ciudad Internacional del Conocimiento.

INVITADOS AL EVENTOEn el evento estuvieron presentes invitados como Reyes Tamez Guerra, Secretario de Educación; Antonio Zárate Negrón, director general del Instituto de Innovación y Transferencia de Tecnología, y el embajador Francisco Javier Alejo, coordinador Ejecutivo del programa de integración con Texas, INVITE.

Se reúnen en Monterrey ex alumnos de la U de Texas

De izquierda a derecha, Antonio Garza, Bill Powers, Natividad González Parás y Reyes Tamez Guerra.

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A través del tiempo, la enseñanza de las matemáticas en el currículo escolar se ha

caracterizado por la inclusión de contenidos que demandan la resolución de problemas; sin embargo, en el proceso de enseñanza–aprendizaje, el empleo de los problemas no ha sido siempre el mismo.

Es posible distinguir algunas diferencias en el modo de utilizar los problemas, por las respuestas que da un profesor de matemáticas a preguntas acerca de su clase, como las siguientes:¿Qué considera más importante: resolver problemas o hacer muchos ejercicios? ¿En qué momento de la clase sus estudiantes resuelven problemas?¿Qué tiene más valor: la respuesta correcta o el proceso que siguieron?

C0NCEPCIÓN EPISTEMOLÓGICALa acción del docente en su aula y las respuestas a las preguntas anteriores están influidas por la concepción epistemológica que tiene acerca de la asignatura y los propósitos de su enseñanza. Un docente que presenta los problemas a resolver sólo hacia el final de su clase, después de que él mismo ha introducido las nociones y conceptos que forman parte del saber a estudiar, es un docente que concibe la tarea de enseñar como un proceso simple de transmisión de conocimientos donde el saber es dado, ya construido. Aquí el alumno debe escuchar e imitar, entrenarse, ejercitarse y reproducir la respuesta esperada con el procedimiento

Las situaciones didácticas para aprender

Maestra Leticia Rodríguez ArizpeDirectora de la Escuela Normal Superior “Profesor Moisés Sáenz Garza”[email protected]

Matemáticas El profesor debe imaginar y proponer a los

alumnos situaciones que ellos puedan vivir y en las cuales los conocimientos matemáticos

aparecerán como la solución óptima a los problemas propuestos, solución que el

alumno puede descubrir Guy Brousseau

enseñado. Ronald Charnay identifica a este tipo de docencia como el modelo normativo, por estar centrado en el contenido. (Charnay, en Parra, C, 1994). Si el profesor propone la resolución de problemas desde el inicio de su clase, tratando de responder a las necesidades e intereses de sus alumnos, los va acompañando a lo largo de la sesión, interrogando y validando los pasos dados para buscar las soluciones, proporcionándoles fuentes de información y fichas de trabajo dirigido para que se llegue a lo que él espera, se trata entonces de un docente que pone en práctica los llamados “métodos activos”. Es el modelo “incitativo” de Charnay, centrado en la actividad del alumno, pero también orientado hacia un saber ya construido, de conceptos y procedimientos que deberán encontrar bajo la guía del profesor.Un tercer modelo, llamado “aproxima-tivo” por Charnay, corresponde al maestro que propone situaciones problemáticas a sus estudiantes, al inicio de su clase pero con la intención de provocar la reflexión individual y de grupo acerca de los posibles procedimientos y soluciones. Es aquél que promueve la indagación, la puesta a prueba, la confrontación de ideas y la argumentación de los alumnos a lo largo de la sesión de

trabajo; él interviene para reorientar el rumbo de las discusiones con nuevas preguntas o proporcionando elementos convencionales del con-tenido requerido.

DIFERENTES CONCEPCIONES DE LA DIDÁCTICALa concepción de didáctica de las matemáticas que subyace tras cada uno de los modelos docentes antes mencionados también es diferente. En el primero de ellos, la Didáctica es el arte de enseñar, de mostrar el saber previamente construido. En el segundo, la Didáctica es un conjunto de técnicas para enseñar, sustentadas en conocimientos técnicos de otras disciplinas, especialmente de la psicología.

En el último de los modelos, la Didáctica de las matemáticas se asume como la ciencia que estudia los procesos didácticos, los procesos de estudio de las cuestiones matemáticas. (Chevallard, 1998). En nuestro país, la reforma más reciente a la Educación Secundaria contempla, entre sus fundamentos curriculares, teorías que perfilan el papel del profesor como un mediador entre los alumnos y el saber. Las recomendaciones didácticas contenidas en los programas de la asignatura de matemáticas enfatizan

El campus de la ciudad universitaria de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM),

inscrito en la Lista de Patrimonio Mundial por la UNESCO, es a partir del 29 de junio, un “monumento ejemplar”.

En un comunicado difundido desde Nueva Zelanda, la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) consideró a la UNAM como “un conjunto monumental ejemplar del modernismo del siglo XX”, que integra el urbanismo, la arquitectura, la ingeniería, el paisajismo y las bellas artes, asociando todos estos elementos con referencias a las tradiciones locales, y en particular al pasado prehispánico de México.La UNESCO destacó que el conjunto encarna valores sociales y culturales de trascendencia universal; es uno de los más importantes iconos de la arquitectura y el urbanismo modernos de América Latina. “Es uno de los pocos proyectos del mundo en el que los principios defendidos por los movimientos arquitectónicos y urbanísticos modernos se aplicaron perfectamente con el objetivo, en última instancia, de

ofrecer al hombre una mejor calidad de vida”, agregó.

El campus de la UNAM fue edificado entre 1949 y 1952 y está integrado por un conjunto de edificios, instalaciones deportivas y espacios abiertos situados en la zona sur de la capital mexicana. El proyecto de su construcción fue ejecutado por más de 60 arquitectos, ingenieros y artistas y los edificios fueron decorados con murales de David Alfaro Siqueiros y Diego Rivera, entre otros.

De esta forma, la UNAM pasa a formar parte del selecto grupo de las universidades Patrimonio Cultural de la Humanidad, junto a la de Alcalá de Henares, en España, y la Central de Venezuela, en Caracas (Venezuela).

El anuncio de la inclusión del sitio en la Lista de Patrimonio Mundial fue realizado por la UNESCO al término de la reunión de su Comité de Patrimonio, celebrada en Christchurch, Nueva Zelanda. Otros sitios fueron añadidos por el comité a la Lista de Patrimonio Mundial, 16 sitios culturales, cinco enclaves naturales y uno de carácter mixto.

Mural de José Chavéz Morado, en la UNAM.

Realizan diálogo académico

En el marco de la “era de la informática”, en materia tecnológica, y de la

“sociedad del conocimiento”, en el ámbito sociocultural, ocurren transformaciones políticas, eco-nómicas y sociales, prácticamente en todas las esferas: desde lo local hasta lo global. Dada la magnitud y trascendencia de estos cambios, y por las dificultades, oportunidades y desafíos que representan, la educación juega un papel estratégico, e incluso crítico. De ahí que en el mundo surja un fuerte movimiento de reformas para mejorar la calidad de la educación en distintos aspectos.

El desarrollo del modelo de competencias, es un aspecto que se está tomando mucho en cuenta para determinar la educación del futuro inmediato, dijo Domingo Castillo Moncada, director de la Escuela Ciencias de la Educación y organizador del Seminario “La formación centrada en el desarrollo de competencias”.

JACQUES TARDIFF, EL EXPOSITOREn este evento se tuvo la destacada participación del doctor Jacques Tar-diff, profesor titular del Departamento de Pedagogía de la Facultad de Educación de la Universidad de Sherbrook, de Québec, Canadá.

El seminario “La formación centrada en el desarrollo de competencias”, fue ofrecido a maestros normalistas y universitarios por la Escuela de Graduados de Ciencias de la Educación de la SE.

El enfoque de competencias se centra en el aprendizaje; en realidad, representa un sistema en el que intervienen diversos y complejos procesos, entre los que destacan: la normalización, la formación, la evaluación, la acreditación, la certificación y la socialización.

Ciudad Universitaria de la UNAM, Patrimonio de la Humanidad

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la necesidad de que el profesor dise-ñe o seleccione situaciones de interés para los alumnos, que promuevan la reflexión, la argumentación y la validación de resultados, para aprender matemáticas al resolver problemas. En este caso, se identifica una total correspondencia entre el enfoque recomendado para la enseñanza de las matemáticas en la educación básica y el modelo aproximativo de Charney, congruente también con la tercera concepción de la didáctica de las matemáticas, arriba anotada.

ESTUDIO, LA CLAVE DEL APRENDIZAJEChevallard señala que el eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas es el estudio. La clave para aprender matemáticas es el estudio. El estudio de las cuestiones matemáticas en el aula debe hacerse a partir de situaciones didácticas. Brousseau (citado por Parra, 1994) define las situaciones didácticas como “El conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende herramientas y objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con objeto de que los alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución”.La situación didáctica puede ser un problema o bien algún otro tipo de planteamiento que el profesor proponga a sus alumnos como reto a resolver. Debe asegurarse de que la situación no sea tan difícil que los estudiantes no la puedan resolver, ni tan sencilla de modo que la solución sea inmediata. Los alumnos deben poseer conocimientos para intentar la solución desde varias alternativas.

MANEJO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICASBrousseau enuncia cuatro fases para el manejo de las situaciones didácticas, a partir del planteamiento del problema: Fase de acción: Los estudiantes se mueven para realizar acciones cuyo propósito es resolver el problema. Fase de formulación: Los estudian-tes formulan representaciones de

sus hallazgos, descubrimientos o construcciones. Fase de validación: Los estudiantes argumentan y negocian la validez de sus formulaciones. Fase de institucionalización: El profesor formaliza el conocimiento construido en el aula para aproximar-lo al saber construido científicamente. Uniforma las distintas representacio-nes individuales con respecto a las representaciones convencionales ad-mitidas. Al trabajar las situaciones didácticas de este modo, se concibe al aula como un microlaboratorio donde se van generando procesos de construcción de conocimientos, donde se estudian y se aprenden cuestiones matemáticas. El reto para el docente es precisamente el diseño y la selección de las situaciones didácticas. Al planear su trabajo, debe tener claro el objeto del aprendizaje y las motivaciones de los estudiantes.

PROBLEMAS SIGNIFICATIVOSEs recomendable seleccionar problemas que sean significativos para los alumnos y dejar que sean explorados en pequeños grupos de discusión, permitiendo el ensayo y error, la elaboración y puesta a prueba de conjeturas, la discusión y la argumentación. No es el profesor quien valida el conocimiento construido, sino los argumentos y razonamientos apropiados de los propios alumnos. Se tiene que dejar a los alumnos utilizar

sus propias estrategias de solución y representación. Se requiere que el profesor plantee nuevos problemas, para propiciar la consolidación de un aprendizaje significativo.

Es posible que un docente que ha intentado aplicar el enfoque recomendado para la enseñanza de las matemáticas aún no logre los resultados esperados. Podría, tal vez, contestar algunas interrogantes, antes de desistir: ¿Qué actitud percibe en sus estudiantes cuando les propone resolver problemas? ¿Los estimula para que comuniquen sus ideas y estrategias, confrontándolas con las propuestas de otros? ¿Una misma situación es problema para cualquier estudiante? También podría revisar el informe de la investigación sobre la enseñanza a través de la resolución de problemas, de Alicia Ávila, realizada de 1994 a 1997 en aulas de escuelas públicas. Entre sus recomendaciones están las de: plantear problemas que en realidad sean un problema para los alumnos, dar a los alumnos los recursos necesarios para resolver los problemas, seleccionar las situaciones en que convenga confrontar y discutir puntos de vista y soluciones, hacer explícito el aprendizaje logrado a través de la interacción con la situación- problema, mantener el sentido de las estrategias “espontáneas” en el proceso de aprendizaje y aceptar “devolver” a los alumnos la responsabilidad de su aprendizaje. Los resultados obtenidos hasta ahora utilizando situaciones didácticas como la resolución de problemas pueden mejorarse. Las dificultades para lograr que nuestros alumnos estudien matemáticas de es-ta manera son un área de oportunidad para seguir aprendiendo.

Cultura

CienciayPor Alma Trejo

Deja Enrique Canales importante legado artístico

Tal como lo dijera el goberna-dor José Natividad González Parás, en uno de los muchos homenajes que en los últimos

meses recibió, Enrique Canales Santos fue un innovador que abordó el tema del Conocimiento mucho antes de que se pusiera de moda.

El regiomontano que nació en 1936 y que destinó su inteligencia, creatividad y acción innovadora al servicio del arte, la política, el periodismo y la investigación científica, murió el pasado 19 de junio, -utilizando una de sus frases más comunes- “bien usado”.

De la creación artística de Canales Santos destaca su obra escultórica en cerámica y vidrio, además de sus lienzos, que se distinguieron por la explosión de color y cuya temática abarcaba desde ángeles guardianes, hasta sus “chamuchos” internos. Su obra fue expuesta en Bellas Artes, Marco, Museo Tamayo, en el Museo Monterrey, y en galerías de Colombia, Estados Unidos y Francia.

Aprendió a cultivar la “fregonería”, una actitud propia hacia la vida que lo llevó a explorar el proceso de innovación hasta obtener el

Doctorado en Organización de Centro de Investigación y en Procesos de Innovación Tecnológica, en la Universidad de Houston, un tema en pañales hace 20 años.

Fue responsable del Centro de Investigación del Grupo Vitro, empresa donde logró innovar procesos de fabricación de vidrio, diseño de máquinas, obteniendo más de 40 patentes internacionales, entre ellas la US 4.705,550: Process for providing a thermically homogemeous flor of molten glass.

Enrique Canales Santos

(1936-2007)

Entusiasmo, talento y dedica-ción son las cualidades que distinguen a cada una de las integrantes del Ensamble

IMUSI. Son ocho niñas que, como parte de sus clases de iniciación musical, se integraron al Ensamble de Cuerdas IMUSI y se presentaron el domingo 1 de julio en el Patio de las Esculturas de

Ensamble en la Pinacoteca

la Pinacoteca de Nuevo León, situada en el Colegio Civil Centro Cultural Universitario.

La directora de la Pinacoteca, Elvira Lozano de Todd, señaló que con el afan de promover las actividades culturales, esta institución presenta a este grupo integrado por Marienn Sánchez, Ingrid Puente, Noreen Broechhove, Sofía Sánchez, Ángela Hernández, Evelin Magaña, Saray Sánchez y Salma Guzmán, quienes ejecutan melodías con violón y violoncello.

El concierto se llevó a cabo a partir de las 16 horas, con un repertorio de música de clásicos italianos, rusos y música mexicana.

Finalizan cursos de danza

En la Gran Sala del Teatro de la Ciudad se realizaron durante todo el fin de semana las presentaciones de fin de cursos

de los alumnos de diversas expresio-nes del arte de la danza que ofrecieron los alumnos de la Escuela Superior de Música y Danza de Monterrey.

En este evento también conme-moraron el 30 aniversario de la institución.

En el programa del viernes partici-paron los alumnos de danza contemporánea, quienes en punto de las 20:00 horas, interpretaron “Almas en movimiento”, un repertorio de cinco obras originales de maestros de la institución local y del coreógrafo sonorense, Aldo Siles, de Sonora.

INVITACIÓN A LA COMUNIDADClaudio Tarris, director de la ESMDM, hizo la invitación a la comunidad para que asistieran a estas funciones que dejan de ser escolares para convertirse en profesionales debido a la naturaleza y el rigor de las clases.

La clave para aprender matemáticas es el estudio.

Es licenciada en Pedagogía, egresada de la UANL; tiene una Maestría en Educación Media en

Matemáticas por la Escuela de Graduados de la Normal Superior de Nuevo León. Es autora de libros

de matemáticas para secundaria, desde 1982 a la fecha.

Leticia Rodríguez Arizpe

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Las Matemáticas son definiti-vamente una de las ciencias más importantes del fruto del

razonamiento humano, tan antiguas como las culturas china, egipcia, o griega. Concentración del pensamiento abstracto y el razonamiento lógico -precisamente dos de los insumos fundamentales para el pensamiento creativo- constituyen el lenguaje en el que se encuentra descrito y mediante el cual se puede operar gran parte del conocimiento humano. Una de sus ramas: el cálculo, es la base fundamental del pensamiento físico y, en nuestro tiempo, del pensamiento ingenieríl o tecnológico.

Se trata de un conocimiento funda-mental que diferencia la potencia de los profesionistas actuales, y preci-samente en este punto es donde adquiere su relevancia en los ámbitos económico, político y social. Podríamos diferenciar a los humanos como los

que emplean las matemáticas en su quehacer cotidiano y los que no.

CAPACIDAD DE EMPLEAR EL PENSAMIENTO ABSTRACTOEn la actualidad, las entendemos como la capacidad de emplear el pensamien-to abstracto y poder plasmar el fruto de nuestro razonamiento lógico.

Es por esto que preguntamos: ¿de qué manera ponemos en contacto a nuestros niños y jóvenes con las matemáticas? Esto adquiere una tremenda relevancia. De hecho, existen profesionistas que eligieron su carrera porque ésta no tenía matemáticas.

Esto es un grave error, ya que, siendo las matemáticas el constructor teó-rico que nos permite plasmar el fruto de nuestro razonamiento lógico, no emplearlas podría ser reconocer que la lógica de nuestras conclusiones no es importante.

Ahí está la Lógica Difusa, según la cual, 1 + 1 no es exactamente 2, sino, más o menos 2. En la actualidad, esta rama de las matemáticas es empleada en el campo de la inteligencia artificial, y las llamadas redes neuronales. ¿Qué los psicólogos y los neurólogos no deberían saber de esto?

Por otra parte, en la didáctica de las matemáticas, al parecer se ha venido resaltando lo que se refiere al pensamiento abstracto, pero de manera exagerada, y esto ha redunda-do en una didáctica que promueve la mecanización de las operaciones que tienen que ver con las matemáticas.

EMPLEO DEL RAZONAMIENTO LÓGICOPorque en las matemáticas existen una infinidad de álgebras, con sus correspondientes operadores. Y, claro, hay que ser hábil en el manejo de esto,

El futuro de la enseñanza de las

MatemáticasMaestro Héctor Antonio González FloresDepartamento de Física y Matemáticas / [email protected]

nos toca atender a un segmento de la población de lo más humilde, de lo más necesitado, y por eso yo alabo el trabajo que hicieron las formadoras, así como las compañeras y compañeros de Tamaulipas con un trabajo impecable”, manifestó.Vidales Delgado destacó también la estrecha participación que hubo entre los formadores y maestros en general de los estados de Nuevo León y Tamaulipas y señaló que las autoridades federales pueden estar confiadas de que en ambos estados existe una hermanad muy sana que ayudará a que se cumplan objetivos futuros en este tema.

DIVULGACIÓN DE LA REFORMAPor su parte, Manuel Ornelas, coor-dinador del curso, explicó de manera breve el marco histórico en el que se ha desarrollado la reforma curricular a partir de su gestación en el periodo de 2001 a 2004. Destacó también el gran trabajo que se realizó en los años de 2004 a 2006, periodo en el cual se dio el proceso de inducción y divulgación de los ejes de la reforma del bachillerato tecnológico.

Agregó que este año empezó otra importante etapa para la reforma, que se buscará consolidarla mediante trabajos y actividades como los que en esta ocasión se llevaron a cabo en el Estado de Nuevo León. “Empezamos un periodo enmarcado del 2007 al 2012, en donde a través de la propia voz del señor subsecretario, nos dice: que la reforma no se cambia; al contrario, la reforma se consolida, y éste es el periodo dedicado a dicha consolidación”.

TRABAJO DE CONJUNTOPor último, tomó la palabra Orel Dario García, quien, a nombre de María de la Luz Paniagua, representante en Nuevo León de la Subsecretaría de Educación Media Superior, mencionó que luego de atravesar tiempos difíciles que se presentaron durante la gestación de la reforma, ahora ya existe un cambio en el cual los subsistemas están trabajando unidos, con el compromiso de hacer llegar la reforma curricular a toda la educación media superior con lineamientos generales y no con lineamientos exclusivos para cada uno

de los subsistemas, fenómeno que, dijo, se presentó anteriormente.

Agregó que a pesar del notable avance que se ha registrado, aún faltan muchos vacios que cubrir, y subrayó que uno de los mayores problemas y principal reto que existe es aterrizar la reforma en el aula.

“Hemos estado trabajando por tres años con un grupo bastante numeroso pero no lo suficiente; se ha comprometido con la reforma como lo han hecho ustedes, pero lo gran mayoría de los maestros todavía no aterrizan la reforma dentro de las aulas, y es ahí donde está nuestro compromiso. La reforma podemos hacerla y elevarla hasta el punto donde ustedes quieran; pero si esa reforma no se aterriza en el aula, nunca será una reforma, sino sólo un buen y sano intento de cambiar las cosas”.

Por último, Orel Dario García advirtió que además de los retos que supone la aplicación de la reforma, también existen otros problemas que se deben atender al mismo tiempo, y consideró que uno de los más importantes es poner especial atención al aspecto formativo de la educación y a estrechar

los lazos de unión entre los alumnos y maestros.

“Independientemente de la reforma debemos poner mucha atención; estamos descuidando el aspecto formativo de los alumnos; debemos enfocar muy bien nuestra actividad hacia lo que es la tutoría de grupos y a fortalecer ese nexo entre los alumnos y el maestro; todo eso, junto con la reforma, nos dará a largo plazo el beneficio que todos esperamos”.

Durante la clausura del curso se entre-gó a los participantes la constancia oficial de su presencia en las actividades y también se reconoció el trabajo de las maestros que colaboraron como formadores durante el curso.

Por parte de Nuevo León y de los CECyTES en dicha entidad participaron Adriana Luisa Romero Castillón, del plantel Estancuela; María del Carmen Garza Salazar, del plante Cadereyta, y Olga Elena Dávila Rodríguez, del plantel Marín; quienes seguirán trabajando como formadoras en otras partes de la república y con maestros de otros estados.

Formadores del curso en Nuevo León.

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pero, ¿y el empleo del razonamiento lógico aplicado a la vida cotidiana? Y es aquí en donde la didáctica de esta ciencia flaquea. Pero, ¿que se puede hacer al respecto? ¿Existen en la actualidad herramientas que podamos utilizar?

Habrá que responder que, actualmente, David H. Jonassen desarrolla los conceptos; mind tools, que son básicamente herramientas cognitivas basadas en la computadora y learning environments, que son ambientes de aprendizaje adaptados para facilitar el pensamiento critico y el aprendizaje de nivel elevado. De acuerdo con Jonassen, ejemplos de herramientas cognitivas son: •Bases de datos.•Redes semánticas.•Sistemas expertos, calculadoras avanzadas.•Multimedia e hipermedia basada en simulaciones, etcétera.

Jonassen establece que la función de las herramientas cognitivas es extender las funciones cognitivas del aprendiz durante el proceso de aprendizaje, y comprometerlo en la construcción de su propio conocimiento. Además, proveen el andamiaje necesario para diferentes formas de razonamiento acerca de algún contenido. Razonamiento: precisamente la habilidad que ejercemos al resolver problemas. Pero hay de problemas a problemas. Definitivamente, una suma, o la solución de una derivada o una integral son un ejemplo de la solución de un problema, pero ¿que tan retador puede ser esto? Si es un hecho que en la actualidad existen calculadoras y programas computacionales que pueden hacer esto, y si reconocemos que una calculadora no puede razonar, entonces nos daremos cuenta del problema acerca de una didáctica de las matemáticas que promueva únicamente la solución de este tipo de problemas.

ESTRATEGIA DIDÁCTICAEn la actualidad, los problemas ricos en contexto son empleados como estrategia didáctica para promover el razonamiento complejo, y es que

en la vida profesional es donde nos enfrentamos a este tipo de problemas, cuya principal característica es que no tienen una solución única, ya que en su planteamiento no están com-pletamente determinados. Es decir, se necesita realizar consideraciones al tratar de obtener una de las posibles soluciones, y es aquí donde se promueve el razonamiento.

Es también un hecho que la tecnolo-gía seguirá su avance, y que cada vez tendremos herramientas cognitivas más capaces, que podrán emitir una respuesta cuando se trate de encontrar la solución de situaciones en que se requiera realizar operaciones, ya sean aritméticas, algebraicas, matriciales, vectoriales, o que involucren el derivar e integrar funciones o la solución de ecuaciones diferenciales.

RAZONAMIENTO LÓGICOEntonces, los humanos que usamos o que usaremos las matemáticas, no debemos seguir ejercitando únicamente estas habilidades, ya que las calculadoras y las computadoras lo

hacen y lo harán mejor. Por lo tanto, queda claro adónde se debe enfocar la didáctica de las matemáticas: nosotros debemos ejercitar el razonamiento lógico y producir las funciones a las cuales someteremos diferentes operaciones para lograr nuestros propósitos.

En otras palabras, debemos ejerci-tarnos en el empleo de la herramienta matemática como una manera de representar las situaciones que cotidianamente vivimos, con el objeto de modelarlas y encontrar alternativas particulares en la solu-ción o incluso soluciones a problemas no planteados aún.

Este panorama podría promover que cada vez más estudiantes optarán por carreras en donde la promesa fuera el conocer y dominar un lenguaje y un conjunto de operadores con los que se puede abstraer al mundo que nos rodea y mediante el cual es posible plasmar nuestro razonamiento y encontrar soluciones optimas, innovadoras y emocionantes.

Héctor Antonio González FloresEs licenciado en Física, egresado de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de

la UANL; tiene Maestría por la misma institución en Enseñanza de las Ciencias, y cuenta también con otra Maestría en Ciencias de la Educación, con Especialidad en la

Aplicación de la Computadora, por la UDEM.

David H. Jonassen,-Chad Carr,-Hsiu-Ping Yueh. (1998). Computers as Mindtools for Engaging Learners in Critical Thinking. TechTrends, v43 n2 p24-32.

Rupali Akerkar & Rajendra Akerkar. Strategies for Future Educations in Methematics. Technomathematics Research Foundation, Kolhapur. Kathleen Nolan. (2204). The Future Is Now: The Importance of Modelling Effective Technology Integration in Mathematics Education Classes. Teacher Education.

University of Minnesota. Physics Education Research and Development.http://groups.physics.umn.edu/physed/index.html

ReferenciasPor Carlos Joloy

Atendiendo la reforma curri-cular que se lleva a cabo en el subsistema nacional de

enseñanza, se realizó en Nuevo León el Curso Nacional de Multiplicadores de Ejes de la Reforma, en la semana del 25 al 29 del pasado mes de junio.

Durante las actividades participaron más de 80 personas provenientes de todo el Estado de Nuevo León, entre ellos directores, coordinadores

académicos y maestros de los Colegios de Estudios Científicos y Tecnológicos (CECyTE); de los Centros de Bachillerato de Educación Técnico Agropecuaria (CEBETAS), y planteles de la Dirección General de Educación Tecnológica Industrial (DGETI).

Durante la ceremonia de clausura de los trabajos del curso, Ismael Vidales Delgado, en representación de los planteles CECyTE de la entidad, aseguró que los compromisos y

metas marcados al inicio de estas actividades se completaron con éxito y cabalmente, gracias a la participación de maestros dedicados al avance no sólo en el curriculum, sino también en el aspecto de formación humana de los alumnos que actualmente estudian este nivel.

“En Nuevo León, los subsistemas de CEBETA, DGETI y CECyTE lo hacen de una manera puntual y con una gran solidaridad y un gran afecto;

Consolidan reforma curricular en el Bachillerato Tecnológico

De izquierda a derecha: Manuel Ornelas, Orel Dario García e Ismael Vidales Delgado.

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En el planteamiento general del uso de las tecnologías de la información y comunicación

en la clase de matemáticas subyace una serie de cambios necesarios para llevar a cabo la labor docente. Se pueden mencionar aquéllos que están vinculados con la propia concepción de la función de la escuela, la forma de estructurar y organizar la enseñanza en el aula, la manera de obtener información, la forma de proponer actividades y tareas, las habilidades y competencias de los estudiantes.

En consecuencia, el maestro de matemáticas del siglo XXI tiene que desarrollar competencias no incluidas en los objetivos de su formación inicial. Uno podría plantearse la pregunta: ¿podrá el docente alcanzar el paso de los usuarios expertos que actualmente introducen en los currícula de la educación matemática el uso de tecnologías de información y comunicación de frontera? (Olimpia Figueras [2] en su artículo “Atrapados en la explosión del uso de las tecnologías de la información y comunicación)”.

Comenzaré este artículo tomando en cuenta las palabras de Marianna Bosch [1]: “En el centro de la problemática de la enseñanza de la matemática están las cuestiones: ¿Qué es la matemática?, o ¿En qué consiste hacer matemáticas? Y dice que: La matemática puede ser considerada como:

Maestra Lilia Guadalupe GarcíaFacultad de Ciencias Físico Matemáticas / [email protected]

Uso de las tecnologías de información y comunicación en la enseñanza de las

Matemáticas

albedrío: ¿es posible entender lo que es entender? ¿Podemos lograr entender de manera absoluta (la abstracción pura, la esencia de la abstracción) si ello existe afuera de la percepción humana? ¿Es entender de manera absoluta el universo

Dios? ¿Es llegar a entender algo así noble para los humanos? Si nuestra abstracción es imperfecta, ¿podemos refinarla abstrayendo de nuestra abstracción? Sin embargo, esa misma abstracción contiene imperfecciones, las cuales son importadas

a este refinamiento. ¿Es posible, a través de una serie de refinamientos, dar el salto final de la abstracción imperfecta a la abstracción absoluta y tocar la mano de Dios?

Mi más temprana y más conciente memoria de haber aprendido algo en la escuela fue en primer año de primaria. Al final de mi primera clase sobre acentuación, pude escribir mi primera palabra acentuada: avión. Ese día acompañé a mi madre a un banco después de clases, y en un acto de confianza en mí misma y sociabilidad sin precedentes para mi personalidad de seis años, me acerqué a una de las cajeras y orgullosamente anuncié que sabía cómo escribir avión. Recuerdo que, mientras demostraba mi recién adquirida habilidad a la mujer (quien amablemente compartió conmigo mi hasta entonces más significativa eureka infantil) me sentía como si nunca fuera a ver el mundo igual...por lo menos el mundo de los aviones sin acento.

He leído y escuchado reseñas de matemáticos que tuvieron experiencias trascendentales y liberadoras al resolver un problema o romper algún tipo de barrera

del conocimiento matemático. No digo que puedo resolver el problema #25 de Hoeflin con la misma facilidad con la que acentúo palabras. Similarmente, tampoco digo que puedo sacar diez en el mismo examen final de cálculo que tomé hace 12 años si lo intentara hoy. Pero me atrevo a decir esto: hoy los demonios de la distracción que guardan las puertas de la matemática han perdido algo de su poder sobre mí y, posiblemente, ¡yo los he distraído a ellos!

No importa que haya yo confundido a la matemática con sus efectos; no importa que haya reprobado cálculo; y no importa si al escribir este texto cometí tres de los más humorísticos errores lógicos (mis disculpas; ya los corregí).

Habiendo participado (aunque superficial-mente) en la experiencia de la matemática gracias a mi mentor y a todos aquellos participando en el sistema de la matemática humana, no puedo evitar experimentar un

profundo sentido de gratitud, humildad, asombro y honor por ser miembro de un sistema así. La matemática, vista correctamente, posee no sólo verdad sino belleza suprema: una belleza fría y austera, como la de una escultura, sin apelar a nuestras debilidades, sin los atractivos detalles de la pintura o la música, sin embargo sublimemente pura y capaz de una perfección seca como la que sólo el arte más grandioso es capaz de tener.

– Bertrand Russell, El Estudio de la Matemática

D.R. © 2007, Executive Success Programs, Inc.MR

Traducido del inglés por Farouk Rojas

Bello

Siendo la esencia de toda ciencia, la matemática contiene un elemento de naturaleza casi misteriosa. Sin importar lo que haga un científico (ya sea un niño o un catedrático), la esencia de lo que hace es la chispa que llamamos ‘matemática’: es la naturaleza de la abstracción, la naturaleza del descubrimiento, la naturaleza misma de saber.

– Keith Raniere

Acerca de Executive Success Programs, Inc.

Executive Success Programs, Inc.MR (ESP) ofrece programas de entrenamiento enfocados en crear consistencia en todas las áreas y ayudar a desarrollar las habilidades prácticas, emocionales e intelectuales que la gente necesita para alcanzar su máximo potencial. Todos los programas de ESP utilizan una tecnología punta con patente en trámite llamada Cuestionamiento Racional MR, una ciencia basada en la creencia que entre más consistentes sean las creencias y patrones de conducta de un individuo, más exitoso será en todo lo que haga. El Cuestionamiento RacionalMR permite a las personas volver a examinar e incorporar percepciones que pueden ser la base de limitaciones autoimpuestas.

Mayores informes: [email protected]

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•una actividad abierta de resolución de problemas aislados;

•un conjunto de procedimientos algoritmizados que se aplican en situaciones estereotipadas;

•un conjunto de procedimientos más complejos articulados alrededor de clases de problemas;

•un proceso de modelización de sistemas matemáticos o extra-matemáticos”.

LO QUE SON LAS MATEMÁTICASComo la misma autora continúa, “no se trata de determinar si es mejor entender las matemáticas como una teoría, como una actividad intelectual o creativa, como un conjunto de procedimientos o como un proceso de modelización. O, por lo menos, no debemos plantear la discusión en términos absolutos, porque sólo llegaríamos a la conclusión de que todos tienen una parte de razón: las matemáticas son una teoría y un lenguaje, una actividad de utilización rutinaria de conocimientos previos y, a la vez una actividad creativa que incluye siempre un proceso de modelización”.

Más allá de decidir cuál es la verdadera naturaleza de la Matemática, la autora considera que el interés está centrado en adoptar un modelo adecuado de la actividad matemática; es decir, una manera de entender lo que es hacer matemática y, también enseñar y aprender matemática.

Uno de los primeros beneficios que se vislumbran con el uso de la tecnología en los procesos de enseñanza-aprendizaje es la posibilidad de manejar dinámicamente los objetos matemáticos en múltiples registros de representación dentro de esquemas interactivos, difíciles de lograr con los medios tradicionales, como el lápiz y el papel, en los que se pueden manipular directamente estos objetos y explorarlos.

USO DE NUEVAS TECNOLOGÍASEN LA ENSEÑANZAEstudios realizados en los últimos años han demostrado que el uso de nuevas tecnologías abre perspectivas

interesantes para la enseñanza de las matemáticas y otras ciencias. Entre los beneficios que brindan podemos mencionar los siguientes:

•Ofrece al estudiante ambientes de trabajo que estimulan la reflexión y lo convierten en un ser activo y responsable de su propio aprendizaje.

•Provee un espacio problemático común al maestro y al estudiante para construir significados.

•Elimina la carga de los algoritmos rutinarios para concentrarse en la conceptualización y la resolución de problemas.

•Da un soporte basado en la retroalimentación.

•Reduce el miedo del estudiante a expresar algo erróneo y, por lo tanto, se aventura más a explorar sus ideas y formula conjeturas, y busca argumentos adecuados para validarlas.

•Ayuda al alumno a descubrir y construir conceptos y técnicas mediante el ejercicio de la reflexión.

•Y, por último, una de las ventajas centrales de las nuevas tecnologías en la educación matemática, es la capacidad expresiva que otorgan a los estudiantes.

Así, la Matemática pasa a ser más que una simple mecanización de procedimientos.

La computadora y la calculadora nunca van a suplir al maestro: son instrumentos de apoyo, como el pizarrón y el gis, aunque sus características sean esencialmente diferentes.

cualquier potencia superior a la segunda en dos poderes similares. He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, para la cual este margen es demasiado estrecho.”. La modesta nota, por la mano de Pierre de Fermat (1601 – 1665), no pudo comprobarse ni invalidarse por más de 350 años, sin embargo aún existía en nuestras posibilidades matemáticas. Una comprobación correcta del último teorema de Fermat (como se le ha llegado a conocer) fue finalmente publicada por el matemático angloamericano Andrew Wiles en 1994.

Por lo tanto, dentro de los campos de la matemática humana actual y potencial existen varias posibilidades: lo que se puede calcular; lo que no se sabe si se puede calcular; lo que es imposible de calcular. Por ejemplo, la ecuación diofántica anterior es algo que podemos demostrar es calculable. En contraste, la idea de algo imposible de calcular puede ser ilustrada por el concepto de cortar en tres partes un ángulo con herramientas euclidianas. Un ejemplo de algo que no se sabe si se puede calcular fue el último teorema de Fermat mientras duró sin resolver. Los números que encajaban en la ecuación ya sea existían o no; sin embargo, no éramos capaces de demostrar ninguna de las dos posibilidades.

Estas posibilidades de la matemática, definidas en términos del pensamiento humano, empezaron a despertar algunas de las cuestiones más significativas para la humanidad. Por ejemplo, si saber es de hecho poder predecir o calcular, ¿es posible saber todo en el universo? Si así es, ¿el universo es determinista (p. ej. ¿podemos calcular a dónde irá toda molécula?)? ¿Hay libre albedrío en el universo? ¿Hay matemática más allá del pensamiento humano? ¿Hay Dios? Y sobre todo, ¿podemos los humanos alguna vez llegar a saber si alguna de estas cosas existe?

Keith Raniere llama “matemática absoluta” a la hipótesis de que la matemática existe más allá del pensamiento humano. Hace notar que no sabemos y quizás jamás lograremos conocer la relación entre la matemática absoluta y la matemática humana (ya sea actualizada o potencial), ya que los límites de nuestras posibilidades de percepción garantizan la inigualdad al ser yuxtapuestas al concepto de la matemática absoluta: asumimos que la matemática detrás de nuestro universo es de un nivel más fino que la matemática humana.

Tan pronto algo “se puede saber” en el sentido matemático humano se vuelve predecible, calculable. Dado esto, la cuestión “¿Tenemos libre albedrío?” es posible que sea determinable mediante nuestra matemática; sin embargo, la naturaleza misma del libre albedrío puede trascender a la matemática humana, así que puede ser que no tengamos libre albedrío en términos de matemática absoluta. Por lo tanto, puede ser que estemos consignados a percibir libre albedrío; pero desde una perspectiva justo afuera de la matemática humana, una percepción tan profunda en la estimación de los humanos puede resultar ser poco más que una ilusión.

Me avergüenza decir que al enfrentar mi miedo a las matemáticas durante la preparatoria y la universidad, solía quejarme de que la “dificultad” del problema frente a mi era culpa de la humanidad. Debatía, “¡Si tan sólo hubiéramos existido hace 100 o 200 años, no tendría que memorizarme

esta fórmula porque no existiría!” ¡Puntos para los demonios de la matemática!

No sólo estaba negando el hecho de que el conocimiento y valor heredados de todo ser humano que me ha precedido simplemente han hecho mi vida más fácil

y más cómoda, sino que también estaba negando la naturaleza de la lucha similar de cada persona. Cuando consideramos que la matemática humana no se conocía bien a sí misma hasta hace unos pocos cientos de años, es impresionante cuánto hemos avanzado a la ciencia y cuanto ésta nos ha hecho avanzar. Viendo más profundo, considere lo que debe haberse requerido para que los seres humanos incluso empezaran a desarrollar matemática: es simplemente asombroso. Mi mentor ofrece una bella hipótesis de como este monumental avance puede haberse desarrollado progresivamente en nuestra historia.

Al nivel más rudimentario, dice, es posible que nos hayamos preocupado primero por entender como humanos cualidad y cantidad, al igual que las relaciones básicas entre las cosas. Por ejemplo, veo algo: dos rocas (cantidad). Luego las comparo una con la otra: una es más grande y más obscura (cualidades) que la otra. Conforme fuimos desarrollando permanencia de objetos, nota mi mentor, puede ser que hayamos empezado a identificar las “propiedades” de las cosas en un sentido abstracto: esta roca parece familiar... es como la piedra grande y obscura (ahora una abstracción) que encontré ayer. En vista de esto, la permanencia de objetos (la existencia de una cosa en espacio y tiempo independientemente de nuestra percepción) bien puede ser considerada la esencia de la matemática.

Mi mentor propone que quizás un salto de proporciones colosales ocurrió en algún punto entre lograr nuestras habilidades de abstracción básicas y el punto en el que la matemática (como la entendemos y experimentamos hoy) llegó a ser: casi en un acto de conciencia, nuestra especie dirigió la ciencia de abstraer hacia entender nuestra propia abstracción. En ese momento, la técnica misma de la matemática humana nació y su recién descubierta naturaleza autorreflectiva empezó a ser expresada y aplicada abiertamente. Conforme nuestra búsqueda por entender la esencia de la matemática se profundizó, esto no sólo trajo consigo frutos que toda generación futura podría disfrutar, sino que inspiró a la humanidad a explorarse a sí misma a nivel filosófico. Las cuestiones que surgieron de nuestra siempre creciente matemática naturalmente nos llevaron a cuestiones de Dios, el alma y el libre

Orígenes de la visión

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Matem

áticasNo existe una visión única universalmente aceptada, sobre cuál es la mejor forma de utilizar las calculadoras y las computadoras en el aula. Es más, las preguntas adecuadas sobre tecnología no deberían ser sobre temas amplios tales como qué hardware o software utilizar, sino desde cómo cada uno funciona en un determinado currículo hasta los efectos que tienen en la forma de plantear problemas particulares a los estudiantes.

USO DE COMPUTADORAS Y CALCULADORASEnseñar matemáticas mediante la utilización de computadoras o calculadoras conlleva muchos cambios en la organización del trabajo. Éstos se reflejan principalmente en el papel que desempeña el docente en este contexto, en la organización del trabajo de sus alumnos y en la manera de evaluar su rendimiento.

Las nuevas tecnologías requieren otro tipo de acercamiento a la enseñanza, por lo que el papel del maestro cambia radicalmente cuando la clase de matemáticas se desarrolla

con tecnología apoyada en hojas de trabajo. Con esta combinación -tecnología y hojas de trabajo- el profesor tiene la posibilidad de mediar el aprendizaje de sus alumnos de tres formas distintas mediante las hojas de trabajo que les proporciona.

•Apoyando y guiando a los estudiantes durante la resolución de las hojas de trabajo en el salón de clase. •En discusiones del grupo completo. El profesor no debe convertirse en el centro de la discusión; debe procurar que los estudiantes se apropien de ella.•Los alumnos deben presentar sus opiniones e ideas a los demás y el profesor sólo debe coordinar esta actividad.

Propicia que sus alumnos desarrollen un espíritu abierto a la investigación. Da libertad a sus estudiantes de que exploren distintas maneras de resolver un problema, viendo sus distintas representaciones, como también la utilización de distintas herramientas.

1Bosch, Marianna, El estudio de campos de problemas en secundaria, conferencia (versión preliminar) en el Departamento de Matemática y Computación de la Universidad de La Rioja, España, 1997.2 SEIEM-Seminario de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática: Investigación en Tecnologías de la Información y Comunicación en Educación Matemática. Ponencias: 1. Atrapados en la explosión del uso de las tecnologías de la información y comunicación, a cargo de la Doctora Olimpia Figueras Mourut de Montpellier. Réplica del doctor Ángel Martínez Recio disponible en línea en: http://www.ugr.es/local/seiemSEP Geometría Dinámica, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, disponible en línea http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/recdidacticos/geometriadinamica.pdf Benítez Mojica, David, ¿Por qué usar tecnología computacional en el aula de matemáticas.

Referencias

Es licenciada en Matemáticas, y maestra en Enseñanza de las Ciencias, con Especialidad en Matemáticas, por la UANL. Es también maestra de tiempo completo en la Facultad de Ciencias

Físico Matemáticas, donde imparte Matemáticas I, Matemáticas II, Matemáticas Discretas, Ecuaciones

Diferenciales. Forma parte del cuerpo académico Matemática Educativa, de la misma facultad.

Lilia Guadalupe García Figueroa

Enseñar matemáticas mediante la utilización de computadoras o calculadoras conlleva muchos cambios en la organización del trabajo.

Según Keith Raniere, “Saber es poder predecir.”. Poder predecir, añade, implica que algo es cuantificable y calculable. Sin embargo, si algo es calculable, ¿significa necesariamente que somos capaces de calcularlo? Esta cuestión requeriría que nuestras ciencias fueran capaces de calcular cualquier cosa calculable y, por supuesto, este no es el caso. Por ejemplo, mi mentor con frecuencia cita el ejemplo de un vaso con agua. El agua en el vaso, sin importar la posición del vaso sobre una superficie dada, siempre encuentra su nivel. De cierta forma, el agua “calcula” su posición a nivel y los caminos de todas sus moléculas. Para el observador casual, esto puede parecer sentido común; pero para el matemático, es casi un milagro. Actualmente, nuestras ciencias no son capaces de entender, calcular, y predecir exactamente cómo se comportarán las moléculas en el vaso de agua dado el gran número de variantes. Observamos al agua encontrar su nivel consistentemente; sin embargo, no entendemos plenamente porqué lo hace en un sentido matemático. Es, por supuesto, posible que algún día nuestra matemática logre entender esto.

Esta distinción ya empieza a definir dos aspectos de la matemática humana: la matemática actual (que es de hecho cuantificable y calculable al día de hoy), y aquellas cosas que todavía no están dentro de nuestro sistema humano de comprensión matemática, sin embargo no están del todo fuera. (Decir que nuestra matemática actual incluye a toda la matemática humana no sólo es presuntuoso, sino bastante pesimista: equivale a decir que ya sabemos todo lo que hay que saber; no hay nada más por aprender.) Considere la ecuación diofántica: a2 + b2 = c2. Se ha demostrado que la ecuación puede ser resuelta de esta forma dados ciertos números enteros. Por ejemplo, la solución con números enteros de 3, 4, y 5: si a = 3 (3 × 3, que es 9), b = 4 (4 × 4, que es 16), entonces c = 5 (5 × 5, que es 25; también 9 + 16 = 25). A principios del siglo XVII, un matemático francés clamó que podía probar que la ecuación no se podía resolver si el 2 (la potencia) era reemplazado con cualquier número entero positivo mayor a 2. Sin embargo, la declaración del matemático estaba limitada a la siguiente nota escrita al margen de un libro: “Es imposible separar una tercera potencia en dos terceras potencias, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general,

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El currículo de las carreras de ingeniería está organizado con el supuesto de que los cursos de Cálculo proveen a

los estudiantes de las herramientas matemáticas que les permitan inter-pretar, modelar y resolver problemas en áreas específicas propias de esas carreras.

La bondad de los cursos de Cálculo debería entonces ser juzgada de acuerdo al cumplimiento del estándar de calidad señalado.

Voces en todo el mundo (si sirve de consuelo para México) señalan dificultades graves en el aprendizaje del Cálculo.

Los índices de reprobados son altos y, lo que es más grave aún, existe evidencia de que los estudiantes que aprueban esta materia curricular no reconocen la utilidad e importancia de las ideas fundamentales del Cálculo.

UNA NUEVA PROPUESTA DESARROLLADA EN EL ITESM El reconocimiento de la problemática local, al tenor de la del reclamo mundial, hizo que en enero de 1998, en el Departamento de Matemáticas del Instituto Tecnológico y de Estudios

Superiores de Monterrey se formara un comité de seis profesores con la idea de crear una nueva propuesta educativa para los cursos de Cálculo de Ingeniería.

Este comité se propuso el siguiente objetivo: Construir una propuesta innovadora para la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo en el Sistema Tecnológico, con las características siguientes:•Servir de soporte a los estilos de

matematización de las materias de las carreras de ingeniería.

•Permitir a los estudiantes una iniciación científica exitosa.

•Desarrollar en el estudiante una actitud positiva hacia las Matemáticas.

INNOVACIÓN MATEMÁTICAA la fecha, el comité ha innovado casi todos los cursos de matemáticas del

Desarrollada en el Tec de Monterrey

Innovadora propuestapara la enseñanza del cálculo en las escuelas de ingenieríaDoctor Ricardo Pulido RíosDepartamento de Matemáticas / [email protected]

En el Tec de Monterrey diseñaron una propuesta educativa para la enseñanza del cálculo.

más entender el cubo Rubik que de hecho resolverlo. “La ciencia de la matemática” agrega, “es la codificación de lo que entendemos; mientras que los efectos de dicha ciencia son la habilidad de calcular, la habilidad de resolver problemas resolver problemas, etc.” (¡como el cubo Rubik!).

Hay muchos matemáticos que no son buenos para la aritmética: cometen errores, olvidan signos de menos, olvidan determinar una ecuación y así sucesivamente. Su falta de dominio de la aritmética, de hecho, no tiene nada que ver con su habilidad matemática. Considere al matemático francés Évariste Galois (1811 – 1832). Dos veces Galois intentó pasar el examen de admisión al École Polytechnique y fracasó: la primera vez presumiblemente por una “falta de la preparación matemática usual”; la segunda vez por razones inciertas, aunque es innegable que Galois estaba calificado. Galois se inscribió en vez en una institución muy inferior para estudios matemáticos, donde publicó un documento sobre fracciones continuas que obtuvo poco reconocimiento y envió dos documentos sobre ecuaciones polinomiales a la Academia de Ciencias, los cuales fueron rechazados para publicación. Sus contribuciones matemáticas no habrían de ser publicadas hasta 11 años

después de su temprana muerte, y sus métodos condujeron a una investigación más profunda en lo que es ahora llamado Teoría de Galois. Si su habilidad como matemático hubiera sido limitada a su “falta de la preparación matemática usual” de acuerdo con el École Polytechnique, la matemática humana habrían sufrido una grave pérdida. Por lo tanto, confinar la ciencia de la matemática a sus efectos es destruir la ciencia misma.

Hoy, un estudiante que aprende Teoría de Galois está aprendiendo los efectos de sus matemáticas, no necesariamente la naturaleza de la matemática de Galois en sí. Por ejemplo, después de reprobar mi curso de cálculo en la universidad lo volví a tomar y pasé. Se podría decir que conocí y entendí los efectos del cálculo; sin embargo, jamás aprendí la esencia de cómo el cálculo llegó a ser derivado, y esa es la verdadera matemática. Como denota mi mentor, “Newton experimentó la matemática. El estudiante universitario aprende y ejecuta la aritmética; este aprende acerca de los efectos de la experiencia que tuvo Newton de la matemática.”.

En una nota más humorística, mi mentor añade, “Cuidando las puertas de la matemática están los demonios de la distracción: aritmética, álgebra, cálculo (estas cosas que llamamos ‘matemática’) a hurtadillas, esperando para distraer tu atención de la esencia de la matemática a su aplicación práctica.”. Desafortunadamente, cuando las personas fracasan en o son confundidas por las aplicaciones prácticas, se creen ineptas para la causa de estas aplicaciones: la matemática.

Si la matemática, en el verdadero sentido, no es los efectos con los que hemos llegado a identificar a la ciencia, ¿qué es? Para atender a esta cuestión, primero considere el aspecto teórico de la existencia: algo puede existir en teoría pero puede trascender a y por lo tanto ser inexpresable en el universo físico. Por ejemplo, junto a mi está un teléfono (un objeto). Mi idea del teléfono (una abstracción) no es el teléfono en sí. Lo que es más, podemos hablar de dividir el teléfono en dos o más partes y luego volverlo a armar (otra abstracción). Podemos encontrar ejemplos sin fin (efectos) de esta idea en el mundo; sin embargo, la abstracción misma no existe en el universo físico, sólo sus ejemplos, y

La esencia de la cienciaLa matemática es el mundo en principios; es la esencia de la ciencia misma.

–Keith Raniereestos ejemplos son los que le dan potencia a la matemática. Incluso nuestra visión interna de “teléfono dividido en partes” no es la matemática. La matemática es la esencia de la existencia de “objeto” (en este caso, un teléfono), teniendo una “propiedad” (divisibilidad) y la esencia de la manifestación de esta propiedad (“el teléfono dividido en partes”).

Aunque la matemática no existe en el mundo en sí, es su base misma. La ciencia matemática nos permite abstraer más allá de lo que es humanamente observable en el universo físico. Aún la percepción humana podría ser vista como la matemática de nuestro complejo mente-cuerpo. Por supuesto, esto sólo puede observarse mediante nuestra percepción (es nuestra percepción percibiendo nuestra

percepción) lo que nos atrapa en enigmas estilo “cerebro en un frasco” (p. ej. ¿Es esto la percepción de la percepción, o sólo la percepción?) o Gödel (p. ej. ¿Es perfecta esta forma de percibir?).

En contraste con la física, la cual, aún como un tipo de abstracción permanece dentro de los límites del universo físico y sus relaciones, la matemática nos permite abstraer relaciones estructurales que jamás pueden ser observadas y están más allá del alcance de la física. Juntas, la matemática y la física se sostienen mutuamente. La física, un subconjunto de la matemática, está casada con la percepción humana y es reforzada por nuestra experiencia física. La matemática provee una abstracción y los procesos / relaciones de abstracción, mientras que la física provee la abstracción específica de la construcción a través de la cual puede aplicarse.

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nivel básico de ingeniería: Remediales, Matemáticas I, II y III, conocidos como Precálculo; Cálculo Diferencial e Integral y el Cálculo de Varias Variables. De hecho, se cuenta con los libros de texto editados para los primeros dos cursos.

Esta nueva propuesta resulta ser una alternativa diferente a la enseñanza tradicional del Cálculo, entendiendo a esta última como la dictada por libros de texto de autores norteamericanos (Stewart, Leithold, Zill, Larson and Hosteller, Thomas and Finney, etcétera). La enseñanza tradicional ha estado presente en nuestras universidades y las del continente americano por más de 60 años. Por su parte, basada fuertemente en la investigación en Matemática Educativa, nuestra propuesta pre-senta una visión innovadora y útil de las ideas fundamentales del Cálculo, ideas que se encuentran presentes en las formas matemáticas de accionar en ingeniería y que fueron literalmente recuperadas por nuestras investigaciones de corte histórico sobre el origen y desarrollo de los conceptos del Cálculo.

Comparar los resultados que se obtienen con una propuesta inno-vadora con respecto a los de una presentación tradicional es también un problema de investigación, el cual resulta indispensable de considerar cuando uno aspira legítimamente a que sea tomada en cuenta en el plan curricular de otras escuelas o universidades. Sabíamos que nuestra propuesta no podía ser evaluada a través de exámenes estandarizados, los cuales, válgase así decirlo, tradicionalmente miden lo que es enseñado tradicionalmente.

Si por una parte estamos ciertos de que los estudiantes que han aprobado los cursos de nuestra propuesta muy probablemente no podrían responder al reactivo tradicional de determinar si una discontinuidad es removible o esencial; sin embargo, por otra parte también es cierto que un estudiante formado con la enseñanza tradicional difícilmente podría construir el modelo matemático adecuado con el que se pueda predecir el valor de una

magnitud (física, biológica, o social) que está cambiando con un cierto ritmo.

Una evaluación justa y además indispensable de las propuestas de cálculo debe considerar necesariamen-te el objetivo que persiguen y por el que fueron incluidas en la enseñanza de la ingeniería: dotar al estudiante de las destrezas, habilidades y competencias matemáticas, necesarias para comprender a profundidad los distintos fenómenos estudiados en las materias propias de la ingeniería. Con esa mentalidad, nos propusimos a su tiempo llevar a cabo una evaluación que resultó necesariamente ser una evaluación no típica.

UNA EVALUACIÓN NO TÍPICA, PERO NECESARIA Para constatar que nuestros cursos ya rediseñados logran que el estudiante esté mejor preparado para comprender los procesos ma-temáticos que conducen a obtener resultados importantes de sus cursos avanzados de ingeniería, llevamos a cabo la investigación que enseguida describimos.

Escogimos un tópico de ingeniería que requiriera un alto grado de matematización para su desarrollo, y que estuviera presente en por lo menos alguna materia de una buena cantidad de carreras de ingeniería; el tópico elegido fue la Ecuación de Continuidad. Este tópico es

práctica de la “realidad”, aunque todo tipo de seres metafísicos existen justo más allá de esa frontera. En este sentido, los demás seres no “existen” para el personaje porque no puede verlos.

Este tipo de conciencia o percepción, comúnmente conocida como “ojos que no ven, corazón que no siente”, es una parte natural del desarrollo humano. Por ejemplo, si Ud. muestra a un bebé de seis meses su juguete favorito, el bebé responde a este directamente. Mientras el bebé está experimentando directamente el juguete, este existe en la conciencia del tiempo y espacio real del bebé. Sin embargo, si oculta el mismo juguete detrás de una cobija u otro objeto mientras el bebé lo observa, pareciera que el juguete simplemente desaparece o deja de existir para el bebé. Conforme la conciencia del bebé se desarrolle, será capaz de llevar la percepción de la existencia del juguete en el tiempo y espacio reales a un espacio virtual: sin tener que verificar con el mundo exterior, usando una construcción cognitiva, el bebé puede saber que el juguete sigue existiendo aunque ya no lo puede ver. Este tipo de conciencia es denominado “permanencia de objetos”. Para el personaje que camina por la calle rodeada de monstruos, lo ordinario y mundano es parte de su permanencia de objetos, mientras que todo lo demás permanece fuera de ella (sin embargo “cerca”).

El concepto de permanencia de objetos, hace notar Keith Raniere, es un componente importante de la percepción humana. Por ejemplo, si está Ud. leyendo esto en papel, puede tocar el papel; y si lo está leyendo del Internet, puede tocar su pantalla. Cuando toca Ud. el papel o la pantalla, Ud. no conoce la naturaleza del papel o la pantalla per se, simplemente conoce al papel o a la pantalla por sus efectos (en este caso, las señales que su sentido del tacto registró a través de su sistema nervioso y los procesos cognitivos consecuentes que le permitieron identificar la sensación como “papel” o “pantalla): Ud. conoce al papel o la pantalla por los efectos que cada uno produce en su percepción. Esto es igual con cualquier cosa que percibamos que existe en el mundo exterior; sólo percibimos que existe debido a sus efectos, aunque puede ser que jamás conozcamos completamente la naturaleza de la cosa misma. Si esto es cierto, hay, por supuesto, distintos niveles

de qué tanto podemos percibir los efectos del mundo exterior.

Por ejemplo, en la película del 2004 ¿¡Y tú qué sabes!? (What the Bleep do We Know!?), se presenta la hipótesis de que los indígenas en América no fueron inicialmente capaces de percibir los primeros navíos europeos durante el descubrimiento del Nuevo Mundo. Los navíos, muy similarmente al juguete del bebé escondido detrás de una cobija, simplemente no existían en el universo de los nativos. Se cree que en cierto momento, ya sea a través del hábito y / o por una “colisión con la realidad” directa, los indígenas fueron capaces de percibir los navíos automáticamente. No

podemos percibir cosa alguna que esté fuera de nuestras posibilidades perceptivas / cognitivas. Esto trae a colación dos cuestiones urgentes: “¿Qué conforma la frontera de nuestros límites de percepción?” y “¿Hasta qué grado es la cognición un factor en la formación de estos límites?” Lo que es más, si asumimos que la frontera final entre los humanos y el mundo exterior es nuestra propia percepción, ¿podemos llegar a conocer nuestra percepción o sólo conocemos sus efectos? Similarmente, si la única manera de conocer nuestra percepción es percibiéndola con nuestra percepción, ¿puede llegar a estar completo este proceso?

He ahí la matemática.La demostración del Teorema de la Incompletez de Gödel es tan simple, y tan huidiza, que es casi vergonzoso relatarla. Su procedimiento básico es como sigue:

1. Alguien le presenta a Gödel una MVU, una máquina que se supone es la Máquina de la Verdad Universal, capaz de contestar correctamente cualquier pregunta.

2. Gödel pide el programa y diseño de los circuitos de la MVU. El programa puede ser complejo, pero tiene que ser finito. Llamemos al programa P(MVU), Programa de la Máquina de la Verdad Universal.

3. Con una leve sonrisa, Gödel escribe el siguiente enunciado: “La máquina construida en base al programa P(MVU) jamás dirá que este enunciado es verdad.” Llamemos a este enunciado G por Gödel. Note que G equivale a: “MVU jamás dirá que G es verdad.”.

4. Ahora Gödel ríe su risa aguda y le pregunta a la MVU si G es verdad o no.

5. Si la MVU dice que G es verdad, entonces “MVU jamás dirá que G es verdad” es falso. Si “MVU jamás dirá que G es verdad” es falso, entonces G es falso (dado que G = “MVU jamás dirá que G es verdad”). Así que si MVU dice que G es verdad, entonces G es de hecho falso y la MVU ha hecho una declaración falsa. Así que la MVU jamás dirá que G es verdad, ya que la MVU sólo hace declaraciones verdaderas.

6. Hemos establecido que la MVU jamás dirá que G es verdad. Así que “MVU jamás dirá que G es verdad” es de hecho un enunciado verdadero. Así que G es verdadero (ya que G = “MVU jamás dirá que G es verdad”).

7. “Sé de una verdad que la MVU jamás podrá decir,” dice Gödel. “Sé que G es verdad. La MVU no es verdaderamente universal.”

Piénselo – poco a poco le tomará cariño...Con su gran genio matemático y lógico, Gödel fue capaz de encontrar una manera (para cualquier P(MVU)) de escribir una compleja ecuación polinomial que tiene solución sí y sólo sí G es verdad. Así que G no es de hecho un enunciado vago o carente de matemática. ¡G es un problema matemático específico del cual sabemos la respuesta, aunque la MVU no la sabe! Así que la MVU no representa, y no puede representar, la mejor y definitiva teoría de la matemática....

Aunque este teorema puede ser declarado y comprobado de manera rigurosamente matemática, lo que parece decir es que el pensamiento racional jamás puede penetrar la verdad final y última... Pero paradójicamente, entender la demostración de Gödel es encontrar una especie de liberación. Para muchos estudiantes de la lógica, el finalmente romper la barrera y entender plenamente el Teorema de la Incompletez es prácticamente una experiencia de conversión. Esto es parte un subproducto del potente misterio que trae consigo el nombre de Gödel, pero más profundamente, entender la naturaleza esencialmente laberíntica de el castillo es, de cierto modo, liberarse de él.

– Randy Rucker, El Infinito y la Mente

Uno de los más aterrorizantes momentos en mi vida académica ocurrió al final de mi segundo semestre en la universidad: descubrí que había reprobado cálculo. Fue la primera clase que reprobé en mi vida. Recuerdo llorar ese día como si alguien (digamos mi inteligencia) se hubiera muerto. Cuando le relaté esta experiencia a mi mentor, él respondió de una manera que era la que yo menos esperaba (de nuevo aquí mi inteligencia me falló).

La mayoría de la gente, dijo, cree que no son buenos para la matemática porque han experimentado dificultades con al materia en la escuela. Por ejemplo, muchos piensan que la matemática es “aritmética”: contar cosas, relacionar unas cosas con otras, el arte de calcular. Si una persona se siente incompetente en esta área y dice, “Reprobé matemáticas en la primaria, soy ‘malo’ para la matemática,” un matemático clarificaría: “Puede que no sea Ud. ‘malo’ para la matemática; quizás sólo le falte habilidad aritmética.”. Similarmente, muchas personas tienden a pensar que la matemática es “álgebra”, “cálculo”, etc. Sin embargo, para el matemático, aritmética, álgebra, cálculo y materias similares no es “la matemática” en sí: son sólo efectos de la matemática.

La “verdadera matemática”, según Keith Raniere, “es la esencia del estudio relacional”. Si Ud. considera al cubo Rubik, un rompecabezas que muchos de nosotros hemos tenido la oportunidad de experimentar, la verdadera matemática es

Los demonios de la matemática

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Ricardo Pulido RíosEs Profesor Titular del Departamento de Matemáticas del ITESM;, y tiene doctorado en Matemática Educativa

por el CINVESTAV; es coautor del libro Elementos del Cálculo: reconstrucción conceptual para el aprendizaje y la enseñanza. Es miembro del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.

estudiado en por lo menos ocho carreras de ingeniería (entre ellas Ingeniería Mecánica, Ingeniería Civil e Ingeniería en Ciencias Químicas) en diferentes materias como: Mecánica de Fluidos, Hidrología, Balance de Materia, etcétera.

Diseñamos un cuestionario cuyo contenido gira alrededor de la forma en que se construye la ecuación de continuidad en el libro de Mecánica de Fluidos del autor White, F. (1994, McGraw Hill) que es usado como libro de texto en la materia del mismo nombre. Los reactivos se relacionan entonces con las consideraciones matemáticas, algunas de corte infinitesimal, que conducen al establecimiento de la ecuación de continuidad. El cuestionario consta de ocho problemas, seis de ellos con dos incisos y los otros dos con uno solo, de modo que podemos decir que en total se tienen 14 reactivos; todos de opción múltiple, a excepción de cuatro de ellos en los que la respuesta es numérica.

COMPARACIÓN DEL DESEMPEÑO ESTUDIANTILCon la idea de comparar el desempeño de los estudiantes que hubieran recibido una enseñanza de las matemáticas basada en nuestra innovación de cursos, Matemáticas I, II y III de Ingeniería, con respecto a los que no, se decidió aplicar el cuestionario en grupos completos correspondientes a materias de semestres avanzados de las carreras de ingeniería antes señaladas. En otras palabras, escogimos cursos cuyos estudiantes ya habían acreditado el nivel básico de matemáticas, esto es, de quinto semestre en adelante.

Sabíamos que en tales grupos encontraríamos desde estudiantes que habían acreditado todos nuestros cursos, hasta aquéllos que no habían llevado ninguno de ellos; es decir, estudiantes que habían acreditado solamente cursos tradicionales. Cabe mencionar que nuestra propuesta fue introducida paulatinamente en el Campus Monterrey, conforme iba ganando adeptos entre los profesores, quienes estaban siendo capacitados para impartir esta nueva visión del

Cálculo; resulta natural entonces encontrarse en un momento con estudiantes que habían sido instruidos de manera tradicional y con aquéllos que habían acreditado uno o varios cursos con nuestra propuesta.

El cuestionario se aplicó en 16 grupos en el mes de abril de 2004; 10 de ellos en el Campus Monterrey, donde se obtuvieron 247 cuestionarios contestados. Del Campus Ciudad de México se visitaron seis grupos, de donde se obtuvieron 102 cuestionarios. En todos los grupos se les explicó a los estudiantes la intención del cuestionario y se les pidió que ayudaran en la investigación atendiendo con esmero los requerimientos del mismo; se tomó estricto control del tiempo: 20 minutos. En todos los grupos estuvo presente un miembro de nuestro comité.

RESULTADOS IMPORTANTESEl cuestionario completo y los análisis estadísticos de los resultados de la aplicación pueden ser consultados en el libro: Investigaciones Sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas: Un Reporte Iberoamericano (año: 2006; editado por CLAME, Comité Latinoamericano de Matemática Educativa). Sin embargo, para el propósito de este escrito, vale la pena comentar algunos de los resultados que nos han parecido importantes:

a)El desempeño de los estudiantes que fueron instruidos con la nueva propuesta resultó en general mejor que el de aquéllos que recibieron la instrucción tradicional. De hecho, hay algunos reactivos en los que las diferencias, en cuanto a porcentajes de acierto fueron estadísticamente significativas a favor de nuestra propuesta y en los que además los estudiantes instruidos con el sistema tradicional reflejan patrones de comportamiento matemático que

obstaculizan el buen entendimiento del razonamiento propio de la ingeniería. b)Los estudiantes del Campus Ciudad de México (en este Campus no se utiliza la nueva propuesta) se comportaron igual que los del Campus Monterrey que recibieron una enseñanza tradicional. Esto hace suponer que una diferencia a favor de las bondades de la propuesta innovadora puede reflejarse al hacer comparaciones con cualquier institución educativa que practique la enseñanza tradicional (lo que ocurre en la mayoría de las universidades del país).

COMENTARIOS FINALESMe gustaría terminar puntualizando dos hechos que considero relevantes: uno de ellos es la creación, por parte de un grupo de trabajo local (profesores del ITESM, pero egresados de la UANL) de una propuesta innovadora para la enseñanza del cálculo en las escuelas de ingeniería.

Dicha propuesta (que en parte puede ser visualizada en el libro: Elementos del Cálculo de la editorial TRILLAS) podría dar lugar a un nuevo paradigma en la enseñanza del cálculo en todo el Continente Americano. En otras palabras, se ha generado un conocimiento nuevo sobre educación que podría impactar benéficamente la enseñanza de las matemáticas en nuestro continente.

El otro punto que me gustaría subrayar es la forma de evaluar ese conocimiento nuevo: en el terreno donde se dice que va a incidir; en este caso, en las áreas específicas de las carreras de ingeniería, donde supuestamente debe estarse utilizando lo aprendido en los cursos de cálculo. Creemos que esta visión de la evaluación, aunque simple, no ha sido puesta en práctica en la escala que se debiera; nuestra manera de hacerlo pudiera dar pautas para llevar a cabo esa necesaria tarea.

Permanencia de los objetosEscrito por Ivy Nevares / Conceptos de Keith Raniere

No hace mucho tiempo, tuve la oportunidad de hacerle a Keith Raniere una pregunta relacionada con teoría de sistemas durante un foro abierto. La cuestión, gestada en mí durante varias semanas , llevaba consigo la deliciosa anticipación de estar próxima a su resolución. Momentos después de presentar mi cuestión exclamó, “¡Eso es simple!” y rápidamente se hizo llegar a una pizarra, deseoso de ilustrar su respuesta. Con cada símbolo que escribió, a pesar de que su cuerpo me impedía ver la pizarra, me iba emocionando más. La respuesta estaba cerca...¡podía sentirlo! Y sí, el largamente esperado momento llegó cuando finalmente se hizo a un lado y pude ver la pizarra.

Ahí, grabada en la pizarra, estaba una larga y desconocida ecuación matemática. Estoy segura de que si mi conciencia me lo hubiera permitido, hubiera registrado una amplia sonrisa en su rostro. En vez de ello, hice lo que cualquier marsupial inteligente haría cuando se le amenaza o se le hace daño: bajó mi presión arterial, mis músculos se paralizaron, mi visión se hizo más estrecha, mis ojos se nublaron, mis labios se contrajeron, enseñé los dientes, hice espuma por la boca...bueno, no exactamente, pero parecía que mi proceso de pensamiento (y en consecuencia mi cuerpo) instintivamente se hacía el muerto.

En algún momento entre el sonido de su risa y dos palabras que mi cerebro reconstruyó segundos después (“¡Era broma!”) recuperé un poco más de mi conciencia usual. Este, por supuesto, es el sentido del humor de mi mentor. Para nosotros, los “matematifóbicos”, puede haber sido sólo una oportunidad más de despertar nuestro tlacuache interior. Durante mis años escolares y entre mis conocidos en general, he notado que las personas a fin de cuentas responden a la matemática ya sea con entusiasmo o con miedo. Presentar un problema de

matemáticas a una persona con mente matemática, como lo es mi mentor, es similar a liberar a un niño hiperactivo en un cuarto lleno de juguetes, juegos y un sinfín de medios de entretenimiento. Por el contrario, presentar un problema de matemáticas a una persona que no tiene “mente matemática”, por así decirlo, podría incitar una respuesta tan severa como si la persona estuviera cara a cara con Satanás mismo. Por supuesto, es posible argumentar una excepción a esta dicotomía: la persona que (habiendo dominado un cierto nivel de matemáticas) no siente pasión alguna. Sin embargo, al momento que la complejidad del problema supere el conocimiento matemático de esta persona, su aparente falta de pasión

por fuerza resultará en una de las dos respuestas ya mencionadas.

Si Ud., como yo, ha tenido un miedo vitalicio a la matemática: hay esperanza, siga leyendo. Si está Ud. en el extremo opuesto, siga leyendo: sólo puedo imaginar que su amor por la matemática se volverá más profundo. Si Ud. clama no sentir nada respecto a la matemática, pruebe esto (proveniente de la prueba “Hoeflin Power Test” de cociente intelectual):

Si un cubo y un tetraedro se traslapan, ¿cuál es el número máximo posible de piezas sólidas (p. ej. volúmenes completamente encapsulados y carentes de subdivisiones)?

Hace años, mi mentor se imaginó una caricatura muy ingeniosa, que puede o no ya haber sido ilustrada por algún caricaturista. La caricatura presenta a un personaje caminando por una calle mirando hacia adelante. De los ojos del personaje surge una especie de cono, similar a las luces de un vehículo en la noche, iluminando lo que parece ser el campo visual de la persona. Dentro de este campo visual está lo ordinario y lo mundano; cosas típicas que uno se encontraría a lo largo del camino. Sin embargo, justo afuera del cono (rodeando al personaje en la “oscuridad”) hay todo tipo de monstruos, seres extraños, duendes y demás. Para el personaje, lo que existe dentro del cono constituye su idea

Ojos que no ven, corazón que no siente

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Ante las demandas nacionales e internacionales de innovación educativa que conduzcan a la generación y aplicación del conocimiento en un desarrollo social sustentable, se propone la transformación de procesos de enseñanza-aprendizaje, que propicien la construcción

de competencias profesionales en la consolidación de la Sociedad del Conocimiento.

Las Tecnologías de Información y Comunicación (TICs) se han convertido en un elemento constitutivo de la generación y aplicación del conocimiento en el desarrollo del continuo Ciencia-Tecnología-Sociedad, y han rebasado la capacidad de actualización docente e implementación de las mismas en las instituciones educativas.

En particular, la comunidad nacional e internacional de Matemática Educativa investiga la disponibilidad creciente de computadoras y calculadoras gráficas con capacidades de manipulación simbólica y dinámica, para rediseñar la enseñanza de la Matemática en situaciones didácticas e implementar la enseñanza mediada por las TICs en diferentes niveles educativos.

FORMACIÓN INTEGRAL DE PROFESIONISTAS DE LA MATEMÁTICAEs parte del desafío social e intelectual de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad Autónoma de Nuevo León (FCFM UANL), apoyar el desarrollo de la sociedad neoleonesa y del país, mediante la formación integral de profesionistas de la Matemática, con competencias para la aportación directa de su saber científico y tecnológico a la solución de problemas de los sectores educativo, productivo y de servicio.

Doctora Lilia López Vera Coordinadora y Maestra de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Especialidad en Matemáticas / UANL [email protected]

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Representar y Transferir son habilidades requeridas en la Visualización Matemática.

“Abrimos talleres, abrimos una sección de sólo para jóvenes y vamos a visitar algunos bachilleratos de la ciudad para darles pláticas de matemáticas. Abrimos una sección de difusión de las matemáticas en algún lugar de la ciudad, para dar pláticas a todo público; vamos a abrir una sección de sólo para niños de primaria para enseñarles matemáticas jugando, una manera lúdica de trabajar la matemática”.

Díaz Barriga agregó que, gracias a la experiencia de haber realizado este tipo de eventos en años anteriores, han logrado una muy buena participación por parte de la sociedad, por lo que se continuará con el esfuerzo, a fin de borrar la “mala imagen” que existe sobre las matemáticas.

MALA IMAGEN DE LAS MATEMÁTICAS“Las matemáticas tienen como una mala imagen frente al público en general, y lo que queremos es cambiar esa imagen. No hablamos de que la matemática sea fácil, porque no se puede hacer fácil lo que no es; las formas de pensamiento no son fáciles, pero podemos hablar de que se puede hacer divertido, de que se puede hacer lúdico y atractivo el reto de ponerse a pensar”.

Para la realización del congreso se contará con la participación de otras dependencias de la UANL que prestarán espacios para llevar a cabo los eventos, como es el caso de auditorios y aulas de las facultades de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Ingeniería Civil y Arquitectura, entre otras.

En entrevista con CONOCIMIENTO, Alejandro Díaz Barriga confirmó que además del congreso de la Sociedad Matemática Mexicana, Nuevo León será sede también de la onceava edición del International Congress on Mathematics Education (ICME por sus siglas en inglés) evento que se llevará a cabo el mes de julio del año 2008 con el apoyo de la UANL.

MÁS DE CUATRO MIL ASISTENTESPara este evento se espera contar con la participación de más de cuatro mil

asistentes que tendrán acceso a las investigaciones más recientes sobre matemáticas educativas.

“La idea de la Sociedad Matemática Mexicana de traer este congreso es poner a disposición de los profesores e investigadores en matemática educativa de México todo lo que hay en matemática educativa en el mundo y también lanzar al país como líder en América Latina. Será ésta la primera ocasión en que el ICME salga de lo que se llama el primer mundo, a un país de los llamados emergentes, y lo que buscamos es que haya mucha presencia de los latinoamericanos y mexicanos en este congreso”, comentó.

En esta edición del ICME, que se realiza por primera vez en América Latina, además del alto número de participantes, se estima que llegarán a la ciudad más de 450 invitados especiales provenientes de 60 países, lo que se traducirá en una elevada riqueza de educación matemática en todos los niveles, desde preescolar hasta educación superior, apuntó Díaz Barriga.

“Siento que tenemos que ser sensibles a que este tipo de reuniones tienen una enorme ventaja, porque la comunidad se comunica y se pone en contacto entre sí; las relaciones académicas que se sacan alrededor de un congreso son muy importantes, tanto para los colegas mexicanos como para los estudiantes, por lo que hemos corroborado que estos congresos

dejan muchos beneficios académicos a la comunidad y al país”.

Por último, el presidente de la Sociedad Matemática Mexicana destacó la importancia de las matemáticas y explicó cómo están trabajando para acercar esta disciplina a la población, más allá del pensamiento de que sólo sirven para hacer cuentas.

APRENDER FORMAS DE PENSAMIENTO“Aprender matemáticas es más que hacer cuentas; aprender matemáticas es aprender formas de pensamiento, es aprender estrategias para resolver problemas, no nada más de matemáticas; es aprender maneras para tener conjeturas de soluciones de problemas.

Esas formas de pensamiento son formas que todo ser humano debe tener, porque nosotros presuponemos que eso le da al ser humano una mejor calidad de vida y la posición humanista eso es lo que deja. Entonces hay que hacer más amena y más lúdica la enseñanza, es un problema que existe en nuestro país; por ello, lo que tenemos que hacer es cambiar la forma en la que se enseñan las matemáticas en México”, concluyó.

Alejandro Díaz Barriga, presidente de la Sociedad Matemática Mexicana.

Aprender matemáticas es más que hacer cuentas; aprender matemáticas es aprender formas de pensamiento.

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El Corte Vertical y Horizontal se basó en el análisis de programas de estudio y entrevistas con docentes, para investigar sus concepciones, respecto al estado de desarrollo de las habilidades del pensamiento geométrico y la pertinencia de los cursos de Geometría Analítica del Espacio y Cálculo Vectorial, en la UANL y en otras universidades.

Del análisis de objetivos institucionales e investigaciones educativas sobre el desarrollo de competencias (saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales) en los estudiantes, se evidenció la necesidad de formar habilidades lógicas, algorítmicas y sociales como habilidades docentes a nivel productivo, considerando la importancia de que el docente facilite la construcción de los conocimientos y diseñe las actividades prácticas e investigativas que propicien aprendizajes significativos, por lo que en la presente investigación se identifican las habilidades matemáticas como habilidades componentes de las habilidades docentes de estudiantes y egresados.

Se toma de Leóntiev (1981) que “para definir habilidad, se debe partir del término actividad (sujeta a un motivo) que se realiza por acciones (orientadas a un objetivo), estructuradas por operaciones (subordinadas a condiciones), en donde, sólo varía el aspecto operacional, pero el objetivo permanece”. Además, se asume la clasificación de habilidades en Específicas, Lógicas, de Estudio y Profesionales dada por Fuentes, H. (2000), quien a la vez define los siguientes niveles de desarrollo de las mismas: Nivel Elemental (relativo a un objeto concreto). Nivel Automatizado (casos resueltos en la carrera, repetitivo).Nivel Perfeccionado (otros casos de la carrera).Nivel Generalizado (otros campos de la vida, productivo).

En particular, las habilidades profesionales se definen como habilidades que constituyen el contenido de aquellas acciones del sujeto orientadas a la transformación del objeto de la profesión, las cuales se sistematizan a lo largo del proceso de formación del profesional, hasta adquirir un grado de generalidad tal, que le permita aplicar los conocimientos, actuar y transformar su objeto de trabajo, y por lo tanto resolver los problemas más generales y frecuentes que se presenten en las diferentes esferas de actuación profesional.

DIAGNÓSTICO DE LA REALIDADEl objeto de estudio y el campo de acción se abstrajeron del diagnóstico de la realidad objetiva y subjetiva, sobre la demanda de la implementación de las TICs en el aula y sobre el estado de desarrollo de habilidades matemáticas y profesionales en estudiantes de FCFM: se implementó el uso de graficadores como el MicroCalc, Derive, Matlab, Mathematica y CABRI, constatando las deficiencias que tienen los alumnos para ubicar espacialmente en el Plano (R2) y en el Espacio (R3) los gráficos de curvas y superficies obtenidos en pantalla.

Se incursionó en la modelación y solución de situaciones problémicas contextualizadas en problemas propios de la comunidad neoleonesa. Se aplicaron aspectos del método Investigación-Acción, como proceso dinámico grupal, científico-técnico, en el cual, a través de componentes de la técnica de observación participativa, se constató el deficiente desarrollo de la habilidad de Visualización Matemática para Representar y Transferir (gráfica y simbólicamente) los Campos Vectoriales (magnéticos, eléctricos o de calor) que afectan a un flujo contenido en un sólido (ducto o contenedor) y a las superficies que acotan a dicho sólido, o fuerzas que actúan sobre una partícula que se mueve en una trayectoria (función vectorial).

Los resultados de la experiencia didáctica argumentaron la existencia de deficiencias, en la relación conocimientos-habilidades-actitudes. En particular, es urgente que los docentes de nivel superior propicien el desarrollo de la habilidad de Visualización Matemática en sus alumnos, en la consecución

Por Carlos Joloy

Del 14 al 19 de octubre, la Universidad Autónoma de Nuevo León, vía la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, será la sede del Congreso Anual de la Sociedad Matemática Mexicana, que espera

recibir más de mil 500 participantes entre profesores, investigadores y estudiantes de matemáticas provenientes de universidades de toda la república y el extranjero.

Alejandro Díaz Barriga, presidente de la sociedad, explicó que durante la semana de trabajo del congreso se realizarán diversos eventos enfocados a grupos específicos de acuerdo a los propios participantes, ya que existirán eventos y conferencias dirigidos a la investigación en matemáticas; habrá también un espacio en el cual se den a conocer reportes de investigación y se pueda generar el intercambio de conocimiento entre los participantes.

El próximo mes de octubre

Celebrará la Sociedad Matemática Mexicanasu congreso anual en la UANL

Destaca el presidente del organismo la importancia de la disciplina, y dice que aprender matemáticas es aprender formas de pensamiento y estrategias para la solución de problemas

ATENCIÓN A LOS ESTUDIANTESPara los estudiantes, se tratará de ofrecer información para poner a su alcance las distintas áreas de las matemáticas, y así facilitar la decisión de hacía dónde quieren encaminar su profesión, dijo Díaz Barriga, quien comentó que además de los eventos para la comunidad especializada, se realizarán actividades dirigidas a la sociedad con el objetivo de dar un servicio a la comunidad en general.

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del aprendizaje significativo de la graficación de conceptos y teoremas sobre las funciones reales y funciones vectoriales en el plano y en el espacio, requeridas en la disciplina y en la solución de problemas de diversos sectores sociales.

Desarrollar la habilidad de transferencia de las percepciones tridimensionales a representaciones bidimensionales y viceversa es una demanda de los programas de Licenciaturas o Ingenierías, pero en determinado momento histórico René Descartes (1595-1650), afirmó que la graficación en el espacio no es una extrapolación de la graficación en el plano, tanto de funciones reales de dos variables (superficies), como de funciones vectoriales (curvas); no se realizan fácilmente haciendo ligeras modificaciones a la graficación en el plano.

La autora coincide con tan importante afirmación y la considera vigente. Es posible que se piense que tal dificultad se ha rebasado y que actualmente la graficación en el espacio “se realiza fácilmente”, apoyada en la usabilidad y amigabilidad de poderosos asistentes matemáticos que incluso propician la manipulación virtual.

HABILIDADES REQUERIDAS EN LA VISUALIZACIÓN MATEMÁTICADe la literatura científica investigada, se concluyó que: Representar y Transferir son habilidades requeridas en la Visualización Matemática, pero en la presente investigación se eviden-ció que la Visualización Matemática de superficies limitantes de sólidos y curvas limitantes de las proyecciones en los planos coordenados, depende directamente de la habilidad de Ubicación Espacial Matemática.

La autora suma esta última habilidad a las habilidades de Representación y Transferencia, para conformar un subsistema de habilidades de la Visualización Matemática Bidi-mensional y Tridimensional, y la conceptualiza. Conceptualización de la habilidad de Ubicación Espacial Matemática: Es un hecho que una habilidad del pensamiento lógico es

Ubicar (o localizar) el lugar relativo que ocupa una parte determinada dentro del todo en cualquier contexto. Pero, hablar de ubicación espacial de objetos tridimensionales graficados en R3, representado convencionalmente en un “objeto bidimensional” (la hoja o la pantalla en la PC), con puntos de referencia fijos y móviles, es hablar de una habilidad factible de desarrollar en el Nivel Superior, la cual debe ser definida explícitamente con carácter secuencial y de ascenso como sigue:

La base conceptual que sustenta al aporte teórico y práctico de la autora se tomó de autoridades: como Leontiev A N, Vigotsky L S, Galperin PYa, Rubinstein S L, Talízina N F, Álvarez C, Fuentes H, Comenio J A,

Brousseau G, Van Hiele, Guzmán M., Duval R., Godino J, Douady R, Álvarez J, Hitt F, Cantoral, R, Farfan R, Díaz Barriga F, De Pablos, Lavorde C, Kaput J, Barrera S V, Rivaira C, entre otros.

ENFOQUE HISTÓRICO CULTURALDesde un punto de vista psicológico, se propone una metodología basada en el enfoque histórico cultural, en la que, a través de instrumentos semióticos, se desarrolle la Visualización Matemática Tridimensional, con un nivel de asimilación productivo y creativo, para poder modelar tanto objetos geométricos manipulables, como objetos geométricos virtuales, en la que el diseño e implementación de las TICs tome como un referente relevante los postulados de Vigotsky sobre el carácter mediatizado de la psiquis humana, el carácter social del aprendizaje y el carácter histórico del desarrollo cognoscitivo del estudiante; y se fundamente además en la Teoría de la Actividad, considerando al estudiante como sujeto de su propio aprendizaje, por ser él quien debe apropiarse de los conocimientos y

habilidades, ya que no se trata de la formación de la imagen de la acción, sino de la acción mental del propio sujeto.

En el contexto de la Computación Gráfica en el Plano y en el Espacio, se registran relevantes investigaciones sobre Visualización.

La autora concluye que la habilidad de Visualización Matemática debe constituirse en una Habilidad Docente, dado que a partir del análisis de los procesos visuales y el razonamiento matemático requeridos en la Transferencia entre diferentes representaciones semióticas, iden-tifica la habilidad de Visualización Matemática Bidimensional y Tridi-mensional como una habilidad profesional, la cual debe desarrollarse a un nivel generalizado.

Habilidad de Ubicación Espacial Matemática Bidimensional es determinar lateralidades de objetos representados en el espacio modelado bidimensional: izquierda-derecha de X=0 o X=K, arriba-abajo de Y=0 o Y=K. (objetos de una o dos dimensiones sobre R2 )

Habilidad de Ubicación Espacial Matemática Tridimensional es determinar lateralidades de objetos representados en el espacio modelado tridimensional: arriba-abajo de Z=0 o Z=K, izquierda-derecha de Y=0 o Y=K, al frente-atrás de X=0 o X=K. (objetos de una, dos o tres dimensiones sobre R3, antes y después de transformaciones geométricas y/o transformaciones de coordenadas).

Es licenciada en Matemáticas por la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la UANL; maestra en Ciencias en Matemática Educativa por el CINVESTAV, y doctora en Ciencias Pedagógicas con Especialidad en

Matemáticas, por el Centro de Estudios de Ciencias de la Educación de la Universidad de Camagüey, Cuba.

Lilia López Vera

complejos y el delicado balance que muchas veces se requiere para mantenerlos, sin importar que sean flamas, ecosistemas, sistemas de tráfico o economías, requiere del entendimiento matemático de su estabilidad dinámica”.

EL LENGUAJEDE LAS MATEMÁTICASEs claro que las matemáticas se encuentran en la Madre Naturaleza, y que nosotros, como seres humanos, hemos llevado este lenguaje a diversas actividades que realizamos y a diversos sistemas que hemos construido en beneficio de nuestro desarrollo como especie y como civilización.

Me refiero, por ejemplo, al patrón que sigue la Bolsa de Valores, que no es más que un retrato matemático del comportamiento del hombre ante su incertidumbre del medio que lo rodea, y que se asemeja a lo que conocemos como el “caos”, hablando en términos matemáticos. Lo mismo sucede con la biología computacional que se encierra en los ceros y uno de los lenguajes de programación, y en la misma Internet que todos nosotros usamos.

En este contexto, las matemáticas no son aquella ciencia oscura exclusiva de grandes mentes brillantes, sino que, a pesar de que no lo veamos, trabajamos con ellas sin darnos cuenta. Cada señal que enviamos y recibimos, en su interpretación lógica, lleva implícita esta ciencia. El simple hecho de manejar, hace trabajar a nuestro cerebro, para calcular las dimensiones del coche en el que vamos, y medir la distancia que guardamos respecto de otros vehículos y objetos que nos rodean. La omnipresencia de las Matemáticas es, en palabras del profesor John Barrow, “ubicua en la ciencia y en las interacciones humanas, derivando del hecho de que las Matemáticas es el estudio de la colección de todos los posibles patrones. Algunos de estos patrones ocurren en formas, algunos en números, otros son una secuencia de eventos, otros se observan en la forma de galaxias o también en la interacción de las partículas más elementales”.

CLAVE DE ORDEN LÓGICODe entre las interacciones humanas y la naturaleza, y nuestra clara necesidad de comprender mejor el mundo macro y micro en el que vivimos, las Matemáticas son la clave de orden lógico que necesitamos para seguir armando este complicado rompecabezas; pero también esta ciencia es ahora de las más buscada sen el currículo de los egresados.

Empresas como la popular y exitosa compañía Google, nombre derivado del número gogol (uno seguido de cien ceros) están buscando reclutar en sus filas individuos que posean alta capacidad lógica matemática. Tal es el último caso de su filtro de reclutamiento de personal que hicieron cuando en la autopista 101 en Silicon Valley colocaron un espectacular que decía: “www.{primer primo de diez dígitos encontrado en el consecutivo de dígitos de e}.com”.

El resolver ese acertijo llevaba a los aspirantes a un sitio web con otro problema de mayor complejidad, y al terminar éste, se invitaba a los ganadores a que subieran su currículo, para ser tomados en cuenta para trabajar dentro de Google. ¿Y quién no quisiera trabajar en una empresa como ésta? Me refiero a que no es sólo casa de genios, sino que la estrategia de Google es que sus ingenieros deben usar el 70 por ciento de su tiempo en productos clave de la empresa (como el algoritmo de búsqueda), 20 por ciento del tiempo en productos

Rodrigo SotoEstudió su Maestría en Mercadotecnia en el Tecnológico de Monterrey, institución en la que participó con

investigaciones, mediante el convenio de Investigación y Extensión.

complementarios o tangentes al clave de la organización y 10 por ciento en diversión que puede o no llevar al desarrollo de algún producto.

COMPRENSIÓN DEL UNIVERSOEn la actualidad, entrar en el mundo de la Matemática nos hace estar un paso más cerca de la comprensión del universo y de nuestro medio ambiente. Además, nos permite, tener mejores oportunidades en el mundo laboral debido a la reciente recuperación de esta ciencia en la economía moderna; pero a la vez, estamos también cerca de perdernos en el limbo de nuestra mente, similar al caso de Nash, cuando afirmaba en su esquizofrenia que había una conspiración del gobierno en su contra o que hablaba con extraterrestres; o el caso de Gödel, muerto por inanición, porque creía firmemente que lo querían envenenar en sus alimentos. Sin embargo el legado de ambos, así como el de muchos otros matemáticos, persiste en nuestros días y nos hace la vida más fácil en diversas áreas del conocimiento.

Al final, las preguntas que siempre nos hacemos en relación a este espacio relativo en el que vivimos permanecerán y una de las herramientas que nos ayudará a intentar responder será la Matemática. En palabras de Barrow: “el desarrollo de la intuición acerca del espacio, de las formas, de las cantidades y probabilidades, provee fundamento para construir un mejor entendimiento y apreciación de nuestro mundo”.

ReferenciasBarrow, John, Math is everywhere, BBC News, enero 1999.Farley David, Jonathan, A Beautiful Mind: American Pi, Time Magazine, enero 2002.Fuzzy Maths, The Economist, mayo 2006.

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Una inmensa mayoría de los estudiantes preuniversitarios piensa que las Matemáticas

son aburridas, difíciles de aprender y de poca o de nula utilidad; muchos llegan hasta a odiarlas, y eligen sus carreras universitarias entre aquéllas en las que suponen no necesitarán mucho o nada de ellas.

Como se verá a continuación, lo que se afirma en el párrafo anterior no es del todo preciso. Es importante advertir tal imprecisión sobre todo para aquéllos que se dedican a la enseñanza de las Matemáticas y que han intentado sin éxito mejorar su práctica docente.

La imprecisión está a la vista al reconocer que las Matemáticas (las matemáticas producidas por los matemáticos) no están presentes en la escuela tal y como históricamente surgen y se desarrollan. Lo que aparece en la escuela son versiones de las Matemáticas y no las Matemáticas mismas; a esas versiones se les llama Matemáticas Escolares.

Así pues, lo que la inmensa mayoría de los estudiantes preuniversitarios piensa que son aburridas, difíciles de aprender y de poca o nula utilidad no son las Matemáticas, sino las Matemáticas Escolares.

PREGUNTAS PERTINENTESDe lo anterior surgen, entre otras, las siguientes preguntas: ¿qué son las Matemáticas? ¿Qué rasgos de ellas están presentes en las Matemáticas Escolares? ¿Son esos rasgos los

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causantes de que los estudiantes piensen así de lo que aprenden o intentan aprender? Y, si lo son, ¿cómo construir versiones mejores de las Matemáticas para presentarlas en la escuela?

En lo que resta de este ensayo y como objetivo del mismo, se dará, de forma resumida y breve, respuesta a cada una de estas preguntas; aunque se aclara de antemano que esto se hará implícitamente.

Las Matemáticas son una actividad humana de resolución de problemas de la realidad física, biológica y social. Como respuesta a esos problemas surgen y evolucionan los objetos matemáticos: procedimientos, conceptos y teorías. Las Matemáticas son un lenguaje que se construye para comunicar esos problemas y sus soluciones. Y las Matemáticas son, también, un sistema conceptual lógicamente estructurado y social-mente compartido, emergente de

y realidad educativaDoctor Juan Antonio Alanís RodríguezTecnológico de [email protected]

Algunas veces he pensado en perderme en mi universo neuronal creativo, y poder

entender una sola cosa: la belleza simplista de las Matemáticas. Esa misma que influyó en grandes mentes, de genios como Pitágoras, Euclides, Gödel, Einstein, Nash, Beethoven, Mozart, Russell, entre muchos otros; personajes a quienes, compartiendo lo dicho por Ed Harris en su último papel de Ludwig en la película Copying Beethoven, Dios no solamente les susurró al oído, sino que a ellos les gritaba.

Es por ello que, en su locuacidad genial, fueron más allá del pensamiento tradicional y supieron comprender la dinámica de los sistemas complejos para que cada uno de ellos, en su área del conocimiento, sobresaliera y nos heredara una pieza más del rompecabezas del universo en que vivimos, y en el que el orden es regido por “Dios” o por el Blind Watchmaker del biólogo evolucionista Richard Dawkins.

Entrando en este ordenado modelo dinámico en el que vivimos, podemos decir que Dios, entre muchas otras cosas, es un matemático devoto, pues sólo con mirar detalladamente el diseño del macrocosmos y microcosmos, nos daremos cuenta rápidamente de que el código de ambos se encuentra inmerso en el lenguaje de las matemáticas. Igual a lo dicho por el físico teórico y matemático, profesor John D. Barrow, las matemáticas le dan sustancia al mundo a nuestro alrededor.

Maestro Rodrigo SotoMercadotecnia de las [email protected]

OMNIPRESENCIA DE LAS MATEMÁTICASDesde el código que usamos para sacar dinero del cajero, pasando por las ecuaciones de lógica matemática de Gödel con su famoso Teorema de la Incompletitud, hasta la geometría fractal que gobierna el movimiento de la Vía Láctea, esta ciencia, que estudia las cantidades, las formas y sus interacciones está presente.

Es así que no nos queda otra cosa más que estar de acuerdo con lo que muchos eruditos han dicho: la capacidad de admiración estética varía de persona en persona, y a veces es muy subjetiva; sin embargo, algo innegable es la belleza que se concentra en torno a las Matemáticas.

Pero si dudamos de esta belleza, veamos la perfección de la proporción divina (1.618033988) presente, de acuerdo con Wikipedia, en la relación de distancia entre las espirales del interior de cualquier caracol, en la relación anatómica de nuestra especie (como la relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz), la concentración y ubicación de los pétalos de una rosa, la relación de abejas macho y hembra en un panal, así como, en algunas ocasiones, en el diseño de un brócoli romanesco, sin olvidar la misma composición de las galaxias que flotan en el universo.

De lo anterior, y de acuerdo con el análisis del profesor Barrow, tenemos que “la naturaleza de los sistemas

Las Matemáticas:belleza simplista y lenguaje de genios

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la actividad de matematización. La enseñanza tradicional (estructuralista) de las Matemáticas ha presentado a esta ciencia ya como un sistema conceptual lógicamente estructurado o como un lenguaje formal. Se ha supuesto que los estudiantes entienden un concepto con sólo darles su definición en términos de otros conceptos previamente definidos; que los estudiantes comprenden un resultado al presentarles su demostración (su deducción lógica a partir de otros resultados previamente demostrados), y que tal entendimiento y tal comprensión les permitirán aplicar las Matemáticas.

LO QUE PIENSAN LOS ESTUDIANTESTodos los datos empíricos disponibles contradicen este supuesto. Esos datos más bien concuerdan con lo que piensan de las Matemáticas la mayoría de los estudiantes; perdón, lo que piensan de las Matemáticas Escolares.

Por mucho tiempo se pensó, (hay quienes aún lo piensan) que las causas de los resultados nada halagadores de la enseñanza tradicional de las Matemáticas son sólo de carácter psico-pedagógico; es decir: -Los estudiantes no quieren o no pueden integrarse en el funcionamiento de la clase, por “desidia”, “falta de interés”, “falta de motivación”, “preparación inadecuada”, “falta de capacidad”, etcétera. O bien: -Los métodos de enseñanza del profesor impiden, o no facilitan, que los alumnos se integren en el funciona-miento de la clase.

Es decir, se pensó que el problema son los alumnos o el profesor, no los contenidos de la enseñanza.

Sin embargo, por más que se ha dotado a los profesores de técnicas didácticas no se ha logrado que ellos tengan el éxito deseado.

PRÁCTICA MECANICISTAEn su desesperación, los profesores caen en lo que se ha llamado una práctica mecanicista, que consiste en lograr que los estudiantes memoricen definiciones y procedimientos de tal manera que los puedan repetir cuando se les demande en el futuro próximo.

De un tiempo a la fecha, matemáticos educativos piensan que los problemas de la enseñanza de las Matemáticas no son o no sólo son los estudiantes o los profesores, sino, ante todo, los contenidos; es decir, las versiones de las Matemáticas que aparecen en la escuela, versiones que han enfatizado de manera predominante el que las Matemáticas son un sistema conceptual lógicamente estructurado, o un lenguaje, y omiten casi por

¿Qué tan próximo? Que no rebase el tiempo en que evaluarán en clase su “comprensión” y que no se evalúe con problemas diferentes de aquéllos que han memorizado.

Si bien con esto se logra abatir el tan preocupante alto porcentaje de reprobados, no se logra que los estudiantes aprendan con compresión y puedan aplicar realmente lo aprendido.

Olimpia FiguerasEs maestra y doctora en Ciencias; realizó estudios en Matemática Educativa en el CINVESTAV, y su

posdoctorado en la Universidad de Londres. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores Nivel I.

1 El Conacyt (2004, pág. 5) incluye el medio tiempo dentro de los límites normativos recomendables sobre los tiempos de dedicación a una maestría.2 Una de las condiciones para que un programa de maestría sea considerado de Alto Nivel (Ibid, pág. 21) consiste en que sus tiempos promedios para la obtención del grado no deben exceder los tres años.

ReferenciasConsejo Nacional de Ciencia y Tecnología. Anexo: Manual para la evaluación de los programas de postgrado. Ver página de internet de Conacyt. (2004).De la Rosa, Adrián: Estudio de los programas de posgrado a nivel de maestría en instituciones de la Ciudad de México. Manuscrito interno de los SEIEM. (2003).Figueras, Olimpia y Rigo, Mirela (Coordinadoras): Maestría en Educación, Especialidad Matemáticas, Programa de posgrado con orientación profesional. Plan y programas de estudios. México: Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav.(2004).Figueras, Olimpia, Pluvinage, François y Sánchez, Ernesto: Evaluación de una formación del docente en educación matemática a través de observación en el aula. (2006). Secretaría de Educación Pública. Acuerdo Nacional para la Modernización Educativa. México: SEP. (1992).

niños o jóvenes y las conclusiones del trabajo realizado en el proyecto de desarrollo.

La integración de los informes de cada una de las fases debe elaborarse de manera que el alumno-docente obtenga un informe global del trabajo realizado durante tres años para alcanzar las metas generales de la parte del proyecto de desarrollo que él ha llevado a cabo; ese informe cumplirá con las características de un trabajo terminal de carácter docente el cual le servirá para obtener su grado.

PRIMERA GENERACIÓN 2006-2008En agosto de 2005 se publicó la convocatoria para aspirar al curso de admisión para la primera generación del programa de estudios de la Maestría en Educación Especialidad en Matemáticas; respondieron a la convocatoria 98 aspirantes, quienes trabajaron durante tres meses y medio. Además de la evaluación de conocimientos específicos sobre las matemáticas y su enseñanza, un curso de ese tipo tiene dos objetivos centrales. Uno de ellos se relaciona con los proyectos de desarrollo; la intención es que los alumno-docentes conozcan las ideas centrales del trabajo que se realizará en el interior de cada uno de los proyectos ofertado por los colegas del DME – para la generación 2006-2008 se abrieron 10 proyectos de desarrollo. El otro objetivo central es valuar el compromiso de los alumno-docentes, su asistencia, la elaboración y entrega de diversas tareas y su disposición a asistir a la sede Zacatenco del Cinvestav. La evaluación al final del curso aseguró la inscripción de 60 candidatos al programa; los cursos iniciaron en enero de 2006.

Sobran estudios realizados por diferentes investigadores en el mundo que aportan evidencias sobre el poco éxito que tienen los programas de estudio para docentes en servicio. Demasiado énfasis en el aspecto pedagógico debilita la construcción de conocimientos matemáticos por parte del profesor de educación

básica y demasiado énfasis en la componente matemática empobrece el acercamiento a la escuela. Otras veces el discurso aprendido no promueve cambios esperados en la educación.

De manera que en base a esta historia y tomando en cuenta el papel crucial que juegan el Aula experimental y los proyectos de desarrollo en la formación del alumno-docente se diseñó un programa de evaluación del propio programa de estudios (Figueras, Pluvinage y Sánchez, 2006). Dos tipos de estudio se están llevando a cabo en el contexto del proyecto de evaluación: los de impacto y los de seguimiento. Entre las actividades que se desarrollan para hacer indagaciones de impacto se encuentra la observación en el aula. Una primera toma de datos de dos días seguidos de clase se llevó a cabo a principios de septiembre de 2006 con 50 alumno-docentes; esa sirve para caracterizar las condiciones iniciales. El análisis de estos datos se está llevando a cabo y se estructura en torno a la actividad matemática que se desarrolla en el aula.

Entre las acciones que conducen a la evaluación a través de estudios de seguimiento se encuentran la realización de Jornadas para la evaluación de proyectos de desarrollo.

Las primeras se realizaron en diciembre de 2006, los alumno-docentes entregaron su informe de la primera fase, la de Diagnóstico, e hicieron una exposición frente al resto de sus compañeros. Dos asesores leyeron su informe y después de la exposición de forma oral, expresaron sus dudas, comentarios y sugerencias en la reunión colectiva (el programa de las Primeras Jornadas puede consultarse en línea en la página de la maestría del DME).

Al término de este cuatrimestre, 58 de los 60 candidatos siguen intentado mantener su permanencia en el Cinvestav. Todavía no hay manifestaciones de que las expectativas de este esfuerzo lleguen al aula. Se espera que el trabajo de este año sea un buen indicador en esta dirección.

Pese a que ésta es una alternativa de solución, y se está apostando a que sea todo un éxito, su relevancia en términos de número de docentes es muy baja. En los SEIEM del Estado de México hay adscritos alrededor de 24 mil docentes. Es por ello que el grupo de investigadores del DME sigue considerando un reto la formación del maestro en servicio; se cuenta también con el apoyo del desarrollo mismo de las TIC`s.

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Juan Antonio Alanís RodríguezEs licenciado en matemáticas por la Universidad Autónoma de Nuevo León. Obtuvo los grados de maestro y doctor en Ciencias, con Especialidad en Matemática Educativa, en el Centro de Investigación y Estudios

Avanzados del Instituto Politécnico Nacional; es profesor de tiempo completo del Departamento de Matemáticas del Tecnológico de Monterrey, y coautor de varios libros.

completo el que las Matemáticas son ante todo una actividad humana de resolución de problemas, que finalmente conlleva a los otros dos rasgos característicos de esta ciencia.

Para estos matemáticos educativos lo importante no es enseñar los resulta-dos de una actividad, sino la actividad misma. Para ellos, los estudiantes deben aprender las Matemáticas matematizando organizando la rea-lidad, que no se restringe a lo físico, biológico o social, sino que se amplía a todo aquello imaginable o razonable para los estudiantes.

Una fuente importante para la búsqueda de contextos y situaciones que generen la necesidad de ser organizados matemáticamente es la historia de las Matemáticas. Por ejemplo, en la historia se encuentra que el problema de matematizar el cómo cambian las magnitudes continuas, condujo al surgimiento y desarrollo de los procedimientos y conceptos sobre los cuales finalmente se estructuró el Cálculo, esa rama de las Matemáticas que en los últimos tres siglos ha sido el principal lenguaje cuantitativo de la ciencia occidental.

CURSO INTRODUCTORIOA propósito, un grupo de profesores del Departamento de Matemáticas del Tec de Monterrey, Campus Monterrey, ha llevado a la escuela el problema de matematizar cómo cambian las magnitudes continuas. Ello les ha permitido elaborar una propuesta de qué enseñar en un curso introductorio al estudio del Cálculo, propuesta en la que se favorece el que los estudiantes

construyan, consoliden y apliquen los saberes propios de esa rama de las Matemáticas.

Esa propuesta se ha implementado con éxito, en particular en una de las preparatorias de dicho Campus. Los siguientes comentarios de estudiantes atestiguan éste hecho:

“En mi opinión, los contenidos de este curso son estupendos, porque todo el conocimiento que aprendimos lo podemos usar en nuestras vidas, y porque ahora sabemos de dónde vienen las fórmulas y las ecuaciones, y cómo obtenerlas”.

“En este semestre vimos muchas y muy variadas cosas. Todas ellas fueron aplicadas a la realidad. Cada nueva cosa que vimos estaba relacionada con la vida, y eso las hacia muy interesantes. Creo que el contenido del curso fue muy bueno; me hizo ver muchas cosas que no había advertido, que lo que antes había aprendido podrá ayudarme en la vida algún día”. “Este curso lo disfruté mucho. Aprendí la aplicación de muchas cosas vistas en el pasado, pero que nunca antes las había aplicado. El contenido del curso es muy completo e interesante”.

“El curso fue aplicado de la mejor manera en que lo pueda imaginar, porque nos hacía pensar antes de que alguien nos diera la respuesta”.

“Este curso realmente me ha ayudado a comprender la manera en que las matemáticas son usadas en la vida real. En contraste con los cursos que había tomado en el pasado, éste me dio una real comprensión de qué hago y por qué. Esto ha sido por la manera inusual de trabajar en clase, enfrentar problemas reales e intentar encontrar por uno mismo sus soluciones; realmente ayuda a que comprendamos los procedimientos y a que nos guste la clase. Personalmente creo que este semestre he disfrutado mucho más las mates, porque ha sido fácil comprender los problemas y, como consecuencia, ser capaz de resolver otros que podamos enfrentar en la vida. Esta clase, en mi opinión personal, ha sido un éxito, porque ha cubierto todos los objetivos que tuve desde el principio del semestre, de una manera que nunca imaginé. Y esto me ha ayudado a tener una opinión mucho más crítica acerca de las Matemáticas”.

Hasta aquí se ha dado ya respuesta a cada una de las preguntas que se plantearon acerca de las Matemáticas y de las Matemáticas Escolares.

Para finalizar, se invita al lector dedicado a la enseñanza de las Matemáticas a hacer una reflexión sobre todo lo dicho en este ensayo; pues, así como se le ha sugerido que el aprendizaje de las Matemáticas debe originarse en el intento de los estudiantes por organizar su realidad, con la reflexión caerá en la cuenta de que lo que ha de aprender para mejorar su práctica docente debe originarse en su intento de organizar su realidad educativa.

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cuando se visualiza la actividad docente como un trabajo proyectado hacia el futuro; es decir, como soporte de construcciones de conocimiento posteriores, o bien como una labor en la que se refleja lo pasado, en cuyo caso tendrá como objetivo el fortalecimiento de adquisiciones cognitivas previas.

EL PROYECTO DE DESARROLLOEsta unidad de aprendizaje versa sobre un tópico de la educación matemática relacionado con una problemática general de la educación básica, o con una didáctica específica, o bien con un problema particular del nivel educativo en el que laboran los alumno-docentes.

Al inicio de sus estudios, cada alumno-docente podrá elegir de entre una lista de proyectos de desarrollo que los miembros del DME diseñen para una de las generaciones del Programa, aquél que más se vincule con sus intereses de reflexión sobre la enseñanza de las matemáticas y su relación con los procesos de aprendizaje que se generan en el aula, en particular en su propio salón de clase.

Los equipos de trabajo que se formen en torno a un proyecto de desarrollo no deben exceder seis alumno-docentes por cada pareja de investigadores (responsable y co-responsable); empero se podrán unir al proyecto estudiantes de los programas de Maestría y Doctorado en Ciencias, Especialidad en Matemática Educativa que ofrece el DME y los co-legas de este departamento o de otras instituciones educativas interesados en una problemática particular de la enseñanza de las matemáticas. La idea central de un trabajo de este tipo es favorecer la interacción de los alumno-docentes con la comunidad de matemáticos educativos y facilitar la formación de grupos de investigadores y colaboradores con intereses comunes con respecto al estudio de la problemática de la educación básica.

En esta unidad de aprendizaje del programa de maestría, el trabajo se estructura principalmente en torno a la formación metodológica–práctica del alumno-docente. Los referentes

empíricos para la reflexión sobre los procesos educativos escolares se tomarán principalmente del aula del alumno-docente, la que se transformará en espacio de observación de procesos de aprendizaje, de reflexión sobre las formas de enseñar y de recolección de datos y también tendrá la función de laboratorio de experimentación del grupo de trabajo adscrito a cada proyecto de desarrollo; por ello se ha denominado Aula experimental en el Esquema 1, en el cual se muestran las relaciones entre las unidades de aprendizaje y el salón de clase del alumno-docente.

CELEBRACIÓN DE NUEVE SEMINARIOSPara alcanzar las metas propuestas para el proyecto de desarrollo, el trabajo se ha organizado con la intención de que sea posible realizarse en tres años, a través de nueve seminarios, como se muestra en la Tabla 1. Esos seminarios están estructurados en tres fases: Diagnóstico, Planeación e Intervención. Los objetivos de cada una de estas fases se delinean a continuación.

Diagnóstico: En esta fase el alumno-docente realizará los análisis necesarios de lo que ocurre en su salón de clase, con el desempeño de sus alumnos, con su forma de planificar las actividades de los niños o jóvenes y con las maneras de evaluar el desempeño de los estudiantes. Por medio de este trabajo analítico el alumno-docente podrá:• Delimitar una problemática específica en su aula experimental que le interese estudiar de manera sistemática.

La fase I concluye con un informe del diagnóstico realizado y de la fundamentación de la elección de un problema concreto, el cual será objeto de estudio de la siguiente fase.

Planeación: En esta fase el alum-no-docente se centrará en la caracterización del objeto de estudio determinado en la fase anterior de manera que le permita:•Diseñar una estrategia de enseñanza cuyo propósito principal sea la resolución de un problema concreto; o bien,

•Diseñar un proceso de valoración de algún componente del trabajo en el aula cuyo propósito sea la resolución de un problema concreto.

Como el trabajo de los proyectos de desarrollo es una actividad colectiva, las diferentes propuestas para intentar resolver los problemas elegidos por los alumno-docentes serán puestas a consideración de los miembros del equipo con la intención tanto de enriquecer las estrategias planeadas por los individuos, como de llevar a cabo procesos de evaluación del trabajo realizado.

La fase II concluye con un informe del diseño de una estrategia de enseñanza o un proceso de valoración de algún componente del trabajo en el aula, según el objetivo general del proyecto de desarrollo en el cual se haya inscrito el alumno-docente. La puesta a prueba de la estrategia o la ejecución del proceso, serán la tarea principal de la fase siguiente.

Intervención: En esta fase el alumno-docente pone a prueba la estrategia de enseñanza diseñada para resolver el problema concreto seleccionado en la fase I, o bien lleva a cabo el proceso de valoración del componente del trabajo en el aula elegido en dicha fase; este trabajo le permitirá:•Realizar una intervención puntual en su aula experimental, y•Evaluar los resultados de la intervención en función del desempeño de los niños o adolescentes y de la problemática planteada.

En la última etapa de esta fase se someterán a discusión de los miembros durante el último seminario del proyecto de desarrollo los informes de cada uno de los integrantes del equipo, trabajo que debe constituir un proceso de evaluación colegiada tanto de los alcances logrados por cada uno de los alumno-docentes, como de los del equipo en su globalidad. La fase III concluye con un informe de las características de la intervención puntual, las formas de analizar los efectos de la intervención ya sea considerando al grupo entero, o bien llevando a cabo análisis de los desempeños individuales de los

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áticascuando se visualiza la actividad docente como un trabajo proyectado hacia el futuro; es decir, como soporte de construcciones de conocimiento posteriores, o bien como una labor en la que se refleja lo pasado, en cuyo caso tendrá como objetivo el fortalecimiento de adquisiciones cognitivas previas.














En la última etapa de esta fase se someterán a discusión de los miembros durante el último seminario del proyecto de desarrollo los informes de cada uno de los integrantes del equipo, trabajo que debe constituir un proceso de evaluación colegiada tanto de los alcances logrados por cada uno de los alumno-docentes, como de los del equipo en su globalidad. La fase III concluye con un informe de las características de la intervención puntual, las formas de analizar los efectos de la intervención ya sea considerando al grupo entero, o bien llevando a cabo análisis de los desempeños individuales de los 36 21

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El problema de los bajos resul-tados en la prueba PISA es que nuestros estudiantes no aplican

a la vida cotidiana lo aprendido en la escuela. Creo que una solución a este problema es el empleo, en la curricula escolar, de la teoría cognitiva del desarrollo sociocultural de Vigotsky y seguidores.

Algunos investigadores sostienen que la gente se apoya en sus creencias para resolver problemas fuera del ambiente escolar; por mi parte, afirmo que es la intuición la que se emplea en tal caso e identificamos esta función con la del lenguaje interno.

Lo importante de lo anterior es que Vygotsky y seguidores nos comunican cómo podemos usar el lenguaje y las herramientas como mediadores para el aprendizaje y así contribuir al desarrollo de los alumnos. Esta idea ha estado presente en mi pensamiento en el transcurso de los pasados días. Intentaré dar cuenta del origen de la misma:

5 DE DICIEMBREEn un lugar del sistema educativo nuevoleonés, de cuyo nombre no quiero acordarme... me correspondió estar al frente de una clase de Matemáticas. Al inicio apliqué un examen diagnóstico, y encontré que la mayoría de los alumnos, 15 de 20, no dominaban las matemáticas básicas. Me sentí como un maestro rural con un grupo multigrado. Intenté hacer el curso

ES FACTIBLE DESARROLLARLA INTUICIÓN MATEMÁTICAEN LOS ESTUDIANTES?

Maestro Astolfo Maldonado PérezUniversidad Pedagógica [email protected]

lo más accesible posible, por lo que llevamos un texto que considera la construcción del conocimiento mate-mático.

En una de las actividades pedí al grupo que revisara el tema de razones y proporciones. Carmen respondió correctamente a un problema del segundo examen parcial. Al revisar su procedimiento, observé que tenía errores conceptuales con relación a la solución de ecuaciones. Cuando le pedí que me explicara su manera de proceder, lo hizo mencionando un algoritmo que había mecanizado. En

discusión grupal, nos dimos cuenta que el fundamento del algoritmo se relacionaba con la suma de tres o más fracciones igualadas a la unidad. Ella extrapoló este procedimiento a la solución de problemas que implican la igualdad de dos razones.

Terminamos el periodo escolar de invierno. No sé qué hará un maestro que se encuentra al frente de un grupo multigrado en una escuela rural, ¿Reprueba a sus alumnos en la creencia de que esto los hará ser mejores? ¿Registra su desarrollo cognitivo en un portafolios y recomienda qué hacer al próximo maestro? No sé, pero en mi caso, comuniqué a los directivos de la institución lo que estaba pasando.

Tiempo después, Dubet1 hizo que yo dudara. ¿No estaré añorando la escuela pasada y quiera verla como el templo donde se enseña la ciencia y la razón? En la escuela actual, el problema no es de certificados; es de responsabilidad entre estudiantes, maestros, padres y sociedad para decidir hacia donde va la formación de los futuros ciudadanos.

Como maestro, invité a las autoridades y al grupo al diálogo. Hubo respuesta de los estudiantes, pero no de los directivos. Los estudiantes conti-nuaron haciendo esfuerzos honestos por superarse. Aunque no logramos concretar una autoevaluación de la institución, todos felices nos fuimos de vacaciones.

Viven en nosotros innumerables otros

Fernando Pessoa

de maestría exceden, en amplitud y profundidad, a los presentes en el curriculum de la educación matemática básica. No obstante, hay acuerdo entre investigadores, pedagogos y especialistas en educación, sobre la necesidad de que el docente no restrinja su conocimiento a los contenidos que aparecen en el curriculum del nivel educativo que él imparte.

En los programas de cada asignatura se establecerá un balance entre los contenidos y las necesidades específicas que se plantean en cada nivel educativo y las que surgen

Tabla 1. Ciclos, fases, unidades de aprendizajey su organización dentro de la estructura académica del programa de maestría.

sobre los eventos de enseñanza y de aprendizaje que suceden en la clase de matemáticas; pero en cada una de las modalidades se analizarán los temas de estudio a partir de enfoques diferenciados que responden a los problemas y especificidades de cada nivel educativo. En el Esquema 1, esta parte del programa de estudios se bosqueja por medio de la clase magistral y el trabajo de grupo; puede verse también que estas actividades se complementan con sesiones de estudio dirigido, de trabajo en grupos y con una comunicación en línea.Los temas matemáticos que integran el plan de estudios del programa

estudios. Los dos tipos de unidades de aprendizaje se impartirán por parejas, en forma concomitante, a lo largo de nueve ciclos escolares de tres y medio meses de duración, de tal forma que el programa completo pueda cubrirse en tres años2. En la Tabla 1 se encuentra resumida esta información, así como los nombres y la secuenciación de las asignaturas.

Como se mencionó, el programa de maestría tiene tres modalidades: preescolar, primaria y secundaria. En las tres se estudiarán los mismos tópicos matemáticos y se reflexionará con una visión interdisciplinaria

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12 DE DICIEMBREContinué pensando en la manera de proceder de Carmen, como una falla en la intuición matemática, que le orienta de manera errónea en la búsqueda de información y en la solución de problemas matemáticos.

Al decir una falla en la intuición mate-mática, a muchos puede “sonarles” como que mi concepción de la intuición es algo que reside en un órgano, y su falla se debe a una disfunción fisiológica. No pienso de esta manera; sin embargo, hay matemáticos contemporáneos partidarios de algo que se llama intuicionismo clásico.

Sostienen que la matemática intuitiva está disociada de la matemática formal. Que la intuición es una repre-sentación mental de hechos que parecen por sí mismos evidentes. Esta característica del proceder de cada sujeto se da sin tutoría, es innata. La evidencia que muestran los partidarios de esta corriente es que algunos investigadores reportan en niños pequeños, sin escolaridad alguna, ciertas competencias: dominio de los principios del conteo y ejecución de operaciones simples con números enteros.

Creo que esta clase de intuición no permite al sujeto acceder a las simbolizaciones de segundo grado como el álgebra o el lenguaje escrito. Personalmente me inscribo en la co-rriente del intuicionismo inferencial2 donde la intuición no es un meca-nismo especial que trae el sujeto, sino una forma de razonamiento construido en la interacción con las personas dentro de su ambiente sociocultural. Es más, pienso a la matemática como un lenguaje en el que identifico la intuición con el lenguaje interno. Vygotsky3, nos explica que el lenguaje primero es social, externo; luego es egocéntrico, enseguida interno, y finalmente surgiría la capacidad de representar este lenguaje interno en un comunicado escrito.

19 DE DICIEMBREMe hablan del hospital. Ha nacido An-drés, mi nieto. Levito de gusto y a todo el mundo le comunico la buena nueva.

El habla externa para Andrés es el habla de quiénes están cerca de él, le quieren y ayudan a resolver problemas. Si el bebé se ahoga al tomar demasiada leche del pecho, Myriam, la madre de Andrés, lo tranquiliza hablándole. El bebé, en sintonía con ella, le responde gimiendo o balbuceando, calmándose y volviendo a comer.

Cuando el bebé crezca empezará a pronunciar sus primeras expresiones como “ta” frente a su biberón. Éstas expresarán pensamientos completos4 que se apoyan en un contexto psicológico compartido intersubjetivamente5 con su madre, quien interpretará que su hijo le quiere decir algo como: “mamá”, “te quiero”; “tengo hambre”; “dame leche”.

Desde que el niño nace, acompaña a sus padres en sus actividades, los escucha y ve cómo resuelven problemas del medio, usando las herramientas de su tiempo. A medida que el niño crece, los imita y resuelve problemas en el juego, actividad que le permitirá integrarse a su ambiente sociocultural. Cuando el niño juega a resolver problemas, habla para sí, aparece el lenguaje egocéntrico.

A medida que el niño se desarrolla, abreviará poco a poco su habla egocéntrica; primero pronunciará parte de las palabras, luego sonidos que no se identificarán por quien los escuche. Posteriormente esta habla egocéntrica, desaparecerá a la percepción de quienes estén presentes; ya no se escuchará; se convertirá en habla interna.

DESARROLLO DEL HABLA INTERNAPara que el habla interna se desarrolle, el niño deberá ser acompañado por un experto que le tenga afecto y que le ayude a vivir diferentes experiencias donde resuelvan problemas juntos y se usen procesos metacognitivos. En esta parte deberán cubrirse las etapas para el desarrollo intelectual6: a partir de motivaciones internas, su padre le mostrará la solución del problema de manera detallada usando el lenguaje y los objetos.

Poco a poco, el niño se apropiará de la actividad hasta ser él quien la ejecute de manera detallada, hablando y utilizando los objetos. A medida que pasa el tiempo, el lenguaje se abrevia hasta internalizarse, y la acción sobre los objetos se representa en esquemas hasta automatizarse. En este momento la solución se convierte en un acto mental.

Después aparece el lenguaje simbólico o el lenguaje escrito; la forma encontrada de resolver el problema en el habla interna, puede volver a desplegarse usando signos con el propósito de comunicarla a los otros.

24 DE DICIEMBREPor la noche respiré aire frío, sentí irritada la garganta, y una infección vi-ral encontró su lugar ideal; permitió la entrada de bacterias que rápidamente se multiplicaron. Los antibióticos, las cortisonas y otras medicinas constituyeron los refuerzos de un ejército que se batía en mi interior. Reposo absoluto. Andrés me invitaba al recalentado, pero no pude ir. Mi esposa se contagió. Soledad dual. Me encontré sentado en una silla, frente a un rompecabezas tridimensional de siete piezas, que había comprado en la Feria del Libro. Me planteaba el reto de armar un volumen, la cama.

2001-2002 del Programa para el Fortalecimiento del Posgrado Nacional. Los programas de maestría con orientación profesional y carácter científico práctico tenían características generales (ver por ejemplo, Conacyt, 2004) que permitirían diseñar la formación docente solicitada por los SEIEM.

El DME presentó en versión final el Plan y programas de estudio de la Maestría en Educación, Especialidad Matemáticas, al Consejo Académico Consultivo en diciembre de 2004.

En la junta correspondiente, este cuerpo colegiado del Cinvestav, después de tomar en cuenta la evaluación de la comisión nombrada para el análisis del diseño curricular, recomendó a la Dirección General que lo pusiera a consideración de la Junta Directiva para su aprobación. En marzo de 2005, dicho programa se convirtió en uno más de los programas de estudios de posgrado del Cinvestav, y en el primero en la institución con orientación profesional.

ORGANIZACIÓN DE LA MAESTRÍAEspecíficamente, en su diseño participaron 14 investigadores del DME, un estudiante del programa Doctorado en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa, y dos miembros del DPI de los SEIEM. Hubo reuniones colectivas con el resto de los miembros del departamento para la presentación de los avances, así como para la aprobación de la estructura y la organización de contenidos, de modos de estructurar la enseñanza y de cómo evaluar y obtener el grado. El proceso de construcción del programa hasta su aprobación por parte de la Junta Directiva del Cinvestav, consumió un período de 15 meses.

En el apartado siguiente se describe a grandes rasgos el mencionado programa (para mayor información puede consultarse Figueras y Rigo (Coordinadoras), 2004 o la página de la Maestría en Educación, especialidad Matemática que aparece en la página principal del DME cuya dirección electrónica es: www.matedu.cinvestav.mx).

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN, ESPECIALIDAD: MATEMÁTICASEl Plan de estudios del programa de maestría se ha dividido en tres modalidades: Preescolar, Primaria, y Secundaria, las cuales corresponden al estudio de las problemáticas asociadas con cada uno de los niveles educativos que integran lo que en México se denomina, desde 1992, educación básica (SEP, 1992), y está dirigido a profesores frente a grupo y a asesores técnico pedagógicos que trabajan en estos ciclos escolares y cuentan con al menos medio tiempo1 para llevar a cabo las actividades académicas.

El objetivo general del programa de estudios es “Formar docentes especializados capaces de proponer alternativas de solución a problemas de educación matemática que se originan en los distintos componentes del sistema educativo nacional”.

Para lograr este objetivo general, las actividades se han estructurado en torno a dos ejes:

•uno de corte teórico, a través del cual el alumno-docente podrá adquirir una formación teórica en matemática educativa, en la cual las matemáticas tienen un lugar central, pero confluyen también aspectos de otras disciplinas vinculadas con los procesos de la enseñanza y del aprendizaje que se llevan a cabo en el aula;

•el otro eje es de corte metodológico-práctico, mediante el cual el alumno-docente logrará una formación

conceptual que le proporciona herramientas para el uso de metodologías aplicables al trabajo de indagación empírica en el aula, vinculado con la educación matemá-tica, y una formación práctica centrada en el análisis de los quehaceres educativos orientada hacia el diseño y elaboración de productos didácticos y su validación en el medio escolar.

En el Esquema 1 se ha bosquejado tanto la estructura del programa y sus diversos componentes, como las diferentes relaciones que se establecen entre ellos. Como puede verse en ese esquema, los componentes de los dos ejes se consolidarán a través de dos tipos de unidades de aprendizaje:•las asignaturas, cuyos contenidos se asocian principalmente con el eje teórico, y•el proyecto de desarrollo, que se relaciona de forma más directa con el eje metodológico-práctico.

Esquema 1. Estructura académica del programa de maestríay sus conexiones, en particular con el aula de los alumno-docentes

PROYECTO DE DESARROLLOLas asignaturas son nueve en total, y de carácter obligatorio. El proyecto de desarrollo, cuyo trabajo se ha organizado a través de nueve seminarios, es también de carácter obligatorio, pero se podrá optar por uno de entre las distintas alternativas que la planta académica del programa de maestría pondrá a consideración de los alumno-docentes al inicio de sus

Esquema 1. Estructura académica del programa de maestría y sus conexiones, en particular con el aula de los alumno-docentes.

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áticas12 DE DICIEMBREContinué pensando en la manera de proceder de Carmen, como una falla en la intuición matemática, que le orienta de manera errónea en la búsqueda de información y en la solución de problemas matemáticos.




























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Astolfo Maldonado PérezEs maestro en Ciencias, por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional

y asesor de Medio Tiempo en la Unidad 19B de la Universidad Pedagógica Nacional.

1 Dubet, François: Mutaciones cruzadas: La ciudadanía y la escuela, Universidad de Burdeos/EHESS, París. http://www.injuve.mtas.es/injuve/contenidos.item.action?id=1007213558&menuId=3905501202 Talia Ben Zeev,: Intutive Mathematics: Theoretical and Educactional Implications. Brown University, 2002. 3 Vygotsky L. S.: Obras Escogidas, Vol. II. Madrid, Visor, 1993.4 Ésta es una característica del lenguaje, llamada predicatividad psicológica, que consiste en omitir la información que puede ser aportada por el contexto y emitir únicamente información nueva, a la que se llama predicado psicológico. 5 La intersubjetividad es la zona de comunicación que se da entre el experto y el novato para resolver un problema en absoluta cooperación, compartiendo emociones cuando se avanza hacia la solución. 6 Galperin p. Ya.: Sobre la Formación de los Conceptos y las Acciones Mentales, en: QUINTANAR, Rojas Luis : Las Funciones Psicológicas durante el Desarrollo del Niño. Universidad Autónoma de Tlaxcala, 1995.7 Wertsch.Voces de la Mente. Un enfoque sociocultural para el estudio de la acción mediada, Visor, Madrid, 1991.8 Freudenthal H. Las matemáticas en la vida cotidiana. Mac Graw Hill Book Company, Madrid, 1967.9 El desarrollo de campos de organización local, son sugeridos en el Libro para el Maestro de Secundaria editado por la SEP, pp. 274-276.

(Fig. 1) Movía las piezas rápidamente, miraba la figura. Una voz7 interna me decía: “el rectángulo de la base es 3 x 7. Reacomodaba las piezas”; otra voz apuntaba: “estas tres piezas deben estar en la cabecera”; accionaba y preguntaba “¿Cuál es la cuarta pieza que debe estar en la cabecera?” Me contestaban: “prueba entre las restantes y elimina hasta que te quedes con la más probable”. Hacía múltiples intentos hasta que finalmente di con la solución. La registré.

Otra voz me dijo: “si Carmen te viera solucionar este problema pensaría que posees una intuición matemática para resolver rompecabezas; que tienes un don innato”.

Mi voz le contestaría: “esto no es así; para demostrártelo, veamos detenidamente cómo ha transcurrido mi pensamiento”: El primer intento, para armar la cama parte de

a) La base ha de ser un rectángulo de 3 x 7.

A partir de algunos intentos decidí que en la cabecera de la cama estarán las piezas 3, 4, y 5, pues no son planas. (Delimito el problema) ¿Qué otra pieza deberá estar en la cabecera? Con base en la acción con las piezas deseché las piezas 7, 2 y 1, luego en la cabecera deberá estar también la pieza 6.

b) En la cabecera de la cama deberán estar las piezas 3, 4, 5, y 6.

c) A partir de la acción con las piezas encontré las siguientes posibilidades para ambos respaldos de la cama: (3,4) y (5,6); (3,5) y (4,6); (3,6) y (4,5).

Al ensayar con estas posibilidades eliminamos las dos primeras y;

d) El armado de la cama se resuelve eligiendo (3,6) y (4,5) como respaldos para la cama.

Este pensamiento, aparentemente rápido y automatizado ha sido mediado por el lenguaje interno formado por mi voz en interacción con voces de expertos.

CONCLUSIONES: •Los incisos a, b, c, y d no son más que rápidas inferencias en la acción, producto de mi lenguaje interno, de mi intuición, formada en la convivencia con mi padre y maestros de matemáticas. Luego el insight en la solución de problemas al que los psicólogos hacen referencia, encuentra una posible explicación.

•Al resolver un problema existen muchas posibilidades; cuando uno establece una hipótesis determinada

y desecha otras, lo que hace es intentar elegir las que tengan la mayor probabilidad de solucionar el problema. Por lo que podemos decir que en el intento de solucionar un problema uno establece juicios probabilísticos.

•Las premisas a, b, y c, que nos permiten llegar a la conclusión del inciso d, son lo que Freudenthal8 llama un campo de organización local, un pequeño grupo de premisas relacionadas deductivamente con errores de carácter lógico.9

•La intuición, el lenguaje interno, se forma en lo social. Esto abre posibilidades para que los “andreses” en el futuro, tengan mejores maestros que desarrollen en ellos su lenguaje interno matemático, su intuición matemática, y lograr que superen el problema de la transferencia de los conocimientos escolares a la vida cotidiana.

Figura 1

Miembros del Departamento de Posgrado e Investigación (DPI) de los Servicios Educativos

Integrados al Estado de México (SEIEM) entraron en contacto con diversas instituciones de educación superior para dotar a los docentes de una formación de posgrado que tuviera impacto en la educación que proporcionan a niños y jóvenes mexiquenses de preescolar, primaria y secundaria.

En 2003, en los SEIEM se llevó a cabo una evaluación de ese programa de formación docente; los resultados estaban lejos de lo esperado (De la Rosa, 2003). De la evaluación se podía inferir que una de las causas del poco éxito en los programas de estudio podría ser la poca experiencia de los docentes de instituciones de educación superior en la problemática de la educación básica. Por ello se decidió recurrir a instituciones que contaran con grupos de profesores con experiencia específica en investigación y desarrollo sobre los problemas de la enseñanza y el aprendizaje de esos niveles educativos.

IDONEIDAD DEL CINVESTAVEl Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN (Cinvestav) es una de las instituciones que cumple con esas características. Dos de sus Departamentos: el de Investigaciones Educativas y el de Matemática Educati-va (DME), surgen a partir de la búsqueda de soluciones a los problemas de educación básica y a la construcción de alternativas educativas que permitan avanzar paralelamente en el conocimiento profundo de los modos de aprender, y en la aplicación de lo que se va aprendiendo, en formas de enseñar.

A mediados de 2003, miembros de los SEIEM sondearon la posibilidad de que el DME recibiera una generación de docentes de educación básica del Estado de México en el programa de estudios Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa. Las condiciones de su aceptación serían especiales, debido a que los maestros mexiquenses seguirían laborando en su aula y en consecuencia, no podrían ser estudiantes de tiempo completo en Cinvestav.

La idea central expuesta por los miembros de los SEIEM era no sólo que maestros de preescolar, primaria y secundaria obtuvieran un grado de maestría, sino que sus estudios se reflejaran en el trabajo que de manera diaria llevan a cabo en el aula, y más específicamente que el conocimiento

adquirido en el programa de posgrado pudiera considerarse un factor directo de la mejora en la educación matemática de sus alumnos.

Surgió entonces un primer cuestiona-miento: ¿era el programa de maestría del DME lo apropiado para satisfacer esas necesidades? La respuesta en base a la experiencia de 27 años, en ese entonces del DME, era negativa; el programa está orientado hacia la investigación sobre la educación matemática. Por ello su estudio conduce a una formación diferente a la del desarrollo profesional del docente, y si bien podría impactar en el trabajo del maestro, esto sería de manera tangencial. Sí la intención es formar buenos maestros de matemáticas, ¿por qué recurrir a un programa que orienta a los profesores a ser investigadores?

RETO PARA INVESTIGADORES DEL DMECrear un programa de estudios con la intención de que el alumno-docente acreciente y profundice sus conocimientos teórico-prácticos sobre su quehacer profesional, y se convierta en un experto en la enseñanza de las matemáticas de los niveles elementales de educación se convirtió, a principios de 2004, en un reto para un grupo de investigadores del DME.

Un primer paso para el logro de ese objetivo fue encontrar una figura que posibilitara la inserción de un programa de estudios para profesores de educación básica en la estructura académica del Cinvestav. La búsque-da condujo a la clasificación que el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt) hace de los programas en los lineamientos publicados en la convocatoria

Una maestría para profesores de educación básica en el CinvestavDoctora Olimpia FiguerasDepartamento de Matemática Educativa Cinvestav / Mé[email protected]

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Nos ubicaremos en el siglo pasado, en el año de 1973: en esa época, en el campo de las Matemáticas, los métodos que existían para reducir los determinantes de orden trabajaban solamente con fracciones. Entonces me dije: “Debe existir un método capaz de reducir los determinados de orden, pero trabajando únicamente con números enteros”. En ese momento me puse a buscar ese método.

Noté que al reducir de orden un determinante con números fraccio-narios o quebrados, el denominador de todos los quebrados era siempre igual; entonces me puse a buscar un método que pudiera trabajar únicamente con números enteros, y luego, al final, todos se dividieran entre el mismo denominador; y encontré ese método que trabaja sólo con números enteros. Ese nuevo método fue el Método Montante.

Al principio no le llamé “Método Montante”. Le llamé “Algoritmo Montante”, porque desde el punto de vista matemático es un algoritmo, pero desde el punto de vista numérico es un método.

LOS MAESTROS BAUTIZARONEL MÉTODOEn el año 1973, yo trabajaba como profesor de matemáticas en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (FIME) de la UANL. Llevé el “Algoritmo Montante” para explicarlo a los maestros; pero todos ellos decidieron que debía llamarse “Método Montante”, y con el tiempo se le quedó el nombre así.En matemáticas, el Método Montante

es un algoritmo del álgebra lineal1, que permite determinar soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices inversas, matrices adjuntas y determinantes. La característica principal del Método Montante es que trabaja con enteros, lo cual hace que el resultado sea exacto aunque se resuelva con computadora, ya que evita que se redondeen los números.

El método Montante consiste en ir “pivoteando” en la diagonal principal. Se comienza en el extremo superior izquierdo; el renglón donde está el pivote va a ser el renglón base de todo el sistema, y la columna donde está el pivote va a ser la columna base; con respecto a ese renglón y esa columna donde está el pivote se forman determinantes de dos por dos. Es necesario notar que se trabaja sólo con enteros; si apareciera alguna fracción, hay un error, y el Método Montante resolvió con números enteros el sistema de ecuaciones lineales.

SOLUCIÓN DE PROBLEMASEnseguida calculé la inversa de una matriz y el método Montante calculó

con puros números enteros la inversa de la matriz2. También resuelve los problemas de “investigación de operaciones”3 y muchos problemas más.

Cuando se trabaja con quebrados, las computadoras ponen 1/3 igual a 0.3333…y se van hasta el infinito los números tres; 2/3 es igual a 0.6666…hasta el infinito los números seis.

De la misma forma en que estos números quebrados existen, muchos otros números quebrados se van hasta el infinito cuando son expresados en forma decimal. Esto hace que las computadoras tengan un error natural; cuando se resuelve un sistema de ecuaciones lineales muy grande, el error natural de las computadoras queda eliminado.

EJEMPLOEl renglón columna que se cruzan en el pivote se llaman renglón base y columna base. Con respecto al renglón base y a la columna base, se forman determinantes de 2 x 2 y con ellos se calculan todos los elementos utilizando el siguiente mecanismo.

Se multiplica el elemento por el pivote y se le resta el producto de los elementos que están en el renglón base y la columna base; este resultado se divide entre el pivote anterior, (En el primer paso no existe pivote anterior, entonces no se divide entre nada).

•Observación No. 1 = En la diagonal principal va quedando repetido el último pivote.•Observación No. 2 = Arriba del

Método MontanteReduce determinantes de ordencon números enterosIngeniero René Mario Montante PardoCatedrático jubilado de la FIME / UANL

Maestro de FIME,de la UANL, crea en 1973 el algoritmo con que se corrige el error natural de las computadoras de todo el mundo al trabajar sólo con enteros.

del CAEIP, pero fue el entusiasmo especial de la inspectora el que nos hizo abrigar cifradas esperanzas de poder realizar durante el ciclo escolar 2005-2006 un seguimiento puntual de las tareas cotidianas realizadas por quince maestras de nueve escuelas que integran la Zona Escolar No. 18. Junto con estas escuelas, ubicadas en un sector de clase media en el sur de Monterrey, invitamos a otra escuela ubicada en el sur también, pero en un sector de marginación urbana.

METODOLOGÍAEl diseño del proyecto contempló únicamente las asignaturas de Español y Matemáticas del sexto grado, utilizando una metodología del tipo exploratorio descriptivo. La recogida de información se hizo de acuerdo con un cronograma cuidadosamente construido, utilizando entrevistas semi-estructuradas, cuestionarios, exámenes, observaciones directas y evidencias empíricas.

La investigación inició con la aplica-ción de un examen de diagnóstico a los estudiantes, que arrojó información sobre el estado de conocimientos desde el cual partiríamos; dos conversaciones estructuradas con las maestras nos permitieron apreciar objetivamente que desconocían algunos temas del programa, la metodología para su enseñanza, y que sus exámenes eran del corte tradicional memorístico.

En estas circunstancias, ofrecimos financiar la asesoría especializada para las dos asignaturas, por lo que fue necesario destinar una mañana de trabajo antes del inicio de cada bimestre en el mismo horario y turno laboral de las maestras, contando en todo momento con la autorización y beneplácito de las directoras y la inspectora.

De igual forma, fue necesario advertir a las maestras que era conveniente que elaborásemos los exámenes de bimestre colaborativamente, con la participación de los asesores, los responsables de la investigación, ellas mismas y sus directoras, lo cual fue aceptado de muy buena gana. Desde luego que la asignación de calificaciones seguía siendo una de

sus facultades; el CAEIP se limitaba a registrar los aciertos y errores y otros datos necesarios para la investigación, sin interferir en la vida institucional de cada escuela.

REALIZACIÓN CONFORME A LO PLANEADOLos asesores cumplieron escrupu-losamente con sus funciones; de igual forma, la elaboración de los exámenes y la recogida de infor-mación transcurrieron tal y como se había planeado, en tanto que las investigadoras llevaron puntualmen-te los registros y análisis de la información.

Para recoger información, sistemáticamente, las investigadoras visitaron cinco veces durante el ciclo escolar a cada maestra para entrevistarla, aplicarle un cues-tionario y recoger evidencias empí-ricas; sistemáticamente también, los expertos desarrollaron asesorías presenciales y por escrito, elaboran-

do el informe correspondiente para el CAEIP; cada bimestre se elabora-ron colaborativamente los exámenes de Español y Matemáticas, y ambos fueron revisados por las maestras y directoras.

Cada bimestre se llevó el registro y análisis riguroso de: reactivo, alumno, grupo, escuela y zona escolar. Algo muy importante de señalar es que los exámenes y los resultados analíticos se devolvieron bimestralmente a la inspectora, quien convocó cada vez a sesiones informativas, de reflexión y toma de decisiones con las directoras y maestras.

Sin duda, ésta es una investigación gratificadora para todos los que en ella participamos, aprendimos, construimos, aceptamos deficiencias, nos comprometimos a trabajar más intensamente por los fines y metas de la educación nuevoleonesa. Formulamos nuestros mejores votos porque las instancias que toman decisiones a nivel de aula o de entidad aprovechen esta información y estos conocimientos, para el mismo propósito que nosotros.

EL MAGISTERIO DE NUEVO LEÓN, CONFIABLESin pormenorizar sobre los resultados de esta investigación, solamente apuntaremos que: Todos los maestros mejoraron sus prácticas de enseñanza, los grupos avanzaron significativamente en sus logros académicos y ¡se puede confiar en el magisterio de Nuevo León!

En el capítulo de cierre de la obra se encuentran los argumentos, por lo que le rogamos visitar la página electrónica apuntada al inicio del escrito.

Es egresado de la Escuela Normal Superior, con Especialidad en Actividades Tecnológicas, Psicología

y Orientación Vocacional. Hizo su Maestría en Pedagogía en la Escuela de Graduados. Actualmente

es el director del Centro de Altos Estudios e Investigación Pedagógica, de la Coordinación de

Ciencia y Tecnología de Nuevo León.

Ismael Vidales Delgado

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renglón base, los determinantes de 2 x 2 quedan resueltos al revés; abajo del renglón base los determinantes de 2 x 2 quedan resueltos en forma normal.•Observación No. 3 = Si empezamos el esquema con números enteros, se deben mantener los números enteros todo el procedimiento; solamente hasta el final, cuando leemos los resultados, es cuando aparecen números quebrados.•Observación No. 4 = El renglón base, donde está el pivote, pasa al siguiente paso idéntico; y la columna base, donde está el pivote, pasa al siguiente paso, haciéndose “ceros” con excepción del pivote.

Solución de un sistema de ecuaciones lineales con el Método Montante.3x + y + 2Z = 1X – y + Z = 22x + y + 2z = 3Se comienza con la matriz agrandada del sistema de ecuaciones= EquivalenciaSe “pivotea” en la diagonal principal. = O

SEMBLANZALas matemáticas son actualmente la base de todas las ciencias que maneja el hombre, debido a que su campo de acción cubre la totalidad de los conocimientos científicos. Para resolver problemas que se originan en este ámbito, el ingeniero regiomontano René Mario Montante Pardo se enfrentó desde pequeño con valentía a las matemáticas, mas no a las letras, según dice.

De niño tuvo una predilección especial por la clase de matemáticas. En el Colegio México, donde estudió la primaria, siempre destacaba en esa materia. Después en la secundaria y la preparatoria en la Álvaro Obregón, las matemáticas eran su fuerte, y no dejaron de serlo cuando cursó la carrera de Técnico Mecánico en esa misma escuela y más tarde en la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la UANL, al igual que en la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, donde estudió la carrera de Matemáticas, siendo ya profesor universitario.

Asegura que los mexicanos no otorgan importancia a las matemáticas, a pesar de que todo está regido por ellas. “Aquí en México se ríen de eso… no les dan importancia a las matemáticas, tampoco a lo que hacemos los mexicanos en este tema”, dijo.

TODO ESTÁ RÉGIDO POR EL CÁLCULO MATRICIAL“Las leyes físicas tienen sus representaciones matemáticas, muchas veces muy elevadas; son matemáticas de números, por ejemplo, las matrices. Todo el mundo está regido por el

Ejemplo

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos de Nuevo León es la única institución de Educación Media Superior

de la localidad que realiza funciones de investigación educativa y que ha documentado más de 30 productos a nivel nacional.

De hecho, el lector puede acceder a ellos en www.caeip.org.

Una de sus investigaciones, disponible en formato de libro y en la página electrónica del proyecto, está referida a las matemáticas en la educación primaria de Nuevo León, documento del cual nos ocupamos en esta colaboración. Para nadie son novedad

los resultados obtenidos por el estado en las recientes evaluaciones internacionales, nacionales y estatales.

Nadie está satisfecho y todos desean revertir las cifras en el corto plazo. Preguntando informalmente al magisterio sobre cuáles son los problemas que les han impedido obtener resultados superiores, dicen desconocerlos.

AUTOESTIMA MAGISTERIALLos entrevistados tienen una elevada autoestima sobre su trabajo. Maestros y maestras relatan con entusiasmo la abundancia de actividades que realizan con sus alumnos; la entrega

casi apostólica que los lleva a cubrir en tiempo y forma el programa; las actividades administrativas y las extracurriculares; su participación entusiasta en otros programas de beneficio para la comunidad; y su determinación de no escatimar es-fuerzo alguno para atender las con-vocatorias académicas, deportivas, de capacitación y sindicales que menudean en las escuelas primarias.

Sin embargo, aceptan que no tienen evidencias de que hayan mejorado sus prácticas de enseñanza ni los aprendizajes de sus alumnos. Entonces, ¿qué es lo que sucede?Muchas inquietudes sobre el tema surgieron en los investigadores

Profesor Ismael Vidales DelgadoDirector del Centro de Altos Estudios e Investigación Pedagó[email protected]

Investigación

en el CECyTENLLas Matemáticas

CECyTENL, Plantel Escobedo.

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1 El ingeniero René Montante ha dedicado su vida a la investigación de métodos que permitan resolver ecuaciones del campo del álgebra abstracta. Durante su vida ha estudiado exhaustivamente los conceptos de vector, generalizado a espacio vectorial, dentro del ilimitado campo del álgebra lineal, principalmente en su rama estructural. El algebra lineal es la rama de las matemáticas que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales y sistema de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central de las matemáticas modernas, por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional. 2 En matemáticas, una matriz es una tabla o arreglo rectangular de números, o una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse.3 El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica; tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.

cálculo matricial, pero todo lo vemos desde el punto de vista matemático del álgebra”.

Han sido muchos los grandes matemáticos que han influido en el desarrollo de esta materia; sin embargo, el ingeniero Montante es creador del método que lleva su nombre. Pese a la importancia que tiene este método en el mundo científico, su creador nunca vislumbró los alcances del mismo; sólo se dio cuenta de ello cuando resolvió sistemas de ecuaciones lineales. Actualmente el Método Montante es el más exacto en el mundo de la computación y es usado y reconocido en países como Japón, Francia, Canadá, Rusia y Estados Unidos.

Los demás métodos, como el Gauss-Jordan, dan como resultado una fracción decimal, pero pierden exacti-tud después de 20 ó 30 cifras. Este método es usado en las computadoras de todo el mundo, y va haciendo ceros y ceros cuando el sistema de ecuación lineal es cero, su determinante vale cero: Por lo tanto es limitado, mientras que el Método Montante al llegar a cero, saca el resultado exacto.

DIFUSIÓN EN TODO EL MUNDOEn 1976, Montante resolvió lo sistemas de ecuaciones lineales, también con enteros, por lo que empezó a considerar la importancia de su descubrimiento. Respecto a la difusión de su método en otros países, dijo que en alguna ocasión fue a presentarlo al Tecnológico de Monterrey, donde le han hecho mucha difusión en todo el mundo.

Aun cuando el Método Montante tiene importantes aplicaciones en el ámbito de la computación, su creador se resiste a su uso y para realizar sus cálculos y sus investigaciones utiliza papel, lápiz y una calculadora de bolsillo previamente programada por él.

“En mi época no había computadora, había cerebros electrónicos. El Tec lo usó en las computadoras; más tarde fue a Estados Unidos, y dicen que el ejército norteamericano lo usa en sus computadoras, pero yo no sé de eso”, dijo.

MATRICES ESPEJOA partir de su jubilación y hasta la fecha, el ingeniero Montante anda en la búsqueda de matrices espejo. “Las matrices son números ordenados en líneas y columnas; imagínese una matriz de tres columnas. Deben ser los mismos números en cada fila, pero tienen que ser duales; eso es lo que nadie ha podido encontrar, duales quiere decir que son dos cosas que son una en la misma matriz

matemáticamente. Según he oído, una de ellas va a estar en el campo de la antimateria y la otra en el campo de la materia.

También estas matrices van a resolver los problemas de la simetría de física atómica, según creo. Como están en el campo de los números complejos, está duro, pero en unos meses más las voy a encontrar”.

A punto de ello, el ingeniero Montante ve con optimismo el desarrollo de las matemáticas, a las que él ha contribuido: las matrices se van a ocupar de todas las disciplinas científicas, todos los sistemas de ecuaciones lineales ya se pueden hacer matricialmente.

2 x - y - z - 2 y = 1x + 2 y + z + w = 2x - 2 y + z - w = 32x+y+2z+2w=4

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1 2 -1 1 2

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x= -45/-18Y= 40/ -18Z= 30/ -18W= -41/-18

realidades palpables o verdades demasiado obvias que nos deben obligar a buscar métodos alternos de enseñanza, ayuda física y virtual, para que las Matemáticas dejen de ser ciencias mágicas y abstractas.

He aquí dos métodos alternos de enseñanza: los manipulables físicos y los manipulables virtuales, que hacen que las Matemáticas parezcan más amigables en el aula.

Métodos Físicos: así se define cualquier material y objeto físico del mundo real que los estudiantes sean capaces de palpar, para ver y experimentar conceptos matemáticos.

Los instrumentos de este tipo se utili-zan primordialmente con estudiantes de primaria y en temas muy concretos, como las formas geométricas, para reconocer las distintas figuras; blo-ques de patrones, para estimar, medir, registrar, comparar; bloques y cubos, para sumar, restar o resolver problemas que incluyan peso.

Métodos Virtuales: son repre-sentaciones digitales de la realidad, posibilitadas por las computadoras y que el estudiante puede manipular con el mismo objetivo que los primeros. Éstos se utilizan en grados superiores, en el nivel bachillerato o universidad, principalmente.

La experta Judy Spicer ha dicho: los manipulables virtuales tienen además la capacidad de hacer visible lo que es difícil de ver e imposible de imaginar.

Algunos ejemplos pueden ser: simulaciones, robótica y re-presentaciones tridimensionales. Ejemplo de métodos virtuales son los empleados en expresiones matemáticas que se formulan con lápiz y papel -tales como símbolos algebraicos- los que se plantean en la pantalla –también empleada para graficar, tabular y dibujar figuras geométricas.

El uso de la tecnología puede mejorar de manera significativa el aprendizaje, pues se enfoca en manipulables virtuales que ayudan a los estudiantes

a entender conceptos matemáticos, utilizando la capacidad del computa-dor para posibilitar simulaciones, enlaces dinámicos e interactividad.

VISUALIZACIÓN DE CONCEPTOS MATEMÁTICOSInvestigaciones adelantadas en Inglaterra, Japón, China y Estados Unidos apoyan esta idea. En éstas se enfatiza especialmente la ayuda que ofrecen a los estudiantes para pasar del nivel concreto al abstracto e incrementar su capacidad para adquirir habilidades y conceptos al ofrecer una representación física, tangible, móvil, armable y desarmable, que permite visualizar conceptos matemáticos de manera concreta.

ReferenciasSpicer, Judy. October 2000. Virtual Manipulatives: A New Tool for Hands-on Math. ENC Focus Improving Mathematics Teaching by Using Manipulatives; James w. Heddens, Kent State University. The Three Stages of Learning; Moving with Math. Álgebra de Funciones Mediante Procesos de Visualización; Vicente Carrión Miranda, Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV, México. “Cognición y Computación: el caso de la Geometría y la Visualización”, Luis Moreno Armella, Cinvestav – IPN, México. Artículo publicado como parte de las memorias del Seminario Nacional de Formación de Docentes: “Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas”, Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2002.

Claudia OrdazObtuvo su Maestría en Educación, con Especialidad

en Literatura, por el Tecnológico de Monterrey; es catedrática y escritora. Forma parte de la Sociedad de Escritores de Nuevo León, y es autora del libro

Caracolas. Actualmente escribe Paloma Querida.

Dice también la investigación que los niños pasan por tres estadios de desarrollo: el concreto o de manipulación, el representativo o de transición, y el abstracto. Muchos estudiantes tienen gran dificultad para hacer esta transición, posiblemente porque su sentido numérico es débil. Piaget encontró que la mayoría de los niños no alcanzan el nivel abstracto, sino a la edad de 12 ó 14 años. Para respaldar el avance de la etapa de transición a la abstracta, es necesario ofrecer a los estudiantes materiales y actividades apropiadas para lograrlo, y, en el caso de las matemáticas, este papel lo asumen los manipulables. Además, se encontró que los estudiantes que aprenden matemáticas con este tipo de modelos, entienden mejor, desarrollan mejores habilidades para la solución de problemas y tienen un mejor desempeño en las pruebas estandarizadas de competencia”. En conclusión, los métodos físicos y virtuales ayudan a los estudiantes a construir, fortalecer y a conectar varias representaciones de ideas matemáticas, al tiempo que aumentan la variedad de problemas sobre los que pueden pensar y resolver; además de ofrecer a los estudiantes objetos para reflexionar y hablar y suministrarles un lenguaje adicional para comunicar ideas matemáticas sobre sus percepciones visuales, táctiles y espaciales.

Métodos físicos: así se define cualquier material y objeto físico del mundo real que los estudiantes sean capaces de palpar, para ver y experimentar conceptos matemáticos.

Es ingeniero mecánico y licenciado en Matemáticas, ambos grados académicos por la Universidad Autónoma de Nuevo León. De 1965 a 2001 fue profesor en la Facultad de Ingeniería Mecánica y

Eléctrica (FIME), y de 1965 a 1973, en la Facultad de Ingeniería Civil, de la UANL. Es autor de Un Método Número para Cálculo Matricial, (Método Montante), aparecido en 1977.

René Mario Montante Pardo

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x= -45/-18Y= 40/ -18Z= 30/ -18W= -41/-18




















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Por más que, desde la perspectiva filosófica, Heráclito de Éfeso nos advirtiera que el mundo está

en constante cambio, “que no nos bañamos nunca en un mismo río”; que, desde la perspectiva científica, Sir Francis Galton (1822-1911) nos advirtiera, con su “Ecuación Personal”, que los tiempos de reacción y otras características personales difieren de persona a persona, y que, desde la poesía, el inmenso Pablo Neruda (1904-1973) nos precisara que: “nosotros, los de entonces, ya no somos los mismos”, lo cierto es que el hombre vive en la ilusión de que las cosas no cambian tanto.

Heráclito vivió hacia comienzos del siglo V a. C (544 a. C - 484 a. C) era natural de Éfeso, ciudad de la Jonia, en la costa occidental del Asia Menor. Como los demás filósofos anteriores a Platón, no quedan más que fragmentos de sus obras.

El problema de la

VARIACIÓN

Doctor Salvador BorregoSaba [email protected]

Las matemáticas tienen su origen en el antiguo Egipto, una de las civilizaciones más sabias y místicas de la historia. También

se reconoce como precursoras en el ramo de las matemáticas a las civilizaciones mesopotámica, china e india. Si antes era una rama de las ciencias vinculada con lo mágico, lo espiritual y lo místico -donde sólo los grandes sabios como los matemáticos mismos, los astrónomos y los religiosos pertenecían a clases privilegiadas- pasó a ser una ciencia cuantitativa que ayudó a profundizar los conceptos de número, espacio, expresión analítica, y ayudó al hombre a solucionar problemas de índole social, económica, política, e incluso religiosa.

Son de mucha aplicación en nuestra vida; sin embargo, mucha gente les tiene pánico a las matemáticas, y las visualiza como una ciencia muy especial y exclusiva de genios, lo cual es falso, puesto que estamos en contacto con ellas en nuestro diario

devenir. Conozco infinidad de casos de personas que no se inscribieron en una determinada carrera universitaria, porque su plan de estudios incluía matemáticas, o personas que no se interesan en un puesto porque es un trabajo que involucra muchos números.

El problema no termina ahí, ya que entre los países de la OCDE, México ocupa el lugar 32 en resultados relacionados con las matemáticas. Esto es una llamada de atención, para preguntarnos si estamos haciendo bien las cosas; es decir, enseñando adecuadamente esta ciencia; si los maestros que imparten esta clase están lo suficientemente capacitados; si los alumnos están adecuadamente motivados; si se tiene una percepción correcta de las matemáticas.

REALIDADES PALPABLESSon demasiadas preguntas para tan corto espacio, pero lo peor sería sospechar que son meras especulaciones, cuando se trata de

Métodos alternos para las

Ingeniera Claudia Ordaz Catedrática del Departamento de Comunicación / [email protected]

Mediante el método mecánico logré entender ciertos resultados, aunque posteriormente tuviesen que ser demostrados geométricamente, ya

que la investigación mediante el método mecánico no proveía las demostraciones. Pero es mucho más fácil poder dar una demostración

de una situación, después de haberla comprendido mediante el mencionado método, que intentar demostrarla sin ningún conocimiento

previo

Arquímedes: inventor, físico y matemático griego (287-212 a.C.)

Matemáticas

Las matemáticas tienen su origen en el antiguo Egipto, una de las civilizaciones más sabias y místicas de la historia.

y sus implicaciones culturales

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Las comunes generalizaciones que tanto daño nos producen en las relaciones interpersonales, son una prueba contundente y cotidiana de que los seres humanos avanzamos poco en el reconocimiento del problema de la variación. Pero el efecto pernicioso de esta deficiencia cultural se extiende de manera natural a campos tan diversos como los siguientes:

1. A nuestra vida democrática, por las dificultades para respetar las opiniones diferentes a las nuestras.2. A nuestra vida económica, porque el problema de la variación en la vida empresarial redunda en problemas de calidad, productividad y posición competitiva.3. Como corolario de lo anterior, a nuestra vida laboral, porque en el deseo de obtener mejores resultados sin el tratamiento adecuado del problema de la variación (sin entender a cabalidad el concepto de Capacidad de Procesos), es común que se exija a la clase trabajadora más de lo que razonablemente se puede esperar en atención a las condiciones de trabajo en las que está inmersa, con el consecuente deterioro del clima laboral.4. A nuestra convivencia social, en especial la familiar, por los problemas que genera la incomprensión de cambios en la forma de ser o de sentir de quienes nos rodean con el transcurso del tiempo.

LA VARIACIÓN, CONDICIÓN DE VIDALa diversidad, los problemas de género, de preferencias sexuales, etcétera, serían afrontados de mejor manera si tuviéramos la garantía de que, como una especie de categoría kantiana, tuviéramos en mente que la “variación” es condición de vida; como elemento cultural que permita la comprensión de lo distinto y la mayor posibilidad para optar por el respeto como la forma más duradera y sensata de establecer relaciones con los demás.

Para enfrentar el problema de la variación, los seres humanos contamos con la Ciencia Estadística, “La ciencia que trata el problema de la variación”, de acuerdo con Donald B. Owen (1922-1991), que podría considerarse como rama o prima hermana de la Matemática, pero lamentablemente en el ámbito educativo hemos privile-giado de ella solamente los aspectos instrumentales, dejando de lado sus consideraciones filosóficas, en espe-cial lo relativo al problema de la variación, que podrían no solamente enriquecer nuestra vida cotidiana, sino al propio tiempo aprovechar de mejor y más extensa manera sus aportes en todo el contexto social y económico.

PLANTEAMIENTOS METODOLÓGICOSPara enfrentar el problema de la variación, la Ciencia Estadística ha estado desarrollando, durante años, diferentes planteamientos metodológicos, pero destaca entre ellos uno por su sencillez y amplísima aplicabilidad, desarrollado por Walter A. Shewhart (1891-1967), conocido como Diagramas de Control. A través de ellos, podemos darles seguimiento a fenómenos de interés de diferentes naturalezas, que nos permiten un mayor conocimiento de su esencia y la consecuente mayor posibilidad de tener dominio sobre ellos.

Un niño de primaria podría ser instruido en el uso de los Diagramas de Control y en la forma de construirlos, pues para ello se requiere solamente de las operaciones aritméticas fundamentales. Luego, entonces, los Diagramas de Control resultan una forma especialmente deseable de aplicación y demostración para los alumnos de que lo que aprenden de matemáticas o aritmética tiene un claro sentido y utilidad para comprender el mundo en que viven.

Los beneficios de este pequeño cambio en los programas de enseñanza de las matemáticas de primaria y secundaria se verían en todos los órdenes de nuestra vida social. ¿Podríamos intentarlo ya?, ¿o esperamos a que lo hagan primero en los países desarrollados?

En la enseñanza-aprendizaje, el motor de ese proceso son los estudiantes. La formación humanística de millones de

infantes y jóvenes es una tarea que se auxilia de las ciencias exactas y socia-les, para ampliar los conocimientos de forma pertinente y, para que, a través del uso de la Matemática y la Lógica, los alumnos desarrollen métodos de razonamiento que no sólo los hagan productivos en un sistema de mercado feroz, sino fundamentalmente les permitan afrontar la vida con la ética y valores emanados de la propia filosofía de la ciencia. Educar es, ante todo, un proceso complejo que en México enfrenta grandes y nuevos retos.

La transformación del trabajo cien-tífico y tecnológico, y el arribo de las llamadas sociedades del conocimiento, trastocan hasta las políticas de modernización del Estado y, con ello, el sistema educati-vo completo está sujeto a reformas generales, donde la enseñanza de las Matemáticas en particular adquiere gran relevancia.

COMPETENCIAS ACADÉMICAS BÁSICAS Física, Química, Biología, Matemáticas pueden activar el desarrollo de las denominadas Competencias Académicas Básicas (CAB) y, propiciar que los estudiantes tengan habilidades creativas, con amplia capacidad para el análisis. En las naciones altamente desarrolladas en materia educativa, las matemáticas son uno de los temas fundamentales para activar en las

disciplina fundamental para el desarrolloDoctora Patricia Liliana Cerda PérezCoordinadora del Centro de Investigaciones FCC / [email protected]

Matemáticas,

Cursó el Doctorado en Ciencias de la Comunicación, con Especialidad en Periodismo, en la Universidad

Complutense de Madrid, España. Obtuvo el Premio Nacional de Periodismo, carrera en la que se ha

desempeñado durante más de dos décadas.

jóvenes generaciones el deseo de analizar, investigar y hacer ciencia pura o aplicada, que a la postre deriva en el enriquecimiento intelectual y económico de sus propias sociedades. Desafortunadamente, en México, du-rante generaciones completas, las Matemáticas han tenido un clima adverso. En torno a esta ciencia se creó una especie de rechazo, al difundirse la idea equivocada de que el estudio y aprobación de tal disciplina requiere de personas con dotes especiales o inteligencias superiores, por lo cual se cree aún que son pocas las personas con tales capacidades. La realidad es que las Matemáticas son, sobre todo, un lenguaje que nos permite razonar, estudiar, leer, comunicar y representar de forma

concreta, conceptos, hechos o fenómenos de forma cuantitativa.

MATEMÁTICAS, PARTE DE LA CULTURA COTIDIANAEs ésta una ciencia que debe formar parte de nuestra cultura cotidiana, porque sólo así podremos entender todos los pormenores de una so-ciedad tecnológica y, con ello, tener ciudadanos bien informados, con capacidad para comunicarse con el lenguaje de los números que no siem-pre es frío o distante porque, como las matemáticas implican la capacidad de razonamiento, la profundización en la resolución de problemas permite tam-bién soluciones enfocadas en plan-teamientos netamente humanistas.

Por ello, la enseñanza de la Ciencia Matemática tiene un papel fundamental en cada uno de los niveles que conforman el sistema educativo mexicano. Formar un capital humano con personas que tengan acceso no a una formación rígida, sino por jóvenes hombres y mujeres que tengan habilidades analíticas y creativas sustentadas en un razonamiento ético que nos permita crecer como nación, es el reto al que estamos llamados todos.

Patricia Liliana Cerda Pérez

Con el uso de las Matemáticas y la Lógica, los alumnos desarrollan métodos de razonamiento indispensables para su formación.

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renglón base, los determinantes de 2 x 2 quedan resueltos al revés; abajo del renglón base los determinantes de 2 x 2 quedan resueltos en forma normal.•Observación No. 3 = Si empezamos el esquema con números enteros, se deben mantener los números enteros todo el procedimiento; solamente hasta el final, cuando leemos los resultados, es cuando aparecen números quebrados.•Observación No. 4 = El renglón base, donde está el pivote, pasa al siguiente paso idéntico; y la columna base, donde está el pivote, pasa al siguiente paso, haciéndose “ceros” con excepción del pivote.






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12 DE DICIEMBREContinué pensando en la manera de proceder de Carmen, como una falla en la intuición matemática, que le orienta de manera errónea en la búsqueda de información y en la solución de problemas matemáticos.




























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El problema de los bajos resul-tados en la prueba PISA es que nuestros estudiantes no aplican

a la vida cotidiana lo aprendido en la escuela. Creo que una solución a este problema es el empleo, en la curricula escolar, de la teoría cognitiva del desarrollo sociocultural de Vigotsky y seguidores.

Algunos investigadores sostienen que la gente se apoya en sus creencias para resolver problemas fuera del ambiente escolar; por mi parte, afirmo que es la intuición la que se emplea en tal caso e identificamos esta función con la del lenguaje interno.

Lo importante de lo anterior es que Vygotsky y seguidores nos comunican cómo podemos usar el lenguaje y las herramientas como mediadores para el aprendizaje y así contribuir al desarrollo de los alumnos. Esta idea ha estado presente en mi pensamiento en el transcurso de los pasados días. Intentaré dar cuenta del origen de la misma:

5 DE DICIEMBREEn un lugar del sistema educativo nuevoleonés, de cuyo nombre no quiero acordarme... me correspondió estar al frente de una clase de Matemáticas. Al inicio apliqué un examen diagnóstico, y encontré que la mayoría de los alumnos, 15 de 20, no dominaban las matemáticas básicas. Me sentí como un maestro rural con un grupo multigrado. Intenté hacer el curso

ES FACTIBLE DESARROLLARLA INTUICIÓN MATEMÁTICAEN LOS ESTUDIANTES?

Maestro Astolfo Maldonado PérezUniversidad Pedagógica [email protected]

lo más accesible posible, por lo que llevamos un texto que considera la construcción del conocimiento mate-mático.

En una de las actividades pedí al grupo que revisara el tema de razones y proporciones. Carmen respondió correctamente a un problema del segundo examen parcial. Al revisar su procedimiento, observé que tenía errores conceptuales con relación a la solución de ecuaciones. Cuando le pedí que me explicara su manera de proceder, lo hizo mencionando un algoritmo que había mecanizado. En

discusión grupal, nos dimos cuenta que el fundamento del algoritmo se relacionaba con la suma de tres o más fracciones igualadas a la unidad. Ella extrapoló este procedimiento a la solución de problemas que implican la igualdad de dos razones.

Terminamos el periodo escolar de invierno. No sé qué hará un maestro que se encuentra al frente de un grupo multigrado en una escuela rural, ¿Reprueba a sus alumnos en la creencia de que esto los hará ser mejores? ¿Registra su desarrollo cognitivo en un portafolios y recomienda qué hacer al próximo maestro? No sé, pero en mi caso, comuniqué a los directivos de la institución lo que estaba pasando.

Tiempo después, Dubet1 hizo que yo dudara. ¿No estaré añorando la escuela pasada y quiera verla como el templo donde se enseña la ciencia y la razón? En la escuela actual, el problema no es de certificados; es de responsabilidad entre estudiantes, maestros, padres y sociedad para decidir hacia donde va la formación de los futuros ciudadanos.

Como maestro, invité a las autoridades y al grupo al diálogo. Hubo respuesta de los estudiantes, pero no de los directivos. Los estudiantes conti-nuaron haciendo esfuerzos honestos por superarse. Aunque no logramos concretar una autoevaluación de la institución, todos felices nos fuimos de vacaciones.

Viven en nosotros innumerables otros

Fernando Pessoa

de maestría exceden, en amplitud y profundidad, a los presentes en el curriculum de la educación matemática básica. No obstante, hay acuerdo entre investigadores, pedagogos y especialistas en educación, sobre la necesidad de que el docente no restrinja su conocimiento a los contenidos que aparecen en el curriculum del nivel educativo que él imparte.

En los programas de cada asignatura se establecerá un balance entre los contenidos y las necesidades específicas que se plantean en cada nivel educativo y las que surgen

Tabla 1. Ciclos, fases, unidades de aprendizajey su organización dentro de la estructura académica del programa de maestría.

sobre los eventos de enseñanza y de aprendizaje que suceden en la clase de matemáticas; pero en cada una de las modalidades se analizarán los temas de estudio a partir de enfoques diferenciados que responden a los problemas y especificidades de cada nivel educativo. En el Esquema 1, esta parte del programa de estudios se bosqueja por medio de la clase magistral y el trabajo de grupo; puede verse también que estas actividades se complementan con sesiones de estudio dirigido, de trabajo en grupos y con una comunicación en línea.Los temas matemáticos que integran el plan de estudios del programa

estudios. Los dos tipos de unidades de aprendizaje se impartirán por parejas, en forma concomitante, a lo largo de nueve ciclos escolares de tres y medio meses de duración, de tal forma que el programa completo pueda cubrirse en tres años2. En la Tabla 1 se encuentra resumida esta información, así como los nombres y la secuenciación de las asignaturas.

Como se mencionó, el programa de maestría tiene tres modalidades: preescolar, primaria y secundaria. En las tres se estudiarán los mismos tópicos matemáticos y se reflexionará con una visión interdisciplinaria

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la actividad de matematización. La enseñanza tradicional (estructuralista) de las Matemáticas ha presentado a esta ciencia ya como un sistema conceptual lógicamente estructurado o como un lenguaje formal. Se ha supuesto que los estudiantes entienden un concepto con sólo darles su definición en términos de otros conceptos previamente definidos; que los estudiantes comprenden un resultado al presentarles su demostración (su deducción lógica a partir de otros resultados previamente demostrados), y que tal entendimiento y tal comprensión les permitirán aplicar las Matemáticas.























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áticasla actividad de matematización. La enseñanza tradicional (estructuralista) de las Matemáticas ha presentado a esta ciencia ya como un sistema conceptual lógicamente estructurado o como un lenguaje formal. Se ha supuesto que los estudiantes entienden un concepto con sólo darles su definición en términos de otros conceptos previamente definidos; que los estudiantes comprenden un resultado al presentarles su demostración (su deducción lógica a partir de otros resultados previamente demostrados), y que tal entendimiento y tal comprensión les permitirán aplicar las Matemáticas.























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nivel básico de ingeniería: Remediales, Matemáticas I, II y III, conocidos como Precálculo; Cálculo Diferencial e Integral y el Cálculo de Varias Variables. De hecho, se cuenta con los libros de texto editados para los primeros dos cursos.

Esta nueva propuesta resulta ser una alternativa diferente a la enseñanza tradicional del Cálculo, entendiendo a esta última como la dictada por libros de texto de autores norteamericanos (Stewart, Leithold, Zill, Larson and Hosteller, Thomas and Finney, etcétera). La enseñanza tradicional ha estado presente en nuestras universidades y las del continente americano por más de 60 años. Por su parte, basada fuertemente en la investigación en Matemática Educativa, nuestra propuesta pre-senta una visión innovadora y útil de las ideas fundamentales del Cálculo, ideas que se encuentran presentes en las formas matemáticas de accionar en ingeniería y que fueron literalmente recuperadas por nuestras investigaciones de corte histórico sobre el origen y desarrollo de los conceptos del Cálculo.

Comparar los resultados que se obtienen con una propuesta inno-vadora con respecto a los de una presentación tradicional es también un problema de investigación, el cual resulta indispensable de considerar cuando uno aspira legítimamente a que sea tomada en cuenta en el plan curricular de otras escuelas o universidades. Sabíamos que nuestra propuesta no podía ser evaluada a través de exámenes estandarizados, los cuales, válgase así decirlo, tradicionalmente miden lo que es enseñado tradicionalmente.

Si por una parte estamos ciertos de que los estudiantes que han aprobado los cursos de nuestra propuesta muy probablemente no podrían responder al reactivo tradicional de determinar si una discontinuidad es removible o esencial; sin embargo, por otra parte también es cierto que un estudiante formado con la enseñanza tradicional difícilmente podría construir el modelo matemático adecuado con el que se pueda predecir el valor de una

magnitud (física, biológica, o social) que está cambiando con un cierto ritmo.

Una evaluación justa y además indispensable de las propuestas de cálculo debe considerar necesariamen-te el objetivo que persiguen y por el que fueron incluidas en la enseñanza de la ingeniería: dotar al estudiante de las destrezas, habilidades y competencias matemáticas, necesarias para comprender a profundidad los distintos fenómenos estudiados en las materias propias de la ingeniería. Con esa mentalidad, nos propusimos a su tiempo llevar a cabo una evaluación que resultó necesariamente ser una evaluación no típica.

UNA EVALUACIÓN NO TÍPICA, PERO NECESARIA Para constatar que nuestros cursos ya rediseñados logran que el estudiante esté mejor preparado para comprender los procesos ma-temáticos que conducen a obtener resultados importantes de sus cursos avanzados de ingeniería, llevamos a cabo la investigación que enseguida describimos.

Escogimos un tópico de ingeniería que requiriera un alto grado de matematización para su desarrollo, y que estuviera presente en por lo menos alguna materia de una buena cantidad de carreras de ingeniería; el tópico elegido fue la Ecuación de Continuidad. Este tópico es

práctica de la “realidad”, aunque todo tipo de seres metafísicos existen justo más allá de esa frontera. En este sentido, los demás seres no “existen” para el personaje porque no puede verlos.

Este tipo de conciencia o percepción, comúnmente conocida como “ojos que no ven, corazón que no siente”, es una parte natural del desarrollo humano. Por ejemplo, si Ud. muestra a un bebé de seis meses su juguete favorito, el bebé responde a este directamente. Mientras el bebé está experimentando directamente el juguete, este existe en la conciencia del tiempo y espacio real del bebé. Sin embargo, si oculta el mismo juguete detrás de una cobija u otro objeto mientras el bebé lo observa, pareciera que el juguete simplemente desaparece o deja de existir para el bebé. Conforme la conciencia del bebé se desarrolle, será capaz de llevar la percepción de la existencia del juguete en el tiempo y espacio reales a un espacio virtual: sin tener que verificar con el mundo exterior, usando una construcción cognitiva, el bebé puede saber que el juguete sigue existiendo aunque ya no lo puede ver. Este tipo de conciencia es denominado “permanencia de objetos”. Para el personaje que camina por la calle rodeada de monstruos, lo ordinario y mundano es parte de su permanencia de objetos, mientras que todo lo demás permanece fuera de ella (sin embargo “cerca”).

El concepto de permanencia de objetos, hace notar Keith Raniere, es un componente importante de la percepción humana. Por ejemplo, si está Ud. leyendo esto en papel, puede tocar el papel; y si lo está leyendo del Internet, puede tocar su pantalla. Cuando toca Ud. el papel o la pantalla, Ud. no conoce la naturaleza del papel o la pantalla per se, simplemente conoce al papel o a la pantalla por sus efectos (en este caso, las señales que su sentido del tacto registró a través de su sistema nervioso y los procesos cognitivos consecuentes que le permitieron identificar la sensación como “papel” o “pantalla): Ud. conoce al papel o la pantalla por los efectos que cada uno produce en su percepción. Esto es igual con cualquier cosa que percibamos que existe en el mundo exterior; sólo percibimos que existe debido a sus efectos, aunque puede ser que jamás conozcamos completamente la naturaleza de la cosa misma. Si esto es cierto, hay, por supuesto, distintos niveles

de qué tanto podemos percibir los efectos del mundo exterior.

Por ejemplo, en la película del 2004 ¿¡Y tú qué sabes!? (What the Bleep do We Know!?), se presenta la hipótesis de que los indígenas en América no fueron inicialmente capaces de percibir los primeros navíos europeos durante el descubrimiento del Nuevo Mundo. Los navíos, muy similarmente al juguete del bebé escondido detrás de una cobija, simplemente no existían en el universo de los nativos. Se cree que en cierto momento, ya sea a través del hábito y / o por una “colisión con la realidad” directa, los indígenas fueron capaces de percibir los navíos automáticamente. No

podemos percibir cosa alguna que esté fuera de nuestras posibilidades perceptivas / cognitivas. Esto trae a colación dos cuestiones urgentes: “¿Qué conforma la frontera de nuestros límites de percepción?” y “¿Hasta qué grado es la cognición un factor en la formación de estos límites?” Lo que es más, si asumimos que la frontera final entre los humanos y el mundo exterior es nuestra propia percepción, ¿podemos llegar a conocer nuestra percepción o sólo conocemos sus efectos? Similarmente, si la única manera de conocer nuestra percepción es percibiéndola con nuestra percepción, ¿puede llegar a estar completo este proceso?

He ahí la matemática.La demostración del Teorema de la Incompletez de Gödel es tan simple, y tan huidiza, que es casi vergonzoso relatarla. Su procedimiento básico es como sigue:

1. Alguien le presenta a Gödel una MVU, una máquina que se supone es la Máquina de la Verdad Universal, capaz de contestar correctamente cualquier pregunta.

2. Gödel pide el programa y diseño de los circuitos de la MVU. El programa puede ser complejo, pero tiene que ser finito. Llamemos al programa P(MVU), Programa de la Máquina de la Verdad Universal.

3. Con una leve sonrisa, Gödel escribe el siguiente enunciado: “La máquina construida en base al programa P(MVU) jamás dirá que este enunciado es verdad.” Llamemos a este enunciado G por Gödel. Note que G equivale a: “MVU jamás dirá que G es verdad.”.

4. Ahora Gödel ríe su risa aguda y le pregunta a la MVU si G es verdad o no.

5. Si la MVU dice que G es verdad, entonces “MVU jamás dirá que G es verdad” es falso. Si “MVU jamás dirá que G es verdad” es falso, entonces G es falso (dado que G = “MVU jamás dirá que G es verdad”). Así que si MVU dice que G es verdad, entonces G es de hecho falso y la MVU ha hecho una declaración falsa. Así que la MVU jamás dirá que G es verdad, ya que la MVU sólo hace declaraciones verdaderas.

6. Hemos establecido que la MVU jamás dirá que G es verdad. Así que “MVU jamás dirá que G es verdad” es de hecho un enunciado verdadero. Así que G es verdadero (ya que G = “MVU jamás dirá que G es verdad”).

7. “Sé de una verdad que la MVU jamás podrá decir,” dice Gödel. “Sé que G es verdad. La MVU no es verdaderamente universal.”

Piénselo – poco a poco le tomará cariño...Con su gran genio matemático y lógico, Gödel fue capaz de encontrar una manera (para cualquier P(MVU)) de escribir una compleja ecuación polinomial que tiene solución sí y sólo sí G es verdad. Así que G no es de hecho un enunciado vago o carente de matemática. ¡G es un problema matemático específico del cual sabemos la respuesta, aunque la MVU no la sabe! Así que la MVU no representa, y no puede representar, la mejor y definitiva teoría de la matemática....

Aunque este teorema puede ser declarado y comprobado de manera rigurosamente matemática, lo que parece decir es que el pensamiento racional jamás puede penetrar la verdad final y última... Pero paradójicamente, entender la demostración de Gödel es encontrar una especie de liberación. Para muchos estudiantes de la lógica, el finalmente romper la barrera y entender plenamente el Teorema de la Incompletez es prácticamente una experiencia de conversión. Esto es parte un subproducto del potente misterio que trae consigo el nombre de Gödel, pero más profundamente, entender la naturaleza esencialmente laberíntica de el castillo es, de cierto modo, liberarse de él.

– Randy Rucker, El Infinito y la Mente

Uno de los más aterrorizantes momentos en mi vida académica ocurrió al final de mi segundo semestre en la universidad: descubrí que había reprobado cálculo. Fue la primera clase que reprobé en mi vida. Recuerdo llorar ese día como si alguien (digamos mi inteligencia) se hubiera muerto. Cuando le relaté esta experiencia a mi mentor, él respondió de una manera que era la que yo menos esperaba (de nuevo aquí mi inteligencia me falló).

La mayoría de la gente, dijo, cree que no son buenos para la matemática porque han experimentado dificultades con al materia en la escuela. Por ejemplo, muchos piensan que la matemática es “aritmética”: contar cosas, relacionar unas cosas con otras, el arte de calcular. Si una persona se siente incompetente en esta área y dice, “Reprobé matemáticas en la primaria, soy ‘malo’ para la matemática,” un matemático clarificaría: “Puede que no sea Ud. ‘malo’ para la matemática; quizás sólo le falte habilidad aritmética.”. Similarmente, muchas personas tienden a pensar que la matemática es “álgebra”, “cálculo”, etc. Sin embargo, para el matemático, aritmética, álgebra, cálculo y materias similares no es “la matemática” en sí: son sólo efectos de la matemática.

La “verdadera matemática”, según Keith Raniere, “es la esencia del estudio relacional”. Si Ud. considera al cubo Rubik, un rompecabezas que muchos de nosotros hemos tenido la oportunidad de experimentar, la verdadera matemática es

Los demonios de la matemática

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No existe una visión única universalmente aceptada, sobre cuál es la mejor forma de utilizar las calculadoras y las computadoras en el aula. Es más, las preguntas adecuadas sobre tecnología no deberían ser sobre temas amplios tales como qué hardware o software utilizar, sino desde cómo cada uno funciona en un determinado currículo hasta los efectos que tienen en la forma de plantear problemas particulares a los estudiantes.

USO DE COMPUTADORAS Y CALCULADORASEnseñar matemáticas mediante la utilización de computadoras o calculadoras conlleva muchos cambios en la organización del trabajo. Éstos se reflejan principalmente en el papel que desempeña el docente en este contexto, en la organización del trabajo de sus alumnos y en la manera de evaluar su rendimiento.

Las nuevas tecnologías requieren otro tipo de acercamiento a la enseñanza, por lo que el papel del maestro cambia radicalmente cuando la clase de matemáticas se desarrolla

con tecnología apoyada en hojas de trabajo. Con esta combinación -tecnología y hojas de trabajo- el profesor tiene la posibilidad de mediar el aprendizaje de sus alumnos de tres formas distintas mediante las hojas de trabajo que les proporciona.

•Apoyando y guiando a los estudiantes durante la resolución de las hojas de trabajo en el salón de clase. •En discusiones del grupo completo. El profesor no debe convertirse en el centro de la discusión; debe procurar que los estudiantes se apropien de ella.•Los alumnos deben presentar sus opiniones e ideas a los demás y el profesor sólo debe coordinar esta actividad.

Propicia que sus alumnos desarrollen un espíritu abierto a la investigación. Da libertad a sus estudiantes de que exploren distintas maneras de resolver un problema, viendo sus distintas representaciones, como también la utilización de distintas herramientas.

1Bosch, Marianna, El estudio de campos de problemas en secundaria, conferencia (versión preliminar) en el Departamento de Matemática y Computación de la Universidad de La Rioja, España, 1997.2 SEIEM-Seminario de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática: Investigación en Tecnologías de la Información y Comunicación en Educación Matemática. Ponencias: 1. Atrapados en la explosión del uso de las tecnologías de la información y comunicación, a cargo de la Doctora Olimpia Figueras Mourut de Montpellier. Réplica del doctor Ángel Martínez Recio disponible en línea en: http://www.ugr.es/local/seiemSEP Geometría Dinámica, Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología, disponible en línea http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/recdidacticos/geometriadinamica.pdf Benítez Mojica, David, ¿Por qué usar tecnología computacional en el aula de matemáticas.

Referencias

Es licenciada en Matemáticas, y maestra en Enseñanza de las Ciencias, con Especialidad en Matemáticas, por la UANL. Es también maestra de tiempo completo en la Facultad de Ciencias

Físico Matemáticas, donde imparte Matemáticas I, Matemáticas II, Matemáticas Discretas, Ecuaciones

Diferenciales. Forma parte del cuerpo académico Matemática Educativa, de la misma facultad.

Lilia Guadalupe García Figueroa

Enseñar matemáticas mediante la utilización de computadoras o calculadoras conlleva muchos cambios en la organización del trabajo.

Según Keith Raniere, “Saber es poder predecir.”. Poder predecir, añade, implica que algo es cuantificable y calculable. Sin embargo, si algo es calculable, ¿significa necesariamente que somos capaces de calcularlo? Esta cuestión requeriría que nuestras ciencias fueran capaces de calcular cualquier cosa calculable y, por supuesto, este no es el caso. Por ejemplo, mi mentor con frecuencia cita el ejemplo de un vaso con agua. El agua en el vaso, sin importar la posición del vaso sobre una superficie dada, siempre encuentra su nivel. De cierta forma, el agua “calcula” su posición a nivel y los caminos de todas sus moléculas. Para el observador casual, esto puede parecer sentido común; pero para el matemático, es casi un milagro. Actualmente, nuestras ciencias no son capaces de entender, calcular, y predecir exactamente cómo se comportarán las moléculas en el vaso de agua dado el gran número de variantes. Observamos al agua encontrar su nivel consistentemente; sin embargo, no entendemos plenamente porqué lo hace en un sentido matemático. Es, por supuesto, posible que algún día nuestra matemática logre entender esto.

Esta distinción ya empieza a definir dos aspectos de la matemática humana: la matemática actual (que es de hecho cuantificable y calculable al día de hoy), y aquellas cosas que todavía no están dentro de nuestro sistema humano de comprensión matemática, sin embargo no están del todo fuera. (Decir que nuestra matemática actual incluye a toda la matemática humana no sólo es presuntuoso, sino bastante pesimista: equivale a decir que ya sabemos todo lo que hay que saber; no hay nada más por aprender.) Considere la ecuación diofántica: a2 + b2 = c2. Se ha demostrado que la ecuación puede ser resuelta de esta forma dados ciertos números enteros. Por ejemplo, la solución con números enteros de 3, 4, y 5: si a = 3 (3 × 3, que es 9), b = 4 (4 × 4, que es 16), entonces c = 5 (5 × 5, que es 25; también 9 + 16 = 25). A principios del siglo XVII, un matemático francés clamó que podía probar que la ecuación no se podía resolver si el 2 (la potencia) era reemplazado con cualquier número entero positivo mayor a 2. Sin embargo, la declaración del matemático estaba limitada a la siguiente nota escrita al margen de un libro: “Es imposible separar una tercera potencia en dos terceras potencias, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general,

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pero, ¿y el empleo del razonamiento lógico aplicado a la vida cotidiana? Y es aquí en donde la didáctica de esta ciencia flaquea. Pero, ¿que se puede hacer al respecto? ¿Existen en la actualidad herramientas que podamos utilizar?

Habrá que responder que, actualmente, David H. Jonassen desarrolla los conceptos; mind tools, que son básicamente herramientas cognitivas basadas en la computadora y learning environments, que son ambientes de aprendizaje adaptados para facilitar el pensamiento critico y el aprendizaje de nivel elevado. De acuerdo con Jonassen, ejemplos de herramientas cognitivas son: •Bases de datos.•Redes semánticas.•Sistemas expertos, calculadoras avanzadas.•Multimedia e hipermedia basada en simulaciones, etcétera.

Jonassen establece que la función de las herramientas cognitivas es extender las funciones cognitivas del aprendiz durante el proceso de aprendizaje, y comprometerlo en la construcción de su propio conocimiento. Además, proveen el andamiaje necesario para diferentes formas de razonamiento acerca de algún contenido. Razonamiento: precisamente la habilidad que ejercemos al resolver problemas. Pero hay de problemas a problemas. Definitivamente, una suma, o la solución de una derivada o una integral son un ejemplo de la solución de un problema, pero ¿que tan retador puede ser esto? Si es un hecho que en la actualidad existen calculadoras y programas computacionales que pueden hacer esto, y si reconocemos que una calculadora no puede razonar, entonces nos daremos cuenta del problema acerca de una didáctica de las matemáticas que promueva únicamente la solución de este tipo de problemas.

ESTRATEGIA DIDÁCTICAEn la actualidad, los problemas ricos en contexto son empleados como estrategia didáctica para promover el razonamiento complejo, y es que

en la vida profesional es donde nos enfrentamos a este tipo de problemas, cuya principal característica es que no tienen una solución única, ya que en su planteamiento no están com-pletamente determinados. Es decir, se necesita realizar consideraciones al tratar de obtener una de las posibles soluciones, y es aquí donde se promueve el razonamiento.

Es también un hecho que la tecnolo-gía seguirá su avance, y que cada vez tendremos herramientas cognitivas más capaces, que podrán emitir una respuesta cuando se trate de encontrar la solución de situaciones en que se requiera realizar operaciones, ya sean aritméticas, algebraicas, matriciales, vectoriales, o que involucren el derivar e integrar funciones o la solución de ecuaciones diferenciales.

RAZONAMIENTO LÓGICOEntonces, los humanos que usamos o que usaremos las matemáticas, no debemos seguir ejercitando únicamente estas habilidades, ya que las calculadoras y las computadoras lo

hacen y lo harán mejor. Por lo tanto, queda claro adónde se debe enfocar la didáctica de las matemáticas: nosotros debemos ejercitar el razonamiento lógico y producir las funciones a las cuales someteremos diferentes operaciones para lograr nuestros propósitos.

En otras palabras, debemos ejerci-tarnos en el empleo de la herramienta matemática como una manera de representar las situaciones que cotidianamente vivimos, con el objeto de modelarlas y encontrar alternativas particulares en la solu-ción o incluso soluciones a problemas no planteados aún.

Este panorama podría promover que cada vez más estudiantes optarán por carreras en donde la promesa fuera el conocer y dominar un lenguaje y un conjunto de operadores con los que se puede abstraer al mundo que nos rodea y mediante el cual es posible plasmar nuestro razonamiento y encontrar soluciones optimas, innovadoras y emocionantes.

Héctor Antonio González FloresEs licenciado en Física, egresado de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de

la UANL; tiene Maestría por la misma institución en Enseñanza de las Ciencias, y cuenta también con otra Maestría en Ciencias de la Educación, con Especialidad en la

Aplicación de la Computadora, por la UDEM.

David H. Jonassen,-Chad Carr,-Hsiu-Ping Yueh. (1998). Computers as Mindtools for Engaging Learners in Critical Thinking. TechTrends, v43 n2 p24-32.

Rupali Akerkar & Rajendra Akerkar. Strategies for Future Educations in Methematics. Technomathematics Research Foundation, Kolhapur. Kathleen Nolan. (2204). The Future Is Now: The Importance of Modelling Effective Technology Integration in Mathematics Education Classes. Teacher Education.

University of Minnesota. Physics Education Research and Development.http://groups.physics.umn.edu/physed/index.html

ReferenciasPor Carlos Joloy

Atendiendo la reforma curri-cular que se lleva a cabo en el subsistema nacional de

enseñanza, se realizó en Nuevo León el Curso Nacional de Multiplicadores de Ejes de la Reforma, en la semana del 25 al 29 del pasado mes de junio.

Durante las actividades participaron más de 80 personas provenientes de todo el Estado de Nuevo León, entre ellos directores, coordinadores

académicos y maestros de los Colegios de Estudios Científicos y Tecnológicos (CECyTE); de los Centros de Bachillerato de Educación Técnico Agropecuaria (CEBETAS), y planteles de la Dirección General de Educación Tecnológica Industrial (DGETI).

Durante la ceremonia de clausura de los trabajos del curso, Ismael Vidales Delgado, en representación de los planteles CECyTE de la entidad, aseguró que los compromisos y

metas marcados al inicio de estas actividades se completaron con éxito y cabalmente, gracias a la participación de maestros dedicados al avance no sólo en el curriculum, sino también en el aspecto de formación humana de los alumnos que actualmente estudian este nivel.

“En Nuevo León, los subsistemas de CEBETA, DGETI y CECyTE lo hacen de una manera puntual y con una gran solidaridad y un gran afecto;

Consolidan reforma curricular en el Bachillerato Tecnológico

De izquierda a derecha: Manuel Ornelas, Orel Dario García e Ismael Vidales Delgado.

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Las Matemáticas son definiti-vamente una de las ciencias más importantes del fruto del

razonamiento humano, tan antiguas como las culturas china, egipcia, o griega. Concentración del pensamiento abstracto y el razonamiento lógico -precisamente dos de los insumos fundamentales para el pensamiento creativo- constituyen el lenguaje en el que se encuentra descrito y mediante el cual se puede operar gran parte del conocimiento humano. Una de sus ramas: el cálculo, es la base fundamental del pensamiento físico y, en nuestro tiempo, del pensamiento ingenieríl o tecnológico.

Se trata de un conocimiento funda-mental que diferencia la potencia de los profesionistas actuales, y preci-samente en este punto es donde adquiere su relevancia en los ámbitos económico, político y social. Podríamos diferenciar a los humanos como los

que emplean las matemáticas en su quehacer cotidiano y los que no.

CAPACIDAD DE EMPLEAR EL PENSAMIENTO ABSTRACTOEn la actualidad, las entendemos como la capacidad de emplear el pensamien-to abstracto y poder plasmar el fruto de nuestro razonamiento lógico.

Es por esto que preguntamos: ¿de qué manera ponemos en contacto a nuestros niños y jóvenes con las matemáticas? Esto adquiere una tremenda relevancia. De hecho, existen profesionistas que eligieron su carrera porque ésta no tenía matemáticas.

Esto es un grave error, ya que, siendo las matemáticas el constructor teó-rico que nos permite plasmar el fruto de nuestro razonamiento lógico, no emplearlas podría ser reconocer que la lógica de nuestras conclusiones no es importante.

Ahí está la Lógica Difusa, según la cual, 1 + 1 no es exactamente 2, sino, más o menos 2. En la actualidad, esta rama de las matemáticas es empleada en el campo de la inteligencia artificial, y las llamadas redes neuronales. ¿Qué los psicólogos y los neurólogos no deberían saber de esto?

Por otra parte, en la didáctica de las matemáticas, al parecer se ha venido resaltando lo que se refiere al pensamiento abstracto, pero de manera exagerada, y esto ha redunda-do en una didáctica que promueve la mecanización de las operaciones que tienen que ver con las matemáticas.

EMPLEO DEL RAZONAMIENTO LÓGICOPorque en las matemáticas existen una infinidad de álgebras, con sus correspondientes operadores. Y, claro, hay que ser hábil en el manejo de esto,

El futuro de la enseñanza de las

MatemáticasMaestro Héctor Antonio González FloresDepartamento de Física y Matemáticas / [email protected]

nos toca atender a un segmento de la población de lo más humilde, de lo más necesitado, y por eso yo alabo el trabajo que hicieron las formadoras, así como las compañeras y compañeros de Tamaulipas con un trabajo impecable”, manifestó.Vidales Delgado destacó también la estrecha participación que hubo entre los formadores y maestros en general de los estados de Nuevo León y Tamaulipas y señaló que las autoridades federales pueden estar confiadas de que en ambos estados existe una hermanad muy sana que ayudará a que se cumplan objetivos futuros en este tema.

DIVULGACIÓN DE LA REFORMAPor su parte, Manuel Ornelas, coor-dinador del curso, explicó de manera breve el marco histórico en el que se ha desarrollado la reforma curricular a partir de su gestación en el periodo de 2001 a 2004. Destacó también el gran trabajo que se realizó en los años de 2004 a 2006, periodo en el cual se dio el proceso de inducción y divulgación de los ejes de la reforma del bachillerato tecnológico.

Agregó que este año empezó otra importante etapa para la reforma, que se buscará consolidarla mediante trabajos y actividades como los que en esta ocasión se llevaron a cabo en el Estado de Nuevo León. “Empezamos un periodo enmarcado del 2007 al 2012, en donde a través de la propia voz del señor subsecretario, nos dice: que la reforma no se cambia; al contrario, la reforma se consolida, y éste es el periodo dedicado a dicha consolidación”.

TRABAJO DE CONJUNTOPor último, tomó la palabra Orel Dario García, quien, a nombre de María de la Luz Paniagua, representante en Nuevo León de la Subsecretaría de Educación Media Superior, mencionó que luego de atravesar tiempos difíciles que se presentaron durante la gestación de la reforma, ahora ya existe un cambio en el cual los subsistemas están trabajando unidos, con el compromiso de hacer llegar la reforma curricular a toda la educación media superior con lineamientos generales y no con lineamientos exclusivos para cada uno

de los subsistemas, fenómeno que, dijo, se presentó anteriormente.

Agregó que a pesar del notable avance que se ha registrado, aún faltan muchos vacios que cubrir, y subrayó que uno de los mayores problemas y principal reto que existe es aterrizar la reforma en el aula.

“Hemos estado trabajando por tres años con un grupo bastante numeroso pero no lo suficiente; se ha comprometido con la reforma como lo han hecho ustedes, pero lo gran mayoría de los maestros todavía no aterrizan la reforma dentro de las aulas, y es ahí donde está nuestro compromiso. La reforma podemos hacerla y elevarla hasta el punto donde ustedes quieran; pero si esa reforma no se aterriza en el aula, nunca será una reforma, sino sólo un buen y sano intento de cambiar las cosas”.

Por último, Orel Dario García advirtió que además de los retos que supone la aplicación de la reforma, también existen otros problemas que se deben atender al mismo tiempo, y consideró que uno de los más importantes es poner especial atención al aspecto formativo de la educación y a estrechar

los lazos de unión entre los alumnos y maestros.

“Independientemente de la reforma debemos poner mucha atención; estamos descuidando el aspecto formativo de los alumnos; debemos enfocar muy bien nuestra actividad hacia lo que es la tutoría de grupos y a fortalecer ese nexo entre los alumnos y el maestro; todo eso, junto con la reforma, nos dará a largo plazo el beneficio que todos esperamos”.

Durante la clausura del curso se entre-gó a los participantes la constancia oficial de su presencia en las actividades y también se reconoció el trabajo de las maestros que colaboraron como formadores durante el curso.

Por parte de Nuevo León y de los CECyTES en dicha entidad participaron Adriana Luisa Romero Castillón, del plantel Estancuela; María del Carmen Garza Salazar, del plante Cadereyta, y Olga Elena Dávila Rodríguez, del plantel Marín; quienes seguirán trabajando como formadoras en otras partes de la república y con maestros de otros estados.

Formadores del curso en Nuevo León.

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la necesidad de que el profesor dise-ñe o seleccione situaciones de interés para los alumnos, que promuevan la reflexión, la argumentación y la validación de resultados, para aprender matemáticas al resolver problemas. En este caso, se identifica una total correspondencia entre el enfoque recomendado para la enseñanza de las matemáticas en la educación básica y el modelo aproximativo de Charney, congruente también con la tercera concepción de la didáctica de las matemáticas, arriba anotada.

ESTUDIO, LA CLAVE DEL APRENDIZAJEChevallard señala que el eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas es el estudio. La clave para aprender matemáticas es el estudio. El estudio de las cuestiones matemáticas en el aula debe hacerse a partir de situaciones didácticas. Brousseau (citado por Parra, 1994) define las situaciones didácticas como “El conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende herramientas y objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con objeto de que los alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución”.La situación didáctica puede ser un problema o bien algún otro tipo de planteamiento que el profesor proponga a sus alumnos como reto a resolver. Debe asegurarse de que la situación no sea tan difícil que los estudiantes no la puedan resolver, ni tan sencilla de modo que la solución sea inmediata. Los alumnos deben poseer conocimientos para intentar la solución desde varias alternativas.

MANEJO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICASBrousseau enuncia cuatro fases para el manejo de las situaciones didácticas, a partir del planteamiento del problema: Fase de acción: Los estudiantes se mueven para realizar acciones cuyo propósito es resolver el problema. Fase de formulación: Los estudian-tes formulan representaciones de

sus hallazgos, descubrimientos o construcciones. Fase de validación: Los estudiantes argumentan y negocian la validez de sus formulaciones. Fase de institucionalización: El profesor formaliza el conocimiento construido en el aula para aproximar-lo al saber construido científicamente. Uniforma las distintas representacio-nes individuales con respecto a las representaciones convencionales ad-mitidas. Al trabajar las situaciones didácticas de este modo, se concibe al aula como un microlaboratorio donde se van generando procesos de construcción de conocimientos, donde se estudian y se aprenden cuestiones matemáticas. El reto para el docente es precisamente el diseño y la selección de las situaciones didácticas. Al planear su trabajo, debe tener claro el objeto del aprendizaje y las motivaciones de los estudiantes.

PROBLEMAS SIGNIFICATIVOSEs recomendable seleccionar problemas que sean significativos para los alumnos y dejar que sean explorados en pequeños grupos de discusión, permitiendo el ensayo y error, la elaboración y puesta a prueba de conjeturas, la discusión y la argumentación. No es el profesor quien valida el conocimiento construido, sino los argumentos y razonamientos apropiados de los propios alumnos. Se tiene que dejar a los alumnos utilizar

sus propias estrategias de solución y representación. Se requiere que el profesor plantee nuevos problemas, para propiciar la consolidación de un aprendizaje significativo.

Es posible que un docente que ha intentado aplicar el enfoque recomendado para la enseñanza de las matemáticas aún no logre los resultados esperados. Podría, tal vez, contestar algunas interrogantes, antes de desistir: ¿Qué actitud percibe en sus estudiantes cuando les propone resolver problemas? ¿Los estimula para que comuniquen sus ideas y estrategias, confrontándolas con las propuestas de otros? ¿Una misma situación es problema para cualquier estudiante? También podría revisar el informe de la investigación sobre la enseñanza a través de la resolución de problemas, de Alicia Ávila, realizada de 1994 a 1997 en aulas de escuelas públicas. Entre sus recomendaciones están las de: plantear problemas que en realidad sean un problema para los alumnos, dar a los alumnos los recursos necesarios para resolver los problemas, seleccionar las situaciones en que convenga confrontar y discutir puntos de vista y soluciones, hacer explícito el aprendizaje logrado a través de la interacción con la situación- problema, mantener el sentido de las estrategias “espontáneas” en el proceso de aprendizaje y aceptar “devolver” a los alumnos la responsabilidad de su aprendizaje. Los resultados obtenidos hasta ahora utilizando situaciones didácticas como la resolución de problemas pueden mejorarse. Las dificultades para lograr que nuestros alumnos estudien matemáticas de es-ta manera son un área de oportunidad para seguir aprendiendo.

Cultura

CienciayPor Alma Trejo

Deja Enrique Canales importante legado artístico

Tal como lo dijera el goberna-dor José Natividad González Parás, en uno de los muchos homenajes que en los últimos

meses recibió, Enrique Canales Santos fue un innovador que abordó el tema del Conocimiento mucho antes de que se pusiera de moda.

El regiomontano que nació en 1936 y que destinó su inteligencia, creatividad y acción innovadora al servicio del arte, la política, el periodismo y la investigación científica, murió el pasado 19 de junio, -utilizando una de sus frases más comunes- “bien usado”.

De la creación artística de Canales Santos destaca su obra escultórica en cerámica y vidrio, además de sus lienzos, que se distinguieron por la explosión de color y cuya temática abarcaba desde ángeles guardianes, hasta sus “chamuchos” internos. Su obra fue expuesta en Bellas Artes, Marco, Museo Tamayo, en el Museo Monterrey, y en galerías de Colombia, Estados Unidos y Francia.

Aprendió a cultivar la “fregonería”, una actitud propia hacia la vida que lo llevó a explorar el proceso de innovación hasta obtener el

Doctorado en Organización de Centro de Investigación y en Procesos de Innovación Tecnológica, en la Universidad de Houston, un tema en pañales hace 20 años.

Fue responsable del Centro de Investigación del Grupo Vitro, empresa donde logró innovar procesos de fabricación de vidrio, diseño de máquinas, obteniendo más de 40 patentes internacionales, entre ellas la US 4.705,550: Process for providing a thermically homogemeous flor of molten glass.

Enrique Canales Santos

(1936-2007)

Entusiasmo, talento y dedica-ción son las cualidades que distinguen a cada una de las integrantes del Ensamble

IMUSI. Son ocho niñas que, como parte de sus clases de iniciación musical, se integraron al Ensamble de Cuerdas IMUSI y se presentaron el domingo 1 de julio en el Patio de las Esculturas de

Ensamble en la Pinacoteca

la Pinacoteca de Nuevo León, situada en el Colegio Civil Centro Cultural Universitario.

La directora de la Pinacoteca, Elvira Lozano de Todd, señaló que con el afan de promover las actividades culturales, esta institución presenta a este grupo integrado por Marienn Sánchez, Ingrid Puente, Noreen Broechhove, Sofía Sánchez, Ángela Hernández, Evelin Magaña, Saray Sánchez y Salma Guzmán, quienes ejecutan melodías con violón y violoncello.

El concierto se llevó a cabo a partir de las 16 horas, con un repertorio de música de clásicos italianos, rusos y música mexicana.

Finalizan cursos de danza

En la Gran Sala del Teatro de la Ciudad se realizaron durante todo el fin de semana las presentaciones de fin de cursos

de los alumnos de diversas expresio-nes del arte de la danza que ofrecieron los alumnos de la Escuela Superior de Música y Danza de Monterrey.

En este evento también conme-moraron el 30 aniversario de la institución.

En el programa del viernes partici-paron los alumnos de danza contemporánea, quienes en punto de las 20:00 horas, interpretaron “Almas en movimiento”, un repertorio de cinco obras originales de maestros de la institución local y del coreógrafo sonorense, Aldo Siles, de Sonora.

INVITACIÓN A LA COMUNIDADClaudio Tarris, director de la ESMDM, hizo la invitación a la comunidad para que asistieran a estas funciones que dejan de ser escolares para convertirse en profesionales debido a la naturaleza y el rigor de las clases.

La clave para aprender matemáticas es el estudio.

Es licenciada en Pedagogía, egresada de la UANL; tiene una Maestría en Educación Media en

Matemáticas por la Escuela de Graduados de la Normal Superior de Nuevo León. Es autora de libros

de matemáticas para secundaria, desde 1982 a la fecha.

Leticia Rodríguez Arizpe

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A través del tiempo, la enseñanza de las matemáticas en el currículo escolar se ha

caracterizado por la inclusión de contenidos que demandan la resolución de problemas; sin embargo, en el proceso de enseñanza–aprendizaje, el empleo de los problemas no ha sido siempre el mismo.

Es posible distinguir algunas diferencias en el modo de utilizar los problemas, por las respuestas que da un profesor de matemáticas a preguntas acerca de su clase, como las siguientes:¿Qué considera más importante: resolver problemas o hacer muchos ejercicios? ¿En qué momento de la clase sus estudiantes resuelven problemas?¿Qué tiene más valor: la respuesta correcta o el proceso que siguieron?

C0NCEPCIÓN EPISTEMOLÓGICALa acción del docente en su aula y las respuestas a las preguntas anteriores están influidas por la concepción epistemológica que tiene acerca de la asignatura y los propósitos de su enseñanza. Un docente que presenta los problemas a resolver sólo hacia el final de su clase, después de que él mismo ha introducido las nociones y conceptos que forman parte del saber a estudiar, es un docente que concibe la tarea de enseñar como un proceso simple de transmisión de conocimientos donde el saber es dado, ya construido. Aquí el alumno debe escuchar e imitar, entrenarse, ejercitarse y reproducir la respuesta esperada con el procedimiento

Las situaciones didácticas para aprender

Maestra Leticia Rodríguez ArizpeDirectora de la Escuela Normal Superior “Profesor Moisés Sáenz Garza”[email protected]

Matemáticas El profesor debe imaginar y proponer a los

alumnos situaciones que ellos puedan vivir y en las cuales los conocimientos matemáticos

aparecerán como la solución óptima a los problemas propuestos, solución que el

alumno puede descubrir Guy Brousseau

enseñado. Ronald Charnay identifica a este tipo de docencia como el modelo normativo, por estar centrado en el contenido. (Charnay, en Parra, C, 1994). Si el profesor propone la resolución de problemas desde el inicio de su clase, tratando de responder a las necesidades e intereses de sus alumnos, los va acompañando a lo largo de la sesión, interrogando y validando los pasos dados para buscar las soluciones, proporcionándoles fuentes de información y fichas de trabajo dirigido para que se llegue a lo que él espera, se trata entonces de un docente que pone en práctica los llamados “métodos activos”. Es el modelo “incitativo” de Charnay, centrado en la actividad del alumno, pero también orientado hacia un saber ya construido, de conceptos y procedimientos que deberán encontrar bajo la guía del profesor.Un tercer modelo, llamado “aproxima-tivo” por Charnay, corresponde al maestro que propone situaciones problemáticas a sus estudiantes, al inicio de su clase pero con la intención de provocar la reflexión individual y de grupo acerca de los posibles procedimientos y soluciones. Es aquél que promueve la indagación, la puesta a prueba, la confrontación de ideas y la argumentación de los alumnos a lo largo de la sesión de

trabajo; él interviene para reorientar el rumbo de las discusiones con nuevas preguntas o proporcionando elementos convencionales del con-tenido requerido.

DIFERENTES CONCEPCIONES DE LA DIDÁCTICALa concepción de didáctica de las matemáticas que subyace tras cada uno de los modelos docentes antes mencionados también es diferente. En el primero de ellos, la Didáctica es el arte de enseñar, de mostrar el saber previamente construido. En el segundo, la Didáctica es un conjunto de técnicas para enseñar, sustentadas en conocimientos técnicos de otras disciplinas, especialmente de la psicología.

En el último de los modelos, la Didáctica de las matemáticas se asume como la ciencia que estudia los procesos didácticos, los procesos de estudio de las cuestiones matemáticas. (Chevallard, 1998). En nuestro país, la reforma más reciente a la Educación Secundaria contempla, entre sus fundamentos curriculares, teorías que perfilan el papel del profesor como un mediador entre los alumnos y el saber. Las recomendaciones didácticas contenidas en los programas de la asignatura de matemáticas enfatizan

El campus de la ciudad universitaria de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM),

inscrito en la Lista de Patrimonio Mundial por la UNESCO, es a partir del 29 de junio, un “monumento ejemplar”.

En un comunicado difundido desde Nueva Zelanda, la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) consideró a la UNAM como “un conjunto monumental ejemplar del modernismo del siglo XX”, que integra el urbanismo, la arquitectura, la ingeniería, el paisajismo y las bellas artes, asociando todos estos elementos con referencias a las tradiciones locales, y en particular al pasado prehispánico de México.La UNESCO destacó que el conjunto encarna valores sociales y culturales de trascendencia universal; es uno de los más importantes iconos de la arquitectura y el urbanismo modernos de América Latina. “Es uno de los pocos proyectos del mundo en el que los principios defendidos por los movimientos arquitectónicos y urbanísticos modernos se aplicaron perfectamente con el objetivo, en última instancia, de

ofrecer al hombre una mejor calidad de vida”, agregó.

El campus de la UNAM fue edificado entre 1949 y 1952 y está integrado por un conjunto de edificios, instalaciones deportivas y espacios abiertos situados en la zona sur de la capital mexicana. El proyecto de su construcción fue ejecutado por más de 60 arquitectos, ingenieros y artistas y los edificios fueron decorados con murales de David Alfaro Siqueiros y Diego Rivera, entre otros.

De esta forma, la UNAM pasa a formar parte del selecto grupo de las universidades Patrimonio Cultural de la Humanidad, junto a la de Alcalá de Henares, en España, y la Central de Venezuela, en Caracas (Venezuela).

El anuncio de la inclusión del sitio en la Lista de Patrimonio Mundial fue realizado por la UNESCO al término de la reunión de su Comité de Patrimonio, celebrada en Christchurch, Nueva Zelanda. Otros sitios fueron añadidos por el comité a la Lista de Patrimonio Mundial, 16 sitios culturales, cinco enclaves naturales y uno de carácter mixto.

Mural de José Chavéz Morado, en la UNAM.

Realizan diálogo académico

En el marco de la “era de la informática”, en materia tecnológica, y de la

“sociedad del conocimiento”, en el ámbito sociocultural, ocurren transformaciones políticas, eco-nómicas y sociales, prácticamente en todas las esferas: desde lo local hasta lo global. Dada la magnitud y trascendencia de estos cambios, y por las dificultades, oportunidades y desafíos que representan, la educación juega un papel estratégico, e incluso crítico. De ahí que en el mundo surja un fuerte movimiento de reformas para mejorar la calidad de la educación en distintos aspectos.

El desarrollo del modelo de competencias, es un aspecto que se está tomando mucho en cuenta para determinar la educación del futuro inmediato, dijo Domingo Castillo Moncada, director de la Escuela Ciencias de la Educación y organizador del Seminario “La formación centrada en el desarrollo de competencias”.

JACQUES TARDIFF, EL EXPOSITOREn este evento se tuvo la destacada participación del doctor Jacques Tar-diff, profesor titular del Departamento de Pedagogía de la Facultad de Educación de la Universidad de Sherbrook, de Québec, Canadá.

El seminario “La formación centrada en el desarrollo de competencias”, fue ofrecido a maestros normalistas y universitarios por la Escuela de Graduados de Ciencias de la Educación de la SE.

El enfoque de competencias se centra en el aprendizaje; en realidad, representa un sistema en el que intervienen diversos y complejos procesos, entre los que destacan: la normalización, la formación, la evaluación, la acreditación, la certificación y la socialización.

Ciudad Universitaria de la UNAM, Patrimonio de la Humanidad

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Re ConocimientoJuan Roberto ZavalaA personajes nuestros, estudiosos de las emociones humanas

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Juan Roberto ZavalaA personajes nuestros, estudiosos de las emociones [email protected]
















































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e 2007

Director Luis Eugenio Todd

El Método Montante reduce determinantes de orden con enterosRené Mario MontantePágina 24

Apreciación de las MatemáticasJuan Lauro AguirrePágina 3

Las situaciones didácticas para aprender Matemáticas Leticia Rodríguez ArizpePágina 5

El futuro de la enseñanza de las MatemáticasHéctor Antonio González FloresPágina 7

Uso de las tecnologías de información y comunicación en la enseñanzade las MatemáticasLilia Guadalupe GarcíaPágina 9

Matemáticas y realidad educativaJuan Antonio Alanís RodríguezPágina 18

El problema de la variación y sus implicaciones culturalesSalvador BorregoPágina 27

“La escuela de Atenas”(Raffaello)

Pitágoras de Samos

Matemáticas

Ricardo Cantoral, uno de los matemáticos más distinguidos de México

Revista Conocimiento 57

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