Pamela Salvatierra

Teresa Castillo

Lizza Aldana

Gu

ate

ma

la

, 1

1 d

e s

ep

tie

mb

re

de

20

12

Un poco de

humor…...

Introducción ………………………………………………………………. 1

Test “Qué tanto sabes sobre matrices?”………………………………....2

Cuento sobre matrices “La caperucita roja”………………………….….7

Conceptos básicos de matrices “ Entrevista con Matilde la matriz”…...9

Labor de una matriz en la vida cotidiana (Aplicaciones)……………….13

Pasos del método de Gauss………………………………………………..14

Independencia lineal……………………………………………………….15

Combinación lineal y espacio generado………………………………….16

Regla de Cramer…………………………………………………………….17

Expansión de Laplace……………………………………………………….18

Matriz adjunta……………………………………………………………….19

Test “Cuánto sabes de determinantes ?”…………………………………..20

Crucigrama de propiedades de matrices…………………………………..24

Chistes a lo matrix…………………………………………………………..25

Sabías qué………………………………………………………...………….26

Glosario……………………………………………………………………...27

Bibliografía ………………………………………………………………….30

El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas

que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sis-

temas de ecuaciones lineales y un enfoque más formal

en espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

Se ha estudiado a lo largo del curso, diversos temas tales

como el balance de reacciones, el análisis de redes, las

fracciones parciales, etc, que involucran la resolución de

un sistema de ecuaciones lineales mediante el uso de

una matriz. En esta etapa entonces, se lleva a cabo el es-

tudio de las matrices, sus aplicaciones, tipos de opera-

ciones, etc.

Se define una matriz como un arreglo bidimensional de

números, ordenados en filas y columnas, que se utilizan

generalmente para descubrir sistemas de ecuaciones li-

neales sistemas de ecuaciones diferenciales o representar

una aplicación lineal. Las matrices pueden sumarse,

multiplicarse y descomponerse de varias formas.

Se definen en varios tipos y poseen diversas operacio-

nes. Los tipos de matrices que se pueden encontrar son:

cuadradas, rectangulares, triangulares superior e inferior,

nulas, identidad, transpuestas, diagonal, escalar, fila, co-

lumna, regular, singular, simétrica, antisimétrica, ortogo-

nal.

Se pretende con el siguiente trabajo, adaptar todos los

conocimientos de operaciones y tipo de matrices obteni-

dos hasta la fecha en una especie de revista que abarque

cada uno de los diferentes temas y que cubra con los ele-

mentos básicos de una revista.

1

¿Qué tanto sabes

sobre matric

es?

Descubre qué tanto sabes de matrices.

Realiza el test contestando

honestamente respecto a lo que sabes,

toma nota del punteo de cada respuesta

ubicado al lado de cada una de éstas.

Cuando termine el test, realiza la suma

y verifica tu punteo para saber cuánto

sabes.

2

Considerando la matriz , diría que se

trata de una matriz…

A. Identidad. (0)

B. Única. (1)

2. Si en una matriz, todos los elementos por en-

cima y por debajo de la diagonal son 0, se dice

que se trata de una matriz A. No es matriz (1) B. Nula (0)

3. Considere la mtariz en base

a sus conocimientos la de-finiría

como una matriz

A. Rectangular (1)

B. Cuadrada (0)

3

4. ¿Si los elementos por debajo de una dia-

gonal son ceros, qué tipo de matriz es?

A. Triangular inferior (0)

B. Triangular superior (1)

5. a= b=

, Considerando ambas

matrices, se pude decir que b es:

A. La inversa de a. (1) B. La transpuesta de a. (0)

6. Si todos los elementos ubicados por en-

cima de una diagonal son 0, se trata de

una matriz

A. Cero superior (1)

B. Triangular superior. (0)

4

7. ¿Se considera [4] como una matriz

de 1x1?

A. Si (0)

B. No (1)

8. Considerando una matriz de 3*2 ¿es posi-ble obtener su traza? A. Si, la traza de las matrices no depende del

tipo de matriz. (1) B. No, traza de matrices sólo puede ser obte-nida para matrices cuadradas. (0)

9. Para obtener la potencia de una ma-

triz, esta debe ser una matriz de tipo

A. Cuadrada (0).

B. Identidad (1)

10. Si A y B son matrices de diferentes tamaños.

¿se puede llevar a cabo la suma entre estas?

A. Es posible (1) B. No es posible (0)

5

RESULTADOS

O puntos: Tiene pleno conocimiento de las ma-

trices ¡excelente! :).

1-5 puntos: No estas tan mal, pero, ponte a es-

tudiar un poco más.:D.

6-10 puntos: Si tu examen fuera mañana esta-

rías en serios problemas :S. Estudia más.

6

Érase una vez un vectorcito que vivía con su familia generadora en su ca-sita, V. Era un vectorcito muy joven, pues apenas acababa de cumplir un módulo. Tenía el sobrenombre de Vectorcito Rojo por ser una ferviente ad-miradora de Lindeloff, famoso comunista de la época.

Cierto día, su mamá la llamó:

- Eh, Vectorcito Rojo, ven aquí!. Quiero que lleves estas coordenadas a la ca-sa W de tu abuelita, pues la pobre está muy sola desde que se ha restringido a un espacio de dimensión 1, pero ten cuidado cuando vayas por el bosque Hom(V,W), pues hace tiempo que acecha una matriz muy, muy feroz. - Sí, mamá -dijo Vectorcito Rojo.

Entonces su mamá cogió un 2-cubo abierto de "papé arbá", puso las coorde-nadas y estiró y retorció (pero sin romper ni pegar) el 2-cubo hasta conver-

tirlo en una esfera menos un punto. Después se la dió a Vectorcito.

- Ah!, y sobre todo no te entretengas cogiendo grafos por el camino, ya sa-bes que hay que cuidar el entorno.

- No te preocupes, mamá -y dicho esto, se orientó hacia la casa de su abueli-ta.

Vectorcito Rojo se movía alegremente a través del bosque Hom(V,W), pues pensaba que la matriz debía de rondar muy lejos, por lo menos en el quinto isomorfismo, cuando de repente, algo saltó detrás de una función y se plan-tó delante de Vectorcito Rojo. Vectorcito le reconoció: era la matriz de la que le había hablado su mamá. Parecía muy, muy fuerte (coloquialmente ha-blando, la matriz estaba cuadrada) y la miraba con maldad.

- ¿Dónde vas, Vectorcito Rojo?. - Voy a llevarle estas coordenadas a mi abuelita -dijo ella muerta de miedo. - ¿Me dejas probar alguna? Hace tiempo que no como nada desde que me echaron de GL(n,k) por degenerado.

- No -dijo Vectorcito- son para, y solo para, mi abuelita. - Hagamos una cosa -dijo la matriz- te echo una carrera hasta la casa de tu

abuelita, y si llego antes que tú tendrás que darme al menos una.

Vectorcito Rojo vaciló: su familia vivía en un espacio de clase media (más concretamente C1) y además de dimensión finita, así que no podía ir por ahí tirando una coordenada como si estuviera en un espacio proyectivo.

- No -dijo Vectorcito Rojo- tengo como norma no entretenerme y coger siempre el camino más corto -(esta norma, de uso tan extendido, es tambien conocida como norma euclídea).

- Te doy ventaja: contaré hasta omega antes de empezar a correr -dijo la matriz.

Vectorcito Rojo pareció cambiar de opinión: la matriz parecía sincera, al me-nos en casi todo. Vectorcito Rojo asintió, y empezó a correr.

Pero he aquí que la matriz, al ser degenerada, era muy tramposa, y como tal contó hasta omega, pero usando el axioma de elección, con lo que tardó muy poco. Entonces empezó a correr a través del bosque adquiriendo una velocidad

7

Una vez que llegó la matriz a casa de la abuelita, llamó a la puerta, que es-taba cerrada. La verdad es que la abuelita era una persona muy discreta pues toda su casa siempre estaba cerrada (y abierta a quien la abuelita qui-siera).

- ¿Quién es? -preguntó la abuelita. - Soy yo abuelita, tu querida nietecita. - No conozco tu voz, querida. - Es que estoy mal de la garganta, por culpa del gradiente de la mañana. - No te creo, dime, ¿qué te regalé cuando cumpliste 1/2 módulo?. - Un juego de polígonos constructibles con regla y compás. - Es cierto que eres mi nietecita, entra querida mía.

Y nada más entrar, la malvada matriz engulló a la abuelita, sin darle tiempo a decir ni pi, entonces se disfrazó como ella, se metió en la cama, y esperó.

Y nosotros nos preguntamos: ¿cómo sabía la matriz el regalo de la abueli-ta?. Pues resulta que la malvada matriz vió un día a la abuelita comprar este regalo en Gauss`r`us, la tienda de juguetes maximal de X, de ahí que co-nozca el regalo, pero eso es otra historia.

Al cabo de un rato llegó Vectorcito Rojo. Se retrasó un poco por culpa de las obras de parametrización de la nueva carretera.

Llamó a la puerta...

- ¿Se puede abuelita?. - Entra hija, y cierra la puerta que entra mucho flujo -respondió la malva-da matriz. - Abuelita, abuelita, qué filas más grandes tienes. - Son para reducirme mejor -dijo la matriz. - Abuelita, abuelita, y qué ceros más grande tienes. - Son para rodar mejor -dijo la matriz. - Abuelita, abuelita, y qué unos más grandes tienes. - Son para comerte mejor!! -gritó la matriz.

Y dicho esto la matriz se abalanzó sobre Vectorcito y se la comió.

Una vez en el interior de la matriz, Vectorcito se encontró con su abuelita.

- Socorro, socorro, quiero salir de aquí! - No podemos, hija -dijo la abuelita- la matriz está cerrada herméticamen-te.

La matriz salió de casa de la abuelita. Estaba traspuesta por el festín que se había dado y se disponía a dormir cuando apareció Jordan, el leñador, que había presenciado todo aquello. Jordan cogió su hacha, y armado de valor y autovalor se acercó y...¡zas! de un solo tajo diagonalizó la matriz expulsando a la abuelita y a Vectorcito entre los restos de su polinomio

característico (el cual por cierto había quedado intacto por la acción de Jordan).

8

Por un nú-

mero de renglones y

un número de co-

lumnas, en mi caso

yo soy una matriz de

tres renglones y

tres columnas.

Soy un arre-glo rectangular de número, si quieres le pue-

des llamar entradas. Aun-que en realidad me gusta

que me llamen por una le-tra mayúscula, algunos me nombran con letra minús-cula con doble subíndice.

Muchos de

nuestros

seguidores

están in-

teresados en

conocer mas acerca de ti;

¿Cuál seria el concepto

exacto que tienes sobre ti?

¿Por cuantas

partes estas compuesta?

9

Si, a matriz A es-

ta asociada con

sistema lineal

porque ella es una matriz

de coeficientes. Así mismo vector de

términos constates participa con ellos en

una forma de matriz aumentada

Hemos escucha-

do que entre sis-

tema lineal y tu amiga matriz A

existe un tipo de relación…

Si, a matriz A esta asociada con

sistema lineal porque ella es una

matriz de coeficientes. Así mis-

mo vector de términos consta-

tes participa con ellos en una

forma de matriz aumentada

Hemos escuchado que entre sistema lineal y tu amiga

matriz A existe un tipo de relación…

Si, nosotros como matriz aumen-

tada, nos encargamos de llevar

el sistema a una forma escalo-

nada

Que

les

a

encargado Gauss

10

Mediante este

método podemos re-

solver distintos pro-

blemas, si es que

existen o no solucio-

nes y el numero de

ellas, si las hay finitas o

infinitas.

El pretende llevar un sistema de ecuaciones li-neales a otro sis-tema que sea equivalente

¿Qué me

podrías de-

cir del mé-

todo que

utiliza

Gauss de eliminación?

¿Con que fin?

11

Puedo ayudarte a encontrar

la recta de intersección entre

dos planos, balancear ecua-

ciones químicas, ordenar un

sistema de flujo, análisis de

redes, ya sean der servicios,

de bienes y servicios, econó-

micas

Me refiero a que tenga la misma solución

¿A que te refieres con equivalente?

¿Cuál es

tu campo

laboral?

Me conocen como

Matilda en el Tra-

bajo , pero mis

amigas me dicen

Mati

12

Luego, en 1970 tu-vo un gran aporte en la historia de la química al diseñar un sistema de balanceo de ecuaciones

químicas.

Matilde se dio a cono-

cer por primera vez en

1964 cuando diseño un

sistema en el que po-

día resolver problemas

asignando números a

recursos.

En 2002, Matilde ganó

el premio a la innovación al

crear un sistema en el que

Matriz se ha destacado por ser un grupo emprendedor que ha ocupado los titulares en muchas ocasiones, han ganado premios espe-ciales y acreditaciones internacionales.

En 1973 resolvió un siste-

ma para análisis de redes

que se podría aplicar a

situaciones infinitas que

implicaran conservación

de flujo. En este sentido

profundizó y concluyó con

ayuda de los porstulados

de Koirchhoff para redes

eléctricas las leyes de co-

rriente en los nodos y la

ley de voltaje en circui-

tos.

En el 2007 Matilde ayudó al

país a controlar mediante

un análisis del tráfico vehi-

cular durante la mañana en

la ciudad de Guatemala.

13

Para llevar una matriz a la forma escalonada:

Intercambio de renglones

Multiplicación de renglones por una constante

Sumar el múltiplo de un renglón a otro

-3R1

2R2

R2+

R1

4R2

13R2

R3

+R2

15z=60

Z=4

-52y+28(4)

=60

Y=1

-6x-3+3(4)

=21

-6x=12

X=-2

14

Para llevar una matriz a la forma escalonada reducida:

Intercambio de renglones

Multiplicación de renglones por una constante

Llevar la matriz aumentada a la forma escalonada

utilizando operaciones elementales del renglón.

Hasta que la entrada principal sea 1 y tenga ceros

arriba y debajo de cada uno principal.

1/15

R3

R2-

28R3

-

1/52

R2

R1-

3R3

R1+3

R2

-1/6R1

X=4, Y=1, Z=-2

15

Gu

ate

ma

la

, 1

1

Se dice que las matrices A1,

A2 Y A3 del mismo tamaño

son LINEALMENTE INDEPEN-

DIENTES si la única solución

de la ecuación

es 0 o trivial. Si no hay coefi-

cientes triviales que satisfa-

gan a la ecuación es LINEAL-

MENTE DEPENDIENTE.

16

Un conjunto de matrices

como el conjunto de to-das las combinaciones li-

neales de las matrices.

Si A, B y C son matrices del

mismo tamaño y C1, C2 Y Ck

son escalares, puede for-

marse la combinación lineal

c1A1 + c2A2 +...+ckAk

17

Gu

ate

ma

la

, 1

1 d

e s

ep

tie

mb

re

de

20

12

Sea A una matriz de nxn

invertible y sea b un vector

en Rn. Entonces la solución

única x del sistema Ax=b

está dada por

18

Más información ….

El determinante de una matriz A de n xn , donde n≥2, pue-

de calcularse como

(que es la expansión por cofac- tores a lo

largo del i-ésimo renglón y también co-

mo la expansión por cofactores a lo largo de

la j-ésima columna

19

La matriz adjunta de A es

la transpuesta de la ma-

triz de cofactores

Ej:

Cofactores

C11=(-1)1+1det[8]=8

C12=(-1)1+2det[2]=-2

C21=(-1)2+1det[-3]=3

C22=(-1)2+2det[4]=4

20

Imagen tomada de: http://labellezasensible.blogspot.com/

¿Cuánto sabes

de

determinantes? Contesta cada una de las preguntas

honestamente, y anota el valor de cada

respuesta indicado al lado. Suma todas

las respuesta y obtén tu resultado; luego,

de acuerdo a tu resultado, verifica qué

tanto sabes de determinantes

21

1. ¿Qué resulta tras obtener

el determinante de una

matriz?

A. Un vector (1

)

B. Un escalar

(0)

2. ¿Cómo se define la determinante de

una matriz? A. Escalar o polinomio que resulta de

obtener los productos posibles de

una matriz. (1)

B. Vector que resulta de obtener los

productos posibles de una matriz.

(0)

3. ¿Qué cualidades debe tener una

matriz para poder obtener la deter-

minante?

A. Que sea una matriz de m x n

donde m y n son cualquier nu-

mero entero. (0)

B. Que sea una matriz cuadrada

(1)

4. En la expresió

n de expansió

n de La

Place: Cofactor (i

,j)= (-

1)i+j determ

i-

nante (Aij),

(i,j)

se refie

ren a:

A. El renglón y la columna que se

va

a eliminar.

(1)

B. El renglón y la columna del cual

se obtendrá la determinante.

(0)

22

5. ¿Cómo se denota la determi-

nante de una matriz?

A. |A| o det (A) (

1)

B. ||A||

(0)

6. ¿Para qué tipo de matrices

aplica el método de diagona-

les?

A. Matrices de 3x3 y 2x2 (1)

B. Todo tipo de matrices (0)

7. ¿Puede la determinante de

un a matriz ser negativa?

A. No (0) B. Si (1)

8. ¿Cambia la determinante si

(i,j) se refieren a cualquier com-

binación de números enteros?

ej: (3,2), (5,4), etc

A. No (1)

B. Si (0)

23

RESULTADOS

8 puntos: ¡Excepcional!, tus conocimientos

de matrices son perfectos. 100 asegurado en

tu examen (en la sección de teoria :D)

4 a 7 puntos: No esta mal, pero en tu lugar,

estudiaría más. No es que te diga que no sa-

bes nada, es sólo que siempre es bueno saber

más :D. 24

Horizontal

1. Se obtiene al cambiar renglones por columnas

2. tipo de matriz nxn

3. Operación con matrices donde A y B deben tener el mismo tamaño

4. AT=-A

5. Arreglo rectangular de números que se denota con letras mayúsculas o letras minúsculas con doble subíndice

6. Matriz triangular donde todas las entradas aij (donde i>j) son cero

Vertical

1. Método en que se lleva la matriz aumentada asociada al sistema a la forma escalonada

2. Operación con matrices donde A y B deben tener el mismo tamaño

3. Cuando A es una matriz cuadrada

4. A0=I

5. Matriz triangular donde todas las entradas aij (donde i<j) son cero

1 3

2 5

4

1 3 5

4

2

6

25

Había una vez una matriz es-calonada que entró a robar a una tienda de vectores (quería tener más columnas li), luego llegaron los carabi-neros y quedó reducida!!!!!! Jajaja

Se abre el telón y apare-

cen tres vectores lineal-

mente independientes,

Se cierra el telón , ¿ Co-

mo se llama la pelicu-

la ? Rango 3

En una fiesta de matrices hay una matriz triste en un rincón. Se le acerca la matriz identidad y le pregunta - Anímate chica ¿qué te pa-sa? - Es que estoy traspuesta

Se abre el telón aparece

una matriz 3x3 con deter-

minante distinto de cero

¿Cómo se llama la pelícu-

la?

RANGO 3

26

27

Sabías que …Una red consiste en un número finito de nodos co-

nectados por ramas o arcos. Cada rama está marcada por un

flujo que indica la cantidad de t objetos que pueden fluir por ca-

da rama en la dirección marcada.

Sabías que…un sistema lineal

se puede resolver sobre un módulo Zp cuando las

variables y coeficientes perteneces

a algún Zp.

Ej: la ec. Lineal x1 +x2 +x3 =1 en Z2

Sabías que…un sistema de análisis de re-

des está regida por la ley fundamental de

conservación del flujo.

Sabías que...mediante un análisis de redes puedes resolver

un problema de flujo como el que se observó ayer por la

mañana en la calle.

Matriz

Arreglo rectangular de número (llamadas

*entradas*) se denotan con letras mayús-

culas o con letras minúsculas con doble

subíndice

Renglones

Líneas horizontales en una matriz

Columnas

Líneas verticales en una matriz

Método de Gauss

Se debe de llevar la matriz aumentada

asociada al sistema a la forma escalonada

Entrada principal

Primera entrada distinta de cero que apa-

rece en cada renglón

Pivote

Número (sobre el escalón) que utilizo

como referencia para convertir en 0 todas

las entradas que están debajo de este.

28

Independencia Lineal

Se dice que un conjunto de vectores es

linealmente independiente si existen esca-

lares tales en su combinación lineal den

como resultado el vector cero

Conjunto generador

Vectores con los que se construye algo

Espacio generador

Resultado de combinar los vectores del

conjunto generador.

Matrices Cuadradas

Igual cantidad de renglones y de colum-

nas

Matrices Transpuestas

Resultado de cambiar los renglones por

columnas

Matrices simétricas

Ocurre cuando A es una matriz cuadrada

A=AT

Eliminación Gaussiana

Se utiliza para llevar un sistema de ecua-

ciones lineales a otro sistema que sea equi-

valente, es decir que tenga la misma solu-

ción

Sistema Lineal Homogéneo

Cuando todos los términos luego de la

línea den una matriz escalonada son cero,

este sistema siempre tiene solución ya sea

única o infinita

29

Potencias de Matrices

Para que se lleve a cabo esta operación es

necesario que la matriz sea una matriz

cuadrada

Matriz Identidad

Esta conformada por 1 en la diagonal y

ceros en el resto de la matriz esta definida

por A0

Traza de una matriz

Es la sumatoria de los números que se en-

cuentran en la diagonal de la matriz, pero

esta debe ser una matriz cuadrada

Matrices Triangulares Superior

Todas las entradas aij (donde i < j) son ce-

ro

Matrices Triangulares Inferior

Todas las entradas aij (donde i > j) son ce-

ro

Determinantes

Escalar denotado por|A| o det A definido

para matrices cuadradas

Matriz asntisimétrica

Se da cuando A tiene en su diagonal solo

ceros

AT=-A

Producto de Matrices

Donde Ay B son matrices Amxn y Bnxp

Cada cij es igual al resultado del producto

escalar del renglón i de A con la columna

j de B.

30

1. Daniel Poole. Álgebra lineal: una introducción moderna. 2001.

CENGAGE LEARNING

2. Stanley I. Grossman. Algebra lineal con aplicaciones. Mc-Graw

Hill.

3. Fernando Díaz et al. 2005. Introducción al álgebra. Netbiblio, Es-

paña.

31