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Semestre 1-2011

José Luis Quintero Julio 2011

TEMA 5

SERIES NUMÉRICAS

Cálculo II (0252)

Semestre 1-2011

Departamento de

Matemática Aplicada

Prof. José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252)

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al

estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de series numéricas.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de

repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y

propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,

también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo

más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo II en

Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora

del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:

[email protected].

INDICE GENERAL Departamento de

Matemática Aplicada

Prof. José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252)

TEMA 5. SERIES NUMÉRICAS

5.1. Sucesiones

5.2. Serie infinita

5.3. Serie geométrica

5.4. Serie telescópica

5.5. Criterio de la integral

5.6. Serie alterna

5.7. Convergencia absoluta y convergencia condicional

5.8. Criterios de comparación

5.9. Criterio de la razón

5.10. Criterio de la raíz

5.11. Problemas propuestos

G

211

215

218

219

221

223

224

226

229

231

233

SUCESIONES Series Numéricas Pág.: 211 de 250

Prof. José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO II (0252) – TEMA 5

5.1. SUCESIONES

La importancia en el Cálculo de las sucesiones y series infinitas surge de la idea de

Newton de representar las funciones como sumas de series infinitas. Por ejemplo, al

determinar áreas, a menudo integraba una función expresándola primero como una serie y

después integrando cada término de la serie.

Muchas de estas funciones que surgen en la física matemática y en la química, como

las funciones de Bessel, se definen como sumas de series, por lo tanto, resulta importante

familiarizarse con los conceptos básicos de convergencia de sucesiones y series infinitas.

Definición 1. Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto {1,2,3,4,...,n,...} de

todos los números enteros positivos.

Los números del contradominio de una sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.

Ejemplo 1. Sea f la sucesión definida por

n

f(n) , n 1,2,3,...2n 1

= =+

. (1)

Se tiene que f es una sucesión y 3 51 2 4

3 5 7 9 11f(1) , f(2) , f(3) , f(4) , f(5)= = = = =

y así sucesivamente. Los elementos de la sucesión definida por f son 3 51 2 43 5 7 9 11, , , , , etc ; y

la sucesión es la (1).

Puesto que el dominio de cada sucesión es el mismo, puede emplearse la notación {f(n)} para denotar una sucesión. Así, la sucesión (1) puede denotarse por {n / (2n 1)}+ .

También se utiliza la notación de subíndice n{a } para expresar una sucesión para la cual

nf(n) a= .

Definición 2. Una sucesión n{a } tiene límite L si para cualquier 0ε > existe un número

N 0> tal que si n es un número entero y si n N> entonces na L− < ε y se escribe

nnlím a L→+∞

= .



Ejemplo 2. Siendo

n 2

1a

n= ,

se tiene que

2n

1lím 0

n→+∞=

por lo tanto se tiene que la sucesión es convergente.

Ejemplo 3. n

n

10lím

n→+∞= +∞

por lo tanto la sucesión n10

n

diverge.

Ejemplo 4.

nlím sen(n)→+∞

no existe por lo tanto la sucesión {sen(n)}

diverge.

Las sucesiones no se pueden derivar porque su dominio son puntos aislados. Con la

finalidad de aprovechar la teoría de funciones reales de variable real para el estudio de

crecimiento, decrecimiento y cálculo de límites de sucesiones es útil asociar una función de

variable real con una sucesión (función de variable natural) en la forma siguiente:

Se reemplaza en na n por x para definir una función f(x) tal que nf(n) a= .

Ejemplo 5. Sea

n n

n 1a

2

+= ,

se define la función asociada como

x

x 1f(x)

2

+= .



TEOREMA 1. Sea f(x) una función tal que na f(n)= para cada n N∈ .

a. Si f es decreciente en [0, )+∞ entonces n{a } es estrictamente decreciente.

b. Si f es creciente en [0, )+∞ entonces n{a } es estrictamente creciente.

c. Si xlím f(x) L→+∞

= entonces nnlím a L→+∞

= .

Este teorema permite aplicar la regla de L’Hospital en el cálculo del límite de una

sucesión.

Ejemplo 6. Establezca si la sucesión

n 1

n.arctg(n)

3n 1

∞

=

+

converge o diverge y encuentre el límite en caso de que sea convergente.

Solución.

n n n

n.arctg(n) n 1lím lím . lím arctg(n) . .

3n 1 3n 1 3 2 6→+∞ →+∞ →+∞

π π= = =+ +

Por lo tanto la sucesión converge.

Ejemplo 7. Establezca si la sucesión 2

nn 1

n

1 e

∞

=

−


Solución.

Sea 2

x

xf(x)

1 e=

−

la función real asociada. Aplicando L’Hospital se tiene: 2

x x xx x x

x 2x 2lím lím lím 0.

1 e e e→+∞ →+∞ →+∞= = =

− − −


Ejemplo 8. Establezca si la sucesión 2n

n 1

n 1

n

∞

=

+


Solución.



22n n

2

n n

n 1 1lím lím 1 e

n n→∞ →∞

+ = + =

.


Ejemplo 9. Establezca si la sucesión n

3n 1

ln( ( 1) )

n

∞

=

π + −


Solución. Para

nn

3 3 3

ln( 1) ln( ( 1) ) ln( 1)n 1,2,..., ln( 1) ln( ( 1) ) ln( 1)

n n n

π − π + − π += π − ≤ π + − ≤ π + ⇒ ≤ ≤ .

Como

3 3n n

ln( 1) ln( 1)lím lím 0

n n→+∞ →+∞

π − π += =

se deduce que n

3n

ln( ( 1) )lím 0

n→∞

π + − = .


Ejemplo 10. Establezca si la sucesión n2

2

n 1

n.cos( )

n 10

∞π

=

+


Solución. n2 n

22 2n n n

n.cos( ) nlím lím . lím cos( ) 0.

n 10 n 10

ππ

→+∞ →+∞ →+∞= =

+ +


Ejemplo 11. Establezca si la sucesión

n 2

n(n 2)

ln(n)

∞

=

+


Solución. Sea

x(x 2)f(x)

ln(x)

+=



la función real asociada. Aplicando L’Hospital se tiene:

2

x x x

x(x 2) (x 2) x 2x 2xlím lím lím

ln(x) 1 x 1→∞ →∞ →∞

+ + + += = = ∞

Por lo tanto la sucesión diverge.

5.2. SERIE INFINITA

Definición 3. Si n{a } es una sucesión y n 1 2 3 ns a a a ... a= + + + + entonces n{s } es una

sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

n 1 2 3 n

n 1

a a a a ... a ...

∞

=

= + + + + +∑ .

Los números 1 2 3 na ,a ,a ,...,a son los términos de la serie infinita.

Ejemplo 12. Considere la sucesión n 1 1 1 1 1 1

2 4 8 16 n 12{1 / 2 }: 1, , , , ,..., ,...−

−

A partir de esta sucesión se forma la sucesión de sumas parciales:

131

2 22 2

1 1 73 32 4 4

151 1 14 42 4 8 8

311 1 1 15 52 4 8 16 16

1 1 1 1 1n 2 4 8 16 n 12

s 1

s 1 s

s 1 s

s 1 s

s 1 s

s 1 ... ...−

== + ⇔ =

= + + ⇔ =

= + + + ⇔ =

= + + + + ⇔ =

= + + + + + + +⋮

Esta sucesión de sumas parciales n{s } es la serie infinita denotada por

n 1 n 1

n 1

1 1 1 1 1 11 ... ...

2 4 8 162 2

∞

− −

=

= + + + + + + +∑

Esta serie es un ejemplo de una serie geométrica, la cual se discutirá

posteriormente.

SERIE INFINITA Series Numéricas Pág.: 216 de 250


Ejemplo 13. Sea la serie infinita

n

n 1 n 1

1a

n(n 1)

∞ ∞

= =

=+∑ ∑ .

a. Obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas parciales n{s }.

b. Determine una fórmula para ns en términos de n.

Solución. a. Como n n 1 ns s a−= + se tiene

1 1 2 1 2

1 1 1 1 2s a , s s a

1.2 2 2 2.3 3= = = = + = + =

3 2 3

2 1 3s s a

3 3.4 4= + = + = , 4 3 4

3 1 4s s a

4 4.5 5= + = + =

b. Como

k

1a

k(k 1)=

+,

se tiene, mediante fracciones parciales,

k

1 1a

k k 1= −

+

Por tanto, 1 1 1 1 1

1 2 32 2 3 3 4a 1 , a , a= − = − = − , …

n 1 n

1 1 1 1a , a

n 1 n n n 1− = − = −− +

.

De esta forma, como n 1 2 n 1 ns a a ... a a−= + + + + ,

n

1 1 1 1 1 1 1 1 1s 1 ...

2 2 3 3 4 n 1 n n n 1

= − + − + − + + − + − − + .

Al eliminar los paréntesis y reducir los términos semejantes se obtiene

n

1s 1

n 1= −

+.

El método empleado en la solución del ejemplo anterior se aplica a sólo un caso

especial. En general, no es posible obtener una expresión de este tipo para ns .

Definición 4. Considere que

n

n 1

a

∞

=∑

denota una serie infinita dada para la cual n{s } es la sucesión de sumas parciales. Si

nnlím s→+∞

existe y es igual a S, entonces la serie es convergente y S es la suma de la serie. Si



nnlím s→+∞

no existe, entonces la serie es divergente y la serie no tiene suma.

Ejemplo 14. Determine si la serie del ejemplo 13 tiene una suma.

Solución.

En la solución del ejemplo 13 se mostró que la sucesión de sumas parciales para la serie dada

es

n{s } {1 1 (n 1)}= − + .

Por tanto,

nn n

1lím s lím 1 1

n 1→+∞ →+∞

= − = + .

Por lo que la serie infinita tiene una suma igual a 1, y se escribe

n 1

1 1 1 1 1 1... ... 1.

n(n 1) 2 6 12 20 n(n 1)

∞

=

= + + + + + + =+ +∑

TEOREMA 2. Si la serie

n

n 1

a

∞

=∑

converge entonces

nnlím a 0.→+∞

=

El enunciado anterior es equivalente a decir: Si

nnlím a 0→+∞

≠

entonces la serie

n

n 1

a

∞

=∑

diverge.

Ejemplo 15. Como

n

nlím 1 0

n 1→+∞= ≠

+

entonces la serie

n 1

n

n 1

∞

=+∑

diverge.



Ejemplo 16. La condición

nnlím a 0→+∞

=

no es suficiente para determinar la convergencia, en efecto:

2

n 1

1

n

∞

=∑ converge y

2n

1lím 0

n→+∞= ,

n 1

1

n

∞

=∑ diverge y

n

1lím 0

n→+∞= .

Estas series serán estudiadas posteriormente (series p) en particular la última recibe

el nombre de serie armónica.

5.3. SERIE GEOMÉTRICA

Definición 5. Una serie infinita de la forma

n 1 2 n 1

n 1

ar a ar ar ... ar ...

∞

− −

=

= + + + + +∑

se denomina serie geométrica.

La serie infinita discutida en el ejemplo 12 es una serie geométrica con a 1= y 12

r = .

TEOREMA 3. La serie geométrica converge a la suma a

1 r− si r 1< y diverge si r 1≥ .

Demostración. La n-ésima suma parcial de la serie geométrica está dada por

2 n 1ns a(1 r r ... r )−= + + + + . (2)

De la identidad n 2 n 11 r (1 r)(1 r r ... r )−− = − + + + +

(2) se puede escribir como n

n

a(1 r )s si r 1

1 r

−= ≠−

.

Ahora bien, n n

n n

a(1 r ) a rlím a lím .

1 r 1 r 1 r→+∞ →+∞

− = −− − −

SERIE GEOMÉTRICA Series Numéricas Pág.: 219 de 250


Como n

nlím r 0 si r 1→+∞

= < se tiene que

n n

n n

a(1 r ) a r alím a lím si r 1

1 r 1 r 1 r 1 r→+∞ →+∞

− = − = <− − − −

,

por lo tanto la serie geométrica converge y su suma es igual a a

.1 r−

Si r 1> entonces nr puede hacerse tan grande como se desee tomando n

suficientemente grande, en consecuencia la serie diverge.

Si r 1= ± es claro ver la divergencia por hacerse la suma tan grande como se desee o

bien por no existir el límite, en ambos casos el límite no es igual a cero.

5.4. SERIE TELESCÓPICA

Definición 6. Sea k{b } una sucesión. Una serie de la forma

k k 1

k 1

(b b )

∞

+

=

−∑

es llamada serie telescópica.

En una serie telescópica un término cancela alguno de los siguientes, por lo cual la

suma se reduce generalmente a sólo algunos términos. La serie del ejemplo 13 es telescópica.

En los dos tipos de series anteriores, geométricas y telescópicas, se ha podido

determinar la convergencia de la serie obteniendo el término general de la sucesión de sumas

parciales y luego se examina

nnlím s→+∞

.

Desafortunadamente esta técnica no es tarea sencilla para la mayoría de las series.

Seguidamente se enunciarán e ilustrarán algunos criterios utiles para determinar la

convergencia; sin embargo estos criterios, en el caso de convergencia, no indican como

calcular su suma.

SERIE TELESCÓPICA Series Numéricas Pág.: 220 de 250


Ejemplo 17. ¿Cuál es el valor de c si n

n 2

(1 c) 2

∞

−

=

+ =∑ ?

Solución. 1 1 1n2 2 2(1 c) (1 c) (1 c)n 2

1 1 c 1 c 21 c 1 c 1 c

n 2 n 2

1 1 c 1(1 c) 2 2c 2c 1

1 c c(1 c)1 c(1 c)

∞ ∞+ + +−

+ −+ + += =

+ + = = = = = = = ⇒ + = + +− + ∑ ∑

21 2

2 4 4.2 2 2 3 1 3 1 3 1 32c 2c 1 0 c c , c

4 4 2 2 2

− ± + − ± − ± − + − −+ − = ⇒ = = = ⇒ = = .

Se elige 1

1 3c ( 1,1)

2

− += ∈ − .

Ejemplo 18. Encuentre la suma de la serie

n n 1

n n 1 n

n 1

( 1) n 1Ln

3 .2 n

∞+

+

=

− ++ ∑ .

Solución.

n nn 1 n 1

n n 1 n n 1n n

n 1 n 1 n 1

n 1 1n n n6 6

n n 1 n n n 1 76 6

n 1 n 1 n 1 n 1

( 1) n 1 ( 1) n 1Ln Ln

3 .2 3 .2n n

Serie geométrica:

( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1. . .

2 2 2 6 2 2 2 713 .2 3 .2 6

∞ ∞ ∞+ +

+ +

= = =

∞ ∞ ∞ ∞

+

= = = =

− + − ++ = +

−− − − = = = − = = − = − = − +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

n 11/(n 1) 1/n

n n

n 1 n 1 n 1

1.

14

Serie telescópica:

n 1 Ln(n) Ln(n 1) Ln(n 1)Ln Ln(n 1) Ln(n) lím

n n 1 (n 1)n

∞ ∞ ∞+

+

→+∞= = =

+ + + = + − = − − = + + ∑ ∑ ∑

1x 1

x x x

n n 1

n n 1 n

n 1

Se aplica L Hospital :

Ln(x 1) Ln(x 1) 1x R, f(x) , lím lím lím 0.

x 1 (x 1) 1 x 1

Por lo tanto :

( 1) n 1 1Ln

3 .2 n

+→+∞ →+∞ →+∞

∞+

+

=

+ +∈ = = = =+ + +

− ++ = − ∑

.14

Ejemplo 19. Calcule la suma de la serie

(n 1)/2 2

n 1

3 n 1 n

2 n n

∞

−

=

+ −+ + ∑ .

SERIE TELESCÓPICA Series Numéricas Pág.: 221 de 250


Solución.

(n 1)/2 (n 1)/22 2

n 1 n 1 n 1

3 n 1 n 3 n 1 n.

2 2n n n n

∞ ∞ ∞

− −

= = =

+ − + − + = + + + ∑ ∑ ∑

n

(n 1)/2 n/2 1

2n 1 n 0 n 0

3 3 1 3 3 23 .

12 2 2 2 1

∞ ∞ ∞

−

= = =

= = = = − − ∑ ∑ ∑

(Serie geométrica)

n

n 1 n 1 n 1

n 1 n n 1 n 1 1 11 lím 1

n(n 1) n. n 1 n. n 1 n n 1 n 1

∞ ∞ ∞

→∞= = =

+ − += − = − = − = + + + + + ∑ ∑ ∑

(Serie telescópica)

Se tiene:

(n 1)/2 2

n 1

3 n 1 n 3 2 3 2 2 1 4 2 11 7 3 2.

2 2 1 2 1 2 1n n

∞

−

=

+ − + − −+ = + = = = + − − −+ ∑

5.5. CRITERIO DE LA INTEGRAL

TEOREMA 4. Sea

n

n k

a

∞

=∑

una serie de términos positivos, es decir na 0> para todo n mayor o igual a k, y sea f(x) la

función real asociada a la sucesión na , es decir nf(n) a= para todo n. Si f(x) es continua y

decreciente para x k≥ entonces

n

n k

a

∞

=∑ y

k

f(x)dx

+∞

∫

convergen o divergen ambas.

Ejemplo 20. Estudia la convergencia de la serie

2

n 2

1

n(ln(n))

∞

=∑ .

Solución.

CRITERIO DE LA INTEGRAL Series Numéricas Pág.: 222 de 250


Sea 2

1f(x)

x(ln(x))=

la función asociada, es continua en [2, )∞ . Se verá que es decreciente en este intervalo:

2 3

ln(x) 2f '(x) 0 x (2, )

x (ln(x))

+= − < ∀ ∈ ∞ .

Se estudiará ahora la convergencia de la integral impropia: b b

2 2b b22 2

1 1 1 1dx lím dx lím .

ln(x) ln(2)x(ln(x)) x(ln(x))

∞

→+∞ →+∞= = − =∫ ∫

La integral impropia converge, luego la serie converge.

Definición 7. Las series de la forma

p

n 1

1

n

∞

=∑ con p 0>

se denominan series p.

Se usará el criterio de la integral para estudiar con cuales valores de p la serie

converge o diverge. Sea

p

1f(x) , p 0

x= >

la función asociada que es continua en [1, )∞ .

p 1

pf '(x) 0

x += − < en (1, )∞

luego decrece en dicho intervalo.

p p 1b

1

1 1 1dx lím 1

1 px b

∞

−→+∞

= − − ∫

1si p 1

p 1

si 0 p 1

>= − +∞ < <

.

Para p 1= se tiene

b

1b1

1dx lím ln(x)

x

∞

→+∞= = +∞∫ .

CRITERIO DE LA INTEGRAL Series Numéricas Pág.: 223 de 250


Se concluye que

p

n 1

1

n

∞

=∑

converge para p 1> y diverge si 0 p 1< ≤ . En particular la serie armónica

n 1

1

n

∞

=∑

diverge ya que p 1= .

5.6. SERIE ALTERNA

Definición 8. Si na 0> para todos los números enteros positivos, entonces la serie

n 1n 1 2 3 4

n 1

( 1) a a a a a ...

∞

+

=

− = − + − +∑

y la serie

nn 1 2 3 4

n 1

( 1) a a a a a ...

∞

=

− = − + − + −∑

se denominan series alternas.

TEOREMA 5. Suponga que se tiene la serie alterna

n 1n

n 1

( 1) a

∞

+

=

−∑ o nn

n 1

( 1) a

∞

=

−∑ ,

donde na 0> y n 1 na a+ < para todos los números enteros positivos n. Si

nnlím a 0→+∞

= ,

entonces la serie alterna es convergente.

SERIE ALTERNA Series Numéricas Pág.: 224 de 250


Ejemplo 21. Dada la serie

n 1

n 1

( 1)

2n 1

∞+

=

−−∑

se tiene:

a. n n 1

1 1 1a a

2n 1 2(n 1) 1 2n 1 += > = =− + − +

para cada n, luego la sucesión na es decreciente.

b. nn n

1lím a lím 0.

2n 1→+∞ →+∞= =

−

Por lo tanto la serie alterna dada converge.

5.7. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL

Definición 9. La serie infinita

n

n 1

a

∞

=∑

es absolutamente convergente si la serie

n

n 1

a

∞

=∑

es convergente.

Ejemplo 22. Considere la serie

n 1 n 1

n 2 3 4 n

n 1

2 2 2 2 2 2( 1) ... ( 1) ...

33 3 3 3 3

∞

+ +

=

− = − + − + + − +∑ (3)

Esta serie será absolutamente convergente si la serie

n 2 3 4 n

n 1

2 2 2 2 2 2... ...

33 3 3 3 3

∞

=

= + + + + + +∑

es convergente. Como ésta es la serie geométrica con 13

r 1= < , entonces es convergente. Por

tanto, la serie (3) es absolutamente convergente.

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL

Series Numéricas Pág.: 225 de 250


Ejemplo 23. Dada la serie

n 1

n 1

1( 1)

n

∞

+

=

−∑

es convergente (criterio de serie alternas). Esta serie no es absolutamente convergente

debido a que la serie de valores absolutos es la serie armónica, la cual es divergente. La serie

del presente ejemplo en ocasiones es llamada serie armónica alterna y constituye un

ejemplo de una serie condicionalmente convergente.

Definición 10. Una serie que es convergente, pero no absolutamente convergente, se

denomina condicionalmente convergente.

La importancia de la convergencia condicional se muestra en el ejemplo siguiente:

Ejemplo 24. Considere la serie armónica alterna:

n 1

n 1

1 1 1 1 1 1( 1) 1 ...

n 2 3 4 5 6

∞

+

=

− = − + − + − +∑ (4)

la cual se sabe es condicionalmente convergente. Se reordenarán y agruparán los términos de

esta serie como sigue:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ...

2 4 3 6 8 5 10 12 2 4 6 8 10 12

1 1 1 1 1 11 ...

2 2 3 4 5 6

− − + − − + − − + = − + − + − +

= − + − + − +

(5)

Observe que la serie entre paréntesis anterior es la misma que la serie (4). Debido a

que la serie (4) es convergente, tiene una suma igual a S.

La serie (5) también tiene una suma, pero evidentemente la suma de (5) es un medio

de la suma de la serie (4). Esta situación se presenta debido a que la serie (4) es solo

condicionalmente convergente en vez de ser absolutamente convergente. Del ejemplo

anterior, parece que no se puede cambiar el orden de los términos de una serie

condicionalmente convergente y preservar la suma.

TEOREMA 6. Si

n

n 1

a

∞

=∑

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL



es una serie convergente de términos positivos, entonces sus términos pueden reagruparse

de cualquier manera, de modo que la serie resultante también será convergente y tendrá la

misma suma de la serie original.

TEOREMA 7. Si la serie

n

n 1

a

∞

=∑

es convergente, entonces la serie

n

n 1

a

∞

=∑

es convergente.

5.8. CRITERIOS DE COMPARACIÓN

TEOREMA 8. Suponga que

n n

n 1 n 1

a y b

∞ ∞

= =∑ ∑

son series con términos positivos.

a. Si

n

n 1

b

∞

=∑

es convergente y n na b≤ para toda n, entonces

n

n 1

a

∞

=∑

también converge.

b. Si

n

n 1

b

∞

=∑

es divergente y n na b≤ para toda n, entonces

CRITERIOS DE COMPARACIÓN



n

n 1

a

∞

=∑

también diverge.

TEOREMA 9. Suponga que

n n

n 1 n 1

a y b

∞ ∞

= =∑ ∑

son series con términos positivos. Si

n

nn

alím c

b→+∞= ,

donde c es un número finito y c 0> , entonces ambas series convergen o divergen. Además

a. Si c 0= y

n

n 1

b

∞

=∑

es convergente, entonces

n

n 1

a

∞

=∑

también converge.

b. Si c = +∞ y

n

n 1

b

∞

=∑

es divergente, entonces

n

n 1

a

∞

=∑

también diverge.

Ejemplo 25. Determine la convergencia o la divergencia de las siguientes series:

a. n 1

n 1

1( 1)

n ln(n)

∞

+

=

−−∑

Solución.

Se analiza la convergencia de la serie

CRITERIOS DE COMPARACIÓN



n 1

1

n ln(n)

∞

=−∑ .

Por comparación simple:

Sea

n 1

1

n

∞

=∑ (serie armónica) (diverge)

Se tiene que

1 1

n ln(n) n≥

−.

Por lo tanto la serie diverge.

Se estudiará la serie alterna:

n 1 n

1 1 n 1b b n ln(n) n 1 ln(n 1) ln 1

(n 1) ln(n 1) n ln(n) n++ ≤ ⇒ ≤ ⇒ − ≤ + − + ⇒ ≤ + − + −

1n nn

1 1lím lím 0

n ln(n) n(1 ln(n))→∞ →∞= =

− −.

Por lo tanto la serie propuesta converge condicionalmente.

b.

n 1

1tg

n n

∞

=

∑

Solución.

Criterio de comparación por paso al límite:

Sea

3/2

n 1 n 1

1 1

nn n

∞ ∞

= =

=∑ ∑ (Serie p con 32

p 1= > )

Se sabe que esta serie converge. Por lo tanto 1

n n

1n z 0n n

tg( ) tg(z)lím lím 1

z→+∞ →= =

Por lo tanto la serie propuesta converge absolutamente.

CRITERIO DE LA RAZÓN Series Numéricas Pág.: 229 de 250


5.9. CRITERIO DE LA RAZÓN

TEOREMA 10. Sea

n

n 1

a

∞

=∑

una serie infinita para la cual cada na es diferente de cero:

a. si

n 1

nn

alím L 1

a+

→+∞= < ,

entonces la serie es absolutamente convergente;

b. si

n 1

nn

alím L 1

a+

→+∞= > o si n 1

nn

alím

a+

→+∞= +∞ ,

la serie es divergente;

c. si

n 1

nn

alím 1

a+

→+∞= ,

no se puede concluir nada acerca de la convergencia a partir de este criterio.

Ejemplo 26. Determine si la serie es convergente o divergente:

n 1

n

n 1

n( 1)

2

∞

+

=

−∑ .

Solución.

Si

n 1n n

na ( 1)

2

+= − y n 2n 1 n 1

n 1a ( 1)

2

++ +

+= − .

Por tanto, n

n 1n 1

n

a n 1 2.

a n2

++

+= .

De modo que 1

n 1 n

n nn

1a 1lím lím 1

a 2 2+

→+∞ →+∞

+= = < .

Por tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es absolutamente convergente.

CRITERIO DE LA RAZÓN Series Numéricas Pág.: 230 de 250


Ejemplo 27. Determine si la serie es convergente o divergente:

a. n

n 1

n.cos(n )

e

∞

=

π∑

Solución.

n

n n

n 1 n 1

n.cos(n ) ( 1) .n

e e

∞ ∞

= =

π −=∑ ∑ (Serie alterna).

Se estudiará la convergencia de la serie

n

n 1

n

e

∞

=∑

aplicando criterio del cociente: n 1 n 1

nn 1 ne e .en n nn n n nn ne e

(n 1)e 1 n 1 1lím lím lím lím 1

e n en.e .e

+ ++

→∞ →∞ →∞ →∞

+ += = = = < .

Por lo tanto la serie converge absolutamente.

Ejemplo 28. Encuentre los valores enteros positivos de k para los cuales la serie

2

n 1

(n!)

(kn)!

∞

=∑

converge.

Solución. Aplicando el criterio de la razón:

2((n 1)!) 2(k(n 1))!

2 2n n n(n!)

(kn)!

2

n

((n 1)!) .(kn)! (n 1)!.(n 1)!.(kn)!lím lím lím

n!.n!.(k(n 1))!(n!) .(k(n 1))!

(n 1) lím

(kn k).(kn k 1)...(kn 1)

++

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

+ + += =++

+=+ + − +

En el denominador se tiene un polinomio de grado k y el coeficiente del término

kx es igual a kk . Por lo tanto si k 0= y si k 1= la serie diverge y si k es igual a 2 el límite es igual a ¼.

Para k 3≥ el límite es igual a cero y de acuerdo al criterio del cociente la serie converge para

k 2,3,...=

CRITERIO DE LA RAÍZ Series Numéricas Pág.: 231 de 250


5.10. CRITERIO DE LA RAÍZ

TEOREMA 11. Sea

n

n 1

a

∞

=∑

una serie infinita para la cual na es diferente de cero:

a. si nn

nlím a L 1→+∞

= < , entonces la serie es absolutamente convergente;

b. si nn

nlím a L 1→+∞

= > , o si nn

nlím a→+∞

= +∞ , la serie es divergente;

c. si nn

nlím a 1→+∞

= , no se puede concluir nada acerca de la convergencia a partir de este

criterio.

Ejemplo 29. Aplique el criterio de la raíz para determinar si la serie es convergente o

divergente:

2n 1n

2n

n 1

3( 1)

n

∞+

=

−∑ .

Solución. Al aplicar el criterio de la raíz se tiene

1/n2n 1 2 (1/n)

nn 2n 2n n n

3 3lím a lím lím 0 1

n n

+ +

→+∞ →+∞ →+∞

= = = <

.

Por tanto, por el criterio de la raíz, la serie dada es absolutamente convergente.

Los criterios de la razón y de la raíz están íntimamente relacionados. Sin embargo, el

criterio de la razón generalmente es más fácil de aplicar; si los términos de la serie contienen

factoriales, este es ciertamente el caso. Si los términos de una serie contienen potencias,

aplicar el criterio de la raíz puede ser más ventajoso que aplicar el criterio de la razón.

Ejemplo 30. Establezca si la serie 2n

n 1

n

n 1

∞

=

+ ∑

converge absolutamente, condicionalmente o diverge.

Solución.

CRITERIO DE LA RAÍZ Series Numéricas Pág.: 232 de 250


Aplicando criterio de la raíz:

2n /n n

nn n n

n n 1 1lím lím lím 1

n 1 n 1 e11

n

→∞ →∞ →∞

= = = < + + +

.

Por lo tanto la serie converge absolutamente.

PROBLEMAS PROPUESTOS Series Numéricas Pág.: 233 de 250


5.11. PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Establezca en cada caso si la sucesión converge o diverge y encuentre el límite de las

sucesiones convergentes:

a. sen(n)

2n 1

n.e

n 10

∞

=

+

b. { }n 1

n 1 n∞

=+ −

c. n 1

sen( n)

n

∞

=

d. { }2

n 1n 3n n

∞

=+ −

e. { }n 1

ln(n) ln(n 1)∞

=− +

f. n

n 1

ln( e )

3n

∞

=

π +

g.

2n2

2

n 1

n 1

n 4

∞

=

− +

h. 2

n 1

n

(ln(n))

∞

=

i. 2 2

n 1

(n 2) (n 2)

n 4 n

∞

=

+ + − + Rta. -4

j.

2n 1

n 1

n 1

n 1

∞+

=

+

−

diverge

k. n

nn 1

2 3e

8 5e

∞−

−=

−

+ 1

4Rta.

l. n

n 1

n

n 1

∞

=

+



2. Dada la serie

n

n 1

2

3

∞

=∑ :

a. Identifiquela como una serie geométrica y obtenga el valor de su suma. b. Transformela en una serie telescópica y obtenga el valor de su suma.

Respuesta: la suma es igual a 1.

3. Calcule la suma de la serie

n n

n

n 2

1 2 3

5

∞

=

+ +∑ .


n 2 n 1

n 1

n 2

3 2

7

∞+ −

+

=

+∑ .


2 2

n 1

2n 1

n (n 1)

∞

=

++∑ . Rta: 1.


n 0

1

(n 2)(n 3)

∞

=+ +∑ . Rta. 1/2 .

7. Calcule la suma de

n 1

2

n(n 1)(n 2)

∞

=+ +∑ .

8. Calcule la suma de n

n 3

3 6

(n 3)(n 4)5

∞

=

− + + ∑ .

9. Exprese

n 2

ln(n 1) ln(n)

ln(n).ln(n 1)

∞

=

+ −+∑

como una serie telescópica y calcular su suma. 1ln(2)

Rta. .




n n 1

n n 1

n 0

3 3

1 2 1 2

∞+

+

=

− + + ∑ . Diverge

11. Usando el criterio de la integral, establezca la convergencia o divergencia de la serie

32 n

n 1

n e

∞

−

=∑ .

Converge. Integral 13e.

12. Usando el criterio de la integral, establezca la convergencia o divergencia de la serie

n

n 1

n

e

∞

=∑ . Converge.

13. Aplicando el criterio del cociente, establezca la convergencia o divergencia de la serie

4

n 1

1.3.5...(2n 1)

n

∞

=

−∑ . Rta. Diverge.

14. Aplicando el criterio del cociente, establezca la convergencia o divergencia de la serie

n

n 1

n

n!

∞

=∑ . Rta . Diverge.

15. Estudie la convergencia de las siguientes series alternas:

a. n

n 1

( 1)

3n 2

∞

=

−+∑ Rta. Converge condicionalmente

b. n

2

n 1

( 1)

(3n 2)

∞

=

−+∑ Rta. Converge absolutamente

c. n 1

2

n 1

( 1) (n 2)

n 5n 6

∞+

=

− ++ +∑ Rta. Converge condicionalmente

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