1

1.- Introduccin

Qu es la regulacin automtica? Qu finalidad tiene? Cules son los principios de funcionamiento de esta tcnica? En esta unidad vamos a detallar los principios que rigen el control automtico de los procesos industriales.

En los comienzos de la era industrial, el control de los procesos industriales se llevaba a cabo de una manera un tanto artesanal, basndose en la intuicin y en la experiencia de los operarios. El operario se converta en el instrumento de control del proceso industrial. Con las crecientes exigencias de calidad por parte del mercado, se vio que era necesario desarrollar una teora para realizar el control de los procesos industriales. Para ello, se defini un sistema de control tpico y se comenz a analizar utilizando tcnicas matemticas.

El bucle de control tpico est formado por:

Proceso sistema: es un sistema desarrollado para llevar a cabo un determinado objetivo.

Transmisor sensor: es el dispositivo que mide la variable del proceso que se desea controlar.

Controlador regulador: es el elemento que permite al proceso cumplir su objetivo. Para ayudarlo compara la variable medida con la de referencia (consigna) para calcular el error y estabiliza el funcionamiento del sistema intentando eliminar el error.

Accionador: es el dispositivo que modifica la entrada al proceso de acuerdo con las rdenes del controlador.

Vamos a comenzar viendo los sistemas de control en bucle abierto y cerrado para especificar las caractersticas de cada tipo. Posteriormente veremos las tcnicas bsicas de control y qu tipos de controladores existen. El siguiente bloque est compuesto por una teora de control bastante novedosa, el control difuso, en el que las cosas no son blancas o negras, sino que pueden adoptar colores intermedios. La parte final de la unidad est dedicada a las aplicaciones de los sistemas de control en las instalaciones de produccin y transporte de energa elctrica.

2.- Sistemas de control en bucle abierto.

En un sistema a bucle abierto, se pretende controlar el valor de una variable de salida (controlada) actuando sobre la variable de entrada (variable de control). Para cada valor de la entrada existe un valor de la variable de salida, en ausencia de la/s perturbaciones. Las perturbaciones son variables que afectan al sistema; como por ejemplo, en un control de velocidad de un vehculo, las variaciones en el ngulo de inclinacin del trayecto.

En un sistema de bucle abierto no existe realimentacin, la seal de salida y(t) depende de la seal de entrada x(t) y de la funcin de transferencia g(t) del sistema. La funcin de transferencia g(t) es un funcin matemtica de cierta complejidad y que resulta en la mayora de los casos, muy difcil de obtener.

2

x(t) g(t) y(t)

Para analizar los sistemas en bucle cerrado, se obtiene la respuesta del sistema ante seales de la entrada x(t) concretas. Las ms usadas son:

Respuesta a un escaln (Step Function): se vara x(t) en forma de escaln y se analiza la respuesta del sistema. Es el mtodo ms utilizado para determinar el retardo del sistema en el periodo transitorio y la estabilidad del mismo. En la siguiente figura podemos ver como ante un escaln de valor XK , la seal de salida oscila ligeramente hasta estabilizarse en el valor YK en el instante t1.

x(t)

y(t)

t

XK

t0

YK

t1

Respuesta a una rampa (Ramp Function): se vara x(t) en forma de rampa y se analiza la respuesta del sistema.

No obstante, el anlisis de los sistemas en el dominio de tiempo resulta matemticamente muy difcil. Por este motivo, el anlisis se realiza en el plano complejo de Laplace a travs de las Transformadas de Laplace. La Transformada de Laplace es una transformacin de funciones desde el dominio de tiempo al plano complejo, definida por la siguiente expresin:

Es decir, cada funcin f(t) en el dominio de tiempo, presenta una funcin equivalente F(s) en el plano complejo de Laplace; luego un sistema de bucle abierto puede representase como sigue:

X(s) G(s) Y(s)

Por tanto, la salida del sistema puede calcularse como:

X(s)*G(s)Y(s) )(

)()(

sX

sYsG

3

donde G(s) es la funcin de transferencia (FdT) del sistema en el plano complejo de Laplace. Las principales transformadas de Laplace pueden consultarse en el siguiente enlace. No obstante, debes tener presente las transformadas ms habituales en el entorno de la regulacin.

f(t) F(s)

K s

K

f(t)K F(s)K

dt

df(t) F(s)s

f(t)dt s F(s)

Se puede determinar el valor estacionario YK mediante el T del valor final:

)()(0

lim)()(

limsXsGs

stxtg

tYK

Ejemplo 1

Un sistema presenta la funcin de transferencia siguiente:

5

10)(

s

sG

Determinar la salida del mismo ante un escaln unitario en la entrada.

De acuerdo con la tabla de transformadas, sabemos que X(s)=1/s, puesto que la entrada es un escaln unitario. Por tanto la salida Y(s):

)5(

10

s

1*

5

10X(s)*G(s)Y(s)

sss

Acudiendo a la tabla de transformadas, ahora buscamos la anti-transformada de esta funcin (fila 3):

tess

55t- 22)e-2(1 y(t) )5(

5*2Y(s)

Analizando la salida y(t):

El primer trmino es constante e indica el valor final (estacionario o permanente) que alcanza y(t) tras el periodo transitorio.

El segundo trmino es una exponencial negativa que tiende a anularse. Podemos considerar que esta exponencial se anula cuando el exponente sea -5, es decir para t=1 s.

Simulando el sistema con Xcos, obtenemos la salida y(t) grficamente.

4

Se puede observar que la salida se estabiliza en el valor estacionario 2 tras el periodo transitorio de 1 s. Este retardo se debe a las inercias del sistema, ya sean fsico-mecnicas, elctricas, termodinmicas, etc.

2.1.- Anlisis de sistemas de primer orden La funcin de trasferencia G(s) de un sistema, presenta la forma de un cociente de polinomios, donde las races del denominador se llaman polos y las del numerador ceros. Son sistemas de primer orden, aquellos que presenta un solo polo. Podemos encontrar los siguientes caso. 2.1.1.- Polo real simple La funcin de transferencia de un polo simple tendr la forma:

)(as

KsG

donde el polo del sistema es s = -a y la constante del mismo es K. De acuerdo con el Ejemplo 1 visto anteriormente, la respuesta a un escaln de un sistema de primer orden alcanza un valor final (YK) que vendr definido por la magnitud del escaln (XK), por la constante K y por el valor absoluto del polo (a). Se demuestra por el T del valor final que YK:

KK

K Xa

K

s

X

as

Ks

ssXsGs

sY

0

lim)()(

0

lim

La rapidez de la respuesta viene dada por la constante de tiempo ( =1/a). Luego:

atK

55

donde:

XK: valor del escaln de entrada.

YK: valor estacionario de la salida.

tK: tiempo de duracin de la respuesta transitoria.

K: constante de la funcin de transferencia.

5

a: valor absoluto del polo de la funcin de transferencia.

: constante de tiempo de la funcin de transferencia.

Ejemplo 2

Un sistema presenta la funcin de transferencia siguiente:

2

4)(

s

sG

Representar la salida ante un escaln unitario.

Al ser un polo simple se sabe que:

sa

t

Xa

KY

K

KK

5.22

555

212

4

La salida del mismo simulada con Xcos.

2.1.2.- Polo en el origen (s=0) La funcin de transferencia de un polo en el origen tendr la forma:

)(as

KsG

Determinando la salida ante un escaln obtenemos:

2

K 1

s

X X(s)*G(s)Y(s)

sa

XK

as

K K

Consultando la tabla de transformadas de Laplace (fila 2c) obtenemos:

ta

XK K

y(t)

La salida y(t) es una rampa que tiende a infinito, lo cual significa que la seal de salida no se amortigua. Un ejemplo de sistema con un polo en el origen, es un horno cerrado sin prdidas en el cual hay una fuente de

6

calor. La temperatura subir entonces sin amortiguamiento en ausencia de prdidas o ante prdidas muy bajas.

La simulacin con Xcos de 5

1)(

ssG ante un escaln unitario, puede verse en la siguiente imagen.

2.2.- Anlisis de sistemas de segundo orden Son sistemas de segundo orden aquello que presenta dos polos. Pueden darse las siguientes posibilidades, que resultan muy dispares en cuanto a las caractersticas de la respuesta del sistema:

Polos reales.

Polos complejos conjugados.

2.2.1.-Polos reales La funcin de transferencia de un sistema con n polos reales tendr la forma:

...)(

21 nasasas

KsG

Para el caso de n=2, el sistema ser de segundo orden. Aplicando el T del valor final obtenemos,

K

n

K Xaaa

KY

...21,

con lo cual observamos que el sistema se amortigua en el valor YK. El polo ms pequeo (en valor absoluto) ser el que nos defina la duracin del periodo transitorio (tK),

i

Ka

t5

5

donde ai es el polo ms pequeo en valor absoluto.

7

Ejemplo 3

107

20)(

2

sssG

Los polos de la funcin de transferencia son:

5,22

37

12

101477 2

s

Luego G(s) puede escribirse como:

52s

20

107

20)(

2

ssssG

El valor final de la salida:

2152

20

21

KK Xaa

KY

La duracin del transitorio:

sa

ti

K 5.22

555

La simulacin con Xcos ante un escaln unitario:

Obsrvese como la salida y(t) se amortigua en el valor 2.

2.2.2.-Polos complejos conjugados En este caso la funcin de transferencia G(s) presenta un par de polos complejos conjugados en la forma:

-a + j -a j

G(s) puede escribirse como:

8

)(

22

as

KsG

Aplicando el T del valor final obtenemos,

KK Xa

KY

22 ,

con lo cual observamos que el sistema se amortigua en el valor YK. La duracin del transitorio:

atK

55

Sin embargo, la diferencia con el caso de dos polos reales, es que en este caso el sistema es oscilante amortiguado.

Ejemplo 4

272

52)(

2

sssG

Los polos de la funcin de transferencia son:

jj

s 512

102

2

1002

12

271422 2

G(s) puede escribirse como:

51

52)(

22

ssG

El valor final que obtenemos ante un escaln unitario:

2151

522222

KK Xa

KY

La duracin del transitorio:

sa

tK 51

555

Simulando con Xcos obtenemos:

9

Obsrvense las oscilaciones del sistema. Esta respuesta es tpica de sistemas mecnicos con amortiguadores, resortes muelles y de algunos sistemas elctricos.

2.2.3.-Polos complejos conjugados imaginarios En este caso la funcin de transferencia G(s) presenta un par de polos complejos conjugados sin parte real (a=0) en la forma:

+ j j

G(s) puede escribirse como:

)(22

s

KsG

La duracin del transitorio:

0

55Kt

En este caso el sistema es oscilante no amortiguado, lo que significa que la salida no se estabiliza a ningn valor YK concreto. Aplicando el T del valor final obtenemos un valor de YK,

KK XK

Y2

,

que en este caso significa el valor medio de las oscilaciones y la amplitud de la senoidal de oscilacin.

10

Ejemplo 5

25

25)(

2 s

sG

Los polos de la funcin de transferencia son:

j5

El valor de oscilacin ante un escaln unitario:

115

2522

KK XK

Y

Simulando con Xcos obtenemos:

La oscilacin se mantiene sin amortiguar entre los valores 0 y 2, puesto que tanto el valor medio como la amplitud es YK=1. El sistema es por tanto, oscilante no amortiguado.

2.3.- Determinacin de la funcin de transferencia en bucle abierto de algunos sistemas La determinacin de la funcin de transferencia (FdT) de algunos sistemas fsicos es un reto de la ingeniera de control, debido a los modelos matemticos complejos que pueden tener lugar y debido tambin a los efectos de las perturbaciones en el sistema. En la mayora de los casos para los sistemas trmicos que podemos encontrar, las funciones de transferencia presentan solamente polos reales y en el origen; es difcil encontrar sistemas trmicos con polos complejos conjugados. Sin embargo, los polos complejos conjugados, responsables de que los sistemas sean oscilantes, son comunes en sistemas mecnicos (amortiguaciones y muelles) y en sistemas elctricos, tales como circuitos RLC y amplificadores. El modelo general de FdT podemos verlo en la siguiente imagen, donde Z1, Z2,, son las perturbaciones del sistema, es decir, las variables que afectan a la salida del sistema y que no son la variable de entrada.

X(s) G(s) Y(s)

Z1(s) Z

2(s) ....

Vamos a analizar en esta seccin algunos modelos que nos sern de utilidad.

Motor de CC.

11

Motor de induccin.

Vlvula mezcladora de 3 vas.

Traccin.

Sistema de condensacin a presin constante. 2.3.1.- Motor de CC.

Aunque el desarrollo de este modelo se sale de los objetivos de este mdulo, vamos a realizar una breve aproximacin al mismo. Puede consultarse completamente en el siguiente enlace. Recurdese que para un motor de CC, manteniendo constante la intensidad de excitacin, puede controlarse su velocidad actuando sobre la tensin de inducido. La funcin que buscamos es la que puede verse en la siguiente figura, donde es la velocidad angular en rad/s.

Va(s)

G(s)(s)

Sistema mecnico (en vaco) Mecnicamente, debe cumplirse que la suma de todos los pares sea igual al momento de inercia (J) por la

aceleracin angular (dt

td )() ms el par de friccin viscosa en los cojinetes. Recurdese que la aceleracin

angular es la derivada de la velocidad angular (s).

)()(

)( tbdt

tdJtM

Pasando al plano de Laplace:

(1) 1

)(

)(

)()()()()(

bJssM

s

sbJssbsJssM

Obsrvese como la funcin de transferencia entre par y velocidad es un polo simple. Sistema elctrico del inducido El circuito de inducido:

)()(

)()( tKdt

tdiLtiRtv e

aaaaa

Pasando al plano de Laplace:

12

sLR

sKsVsI

sKssILsIRsV

aa

ea

a

eaaaaa

)()()(

)()()()(

Suponiendo que la excitacin permanece constante, el mar es proporcional a la intensidad de inducido. Luego:

(2) )()(

)( KM(s) MsLR

sKsVKsI

aa

eaMa

Combinando las ecuaciones (1) y (2):

MeaaM

a KKRsLbJs

K

sV

ssG

)(

)()(

Obsrvese como uno de los polos es generado por el circuito elctrico del inducido y el otro por el sistema mecnico en el eje de giro. Tomando los valores mostrados abajo, obtenemos la funcin de transferencia. Ra = 1.1648 La = 0.0068 KM = 0.45 Ke = 0.82 b = 0.00776 J = 0.0271

369.01648.10068.000776.00271.045.0

)(

)()(

sssV

ssG

a

Simulando con Xcos un escaln de 100 V en el inducido en el instante t=0,05 s, obtenemos:

13

La velocidad alcanza el valor 120 rad/s en 2,5 s aproximadamente, en una evolucin transitoria que recuerda a una exponencial de primer orden. El sistema por tanto, es estable y amortiguado. En el caso de que se considere que el motor est accionando una carga con cierto par resistente (MR), la ecuacin mecnica (1) queda de la siguiente forma:

)(1' 1

)()(

)(

)()()()(

)()(

)()(

bJssMsM

s

sbsJssMsM

tbdt

tdJtMtM

R

R

R

La ecuacin (2) no sufre ningn cambio:

(2) )()()( KM(s) M sKsVsLR

KsI ea

aa

Ma

Combinando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos la salida del sistema:

)()()()()( 21 sM

KKRsLbJs

RsLsV

KKRsLbJs

Ksss R

Meaa

aaa

Meaa

M

Por tanto, puesto que la salida depende de dos variables de entrada (Va(s) y MR(s)), existen dos FdTs en el sistema; una FdT para Va(s) y otra para MR(s).

MeaaM

a KKRsLbJs

K

sV

ssG

)(

)()( 11

Meaaaa

R KKRsLbJs

RsL

sM

ssG

)(

)()( 22

El sistema a nivel de bloques queda de la siguiente forma:

Va(s) +

-

Z(s)=MR(s)

MeaaM

KKRsLbJs

K

Meaaaa

KKRsLbJs

RsL

(s)

G1(s)

G2(s)

Mediante un simulacin con Xcos, podemos ver la evolucin de la salida (t) (velocidad) frente a un escaln de 100 V en la entrada Va(t) a los 0.5 s (tensin del inducido) y frente a un escaln de 10 Nm de la perturbacin MR(t) (par de carga) a los 1.5 s.

14

2.3.2.- Motor de induccin La funcin de transferencia de un motor trifsico de induccin es parecida a la del motor CC. Debemos tener en cuenta que la entrada ser la frecuencia la tensin que en un modelo a flujo constante varan en la misma proporcin (V/f es constante).

f(s)G

1(s)

G2(s)

(s)

Z(s)

De igual forma, tanto el circuito elctrico como el mecnico son responsables de cada polo. El diagrama de bloques:

f(s) +-

Z(s)=MR(s)

MfM

KKRLsbJs

K

Mf KKRLsbJsRLs

(s)

G1(s)

G2(s)

2.3.3.- Vlvula mezcladora de 3 vas. Est vlvula mezcla dos caudales de agua a temperaturas T1 y T2 (vas 1 y 2), de tal forma que la temperatura del agua de salida (va 3) ser la resultante de la mezcla. La entrada del sistema es la apertura de la vlvula (x), variable entre 0 y 1. En el valor 0, la vlvula est cerrada para la va 1 y la salida corresponde al agua entrante por la va 2. En el valor 1, la vlvula est 100 % abierta para la va 1 y la salida corresponde al agua entrante por la va 1. Para cualquier posicin entre 0 y 1, se produce la mezcla.

15

1

2

3 1

2

3

x=0 x=1

1

2

3

0 T=T1. Experimentalmente se puede comprobar que en rgimen dinmico el sistema es de primer orden. Las perturbaciones son las temperaturas T1 y T2 de ambos caudales.

X(s) G(s) T(s)

T2(s)T1(s)

El diagrama de bloques de la FdT queda de la siguiente forma:

T1(s)

+-

55

s+

+

T2(s)

x

X(s)

T(s)x

Simulando con Xcos un escaln de 0->0.5 en la apertura de la vlvula (t=1s) y un escaln de 375K ->350K en T1(t) (t=6s), podemos ver el resultado en la siguiente imagen. La temperatura T2(t) se ha dejado constante al valor 325K.

16

2.3.4.- Traccin Cuando un mvil se desplaza accionado por un motor interno, el par generado por el motor se transmite a las ruedas en forma una fuerza (F(t)) aplicada de forma paralela al pavimento. En contra de esta fuerza de traccin, se encuentra la fuerza de rozamiento (bv(t)) y la componente paralela del peso del vehculo (P = mgsen).

F(t)

bv(t)

mgsen

La ecuacin mecnica del sistema:

dt

tdvmtPtbvtF

)()()()(

)()(

)()( tbvdt

tdvmtPtF

En el plano de Laplace:

)()()()( sVbmssPsF

Es claro que el ngulo de inclinacin resulta ser la perturbacin del sistema, por lo que el diagrama de bloques queda de la siguiente forma:

+-

bms 1

V(s)F(s)

)(sP

La fuerza F ser generada por un motor. En el caso de que el motor sea trmico, la entrada de la FdT del

motor ser el ngulo ( )(t ) de accionamiento del acelerador. Los parmetros K y a1 dependern de las caractersticas del motor trmico. En caso de que la traccin fuese elctrica, la FdT del motor ser alguna de las vistas anteriormente.

17

+-

bms 1

V(s) 1asK

)(s

)(t

)(sP

2.3.5.- Condensador. En un sistema frigorfico, el condenador se encarga de la transformacin de gas a lquido del fluido refrigerante. Este proceso se realiza a presin y temperatura constantes y desprende una cantidad importante de calor al ambiente. La cesin de calor se realiza por conveccin y para favorecer el proceso se utiliza al menos un ventilador, que aporta el caudal de ventilacin suficiente. El sistema se ve muy afectado por la temperatura exterior, que en este caso es la perturbacin. La FdT se demuestra que es de primer orden y presenta las siguientes variables,

G(s) P(s)

T(s)

QV(s)

donde:

QV: Caudal de ventilacin.

T: temperatura exterior.

P: presin de condensacin. Mediante una aproximacin, se pueden encontrar las ecuaciones (Laplace) del sistema, de la siguiente forma,

)()()(2

2

1

1 sQas

KsT

as

KsP V

,

donde los parmetros K1, K2, a1 y a2 dependen de los coeficientes de transmisin de calor entre refrigerante y agua y de las dimensiones del condenador. Obsrvese cmo ante un aumento del caudal de ventilacin, la presin de condensacin disminuye. Realizando una simulacin en Xcos para los valores siguientes:

K1: 10

K2: 12

a1: 5

a2: 8

18

Los resultados de la simulacin son en valores relativos, es decir en tanto por 1. Obsrvese que en t=1s, ante un escaln de temperatura y en ausencia de ventilacin, la presin se eleva considerablemente. Sin embargo, en t= 6s ante el escaln de la ventilacin, la presin desciende rpidamente debido a que el caudal de ventilacin favorece la transferencia de calor al ambiente.

3.- Sistemas de control en bucle cerrado (Closed Loop).

3.1.- Introduccin.

Los sistemas de control en bucle cerrado se realizan con un objetivo prioritario:

Conseguir que la variable de salida (PV: process variable) sea estable en un valor deseado (SP: set-point) a pesar del efecto de las perturbaciones.

Para ello es necesario realizar una realimentacin e incluir dos nuevos bloques al sistema. En la siguiente figura podemos ver el esquema de bloques de un control en bucle cerrado.

Z(s)

+- G(s)X(s) C(s)

H(s)

Y(s)

E(s)

H(s) es la FdT del sensor cuya misin es obtener el valor de la salida (se supondr H(s)=1 en la mayora de los casos), C(s) es la FdT del controlador regulador y E(s) es el error entre el valor deseado y el valor real de la variable de salida. El controlador es imprescindible en los sistemas en bucle cerrado como se explicar prximamente. La FdT del sistema en bucle cerrado (GCL(S)):

19

)()()()()()()(1)()()()()()()()(

)()()()()()()()()(

)()()()(

sXsGsCsYsHsGsC

sYsHsGsCsXsGsCsY

sYsHsXsGsCsEsGsCsY

sYsHsXsE

)()()(1

)()(

)(

)()(

sHsGsC

sGsC

sX

sYsGCL

3.2.- Objetivos de la realimentacin de sistemas.

Los principales objetivos de los sistemas realimentados son los siguientes.

1.- Precisin en rgimen permanente.

1.1.- Seguimiento sin error de la seal de entrada. La seal de salida consigue seguir a la de entrada para realizar un proceso de control a bucle cerrado regulacin. En rgimen permanece se cumple que y(t)=x(t).

1.2.- Eliminar el efecto de las perturbaciones sobre la salida del sistema. Un sistema en bucle abierto es sensible a las perturbaciones; en bucle cerrado, la salida sigue a la entrada independientemente de las perturbaciones.

Obsrvese a bucle cerrado como ante un escaln de la perturbacin, la seal y(t) vuelve a estabilizarse en el valor x(t), tras el transitorio del sistema.

20

2.- Mejorar la estabilidad.

2.1.-Conseguir un sistema estable a partir de uno inestable. Un sistema inestable en bucle abierto es aquel que tiene polos en el origen polos complejos conjugados imaginarios. La realimentacin puede conseguir que el sistema se vuelva estable.

2.2.-Mejorar la estabilidad de un sistema estable. De la misma forma, un sistema estable en bucle abierto, puede mejorar su estabilidad en bucle cerrado.

3.3.- El controlador PID. El controlador ms extendido en los procesos a bucle cerrado es el Proporcional-Integral-Derivativo (PID). El controlador recibe como entrada la seal de error y ejecuta las operaciones siguientes:

dt

tdeTdtte

TteKty D

I

PC

)()(

1)()(

El primer trmino es la accin proporcional, el segundo la accin integral y el tercero la accin derivada, donde:

e(t): error x(t)-y(t).

yc(t): salida del controlador.

KP: ganancia proporcional.

TI: tiempo de accin integral (s).

TD: tiempo de accin derivada (s). Multiplicando KP en cada sumando,

dt

tdeKdtteKteKty

dt

tdeTKdtte

T

KteKty

DIPC

DP

I

PPC

)()()()(

)()()()(

donde:

21

KP: ganancia constante proporcional.

KI: ganancia constante integral

I

P

T

K.

KD: ganancia constante derivativa. DP TK

En el plano de Laplace:

s

sKKsKsK

sKK

sE

sYsC

sSEKsES

KsEKsY

DIPDIP

C

DIPC

21

)(

)()(

)()(1

)()(

Por tanto, la FdT C(s) del controlador PID es:

YC(s)E(s)

s

sKKsK DIP2

PID

C(s)

En la prctica, los reguladores PID permiten activar y desactivar cada una de las acciones de control, de tal forma que el regulador puede comportarse como P, PI, PD PID. Analizaremos a continuacin el efecto de cada una de las acciones de control.

3.3.1.- La accin proporcional. En este caso KI=KD=0, luego el regulador se encarga solamente de amplificar la seal de error segn la ganancia KP. Veamos las caractersticas de la accin proporcional en el ejemplo 6.

Ejemplo 6

Analizar el siguiente sistema en bucle cerrado:

213

)(

ss

sG+-

X(s) KP=2

H(s)=1

Y(s)E(s)

Mediante una simulacin con Xcos ante un escaln del error, obtenemos el siguiente resultado:

22

Obsrvese que la seal y(t) no es capaz de seguir el valor deseado de x(t)=1. Esta diferencia se llama error en rgimen permanente (ERP) y es contraproducente, puesto que el objetivo es que y(t)=x(t) en rgimen permanente. Una posible solucin pasa por aumentar la ganancia proporcional KP. Para KP=4 obtenemos:

Obsrvese que todava hay ERP y que adems el transitorio tiene una ligera oscilacin. Si aumentamos la ganancia a KP=8:

No se ha eliminado ERP y adems el sistema oscila cada vez ms. Por tanto, el sistema se est volviendo inestable al aumentar KP.

Conclusiones:

La accin proporcional es insuficiente puesto que no anula el error en rgimen permanente (ERP).

La accin proporcional puede producir que el sistema resultante en bucle cerrado sea oscilante e incluso inestable.

23

3.3.2.- La accin integral. La siguiente imagen muestra la FdT de la accin integral. El valor de la salida ante un escaln del error, de amplitud XE, puede determinar en el dominio de tiempo mediante la anti-transformada de Laplace.

E(s)sTI

1Yc(s)

tT

X

sT

X

s

X

sTsY

I

E

I

EE

I

C (t)y 11

)( c2

Conclusin:

La accin integral es una rampa que se mantiene hasta que el error se anule.

La accin integral anula el error en rgimen permanente (ERP).

El tiempo de accin integral (TI), es el tiempo que tarda la rampa integral en alcanzar el valor del escaln del error (XE). Por tanto, a mayor TI, ms lenta es la rampa.

tT

X

I

E

XE

TI

3.3.3.- La accin proporcional-integral (PI). En la prctica, la accin integral no se configura por s sola, siempre va acompaada de la accin proporcional con lo cual el controlador es un PI, el ms extendido en instalaciones trmicas. El controlador PI tiene la siguiente FdT :

YC(s)E(s)

s

KsK IP

PI

C(s)

Aplicaremos este regulador PI al sistema del Ejemplo 6, donde no fue posible anular el error en rgimen permanente.

Ejemplo 7

Partiendo del sistema del Ejemplo 6, introducimos accin integral en el regulador, manteniendo constante KP al valor 2. El esquema y las tres simulaciones ante un escaln se pueden ver a continuacin.

213

)(

ss

sG+-

X(s)

H(s)=1

Y(s)E(s)

s

Ks I2 Ensayo TI KI=KP/TI 1 0.5 4 2 1 2 3 2 1

24

Ensayo 1 (TI=0.5s; KI=4) Se anula el ERP pero la respuesta presenta oscilacin, debida a que TI es muy pequeo, por lo que la accin integral es muy rpida.

Ensayo 2 (TI=1s; KI=2) Se reduce la oscilacin.

Ensayo 3 (TI=2s; KI=1) Respuesta muy aceptable.

Ejemplo 8

El siguiente sistema est afectado por una perturbacin z(t). Analizaremos el efecto de la perturbacin en la respuesta del sistema en bucle cerrado, sin y con accin integral (P-PI).

25

4115

)(

ss

sG+-

X(s)

H(s)=1

Y(s)E(s)

s

Ks I2 +-

Z(s)

En la siguiente tabla podemos ver los resultados de las simulaciones.

Regulador P (KP=2) Ante un escaln de la entrada, la respuesta presenta ERP=0.1, como es tpico de la accin proporcional. Pero ante un escaln de la perturbacin, ERP se dispara a valores inadmisibles.

Regulador PI (KP=2; KI=4) Se reduce una ligera oscilacin pero la respuesta anula ERP tanto ante las variaciones de la entrada como de la perturbacin.

Conclusin:

La accin integral anula el error en rgimen permanente (ERP) ante las variaciones de la entrada y de la perturbacin.

La accin integral resulta por tanto, imprescindible en los lazos de regulacin.

3.3.4.- La accin derivada (D). La siguiente imagen muestra la FdT de la accin derivada. El valor de la salida ante una rampa del error de pendiente ME, puede determinar en el dominio de tiempo mediante la anti-transformada de Laplace.

E(s) TDs Yc(s)

En el domino de tiempo ante una rampa del error e(t)=MEt:

26

EDEDE

DC MTs

MT

s

MsTsY (t)y )( c2

e(t)=MEt

TD

TDME

Por tanto, la accin derivada controla la respuesta del controlador ante las variaciones del error. A mayor pendiente de la rampa del error ME, mayor respuesta derivada. A mayor tiempo de accin derivada TD, mayor respuesta derivada. Adems cuando la rampa del error es descendiente, la derivada es negativa contrarrestando este efecto. De esta forma, la respuesta derivada predice como va a ser la evolucin el error, reaccionando para contrarrestarlo. La accin derivada se usa normalmente acompaada de la proporcional e integral (regulador PID). 3.3.5.- La accin proporcional-integral-derivada (PID). La FdT del regulador PID,

YC(s)E(s)

s

sKKsK DIP2

PID

C(s)

donde:

KP: ganancia constante proporcional.

KI: ganancia constante integral

I

P

T

K.

KD: ganancia constante derivativa. DP TK

Ejemplo 9

En el Ejemplo 8, se resolvi el problema del error en rgimen permanente (ERP) mediante la accin integral; sin embargo, el sistema oscila ligeramente. Una buena opcin para atenuar esas oscilaciones, es aadir la accin derivada al regulador. Introduciendo una accin derivada de TD=0.25s, obtenemos una constante KD=0.5, de tal forma que el regulador PID queda KP=2; KI=4; KD=0.5. La respuesta ante un escaln de la entrada puede verse en las siguientes imgenes.

27

Regulador PID (KP=2; KI=4; KD=0.5) Se ha reducido la oscilacin. No obstante, puede hacerse un ajuste ms fino de los parmetros PID.

Regulador PID (KP=2; KI=2; KD=0.5) Reduciendo ligeramente la constante integral, se puede ver una respuesta ms aceptable.

Conclusin:

La accin derivada se utiliza para reducir las oscilaciones del sistema.

Tambin se utiliza en sistemas muy rpidos que necesitan una gran precisin y rapidez en la respuesta del controlador.

3.3.6.- Resumen de las caractersticas del regulador PID. En la siguiente tabla se pueden ver las caractersticas ms importantes del regulador PID.

Error en rg. permanente

Oscilaciones Perturbaciones

Proporcional No elimina ERP Puede provocar oscilaciones

transitorias y/o inestabilidad si KP es demasiado grande.

No acta frente a las perturbaciones en

rgimen permanente.

Integral Elimina ERP

Puede provocar oscilaciones transitorias si TI es demasiado pequeo (accin integral muy

rpida).

Elimina el ERP generado por las perturbaciones.

Derivada No elimina ERP Suaviza las oscilaciones

transitorias.

Muy sensible al ruido (perturbaciones

electromagnticas ruido electrnico de sensores).

28

3.3.7.- Ajuste del regulador PID (PID tuning). El ajuste de un PID es el mayor reto de la regulacin automtica de sistemas. En el caso de conocer la FdT del sistema en bucle abierto, existen mtodos matemticos fiables para realizar el ajuste y que el sistema resultante en bucle cerrado tenga una respuesta apropiada y adems sea estable. En la mayora de los casos, la FdT ser desconocida y el diseo se basa en la experiencia. Por ejemplo, en instalaciones trmicas donde los sistemas son bastante lentos y las magnitudes (temperatura, presin, caudal, etc) suelen tener bastante inercia, la accin derivada se usa solo en situaciones muy singulares. En el siguiente enlace, pueden verse algunos valores tpicos en instalaciones trmicas. https://controls.engin.umich.edu/wiki/index.php/PIDTuningClassical#Trial_and_Error No obstante, existen varios mtodos implementados por Ziegler-Nichols para realizar el ajuste de un PID. 3.3.7.1.- Mtodo de Ziegler-Nichols en bucle abierto. Este mtodo se basa en conocer la respuesta de un sistema en bucle abierto ante un escaln de la entrada. Para ello y en ausencia de la FdT, el sistema en bucle abierto debe ser testeado y monitorizado. Segn Ziegler-Nichols, muchos sistemas (sobretodo en procesos qumicos y en instalaciones trmicas) presentan una respuesta en bucle abierto ante un escaln de amplitud XK, como la mostrada a continuacin.

Este mtodo propone unos parmetros PID basados en la condicin de que la amplitud de la segunda oscilacin de la respuesta en bucle cerrado, se reduzca en un 25 %. Los parmetros pueden obtenerse de la siguiente tabla.

29

Ejemplo 10

Un sistema presenta la respuesta ante un escaln en bucle abierto de la siguiente figura. Encontrar una parametrizacin PI segn Ziegler-Nichols.

El sistema presenta la tpica curva en bucle abierto en forma de S que permite aplicar el mtodo. Se debe de trazar la curva pendiente de la recta de subida (tras el retraso inicial) y la paralela al valor final YK. Obtenemos el siguiente resultado aproximado:

YK=1.22

L=1.1 s tau=1.7 s Realizando el clculo de parmetros:

31.066.3

15.1

TK 66.3

3.0

1.1

3.0T

15.11.171.0

9.09.0 71.0

7.1

22.1

I

II

P

PK

Ks

L

RLK

YR

Realizando una simulacin con estos parmetros obtenemos:

30

Regulador PI (Ziegler-Nichols. KP=1.15; TI=3.66 -> KI=0.31) El sistema no oscila y es estable. Sin embargo, la evolucin es muy lenta. Se podra mejorar haciendo ms rpida la accin integral.

Regulador PID (KP=1.15; TI=1.15 -> KI=1) La respuesta es perfecta al hacer ms rpida la accin integral.

3.3.7.2.- Mtodo de Ziegler-Nichols en bucle cerrado. El segundo mtodo de Ziegler-Nichols propone testear el sistema en bucle cerrado mediante un regulador P, de tal forma que se vaya aumentando la ganancia KP progresivamente hasta que el sistema comience a oscilar. Est ganancia se llama ganancia ltima y se designa como Ku.

Una vez encontrada la ganancia ltima Ku, debe de anotarse el periodo Pu de la oscilacin. Con estos datos, puede procederse a realizar la parametrizacin segn los siguientes valores.

31

Ejemplo 11

Un sistema presenta la FdT en bucle abierto 1001

100)(

2

ss

sG . Encontrar una parametrizacin PI

segn Ziegler-Nichols, mtodo 2.

Tngase en cuenta que este sistema en bucle abierto es tremendamente inestable, ya que presenta polos complejos conjugados y un polo en el origen. Por tanto, es todo un reto configurar un sistema en bucle cerrado que estabilice el sistema y que le confiera una respuesta aceptable. Simulando con Xcos la respuesta en bucle cerrado para varios valores de KP, encontramos que la ganancia ltima Ku es 2.

Regulador P (KP=1.5) La oscilacin se amortigua.

Regulador P (KP=2) La oscilacin permanece estable, luego esta es la ganancia ltima Ku. Ku = 2 Pu = 0.7 s

32

Regulador P (KP=2.5) La oscilacin no se amortigua.

Los parmetros de un ajuste PI:

55.158.0

9.0

TK 58.0

2.1

7.0

2.1T

9.0245.045.0

I

II

P

P

Ks

Pu

KuK

La respuesta PI con estos parmetros es bastante aceptable (aunque mejorable), tal como puede verse en la siguiente imagen:

Si realizamos un ajuste PID, obtenemos los siguientes parmetros y la siguiente respuesta:

10.0087.02.1K 087.08

7.0

8

43.335.0

2.1

TK 35.0

2

7.0

2T

2.126.06.0

D

I

II

DPD

P

P

TKsPu

T

Ks

Pu

KuK

33

Mediante ajuste PID Ziegler-Nichols, no se consigue mejorar significativamente la respuesta del sistema respecto al ajuste PI.

3.3.8.- Estabilidad de los sistemas realimentados. Los sistemas realimentados pueden volverse inestable aunque el sistema en bucle abierto sea estable. La estabilidad por tanto, adems de la respuesta a un escaln, es un criterio de desarrollo para los sistemas en bucle cerrado. La FdT en bucle cerrado es:

)()()(1

)()(

)(

)()(

sHsGsC

sGsC

sX

sYsGCL

Un sistema es estable siempre que los polos de su FdT tengan todos parte real negativa. Para determinar la estabilidad, es necesario conocer la FdT de todos los elementos (G, C y H) y operar segn la frmula anterior, lo cual en muchos casos no se produce. Por este motivo, existen otros criterios de estabilidad que se salen de los objetivos de este mdulo. Algunos de ellos son:

Lugar de las raices.

Criterio de Nyquist.

Diagramas de Bode.

Margenes de ganancia y fase.

Un sistema es estable siempre que los polos de su FdT tengan todos parte real negativa.

34

4.- Ejemplos prcticos de sistemas de control en bucle cerrado (Closed-Loop).

En el siguiente esquema se puede ver la estructura clsica de control en bucle cerrado. En los siguientes sistemas prcticos, vamos a identificar cada uno de los bloques.

G(s)

Z(s)

+-

X(s) C(s)

H(s)

Y(s)E(s)

A(s)

Controlador ActuadorSistema o

planta

SP PV

4.1.- Vehculo elctrico de traccin con Cruise Control. Supongamos un vehculo elctrico de masa m, traccionado por un motor trifsico de induccin de tensin y frecuencia nominal 400 V / 50 Hz; a su vez el motor es accionado por un variador de frecuencia. El objetivo del sistema es implementar un control de crucero (Cruise Control), de tal forma que la velocidad del vehculo est regulada a un valor prefijado.

Set-point (SP) y Variable de Proceso (PV)

El set-point (SP) consigna es la velocidad lineal en Km/h que el conductor del vehculo establece como velocidad ptima para el trayecto. La variable de proceso (PV) es la velocidad angular (t) real del eje que el vehculo tenga en cada instante. Esta velocidad viene dada en rd/s.

Controlador FdT C(s)

El controlador ser un PI PID (con sin accin derivada) ajustado para obtener la mejor respuesta a un escaln tanto del SP como de la perturbacin y, para garantizar la estabilidad del sistema.

E(s)

PID

(v)(Km/h)

Vcontrol

(s)

s

sKKsK DIP2

Actuador FdT A(s)

El actuador es un variador de frecuencia. El control tpico ser a travs de una entrada de tensin 0-10 V (recurdese el Micromaster), que general una red trifsica de salida entre 0 y los valores nominales de tensin y frecuencia segn un control donde V/f permanece constante. En nuestro caso:

400V

50Hzentrada de 10V

0

0entrada de 0

V

HzV

La FdT depender de trabajar en la salida con la frecuencia o con la tensin de lnea de la red trifsica de salida del variador. En ambos casos tenemos:

5 f(s)Vcontrol(s)

40 V(s)Vcontrol(s)

(Hz)

(v)

(v)

(v)

Se ha supuesto que la respuesta del variador es instantnea sin ningn tipo de retardo. En caso contrario, estas FdT tendran un polo real.

Sistema planta FdT G(s)

El sistema esta formado por el motor y por el sistema mecnico formado por el vehculo y la carretera. Segn se describe en 2.3.2 y 2.3.4, la FdT depende fundamentalmente de los siguientes parmetros:

Resistencia e inductancia del motor (R y L).

La FdT suministrada por el fabricante del vehculo es:

35

Constantes de par y de velocidad del motor (KM y Kf).

Masa del vehculo (m).

Coeficientes de rozamiento entre ruedas y carretera (b).

Las perturbacin z(t) que afecta a esta FdT es el ngulo de pendiente de la carrera, que ejerce una fuerza contraria y paralela al pavimento de valor mgsen.

(s) +-

(rd/s) )1(12

8

ss

4

f(s)

(Hz)

Sensor FdT H(s)

Puede ser una dinamo tacomtrica o un opto-acoplador. En ambos casos con conversin de la velocidad angular del eje (t) a velocidad lineal v(t), teniendo en cuenta el radio de las ruedas. De acuerdo con el fabricante, el radio r de las ruedas es 0.25 m, luego:

25,0)(

)()()(

r

t

tvtrtv

0.25 V(s)(Km/h)

(s) (rd/s)

Se desprecia el posible retraso del sensor (no hay polos).

El diagrama de bloques del sistema en bucle cerrado es el siguiente:

(s) E(s)

PID

+-

(rd/s) )1(12

8

ss

4

f(s)

(Hz)

0.25V(s)

(Km/h)

(s)

(rd/s)

(v)(Km/h)

5V

control(s)

+-

V(s)(Km/h)

Controlador Actuador

Sistema o

planta

Sensor

s

sKKsK DIP2