Rubrica Del Segundo Examen
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TEMA No. 1 ( 16 PUNTOS) Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa. Justifique formalmente su respuesta. a) Sea entonces SOLUCIÓN : Derivando implícitamente: Reemplazando y simplificando: Por tanto la proposición es VERDADERA DESEMPEÑO INSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTE Deriva incorrectamente o califica correctamente la proposición sin justificar Encuentra la primera derivada y no establece procesos correctos para determinar la segunda derivada Establece procesos correctos para determinar la primera y segunda derivada pero se equivoca en la simplificación Encuentra la segunda derivada y califica correctamente la proposición 0 1 2-3 4 1 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL Examen de la Segunda Evaluación I Término – 04/septiembre/2009 Nombre: ___________________________ Paralelo: ___ Examen: Lecciones: Deberes: Otros:
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TEMA No. 1 ( 16 PUNTOS)
Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa. Justifique formalmente su respuesta.
a) Sea entonces SOLUCIÓN:Derivando implícitamente:
Reemplazando y simplificando:
Por tanto la proposición es VERDADERA
DESEMPEÑOINSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTE
Deriva incorrectamente o
califica correctamente la proposición sin
justificar
Encuentra la primera derivada
y no establece procesos correctos para determinar la segunda derivada
Establece procesos correctos para determinar la primera y segunda derivada pero se equivoca en la simplificación
Encuentra la segunda derivada
y califica correctamente la
proposición
0 1 2-3 4
1
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORALINSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
CÁLCULO DIFERENCIALExamen de la Segunda EvaluaciónI Término – 04/septiembre/2009
Nombre: ___________________________ Paralelo: ___
Examen:
Lecciones:
Deberes:
Otros:
b) Sea una función inversible y diferenciable. Si en el punto
la recta tangente es paralela a la recta ,
entonces .SOLUCIÓN:
La recta dada
tiene pendiente , que será la misma que la de la recta tangente a en
el punto , es decir .
Por otro lado La proposición es VERDADERA
DESEMPEÑOINSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTENo establece
procesos coherentes que conduzcan al cálculo de la
derivada de la inversa en el
punto indicado o califica
correctamente la proposición sin
justificar
Encuentra la pendiente de la recta dada pero no la relaciona
con la pendiente de la recta
tangente a
Relaciona la pendiente de la
recta dada con la pendiente de la recta tangente a
, deriva pero se equivoca en el cálculo de la
derivada de la inversa
Encuentra la derivada de la inversa en el
punto indicado por procesos
correctos y califica correctamente la
proposición
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c) Suponga que es derivable en el intervalo y continua en
. Si entonces es constante para
.SOLUCIÓN:
Sea . Consideremos el intervalo . Por el teorema del Valor Medio
tal que , pero , entonces
;
Entonces es constante
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La proposición es VERDADERADESEMPEÑO
INSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTENo establece
procesos coherentes que conduzcan a la demostración o
califica correctamente la proposición sin
justificar
Intenta justificar porque la
proposición es verdadera pero no utiliza el teorema del Valor Medio.
Aplica el teorema del valor Medio
pero no generaliza correctamente.
Realiza correctamente la demostración y
califica correctamente la
proposición
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d)
SOLUCIÓN:
Tenemos una indeterminación de la forma . Primero simplificamos:
Dado que persiste la indeterminación aplicamos L´Hopital
Dado que persiste la indeterminación volvemos a aplicar L´Hopital
Por tanto la proposición es FALSA
DESEMPEÑOINSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTENo sabe cómo enfrentar esta
indeterminación o califica
correctamente la proposición sin
justificar
Define la indeterminación y
aplica incorrectamente
la regla de L´Hopital.
Aplica correctamente la regla de L´Hopital pero se equivoca en
la manipulación algebraica.
Calcula el límite mostrando procesos
correctos y completos y califica correctamente la
proposición
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TEMA No. 2 ( 12 PUNTOS)
Sea
A) (2 PUNTOS) Hallar el valor de si se conoce que tiene un punto crítico
estacionario en .SOLUCIÓN:
DESEMPEÑOINSUFICIENTE REGULAR
SATISFACTORIOEXCELENTE
No establece procesos
coherentes que conduzcan al
cálculo de o deriva
incorrectamente
Deriva correctamente
pero se equivoca
en el cálculo de
Calcula
correctamente mostrando procesos
correctos y completos
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B) (2PUNTOS) Hallar el valor de si se conoce que contiene al punto
.SOLUCIÓN:
DESEMPEÑO
INSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO
EXCELENTE
No establece procesos
coherentes que conduzcan al
Evalúa la función en el punto dado pero se equivoca
en el cálculo de
Calcula
correctamente mostrando procesos
correctos y completos
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cálculo de 0 1 2
C) (4PUNTOS) Utilizando los valores de y encontrados hallar los puntos de inflexión.
SOLUCIÓN:
Puntos de Inflexión:
; ; DESEMPEÑO
INSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTENo establece
procesos o Deriva incorrectamente
Determina la primera derivada y se equivoca en
obtener la segunda derivada
Deriva correctamente pero no obtiene los puntos de
inflexión.
Obtiene los puntos de inflexión mediantes
procesos correctos y completos
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D) (4 PUNTOS) Bosqueje la gráfica de .SOLUCIÓN:
; es impar
y
; Asíntota horizontal
Puntos críticos estacionarios: y
Puntos de Inflexión: ; ;
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Gráfica de - - Decreciente y cóncava hacia abajo
- + Decreciente y cóncava hacia arriba
+ + Creciente y cóncava hacia arriba
+ - Creciente y cóncava hacia abajo
- - Decreciente y cóncava hacia abajo
- + Decreciente y cóncava hacia arriba
DESEMPEÑOINSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTEVacio o inicia
procedimientos para establecer
intervalos
Realiza operaciones pero
no obtiene los intervalos
Calculo numéricos correctos pero se
equivoca en la gráfica o no
grafica.
Bosqueja correctamente el
gráfico de mostrando procesos
correctos y completos
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TEMA No. 3 ( 8 PUNTOS)
a) Encuentre el polinomio de Maclaurin de cuarto grado para , y utilícelo
para aproximar la función en SOLUCIÓN:
; ; ; ;
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; ; ; ;
en
DESEMPEÑO
INSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTEVacio o
planteamiento desenfocado
Encuentra las derivadas pero
evalúa incorrectamente o
no evalúa
Encuentra el polinomio de
Maclaurin correctamente pero
no aproxima la función en el punto
indicado o hace incorrectamente.
Encuentra correctamente el
polinomio de Maclaurin y el valor aproximado de la
función en el punto indicado
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b) Sea y , encuentre la derivada de
en .SOLUCIÓN:La derivada de la función dada es:
Ahora evaluamos en el punto indicado:
DESEMPEÑO
INSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTEVacio 0 deriva
incorrectamenteDeriva
correctamente pero no evalúa.
Deriva y evalúa correctamente
pero se equivoca en el resultado.
Obtiene el resultado correcto
mostrando procedimientos
correctos y completos
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TEMA No. 4 ( 8 PUNTOS)
a) Obtener una formula general para , donde y son funciones
de .
SOLUCIÓN:
DESEMPEÑOINSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTE
Deriva incorrectamente
Obtiene correctamente sólo la primera
derivada.
Obtiene correctamente las
tres derivadas pero se equivoca
en la simplificación.
Obtiene la formula pedida mostrando
procedimientos correctos y completos
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b) Determine para la función dada en forma implícita SOLUCIÓN:Primero aplicamos logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación:
Ahora derivamos implícitamente:
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También se considera válida otra solución equivalente, por ejemplo usar la exponencial.
DESEMPEÑOINSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTE
No indica procesos o los que indica no son pertinentes.
Aplica procesos correctos pero se
equivoca en la derivación.
Deriva correctamente
pero se equivoca en simplificar y
despejar.
Obtiene mostrando
procedimientos correctos y completos
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TEMA No. 5 ( 6 PUNTOS)
Se requiere transportar a dos grupos diferentes de personas a dos ciudades desde la misma cooperativa de transporte. Las vías tomadas forman entre sí un
ángulo de . El conductor del primer bus maneja a una velocidad de
, mientras que el conductor del segundo bus lo hace a . ¿Con qué rapidez se alejan los dos buses después de una hora de haber abandonado simultáneamente la cooperativa de transporte?.
SOLUCIÓN:
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Después de una hora:
Reemplazando:
DESEMPEÑOINSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTE
Vacio o intentos desenfocados
Aplica procesos correctos pero se
equivoca en la derivación o hace
sustitución prematura.
Deriva correctamente
pero los cálculos algebraicos son
incorrectos.
Obtiene la rapidez de separación mostrando
procedimientos correctos y completos
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TEMA No. 6 ( 10 PUNTOS)
Si el perímetro de un triángulo isósceles es unidades, determine cuáles deben ser las medidas de sus lados para que el volumen del sólido generado al rotar el triángulo alrededor de su base (el lado de longitud distinta), sea el mayor posible.
SOLUCIÓN:
10
Perímetro:
Se forman dos conos de y Entonces:
Sustituimos :
Derivamos:
y < 0Entonces:
, Implica que en , V tiene un máximo
es decir la longitud del lado de longitud distinto sería
Y las longitudes de los lados de igual medida serían DESEMPEÑO
INSUFICIENTE REGULAR SATISFACTORIO EXCELENTENo identifica el
sólidoIdentifica el sólido pero se equivoca en relacionar las variables o en
plantear el problema
Relaciona correctamente las variables pero se
equivoca en derivar o
determinar las longitudes pedidas.
Obtiene las longitudes
mostrando procedimientos
correctos y completos
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