Revista-Diemnsionamiento de Secciones de Hormigon a Flexion

Informes de la ConstruccinVol. 64, 528, 497-505,octubre-diciembre 2012ISSN: 0020-0883eISSN: 1988-3234doi: 10.3989/ic.11.050

RESUMEN

Este artculo es una revisin general del procedimiento tradicional de dimen-sionamiento en rotura de secciones de hormign armado. El procedimiento que recogen la mayor parte de los libros de texto actuales data de los aos 50 del siglo XX y es susceptible de ser simplifi-cado. En este artculo el planteamiento se reformula y se presenta de una manera ms compacta, lo que supone un cam-bio tanto desde el punto de vista docente como desde el punto de vista profesio-nal del hormign armado. El Teorema de Armado a Flexin confirma que las ingeniosas soluciones propuestas por Whitney o Wuczkowsky, corresponden a los mnimos de un problema general que puede ser planteado de una forma ms racional. El hecho de presentar el pro-blema de forma compacta, empleando los diagramas RSD permite poder ele-gir soluciones alternativas de armado de menor impacto medioambiental.

451-16

SUMMARY

This paper is an overview of the tradi-tional method of strength design of rein-forced concrete sections. The procedure, presented in the current textbooks, dates from the 50's of XX century and it can be simplified. In this work the approach is reformulated and presented in a more compact way, which implies a change both from the educational point of view and from the professional point of view of reinforced concrete. Theorem of Optimal Reinforcement of RC Sections confirms that the ingenious solutions proposed by Whitney and Wuczkowsky correspond to the minimum of a general problem that can be developed more rationally. Pre-senting the problem in compact form, using diagrams RSD allowed to choose alternative solutions of reinforcement with reduced environmental impact.

(*) Universidad de Granada, (Espaa).(**) University of Santa Clara, (EEUU).Persona de contacto/Corresponding author: [email protected] (E. Hernndez-Montes)

Dimensionamiento en rotura a flexin de secciones de hormign armado.Un planteamiento compactoStrength design of reinforced concrete sections in flexion. A compact approach

L.M. Gil-Martn(*), D. Lpez-Martn(*), E. Hernndez-Montes(*), M. A. Aschheim(**)

Keywords: Strenght design; reinforced concrete design; prestressed concrete design.

Palabras clave: Dimensionamento en rotu-ra; diseo de hormign armado; diseo de hormign pretensado.

Recibido/Received: 8 aug 2011Aceptado/Accepted: 11 jan 2012

498 Informes de la Construccin, Vol. 64, 528, 497-505, octubre-diciembre 2012. ISSN: 0020-0883. eISSN: 1988-3234. doi: 10.3989/ic.11.050

L.M. Gil-Martn, D. Lpez-Martn, E. Hernndez-Montes, M. A. Aschheim

1. INTRODUCCIN

El diseo en rotura de secciones de hormi-gn armado es un tema muy estudiado que ha ido evolucionando a lo largo de la histo-ria del hormign. Prcticamente la totalidad de los textos de hormign consideran la di-visin representada en el diagrama de flujo de la Figura 1, en la que aparecen mtodos ingeniosos tales como la clasificacin de Whitney (1) entre pequeas y grandes ex-centricidades (que an se sigue empleando hoy en da). Para grandes excentricidades an hoy se sigue empleando el Teorema de Ehlers (2) conocido tambin como mtodo de Wuczkowsky (3) en la literatura france-sa, aunque su aplicacin no siempre con-duce a buenos resultados, segn demostr Pez (4).

En la prctica, la manera tradicional de plantear el diseo en rotura de elementos de hormign sometidos a flexin (Figura 1), ha resultado muy til puesto que evita la nece-sidad de resolver un problema matemtico que generalmente es no lineal, con funcio-nes escalonadas i.e. definidas a trozos- y que, como se ver, tiene infinitas soluciones.

A lo largo de la historia de la Teora de Es-tructuras y de la Resistencia de Materiales ingenios similares a los anteriores han pa-sado a la historia debido al avance de las mejoras matemticas (Cremona, mtodo de Cross). De hecho, prestigiosos inge-nieros como Nathan Newmark dedicaron aos al desarrollo de mtodos grficos hoy desaparecidos.

En esta publicacin se aborda desde un punto de vista analtico el diseo en rotu-ra de secciones de hormign armado con objeto de permitir un diseo ms compacto

que pueda reemplazar a los mtodos tradi-cionales. Adems se analiza la manera en que este nuevo tipo de desarrollo puede afectar a los profesionales de la ingeniera y de la docencia del clculo de hormign.

2. PLANOS DE DEFORMACIN Y DE ROTURA

2.1. La hiptesis de las secciones planas (HSP) o hiptesis de Bernoulli

La teora de la viga es la que se deriva de la hiptesis de las secciones planas. En inge-niera se diferencia entre la teora de la viga de Bernoulli - cuando no se incluye el efecto de la deformacin por cortante por ser des-preciable frente a las deformaciones ocasio-nadas por el momento flector- y la teora de la viga de Timoshenko cuando la deforma-cin por cortante s es tenida en cuenta.

La ventaja de aceptar la HSP es que cono-cidas las deformaciones unitarias de dos puntos de la seccin transversal (p.ej. sup y inf ver Figura 2) es posible obtener la de-formacin unitaria de cualquier fibra de la seccin transversal. Generalmente las dos variables que definen la deformacin uni-taria de la seccin transversal son la defor-macin a nivel del centro de gravedad de la seccin y la curvatura (i.e. cdg y , ver Figura 2). De esta forma la deformacin de cualquier fibra de la seccin transversal, corresponda a hormign o a acero, situada a una distancia y del c.d.g. (ver Figura 2)

vendr dada por: [1]

[1] (y, cdg, ) = cdg + y

En el caso de que la fibra cuya deformacin se pretende estimar corresponda a acero de pretensado, ser necesario considerar ade-ms una predeformacin inicial p0: [2]

[2] p (y, cdg, , p0) = cdg + y - p0

En la formulacin anterior se ha considera-do deformacin positiva la de compresin y curvatura positiva la que produce tracciones en la parte inferior de la seccin transversal.

2.2. Tratamiento de la rotura en las normativas EC2 y ACI318

La rotura de una seccin es un estado lmite ltimo asociado al fallo de la seccin por

Fuerza axil =0 Elemento viga

Refuerzo no simtrico

Fuerza axil 0

Solucin exacta

Soluciones aproximadas

Flexin uniaxial

Elemento tipo pilar Refuerzo simtrico As = As > 0

Slo refuerzo inferior

As > 0; As = 0

Refuerzo superior e inferior

As > 0; As > 0

Refuerzo no simtrico (*) As > 0; As > 0

Slo una solucin (**)

bacos de interaccin N-M

(*) Mtodo de Whitney: divisin entre grandes y pequeas excentricidades (**) Mtodo de Wuczkowsky (conocido tambin como Teorema de Ehlers)

1. Tratamiento tradicional para el diseo en rotura de elementos de hormign armado sometidos a flexin.

inf

cdg

sup

y

c.d.g1

2. Distribucin de deformacio-nes segn la hiptesis de las sec-ciones planas.

2

499Informes de la Construccin, Vol. 64, 528, 497-505, octubre-diciembre 2012. ISSN: 0020-0883. eISSN: 1988-3234. doi: 10.3989/ic.11.050

Dimensionamiento en rotura a flexin de secciones de hormign armado. Un planteamiento compacto

Strength design of reinforced concrete sections in flexion. A compact approach

agotamiento del hormign a compresin o, bajo algunas hiptesis, del acero a traccin.

El EC2 define una serie de posibles planos de deformaciones unitarias que correspon-den a planos de rotura (Figura 3a) para los cuales el acero agota a traccin (planos que pivotan en torno al punto A de la Figura 3a) o el hormign agota a compresin (planos que pivotan en torno al punto B o C de la Figura 3a).

El modelo de hormign del Eurocdigo 2 considera que la deformacin ltima de agotamiento del hormign a compresin es diferente en situacin de flexo-compresin que en compresin pura. Debido a esto aparece el plano de agotamiento de defor-macin constate c2 o c3 (segn se consi-dere el modelo parbola-rectngulo o el modelo rectangular del hormign, respec-tivamente). Punto C de la Figura 3a.

La norma ACI-318 es ms sencilla y consi-dera que la rotura se produce nicamente por agotamiento del hormign a compre-sin (c.max=0.003). Debido a esta hiptesis todos los planos de rotura pasan por un ni-co pivote (punto B de la Figura 3b).

En el caso de que se considere para el acero un modelo bilineal sin endurecimiento, el Eurocdigo 2 permite, como la norma ACI-318, no limitar la deformacin del acero a traccin. En este caso el pivote A de la Figu-ra 3a desaparecera.

Si se observan los planos de rotura repre-sentados en la Figura 3 se puede apreciar que la deformacin en rotura de toda la seccin transversal se puede definir a par-tir de una sola variable: la profundidad de la fibra neutra (x). El dominio de x, en el caso de la norma ACI-318 y del EC2 -cuan-do no se considera el pivote A- es x[0,) mientras que en el caso del EC2 -cuando se considera el pivote A- es x(-,).

Si se consideran los planos de rotura defi-nidos por el EC2, sin limitar la deformacin del acero, la deformacin de la seccin transversal a nivel de cualquier fibra situada a del extremo superior se puede obtener a partir de [3] (ver Figura 4):

En el caso de que la deformacin del acero a traccin se limite, lo que equivale a con-siderar el pivote A, la funcin (,x) estara

definida en tres dominios en lugar de en dos, como sucede en la ecuacin [3].

Si se consideran los planos de deformacin de la ACI-318 la ecuacin [3] estara defini-da en slo un dominio. Sin embargo, esta

4. Plano de deformacin de ro-tura definido por la variable x.

d

d As

As

b

cu2 cu3

y

h

c2 c3

ud 0

(1-c2/cu2)h (1-c3/cu3)h

C

B

A

A Deformacin ltima del acero en traccin B Deformacin ltima del hormign en compresin con exin C Deformacin ltima del hormign en compresin pura

Compresin pura

Diagrama parbola-rectngulo:Diagrama rectangular:

xlim

Seccin A-A Traccin pura

d

dAs

As

b y

h

cmax=0.003 0

B

B Deformacin ltima del hormign en compresin con exin

Compresin pura

xlim

Seccin A-A Traccin pura

a) Deformaciones de rotura segn el Euro-cdigo 2

b) Deformaciones de rotura segn la ACI-318-08

=



norma introduce un coeficiente de seguri-dad que afecta a la ecuacin [3] y que est definido en tres dominios en funcin de x, lo que elimina la simplicidad de la ecua-cin [3] bajo la hiptesis de la ACI-318.

3. LOS MODELOS DE LOS MATERIALES, LA COMPOSICIN DE FUNCIONES Y EL EqUILIBRIO

3.1. El modelo de hormign en rotura.

El hormign es un material cuya respuesta tensin-deformacin (c-c), es no lineal y vara, entre otros factores, con la edad del hormign y con la duracin de la carga. Dada la importancia del diseo en rotura se han ideado unos modelos sencillos apli-cables exclusivamente a esta situacin. El Eurocdigo 2 recoge tres modelos para el hormign: el rectangular, el parbola-rec-tngulo y el bilineal.

Si se considera el modelo rectangular, tam-bin conocido como bloque de tensiones equivalente, la resultante del volumen de compresiones Nc puede expresarse, en el caso de secciones rectangulares, en fun-cin de la profundidad de la fibra neutra, x, como: [4]

donde fcd es el valor de la resistencia de di-seo del hormign; h y b son el canto y el ancho de la seccin transversal, respectiva-mente; y son parmetros que dependen de la resistencia del hormign y que se de-finen en el EC2.

Mientras que el diagrama rectangular se ex-presa generalmente en funcin nicamente de x, el modelo parbola-rectngulo del hormign se presenta como una funcin escalonada en funcin de la deformacin unitaria del hormign a compresin (c (c), ver 3.1.7 del Eurocdigo 2).

3.2. El modelo de acero

El modelo de acero que se emplea en el clculo en rotura de secciones transversa-les de hormign es el bilineal, generalmen-te sin endurecimiento, y simtrico (es decir, se considera la misma expresin a traccin y a compresin. Gil-Martn et l. (5) demos-traron que para las separaciones mximas entre cercos permitidas por las actuales normativas esta hiptesis es correcta inclu-so cuando el posible pandeo de las barras es considerado).

Por simplicidad, en las ecuaciones [4] no se ha considerado la presencia de la arma-dura embebida en la seccin transversal de hormign. Para tener esto en cuenta se co-rregir el modelo de acero de la siguiente manera: [5]

3.3. Expresiones de las tensiones del acero en funcin de x

Como se ha comentado anteriormente, la deformacin en rotura queda perfectamen-te definida a partir de una sola variable: la profundidad de la fibra neutra (x).

En el caso frecuente de una seccin trans-versal con dos niveles de armadura As y As situados a d y d de la fibra superior, respec-tivamente; la deformacin y la tensin en rotura a nivel de las armaduras se pueden obtener a partir de las ecuaciones [3] y [5]: [6]

donde simboliza la composicin de dos funciones matemticas.

Estas expresiones pueden ser extendidas a cualquier posicin de la armadura, dado que sta viene definida, con carcter ge-neral, por la coordenada de la expresin [3].

3.4. El equilibrio

El estado de tensiones existente en cual-quier seccin transversal debe equilibrar a los esfuerzos que la solicitan (Nd, Md).

En el caso de flexin compuesta en ELU, el axil y el momento engendrados por las tensiones internas vienen dados por: [7]




Siendo zc el braco mecnico de la resultan-te del volumen de compresiones respecto a la fibra superior, definido como: [8]

En la ecuacin [7] se poda haber tenido un carcter ms general si se sustituye el trmi-no h/2 por el ycdg de la seccin bruta. El tr-mino h/2 es para secciones rectangulares. La misma generalizacin puede hacerse en la ecuacin [4], sustituyendo b por b(x).

4. EL PROBLEMA DE COMPROBACIN: DIAgRAMAS DE INTERACCIN N-M

Si se considera que la seccin est total-mente definida, i.e. se conocen las dimen-siones de la seccin transversal, las reas de armadura (As y As) y sus posiciones (d y d); las incgnitas en las ecuaciones de equilibrio [7] sern: x, Nu(x) y Mu(x).

Al diagrama definido por los pares Nu(x)-Mu(x), obtenidos a partir de las ecuaciones [7], se le conoce como diagrama de inte-raccin Axil-Flector (N-M).

Ejemplo. Sea una seccin rectangular de 0,50,5 m de hormign C-30 y acero B-500, con As=1571 mm

2 (520), As=2454 mm2 (525) con un recubrimiento mec-nico de 50 mm (Figura 5). El diagrama de interaccin se puede obtener directamente a partir de la expresin paramtrica dada por la expresin [7]; este diagrama se ha representado grficamente en la Figura 5.

5. EL PROBLEMA DE DISEO: DIAgRA-MAS DE ARMADO A FLEXIN RSD

El problema de diseo de secciones de hor-mign armado es ms complejo dado que en ese caso las rea de armadura, As y As, son incgnitas del problema. Por el contra-rio, las acciones o solicitaciones de diseo, Nd y Md, son datos del problema. Si el dise-o se realiza en rotura se habr de verificar que: Nu(x)=Nd y Mu(x)=Md.

En este caso se trata de determinar las reas de armadura necesarias, As y As, para que la seccin transversal de hormign resista un par de diseo Nd-Md. En este problema las incgnitas son tres (As, As y x) y dos las ecuaciones (ecuaciones de equilibrio [7]). Por tanto, el problema de diseo en rotura de secciones transversales de hormign tie-ne infinitas soluciones.

Por simplicidad se plantear el equilibrio tomando momentos a nivel del c.d.g. de

las armaduras superior e inferior (Figura 6). De este modo las expresiones resultantes se presentan desacopladas en As y As, que en este caso sern funciones de x: [9]

La representacin grfica de As(x), As(x) y (As(x)+As(x)) fue presentada por Hernn-dez-Montes et l. (6) bajo la denominacin de RSD (del ingls Reinforcement Sizing Diagrams). La representacin RSD permite visualizar las infinitas soluciones de As(x) y As(x) para las cuales una determinada seccin transversal resiste en rotura unas solicitaciones Nd-Md dadas.

Es interesante conocer tambin la curva-tura de rotura de la solucin elegida, para ello se ha introducido un nuevo eje en el RSD de la Figura 7. Sin embargo debido al confinamiento proporcionado por la arma-dura transversal se pueden presentar curva-turas muy superiores a las indicadas en la Figura 7, ver Hernndez-Montes et l (7). La relacin entre la profundidad de la fibra neutra x y la curvatura de rotura represen-tada en la Figura 7 se obtiene mediante las ecuaciones [10] deducidas a partir de las ecuaciones [3] y de la Figura 4:

5. Diagrama de interaccin N-M.

6. Equilibro en el cdg de la armadura inferior y superior



Consideremos el punto indicado en el diagrama de interaccin de la Figura 5, correspondiente al par: Nd = 1000 kN y Md=580kNm. A partir de las ecuaciones [9] se pueden obtener las reas de armadu-ra necesarias para que esta seccin trans-versal de hormign resista el par que la so-licita. Las infinitas soluciones obtenidas de [9] son susceptibles de ser representadas en un diagrama RSD. Ver Figura 7.

La lnea vertical 1 de la Figura 7 corres-ponde a la solucin del apartado anterior: As = 1571 mm

2 (520), As = 2454 mm2

(525), para la cual la profundidad de la fi-bra neutra es x=207,8 mm. Otro caso par-ticular de especial inters corresponde al armado simtrico As=As=2251 mm

2 (para x=152,7mm), que se ha identificado con la lnea vertical 2 en la Figura 7. Sin em-bargo, tal y como se puede apreciar en la Figura 7, ninguna de los dos casos particu-lares anteriores corresponde al mnimo de armadura total lnea vertical 3 de la Figu-ra7, que se presenta para: As=857mm

2 y As=2834mm

2 (con x=275,6 mm).

En este caso la solucin de rea mnima solucin 3- tambin es de curvatura m-nima, comparada con las soluciones 1 y 2 de la Figura 7. Esto no siempre es as como se puede ver en Hernndez-Montes et l. (7) principalmente porque las curvaturas ltimas dependen fundamentalmente de la armadura transversal y para el clculo de estas curvaturas es necesario utilizar mode-los de arcos de descarga, ver (8).

6. EL MNIMO DE ARMADURA TOTAL: EL TEOREMA DE ARMADO A FLEXIN

Hernndez-Montes et l. (9) demostraron que, si se aplica el Eurocdigo 2, existe una

caracterizacin para el mnimo de armadu-ra total (As+As). Esta caracterizacin se re-cogi en el Teorema de Armado a Flexin TOSR (Theorem of optimal section reinfor-cement). Posteriormente, Gil-Martn et al. (10) demostraron que el teorema tambin se verificaba si se adoptan las hiptesis de la norma americana ACI-318.

Teorema:

En el caso de secciones transversales rectan-gulares con dos niveles de armadura se veri-fica que, de entre las infinitas posibilidades de armar la seccin de hormign en rotura, el mnimo total de armadura (As + As) corres-ponde a una de las siguientes soluciones:

As=0 y/o As=0 x igual o ligeramente superior a xlim (xlim

est definido en la Figura 3) deformacin constante en toda la sec-

cin transversal igual a ud (ver Figura 3) deformacin constante en toda la sec-

cin transversal igual a c2 c3 (ver Figura 3).

Corolario

Como corolario del teorema anterior se concluye que el dimensionamento en rotu-ra de secciones rectangulares de hormign armado con dos niveles de armadura puede abordarse mediante alguna de las siguien-tes formas:

1. Armadura simtrica (As=As). Esta solu-cin es adecuada cuando el elemento estructural debe resistir distintos tipos de cargas (pares N-M) y el conjunto de to-dos los pares es relativamente simtrico respecto al eje de la N. Un ejemplo tpi-co corresponde al diseo de columnas, en las que, debido al viento o al sismo, el mximo momento positivo y el m-nimo negativo tienen valores absolutos muy parecidos.

2. Imponer que As=0. Esta solucin es ade-cuada en vigas, siempre que el momento no sea superior a un momento denomina-do Mlim

1.3. Fijar el valor de una de las dos armadu-

ras As o As o una relacin entre ambas (i.e. As/As=cte). En este caso el nmero de incgnitas se reduce a dos y el pro-blema tiene solucin nica.

4. Imponer x=xlim. 5. Calcular las armaduras superior e infe-

rior para los cinco supuestos del teore-ma y elegir la solucin de mnima arma-dura total2.

6. Realizar un diagrama RSD de armado a flexin y elegir la combinacin de arma-duras que ms interese para cada caso concreto.

=

xlim el acero en traccin abandona la zona plstica y comienza a traba-jar en la zona elstica, a una tensin inferior a fyd. Por tanto, que si x>xlim el acero est desaprovechado. El momento generado por las tensiones internas para el valor x = xlim cuando no se dispone armadura de compre-sin (As= 0) se denomina Mlim.

scuydlm Ef

dx

21 +=

2 Puede ser interesante comparar la mnima obtenida con la solucin simtrica




7. DIAgRAMAS RSD PARA FLEXIN BIAXIAL

El concepto de RSD se ha extendido al caso de flexin biaxial. Los resultados obtenidos han sido muy interesantes desde el punto de vista de su aplicabilidad, habindose obtenido un ahorro de acero que nunca an-tes haba sido considerado (11).

Puesto que los modelos de acero y hor-mign no dependen del tipo de flexin (uniaxial o biaxial) que se considere, las diferencias fundamentales entre flexin uniaxial y biaxial son:

En el caso biaxial aparece una nueva ecuacin de equilibrio asociada a la flexin en la otra direccin. En este caso son tres las ecuaciones de equilibrio: una de equilibrio de esfuerzos axiles y dos de equilibrio de momentos, ver (8).

La posicin de la fibra neutra en flexin uniaxial se define a partir de una sola va-riable (x) mientras que en flexin biaxial se requieren dos variables para posicio-nar la fibra neutra: y (Figura 8).

Generalmente no bastar con disponer dos niveles de armadura y, de hecho, en secciones rectangulares es habitual dis-poner armadura en las cuatro caras.

Igual que para flexin uniaxial, para la com-probacin de secciones transversales some-tidas a flexin biaxial (i.e. seccin totalmente definida) es habitual recurrir a los diagramas de interaccin N-Mx-My. La seccin podr re-sistir los esfuerzos que la solicitan si la terna (Nd, Mxd y Myd) queda dentro del diagrama; en caso contrario la seccin agotar.

Para el dimensionamiento de secciones so-metidas a flexin biaxial tradicionalmente

se forzaba a que el nmero de incgnitas fuera igual al nmero de ecuaciones de equilibrio. Para lograrlo, ha sido habitual en la prctica fijar la posicin de las armadu-ras y emplear un nico dimetro para to-das las barras. De esta manera las variables o incgnitas se reducen a tres: , y . El Prontuario informtico del Hormign 3.0 del IECA (12) utiliza este procedimiento.

Como se ha comentado, las soluciones tpi-cas de armado en flexin biaxial consisten en barras de un mismo dimetro situadas a separacin constante a lo largo del per-metro de la seccin transversal. El diagrama RSD-Biaxial (8) (11) se plantea como una forma alternativa de dimensionamiento que puede llevar a ahorros importantes de armadura.

Si se consideran dos separaciones distintas e iguales en las caras paralelas (sv y sh, ver Figura 9) con objeto de conservar la sime-tra de la armadura, el nmero de incgni-tas aumenta a cuatro: , , y sh/sv. En esta situacin, las tres ecuaciones de equilibrio se pueden expresar como: [11]

En el caso de dimensionamiento en rotura en la situacin de flexin uniaxial, como hemos visto antes, existen infinitas solucio-nes de armado. Anlogamente, en flexin biaxial considerando dos separaciones dis-tintas, sh y sv, las ecuaciones de equilibrio son 3 y las incgnitas 4 por lo que existen tambin infinitas soluciones. En ambos ca-sos (flexin uniaxial y flexin biaxial con dos separaciones iguales en caras paralelas) el nmero de incgnitas es slo uno mayor que el de ecuaciones y por lo tanto resolu-

9. Ejemplo de Diagrama RSD-Biaxial.

Fibra neutra

Traccin

Compresin

b

h

Fibra neutra Zona traccionada

M

N

y

x Mx

My

Zona comprimida

8

8. Posicin de la fibra neutra en flexin biaxial.

400 mm

700 mm

Fibra neutra y

x

s v

s h

fck= 30 MPa; f yk=500 MPa

recubrimiento mecnico= 7 mm

Caso 1 Caso 2

Nd = 200 kN 200 kN Mxd = 300 kNm 400 kNm Myd = 250 kNm 100 kNm

9

=

=

=

),,,(

),,,(

),,,(

vhyy

vhxx

vh

ssMM

ssMM

ssNN

[11]



ble en funcin de una sola variable y, por tanto, representable grficamente en 2D. En el caso de la flexin biaxial se ha decidido utilizar como variable eje de abscisas el rea de la armadura situada en la parte su-perior ms la de la situada en la parte infe-rior mientras que en el eje de ordenadas se

ha representado el rea de armadura total. Esta eleccin permite localizar la existencia del mnimo de armadura.

En la Figura 10 se han representado los diagramas RSD-biaxial correspondientes a los dos casos prcticos especificados en la Figura 9. Como se puede apreciar, estas representaciones permiten obtener la so-lucin ptima o de mnimo armado de manera inmediata. Las irregularidades en las grficas se deben fundamentalmente al cambio brusco de ancho en funcin del va-lor de (ver Figura 9).

8. CONCLUSIONES

Las bases para la comprobacin y el diseo en rotura de elementos de hormign arma-do y pretensado fueron ya establecidas en la dcada de los aos 50 del siglo pasado. Al igual que en otras muchas disciplinas algunas de estas aportaciones siguen sien-do an tiles desde el punto de vista de su aplicacin prctica, como es el caso de los diagramas de interaccin N-M. Sin embar-go existen desarrollos que, aunque en su poca supusieron un avance importante en esta disciplina, en la actualidad su utilidad puede y deber ser cuestionada.

El desarrollo de la matemtica y los grandes avances que el clculo numrico ha con-seguido en las ltimas dcadas han dejado obsoletas algunas de las hiptesis que tra-dicionalmente se han venido considerando para dimensionar secciones de hormign armado en rotura. En la actualidad, las po-tentes herramientas de las que dispone el ingeniero le permiten realizar un diseo ms racional y econmico de los elemen-tos de hormign armado sin necesidad de adoptar, sin ms, los planteamientos tradi-cionales. Concretamente, en la actualidad no es necesario proceder a la divisin entre grandes y pequeas excentricidades, como se ha venido haciendo anteriormente.

La Figura 11 plantea una manera compac-ta y totalmente novedosa de plantear el

Diagrama RSD-biaxial Caso 2-

2500

2700

2900

3100

3300

3500

3700

3900

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

rea de la armadura inferior + superior (mm2)

Arm

adur

a to

tal (

mm

2 )

Diagrama RSD-biaxial Caso 1-

4200

4300

4400

4500

4600

4700

4800

4900

5000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 rea de la armadura inferior + superior (mm2)

Arm

adur

a to

tal (

mm

2 )

10

Slo armadura de traccin

As > 0; As = 0*

* El teorema de armado a exin garantiza que, para secciones rectangulares, este caso corresponde a la mnima cuanta.

Fuerza axil =0

Tratamiento de viga Armadura no simtrica

Fuerza axil 0

Flexin uniaxial

Tratamiento de columna

Armadura simtrica As = As > 0

Armadura superior e inferior

As > 0; As > 0 * x=xlim

Armadura no simtrica

As > 0; As > 0

RSD

o teorema

Familia de todas las soluciones: RSD

M




dimensionamiento de secciones de hormi-gn armado, basada en los Diagramas de Armado a Flexin (RSD) y en el Teorema de Armado a Flexin (TORS).

Slo un planteamiento compacto como el planteado por las ecuaciones [3 a 6] per-mite llevar a cabo una optimizacin de la seccin transversal. El procedimiento de optimizacin de la armadura longitudinal se ha aplicado a los pilotes asimtricos, patentados por la Universidad de Grana-da, que han sido recientemente puestos en obra. Ver Figura 12.

En el caso de flexin biaxial, los diagra-mas RSD tambin han demostrado ser una herramienta idnea para realizar un diseo ms racional y econmicamente ms atractivo que los planteamientos tra-dicionales.

AgRADECIMIENTOS

Los autores desean expresamente agradecer la contribucin annima de los dos reviso-res de este artculo, su tiempo y dedicacin han ayudado a mejorar la configuracin fi-nal del trabajo.

BIBLIOgRAFA

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Revista-Diemnsionamiento de Secciones de Hormigon a Flexion

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