Prof. Ricardo Escalante

BPMM30BPMM30

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Medidas de VariabilidadMedidas de Variabilidad

Puntaje de desviaciónPuntaje de desviación

PropiedadesPropiedades

Ejemplos de DesviaciónEjemplos de Desviación

1

6 VarianzaVarianza

Desviación estándarDesviación estándar

o Estas medidas se refieren a qué tan alejados de la media aritmética están los datos.

o Las medidas de tendencia central ofrecen una idea cuantificada del valor promedio de la distribución.

o Las medidas de variabilidad, en cambio, cuantifican la magnitud de la dispersión.

o Estudiaremos tres tipos de medidas de dispersión:1. Rango2. Desviación estándar3. Varianza

o El puntaje de desviación nos indica qué tan lejos “a qué distancia” esta el dato en bruto con respecto a la media aritmética de la distribución .

o Puntaje de desviación para datos de una muestra:

o Puntaje de desviación para datos de una población:

o A modo de ejemplo considere la siguiente distribución de datos correspondiente a una población

Xi

23

25

27

29

31

33

35

o En primera instancia calculamos la media:

o Determinada la media aritmética de la muestra, calculamos las diferencias de los datos en bruto a la media

o Si intentamos calcular el promedio delas desviaciones, esto sería equivalente a:

o Es decir:

Xi

23 23 – 29 = -6

25 25 – 29 = -4

27 27 – 29 = -2

29 29 – 29 = 0

31 31 – 29 = 2

33 33– 29 = 4

35 35 – 29 = 6

o De acuerdo con este cálculo, por ser cero, indica que los datos de esta población no se desvían.

o Evidentemente este cálculo NO ES VÁLIDO, no obstante, si cada una de estas cantidades la elevamos al cuadrado, las propiedades de la potenciación indican que sus resultados serán positivos.

o De ahí

o Si calculamos el promedio de estos cuadrados, sería:

o Consecuentemente tendríamos el promedio de los cuadrados de las diferencias. Este promedio se puede ajustar aplicándole la raíz cuadrada. Con este proceso revertimos el acto de elevar al cuadrado.

o Consecuentemente tendríamos el promedio de los cuadrados de las diferencias. Este promedio se puede ajustar aplicándole la raíz cuadrada. Con este proceso revertimos el acto de elevar al cuadrado.

o Este cálculo corresponde a la desviación estándarpara un conjunto poblacional de datos aplicando el

método de la desviación

Xi

23 23 – 29 = -6 36

25 25 – 29 = -4 16

27 27 – 29 = -2 4

29 29 – 29 = 0 0

31 31 – 29 = 2 4

33 33– 29 = 4 16

35 35 – 29 = 6 36

o Para el ejemplo que se observa a continuación, determine la desviación estándar sabiendo que se trata de una distribución de datos poblacionales

Xi

7

8

9

10

11

12

13

14

15

o Para el caso de una distribución de datos correspondiente a una muestra, se utiliza:

Aún no!!!!!!

Xi

25 -11 12129 -7 4931 -5 2532 -4 1635 -1 137 1 140 4 1641 5 2543 7 4947 11 121

o Otro ejemplo: Xi

10 -6,875 47,265625

12 -4,875 23,765625

13 -3,875 15,015625

15 -1,875 3,515625

18 1,125 1,265625

20 3,125 9,765625

22 5,125 26,265625

25 8,125 66,015625

o Para una distribución de frecuencias de datos no agrupados:

7 2 2 14 -3,8 14,44 28,88

8 5 7 40 -2,8 7,84 39,2

9 7 14 63 -1,8 3,24 22,68

10 12 26 120 -0,8 0,64 7,68

11 7 33 77 0,2 0,04 0,28

12 6 39 72 1,2 1,44 8,64

13 4 43 52 2,2 4,84 19,36

14 4 47 56 3,2 10,24 40,96

15 2 49 30 4,2 17,64 35,28

16 1 50 16 5,2 27,04 27,04

o Existe un método alternativo para el cálculo de la desviación estándar, se trata del método de los datos en bruto:

o Método anterior

Xi X2

25 62529 84131 96132 102435 122537 136940 160041 168143 184947 2209

o Aplique sobre las siguientes distribuciones:

o Propiedades de la desviación1. La desviación estándar nos proporciona

una medida de la dispersión con respecto a la media.

2. La desviación estándar es sensible a cada uno de los datos de la distribución.

Xi

25283537384042454750

Xi

1,21,41,51,71,92,02,22,42,52,83,03,3

o La varianza de un conjunto de datos es simplemente el cuadrado de la desviación estándar.

o Para los datos de la muestra, la varianza es:

o Para los datos de una población, la varianza es:

o La varianza no es muy utilizada en estadística descriptiva, porque proporciona unidades de medición elevadas al cuadrado.