Simulación montecarlo para valoraropciones

8/18/2019 Simulación montecarlo para valoraropciones

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Algunos conceptos de Finanzas y Valoración de

Opciones Europeas con Métodos SMC

Alexander Guaŕın López

Maestŕıa en Ciencias Económicas

Universidad Nacional de Colombia

Bogotá, Colombia


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Clase 6A: Contenido

1 Algunos conceptos teóricos en FinanzasProceso EstocásticoProceso de MarkovProceso de Wiener (Movimiento Browniano)Proceso de Wiener GeneralizadoProceso de Ito

2 Lema de Ito

DerivaciónEjemplo: Precio de las acciones (Distribución LogNormal).

3 Métodos de Simulación Monte Carlo

4 Ejemplo: Valoración de Opciones


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Algunos Conceptos Teóricos en

Finanzas


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Proceso Estocástico

Definición

Es el proceso seguido por cualquier variable cuyos cambios a través del tiempo son

aleatorios.

Clasificación

Tiempo:

Discreto: los valores de las variables pueden cambiar sólo en ciertos

puntos del tiempo fijos.Continuo: los cambios pueden tomar lugar en cualquier momento deltiempo.

Variable aleatoria

Continua: la variable subyacente puede tomar cualquier valor dentro deun cierto rango.Discreta: la variable sólo puede tomar ciertos valores discretos.

En finanzas, en general se trabaja con variables continuas y en tiempo continuo.


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Proceso de Markov

Proceso de Markov:

El valor esperado de una variable aleatoria S t condicional sobre toda su historia,sólo depende de su valor previo S t −∆t

Un proceso de Markov es un proceso estocástico donde ...

Movimientos futuros en una variable dependen sólamente de la últimaobservación, y no de su historia completa.

La historia pasada de la variable es irrelevante.


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Proceso de Wiener

El proceso de Wiener es usado en f́ısica para describir el movimiento de unapart́ıcula que está sujeta a un número grande de pequeños choques. También esllamado Movimiento Browniano.

Una variable z sigue un proceso de Wiener si:Propiedad 1. El cambio ∆z durante un pequeño periodo de tiempo ∆t es

∆z = √

∆t

donde tiene una distribución N (0, 1).Propiedad 2. Los valores de ∆z para cualquier dos intervalos cortos de tiempo∆t son independientes.

∆z tiene una distribución normal con

Et [∆z ] = 0

Var t [∆z ] = ∆t

Std t [∆z ] =√

∆t

P d Wi


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Proceso de Wiener

P d Wi G li d


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Proceso de Wiener Generalizado

Un proceso de Wiener tiene un drift (i.e. el cambio promedio por unidad detiempo) de 0 y una varianza de 1.

En el proceso de Wiener generalizado, la drift y la varianza pueden ser fijadosigual a cualquier constantes.

La variable x sigue un proceso de Wiener generalizado con drift a y una varianzab 2 si

dx = adt + bdz

La equivalencia en tiempo discreto es

∆x = a∆t + b √

∆t

∆x tiene una distribución normal con

Et [∆x ] = a ·∆t Std t [∆x ] = b

√ ∆t

Var t [∆x ] = b 2 · ∆t

P d Wi G li d


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P d Wi G li d


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Por qué este proceso no es apropiado para un activo?

Para el precio de un activo, es posible suponer que

el cambio porcentual esperado en un periodo corto de tiempo es constante

sin embargo, no sucede lo mismo con el cambio absoluto esperado

La incertidumbre de un activo (i.e. definida como el tamaño de futuros movimientosen su valor)

son proporcionales al precio.

El P d It


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El Proceso de Ito ....

.... es definido comodx = a (x , t ) dt + b (x , t ) dz

donde a es el retorno esperado (i.e. drift) y b es la volatilidad (varianza) del proceso.

La equivalencia en tiempo discreto para el proceso en tiempo continuo es

∆x = a (x , t ) ∆t + b (x , t ) √

∆t

lo cual es verdad en el ĺımite cuando ∆t → 0.

Suponga que el proceso de Ito para el precio de un activo

dS = µSdt + σSdz

donde µ es el retorno esperado y σ es la volatilidad. La equivalencia en tiempodiscreto para el proceso en tiempo continuo es

∆S = µS ∆t + σS √

∆t


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El Lema de Ito

Lema de Ito


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Lema de Ito

Si conocemos el proceso estocástico seguido por la variable x t

entonces, el Lema de Ito nos dice el proceso estocástico seguido por una funciónG (x , t )

Dado que el precio de un derivado es una función del precio de un activo subyacente yel tiempo,

entonces, el Lema de Ito juega un role crucial en el análisis de contratos de

derivados.

Derivación del Lema de Ito:

La expansión en series de Taylor de una función G (x , t ) de dos variables x y t es igual a

∆G = ∂ G

∂ x ∆x +

∂ G

∂ t ∆t +

1

2

∂ 2G

∂ x 2 ∆x 2 +

∂ 2G

∂ x ∂ t ∆x ∆t +

1

2

∂ 2G

∂ t 2 ∆t 2 + . . .

Sustitución de ∆x


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Sustitucion de ∆x

Ahora considere el proceso

dx = a (x , t ) dt + b (x , t ) dz

La anterior expresión se puede discretizar como

∆x = a (x , t ) ∆t + b (x , t ) √

∆t

y por simplicidad, vamos a borrar los argumentos de las variables a y b , tal que

∆x = a∆t + b √

∆t

Si..... calculamos ∆x 2

, entonces llegamos a que a

∆x 2

= a2∆t 2 + 2ab ∆t 3/2 + b 22∆t

Si omitimos los términos de segundo o mayor orden, entonces obtenemos

∆x 2

= b 22∆t

Note que ∆x 2 tiene un componente que es de orden ∆t , y por tanto, no puedeser ignorado.

El término 2∆t


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El termino 2∆t

Dado que N (0, 1), entoncesE () = 0E2− [E ()]2 = 1

E2

= 1

De las expresiones anteriores sigue que

E2∆t

= ∆t

Var2∆t

= ∆t 2

Note que el valor 2

∆t puede aproximado por su valor esperado ∆t yconsiderado como no estocástico cuando ∆t → 0. Esta última conclusión sederiva de que la Var

2∆t

→ 0 cuando ∆t → 0, y por tanto, desaparece el

componente aleatorio .

Ignorar términos de orden mayor que ∆t


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Ignorar terminos de orden mayor que ∆t

De la expansión en las Series de Taylor,

∆G = ∂ G

∂ x ∆x +

∂ G

∂ t ∆t +

1

2

∂ 2G

∂ x 2 ∆x 2 +

∂ 2G

∂ x ∂ t ∆x ∆t +

1

2

∂ 2G

∂ t 2 ∆t 2 + . . .

y dado que

∆x 2

= b 22∆t

si omitimos los términos de orden mayor que ∆t, llegamos a la expresión

∆G = ∂ G

∂ x ∆x +

∂ G

∂ t ∆t +

1

2

∂ 2G

∂ x 2 b

22∆t

Además, al reemplazar el valor 2∆t por su valor esperado ∆t , llegamos al Lema deIto

∆G = ∂ G

∂ x ∆x +

∂ G

∂ t ∆t +

1

2

∂ 2G

∂ x 2 b

2∆t

Lema de Ito


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Lema de Ito

A partir del Lema de Ito,

∆G = ∂ G ∂ x

∆x + ∂ G ∂ t

∆t + 12∂ 2G ∂ x 2

b 2∆t

y dado ∆x → 0 y ∆t → 0, el Lema de Ito se puede aproximar en tiempo continuo a

dG = ∂ G

∂ x dx +

∂ G

∂ t dt +

1

2

∂ 2G

∂ x 2 b

2dt

Además, si se sustituye dx por si

dx = a (x , t ) dt + b (x , t ) dz

llegamos a la famosa expresión del Lema de Ito

dG =

∂ G

∂ x a +

∂ G

∂ t +

1

2

∂ 2G

∂ x 2 b

2

dt +

∂ G

∂ x bdz

Lema de Ito para la Función G (S t) = lnSt


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Lema de Ito para la Funcion G (S , t ) = lnS t

Considere el Lema de Ito para derivar el proceso seguido por el ln S ,

dado que el cambio en el precio de la acción S sigue el proceso estocástico

dS = µSdt + σSdz

donde µ y σ son constantes, y dz es un movimiento Browniano.

Para una función G (S , t ) la dinámica dG es dada por

dG =

∂ G

∂ S µS +

∂ G

∂ t +

1

2

∂ 2G

∂ S 2 σ2S 2

dt +

∂ G

∂ S σSdz

y dado que

G = lnS , ∂ G

∂ S = 1

S , ∂ 2G

∂ S 2 = −1

S 2 , ∂ G

∂ t = 0

entonces

d ln S t =

µ− σ

2

2

dt + σdz

Precio de las Acciones: Distribución Lognormal


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Precio de las Acciones: Distribucion Lognormal

La función G = lnS sigue un proceso generalizado de Wiener, con tasa drift

µ− σ22

y una tasa para la varianza σ2.

Por tanto, el cambio en lnS entre una fecha 0 y T , sigue una distribuciónNormal, tal que

lnS T − lnS 0 ∼ N

µ− σ2

2

T , σ2T

donde S T es el precio de la acción en el tiempo futuro T y S 0 es el precio de laacción en el tiempo 0.

El lnS T sigue una distribución Normal, entonces S T sigue una distribuciónLognormal.

Si S T sigue una distribución lognormal, entonces

Et [S T ] = S 0 expµT

Var t [S T ] = S 20 exp

2µT

expσ2T −1

La Ecuación de Black-Scholes-Merton


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La Ecuacion de Black Scholes MertonSupuestos

No existen oportunidades de arbitraje.

En ausencia de arbitraje, el retorno debe ser igual a la tasa libre de riesgo

El portafolio es libre de riesgo porque, el precio de la acción y del derivado sonafectados por la misma fuente subyacente de incertidumbre

movimientos en el precio de la acción

En periodos cortos de tiempo, el precio del derivado es perfectamentecorrelacionado con el precio de la acción.



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La Ecuacion de Black Scholes Merton

Suponemos que cambios en el precio de una acción (en periodos muy cortos)

siguen un procesodS t = rS t dt + σS t dW t

donde dW es un proceso de Wiener, r y σ son, respectivamente, el drift y ladifusión del proceso.

También suponemos que f (S , t ) es el precio de una opción call ( o cualquierderivado) cuyo activo subyacente es la acción S .

Por el lema de Ito

df =

∂ f

∂ S rS t +

∂ f

∂ t +

1

2

∂ 2f

∂ S 2σ2S 2t

dt +

∂ f

∂ S σS t dW t



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La Ecuacion de Black Scholes Merton

Considere una acción y un derivado. Con estos dos activos podemos construir unportafolio donde la incertidumbre del proceso de Wiener pueda ser eliminada ?

Si, debemos crear un portafolio libre de riesgo.

Suponga el siguiente portafolio:

Una posición corta en una opción call: −f Una posición larga en ∂ f

∂ S

acciones.

El valor del portafolio es

π = −f + ∂ f ∂ S

S t

El cambio en el valor del portafolio a través del tiempo es dado por

d π = −df + ∂ f ∂ S

dS t



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A partir de la expresión para el proceso dS t , el cambio en el valor del portafoliod π puede ser expresado como

d π = −

∂ f

∂ S rS t +

∂ f

∂ t +

1

2

∂ 2f

∂ S 2σ2S 2t

dt − ∂ f

∂ S σS t dW t

+ ∂ f

∂ S (rS t dt + σS t dW t )

d π =−

∂ f ∂ t −

12∂ 2f ∂ S 2

σ2S 2

dt

Como la ecuación d π no incorpora dW , el portafolio debe ser libre de riesgo en

el tiempo dt .Por tanto, debe ganar la tasa libre de riesgo r , tal que

d π = r π∂ t



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Entonces

d π = d π∂ f

∂ t +

1

2

∂ 2f

∂ S 2σ2S 2

dt = r πdt

∂ f

∂ t

+ 1

2

∂ 2f

∂ S 2

σ2S 2 dt = r f −∂ f

∂ t S dt

∂ f

∂ t +

1

2

∂ 2f

∂ S 2σ2S 2 = rf − r ∂ f

∂ t S

Con algo de algebra, llegamos a la famosa Ecuación Diferencial de

Black-Scholes-Merton

∂ f

∂ t + rS

∂ f

∂ t +

1

2σ2S 2

∂ 2f

∂ S 2 − rf = 0


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Métodos de Simulación Monte Carlo

Simulación Monte Carlo: Algoritmo


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g

Considere un derivado f cuyo subyacente es un activo S que proporciona un payoff en

la fecha T .

Bajo el supuesto de una tasa de interés constante,

el precio del derivado f puede ser calculado a partir del siguiente algoritmo

Algoritmo:

1 Generar una ruta aleatoria para S t en un mundo neutral al riesgo.

2 Calcular el payoff del derivado.

3 Repetir los pasos 1 y 2, hasta obtener un total de N simulaciones.

4 Calcular el valor esperado del payoff a partir del promedio de los payoffs de las

N simulaciones.5 Computar el valor presente del pago esperado a la tasa libre de riesgo.

Cómo llevar a cabo la simulación de un proceso estocástico?


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Supongamos que una variable aleatoria S sigue un proceso estocásticolognormal tal que

d ln S t =

r − σ

2

2

dt + σdW t

donde dW es un proceso de Wiener,r − σ2

2

y σ son, respectivamente, el drift

y la difusión del proceso.

Discretización:

d ln S t =r −

σ2

2dt + σdW t

lnS (t + ∆t ) − lnS (t ) =r − σ

2

2

∆t + σ∆W t

lnS (t + ∆t ) = lnS (t ) +

r − σ

2

2

∆t + σ

√ ∆t

S (t + ∆t ) = expln S (t )+

r −σ2

2

∆t +σ

√ ∆t

S (t + ∆t ) = S (t )exp

r −σ

2

2

∆t +σ

√ ∆t

donde S (t ) denota el valor de S en el tiempo t , ∆W =√

∆t es el proceso deWiener y

∼N (0, 1).


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Ahora vamos a Matlab a mirar un ejemplo de

Valoración de Opciones

Referencias


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Brandimarte, P.: 2006, Numerical methods in finance and

economics: A Matlab based introduction. John Wiley & Sons.Fusai, G. and A. Roncoroni: 2008, Implementing Models in

Quantitative Finance: Methods and Cases . Berlin: Springer.

Glasserman, P.: 2004, Monte Carlo methods in financial

engineering . Springer.Hull, J.: 2006, Options, Futures and Other Derivatives . New

Jersey: Pearson Prentice Hall, sixth edition.

Jackel, P.: 2002, Monte Carlo methods in finance . John Wiley &

Sons.

McLeish, D.: 2000, Monte Carlo methods in finance .

Wilmott, P.: 1998, Derivatives: The Theory and Practice of

Financial Engineering . Chichester: John Wiley & Sons.

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