Sesion 6 2015 1 Impulso u
-
Upload
lenin-cadillo-gutierrez -
Category
Documents
-
view
13 -
download
8
description
Transcript of Sesion 6 2015 1 Impulso u
Dinámica 2015-1
Impulso y Cantidad de Movimiento en 2D
IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN 2D
IMPULSO Y MOMENTUM DE UN CUERPO RIGIDO (2D)
1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal L
Modelo General (Traslación + Rotación):
G
iivmim
Gir /Gv
Gr
ir
Y
X
Con respecto a O:
i
ii
Gm
rmr
iiG rmrm
Derivando:
iiG vmvm
Para una partícula de masa mi
iivmL
iivmL Para todo el cuerpo rígido:
También:
Derivando:
iiGi rmrm
iiGi vmvm
GvmL
.
2. Momentum Angular (Válida para un estado dinámico) H
Con respecto al centro de masa G, el Momento es el momento de la cantidad de movimiento lineal respecto del centro de masa.
GH
El depende del punto respecto al cual se toma. GH
/ /i G i G i iH r m v
L: Siempre actúa en el centro de masa del cuerpo:
L y H : Siempre actúa en un instante de tiempo t
Como: GiGi rvv /
GiGiiGiGiiG rrmvmrH ///
Para todo el cuerpo rígido:
/ / / /i G i G i G i i G i GH r m v m r r
Considerando el origen en G:
GiiG rmrm /0
0Givm
G
iivmim
Gir /Gv
Gr
ir
//GH
Y
Z
X
H
O
Escalarmente
2
/ GiiG rmHPara un medio discreto
Cuando n ∞ (El medio es continuo) dmrH GiG .2
/
GG IH
En el plano se puede
tomar Escalarmente,
de acuerdo a la
regla de la mano
derecha.
GG
GG
IH
IH
Casos particulares:
a) Traslación pura: (Rectilínea y curvilínea). 0
GvmL
0GH
b) Rotación pura respecto a un punto fijo en el cuerpo:
O
Gvm
G
O
Gr
G
Gvm
m
GI
Gr
GGGO
GGG
vmrI
vmI
0.
mrII GGO
2
GvmL
GG IH
Podemos deducir que:
GGGO mvrIH
2
GGO mrIH
2
GGO mrIH
OO IH
GG rv .
mrII GGO
2
rigidocuerpoT .
GG IH
c) Traslación y Rotación: (Movimiento general del cuerpo en el plano)
GmvL GG rv ..GG IH
3. Principio del Impulso y el Momentum (se evalúa entre 2 estados dinámicos):
.Se aplica para un cambio de estado. 1t
2t
12 ttt
1) Momentum Lineal:
Sabemos que para todo cuerpo en movimiento:
GamF
dt
vdmF G
.
2
1
2
1
.G
G
v
v
G
t
t
vdmdtF
12 GG vmvmJ
2211 GG vmJvm
:J Impulso lineal
GvmL
21
2
1
G
t
t
G vmdtFvm
Ecuación general del Principio del Impulso y la Cantidad
De Movimiento Lineal
a) Para un cuerpo rígido: 2211 LJL
De donde:
zzz
yyy
xxx
LJL
LJL
LJLD
D
2211
2211
22112
3
:F
Suma de las
fuerzas externas,
sobre el sistema
b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados: 2211 LJL
2) Momentum angular:
GG IM
dt
dIM GG
2
1
2
121
.
dIdtM G
t
t
G
dt
dIM GG
GG Idt
dM
GG Hdt
dM
1 2 2 1G GI I
:21
Impulso
angular
21
2
1
G
t
t
GG IdtMI
2211 GG HH
Para un cuerpo rígido
Para un sistema
.GG IH
:GH Momento angular
respecto a G
Nota:
Suma de momentos de las fuerzas externas al sistema :GM
21
2
1
G
t
t
GG HdtMH
AA Hdt
dM
Ecuación general del Principio del Impulso y la Cantidad de Movimiento Lineal
4. Conservación del Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento: En un eje cualquiera:
Si Entonces 0.2
1
t
t
dtF
.cteL
a) Para un Cuerpo Rígido:
21 LL
21 .. GG vmvm
21 GG vv
b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados (mas útil):
21 LL
5. Conservación del Momentum Angular:
En el plano:
Si
Entonces
2
1
0
t
t
GdtM 21 GG HH
.cteHG
21
GG II
21
21 GG HH
a) Para un Cuerpo Rígido:
b) Para un Sistema o Cuerpos Interconectados (mas útil):
21
2
1
G
t
t
G vmdtFvm
21
2
1
G
t
t
GG IdtMI
Haciendo el D.C.L.
1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal GvmL
.
2. Momentum Angular
GG IH
3. Principio del Impulso y el Momentum Lineal (se evalúa entre 2 estados dinámicos):
2211 LJL
4. Principio del Impulso y el Momentum Angular (se evalúa entre 2 estados dinámicos):
2211 GG HH
21
2
1
G
t
t
G vmdtFvm
21
2
1
G
t
t
GG IdtMI
5. Conservación de la Cantidad de movimiento Lineal o Momentum Lineal:
6. Conservación del Momentum Angular:
21 LL
21 GG HH
RESUMEN
Validas solo para un estado dinámico
CHOQUES
6. Análisis Para Choques Excéntricos: El impacto excéntrico entre 2 cuerpos ocurre cuando la línea que uno los centros de masa de los
cuerpos no coincide con la línea del impacto. En estos choque, se cumplen las ecuaciones dadas,
pero se agrega la que corresponde al coeficiente de restitución (e)
Antes del impacto Después del impacto
impacto del antes vrel.
impacto del despues vrel.e
(Solo se aplica en el punto de contacto,
en la línea de Impacto (eje normal) En el ejemplo:
2 2
1 1
n n
P Q
n n
P Q
v ve
v v
También: Si no hubieran fuerzas
externas sobre el sistema 3, "El sistema
es conservativo".
Q Q P P
t
t
n n
1
n
Pv
1
t
Pv
1Pv
1
n
Qv
1
t
Qv
1Qv
2Qv
2Pv 2
n
Qv
2
n
Pv
2
t
Qv
1
t
Pv
7. Conclusiones Importantes:
Para todo movimiento plano: en un estado dinámico.
GGGGG Hdt
dI
dt
d
dt
dIIM
.
GG HddtM
2
1
2
1
G
G
H
H
G
t
t
G HddtM
1221 GG HH
G G G
O O O
F2
F1
d2
RO mg
IG1
1
rG
2
2
1
1 2
t
G G G
t
I M dt I
2
1
2
1
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
ˆ ˆ ˆ( )
( )
t
G O O G
t
t
G O O G
t
I k F d F d R d dtk I k
I F d F d R d dt I
a) Con respecto al centro de masa G:
IG2
G G G
O O O
F2
F1
r2
RO mg
rO
IG1
1
rG rG
2
2
1
1 1 1 2 2 2
t
G G O G G
t
I r mv M dt I r mv
2
1
2
1
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )
( )
t
G G G O G G G
t
t
G O O G
t
I k r mv k F r F r r mg dtk I k r mv k
I F d F d R d dt I
IG2
Dos casos a tomar en consideración:
a) Cuando ∆t → grande, apreciable. Se considera el impulso del peso y otras fuerzas pequeñas.
b) Cuando ∆t → muy pequeño (choques). El impulso del peso y otras fuerzas pequeñas, no impulsivas son despreciables.
La barra delgada ABC tiene una masa de 2,4 kg y se une a un soporte de
pasador en B. La esfera D de 0,8 kg golpea el extremo de la barra con una
rapidez v1 = 3 m/s. Si L = 0,75 m y e = 0,5, inmediatamente después del impacto,
determine:
a.- La rapidez angular de la barra ABC.(rad/s)
b.- La rapidez de la esfera D.(m/s)
c.- La magnitud de la aceleración angular de la barra ABC.(rad/s2)
d.- La magnitud de la fuerza de reacción en el apoyo B.(N)
e.- El máximo ángulo alcanzado por la barra después del impacto.()
1. Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento Lineal GvmL
.
2. Momentum Angular
GG IH
3. Principio del Impulso y el Momentum Lineal (se evalúa entre 2 estados dinámicos):
2211 LJL
4. Principio del Impulso y el Momentum Angular (se evalúa entre 2 estados dinámicos):
2211 GG HH
21
2
1
G
t
t
G vmdtFvm
21
2
1
G
t
t
GG IdtMI
5. Conservación de la Cantidad de movimiento Lineal o Momentum Lineal:
6. Conservación del Momentum Angular:
21 LL
21 GG HH
RESUMEN
Validas solo para un estado dinámico
I) Utilizando el Principio del Impulso y la cantidad de Movimiento Lineal para la bola entre los
estados 1 y 2:
2 2ˆ ˆ)0,8( 3 ) . 0,8 ...... 0,8 2, . 14 ...( )Fa i F dt v dti v
II) Utilizando el coeficiente de restitución entre la bola y la barra entre los estados 1 y 2:
2
2 2
2 22
0,1875
1(0,75)
40,53 3
..........1, ..(2)5
A
vv v
v
e
2
I) Utilizando el Principio del Impulso y la cantidad de Movimiento Angular para la barra entre los
estados 1 y 2, con respecto al punto B:
+ =
1 2
2 2
2 2
2. 1,0
ˆ0,1875 .
0 0,1875 . 0,1875( )
0,1875 . 0,1125 0,1875(2,4)(0,1875 )
............. )5 (3
B B
G G
H F dtk H
F dt I mv
F dt
F dt
1 22B B BH M dt H
2 21(2,4)(0,75) 0,1125 .
12GI kg m
2
2
2
21,05 0,8 2,
1,05 0,8 2,4
..........4 ...(4)
v
v
2 2 ...0,187 .....5 1,5 ....(2)v
2
2
3 /
0,9375 /
rad s
v m s
L=0,75m B
III) Utilizando el concepto de Fuerzas y aceleraciones sobre la barra en el estado 2:
23,52N
BY
2 2
2
2
) :
01875(23,52) 0,1125 (2,4)(0,1875) (0,1875
4
)
22, /
B Bcausas efectos
M
rad s
a M
=
) :n
n Gb F ma 2 2
2( . ) 2,4(3) (0,1875)
4,05X
X
B
B m r
N
n
Gma
t
Gma
BX
) :t
t Gc F ma 223,52 ( . ) 2,4(22,4)(0,1875) 10,
13,4
8
4
0Y
YB
B m r
N
2 2 2 2( ) ( ) (4,05) (13,44) 14,0369B X YR B B N 14,0369BR N
+ = B B B
BX
BY mg
IV) Observamos que sobre el cuerpo después del impacto, solo actúan sobre el, fuerzas conservativas
como el peso y fuerzas en el apoyo B que no trabajan, por lo cual se cumple la Conservación de la
Energía Mecánica: Aplicamos el Principio de Conservación de la Energía Mecánica entre los estados 2
y 3:
0,1875
Estado 2 Estado 3
2 3 /rad s 3 0 3 0Gv
0,1875Sen
N.R.
3 0,5625 /Gv m s
2 3
2 2 2 2
2 2 2 3 3 3
2 2
1 1 1 1. .
2 2 2 2
1 1(2,4)(0,5625) (0,1125)(3) 0 (0) 2,4(9,8)(0,1875. )
2
11,
2
0,20 8
5
0
837
M M
G G G G G G
E E
mv I mg y mv I mg y
Sen
Sen
Bibliografia a utilizar: Hibbeler y Beer
PROBLEMA 4 (4 puntos)
Al mecanismo de palanca articulada que está en el plano vertical, se le aplica en C un Par
de Momento M = 11 m.N, liberándolo a partir del reposo en la posición = 45. En esta
posición el resorte de constante K = 140 N/m esta estirado 15 cm. La barra AB pesa 1,8
kg y la BC 3,6 kg. Cuando = 0, determine:
a.- La magnitud de la velocidad angular de BC.(rads)
b.- La fuerza de reacción horizontal en el apoyo O.(N)
c.- La fuerza de reacción vertical en el apoyo O.(N)
d.- La fuerza de reacción en el apoyo A.(N)
VGAB
1.- Para determinar la primera pregunta del problema, primero
utilizamos el Principio del Trabajo y la Energía Cinética
para todo el sistema (Las dos barras unidas):
AB
OB
1 21 2T U T
33 cm
23,3343 cm
9,6657 cm
44 cm
31,1124m
12,8876 cm
2 21(1,8)(0,22) 0,00726 .
12GAI kg m
2 21(3,6)(0,44) 0,05808 .
12GBI kg m
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2R A BA GA GA A B GB GB B Par F P P A GA GA A B GB GB Bm v I m v I U U U U m v I m v I
1 0GAv
VB
2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1ˆ ˆ11 (140) 0,27887 0,15 1,8(9,8) 0,33 0,23334 (1,8)(0,11 ) (0,00726) (0,05808)4 2 2 2 2
A A Bk k
1 21 2T U T
Como el sistema parte del reposo en = 45º:
1 0GBv 1 0A 1 0B
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2
1 1 1 1( ) ( ) ( )
2 2 2 2A GA GA B GB GB A GA GA A GB BM K m g y y m g y y m v I I
También para = 90º:
2 0GBv
1 2 0GB GBy y
Como se observa en la figura el nivel de referencia del cuerpo B esta en O que es fijo por
Lo cual:
2 2
2 20,01452 0,002904 3,06552A B
2.- Utilizando el concepto de Centro Instantáneo de Rotación del punto A
en el estado 2, y observando que la velocidad de B es la misma tanto
para la barra A como para la barra B, obtenemos:
2 2 2 20,22 0,22 .............(2)B A B A BV
3.- Determinamos las velocidades angulares de cada barra en el estado 2:
8,3889 /AB OB rad s
C.I.R.
=
CAUSAS EFECTOS
FR = 39,0418 N
mABg=17,64 N
mBCg=35,28 N
Oy OX
A
M = 11m.N
GAB
𝑚𝐴𝐵𝑎𝑋𝐺
𝑚𝐴𝐵𝑎𝑌𝐺
BCG BCI
ABG ABI
0Oa
4.- Cinematicamente sabemos que O no tiene aceleración por estar en reposo, B tiene
movimiento circular:
2
/ /.t n
B B B BC B O B Oa a a R R
2ˆ ˆ ˆ(0,22 ) (8,3989) (0,22 )B BCa k j j
ˆ ˆ0,22 15,5191B BCa i j
6.- Relacionando la aceleración de B
respecto de A:
2
/ /.B A AB B A B Aa a R R
ˆA A
A Y Ya a a j
5.- Sabemos que A solo tiene movimiento
Vertical por lo cual no tiene aceleración
horizontal:
2ˆˆ ˆ ˆ( ) ( 0,22 ) (8,3918) ( 0,22 )A
B Y ABa a j k j j
ˆ ˆ ˆ0,22 15,5191A
B Y ABa a j i j
(1)
(2)
7.- Igualando las ecuaciones (1) y (2):
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0,22 15,5191 0,22 15,5191A
BC Y ABi j a j i j
BC AB
2
15,5191 15,5191
31,0382 /
A
Y
A
Y
a
a m s
En el eje X:
En el eje Y:
8.- Relacionando la aceleración de GAB
respecto de A:
2
/ /.G A AB G A G Aa a R R
2ˆˆ ˆ ˆ31,0382 ( ) ( 0,11 ) (8,3889) .( 0,11 )G ABa j k j j
ˆ ˆ0,11 23,2971G ABa i j
9.- Utilizaremos el concepto de fuerzas y aceleraciones:
) :G G
X AB ABX BC BCXa F m a m a
39,0418 17,64 35,28 (1,8)( 23,2971)YO
ˆ ˆ0,11 23,2971G ABa i j
(1,8)( 0,11 )X A ABO
0,198 0X A ABO
) :G G
Y AB ABY BC BCYb F m a m a
50,027YO N
)AB BC ABG G BC G ABc M I I
(0,11) (0,33) 11BC ABA X G BC G ABO I I
0,11 0,33 11 0,05808 0,00726A X AB ABO
0,11 0,33 0,05082 11A X ABO
10.- Analizando solo la barra BC, utilizaremos el concepto de fuerzas y aceleraciones:
B
C
O
22 cm
22 cm
B
C
O
22 cm
22 cm
=
M = 11m.N
CAUSAS EFECTOS
Oy
OX
mBCg=35,28 N
BX
BY
0BCG
BC Xm a
0BCG
BC Ym a ACG BCI
) 0 :Xa F
0X XO B
) 0 :Yb F
35,28 0Y YO B
)BC BCG G BCc M I
0,22 11 0,05808X BCB
0,05808 0,22 11BC XB
50,027 35,28 0
14,747
Y
Y
B
B N
0,05808 0,22 11AB XB
11.- Resolviendo las ecuaciones simultaneas:
1 0 1 0,198 0X X A ABO B
0,33 0 0,11 0,05082 11X X A ABO B
1 1 0 0 0X X A ABO B
0 0,22 0 0,05808 11X X A ABO B
16,6666XO N
16,6666XB N
8,3333A N
2126,2626 /AB BC rad s
Obtenemos los siguientes resultados:
Letra Variable Valor numérico Unidades
a BC 8,3889 rad/s
b OX 16,6666 N
c OY 50,027 N
d A 8,3333 N
BLOQUE C
PROBLEMA 1 (4 puntos)
Cada una de las barras delgadas uniformes A tienen una masa de 20 kg. Se sabe
que OC es 300 mm. La barra B de 8 kg se suelta del reposo en la posición
mostrada, si e = 0,5. Determine:
a.- La velocidad angular de la doble barra después del choque.(rad/s)
b.- La velocidad angular de la barra B después del choque.(rad/s)
c.- La aceleración angular de B un instante después del choque.(rad/s2)
d.- El máximo ángulo que se eleva la doble barra.()
a.- w = 1,2219 rad/s
b.- vn = 42,8342 m/s
1.- A2 = 25,1328 rad/s
2.- t = 0.8691 s
3.- Fm = 46,2651 N
4.- Ot = 22,7451 N
5.- On = 17,64 N
6.- 2 = 71,5359 rad/s2
KB = 1,6 m
1.- AB2 = 3,834 rad/s
2.- AB3 = 1,246 rad/s
3.- CD3 = 4,3132 rad/s
4.- OY = 170,4221 N
5.- 3 = 0
6.- max = 105.4
THE END!
Higher Education:
Let’s make it all that it can be and needs to be!
Vamos a hacer todo lo que puede ser y debe ser! Professor: M.Sc Tito Vilchez