Series Infinitas

Bachilleres.Galarraga BeatrizMendoza KeinyzMendoza Reiser

Valderrama CarmelisTutor: Reinaldo Oropeza

Barquisimeto, Septiembre 2015

Conozcamos algo de historia de series infinitas.

Las series tienen su origen histórico en el siglo V a.C. cuando el filosofo griego Zenón propuso la siguiente paradoja; para que un corredor recorra una distancia dada, debe primero recorrer la mitad del camino, después la mitad de las distancia que le queda y así ad infinitum. Pero, afirmaba Zenón, es claramente imposible que el corredor logre un numero infinito de estos recorridos en un periodo finito, de manera que el movimiento de un punto a otro es imposible. Esta paradoja nos lleva al estudio de las series infinitas la cual veremos a continuación.

¿Qué es una serie infinita?

Para hablar de series infinitas es necesario conocer la suma de una serie infinita para así tener presente cuando converge o cuando diverge la serie.

Considerando que la denota una serie infinita dada para la cual el {} es la sucesión de suma parcial. Si elexiste y es igual a S, entonces la serie seria convergente y S es la suma de

la serie. Si el no existe entonces la serie es divergente y no tiene suma.

Si {} es una sucesión y = + + + ….+ , entonces {} es una sucesión de sumas parciales denominadas series infinitas y se denota por:

Los números + + + ….+ son los términos de la serie infinita.

∑𝑛=1

∞

𝑎𝑛

Elementos de una serie {} es una sucesión infinita de números reales.

Los puntos suspensivos al final indican que los sumandos continúan indefinidamente.

Se usó el símbolo de la para abreviar la suma infinita de la derecha

∑𝑛=1

∞

𝑎𝑛

Los números + + + ….+ son los términos de la serie siendo el termino general o termino n-esimo.

Ejemplo de serie Considere la serie infinita

 Notemos que su enésimo termino es = aunque no podemos literalmente sumar un número infinito de termino, podemos sumar cualquier numero finito de los términos de la sumatoria. Por ejemplo la suma de los primeros 5 términos, podríamos sumar otros cincos términos y luego cinco mas y así sucesivamente . Se puede notar en el cuadro de la derecha que las sumas se acercan cada vez más a 1 conforme agregamos términos lo que es natural decir que la suma de toda la serie es igual a 1

1era suma:

2da suma:

3ra suma:

Tipos de serie

¿Sabias que?

La serie telescópica se llama así en remembranza de los antiguos telescopios. Estos telescopios, a pesar de su longitud, solo estaban compuestos de dos lentes.

Serie Telescópica

Una serie se llama telescópica si el término general puede expresarse en la forma: = - +1. En este caso se tiene. ()+ ()+ ()+ ……+()=

Y por lo tanto:

b1 -

∑𝑛=1

∞

𝑎𝑛

Características de la serie Telescópica

El denominador puede pasar de ser una expresión compleja a dos expresiones sencillas por distintos métodos:

a) Si es polinómica por el método de fracción simple

b) Si es logarítmica por sus propiedades.

La serie es convergente La serie es impropiamente divergente

Convergencia de la serie telescópica

Esta serie converge si y solo si

< ∞ y S= - lim𝑛⇾ ∞

𝑏𝑛 lim𝑛⇾∞

𝑏𝑛

Divergencia de la serie telescópica

Esta serie diverge cuando

= ∞lim𝑛⇾ ∞

𝑏𝑛

Ejemplos de serie TelescópicaProbar que la siguiente serie es

telescópica y hallar su suma

a)

Sol.Factorizando y descomponiendo en fracciones parciales

Si = ; hallaremos A=1 y B=-1Luego, = . Se trata de una serie telescópica, en efecto:Si tenemos que y =

∑𝑛=1

∞ 1𝑛2+𝑛

.

Ahora;

=+++…+= 1- Luego,

= =

∑𝑛=1

∞ 1𝑛2+𝑛

lim𝑛⇾ ∞

𝑠𝑛 = 1- = 1-0 = 1

Serie ArmónicaLa serie armónica se llama así

porque aparece relacionada con ciertos tonos producidos por la vibración de cuerdas

musicales

ni

i i1

1= ....1......

41

31

211

n

Llamaremos serie armónica a

donde cada termino es media armónica de sus dos adyacentes.

Características

Siempre diverge.

Es una serie de términos positivos.

Divergencia de la serie armónica

Sn=

ni

i i11

Sea:...

osmintérp

p...p.....

12

2

1

2

1

8

1

8

1

8

1

8

1

4

1

4

1

2

11=

....21....

21

211

p

= = 21 p y como p ⇾. Diverge

Ejemplo:

Determine si la converge o diverge

Solución: Aplicando el criterio de la integral debido a que es una serie de términos positivos decreciente. por lo tanto la serie diverge.

1

1n n

Nxxx lìmlìmlìm

n

N N

nnlnln11

1 11

A las series de forma se las conocemos con el nombre de P-series. Ellas desempeñan un rol importante en

el estudio de la convergencia.

Para p número real positivo. La serie es convergente si p > 1 La serie es divergente si 0<p<1.

Cuando p = 1, la serie es armónica, la cual diverge.

1

1n

pn

P-Series

Sea la serie “p” , determine para que valores de “p” converge y para que valores diverge.Solución:Analizando la integral

Si P=1, tenemos la serie armónica, que es divergenteSi P≠1, la integral es diferente

Ahora, si P>1, la integral converge

Si P≤1, la integral diverge

En conclusión, la serie

1np

n1

1

N

1p

1 x1

pxlìm

1

1

0

1

1

n

11

n1

N

1

1

npn

1

11

1

11

11

1

11

1lìm

11

1lìm

1lìm

x1 lìm

np

p

p

p

PPNP

n

pp

ppp

ppN

ppN

px

1-p

1 a converge 1P si

diverge 1siP

Ejemplo de P-Series

La serie de términos positivos converge si esta dominada por una serie convergente y diverge si esta dominada por una serie divergente de términos positivos.

Vamos a estudiar las series de la forma en estas condiciones

Para indicar que una serie de términos positivos es convergente se suele escribir

Esta nota NO se usa para otro tipo de series.

1

1

nn

nn

a

a

0...1 nn aaS

Criterio de convergencia para serie de términos positivos

Sean y dos series de términos positivos. Se dice que la domina

Si se cumple que

Condiciones para aplicar el criterio de comparación.

Supongamos que para i) si converge, entonces converge.

ii) si diverge, entonces diverge.

1 1

n n

nn ba

1 1

n n

nn ab

nnn ba

b a

a b

N n b a 0

n n

n n

n n

Criterio de Comparación

Determine si la serie converge o diverge.Solución: Empleando el criterio de comparación.Busquemos una serie empleando los primeros términos del numerador y del denominador:

Resulta una serie divergente ¿ por que?Los términos de la serie dada deben ser mayores que los de esta serie, para que la serie dada sea divergente. (Si esto no ocurriese habrá que cambiar de serie o de criterio)Se observa que para

Por tanto se concluye que la serie dada es divergente.En este ejemplo también se puede aplicar el criterio de la integral.

12 12n nn

1 11

2

121

22 n nn nnn

nn

1n 212 22

nn

nn

Ejemplo de Criterio de Comparación

Sean y dos series de términos positivos.

si c 0, entonces las dos series son convergentes o ambas series son divergentes

si 0, y si converge, entonces converge.

si , y si diverge, entonces diverge.

Condiciones Paso 1: hallar una serie de la cuya propiedades de convergencia sean conocidas (como una p-serie o una serie geométrica) y que el termino sea esencialmente lo mismo que Y así, si interviene un cociente de polinomios, se obtiene tomando solo los términos de mayor potencia Paso2: verificar que existe y que este limite sea positivo.Paso 3: aplicar la conclusión del criterio.

11

n

nn

n vu

u v vu

u v vu

vu

1nn

1nn

n

n

1nn

1nn

n

n

n

n

lìm

lìm

lìm

n

n

n

1

n

nb

nb na

n

n

ba

lìmn

nanb

Criterio de comparación por paso al limite

Determine si la serie converge o diverge.

Solución.Busquemos una serie empleando los primeros términos del numerador y del denominador

Tenemos un serie convergente¿ por que?Obtenemos ahora

Por lo tanto la serie dada es también divergente.

1n23 112n2-3n

n

1

21n

3

13n3n

n n

11163

23

2

23

n23

3

n3112n

2-3n

nn

nlìm

n

nlìm

Ejemplo del criterio paso al limite

Criterio de la Razón

Este criterio suele ser muy útil cuando los términos de las series contienen factoriales o enésimas potencias.

Criterio de la Razón, o criterio D`Alambert.

Sea una serie de términos positivos tal que .

1nna

Llìmn

n

1n

aa

1. Si 0≤L<1, entonces converge

2. Si 1<L ≤∞, entonces diverge

3. Si L=1 no hay información, puede converger o diverge

1nna

1nna

1 )!12(2

n

n

n

)12(22

)!12)(2)(12()!12(2

)!12(2)!12(2

)!12(2

)!12(12

11

nnnnnn

nn

nn

nn

aa

n

n

n

n

101)2n(2n

2 a

a

n

1n

lìmlìm

nn

1 )!12(2

n

n

n

Luego

En consecuencia, converge

Determine la convergencia o divergencia de:

Solución

Ejemplo del criterio de la Razón

Criterio de a Raíz

Esta es otra técnica para determinar la convergencia de series cuyo términos contienen potencias

Criterio de la Raíz.

Sea una serie tal que: .

1nna

Llìmn

nna

1. Si 0≤L<1, entonces converge

2. Si 1<L ≤∞, entonces diverge

3. Si L=1 no hay información, puede converger o diverge

1nna

1nna

2

111

n

nn n

a

1n`

2

11 111n

211

nn

n

n

nn

nlìm

nlìm

Determine la convergencia o divergencia de:

Solución:

Luego diverge

Ejemplo del criterio de la Raíz

Criterio de la integralLas series geométricas y las telescópicas tienen especial ventaja de que

en termino general de las sumas parciales es fácil de calcular, lo que nos permite calcular la suma con facilidad. En general, esta situación no sucede. En muchos casos, hallar una formula para es difícil o imposible de hallar. Para resolver estas dificultades se cuenta con un criterio que nos garantiza la convergencia o divergencia de una serie, como lo es el caso del criterio de la integral

Definición del Criterio

de la integral

Sea f una función continua, decreciente, y de valores positivos para todo x≥1. entonces la serie infinita

Es convergente si la integral existe y

es divergente si

b

1

1

1

)(

dx f(x)

...)(...)3()2()1()(

dxxf

nffffnf

lìmb

n

Ejemplo del criterio de la integralDetermine si la serie es convergente o

divergente

Solución: la función f definida por

Es continua y de valores positivos para toda x≥2. también si 2≤ , entonces f() > f(); de modo que f es decreciente pata toda x ≥2, por lo que se puede aplicar

el criterio de la integral.

2 ln1

n nn

xxxf

ln1)(

2ln2ln2

ln2

)(lnln

2

22

1

2

b

x

xdxx

xxdx

lìmlìm

lìm

b

b

b

b

b

Así, la serie dada es divergente

Criterio de P-SeriesConocemos a la serie P

a aquella que:

Converge siP>1

Diverge siP≤1

1

1n

pn

En efecto para p≤0 el termino general de la serie no tiende a 0 por lo que la serie diverge.

Si p>0 la función f(x)= es continua, positiva y

decreciente para todo X≥1

Entonces la serie converge si y solo si la integral

converge

1 pxdx

Ahora bien, para p≠1

Por los que la serie converge para p>1

dxxdx

p

1

p

1x

1p si 1p si

1-p1

11b

x

1p

p

1

p

lìm

p

dxlìmp

Convergencia de las p-series

1

1n

pnLa p-serie es convergente si p>1 y es divergente p= ≤1

Demostración:Si p<0 entonces

Si p=0 entonces

Si p=1 entonces

Si p>0 la función f(x)= es continua, positiva y decreciente en el intervalo y tenemos:

Luego, por el criterio de la integral, converge si p>1 y diverge si 0<p<1.

diverge cual la armonica, serie la es 1 1

diverge 1 tantolopor y 11

diverge 1 tantolopor y n1

11

1 110

1np lìm

nnp

n np

n

np

p

n

nn

nn

nnlìm

,1

1p0 si

1p si 1

1

11

1 dx

x1

1

t1 p1 lìm ppp

txdx pt

tp lìm

1

1n

pn

Tarde o Temprano La DisciplinaVencerá a la Inteligencia…