DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

Instituto Tecnolgico de TolucaDepartamento de Ciencias BsicasSerie de Ejercicios de Algebra Lineal

UNIDAD 1.- NMEROS COMPLEJOS

INSTRUCCIONES RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS

1. Sean z = 2 + 3 i, w = 2 + i, calcular:

a) z+w b) z w c) z wd) e) z2f) | z |g) | w | h) | z | + | w |i) | z + w |j) 9 w

2. Escriba el conjugado de los siguientes nmeros complejos:

a) z = 3 + 2ib) z = 3 + ic) z = i d) z = 8 i

3. Sean z = 2i, w = 8 + i, Realice la operacin indicada y escriba el resultado en la forma binomial, exponencial y trigonomtrica

a) z+wb) z w c) z wd) e) z2f) | z |g) | w |h) | z | + | w | i) | z + w | j) 9 w k) l) a) b) (1 + i)10

4. Escriba en forma rectangular los siguientes nmeros complejos:

a) z = ( a + 0i ) ( c + di )b) z = c) z = 3 7i 8 2i d) z = 5 2i (6 4i) i

e) z = f) z = 5.

Utilice el conjugado para calcula: a) z , b) z + , c) z , y d) si:

a) z = 3 + 5i b) z = 2 7i c) z = ( 3 2i ) ( 1 + 2i ) d) z = 6. Calcule el mdulo y el argumento de los siguientes nmeros complejos:

a) z = i b) z = i c) z = d) z = 1 + i e)- 3 + 2if) z = e) z = g) 7. Escriba en forma trigonomtrica y exponencial los siguientes nmeros complejos:

a) z = b) z = 6ic) z = 4 3id) z = 1 ie) z = f) z = 3 + 3i

8. Utilice la frmula de D'Moivre para obtener:

a) Las 3 races cbicas de 2 + 2 i. b) Las 3 races cbicas de 27 c) ( 1 i ) 3 ; d) ( 1 i ) 4

e) (i ) 8 f) Hallar las races cuartas de g)Las races cbicas de 9. Sean z = 2 + 3 i, w = 3 i, a) utilice la forma polar o trigonomtrica para efectuar el producto z w.

b) utilice la forma polar o trigonomtrica para efectuar el cociente . c) utilice la forma exponencial para efectuar el producto z w.

10. Obtenga el producto y el cociente de los siguientes nmeros complejos en la forma polar. a ) 3 ( cos 22 + isen 22) 2 ( cos 8 + isen 8 ) b) 2 ( cos 43 + isen 43) ( cos 17 + isen 17) c) 6 ( cos 51 + isen 51) / 2 ( cos 21 + isen 21 )

d) 2 ( cos 78 + isen 78) / ( cos 18 + isen 18)

11. Sean z = 2 i, w = 1 3 i. a) utilice la forma exponencial para efectuar el producto z w.

b) utilice la forma exponencial para efectuar el cociente .12. Sea z = 3 + i . Utilice la forma exponencial para calcular las 2 races cuadradas de z.

13. Resuelva las siguientes ecuaciones y escriba las races en la forma rectangular, trigonomtrica y exponencial: a) 2 x2 + 2 x 5 = 0 b) x2 + 2i x 1 = 0 c) x2 x + 1 + i = 0 d) x2 = 1 e) x4 = 1 f) x4 = 16i g) x3 = 2i

14. Representar en el plano complejo, los siguientes nmeros.a) z = 3 + 5 ib) z = 6 5 ic) z = 2 + 4 id) z = 4 ie) z = 2

15.

Dados dos nmeros complejos de la forma y , verificar la propiedad de valor absoluto:

16. Factorizar el siguiente polinomio , hallando todas sus races reales y complejas conjugadas que existan, verifica la regla de signos de Descartes e indica las posibles races vlidas para la divisin sinttica, para el siguiente polinomio:

17. Comprobar la propiedad: , para z0

18. Si hallar el valor numrico de:a. b. 19. Encontrar nmero reales X y Y tales que:

20. Graficar en el plano complejo los siguientes nmeros:

a)3+5j b) c) d) 21. Factorizar los siguientes polinomios

a) b)

22. Si n es cualquier entero, verifique que: cos + i senn = cos n + i sen n

23. Realice la operacin indicada y escriba el resultado en la forma binomial, exponencial y trigonomtrica

a) b) (1 + i)10 c)

LIBRO: Teora de ecuaciones. Autor Luciano Couder. Ed. Noriega-IPN

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