7/21/2019 Semigrupos, Monoides y Grupos

http://slidepdf.com/reader/full/semigrupos-monoides-y-grupos 1/3

Chapter 1

Grupos

1.1 Semigrupos, monoides y Grupos

1. Dar otros ejemplos distintos del texto de semigrupos y monoides que noson grupos.

Ejemplo: Sea   G  un grupo lineal ordenada, tales como:   Z,  Q  o  R, perono el grupo trivial. Por definicion se requiere respetar el orden del grupoproducto, es decir:   a ≤  b  implica  ac ≤  bc.

Considere el subconjunto G+ = {a ∈  G  |  e < a} y  G+

= {a ∈  G  |  e  ≤  a}.

Dados dos elementos   a, b   ∈   G+ (o   G+

). Se tiene   e < a   y   e < b, dondee < a  =   eb < ab, si   ab  ∈   G+. Dado que el producto en   G  es asociativo yexisten elementos mayor que   e, se deduce que   G+ es un semigrupo, ya queesta cerrado al operador asociativo. Finalmente, la ordenacion linea  a < e  oe < a  exclusivamente, para todos los elementos no triviales  a. Ası multipli-cando por la inversa notamos lo siguiente: si  a < e, entonces  e < a−1, y si

e < a, entonces a−1 < e. Por lo tanto, ni para  G+, y  G+

(excepto para e) nocontiene inversas por lo que no son grupos.  

Sugerencia: Considerar subconjuntos ordenados de grupos. Otros ejem-plos del campo de la Informatica son: cadena concatenacion; maquinas deestados finitos, donde la operacion esta siguiendo las flechas; y en generalcualquier gramatica regular. Las pruebas para estos son sucesivamente masdifıcil, pero se pueden encontrar en la mayorıa de libros de diseno compilador.

2. Sea  G  un grupo (escrito aditiva),  S  un conjunto no vacıo, y  M (S, G)

1

7/21/2019 Semigrupos, Monoides y Grupos

http://slidepdf.com/reader/full/semigrupos-monoides-y-grupos 2/3

el conjunto de todas las funciones  f   :  S  →  G. Definir adiciones en M (S, G)

de la siguiente manera: (f  + g) : S  → G  esta dada por  s → f (s) + g(s) ∈  G.Demostrar que  M (S, G) es un grupo, que es abeliano si es G.

Sugerencia: Piense en   M (S, G) como el producto cartesiano de   G,   S 

veces; cada funcion  f   : S  → G  puede ser pensado como una n-tupla donde  n

es el tamano de  S , y la adicion es simplemente puntual hecho con cada partupla. Precaucion: no asuma que  S  es finito.

Demostracion: En primer lugar, sabiendo que para la suma esta biendefinida en  G   se sigue para cualquier  s  ∈  S , y   f, g  ∈  M (S, G),   f (s) + g(s)esta bien definida como un elemento en   G. Por lo tanto   f  + g   :  S   →  G  esuna funcion bien definida y por lo tanto incluido en  M (S, G). Ası  M (S, G)

tiene una operacion binaria bien definido dada la adicion. Ademas, la op-eracion es asociativa dado para cualquier f, g y  h en M (S, G) y  s ∈  S  se sigue:

(f  + (g +  h))(s) = f (s) + (g +  h)(s) = f (s) + (g(s) + h(s))

= (f (s) + g(s)) +  h(s) = (f  + g)(s) + h(s)

= ((f  + g) + h)(s).

Esto demuestra  f  + (g +  h) = (f  + g) + h   segun se requiera. Ahora sedefine 0 :   S   →   G   por 0(s) =   e  para todo   s   ∈   S . Claramente 0 esta biendefinido en el plano y ası incluido en   M (S, G) (tenga en cuenta que estoa   M (S, G) un semigrupo, ya que se puede probar que no es vacıo). Sigu-iente (0 +  f )(s) = 0(s) + f (s) =   e +  f (s) =   f (s) para todo   f   ∈   M (S, G).Finalmente dada   f   :   S   →   G, definir   −f   :   S   →   G   como   s   → −f (s).Dado que cada elemento de su imagen   f (s) se encuentra en el grupo   G

tiene su inversa  −f (s), ası  −f   esta bien definido. Una vez mas por la con-struccion ((−f ) +  f )(s) =   −f (s) +  f (s) =   e   = 0(s). Por lo tanto ten-emos 0 como una identidad izquierda junto con   −f   como son inversas aizquierda para cualquier  f , ası por la Proposicion-I.1.3  M (S, G) es un grupobajo la adicion prescrita. Supongamos ahora que   G   es abeliano. Entonces(f  + g)(s) = f (s) + G(s) = G(s) + f (s) = (G + f )(s) por la conmutatividad

en  G. Por lo tanto  f  + g  =  g  +  f  ası que  M (S, G) es abeliano.

3. ¿Es cierto que un semigrupo que tiene un elemento de identidada izquierda y en la que cada elemento tiene una inversa a derecha (verProposicion-I.1.3) es un grupo?

2

7/21/2019 Semigrupos, Monoides y Grupos

http://slidepdf.com/reader/full/semigrupos-monoides-y-grupos 3/3

Sugerencia: La afirmacion es falsa; considerar un conjunto con 2 o mas

elementos y definir para una operacion de la forma   xy   =   y. Estos objetosson a veces llamado floops.

Ejemplo: Sea   S   un conjunto con cardinalidad mayor que 1. Para cua-lesquiera par de elementos x  e  y  y se define su producto como xy  = y. Puestoque   y  ya se supone que esta en   S , el producto se unicamente definido par(x, y), y esta contenida   S   por lo que esta bien definido. Por lo tanto, esuna operacion binaria bien definida. Tome   a, b   y   c  como elementos de   S .Simplemente por definicion  a(bc) =  bc  = (ab)c, por lo que nuestro productoes asociativo. Notese que podemos fijar cualquier elemento de  S  para servir

como una identidad a izquierda desde   ay   =   y  para todos los elementos y.Para cualquier  y  escoger una para ser inversa a derecha desde  ya  =  a. Porlo tanto se cumplen todas las propiedades de la hipotesis. Sin embargo   S 

 junto con esta operacion no es un grupo. Vemos esto porque dado   S   tieneal menos dos elementos, elegimos un  x  que es cualquier elemento y notamosque   e  =  xx−1 =  x−1 ; por tanto, cada inversa es la identidad. Pero por elteorema-I.1.2.iv, si   S  es un grupo en esta operacion entonces (x−1)−1 =   x

para todos los elementos x. Por tanto, e  =  e−1 = (x−1)−1 = x  que contradicela suposicion de que  S   tiene dos o mas elementos. Por lo tanto S  no es ungrupo.  

4.I R   R2 R3 T x   T 2,4   T y   T 1,3

I I R   R2 R3 T x   T 2,4   T y   T 1,3R R   R2 R3 I   T 2,4   T y   T 1,3   T x

R2 R2 R3 I R   T y   T 1,3   T x   T 2,4R3 R3 I R   R2 T 1,3   T x   T 2,4   T yT x   T x   T 2,4   T y   T 1,3   I   R3 R2 R

T 2,4   T 2,4   T x   T 1,3   T y   R I   R2 R3

T y   T y   T 1,3   T x   T 2,4   R2 R I   R3

T 1,3   T 1,3   T y   T 2,4   T x   R3 R2 R I

3