Universidad de San Carlos de Guatemala Centro Universitario de Occidente Licenciatura en la enseanza de la matemtica y la fsica Introduccin al estudio de las ecuaciones diferenciales Tercer Ciclo Seccin A Ing. Luis Ernesto Aguilar.

Primera Prueba Objetiva Parcial 20 puntos

Instrucciones: Resuelva cada uno de los planteamientos que a continuacin se le presentan, dejando constancia de TODO el procedimiento que realice; indique la respuesta con lapicero, de lo contrario no tendr derecho a revisin.

1. Utilice el mtodo ms adecuado para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, si utiliza tablas de integrales escriba la frmula utilizada, si integra, escriba todo el proceso realizado: (12 puntos)

= +

Solucin

Sea = + , entonces = 1 + , al hacer stas sustituciones en la ecuacin se tiene: 1 = = + 1 + 1 = + 1 =

Para la integracin del miembro izquierdo, entonces hgase la sustitucin = + 1: = + 1 1 = 1 = 2 1 =

+ 1 = 2 1 =

2 2 =

2 2 = + 2 ln = + 2 + 1 ln + 1 = + + + + + = + !

= 6 + 12#/%; 1 = 8

Solucin:

Ordenando la ecuacin: 6 = 12#/%

Por ser una ecuacin de Bernoulli, se identifica entonces que ) = 2/3, por lo tanto la sustitucin: = +,- = +,/% = +/% = +/% % =

Entonces:

3 =

Al hacer las sustituciones en la ecuacin diferencial, queda:

/3 0 6% = 12#%/%

3 6% = 12#

3 6 = 12# 2 = 4%

Ahora se resuelve la ecuacin diferencial lineal con el factor integrante:

2 = 34 , = 3, 56 = 35678 = , = 1

Entonces:

9 1: = 4% 1 = 4 = 2 + = 2# +

Revirtiendo la sustitucin de la ecuacin de Bernoulli: +/% = 2# + = 2# + %

Debido a que se tiene un PVI, entonces 1 = 21# + 1% = 8 2 + = 8; = 0

Entonces: = => = ?

= + 3 3

Solucin:

Reescribiendo la ecuacin: = + 3 3

3 = + 3 + 3 3 + 3 + 3 = 0

Verificando si es exacta: + 3 + 3 = 0 @@ A + 3B = @@ A3 B 3 = 3

Al obtener resultados iguales, entonces la ecuacin diferencial si es exacta y se integra algunos de los trminos de la ecuacin: + 3 + 3 = 0

C, = + 3 = + > + E = F

Ahora se deriva sta ecuacin de deriva parcialmente con respecto a y se compara con la ecuacin diferencial: 2 + 3 + G = 0 @@ H

2 + 3 + GI = 3 + G = 3

3 + G = 3 G =

G = = +

Por lo tanto la solucin de la ecuacin diferencial es: + > + + ! = F _________________________________________________________________________

2. Para la ecuacin diferencial dada, se proporciona dos posibles soluciones, determine cul de las soluciones es la correcta: (2 puntos)

+ = ln ; + = + ln , = 1 ln

Solucin:

Se obtiene la primera y segunda derivada de la primera posible solucin: + = + ln

+ = 1 + 1 = 1 + ,+ + = ,

Se reemplazan en la ecuacin diferencial y se comprueba si se obtiene una identidad: + = ln , + 1 + ,+ + ln = ln 1 + + 1 ln = ln ln = ln 1 = 1

Falso, por lo tanto + no es solucin de la ecuacin diferencial. Se comprueba con la segunda posible solucin:

= 1 ln = ,+ ln = , 1 = ,,+ = 2,% + ,

Se reemplazan en la ecuacin diferencial y se comprueba si se obtiene una identidad: 2,% + , + ,,+ ,+ ln = ln 2,+ + 1,+ 1 ,+ + ln = ln

ln = ln

Verdadero, por lo tanto es solucin de la ecuacin diferencial. _________________________________________________________________________

3. Determine todos los valores de la constante J para los cuales = 3K es una solucin de la ecuacin diferencial: (2 puntos)

3 + 3 4 = 0

Solucin:

Si la solucin ecuacin diferencial tiene la solucin = 3K, entones se calculan las primeras dos derivadas: = 3K = J3K = J3K

Sustituyendo en la ecuacin diferencial: 3J3K + 3J3K 43K = 0 3J3K + 3J3K 43K = 0 3K3J + 3J 4 = 0

Est claro que el trmino 3K nunca puede ser 0, por lo tanto se debe resolver la ecuacin cuadrtica: 3J + 3J 4 = 0 3J + 3J = 4 3J + J = 4

3 /J + J + 140 = 4 + 3 /140

3 /J + 120 = 194

/J + 120 = 1912

J + 12 = N1912

O = NP _________________________________________________________________________

4. Como profesor de enseanza media en matemtica y fsica, construya un mapa conceptual en donde se aprecie claramente el contenido de la primera parte del curso de introduccin al estudio de las ecuaciones diferenciales. (4 puntos)

Solucin: siguiente hoja (la construccin del estudiante debe contener al menos el 75% de lo contenido en el mapa conceptual mostrado)