T

t

CT

C

t

O

D

C

A B

4 de junio

XXI – 113 Primer nivel Con un cuadrado C y dos triángulos isósceles T y t, se armaron las figuras siguientes:

fig. I fig. II fig. III

Perímetro fig. I = 86 cm; perímetro fig. II = 140 cm; perímetro fig. III = 126 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? ¿Cuánto miden los lados de cada uno de los triángulos?

XXI- 213 Segundo nivelEscribe todos los números impares, múltiplos de 3, entre 1500 y 2012. ¿Cuántos y cuáles son?

XXI – 313 Tercer nivel En la figura, ABC es un triángulo equilátero,

el ángulo DAB es recto, AD = DC, O es el punto de intersección de las alturas de ABC

y el área de AOC es 46,76 cm2. ¿Cuál es el área y cuál es el perímetro del cuadrilátero ABCD?

11 de junioXXI – 114 Primer nivel Ana, Bea y Ceci ahorran para irse de excursión. La semana pasada Ana y Bea ahorraron la misma cantidad, y Ceci ahorró $8 menos que Ana y Bea juntas.Esta semana, Ana ahorró el doble de lo que había ahorrado la semana pasada, Bea ahorró la mitad de lo que había ahorrado la semana pasada y Ceci ahorró lo mismo que la semana pasada. Esta semana, entre las tres juntaron $ 226. ¿Cuánto ahorró cada una esta semana?

XXI- 214 Segundo nivel En la liquidación se ofrece: “Todas las camperas al mismo precio.” “Todos los buzos al mismo precio.” “Todos los pantalones al mismo precio.”a) Ana hace algunos cálculos:

Si lleva dos pantalones, una campera y un buzo, paga $250 en total. Si lleva un pantalón, dos camperas y un buzo, paga $330 en total.Si lleva un pantalón, una campera y dos buzos, paga $260 en total.¿Cuál es el precio de cada artículo en la liquidación?

b) Ana tiene $300 y quiere gastarlos todos, ¿cuántos artículos de cada clase puede comprar? Da todas las posibilidades.

Problemas Semanales

de Graciela Ferrarini y Julia Seveso

A

C

B

D

F

E

D

C

E

A B

XXI – 314 Tercer nivel En el pueblo “Todos conectados”, el mes pasado, del total de las casas, el 50% estaban conectadas a TV por cable y a Internet, el 30% sólo estaban conectadas a TV por cable y el 20% sólo estaban conectadas a Internet. Este mes, la sexta parte de las casas conectadas sólo a TV por cable se abonaron además a Internet; la cuarta parte de las casas conectadas sólo a Internet se abonaron además a TV por cable; las restantes no hicieron ningún cambio. El abono mensual para ambos servicios es de $210; sólo para TV de $140 y sólo para Internet de $100. Si todas las casas pagaran su abono, este mes se recaudarían $ 151360.¿Cuántas casas están conectadas sólo a Internet este mes?

18 de junioXXI – 115 Primer nivel

En los vértices del hexágono de la figura, se escriben, de menor a mayor siguiendo

el sentido que señala la flecha, todos los múltiplos de 4 menores que 2011.

Se escribe el 4 en A, el 8 en B, el 12 en C, etc. ¿Cuál es el último número que se escribe?

¿En qué vértice se escribe este número?

XXI- 215 Segundo nivel En la figura, BCDE es un rectángulo; ABE es un triángulo isósceles de área 162 cm2; BC = 2AB.Las prolongaciones de los lados AE y CD se cortan en el punto O. ¿Cuál es el área de cada una de las siguientes figuras

ABDE ABO BDO ABDO ?

XXI – 315 Tercer nivelUn cajero automático tiene 20 billetes de $50, y 50 billetes de $20. ¿Qué sumas de dinero puede ofrecer? Da todas las posibilidades.

25 de junioXXI – 116 Primer nivel El cuadrado, de 128cm de perímetro, está partido en 9 rectángulos. Los 4 rectángulos de las esquinas son iguales entre sí.El rectángulo central tiene 72cm de perímetro.¿Cuál es el perímetro de cada uno de los rectángulos de las esquinas?

XXI- 216 Segundo nivel

Nico tiene una biblioteca de 6 estantes. Quiere utilizar 3 estantes para sus libros de Literatura: uno para las novelas, uno para los de cuentos y uno para los de poesías.En los otros estantes pondrá, en uno los de Ciencias Sociales; en otro los de Ciencias Naturales y en otro los de Matemática.Nico quiere elegir los estantes para cada clase de modo que los de Literatura estén en estantes consecutivos y los de Matemática no estén nunca en el último estante.¿De cuántas maneras puede hacerlo? Explica cómo los contaste.

XXI – 316 Tercer nivelUna alfombra está formada por una pieza rectangular

de largo igual al doble del ancho y por dos piezassemicirculares, como muestra la figura.

La pieza rectangular cubre 128dm2.¿Cuántos cm2 cubre la alfombra?

Para ribetearla, ¿cuántos cm de cinta se necesitan?

2 de julioXXI – 117 Primer nivel En un edificio de 10 pisos, cada piso, del 1 al 10, se alquila por mes, a $40 más que el piso de abajo. El segundo piso se alquila a $40 más que el primero; el tercer piso se alquila a $40 más que el segundo y así sucesivamente. Por el alquiler de un mes se recaudaron $ 20000. ¿A cuánto se alquiló ese mes, el sexto piso?

XXI- 217 Segundo nivel En el cuadrilátero ABCD se traza la diagonal BD y queda partido en el triángulo equilátero ABD y el triángulo isósceles BCD.Si , ¿cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del ABCD?

C

A B

E

D

XXI – 317 Tercer nivel Ana compró un regalo para cada uno de sus 5 hermanos.Por los regalos de todos menos el primero gastó $ 108. Por los regalos de todos menos el segundo gastó $ 110. Por los regalos de todos menos el tercero gastó $ 112. Por los regalos de todos menos el cuarto gastó $ 114. Por los regalos de todos menos el quinto gastó $ 116. ¿Cuánto pagó por cada uno de los regalos?

9 de julioXXI – 118 Primer nivel

Estos puntos son vértices de una cuadrícula.Con vértices en estos puntos,

¿cuántos triángulos rectángulos hay?

XXI- 218 Segundo nivelA la escuela, la mitad de los chicos va en micro. De los restantes, las tres cuartas partes van en auto, los demás, caminan. La mitad de los que caminan viven a 5 cuadras de la escuela; los restantes están a 2 cuadras.Hoy no faltó nadie y si sumamos las cuadras recorridas por todos los que caminaron, la suma es 112. ¿Cuántos chicos hay en la escuela?

XXI – 318 Tercer nivel En la sala de espera hay 3 filas de 4 asientos cada una. Quedan 3 asientos vacíos. Si los 3 asientos vacíos no están en 3 filas distintas, ¿de cuántas maneras pueden estar ubicados?

30 de julio XXI – 119 Primer nivel

ABE y BCD son triángulos isósceles.

AE = 2AB BC = 2 CD 2BD = DE

El perímetro de ABCDE es 192 cm.¿Cuál es el perímetro de ABE?¿Cuál es el perímetro de BCD?

D

E

B C

F

A

D

F CE

A B

XXI- 219 Segundo nivel En la figura, BCEF es un rectángulo,CDE es un triángulo equiláteroy AB = AF.El perímetro de ABCDEF es 94 cm.La suma de los perímetros de ABF y CDE es 66 cm.La diferencia de los perímetros de ABF y CDE es 6 cm.¿Cuáles son los perímetros de ABF y CDE? ¿Cuál es el área de BCEF?

XXI – 319 Tercer nivel En la figura,

ABCE es un rectángulo, DEF es un triángulo equilátero,

CDE es un triángulo rectángulo, FD=FC=CB.

El área de ABCE es de 50 dm2 y el perímetro de CDE es de 236,6 cm.

¿Cuál es el perímetro y cuál es el área de ABCDE? Da todas las posibilidades.

6 de agosto

XXI – 120 Primer nivelPérez y Smith se asocian en un negocio. Pérez aporta $3000 más que Smith. Al cabo de 5 años, venden el negocio a $42000, el doble de lo que habían invertido. ¿Cuánto había invertido Pérez?

XXI- 220 Segundo nivel En la maratón, un participante de categoría A paga $60 de inscripción y uno de categoría B paga $45. Para comprar los 28 premios de la categoría B se gastaron los 2/3 de lo recaudado por las inscripciones de los B.Para comprar los 20 premios de la categoría A se gastaron los 3/5 de lo recaudado por las inscripciones de los A.En premios se gastaron $13500 en total. Cada premio de los B se pagó $ 225. ¿Cuántos participantes hubo en cada categoría? ¿Cuánto se pagó cada uno de los premios A?

XXI – 320 Tercer nivelEn el negocio liquidan: remeras al 80% de su valor; pantalones al 75% de su valor y zapatillas al 60% de su valor. Originalmente, 3 pantalones costaban como 2 pares de zapatillas y 4 remeras como 1 par de zapatillas.En la liquidación Santi pagó por 1 pantalón, 1 remera y 1 par de zapatillas, $624.¿Cuál era el precio original de cada prenda?

CG

D

A B

F

E

13 de agosto XXI – 121 Primer nivel Matías tiene un lápiz azul, uno verde y uno rojo.Quiere pintar cada cuadrado de la torre de un color con las siguientes condiciones: Matías tiene un lápiz azul, uno verde y uno rojo.

debe usar los 3 colores en cada piso no debe pintar 2 cuadrados de igual color.

¿De cuántas maneras puede hacerlo?

XXI- 221 Segundo nivel En la escuela hay una comisión formada por tres grupos: uno de 3 maestros, uno de 3 alumnos y uno de 3 egresados.Para una entrevista con el Ministro, se deben elegir 6 integrantes de esa comisión entre los cuales debe haber por lo menos 1 representante de cada grupo. ¿De cuántas maneras se puede hacer?

XXI – 321 Tercer nivel

Se quieren pintar los 6 triángulos en queestá partida la figura utilizando los 3 colores: azul, rojo y verde de modo que los triángulos

que tienen un lado común no sean del mismo color.Indica de qué maneras puede hacerse. ¿Cuántas son?

20 de agosto XXI – 122 Primer nivelEl jardinero quiere hacer un cantero rectangular. Para eso tiene 4 estacas y una soga circular de 32 cm de longitud.Si no quiere que el largo del cantero sea mayor que el triple del ancho y quiere que las dos medidas sean números enteros, ¿cuántos canteros distintos puede armar? Da las dimensiones de cada uno.

XXI- 222 Segundo nivel

En la figura: ABDF es un rectánguloCG es paralela a ABCD = 2 BC, CE = EGEl área de la zona sombreada es de 40 cm2.¿Cuál es el área del ABDF?

HF

D B

G

C

EA

S

E

A

XXI – 322 Tercer nivel

En un octógono regular ABCDEFGHse trazan las diagonales AC, AD y AE.

¿Cuánto miden los ángulos interiores delos triángulos ABC, ACD y ADE?

27 de agosto XXI – 123 Primer nivelDante escribe todos los números impares entre 1500 y 2012 que tienen la cifra de las decenas menor que la cifra de las unidades. ¿Cuántos y cuáles son estos números?

XXI- 223 Segundo nivelPara gastar en vacaciones, Dani ahorra $10 todos los días, desde el 1º de marzo hasta el 31 de diciembre.El total de estos ahorros son el 90% de lo que gastará Dani en sus vacaciones. ¿Cuánto gastará Dani en sus vacaciones?

XXI – 323 Tercer nivel En el Super, Esteban compra pescado fresco, lácteos y productos congelados. Esteban calcula que en productos congelados gasta el doble que en lácteos y que en total debe pagar $271.Cuando llega a la caja sólo le cobran $249,15 porque hay un descuento del 5% en lácteos y un descuento del 15% en pescado fresco.Sin los descuentos, ¿cuánto pagaría por el pescado fresco y cuánto por los lácteos?

3 de setiembre XXI – 124 Primer nivelLa maestra quiere repartir 36 figuritas entre los 8 varones del grado.A cada uno de los 4 más chicos, le quiere dar 3 figuritas más que a cada uno de los 4 más grandes. Pedro es uno de los más chicos. ¿Cuántas figuritas recibió Pedro?

XXI- 224 Segundo nivel Ana quiere llegar de su casa (A) hasta la escuela (E), recorriendo 8 cuadras.No quiere pasar por la casa de Sofía (S).Indica qué caminos puede hacer.¿Cuántos son?

CD

FE B

A

E D

OF

A CB

F

B C

E

DA

XXI – 324 Tercer nivel En la figura:

ACDE es un rectángulo, ABOF es un cuadrado,

CO = CD, AC = 51cm, área de BCO = 270cm2,

los lados AB y BC tienen longitudes enteras.¿Cuál es el perímetro y cuál es el área del cuadrilátero ACOF?

¿Cuál el área del cuadrilátero BCDO?

10 de setiembre

XXI – 125 Primer nivel En la figura, EFD, DFC y CFB son triángulos equiláteros, ABE es isósceles, EA = AB. El perímetro de la figura es 98 cm. El perímetro de ABE es 2 cm más que el perímetro de EBCD. ¿Cuánto mide cada uno de los lados de la figura? ¿Cuál es el perímetro de CDEF? ¿Cuál es el perímetro de ABE?

XXI- 225 Segundo nivel En la figura:

BCEF es un rectángulo, BC= CE, los triángulos ABF y CDE son iguales,

el perímetro de ABF es 60 cm, el perímetro de ADEF es 144 cm,

el área de ABF es 120 cm2. ¿Cuál es el área de ADEF?

¿Cuál es el perímetro de ACEF?

XXI – 325 Tercer nivelAbril, Brenda y Vanesa; Carlos, Diego y Eduardo, se quieren sentar en una fila. Las chicas quieren estar siempre separadas pero puede haber hasta 2 chicos juntos.¿De cuántas maneras se pueden sentar.

A C E HJ Z

B F I

D G K

17 de setiembre

XXI – 126 Primer nivelDe A a Z, siguiendo el orden de las flechas, ¿de cuántas maneras se puede ir? Indica cuáles son.

XXI- 226 Segundo nivel En febrero, Aníbal recibió un 17% de aumento sobre el sueldo de enero; en marzo al sueldo de febrero se le agregó además el 6% del sueldo de enero.En febrero, Aníbal cobró $2106 de sueldo. ¿Cuánto cobró Aníbal en enero?Del sueldo de marzo, Aníbal gastó la sexta parte. ¿Cuántos pesos le quedaron del sueldo de marzo?

XXI – 326 Tercer nivel

Un recipiente metálico tiene forma de prisma recto con 2 caras cuadradas y 4 caras rectangulares. En su interior se vierten 20 litros de agua.Si se apoya el recipiente sobre una cara cuadrada, el agua alcanza 8cm de altura.Si se apoya el recipiente sobre una cara rectangular, el agua alcanza 10cm de altura.¿Cuáles son las dimensiones del recipiente?

24 de setiembre XXI – 127 Primer nivel Para un recital, hay plateas A y B; una platea A cuesta $ 50 más que una platea B. Si se compran por Internet hay que pagar una suma adicional por cada entrada; la suma adicional para una platea A es $5 más que la suma adicional para una platea B. Dani compró 4 plateas A por Internet, en total gastó $880. Edu compró 2 plateas A y 4 plateas B por Internet. ¿Cuánto gastó Edu?

XXI- 227 Segundo nivelAbril, Brenda y Vanesa; Carlos, Diego y Eduardo se quieren sentar en una fila. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo si: a) no puede haber varones juntos ni mujeres juntas,b) las 3 mujeres quieren estar siempre juntas? En cada caso da todas las posibilidades.

XXI – 327 Tercer nivelEn el campamento de los afectados por el terremoto, el depósito tiene agua suficiente para cubrir las necesidades de 120 personas durante 135 días si todos consumen igual ración diaria.Si el número de personas fuera 225 y la ración diaria fuera 3/5 de la anterior, ¿para cuántos días tendrían agua?

4 de junio

113. Construir un cuadrilátero que no sea un cuadrado y cumpla simultáneamente las siguientes dos condiciones: Cada diagonal divide al cuadrilátero en dos triángulos isósceles.

Las dos diagonales dividen al cuadrilátero en 4 triángulos isósceles.

213. Se tiene un pentágono con la siguiente propiedad: hay cuatro vértices tales que las perpendiculares trazadas desde esos cuatro vértices hacia los correspondientes lados opuestos pasan las cuatro por un mismo punto. Demostrar que la perpendicular trazada desde el quinto vértice al lado opuesto también pasa por ese punto.

313. Diremos que un entero positivo es bueno si todos sus dígitos son distintos de cero. Un entero bueno se llama especial si tiene al menos k dígitos y sus valores crecen estrictamente de izquierda a derecha.Dado un entero bueno, en cada movida es posible o bien agregar algún entero especial a su expresión por la izquierda, o bien agregarlo por la derecha, o bien insertar un entero especial entre cualesquiera dos de sus dígitos, o bien suprimir una secuencia de dígitos que sea un entero especial. Hallar el mayor valor de k tal que cualquier entero bueno se pueda transformar en cualquier otro entero bueno mediante las operaciones descriptas.

11 de junio

114. En una casilla de un tablero de ajedrez de 8 8 se coloca un cubo de 1 1 1 de modo que su cara inferior coincida con una casilla del tablero. El cubo rueda sobre un lado de su cara inferior de modo que ahora la cara adyacente se apoya en el tablero. De este modo el cubo viaja a lo largo del tablero, apoyándose al menos una vez en cada casilla. Demostrar que este viaje se puede hacer de modo que haya una cara del cubo que jamás se apoye en el tablero.

214. Los gusanos crecen a razón de 1 metro por hora. Cuando llegan a 1 metro de longitud dejan de crecer. Un gusano de 1 metro se puede partir en dos nuevos gusanos de longitudes arbitrarias que suman entre las dos 1 metro. Mostrar que es posible, usando repetidas veces esta operación, comenzar con un solo gusano de 1 metro y finalizar con 10 gusanos de 1 metro cada uno, empleando en total menos de 1 hora.

314. El barón de Münchausen tiene un conjunto de 50 monedas cuyos pesos son enteros positivos distintos menores o iguales que 100 y tales que el peso total de todas las

Problemas Semanales

de Patricia Fauring y Flora Gutiérrez

monedas es un número par. El barón afirma que es imposible distribuir todas estas monedas en dos grupos de igual peso. ¿Puede ser cierto lo que afirma el barón?

18 de junio

115. Sea ABC un triángulo y P el punto del lado AB tal que AP = 2PB. Se sabe que CP = 2PQ, donde Q es el punto medio de AC. Demostrar que el triángulo ABC es rectángulo.

215. Sea ABCD un trapecio isósceles de bases BC y AD, con BC < AD, y lados AB = CD,

tal que tiene una circunferencia inscrita. Demostrar que la bisectriz de divide al

cuadrilátero en dos figuras de igual área.

315. Un tablero tiene 2012 filas y k > 2 columnas. Una ficha se ubica en una casilla de la primera columna de la izquierda. Dos jugadores mueven por turnos. En cada movida, el jugador mueve la ficha una casilla hacia la derecha o hacia arriba o hacia abajo de modo que la casilla de llegada no haya sido ocupada por la ficha con anterioridad. El juego termina cuando cualquiera de los jugadores mueve la ficha hasta una casilla de la última columna de la derecha. Sin embargo, qué jugador gana o pierde sólo se informa en el momento en el que la ficha ocupa por primera vez una casilla de la anteúltima columna (la segunda columna de la derecha). ¿Puede alguno de los dos jugadores asegurarse la victoria?

25 de junio

116. Se divide el plano en ángulos de 1º mediante 180 rectas que pasan por el origen (las

180 rectas son los dos ejes y otras 178 rectas). Se traza la recta y se marcan

los puntos de corte de esta recta con las 180 trazadas anteriormente. Hallar la suma de las primeras coordenadas de estos puntos.

216. En el pizarrón está escrito un entero N > 1. A partir de este número, Alex escribe una sucesión de enteros positivos de la siguiente manera: elige un divisor mayor que 1 del último número escrito, y o bien se lo suma a éste y escribe el resultado o bien se lo resta a éste y escribe el resultado. Determinar si siempre es posible (para todo N > 1) para Alex escribir, en algún momento, el número 2011.

316. Se tiene una balanza de platos y un conjunto de pesas distintas entre si. Se sabe que para cualesquiera dos pesas de este conjunto que se coloquen en el plato izquierdo, uno

puede equilibrar la balanza colocando una o varias de las restantes pesas en el plato derecho. Determinar el menor número posible de pesas que puede tener el conjunto.

2 de julio

117. En la figura hay dos cuadrados; además hay un círculo en cada vértice y en cada punto donde se cruzan los dos cuadrados. Ubicar en los círculos vacíos los números enteros de 1 a 9 inclusive, sin repetir, de manera que la suma de los cuatro números escritos en cada lado de cada cuadrado sea siempre la misma.

217. Ale escribió un número n de cuatro dígitos divisible por 7 y tal que el número de cuatro dígitos que se obtiene al escribir los dígitos de n en orden inverso sea mayor o igual que n y sea también divisible por 7. Además, los dos números tienen el mismo resto en la división por 37.

Calcular los números que puede haber escrito Ale.

ACLARACIÓN: Los dígitos de n no son necesariamente distintos.

317. En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 1234 inclusive. La operación permitida es elegir dos o tres números escritos, calcular su suma, dividir la suma por 11 y escribir en el pizarrón el resto de esta división, aun en el caso en que éste sea igual a 0. Luego, borrar los números elegidos.

Después de realizar esta operación varias veces, quedan en el pizarrón solo dos números, y uno de ellos es 1000. Determinar, si es posible, el otro número que quedó en el pizarrón.

9 de julio

118. Hay 16 números enteros positivos consecutivos escritos en el pizarrón. Ana calcula la multiplicación de todos los números y Leo calcula la suma de todos los números.

a) Determinar si es posible que los últimos tres dígitos del resultado de Ana sean los mismos y en el mismo orden que los últimos tres dígitos del resultado de Leo.

b) Determinar si es posible que los últimos cuatro dígitos del resultado de Ana sean los mismos y en el mismo orden que los últimos cuatro dígitos del resultado de Leo.

(En cada caso, si la respuesta es afirmativa, indicar un ejemplo, y si es negativa, justificar el porqué.)

218. Se tienen 8 cubitos blancos, de arista 1. Mariano tiene que pintar 24 caras de cubitos de azul y 24 caras de cubitos de rojo. A continuación, Leonel tiene que armar con estos cubitos un cubo de . Si la superficie del cubo de tiene la misma cantidad de cuadraditos azules que de rojos, gana Leonel. Si no, gana Mariano.

Determinar si Mariano puede pintar los cubitos de modo que a Leonel le sea imposible lograr el objetivo.

318. Sean A la media aritmética y G la media geométrica de dos números positivos x e y, con .

a) Si , calcular .

b) Demostrar que hay un único par de enteros positivos distintos (x, y) tales que .

ACLARACIÓN: La media aritmética de dos números positivos x e y es . La

media geométrica de dos números positivos x e y es .

30 de julio

119. Sea ABCD un cuadrilátero con sus ángulos y mayores que 90º, y sea O el

punto de intersección de sus diagonales. Consideramos M en el segmento AO tal que BM es paralelo a CD, y N en el segmento DO tal que CN es paralelo a AB.

Demostrar que el área del triángulo AMN es igual al área del triángulo DMN.

219. Sean ABC y BDE dos triángulos iguales con tales que los

vértices B, C y D pertenecen a una recta, con C entre B y D, y los vértices A y E están en el mismo semiplano respecto de la recta BD.

Si AB = BD = 4 y BC = DE = 3, calcular el área de la región común a los triángulos ABC y BDE.

319. Sea ABC un triángulo con AB = AC y . Sean Q en AB y R en BC tales

que , y sea P el punto de intersección de AR y CQ. Si PR = 10, hallar

la medida del segmento BR.

6 de agosto

120. En la siguiente multiplicación hay que reemplazar cada por un dígito para que la cuenta sea correcta.

4

8

8

4

220. Calcular la cantidad de divisores de que no son divisores de .

320. Hallar el menor entero positivo, escrito en base 8, para el cual la raíz cuadrada, también escrita en base 8, tiene, inmediatamente después de la coma, un 1 y un 0.

13 de agosto

121. Al apretar la tecla de ENTER la computadora reemplaza los 3 números por

los 3 números . Decidir si es posible, comenzando con los 3

números , obtener, después de apretar varias veces la tecla ENTER, 3 números

que sean consecutivos.

221. Determinar las ternas de números primos positivos tales que

es un cuadrado perfecto.

321. Consideramos la progresión aritmética infinita . Demostrar que

esta progresión contiene infinitos números capicúas.

20 de agosto

122. Sean A, B y C puntos en una circunferencia de centro O y radio 2. Se sabe que

, que el punto A es tal que AO es paralelo a BC y además AC corta a BO en un

punto K interior a y que . Calcular la medida del segmento BK.

222. El rectángulo ABCD tiene lados AB = a y BC = b. Sea O el punto de intersección de sus diagonales. Sea E en la semirrecta BA tal que AE = AO, con A entre E y B, y sea F en la semirrecta DB tal que BF = BO, con B entre D y F. Si el triángulo CEF es equilátero demostrar que

(a) ; (b) ; (c) .

322. Sean ABC un triángulo acutángulo y D, E los pies de las alturas trazadas desde A y B en BC y CA respectivamente. Sea P el punto de intersección de la recta AD con la semicircunferencia de diámetro BC, exterior al triángulo ABC y sea Q el punto de intersección de la recta BE con la semicircunferencia de diámetro AC exterior al triángulo ABC. Demostrar que CP = CQ.

27 de agosto

123. Un número claro es un entero positivo de 10 dígitos o menos en el que el primer dígito de la izquierda cuenta cuantos ceros tiene el número, el segundo dígito cuenta cuantos unos tiene el número, el tercero cuenta cuantos dos tiene el número, y así siguiendo. Por ejemplo 42101000 es claro.

Hallar los tres números claros más pequeños y justificar que son los más pequeños.

223. Un conjunto no vacío de números naturales se denomina pequeño si la cantidad de elementos es menor que el menor elemento del conjunto.

Consideramos los siguientes conjuntos M: El menor elemento de M es un número entero positivo m menor o igual que 100; el mayor elemento de M es cualquier múltiplo positivo de m menor o igual que 100, digamos km. Los elementos de M son todos los múltiplos

positivos de m, desde m hasta km. Es decir, , con .

Calcular cuántos de los conjuntos M son pequeños.

323. Sea M el entero con 2011 cifras iguales a 8 y N el entero con 2011 cifras iguales a 5. Calcular la suma de las cifras del número (multiplicación de 9 por M por N).

3 de septiembre

124. Un polígono regular de 2000 lados tiene sus vértices numerados del 1 al 2000 en el sentido de las agujas del reloj. Un grillo realiza sucesivos saltos entre vértices: Si el número del que sale no es una potencia de 3, salta en el sentido de las agujas del reloj por encima de 4 vértices consecutivos y cae en el quinto (por ejemplo, si está en el vértice 53 salta hasta el vértice 58), y si el número del vértice del que sale es una potencia de 3, salta en contra del sentido del reloj dos vértices y cae en el tercero (por ejemplo, si está en el

vértice , retrocede hasta el vértice 24).

Si el grillo inicia su viaje en el vértice con el número 4, decidir si puede, mediante saltos sucesivos, llegar al vértice

a)

b) .

Si la respuesta es si, hallar la cantidad de saltos que debe dar el grillo para llegar por primera vez al vértice v y si la respuesta es no, explicar porqué.

NOTA: Las potencias de 3 son , , , , etc.

224. Un tren marcha a velocidad constante. Si se aumentara su velocidad en 10 kilómetros por hora, el tren llegaría a destino 45 minutos antes. Si se disminuyera su velocidad en 10 kilómetros por hora, el tren llegaría 1 hora más tarde. Hallar la cantidad de kilómetros que tiene el recorrido del tren.

324. En una bolsa hay 100 gatos, algunos blancos, otros negros y los restantes, grises. Se sabe que los negros son más que el doble de los blancos; que tres veces los blancos son más que 4 veces los grises y que 3 veces los grises son más que los negros. Calcular cuántos gatos de cada clase hay en la bolsa.

10 de septiembre

125. Sea ABC un triángulo equilátero y P un punto interior tal que y

. Calcular la medida de los ángulos y .

225. Sea ABCD un rectángulo de lados AB, BC, CD y DA, con AB mayor que BC; sea E el punto medio de AB y F el punto de la diagonal AC tal que BF es perpendicular a AC. Si

además FE es perpendicular a BD, calcular .

325. Sea ABC un triángulo con y . Denotamos M al punto medio

de BC y N al punto medio de AC. Calcular el ángulo entre AM y BN.

17 de septiembre

126. Hallar todos los números enteros positivos n para los que existe un múltiplo de 11 que tiene la suma de sus dígitos igual a n.

226. En el pizarrón están escritos los números enteros desde 1 hasta 33. En cada paso se eligen dos números del pizarrón tales que uno divida al otro, se borran y se escribe el cociente entero de los dos números recién borrados. Este procedimiento se repite hasta que no haya en el pizarrón ningún número que divida a otro. Determinar la menor cantidad de números que pueden quedar al final en el pizarrón.

326. Se colorea cada número del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} de rojo o de azul, de acuerdo con las siguientes reglas:

El 4 se colorea de rojo y por lo menos uno de los otros números se colorea de azul.

Si dos números x, y se colorean de distinto color y x + y 8, entonces el número x + y se colorea de azul.

Si dos números x, y se colorean de distinto color y x y 8, entonces el número x y se colorea de rojo.

Hallar todas las coloraciones posibles con estas reglas.

24 de septiembre

127. Cecilia hizo la lista de todos los números naturales de 5 dígitos que son divisibles por 37 y tienen la suma de sus dígitos igual a 37. Determinar cuántos números hay en la lista de Cecilia.

227. Se escriben en una hoja de papel todos los números naturales empezando en 1 hasta un número desconocido k, y luego se borra uno de los números escritos. El promedio de los números restantes es 25,25. ¿Cuál es el número que se borró?

327. Para k = 1, 2, …, 2011 denotamos .

Calcular la suma .