SERIES INFINITAS

V . SERIES INFINITAS

La notación sigma

En la sección 10.2 definimos una sucesión como una función con valores reales cuyo

dominio es el conjunto de enteros positivos. Por ejemplo, para indicar la sucesión

{1 ,12

,14

,18

, …}podemos hacer an¿( 1

2 )n−1

y escribir

{a1 , a2 , a3 , a4 , …}

Sin embargo, en este capítulo a menudo será conveniente comenzar la sucesión con un

índice distinto de 1. Así, continuando con el ejemplo, podemos hacer bn=( 12 )

n

n. = 0, 1,2, ..., y escribir

{b0,bl7b2,b3,...},

empezando, en este caso, por el índice 0. Más generalmente, podemos poner

cn = (1\2)p y escribir

{ cp* Cp + 1» Cp + 2' cp + 3>• • • /»

empezando esta vez por el índice p.

El símbolo ∑ es la letra griega "sigma" mayúscula. Escribimos

∑k=0

n

ak

(léase "suma desde k igual a 0 hasta k igual ande las a sub £") para indicar la suma

a1+a2+…+an

En general, si /? > ra, escribimos

∑k=m

n

ak

para indicar la suma

am+am+1+…+an

En (1) y (2) se usa la letra k como variable "muda". Es decir, que puede ser sustituida

por cual quier otra letra no utilizada previamente. Por ejemplo, se puede usar cada una

de las siguiem expresiones.

∑i=3

7

ak , ∑j=3

7

ak , ∑k =3

7

ak

para indicar la suma

a3 + a4 + a5 + a6 + a7

Traduciendo

(aQ+ ... + a„) + (¿>0 + ... + bn) = (aQ+ Z>0) + ... + (an + bn),

a ( a0+…+an ) ¿ a a0+¿…+a an,

(a0+…+am )+(am+1+…+an )=a0+…+an

a la notación con∑, tenemos:

∑k=0

n

ak+∑k=0

n

bk=∑k=0

n

(ak+bk ) , a∑k=0

n

ak ¿∑k=0

n

aak

∑k=0

m

ak+ ∑k=m+1

n

bk=∑k=0

n

ak

A veces suele ser conveniente cambiar los índices. En relación con esto, observemos

que

a∑k=0

n

ak=∑k=0

n

aak (hacer ¿ = k-j)

Ambas expresiones son abreviaciones de a); + aj+, + ...+ an.

El lector podrá familiarizarse con esta notación haciendo los ejercicios; pero antes, una

observación más. Si todos los a¿ son iguales a un número r lijado, entonces

Obviamente, entonces

∑k=0

n

r=r+r+…+r= (n+1 ) r

En particular,

∑k=0

n

1=n+1

Series infínitas: introducción

Aunque es posible sumar dos números, tres números, un centenar de números, o incluso

un millón de números, no está claro qué significa sumar una intinidad de números. La

teoría de las series infinitas surgió del intento de salvar esta dificultad. Como era de

esperar, incluye un proceso de paso al límite.

Para formar una serie infinita, empezamos considerando una sucesión infinita de

números reales: OQ, ax, a^,... . No podemos formar la suma de todos ios ak(hay una

infinidad de ellos), pero sí podemos formar las sumas parciales

o

s0 = ao = ∑k=0

0

ak

s1= a0 + a1=∑k=0

1

ak

s2 = a0 + a1 + a2 = ∑k=0

2

ak

s3= a0 + a1 +a2 + a3= ∑k=0

3

ak

sn= a0 + a1+a2 + a3+ ... +an= = ∑k=0

n

ak

Este proceso nos conduce a considerar la "suma infinita"∑k=0

∞

ak que recibe el nombre de

serie infinita. La correspondiente sucesión {sn} se llama la sucesión de sumas parciales

de la serie.

DEFINICIÓN 11.1.1

Sea∑k=0

∞

ak una serie infinita. Si la sucesión de sumas parciales{sn} converge a un límite

finito L, se dice que la serie ∑k=0

∞

akconverge a L y se escribe

∑k=0

∞

ak=L

El número L se llama la suma de la serie. Si la sucesión de sumas parciales diverge,

entonces se dice que la serie ∑k=0

∞

ak diverge.

Observación Es importante observar que la suma de una serie no es una suma en el

sentido ordinario. Es un límite.

He aquí algunos ejemplos:

Ejemplo 1 Empezamos con la serie

∑k=0

∞1

(k+1 ) (k+2 )

Para determinar si esta serie converge o no, hemos de examinar las sumas parciales.

Dado que

1(k+1 ) (k+2 )

= 1(k+1 )

+ 1(k+2 )

(descomposición en fracciones simples, ver sección 8.5)

se observa que

sn¿1

1.2+ 1

2.3+…+ 1

(n ) (n+1 )+ 1

(n+1 ) (n+2 )

¿( 11−1

2 )+( 12−1

3 )+…+ 1n− 1

n+1+ 1

n+1− 1

n+2

¿1−12

+12−1

3+ 1

n− 1

n+1+ 1

n+1− 1

n+2

Puesto que todos los términos, excepto el primero y el último, aparecen por pares con

signo opuestos, la suma se simplifica y da

sn¿1− 1n+2

Evidentemente, cuando n -»<», sn -» 1. Esto significa que la serie converge a 1:

∑k=0

∞1

(k+1 ) (k+2 )=1

Observación Las series infinitas que poseen la propiedad descrita en el ejemplo 1 (es

decir tales que los términos de la serie pueden agruparse de dos en dos con signos

opuestos, excepto el primero y el último) se llaman series telescópicas. En general,

∑k=0

n

[ f (k )−f (k+1 ) ]=f ( p )-f ( n+1 ) y

∑k=0

n

[ f (k )−f (k−1 ) ]=f (n )-f ( p−1 ) (verifícalo)

Ejemplo 2 Consideraremos aquí dos series divergentes

sn¿∑k=0

∞

2k y∑k=0

∞

(−1 )k

Las sumas parciales de la primera serie son de la forma

sn¿∑k=0

n

2k=1+2+22+…+2n

Como s„ > 2", la sucesión {sn} no está acotada, luego es divergente (10.3.5). Esto

significa que la serie es divergente.

En cuanto a la segunda serie, tenemos que

sn¿∑k=0

∞

(−1 ) k

y se deduce que

sn¿ { 1 si nes par0 si n es impar

La sucesión de las sumas parciales tiene el siguiente aspecto: 1, 0, 1,0, 1,0, ... .La serie

diverge dado que la sucesión de las sumas parciales diverge.

Observación El ejemplo 2 ilustra dos tipos de divergencia. En el primer caso, sn -» <»

cuando n —»°°. La notación £~=0 ak ~ °° se utiliza a veces para describir este tipo de

divergencia. En el segundo caso, sn "oscila" entre 0 y 1.

Series geométricas

Sea x un número fijado. La sucesión

{1 ,x , x2 , x3 , …} ¿{ xn}

Se llama progresión geométrica. Respecto a la convergencia de una progresión

geométrica, sabemos que si Lcl < 1, entonces xn -> 0 [se trata del "límite especial"

(10.4.2)1. Si x - 1, entonces se obtiene la sucesión constante 1,1,1,..., que evidentemente

converge a 1; si x = -1, entonces x* "oscila" entre 1 y -1, de manera que la sucesión es

divergente. Finalmente, si 1x1 > 1, entonces {x"} no está acotada y por tanto diverge.

Las sumas

1, 1+x, 1 +x+x2, 1 +x+x2+x3 , ...

Engendradas por números en progresión geométrica son las sumas parciales de lo que se

conoce como una serie geométrica:

∑k=0

∞

xk

Las series geométricas aparecen en tantos contextos que merecen una atención especial.

El resultado siguiente es fundamental:

(i) si |x|<1 entonces

∑k=0

∞

xk= 11−x

(ii) si |x|≥ 1 entonces

∑k=0

∞

xk diverge

Demostración La n-ésima suma parcial de la serie geométrica

∑k=0

∞

xk

tiene la forma

sn¿1 +x+…+xn

La multiplicación por x nos da

xsn¿x +x2+…+xn+1

Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos que

(1−x )sn¿1−xn+1

Para x ≠1, esto nos da

(2) sn¿1−xn+1

1−x

Si |x| < 1, entoncesxn+1 > 0 cuando n → ∞ luego, en virtud de la igualdad (2),

sn →1

1−x

Esto demuestra (i).

Demostremos ahora (ii).

Si x=l, usar la igualdad (1): sn¿ ∑k=0

n

1k=n+1; {sn } diverge

Si x = -1, usar la igualdad (1): sn= ∑k=0

n

(−1 )k ; {sn } diverge, tal como se demuestra en d

ejemplo 2.

Si |x| > 1, usar la igualdad (2): puesto que {xn+1 } no está acotada, {sn } diverge.

Puede que el lector haya visto anteriormente (11.1.2) escrito de la siguiente manera:

(11.1.3) +a+ar+ar2+…+arn+…={ a1−r

,|r|<1

diverge ,|r|≥ 1 (a≠ 0 )

Tomando a = l y r =12

, tenemos

∑k=0

∞12k =

1

1−12

=2

La convergencia de la serie geométrica para x = I nos permite asignar un significado

preciso a los desarrollos decimales infinitos. Partamos del hecho que

∑k=0

∞1

10k =∑k =0

∞

( 110 )

k

= 1

1− 110

=109

.

Esto nos da

∑k =1

∞1

10k =(∑k=0

∞1

10k )−1=19

y demuestra que las sumas parciales

sn=1

10+ 1

102+…+ 1

10n

son todas inferiores a I. Tomemos ahora una serie de la forma

∑k =1

∞ ak

10k con ak=0,1 , …,o 9

Sus sumas parciales

t n=a1

10+

a2

102 +…+an

10n

son todas inferiores a 1:

t n=a1

10+

a2

102 +…+an

10n ≤ 9( 110

+1

102 +…+1

10n )=9 sn<9( 19 )=1

Dado que {tn} es no decreciente y acotada superiormente, {tn} es convergente; esto

significa que la serie

∑k =1

∞ ak

10k

es convergente. La suma de esta serie será el significado que daremos al desarrollo

decimal infinito

0,a1a2a3…an ….

A continuación se da un ejemplo sencillo que conduce de manera natural a una serie

geométrica. Hay otros ejemplos en los ejercicios.

Ejemplo 3 Supongamos que se deja caer una pelota desde una altura h y que al chocar

contra el suelo rebota hasta una altura proporcional a h, es decir, hasta una altura oh

(supondremos que a< 1). A continuación vuelve a caer desde esa altura ah, choca contra

el suelo y rebota hasta una altura o(Gh) - o2h, y así sucesivamente. Hallar la distancia

total recorrida por la pelota.

Solución El movimiento de la pelota se representa en la figura 11.1.1. La distancia total

D recorrida por la pelota viene dada por

D¿h+2σ h+2σ2h+2 σ3h+…=h+2 σ h [1+σ+σ 2+… ]=h+2σ h∑k=0

∞

σk

La serie que aparece en esta expresión es una serie geométrica. Por tanto, se deduce de

(11.1.2) que

D=h+2 σh1

1−σ

Como ejemplo concreto, supongamos que la pelota inicia su caída desde una altura de 6

metros y rebota por primera vez a una altura de 4 metros. Entonces g- 2/3 y la distancia

total recorrida por la pelota es

D¿6+2( 2

3 )6 1

1−23

=6+24=30 metros

Volveremos más adelante a las series geométricas. Ahora nos vamos a ocupar de las

series en general.

Algunos resultados básicos

TEOREMA 11.1.4

1. Si ∑k=0

∞

ak converge y si ∑k=0

∞

bk converge, entonces ∑k=0

∞

(ak+bk ) converge.

Además, si ∑k=0

∞

ak=L y si ∑k=0

∞

bk=M , entonces ∑k=0

∞

(ak+bk )=L+M

2. Si ∑k=0

∞

ak converge, entonces ∑k=0

∞

αak converge para todo α

número real.

Además, si ∑k=0

∞

ak=L, entonces ∑k=0

∞

αak=αL.

Demostración Sean

sn ¿∑k=0

n

ak, t n=∑k=0

n

bk ,un=∑k=0

n

( ak+bk ) , vn=∑k=0

n

αak

Observar que

un=sn+tn Y vn=αL

Si sn → L y tn → M ,entonces

un → L+M y vn → αL

(Teorema 10.3.7)

TEOREMA 11.1.5

Sea jun entero positivo. La serie ∑k=0

∞

ak converge si la serie ∑k= j

∞

akconverge. Además, si

∑k=0

∞

ak=L−(a0+a1+a2+…+a j−1);

y si ∑k= j

∞

ak=M entonces

∑k=0

∞

ak=M +¿ (a0+a1+a2+…+a j−1 ).

Es importante comprender el significado de este teorema: la convergencia o la

divergencia de una serie infinita no dependen de dónde comience la sumación. No

obstante, si la serie es convergente, entonces el límite (la suma) sí que depende de.

dónde se haya empezado a sumar. La demostración de este teorema se deja al lector

como ejercicio.

El siguiente ejemplo ilustra cómo varía la suma de una serie infinita convergente según

el índice en el cual se empiece a sumar.

Ejemplo ∑k=0

∞

( 34 )

k

es una serie geométrica convergente. Hallar ∑k =3

∞

( 34 )

k

Solución Se cumple 4 ¿ ∑k=0

∞

( 34 )

k

=1+ 34+( 3

4 )2

+∑k=3

∞

( 34 )

k

. Por lo tanto

∑k=0

∞

( 34 )

k

=4−1−34− 9

16=27

16

Otro camino posible:

∑k=0

∞

( 34 )

k

=( 34 )

3

+( 34 )

4

+( 34 )

5

+…=( 34 )

3

∑k=0

∞

( 34 )

k

=2716

TEOREMA 11.1.6

El término general de una serie convergente tiende 0 es decir,

Si ∑k=0

∞

ak converge. Entonces ak → 0 cuando k → ∞.

Demostración Decir que la serie converge es decir que la sucesión de las sumas

parciales converge a algún número L:

sn ¿∑k=0

n

ak → L .

Por tanto, se deduce que sn−1 → L . Dado que an=sn−sn−1 tenemos que an→ L−L=0

Un cambio de notación nos da que ak → 0

El resultado siguiente es una consecuencia evidente pero importante del teorema 11.1.6.

TEOREMA 11.1.7 UN CRITERIO DE DIVERGENCIA BÁSICO

Si ak → 0 cuandok → ∞ , entonces ∑k=0

∞

ak diverge.

Ejemplo 5

(a) Dado que k

k+1→ 1≠ 0 cuando k → ∞, la serie

∑k=0

∞k

k+1=0+1

2+ 2

3+ 3

4+ 4

5+…diverge

(b) Dado que k → 0cuandok → ∞ , la serie

∑k=0

∞

sin k=sin 0+sin 1+sin 2+sin 3+… diverge.

Precaución El teorema 11.1.6 no dice que siak → 0 la serie ∑k=0

∞

ak converge. Existen

series divergentes tales que ak → 0

Ejemplo 6 En el caso de

∑k =1

∞1√k

= 1√1

+ 1√2

+ 1√3

+ 1√4

+…

tenemos

ak=1

√k→ 0 cuando k → ∞ ,

pero dado que

sn=1

√1+ 1

√2+…+ 1

√n≥

1

√n+ 1

√n+…+ 1

√n= n

√n=√n,

la sucesión de las sumas parciales no está acotada, luego la serie diverge.

Ejercicios 11.1

Calcular las siguientes expresiones.

1.∑k=0

2

(3 k+1 ) 2.∑k =1

4

(3 k−1 ) .

3.∑k=0

3

2k 4.∑k=0

3

(−1 )k 2k+1

5. ∑k =3

5 (−1 )k

k ! 6.∑

k =2

41

3k−1

Expresar en notación sigma.

7.1+3+5+7+…+21.

8.1-3+5-7+…-19.

9.1.2+2.3+3.4+…+35.36

10. La suma inferior m1 ∆ x1+ m2 ∆ x2 + • • • + mn ∆ xn

11. La suma superior M 1 ∆ x1+ M 2 ∆ x2 + • • • + M n ∆ xn

12. La suma de Riemann f ( x1¿ )∆ x1+f ( x2

¿ )∆ x2+…+ f ( xn¿ )∆ xn

Escribir las siguientes sumas como ∑k =3

10

aky como ∑i=0

7

ai+3

13. 1

23+ 1

24+…+ 1

210 14. 33

3!+ 44

4 !+…+ 1010

10 !

15. 34−4

5+…−10

11. 16.

13+ 1

5+1

7+…+ 1

17

Comprobar mediante un cambio de índices que las dos sumas dadas son idénticas.

17. ∑k =2

10k

k 2+1 ; ∑

n=−1

17n+3

n2+6n+10

18.∑n=2

12 (−1 )n

n−1 ; ∑

k =1

11 (−1 )k +1

k

19.∑k=4

251

k2−9 ; ∑

n=7

281

n2−6 n

20. ∑k=0

1532 k

k ! ∑

n=−2

1332 n

(n+2 ) !.

Las fórmulas siguientes pueden comprobarse por inducción matemática

∑k =1

10 n (n+1 )2

, ∑k =1

n

(2 k−1 )=n2

∑k =1

n

k2=n (n+1 ) (2 n+1 )

6, ∑

k =1

n

k3=(∑k=1

n

k )2

Usar estas fórmulas para evaluar las sumas dadas.

21. ∑k =1

10

(2 k+3 ) . 22. ∑k =1

10

( 2 k2+3k ).

Hallar la suma de las series siguientes.

23. ∑k =1

8

(2 k−1 )2. 24. ∑k =1

n

k (k2−5 )

25. ∑k =1

∞1

2k (k+1 ) . 26.∑

k =3

∞1

k 2−k .

27. ∑k =1

∞1

k (k+3 ) 28. ∑

k=0

∞1

(k+1 ) (k+3 )

29. ∑k=0

∞1

k (k+3 ) 30. ∑

k=0

∞ (−1 )k

5k

31. ∑k =1

∞1

k (k+3 ) 32. ∑

k =1

∞1

k (k+3 )

33. ∑k =3

∞1

2k−1 34. ∑

k=0

∞1

2k +3

35. ∑k=0

∞2k +3

3k 36. ∑k =2

∞3k−1

43k+1

Expresar los siguientes números decimales como series infinitas y expresar cada suma

como el cociente de dos enteros.

37.0,777.... 38.0,999....

39.0,2424.... 40. 0,8989....

41.0,624545.... 42. 0,112019019....

43. Usando series, demostrar que todo decimal periódico representa un número racional

(el cociente de dos enteros).

44. Demostrar el teorema 11.1.5.

Deducir estos resultados a partir de las series geométricas. 1

45. ∑k=0

∞

(−1 )k xk= 11+x

, |x|<1

46. ∑k=0

∞

(−1 )k x2 k= 11+x2 , |x|<1

Hallar un desarrollo en serie para cada una de las expresiones siguientes

47. x

1−x para |x|<1. 48.

x1+ x

para |x|<1

49. x

1+ x2 para |x|<1. 50.x

1+4 x2 para |x|< 12

..

Demostrar que las series siguientes divergen.

51. 1+ 32+ 9

4+ 27

8+ 81

19+… 52.∑

k=0

∞ (−5 ) k

4k +1

53.∑k =1

∞

( k+1k )

k

54.∑k =2

∞k k−2

3k .

55. Dado que una pelota que se deja caer hacia el suelo rebota hasta una altura

proporcional a la altura desde la cual se la dejó caer, hallar la distancia total recorrida

por una pelota que se deja caer desde una altura de 6 metros y cuyo rebote inicial

alcanza una altura de 3 metros.

56. En el contexto del ejercicio 55, ¿hasta qué altura rebota la pelota la primera vez si la

distancia total recorrida es de 21 metros?

57. ¿Cuánto dinero debe depositar una persona a un interés compuesto anual del r%

para que sus hijos puedan retirar n, dólares al final del primer año, «2 dólares al final del

segundo año, n3 dólares al final del tercer año y así sucesivamente? Se supondrá que la

sucesión {nk} está acotada: n^^N para todo k\ expresar la respuesta como una serie

infinita.

58. Sumar la serie obtenida en el ejercicio 57 haciendo

(a) r = 5, nk = 5000( 12 )

k−1

(b) r = 6, nk = 1000(0,8 )k−1.

(c) r = 5, nk = N.

59. Supongamos que el 90% de cada dólar se reinvierte en la economía. Es decir,

supongamos que cuando se pone un dólar en circulación, se gasta el 90% de su valor;

después se vuelve a gastar otro 90%, y así sucesivamente. ¿Cuál es el valor económico

total de un dólar?

60. Considérese la siguiente sucesión de pasos. En primer lugar, tomamos el intervalo

unidad [0, 1] y suprimimos el intervalo abierto (^, |). Luego quitamos los intervalos

abiertos (|, ^) y . (|, ¿j) de lo que había quedado después del primer paso. En el tercer

paso se suprimen los tercios centrales de los cuatro intervalos que resultaron del

segundo paso, y así sucesivamente. Calcular la suma de las longitudes de los intervalos

que se han eliminado. El conjunto que resulta al final del proceso se llama conjunto de

Cantor de los tercios centrales. ¿Puede el lector hallar algunos puntos del conjunto de

Cantor?

61. Empezamos con un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de cuatro unidades.

Unimos los puntos medios de los lados del cuadrado y obtenemos un segundo cuadrado

dentro del primero. A continuación unimos los puntos medios de los lados de ese

segundo cuadrado para formar un tercer cuadrado, y así sucesivamente. Véase la figura.

Hallar la suma de las áreas de todos los cuadrados.

62. (a) Demostrar que si la serie ∑ ak converge y la serie ∑ bk diverge, entonces la

serie ∑ ( ak+bk ) diverge.

(b) Dar ejemplos que muestren que si ∑ ak y ∑ bk divergen ambas, entonces las series

∑ ( ak+bk ) y ∑ ( ak−bk )

Pueden converger o divergir.

63. Sea ∑k=0

∞

ak una serie convergente y sea Rn= ∑k=n+1

∞

ak. Demostrar que si Rn → 0 cuando

n → ∞. Observar que si sn es la n-ésima suma parcial de la serie, entonces∑k=0

∞

ak=sn+Rn

; el número Rnse llama el resto.

64. (a) Demostrar que si ∑k=0

∞

ak es una serie convergente yak ≠ 0

para todo k, entonces ∑k=0

∞

( 1ak

) es divergente,

(b) Supongamos que ak>0 para todo k y que ∑k=0

∞

ak diverge. Demostrar mediante

ejemplos que ∑k=0

∞

( 1ak

) puede converger o divergir.

65. Sea {Sn} la sucesión de sumas parciales de la serie ∑k=0

∞

(−1 )k . Dar una fórmula para

Sn. SUGERENCIA: Calcular S0 , S1 , S2 , … y determinar Ja pauta. „

66. Repetir el ejercicio 65 para la serie ∑k=0

∞

ln( k+1k )=0.

67. Demostrar que

∑k=0

∞

ln( k+1k ). diverge a pesar de que lim

k → ∞ln( k+1

k )=0

68. Demostrar que

∑k =1

∞

( k+1k )

k

diverge.

69. (a) Sea {dk} una sucesión de números reales que converge a 0. Demostrar que

∑k =1

∞

( dk−d k+1 )=d1

(b) Sumar las series siguientes:

(i) ∑k =1

∞ √k+1−√k

√k (k+1 ). (ii)∑

k =1

∞2 k+1

2k2 (k+1 )2.

70. Demostrar que

∑k =1

∞

k xk −1= 1(1−x )2

para |x|<1.

SUGERENCIA: Comprobar que la n-ésima suma parcial Sn verifica la identidad

(1−x )2 Sn=1− (n+1 ) xn+n xn+1

> Rapidez de convergencia Supongamos que∑k=0

∞

ak es una serie convergente cuya

suma es L y sea {sn\ su sucesión de sumas parciales. Se deduce del ejercicio 63 que

|L−Sn|=|Rn|. En los ejercicios 71-74, hallar el mínimo entero N tal que

|L−Sn|< 0,0001.

71. ∑k=0

∞14k . 72.∑

k=0

∞

(0,9 )k .

73. ∑k =1

∞1

k (k+2 ). 74.∑

k=0

∞

( 23 )

k

.

75. Sea dada la serie geométrica∑k=0

∞

xk, donde |x|<1, y un numero positivoε .

Determinar el mínimo entero positivo N tal que |L−Sn|<ε , donde L es la suma de la

serie y Sn es su N-nesima suma parcial.

76. Demostrar que la serie ∑k=0

∞

(ak +1−ak ) , converge sii la sucesión{an } converge.

11.2 EL CRITERIO DE LA INTEGRAL; TEOREMAS DE COMPARACIÓN

En esta y en la próxima sección vamos a centrar nuestro interés en las seríes con

términos no negativos: ak ≥0 para todo k. La característica principal de estas series es

que su sucesión de sumas parciales es no decreciente:

Sn+1=∑k=0

n+1

ak=∑k=0

n

ak+an+1 ≥∑k=0

n

ak=Sn, n=0,1,2 ,….

Para tales series, el teorema siguiente es fundamental.

TEOREMA 11.2.1

Una serie con términos no negativos converge sii la sucesión de las sumas parciales

está acotada

Demostración Supongamos que la serie converge. Entonces la sucesión de las sumas

parciales es convergente, luego está acotada (teorema 10.3.4).

Supongamos ahora que la sucesión de las sumas parciales está acotada. Dado que los

términos son no negativos, la sucesión es no decreciente. Al estar acotada y ser no

decreciente, la sucesión de las sumas parciales converge (teorema 10.3.6), Esto significa

que la serie converge.

La convergencia o divergencia de una serie puede, a veces, deducirse de la

convergencia o divergencia de una integral impropia estrechamente relacionada con

dicha serie.

TEOREMA 11.2.2 CRITERIO DE LA INTEGRAL

Si f es continua, decreciente y positiva en[ 1,∞ ) , se verifica que

∑k =1

∞

f (k ) converge sii {∫1

∞

f ( x ) dx} converge.

Demostración En el ejercicio 63 de la sección 10.7 se pedía demostrar que si f es

continua, decreciente y positiva en [ 1,∞ ) ,, entonces

{∫1

∞

f ( x ) dx} converge sii la sucesión {∫1

∞

f ( x ) dx} converge.

Supuesto este resultado, basaremos nuestra demostración en el comportamiento de la

sucesión de integrales. Para visualizar nuestro argumento, véase la figura 11.2.1. Dado

que f decrece en el intervalo [ 1 ,n ] ,

f (2 )+…+f (n ) es una suma inferior para f sobre [ 1, n ]

y

f (1 )+…+f (n−1 ) es una suma superior para f sobre [ 1 ,n ] .

En consecuencia,

(1) f (2 )+…+f (n )≤∫1

n

f ( x ) dx y ∫1

n

f ( x )dx ≤ f (1 )+…+ f (n−1 )

Si la sucesión de las integrales converge, está acotada. La primera desigualdad implica

que la sucesión de las sumas parciales está acotada, luego que la serie es convergente.

Supongamos ahora que la sucesión de las integrales diverge. Dado que f es positiva, la

sucesión de las integrales crece:

∫1

n

f ( x )dx<∫1

n+1

f ( x ) dx .

Dado que esta sucesión diverge, no puede estar acotada. La segunda desigualdad

implica que la sucesión de las sumas parciales no está acotada y que la serie diverge.

Observación Las desigualdades establecidas en la demostración del teorema 11.2.2

proporcionan cotas para la suma de la serie infinita

∑k =1

∞

f (k ) ,

Dondef es continua, decreciente y positiva en [ 1 , ∞ )En particular, de la segunda

desigualdad de (1) se deduce que

∫1

∞

f ( x )dx ≤∑k=1

∞

f (k )

y de la primera desigualdad de (1) se deduce que

∑k =1

∞

f (k ) ≤ f (1 )+∫1

∞

f ( x ) dx .

Combinando estas dos desigualdades, se obtiene

∫1

∞

f ( x )dx ≤∑k=1

∞

f (k ) ≤ f (1 )+∫1

∞

f ( x ) dx .

Estas desigualdades dejan patente la relación que existe entre la convergencia de la serie

infinita y la convergencia de la correspondiente integral impropia.

Aplicación del criterio de la integral

Ejemplo 1 (La serie armónica)

(11.2.3) ∑k =1

∞1k=1+ 1

2+ 1

3+ 1

4+… diverge.

Demostración La función f ( x )= l/x es continua, decreciente y positiva en [1, ∞).

Sabemos que

∫1

∞dxx

diverge. (10.7.1)

Por el criterio de la integral

∑k =1

∞1k

diverge

El ejemplo siguiente proporciona un resultado más general.

Ejemplo 2 (La serie armónica generalizada)

(11.2.4) ∑k =1

∞1k p=1+ 1

2p +13p + 1

4 p +… converge sii p>1 ,

Demostración Si p ≤ 0, entonces cada uno de los términos de la serie es mayor o igual

que 1 dado el criterio de divergencia (11.1.7), la serie no puede converger. (Ver también

la observad que sigue al ejemplo 2 de la sección 10.7.) Supongamos ahora que p > 0. La

funciónf ( x )= 1

x p es entonces continua, decreciente y positiva en [1,∞). Luego, por el

criterio de la integral,

∑k =1

∞1k p converge sii ∫

1

∞dxxp converge.

Anteriormente hemos visto que

∫1

∞dxxp converge sii p>1

De ahí que

∫k=1

∞dxx p converge sii p>1

Ejemplo 3 Vamos a demostrar aquí que la serie

∑k =1

∞1

k ln ( k+1 )= 1

ln2+ 1

2 ln3+ 1

3 ln 4+…

diverge.

Solución Empezaremos considerando la función

f ( x )= 1x ln ( x+1 )

.

Dado que f es continua, decreciente y positiva en [1,∞), podemos usar el criterio de la

integral.

Como

1

x ln ( x+1 )> 1

( x+1 ) ln ( x+1 ) En [ 1 , ∞ ),

∫1

b1

x ln (x+1 )dx>∫

1

b1

( x+1 ) ln ( x+1 )dx=[ ln [ ln (x+1 ) ] ]1

b

¿ [ ln [ ln ( b+1 ) ] ]−ln [ ln2 ] .

Cuando b→∞ , ln (ln (b + 1))→ ∞. Esto demuestra que la integral impropia

∫1

∞1

x ln (x+1 )dx

diverge. Por tanto la serie diverge.

Una observación acerca de la notación Hemos visto que, para todo j≥ 0,

∑k=0

n

ak converge sii ∑k= j

n

ak converge

(teorema 11.1.5). Esto significa que a la hora de determinar si una serie converge o no,

no tiene importancia dónde empecemos a sumar. Cuando no aporte nada precisar el

conjunto en el cual varían los índices, lo omitiremos y escribiremos £ ak sin especificar

dónde empieza la suma. Por ejemplo, tiene sentido afirmar que

∑ 1

k 2 converge y ∑ 1k

diverge

Sin especificar dónde empezamos a sumar.

La convergencia o divergencia de una serie de términos no negativos se deduce

habitual-mente por comparación con otra serie cuyo comportamiento es conocido.

TEOREMA 11.2.5 TEOREMA BÁSICO DE COMPARACIÓN

Sea ∑ ak una serie de términos no negativos.

(i) ∑ ak converge si existe una serie convergente ∑ ck de términos no negativos tal que

ak ≤ ck para k suficientemente grande.

(ii) ∑ ak diverge si existe una serie divergente ∑ dk de términos no negativos tal que

dk ≤ ak para k suficientemente grande.

Demostración La demostración consiste en constatar, en el primer caso, que las sumas

parciales de ∑ ak están acotadas, mientras que en el segundo caso no lo están. Se dejan

los detalles para el lector.

Ejemplo 4

(a) ∑ 1

2 k3+1converge por comparación con

1

k3 :

1

2 k3+1< 1

k3 y ∑ 1

k3 converge.

(b) ∑ 13k+1

, diverge por comparación con ∑ 13 (k+1 ) :

1

3 (3 k+1 )< 1

3k+1 y ∑ 13 (k+1 )

=13∑

1k+1 diverge

(se trata de la serie ∑ 1 /k con un cambio de índice).

1

(c) ∑ k3

k5+5k 4+7converge por comparación con∑ 1

k 2 :

k3

k5+5 k 4+7< k3

k5 =1k 2 y ∑ 1

k 2 converge.

Ejempio 5 Demostrar que

ln(* + 6) Solución Sabemos que cuando k -» «»

diverge.

InJfc

► 0.

De ahí que luego

ln(* + 6) >Q Jfc + 6

ln

(A:+ 6) ln(^ + 6)p + 6A Q A: Jk + 6 l * J *

Esto implica que, para k suficientemente grande,

ln(* + 6)

<1,

luego

Puesto que

podemos concluir que

\n(k + 6)<k y l<7 l

k ln(* + 6)"

£ - diverge.

1

in(fc + 6)

diverge.

[ver (10.4.5)]

Observación Otra manera de demostrar que ln(¿ + 6) < k para k suficientemente

grande consiste en examinar la función/(je) = x - ln(x + 6). En x - 3 la función es

positiva:

Dado que

/(3) = 3-ln9 = 3-2,197>0.

f'(x) =1-----~2 > 0 para todo x > 0,

x + 6

/(jc) > 0 para todo x > 3. De ahí que

ln (* + 6) < x para todo x > 3.

El criterio básico de comparación es de naturaleza algebraica: se precisa que ciertas

desigualdades se verifiquen. Para aplicar este criterio a una serie £ ak, hay que

demostrar que los términos ak son menores que los términos cL correspondientes a una

serie convergente conocida para establecer su convergencia, o bien que son mayores

que los términos dk de una serie divergente conocida para establecer su divergencia. Sin

embargo, si los términos ak son mayores que los ck o menores que los dk, entonces no

se puede sacar ninguna conclusión sobre la serie £ ak; el criterio de comparación no da

resultado. Por ejemplo, considérese la serie

Y—•

ifc = 2

Sería natural comparar esta serie con la serie convergente

k = 2

pero, desgraciadamente, las desigualdades van en la dirección equivocada:

—->- paratodo*>2.

Veremos ahora un criterio de comparación algo más sofisticado y que es analítico en el

sentido de que implica el cálculo de un límite.

TEOREMA 11.2.6 CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LIMITE

Sea Lak una serie de términos no negativos y £¿fe una series de términos positivos. Si

a^b^-* L, donde L es un número positivo, entonces o bien ambas series convergen, o

bien ambas divergen.

Demostración Escojamos un € entre 0 y L. Dado que ak lbk —> L, sabemos que para

todos los k suficientemente grandes (para todos los k mayores que un determinado ÍCq)

Para estos k tenemos que

luego

ak -€<-5<L + e,

(L- e)bk <ak<(L+ e)bk.

Esta última desigualdad es la que necesitamos:

si X ak converge, entonces £ (L - e)bk converge, luego £ bk converge;

si £ bk converge, entonces £ (L + e)bk converge, luego £ ak converge.

Para aplicar el criterio de comparación por paso al límite a una serie £ ak, hemos de

hallar una serie £ bk cuyo comportamiento sea conocido y tal que ak lbk converja a un

número positivo. Para completar el ejemplo anterior,

y —

converge dado que

X ¿ converge y (^L_) , (I) = £- -» , cuando t -* ~.

* = 2

íE|ei¡TapSo 6 Determinar si la serie

3*2 + 2*+l *3 + 1 converge o diverge.

Solución Para valores grandes de *, dominan los términos de mayor exponente en k.

Aquí 3*2 domina el numerador y k3 domina el denominador. Luego, para k grande,

3*2 + 2*+1 .._ . 3*2 3

-----——----- amere poco de —- = 7.

*3 + 1 *3 *

Dado que

3k2 + 2k + l . 3 _ 3k2 + 2*2 + k _ 1 + 2/(3*) + l/(3*2) *3+l "* 3*3 + 3

l + l/*3 "*

y que

3 1

2 - = 32 - diverge,

sabemos que la serie diverge. Ejemmpl© 7 Determinar si la serie

E 57* + íoo

2k2Jk+9jk converge o diverge.

Solución Para valores grandes de *, 57* domina el numerador y 2*27* domina el

denominador. Luego, para tales *,

57*+ 100 .... . 57* 5 ------------------ diherepocode-------- = —-.

2*27* + 97* 2*2 7* 2kl

Dado que

57*+-100 , 5 _ 10*27* + 200*2 = 1+20/7* 2*27* + 97* " 2*2 \0k2Jk + 457*

1 + 9/2*2

y *inQ

1 cuando * —»<»

E2p = 2Z^COnVerge-

y sabemos que la serie converge. Ef empl© 8 Determinar si la serie

converge o diverge.

2 sen -*

Solución Recordemos que

cuando (jc—»0,)

Cuando * -> oo, jtík —> 0, luego

sen (ju/k) Kik

Dado que Zx/k diverge, 2 sen {izlk) diverge.

:->l.

(2.5.5)

-»1.

Observación En los ejercicios 45 y 46 se investiga lo que se puede deducir mediante la

aplicación del teorema de comparación por paso al límite si ak¡hk -» 0 o si aklbk —> °°.

EJERCICIOS 11.2

Determinar si la serie converge o diverge.

31. 2

2 + sen k

1. 2-*-. *3 + i

3. Z(2*+l)2*

5. 7*TÍ

7. J2k2-k

I 9. 1 y arctan k l+k2 '

" 11.

13. *gf-

15. T ln 7*

\7. 2 + .V

19. 2 2* + 5 5*3 + 3*2'

21. 2 * ln *'

23. ^ *2

~*4-*3 + l

25. E 2*+ 1 7*4 +1

27. ^ 2* + 1 7*5 + i'

29. 2*e-¿2.

1

3* + 2\ ln* * ' 1

*2 + r

r

ln*

*3 •

2. 2

4. 2

6. 2

8. 2 10. 2 12. 2 14. 2 16. 2 18. 2 20. 2 22. 2 24. 2 26. 2

28. 2

72*(*+l)

30. 2 *22-*3.

1

(*+l)(* + 1 2)(¿ + 3)

1 +2 1n*' 2

¿(ln*)2' 7*+ 2 2*5 + 7" *4-l 3*2 + 5'

2* + 1-l' k™-

k5'2 + 2* -2*+l 7*3 + i" 1 r

*2

33.2

I

32. 2 34. 2

2 + c

y* + i

1+2 + 3 + -+*' l+22 + 32 + -+*2'

35. Hallar los valores de p para los cuales la serie £ ■

verge.

'2*(ln*V [nk

36. Hallar los valores de p para los cuales la serie ]T — converge

<*> k = 2

37. (a) Demostrar que J ^_a* converge para cualquier a>0.

*-°

(b) Demostrar que £ for0* converge para cualquier a > 0.

Jfc = 0

(c) En general, demostrar que £ kne~ak converge para cual-

¿t = o quier entero n no negativo y cualquier a > 0.

38. Sea p > 1. Usar el criterio de la integral para demostrar que

1

^2^-1

i

i

Este resultado propociona cotas para el error (o el resto) Rn que se obtiene al utüizar sn

para aproximar la suma L de la serie armónica generalizada convergente.

|>En los ejercicios 39 y 40, (a) calcular la suma de los primeros cuatro términos de la

serie dada, con una precisión de cuatro cifras decimales, (b) Usar el resultado del

ejercicio 38 para dar una cota superior y una cota inferior para i?4. (c) Usar los

apartados (a) y (b) para estimar la suma de la serie.

39. 2

40- 2 ¿-

*4'

En los ejercicios siguientes, utilizar las cotas del error dadas en el ejercicio 38.

f>41.(a) Si se deseara utilizar sl00 para aproximar ]T —, ¿cuáles serían las cotas del

error cometido? * = i

(b) ¿Qué valor de n habría que elegir para asegurar que R„ fuese menor que 0,0001?

^>42.(a) Si se deseara utilizar s100 para aproximar £ —, ¿cuáles serían las cotas del

error cometido? * = i

(b) ¿Qué valor de n habría que elegir para asegurar que R„ fuese menor que 0,0001?

^>43. (a) ¿Cuántos términos de la serie Y, n naY <lue tornar para

asegurar que R„ sea menor que 0,0001 ?

(b) Estimar £ — con una precisión de tres cifras decimales.

k=ik

P' 44. Repetir el ejercicio 43 para la serie £ —.

k=r

Completar el criterio de comparación por paso al límite tal como se indica.

45. Sea £ ak una serie de términos no negativos. Sea £ bk una serie de términos

positivos y supongamos que ak lbk -4 0.

(a) Demostrar que si £ bk converge, entonces £ ak converge.

(b) Demostrar que si £ ak diverge, entonces £ bk diverge.

(c) Demostrar mediante un ejemplo que si £ ak converge, entonces £ bk puede

converger o divergir. .

(d) Demostrar mediante un ejemplo que si £ bk diverge, entonces £ ak puede converger

o divergir.

[Los apartados (c) y (d) justifican por qué hemos supuesto que L > 0 en el teorema

11.2.6.1

46. Sea £ ak una serie de términos no negativos. Sea £ bk una serie de términos

positivos y supongamos que ak/bk —> «>.

(a) Demostrar que si £ bk diverge, entonces £ ak diverge.

(b) Demostrar que si £ ak converge, entonces £ bk converge.

(c) Demostrar mediante un ejemplo que si £ ak diverge, entonces £ bk puede converger

o divergir.

(d) Demostrar mediante un ejemplo que si £ bk convere entonces £ ak puede converger

o divergir.

47. Sea £ ak una serie de términos no negativos.

(a) Demostrar que si £ ak converge, entonces £ a\ converge

(b) Supongamos que £ a\ converge. Entonces, ¿£ ak converse o diverge? Demostrarlo o

dar un contraejemplo.

48. Sea £ ak una serie de términos no negativos. Demostrar que si £ a\ converge,

entonces £ (ak/k) converge.

49. Sea/una función continua, positiva y decreciente en [1, oo) taj que j~ f(x) dx,

converge. Entonces la serie £f= t /(£) tam_ bien converge. Demostrar que

0<L-s„<¡" f(x)dx.

donde L es la suma de la serie y sn es la «-ésima suma parcial.

Usar el resultado del ejercicio 49 para hallar el mínimo entero N para el cual la

diferencia entre la suma de la serie dada y la N-ésima suma parcial es menor que 0,001.

50. X

k2 + V

si. Y>ke~ki*

52. Todos los resultados de esta sección han sido enunciados en el caso de términos no

negativos. Se cumplen resultados análogos en el caso de señes de términos no positivos:

ak < 0 para todo k.

(a) Enunciar un teorema de comparación análogo al teorema 11.2.5 para las series de

términos no positivos.

(b) Tal y como se enunció, el criterio de la integral (teorema 11.2.2) sólo vSe aplica a

las series de términos positivos. Enunciar el resultado equivalente para las series de

términos negativos.

53. Este ejercicio demuestra que no siempre se puede usar la misma serie para el criterio

de comparación básico y el criterio de comparación por paso al límite.

(a) Demostrar que

In n

£ —p converge por comparación con £ -^. njn n

(b) Demostrar que el criterio de comparación por paso al límite no se aplica.

11.3 CRITERIO Dth LA MAÍZ V CRBTEKiO DEL COCIENTE

Seguiremos considerando solamente series de términos no negativos. La comparación

con la serie geométrica

Zxk y con la serie armónica generalizada

«¿

conduce a dos importantes criterios de convergencia: el criterio de la raíz y el criterio

del cociente.

TEOREMA 11.3.1 CRITERIO DE LA RAÍZ

Sea £ ak una serie de términos no negativos y supongamos que

(ak)uk -^ p cuando k -><».

(a) Si p < 1,X ak converge.

(b) Si p > 1 ,£ ak diverge.

(c) Si p = 1, el criterio no permite sacar conclusiones; la serie puede converger o

divergir.

Demostración Supongamos primero que p < 1 y elijamos /j tal que

p<H<L Dado que (ak)m —> p, tenemos que

{akflk < \i para todo k suficientemente grande. (explicarlo)

Luego

ak<¡uk para todo k suficientemente grande.

Puesto que £ ¿f* converge (se trata de una serie geométrica con 0 < /i < 1), sabemos por

el criterio de comparación básico que £ ak converge.

Supongamos ahora que p > 1. Dado que (ak)1,k -» p, tenemos que

(ak)yk > 1 para todo k suficientemente grande. (explicarlo)

Luego

ak > i para todo k suficientemente grande.

Se deduce ahora que ak/> 0 cuando k —><». Por tanto, por el criterio de divergencia

(11.1.7), £ ak diverge.

Para ilustrar la ambigüedad del criterio de la raíz cuando p = 1, consideremos las series

£ (l/k2) y £ (l/k). La primera de estas series converge y la segunda diverge. Sin

embargo, en ambos casos se tiene

(**)"* = (¿y = (¿t)2^12 = l cuando*-»-,

ny* i

(ak)l/k = l-\ =77^->í cuando *-»oo.

[Recordar que kyk —> 1 cuando k —> «>; ver (10.4.6).j

Aplicación del criterio de la raíz F-smpIo 1 Para la serie

£-i-(ln ¿retenemos

K)"<=¿-0.

La serie es convergente.

EjieKüpÜG 2 Para la serie

X2-

(«t)« = 2{ff'k = 2[(}f ]3 = 2[¿J - 2 ■ P = 2 cuando * -

[] La serie es divergente.

ifijeinrapSc» 3 En el caso de

! i En este caso el criterio de la raíz no permite sacar conclusiones. Además resulta

innecesario: 11 dado que ak = (1 - Vk)k converge a 1/g y no a 0 (10.4.7), la serie

diverge (11.1.7).

TEOREMA 11.3.2 CRITERIO DEL COCIENTE

Sea Z ak una serie de términos positivos y supongamos que

«;

■ —» A cuando ifc —» «».

(a) Si X < 1, Z ak converge.

(b) Si A > 1, Z Afc diverge.

(c) Si A = 1, no se puede decidir; la serie puede ser convergente o divergente.

Demostración Supongamos primero que X < 1 y elijamos ¡i tal que X < ¡i < 1. Dado

que

^->A, sabemos que existe un kQ > 0 tal que

ak + 1

si ¿ >&0, entonces-----< jj.. (explicarlo)

ak

Esto conduce a

y, más generalmente,

*fc0 + 1 < ¿^ V **o + 2 < ^o + 1 < ^2flr»o

Para A: > ^,, tenemos que

a) ^-H = >*-

hacer j = fc - &0

I Dado que/x< l,

ak ak

Z ~}±k - —t5 Z jik converge.

Por tanto, de (1) y del criterio de comparación básico se puede deducir que Z ak

converge. El resto de la demostración se deja para los ejercicios.

Observación Contrariamente a la intuición de algunos, los criterios de la raíz y del

cociente no son equivalentes. Ver el ejercicio 48.

/■.píficsLcáóirn éú ¡criterio del! cocSeircte

'mnp¡o 4 El criterio del cociente demuestra que la serie

converge:

a,.. , 1 ¿M i

0 cuando k ->».

{K+ L)\ 1 K+ 1

É 5 !nn¡ '31 q 5 Para la serie

«jfc+i £+1 10* lfc+1 1

«¿

1 ' 1 1

i serie 10*

La serie es convergente.^

:':jeimpío & Para la serie

Z -k\

tenemos

"1ÍÍTT**H~J H' + íJ"*' cuand0*-

Dado que £ > 1, la serie es divergente. ";]}e¡ffiips© / Para la serie

z; l

2*+l el criterio del cociente no permite sacar conclusiones:

Se puede calcular explícitamente la suma de esta serie. Ver el ejercicio 41.

+i __ 1

ak " 2(k + l)+l

2k+\ 2Jt+l 2+1/*

1

2H3, 2 + 3/*

> 1 cuando * -

Por consiguiente es preciso profundizar algo más. La comparación con la serie armónica

demuestra que la serie es divergente:

1

______^ 1

2*+l ' k

k 1

2*+l ~*2

Z - diverge.

esumen de los criterios de convergencia

En general se usa el criterio de la raíz cuando se trata de una serie que contiene

potencias. El criterio del cociente es particularmente efectivo cuando aparecen

factoriales o combinaciones de potencias y factoriales. Si los términos son funciones

racionales de *, el criterio del cociente no permite sacar ninguna conclusión y el de la

raíz es de difícil aplicación. Los términos racionales son más fáciles de manejar por

comparación o comparación por paso al límite con una serie armónica generalizada, Z \

IW. Si los términos tienen la estructura de una derivada, se podrá aplicar el criterio de la

integral. Por último, conviene recordar que si ak -h 0, no existe ninguna razón para

intentar aplicar alguno de los criterios citados anteriormente: la serie es divergente

(11.1.7).

Determinar si la serie es convergente o divergente. 1

1. v 10*

3. *F-

5. 100*

7. *3 + ó*

9. KiT

11. l+Jk

13.

15. v Jk

17. *' Z —-—. (* + 2)!

19.

->1 vf *

2. Z

*2*'

4. Z

* V

\2k

h)

U+.ioo;

6.

8. (ln *)*"

10. s-J— (ln*)10

12. v2*+V*

~ ¿3 + V¿

14. A;2

16.

18. ¿Un *;

20. v 1

js^t

22. síw

23. Z*-(1 + 1/*>.

25.ZÍL*.

27.1

29.2

31. Z

ln_* 2-4--

■2*

(2*)! *! (2*)!

(3*)! '

i-Jt/2

33.st¡-.

35. Z

3**1)"

»-H+k

24. Z 26. Z 28. Z 30. Z 32. Z 34. Z

11

í + ioo-*'

*! kk'

k\

1-3.....(2*-])"

(2fe + l)2* (5k2 + lf Ink

k™'

kk

(3*)2'

36. ZíJk-,

(k-\y.

38. 1

39.

1 1 1

2 ?

i 1-2-3 12-3-4 3 + l •3-5 + l-3-5-7 + "" _3 1-3-5 1 • 3 • 5 • 7 7 + 4 • 7 ■ 10 + 4

• 7 • 10 - 13 "* i 2-4-6 24-6-8 7 + 3-7- ll+3-7- 11 - 15 ^

41.Hallar la suma de la serie 1 + ^ + ^ + ^+-SUGERENCIA: Ejercicio 70 de la sección

11.1.

42. Completar la demostración del criterio del cociente.

(a) Demostrar que, si X > 1, entonces Z ak es divergente.

(b) Demostrar que, si X - 1, el criterio del cociente no permite sacar conclusiones.

SUGERENCIA: Considerar Z 1/Jfc y Z i/Jfc2.

43. Demostrar que la sucesión \ — l tiene límite 0. SUGERENCIA:

Considerarla serie Z ~.

kk

I r* 44. Sea r un número positivo. Demostrar que la sucesión

tiende a 0.

45. Seap > 2 un entero. Hallar los valores de p (si hay alguno) tales

(*n2

que Z ', converge.

46. Sea r un número positivo. ¿Para qué valores de r (si hay alguno) converge la serie Z

— ?

47. Sea {ak} una sucesión de números positivos y tomemos r > 0. Usar el criterio de la

raíz para demostrar que si (a*)17* —» p y si p < 1/r, entonces Z ak rk es convergente.

48.Considerar la serie i +1 +l + 2 + é¿ + T6 + '" °')ten*^a mediante la reordenación de

una" serie geométrica convergente, (a) Usar el criterio de la raí/ para demostrar que la

serie es convergente, (b) Demostrar que el criterio del cociente no se aplica.

XIA CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDIOONAL; SEKIES ALTERNADAS

En esta sección consideraremos series que tienen términos positivos y negativos.

Convergencia absoluta y condicional

Sea Z ak una serie con términos positivos y negativos. Una manera de ver que Z ak

converge consiste en demostrar que Z \ak\ converge.

pTEOREMA 11.4.1

~~~]

SiZ \ak\ converge, entonces Z ak converge. j

Demostración Para cada A:,

-\ak\<ak<\ak\ luego 0<ak + \a¿ < 2\ak\.

Si Z \ak\ converge, Z 21^1 = 2 Z \ak\ converge, luego, por el teorema de comparación

básico, Z (ak + \a¿) converge. Dado que

ak = (ak + \ak\)-\a¿,

podemos concluir que Z ak converge.

f DEFINICIÓN 11.4.2 CONVERGENCIA ABSOLUTA

Una serie Z ak es absolutamente convergente si la serie de los valores absolutos

I

N + W + W + -= 2|aj

es convergente.

El teorema que acabamos de demostrar dice que una serie absolutamente convergente es

convergente.

Ejemplo 1 Consideremos la serie

l i 11 l _ v (-D*

i_J_ _L__L + i___L+ = V

0¿ + 12 Al S2 A2 *" 2*

22 32 42 52 62 ^ k2

k = 1

Si sustituimos cada término por su valor absoluto, obtenemos la serie , 11111

^ 1

Ésta es una serie armónica generalizada con p = 2. Luego es convergente. Esto significa

que la serie inicial es absolutamente convergente.

Ejempío 2 Consideremos la serie

l_I_± + ±_i_± + I-!-! + ....

2 22 23 24 25 26 27 28 Si sustituimos cada término por su valor absoluto,

obtenemos la serie

i 1 1 J_ 1 1 1 1 + = V -

2 + 22 + 23 + 24 + 25+26 + 27 + 28 "* ^ 2k'

k = 0

Ésta es una serie geométrica convergente. Luego la serie inicial es absolutamente

convergente. Efempi® 3 Como veremos después del siguiente teorema, la serie

2 3 4 5 6 ¿> k+l

Jfc = 0

es convergente, pero no es absolutamente convergente: si sustituimos cada término por

su valor absoluto obtenemos la serie armónica divergente

jfc = 0

I DEFINICIÓN 11.4.3 CONVERGENCIA CONDICIONAL

Una serie E ak es condicionalmente convergente si converge pero 1 \ak í diverge.

Así pues, la serie S (-1 )k/(k + 1) es condicionalmente convergente.

Series alternadas

Se denominan series alternadas aquellas series en las cuales cada dos términos

consecutivos

tienen signos opuestos. He aquí dos ejemplos.

i-ULI + Lí + ...= yízlí .

2 3 4 5 6 ^Jfc+1

Jfc = 0

f En la sección 11.5 demostraremos que la serie original, 1-7 + 3-4 + 5-^-----> converge

a ln 2.

y

-l + _L_± + _L_i_ + ... = ytlí

Jl J3 J4 ¿5 k~l Jk

son series alternadas. La serie

,11111

l-2-3+rs-V"'

no es una serie alternada puesto que existen términos consecutivos con el mismo signo.

En general, una serie alternada tiene la forma

a0-al + a2-fl3 + <j4-... = £(-!)*<!*

: k = Q

o bien la forma

-0o + tf1-a2 + tf3-04 + ... = ]T(-l)*+lafc,

k = Q

donde {ak} es una sucesión de números positivos. Puesto que la segunda forma es igual

que la primera con el signo cambiado, nos limitaremos a estudiar la primera.

TEOREMA 11.4.4 CRITERIO DE LAS SERIES ALTERNADAS f

Sea [ak] una sucesión de números positivos. Si

(a) ak+i<ak para todo k, es decir, si la sucesión {ak} es decreciente, y

(b) ak -> 0 cuando k —» «>,

entonces ^ (-1)^ converge. ¿ = o

Demostración Primero consideraremos las sumas parciales pares, s2m. Dado que

S2m = (a0-al) + (a2-a3) + -' + (a2m-2-a2m-l) + <*2m

es una suma de números positivos, las sumas parciales pares son todas positivas. Dado

que

S2m + 2 = J2m-(fl2» + l-fl2m + 2) Y a2*+I ~ a2« + 2 > °»

tenemos

52m + 2<'s2m-

Esto significa que !a sucesión de las sumas parciales pares es decreciente. Al estar

acotada in-feriormente por 0, es convergente; esto es,

s2m —> L cuando m—» ©o. Ahora bien,

52m+l = 52m_£I2m + l-

Este teorema fue demostrado por Leibniz en 1705.

Dado que a^ +1 —> 0 cuando m —><*>, tenemos también que

Dado que las sumas parciales pares e impares tienden a L, la sucesión de todas las

sumas parciales tiende a L (ejercicio 42, sección 10.3).

Este teorema permite ver que las series siguientes son convergentes:

11-1.11 , 1.1 1.1 1

1

■i-i*i-i-

1-4-L-

1_ J___._

J5' J3 J4 Js 76

H-h

1

"4!+5! 6!+ '

Las das primeras series sólo convergen condicionalmente; la tercera es absolutamente

convergente.

Observación En la demostración del teorema 11.4.4 se ha visto que la sucesión de las

sumas parciales pares [s^} es decreciente y acotada interiormente (por 0). En el ejercicio

48 se pide demostrar que la sucesión de las sumas parciales impares iS2m+\) es

creciente y acotada superiormente. Esto da un método alternativo para probar que la

sucesión de las sumas parciales impares converge, y puesto que

*2«+i-*2m = -«2»+i-»0 cuando m->oo,

ambas sucesiones tienen el mismo límite L. Este hecho se ilustra en la figura 11.4.1.

Una estimación para las series alternadas Hemos visto que si {ak} es una serie

decreciente de números positivos que tiende a 0, entonces

y\ (- 1 )kak converge a una suma L.

(11.4.5)

La suma L de una serie alternada está comprendida entre dos sumas parciales

consecutivas sn, s¿+ x y, por consiguiente, sH se aproxima a L en menos de an + {:

Demostración Para todo n,

>t n es impar,

¡i« es par

= Sn + <*n + l~an + 2>Sn>

= s„-<*„+, +a„ + 7<sn.

+ l T"l! + 2^4»-

..as sumas parciales impares crecen hacia L; las pares decrecen hacia L. Para n impar,

3m<L<sn + l = *» + ««+!

r para n par

-uego, para todo n, L está comprendido entre s„ y sn +1. Podemos ahora concluir que

\L-Sn\<\Sn+L-Sn\ = «» + l

' por tanto sn está a una distancia de L menor que a„ + ¡.

ijeinnpSo 4 Las series

,11111 ,11111

l-2 + 3-4 + 5-6 + "' y 1-25 + r2-^ + 52-p+-

on ambas alternadas convergentes. La /i-ésima suma parcial de la primera serie

aproxima la suma le ésta a menos de \l{n + 1); la rc-ésima suma parcial de la segunda

serie aproxima la suma de la egunda serie a menos de ll(n + l)2. La segunda serie

converge más rápidamente que la primera.

IjüiiopS© 5 Calcular aproximadamente la suma L de la serie alternada

^(2Jk+l)!

3! 5! 7! ? — -

on una precisión de tres cifras decimales.

olución Esta serie es convergente por el criterio de las series alternadas. En realidad es

bsolutamente convergente. Para estimar la suma de la serie con tres cifras decimales

exactas, ebe cumplirse \L - sn\ < 0,0005. Escribamos los primeros términos de la serie:

3! + 5! 7! + '" -* 6+120 5040+ "" '

üesto que a3 = ± = ¿^ < JL

on tres cifras decimales exactas. Así pues,

obtenemos L = 0,842 con una precisión de tres dígitos. *

Se verá en la sección 11.5 que la suma de esta serie es sen 1 = 0,8415.

Reordenacíomes

Una reordenación de una serie E ak es otra serie que contiene exactamente los mismos

términos pero en un orden diferente. Así, por ejemplo.

i ±_± ±_J_ 1_± + 33 22 + 55 4* + 77 66+"

33 55 22 44 77 99

son ambas reordenaciones de

22 + 33 44 + 55 66 + 77 + "" '

En 1867 Riemann publicó un teorema sobre reordenaciones de series en el que subraya

la importancia de distinguir entre la convergencia absoluta y la convergencia

condicional. De acuerdo con dicho teorema, todos las reordenaciones de una serie

absolutamente convergente convergen absolutamente a la misma suma. En claro

contraste con lo anterior, una serie que sólo es condicionalmente convergente se puede

reordenar de manera que converja a cualquier número que se desee. También se puede

reordenar de manera que diverja hacia + °°, o hacia- «5, o incluso hacerla oscilar entre

dos cotas cualesquiera. *

Ejemplo 6 Hemos visto que la serie

y ti

(-0*

1

es condicionalmente convergente. En la sección siguiente se verá que su suma es ln 2.

Suponiendo probado este resultado, tenemos que

,11111 . «

1-2 + 3-4 + 5-5 + - -ln2

2 4 + 6 8 + Tfl~~T2+— 2 m 2- (multiplicando por l-)

Sumando estas dos series se obtiene una reordenación de la serie inicial Con una suma

distinta:

1 + 1 I + 1 + Í-I+... =¡l„2. I ' 3 2 5 7 4

2

* Para una demostración completa véase el libro de Konrad Knopp Theory and

Applications of Infinite Series (segunda edición inglesa), Blackie & Son Limited,

Londres, 1951.

EíERaOOS11.4

Comprobar si las siguientes series son (a) absolutamente convergentes, (b)

condicionalmente convergentes.

1. l+(_i) + i + ...+(-i)*+.... 3. l_2 + 3_4+...+M)*_í_+.

,111 1 2- 4-6 + 8~l0 + " 2k

3. !-? + 3_4+„ 2 3 4 5 • + (-D*j

1

4.

5. £(-!)*

2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4 5 ln 5 lnifc

► (-!)*

klnk

k '

7. £

1 n

Jt k\)

6. £(-l)*

2 a'

lnjfc*

9. £(-!)*

Jt!

2Jfe + l"

1«.S(-l)*gg.

1,.I(-f^. «.I«n(*).

13. T.(-\)k{Jk+\-Jh). 14. £(-1)* 16. £

15- **»(£)

17. £(-!)*

2*"

19.1

(-0*

k-ljh'

21.1 (-DAÍ^

Jk!'

26. I

28. £

eos Kk

sen (nfc/2)

_J_____1_____1_ +

" 3¿fc + 2 3fc+-3 3¿ + 4

31 ^_^ + ... + (_,)*íM±2H3*+2) + ... 4-5 7-8 * ; (3* + 4)(3Jfc + 5)

Estimar el error si se utiliza la suma sn para aproximar la suma de las siguientes series

alternadas.

32. £(-l)* + ,p; **■ 33' K"1)*-

■%>•

34- £(-D» ^;V 35. K-D- ¿; «,.

jt = 0 ; k = l

36. Sea .?„ la n-ésima suma parcial de la serie

Sí-^íoí

Hallar el valor mínimo de n para el cual sn aproxima la suma de la serie en menos de (a)

0,001, (b) 0,0001.

37. Hallar la suma de la serie del ejercicio 36.

Hallar el menor entero N tal que sN aproxime la suma de las siguientes series alternadas

con la exactitud indicada.

38. x (-!)*(-^-; °>j

39. £(-!)*-

,001.

0,005.

jfc = 0

40. Comprobar que la serie

i_i 1^.1 i_í I_i 1 _ i . I _I

2 + 2 3 + 2 3 + 3 4 + 3 4 3 4 + ""

diverge y explicar por qué esto no contradice el teorema sobre series alternadas.

41. Sea L la suma de la serie

£<-»'¿

jfe = 0

y sea sn la n-ésima serie parcial. Hallar el menor valor de n para el cual s„ aproxima L

en menos de (a) 0,01, (b) 0,001.

42. Sea [ak} una sucesión no creciente de números positivos que converge a 0.

¿Converge necesariamente la serie alternada £ (- 1)* ak7

43. ¿Se pueden debilitar las hipótesis del teorema 11.4.4 para exigir solamente que [a^}

y {«2* +1) sean sucesiones decrecientes de números positivos que convergen a cero?

44. Demostrar que si £ ak es absolutamente convergente y I6J < \ak\ para todo k,

entonces £ bk es absolutamente convergente.

45. (a) Demostrar que si £ ak es absolutamente convergente, enton-

ces £ al es convergente, (b) Demostrar mediante un ejemplo que el recíproco del

resultado del apartado (a) es falso.

46. Indicar cómo se puede reordenar una serie condicionalmente convergente (a) para

converger a un número real arbitrario L; (b) para divergir a +°°; (c) para divergir a -00.

SUGERENCIA: Agrupar los términos positivos p\,Pi,Py, ... y los términos negativos

nY, n2, n3, ... en el orden en que aparecen en la serie original.

47. En la sección 11.7 demostraremos que, si la^ converge, entonces £%.** es

absolutamente convergente para |jc|<|c|. Intentar demostrar esto ahora,

48. Sea ££°=0 (-1)* «* una serie alternada donde la sucesión {ak} es decreciente.

Demostrar que la sucesión de las sumas parciales impares {s2m+ \} es creciente y

acotada superiormente.

49. Sean a y b dos números positivos y considérese !a serie

b a _b a ~2+3~4 5"

(a) Expresar esta serie mediante la notación £.

(b) ¿Para qué valores de a y b converge absolutamente esta serie? ¿Y

condicionalmente?

PROYECTO 11.4 Convergencia «Je series atesadas

La serie alternada

]T (- l)kak, ak>0 para todo k,

<fc = 0

converge si {ak} es decreciente y tiende a 0. Además, si la serie converge, entonces su

suma í queda siempre comprendida entre dos sumas parciales consecutivas sn y sn+{.

En este proyecto se investigan métodos que proporcionan aproximaciones aún mejores

para la suma. Considerar la serie alternada

Esta serie converge, por el criterio de las series alternadas. Sea s su suma.

Problema 1 Estimar la suma de los primeros 10, 20, 30,..., 100 términos de esta serie.

Problema 2 Hallar un n tal que sn se aproxime a s con una precisión de tres cifras

decimales. Para cada entero positivo n, definir tn y un como

í„+ •?„_! a„sn + a„_,s„_.

Para cada n, tn y un son promedios. En particular, un se llama una media ponderada.

Problema 3 Demostrar que litn tn = Jim un ■= s.

Problema 4

a. Calcular /„ paran = 10, 20, 30,___100.

b. Calcular u„ para n = 10, 20, 30.....100.

c. Comparar la velocidad de convergencia de las tres sucesiones {s„}, [tn\ y [un}.

í 1.5 POLINOMIOS DE TAYLOR EN a? SF.KBES DE TAYLOR EN %

Polinomios de Taylor en x

Empezamos con una función/continua en 0 y definimos P0(x) =/(0). Si /es diferenciarle

en 0, la función lineal que mejor aproxima/en los puntos próximos a 0 es la función

lineal

/>,(*) =/(0) +/Wjc;

Pj tiene el mismo valor que/en 0 y también la misma derivada (la misma rapidez de

variación):

P!(0) = /(0), p;(o) = /'(0).

(Ver sección 3.9, ejercicio 48.) Si/tiene derivada segunda en 0, podemos obtener una

mejor aproximación de/usando el polinomio cuadrático

P2(x) =/(0) + //(0)x + í2p.r2;

P2 tiene el mismo valor que /en 0 y las dos mismas primeras derivadas: P2(0)=/(0),

PÍ(0) = /(0), K'(0) = /"(0).

Si/tiene derivada tercera en 0„ podemos formar el polinomio cúbico

,; : P3 (*) = /(0) + f'(Q)x + £^x* + £22*3;

P3 tiene el mismo valor que/en 0 y las mismas tres primeras derivadas:

' P3(0) = /(0), P£(0) =/(O), PJ(0>.«/K0), Pf(0) = r'(0). Más generalmente,

si/tiene n derivadas en 0, podemos formar el polinomio

•> Pn(x) = /(0) + f(0)x + ^p^-f... + =^P^n;

PM es el polinomio de grado n que tiene el mismo valor que/en 0 y las mismas n

primeras derivadas:

p„(0) = /(0), p;(0) = /'(O), p;(0) = /"(o),... ,p<»>(0) = /n>(o>.

Estos polinomios de aproximación P0(*), P| (jc), PzC^X • • • >P«U) se llaman

polinomios de Taylor en recuerdo del matemático inglés Brook Taylor (1685-1731). En

particular, para cada entero no negativo Jfc, P¿(x) se llama el polinomio de Taylor k-

ésimo def.

tijemplo-l La función exponencial

/(*) = ** tiene las derivadas

/'(*) = e\ f\x) = ** fW = <?* etc. Luego

/(0) = 1, /'(0) = 1, /"(0) = 1, /'"(0) = 1,... , /<">(0) = 1.

El rt-ésimo polinomio de Taylor tiene la forma

En la figura 11.5.1 se muestran las gráficas de f(x) = ex, PQ(x), P{(x), P2(x) y P3(x).

itjemipío 2 Para hallar los polinomios de Taylor que aproximan la función seno,

escribimos

f(x) = sen x, f'(x) = eos x, f{x) = - sen x, f"{x) - - eos x.

Estos cuatro valores se repiten:

fA\x) = senx, P\x) = eos x, /6Hx) = - sen x, /<7)(.*) = - eos x.

En x = 0, la función seno y todas sus derivadas de orden par valen 0. Las derivadas

impares valen, alternativamente, 1 y - 1:

/'(O) = 1, /'"(O) = - 1, /5)(0) = 1, /7)(0) = - 1, etc. Luego los polinomios son

los siguientes:

P¿x) = 0,

P,(x) = P2(x) = x,

P3(x) = P4(x) = x-j¡,

P5(x) = P6(x) «x-g + g,

/>7(x) = />8(x) = x-^ + íj-í!, etc.

Sólo aparecen las potencias impares; el lector debe relacionar esto con el hecho de que

f(x) = sen x es una función impar. En la figura 11.5.2 se muestran las gráficas de/(x) =

sen x, jP1(x),JP3(x), P5(x)yP7(x).

Esto no basta para afirmar que los polinomios de Tayior

Pn(x) = /(O) + /'(0)x + <^>x2 + .. • + ^p*"

aproximan/'(x). Hemos de precisar la bondad de la aproximación.

Nuestro primer paso consiste en demostrar un resultado conocido como el teorema de

Taylor.

TEOREMA 11.5.1 TEOREMA DE TAYLOR

Supongamos que /tiene n + 1 derivadas continuas en un intervalo abierto /que contiene

el 0. Entonces, para cada x e /,

/(*) = /(O) + f(0)x + £^>x2 + - + ^P*" + *„+ ,(*), donde el resto /?„ + j (x) viene dado

por la fórmula

tf„+L« = iJ;¡/<"+i>(o(*-í)"df.

Demostración Fijar un x del intervalo /. Entonces

(1) ¡xof(t)dt = f(x)~f(0).

Por otra parte, si evaluamos la integral mediante integración por partes con "■= f'(t)

y dv = dt,

entonces

du = f"{t) dt y. V = — (JC — í)» (verificar la expresión de v)

(2) j*/to* =;[-/(í)(jr^oj;+J*noc- -o* = /wj+j*rmx-t)dt.

Así pues, de las igualdades (1) y (2) deducimos que j i /(*) = /(O) + /'(0)x + J* /"(í)

(x -OJí.

Integrando ou*a vez por partes [si tomamos íi = /*(f), ¿/v = (x-í) ¿í, entonces ¿m = /"(*)

dt,

v = -\(x-t)2], obtenemos

/(x) = /(O) + /'(0)x + -^x2 + i J* /"(*)(* - i)2 <fr.

Si se repite la integración por partes (ver el ejercicio 53), se obtendrá, después de n

pasos,

/(x) = /(O) + f(0)x + ¿^x2 + Qj^x* + - + ¿^x* + i P /» + D(f)(* - t)n dt. ¿\ ól

ni ni Jo

Luego

/(x) = Pn{x) + i J* /<» + D(0(x - í)" dt9

Y

fer3510@yahoo.es