jlc

Conjunto de ecuaciones con varias incógnitas que

constituyen un problema matemático

La solución consiste en encontrar los valores de

las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

jlc

jlc

o Los métodos directos proporcionan una solución del

sistema en un número finito de pasos.

o Los métodos iterativos se parte de una

aproximación y se genera, a partir de dicha

aproximación, una sucesión de vectores que si

converge lo hace a la solución del sistema.

jlc

La descomposición LU transforma una matriz a en el

producto de dos matrices triangulares

𝐴 = 𝐿𝑈

Donde 𝐿 es triangular inferior y 𝑈 es triangular

superior.

jlc

𝐴𝑥 = 𝑏

𝐿𝑈𝑥 = 𝑏

𝐿 𝑈𝑥 = 𝑏

𝑈𝑥 = 𝑧 → 𝐿𝑧 = 𝑏

jlc

jlc

33

2322

131211

00

0

u

uu

uuu

U

1

01

001

3231

21

ll

lL

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

jlc

3

2

1

3

2

1

3231

21

1

01

001

b

b

b

z

z

z

ll

l

3

2

1

3

2

1

33

2322

131211

00

0

z

z

z

x

x

x

u

uu

uuu

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

33232131

22121

11

bzzlzl

bzzl

bz

1313212111

2323222

3333

zxuxuxu

zxuxu

zxu

jlc

jlc

jlc

jlc

jlc

𝐴𝑥 = 𝑏

𝒙 = 𝐸𝑥 + 𝑓

𝒙𝑘+1 = 𝐸𝑥𝑘 + 𝑓

La representación de 𝐸 y 𝑓 es

independiente del método.

jlc

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

0

0

2

0

1

0

nx

x

x

x

)(1 0

1

0

2121

11

1

1 nnxaxaba

x

)(1 0

11

0

22

0

11

1

nnnnnn

nn

n xaxaxaba

x

)(1 0

2

0

323

0

1212

22

1

2 nnxaxaxaba

x

jlc

La matriz se puede escribir de la forma 𝐴 = 𝐿 + 𝐷 + 𝑈

000

00

0

00

00

00

0

00

000

23

1312

33

22

11

3231

21

333231

232221

131211

a

aa

a

a

a

aa

a

aaa

aaa

aaa

n

ij

k

jij

i

j

k

jiji

ii

k

i xaxaba

x1

1

1

1 1𝑥𝑘+1 = −𝐷−1(𝐿 + 𝑈)𝑥𝑘 + 𝐷−1𝑏𝐸 = −𝐷−1(𝐿 + 𝑈)𝑓 = 𝐷−1𝑏

𝐴𝑥 = 𝑏 (𝐿 + 𝐷 + 𝑈)𝑥 = 𝑏

𝐷𝑥𝑘+1 = −(𝐿 + 𝑈)𝑥𝑘 + 𝑏

kk UxLx𝐷𝑥𝑘+1

jlc

La matriz 𝐴 debe ser diagonalmente dominante.

El elemento de la diagonal principal sea mayor que

la suma del resto de elementos de la misma ecuación

jlc

aii aijj1ji

n

jlc

15

21

7

512

184

114

3

2

1

x

x

x

0

0

00x

5/15

8/21

4/7

05/15/2

8/108/4

4/14/10

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

5

215

8

421

4

7

0

2

0

11

3

0

3

0

11

2

0

3

0

21

1

xxx

xxx

xxx

0.35

15

625.28

21

75.14

7

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

0

0

2

0

1

0

nx

x

x

x

)(1 0

1

0

2121

11

1

1 nnxaxaba

x

)(1 1

11

1

22

1

11

1

nnnnnn

nn

n xaxaxaba

x

)(1 0

2

0

323

1

1212

22

1

2 nnxaxaxaba

x

Utilizamos la

estimación

anterior

jlc

1

1 1

11 1 i

j

n

ij

k

jij

k

jiji

ii

k

i xaxaba

x

𝑥𝑘+1 = − 𝐷 + 𝐿 −1𝑈𝑥𝑘 + 𝐷 + 𝐿 −1𝑏𝐸 = − 𝐷 + 𝐿 −1𝑈𝑓 = 𝐷 + 𝐿 −1𝑏

𝐴𝑥 = 𝑏 (𝐿 + 𝐷 + 𝑈)𝑥 = 𝑏

𝐷 + 𝐿 𝑥𝑘+1 = −𝑈𝑥𝑘 + 𝑏

k1k UxLx 𝐷𝑥𝑘+1

jlc

La matriz A debe ser diagonalmente

dominante

La matriz A debe ser simetrica y definida

positiva

jlc

5225

21512

251220

2525

21512

51220

No es diagonalmente dominante No definida positiva

2525

21512

51220

Definida Positiva

Simetrica

Diagonalmente dominante

jlc

2528

21512

51220

No simetrica.

jlc

15

12

4

512

181

214

3

2

1

x

x

x

0

0

00x

5

215

8

12

4

24

1

2

1

11

3

0

3

1

11

2

0

3

0

21

1

xxx

xxx

xxx

075.35

625.1215

625.18

112

14

4