solucionario 1er examen ARITMETICA - ALGEBRA - CPU UNASAM 2011
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A CADE M I A SIGMAT H Aritmética - Álgebra ACADEMIA 1 PREGUNTA N.º 01 La suma de las dos cifras de un número en base decimal es 11 y si al número se le suma 27, el orden de sus cifras se invierte. Hallar la suma de los cuadrados de las cifras del número. A) 72 B) 73 C) 61 D) 85 E) 65 Resolución Tema: Numeración Sea el número buscado: ab Piden calcular: 2 2 a b + Nos dicen que: 11 (I) a b + = Además: 27 ab ba + = Descomponiendo polinómicamente se tiene: 10 27 10 a b b a + + = + 9 9 27 a b − =− ( ) 9 27 a b − =− 3 (II) a b − =− Sumando (I) y (II) 1 3 a b a b + = − =− 2 8 a = 4 7 a b = = → + Finalmente: 2 2 2 2 4 7 16 49 65 a b + = + = + = Respuesta: Por lo tanto, la suma de los cuadrados de las cifras del núme- ro es 65 Alternativa E PREGUNTA N.º 02 ¿Qué sucede con un número de 3 cifras, si a la primera se aumenta 2; a la segunda se le disminuye 9 y a la tercera se le aumenta 6? A) Disminuye en 116 B) Aumenta en 296 C) Disminuye en 104 D) Aumenta en 104 E) Aumenta en 116 Resolución Tema: Numeración Sea el número inicial: abc Por condición: ( 2)( 9)( 6) a b c + − + Como este número es mayor que el inicial, entonces ha sufrido un aumento que lo hallaremos así: ( 2)( 9)( 6) a b c abc x + − + − = Descomponiendo polinómicamente. 100( 2) 10( 9) 6 100 10 a b c a b c x + + − + + − − − = 100a 200 10b + + 90 c − + 6 100a + − 10b − c − x = 116 x = Respuesta: Por lo tanto, el número ha aumentado en 116. Alternativa E PREGUNTA N.º 03 La suma de los tres términos de una sustracción es 1092. Si el sustraendo es la sexta parte del minuendo, hallar la suma de cifras del complemento aritmético de la diferencia. A) 12 B) 13 C) 14 D) 17 E) 18 Resolución Tema: Cuatro Operaciones. Los términos de una sustracción son: () M S D − = ∗ Donde: M: minuendo; S: sustraendo; D: diferencia. Como condiciones tenemos: ( ) 1092 1 6 M S D S M + + = = De la segunda condición se obtiene: 1 6 6 S k S M k M = = → =
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solucionario del examen del CPU UNASAM 2011
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Aritmética - Álgebra
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PREGUNTA N.º 01La suma de las dos cifras de un número en base decimal es 11 y si al número se le suma 27, el orden de sus cifras se invierte. Hallar la suma de los cuadrados de las cifras del número.
A) 72 B) 73 C) 61D) 85 E) 65
Resolución
Tema: Numeración
Sea el número buscado: ab
Piden calcular: 2 2a b+
Nos dicen que: 11 (I)a b+ =
Además: 27ab ba+ =
Descomponiendo polinómicamente se tiene:
10 27 10a b b a+ + = +
9 9 27a b− = −
( )9 27a b− = −
3 (II)a b− = −
Sumando (I) y (II)
1
3
a b
a b
+ =− = −
2 8a = 4
7
a
b
= =
→
+
Finalmente: 2 2 2 24 7 16 49 65a b+ = + = + =
Respuesta:Por lo tanto, la suma de los cuadrados de las cifras del núme-ro es 65
Alternativa E
PREGUNTA N.º 02¿Qué sucede con un número de 3 cifras, si a la primera se aumenta 2; a la segunda se le disminuye 9 y a la tercera se le aumenta 6?
A) Disminuye en 116 B) Aumenta en 296C) Disminuye en 104 D) Aumenta en 104E) Aumenta en 116
Resolución
Tema: Numeración
Sea el número inicial: abc
Por condición: ( 2)( 9)( 6)a b c+ − +
Como este número es mayor que el inicial, entonces ha sufrido un aumento que lo hallaremos así:
( 2)( 9)( 6)a b c abc x+ − + − =
Descomponiendo polinómicamente.
100( 2) 10( 9) 6 100 10a b c a b c x+ + − + + − − − =
100a 200 10b+ + 90 c− + 6 100a+ − 10b− c− x=116x =
Respuesta:Por lo tanto, el número ha aumentado en 116.
Alternativa E
PREGUNTA N.º 03La suma de los tres términos de una sustracción es 1092. Si el sustraendo es la sexta parte del minuendo, hallar la suma de cifras del complemento aritmético de la diferencia.
A) 12 B) 13 C) 14D) 17 E) 18
Resolución
Tema: Cuatro Operaciones.
Los términos de una sustracción son:
( )M S D− = ∗
Donde: M: minuendo; S: sustraendo; D: diferencia.Como condiciones tenemos:
( )
1092
1
6
M S D
S M
+ + =
=
De la segunda condición se obtiene:
1
66
S kSM kM
== → =
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Reemplazando en ( )∗
6 5k k D D k− = → =
Ahora reemplazamos los valores obtenidos en la primera condición.
1092M S D+ + =
6 5 1092k k k+ + =
12 1092 91k k= → =
Luego: ( )5 5 91 455D k= = =
El ( )455 545CA =
Respuesta:
Por lo tanto, la suma de cifras del ( )455CA es 14Alternativa C
PREGUNTA N.º 04Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de sus cifras es 12 y si de este número se resta el número formado por las mismas cifras escritas en orden inverso, se obtiene 18 de diferencia.
A) 57 B) 84 C) 75D) 48 E) 39
Resolución
Tema: Cuatro Operaciones.
Sea ab el número indicado; por condiciones del problema se cumple:
12 (I)
18 (II)
a b
ab ba
+ =
− =
Descomponiendo polinómicamente (II)
10 10 18a b b a+ − − =
9 9 18a b− =
( )9 18a b− =
2 (III)a b− =
De (I) y (III), se obtiene
7 75
5
aab
b
=→ = =
Respuesta:
Por lo tanto, 75ab =Alternativa C
PREGUNTA N.º 05Las edades de Teresa y Roxana están en la relación de 3 a 2 respectivamente. Si Teresa es 12 años mayor, la edad de Roxana es:
A) 24 B) 30 C) 32D) 20 E) 18
Resolución
Tema: Razones y Proporciones
Sean A y B las edades de Teresa y Roxana respectivamente, por condición del problema se tiene:
33 ( )
22
A kAB kB
== → ∗ =
Además:
12A B= +
3 2 12k k= +
12k =
Reemplazando en ( )∗ , las edades de Teresa y Roxana serán: 24 y 36 años respectivamente.
Respuesta:Por lo tanto, la edad de Roxana es 24 años.
Alternativa A
PREGUNTA N.º 06La razón aritmética de 2 números es 44 y su razón geomé-trica es 7/6, el mayor número es:
A) 264 B) 308 C) 358D) 318 E) 314
Resolución
Tema: Razones y Proporciones.
Sean A y B los números indicados y según condiciones del problema se cumple:
44 (Razón aritmética)
7 (Razón geométrica)
6
B A
AB
− =
=
De la segunda condición se obtiene:
77
66
B kAA kB
== → =
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3 3
Reemplazando en la primera condición.
7 6 44k k− =
44k =
Luego, el mayor de los números es:
B=7k=308
Respuesta:Por lo tanto, el mayor de los números es 308
Alternativa B
PREGUNTA N.º 07El sueldo de una persona es DP al cuadrado de sus años de servicio. Una persona con un sueldo de S/. 1800 tiene 6 años de servicio. ¿Cuál será su sueldo con 8 años de servicio?
A) S/. 3200 B) S/. 1600 C) S/. 2800D) S/. 3100 E) S/. 4200
Resolución
Tema: Magnitudes Proporcionales.
Del enunciado:
Sueldo
( )2 Años de servicio
DP
1800
x
( )26
( )28
Actual:
Dentro de 8 años:
Como las s magnitudes son DP.
2 21800
32006 8
xx= → =
Respuesta:Por lo tanto, con 8 años de servicio tendrá un sueldo de S/. 3200
Alternativa A
PREGUNTA N.º 08
Al resolver 9
33
5 55
5 5
x
x−
=−
, el valor de 6x , es:
A) 1/6 B) 6 C) – 1/6D) – 6 E) 35/6
Resolución
Tema: Ecuaciones Exponenciales.
Elevando al cubo:
93
35 5
55 5
x
x−
=−
93
35 5
55 5
x
x−
=−
( )3 3 95 5 5 5 5x x− = −
6 3 95 5 5 5x x+− = −
6 9 35 5 5 5x x++ = +
( )6 35 1 5+ ( )35 1 5x= +
65 5 6x x= → =
Piden calcular: 26 6 6 6 6x = ⋅ = =
Respuesta:
Por lo tanto, 6 6x =Alternativa B
PREGUNTA N.º 09Al simplificar
2 3 12 1 4
365 3 11
x− − − + + =
El valor de x; es:
A) – 2 B) – 1 C) 0D) 1 E) 2
Resolución
Tema: Teoría de Exponentes.
Aplicando las leyes de exponentes.
2 3 12 1 4
365 3 11
x− − − + + =
235 11
3 362 4
x + + =
25 1127 36
4 4
x + + =
36 36 1x x= → =
Respuesta:Por lo tanto, el valor de 1x =
Alternativa D
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PREGUNTA N.º 10Sea:
( )2
222 1
11
x x a bx cx xx x
− + += +
++
El valor de ( )a b c⋅ ⋅ es:
A) – 1 B) 2 C) 1D) 1/2 E) – 2
Resolución
Tema: Ecuaciones Fraccionarias.
( )2
222 1
11
x x a bx cx xx x
− + += +
++
( )2
2
2 1
1
x x
x x
− +
+
( ) ( )( )
2
2
1
1
a x x bx c
x x
+ + +=
+
2 2 22 1x x ax a bx cx− + = + + +
( )2 22 1x x a b x cx a− + = + + +
Igualando coeficientes:
2 1
1 1
1 1
a b a
c b
a c
= + = = − → = = = −
Piden calcular: ( )( )( )1 1 1 1a b c⋅ ⋅ = − = −
Respuesta:Por lo tanto, 1a b c⋅ ⋅ = −
Alternativa A
PREGUNTA N.º 11
Al factorizar ( )( )( )( )2 1 2 3 3x x x x− − + + + , un factor pri-mo, es:
A) 2 3x x− − B) 2 3x x+ − C) 2 3x x+ +
D) 2 3x + E) 2x x+
Resolución
Tema: Factorización Polinómica.
Sea: ( )( )( )( )2 1 2 3 3M x x x x= − − + + +
Efectuando y ordenando adecuadamente:
( )( )2 24 2 3 3M x x x= − + − +
4 3 22 7 8 15M x x x x= + − − +
Factorizando por aspa doble especial:
4 3 22 7 8 15M x x x x= + − − +2x2x
x
x
5−
3−
2SDT : 7x−2ST : 8x−2falta: x
( )( )2 25 3M x x x x= + − + −
De donde un factor primo puede ser 2 5x x+ − ó 2 3x x+ −
Respuesta:
Por lo tanto, según las alternativas 2 3x x+ − es el factor pe-dido
Alternativa B
PREGUNTA N.º 12
Al efectuar la división 3 5
34 5 6 3
2 2x x x
x x− + −− +
, la suma de los
coeficientes del cociente, es:
A) – 1 B) – 2 C) 0D) 1 E) 2
Resolución
Tema: División Polinómica
Como el denominador es un polinomio cúbico, entonces efectuaremos la división por el método de Horner. Para ello ordenaremos en forma descendente ambos términos de la división.
3 5 5 3
3 34 5 6 3 6 5 4 3
2 2 2 2x x x x x x
x x x x− + − − + −
=− + − +
2 6 0 5 0 4 3
0 0 3 6
1 0 0 0 0
2 2 0 1 2
3 0 1 6 3 1
− −−
− − −− − −
÷
÷ + +
2
2
( ) 3 1De donde :
( ) 6 3 1
q x x
r x x x
= −
= − + −
. ( ) 3 0 1 2Coef q x = + − =∑
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Respuesta:
Por lo tanto, . ( ) 2Coef q x =∑Alternativa E
PREGUNTA N.º 13
Sea el cociente notable 3 9 6 3
3 6
n n
n nx yx y
− −
− +−−
, el grado absoluto del
término tercero, es:
A) 13 B) 26 C) 13/2D) 39 E) 42
Resolución
Tema: Cocientes Notables.
Para que la división indicada genere un cociente notable, en-tonces debe cumplir la condición necesaria y suficiente:
3 9 6 33 6
n nn n− −
=− +
( )3 3n−
3n−6 3
6nn−
=+
3 18 6 3 7n n n+ = − → =
De ahí que:
3 9 6 3 12 398 4 13 26
3 6 4 13
n n
n nx y x y
x x y yx y x y
− −
− +− −
= = + +− −
Respuesta:Por lo tanto, el grado absoluto del término tercero es 26
Alternativa B
PREGUNTA N.º 14
Si 4a b+ = , 3ab = , el valor de 2 2
2 2R a b
b a = + + +
es:
A) 160/9 B) 210/7 C) 250/9D) 16 E) 170/9
Resolución
Tema: Productos Notables.
Como condiciones tenemos:
3
4
ab
a b
= + =
Elevando al cuadrado la segunda condición:
( )216a b+ =
2 2
32 16a ab b+ + =
2 2 10a b+ =
Piden calcular el valor de
2 2 2 22 2 2 2ab ab
R a bb a b a
+ + = + + + = +
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2 22 2
22 22 2 2 2ab ab a ab b ab
Rb a ab
+ + + + += + =
( ) ( )( )
2 2 2
2 reemplazando los valores anteriores2
ab a b
Rab
+ +=
( ) ( )22 3 10 250
9 9R
+= =
Respuesta:
Por lo tanto, 250
9R =
Alternativa C
