Solucionario 2do Examen RM - CPU UNASAM 2011

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Raz. at.M

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PREGUNTA N.º 01En una reunión del CPU el número de varones es 2 veces más que el número de mujeres; después que se retiran 8 parejas el número de varones que aún queda es 4 veces más el de mujeres.

¿Cuántas personas había inicialmente en dicha reunión?

A) 52 B) 48 C) 32D) 64 E) 72

Resolución

Tema: Planteo de Ecuaciones

# mujeresDato inicial

# varones 2 3

x

x x x

= = + =

dos veces más

Total 4x=

Después que se retiran 8 parejas resulta:

# mujeres 8

# varones 3 8

x

x

= − = −

Por condición del ejercicio:

4 veces más

3 8 ( 8) 4( 8)x x x− = − + −

3 8 8 4 32x x x− = − + −

16x =

Piden calcular: ¿Cuántas personas había inicialmente en di-cha reunión?

4 4(16) 64x→ = =

Respuesta:Por lo tanto, inicialmente habían 64 personas

Alternativa D

PREGUNTA N.º 02Jesús tiene “a” años y milagros “b” años. ¿Dentro de cuántos años Jesús tendrá el doble de la edad de Milagros?

A) a b− B) 2a b+ C) a b+

D) ab E) 2a b−

Resolución

Tema: Edades

Sea “x” los años que tienen que pasar para que Jesús tenga el doble de la edad de Milagros.

Presente Futuroa

b

a x+b x+

JesúsMilagros

x+

2( )a x b x+ = +

2x a b= −

Respuesta:Por lo tanto, dentro de 2a b− años, Jesús tendrá el doble de la edad de Milagros.

Alternativa E

PREGUNTA N.º 03Al preguntar la edad de Guadalupe, ella respondió: “Si al año que cumplí los 23 años le suman el año que cumplí los 18 años y le restan la suma del año actual con el año en que nací, obtendrían 17 años”. La suma de cifras de la edad de Guadalupe es:

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 8

Resolución

Tema: Edades

Sea el año en que nació Guadalupe: “A”Sea su edad actual: “x” años

Año quenació

Año que cumplió18 años

Año que cumplió23 años

Añoactual

A 18A+ 23A+ A x+

Según condición del ejercicio, planteamos la siguiente ecu-ación:

( 23) ( 18) ( ) 17A A A x A+ + + − + + =

2 41 2 17A A x+ − − =24x =

Respuesta:Por lo tanto, la suma de cifras de la edad actual de Guadal-upe es 6

Alternativa D

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��EXAMEN FINAL��Ra oz ico tn áa emmi atento M

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3

PREGUNTA N.º 04Si por S/. 200 dieran 6 pelotas más de las que dan, la docena costaría S/. 90 menos. ¿Cuánto vale cada pelota?

A) S/. 10 B) S/. 20 C) S/. 30D) S/. 50 E) S/. 60

Resolución


En el problema hay dos casos que analizar, un caso real (dan) y un caso supuesto (dieran).Sea “n” el número de pelotas que dan por S/. 200, entonces:

dan dieran

# pelotas

precio de1 pelota

precio de1 docena

n 6n+

200/ . S

n200

/ . 6

Sn+

200/ . 12S

n

200/ . 12

6S

n +

Según el problema, en el caso supuesto, la docena costaría 90 soles menos. Su planteamiento es:

200 20012 12 90

6n n − = +

80 803

6n n− =

+10n=

Respuesta:

Por lo tanto, cada pelota vale 200

20 soles10

=Alternativa B

PREGUNTA N.º 05Tres docenas de limones cuestan tantos soles como limones dan por 81 soles. ¿Cuánto vale la docena de limones?

A) 12 B) 16 C) 18D) 24 E) 36

Resolución


Sea “x” la cantidad de limones que dan por 81 soles, según

esto, el precio de cada limón sería 81x

soles.

Por condición del ejercicio planteamos la siguiente ecuación:

8136 54x x

x = → =

Piden: ¿Cuánto vale la decena de limones?

81 8112 12 18 soles.

54x = =

Respuesta:Por lo tanto, la docena de limones vale S/. 18

Alternativa C

PREGUNTA N.º 06Según el gráfico, ¿qué hora es?

1

2

3

4

56

7

8

9

10

1112

x

3x

A) 3

8h : 25 min.11

B) 2

8h : 27 min.11

C) 8h : 27 min. D) 3

8h : 27 min.11

E) 8h : 26 min.

Resolución

Tema: Cronometría

Asumiendo que son las 8 : 'xComo se puede apreciar en el gráfico, la manecilla de la hora está delante la manecilla de los minutos; entonces aplicando la fórmula convenientemente, tendremos:

11 1130 90 30(8)

2 2x H M M= − → = −

150(2) 30011 11

M= =

327

11M=

Respuesta:

Por lo tanto, son las 3

8 : 2711

minutos.Alternativa D


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3 3

PREGUNTA N.º 07¿A qué hora por primera vez se forma un ángulo de 40°, si el horario está entre las 5:00 y 6:00?

A) 5:10 B) 5:20 C) 5:55D) 5:08 E) 5:30

Resolución

Tema: Cronometría

El ángulo formado por primera vez se da cuando el minutero todavía no pasa al horario.Como la hora es nuestra incógnita, entonces llamaremos a dicha hora: 5 : 'x

1

2

3

4

56

7

8

9

10

1112

40°

' (6 )x x<> °

o

2x

Del gráfico se tiene:

6 40 1502x

x + = +

11 110(2)x =

20x =

Respuesta:Por lo tanto, la hora es: 5:20

Alternativa B

PREGUNTA N.º 08Se tienen fichas numeradas del 1 al 40. Se ha extraído 5 fichas, las cuales han resultado ser todos números pares. ¿Cuántas fichas como mínimo se debería extraer adicionalmente para estar seguros de que se tenga 2 fichas cuya suma sea un número impar?

A) 14 B) 15 C) 16D) 18 E) 21

ResoluciónTema: CertezasPara resolver el ejercicio hay que tener en cuenta lo siguiente

• Del 1 al 40 hay 20 números impares y 20 pares

I I I I P P P P

20 impares

20 pares

1 3 5 39 2 4 6 40

• La suma de un numero par (P) con un impar (I) y vice-versa, resulta:

P P P

P I I

I P I

I I P

+ =+ =+ =+ =

En el ejercicio nos dicen que ya se han extraído 5 fichas con números pares, de modo que si se extrae una ficha con número impar, habremos logrado el objetivo de tener 2 fi-chas que suman un número impar.

P P P P P I+

se han extraido 5 pares

dos fichas quesuman un

número impar

Pero para garantizar este resultado, debemos ponernos en el peor de los casos (aquél caso que dilate más el momento en que se logre el objetivo), entonces el peor de los casos sería extraer todas las fichas de número par, y como ya se han extraído 5 (dato del ejercicio), entonces extraemos las 15 que quedan; de ahí que en la siguiente extracción de todas maneras saldrá una ficha de número impar.

Respuesta:Por lo tanto, habrá que extraer 16 fichas adicionales.

Alternativa C

PREGUNTA N.º 09¿Cuál es el número máximo de agujeros que se puede tal-adrar en una plancha de acero de 12 cm por 8 cm, si cada agujero es una circunferencia de longitud 2 cmπ ?

8 cm

12 cm

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4


5

A) 30 B) 24 C) 25D) 26 E) 27

Resolución

Tema: Máximos y Mínimos

Para hallar la longitud (L) de una circunferencia usamos la

formula 2 L r= πEn el ejercicio, la circunferencia (según el dato), tiene una lon-gitud de 2 cmπ , con lo que se concluye que el radio (r) mide 1 cm .En el gráfico:

8 cm

12 cm1 cm

El número máximo de agujeros que se pueden taladrar en la plancha de 12 8 cm× es: 6 4 24× =

Respuesta:Por lo tanto, en la plancha se podrán taladrar 24 agujeros como máximo.

Alternativa B

PREGUNTA N.º 10¡¡¡Oferta!!!“Por cinco chapitas de Pilsen Callao, lleve gratis dos botellas llenas”.Si Julio junta apresuradamente 26 chapitas, ¿cuántas botellas podrá consumir como máximo?

A) 10 B) 12 C) 15D) 14 E) 16

Resolución

Tema: Máximos y Mínimos

Si por 5 chapitas le dan a Julio 2 botellas llenas, entonces por las 25 chapitas que tiene inicialmente podrá recibir 10 botellas, sobrándole 1 chapita.

Luego de consumir las botellas canjeadas en total le que-darían 11 chapitas, con lo que podrá canjear 4 botellas más, sobrándole 1 chapita.Por último, luego de consumir las botellas le quedarían 5

chapitas, con los que podrá canjear 2 botellas más, y como es lógico, con las dos chapitas que quedan ya no podrá can-jear ni una botella más.

Respuesta:Por lo tanto, Julio podrá consumir como máximo 16 botellas.

Alternativa E

PREGUNTA N.º 11Dada la siguiente distribución de datos:

Intervalo if iF

[40 ;50

2

5

36

7

48

50

Hallar la suma de la moda y la mediana.

A) 80 B) 45 C) 95D) 85 E) 90

Resolución

Tema: Estadística

Se conoce que: 1 1 2f F= =

También: 3 1 2 3 2 5 36 43F f f f= + + = + + =

Además:

• 5 54F F f= +

5 550 48 2f f= + → =

• 34 4F F f= +

4 448 43 5f f= + → =

También en: [40 ;50 el ancho de clase (w) seria: 10w =

Completando la tabla se tiene

Intervalo if iF

[40 ;50

2

5

36

7

48

50

[20 ;30

[30;40

[50;60

[60 ;70 2

5

2

43


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5 5

i) Hallando la moda ( oM )La mayor frecuencia se presenta en el tercer intervalo

[I3 40 ;50= ; 3 36f = , entonces la moda será:

1

1 2o o o

dM L w

d d

= + +

3140 10

31 31oM = + + 45oM =

En este caso:

1 3 2 36 5 31d f f= − = − =

2 3 4 36 5 31d f f= − = − =

ii) Hallando la mediana ( mX )En el cuadro se observa que existen 50 datos, la mitad de ellas serían 25 datos y deben corresponder al intervalo

[40 ;50 que sería la clase mediana, entonces según esto la mediana será:

12m

m m mm

w nX L F

f − = + −

( )1040 25 7

36mX = + −

45mX =

Respuesta:

Por lo tanto, de (i) y (ii): 90o mM X+ =Alternativa E

PREGUNTA N.º 12Se conoce las edades de 5 jóvenes. La media de ellas es 17,2 años; su moda es 16 y su mediana es 17. ¿Cuántos años tiene el mayor de los jóvenes si todas las edades son expresadas con valores enteros?

A) 16 B) 17 C) 18D) 19 E) 20

Resolución

Tema: Estadística

Sean las edades: a b c d e≤ ≤ ≤ ≤

• La mediana es 17, sólo si 17c =

• La moda es 16, sólo si 16a b= =Nótese que para que exista moda, debe repetirse un valor, como la mediana es 17, los únicos valores menores

son a y b , no hay más.También 17 d e< < , no pueden ser iguales, habría otra moda

• La media es 17,2 y con los valores anteriores calculamos:

16 16 1717,2

5d e+ + + +

=

86 49 37d e d e= + + → + =

18 19(las edades son mayores a 17)

Respuesta:Por lo tanto, la mayor edad es 19

Alternativa D

PREGUNTA N.º 13La gráfica muestra el peso (kg) de un grupo de personas.

Halle: e oM M+

if iFkg

32

44

50

56

15

10

23

45

A) 70 B) 76 C) 89D) 94 E) 106

Resolución

Tema: Estadística

Se conoce que: 1 1 15f F= =También:

• 2 1 2F f f= +

2 223 15 8f f= + → =

• 3 2 3F F f= +

3 323 10 33F F= + → =

• 34 4F F f= +

4 445 33 12f f= + → =

Completando la tabla se tiene:

if iFkg

32

44

50

56

15

8

10

12

15

23

3345

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7

En la tabla:

i) Hallando la mediana ( eM )

La mediana debe estar ubicada en el valor que corre-sponde a la mitad de los datos.

Según la tabla: 45 es el total de datos, la mediana debería ocupar el lugar 22,5. Pero como podemos ver en la co-

lumna de los iF , en la primera fila se acumulan 15 datos,

entonces se tomará el inmediato superior 2 23F = con lo

que la mediana será: 2 44eM x= =

ii) Hallando la moda ( oM )

En la tabla se observa que la mayor frecuencia está en

1 15f = .

Luego, la moda será: 1 32oM x= =

Respuesta:

Por lo tanto, de (i) y (ii): 76e oM M+ =Alternativa B

PREGUNTA N.º 14Se tiene el siguiente histograma de frecuencias absolutas

a b c d e f

Frecuencia Absoluta

Rangos

8x

4x

2x

x

¿Cuántas observaciones hay en el rango [ ];c f si la población es de 400?

A) 275 B) 225 C) 218

D) 244 E) 293,3

Resolución

Tema: Estadística

Del histograma se puede indicar la siguiente tabla de fre-cuencias.

Intervalo if

[ ;c d

x

4x

8x

[ ;a b

[ ;b c

[ ;d e

[ ];e f x

2x

De la tabla podemos señalar que:

4 8 2 400x x x x x+ + + + =16 400 25x x= → =

En [ ];c f habrá:

3 54 8 2 11( ) 11(25) 275f f f x x x x+ + = + + = = =

Respuesta:

Por lo tanto, en [ ];c f habrá 275 observaciones.Alternativa A

PREGUNTA N.º 15El siguiente gráfico muestra el número de alumnos in-gresantes a la UNASAM. Halle el porcentaje de ingresantes del CPU.

A

B

C

D

CPU

360

32050

150

120

A) 37% B) 42% C) 36%D) 32% E) 40%

Resolución

Tema: Estadística

En el gráfico se observa que los valores asignados a los sec-tores no están expresados en grados (°), ni en porcentajes (%), luego la suma de todas las partes nos dará el total de ingresantes

Total 120 150 50 320 360 1000= + + + + =

Piden calcular el porcentaje de ingresantes por la modalidad del CPU.


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7 7

360360 100% 36%

1000×= =

Respuesta:Por lo tanto, el porcentaje de ingresantes por el CPU es de 36%

Alternativa C

PREGUNTA N.º 16¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 1; 2; 5; 6; 7; 8; 9 si cada dígito puede emplearse una sola vez?

A) 210 B) 90 C) 36D) 126 E) 70

Resolución

Tema: Análisis Combinatorio

La cifra de las unidades puede ser ocupado por 2, 6 u 8, una vez seleccionado el dígito, cualquiera de los seis restantes pu-ede ocupar la cifra de las decenas, y cualquiera de los cinco que queden podrá ocupar la cifra de las centenas.

a b cdebe ser par

Total de #s 5 6 3 90× ×= =

Respuesta:Por lo tanto, habrá 90 números

Alternativa E

PREGUNTA N.º 17En un campeonato se jugaron 120 partidos. ¿Cuántos equi-pos participaron si se sabe que jugaron todos contra todos?

A) 12 B) 18 C) 20D) 14 E) 16

Resolución


Sea “n” el número de equipos.Como jugaron todos contra todos, entonces analizaremos los casos particulares para luego generalizar mediante el mé-todo inductivo.

# Equipos Partidos

1 2 2 1 1

2×

= =

1 2 3 3 2 3

2×

= =

4 3 6

2×

= =1 2 3 4

1 2 3 n

( 1)

2n n−

=

Por condición del ejercicio:

( 1)120

2n n−

=

( 1) 240 16(16 1)n n− = = −

16n→ =

Respuesta:Por lo tanto, participaron 16 equipos

Alternativa E

PREGUNTA N.º 18¿Cuántos jugos distintos podemos preparar como máximo con 8 frutas diferentes?

A) 255 B) 256 C) 64D) 265 E) 8

Resolución


Para preparar el jugo podemos usar una sola fruta o combi-nar varias; además si usamos 3 frutas diferentes, por ejemplo, sin importar el orden en que se mezclen sólo se obtendrá un jugo; por lo tanto no interesa el orden de los elementos.

8 8 8 8 81 2 3 8# jugos 2 1 255

propiedadC C C C= + + + + = − =

Respuesta:Por lo tanto, podemos preparar 255 jugos distintos

Alternativa A

PREGUNTA N.º 19En una reunión hay 10 varones y 8 mujeres. Si se elige 3 per-sonas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean mu-jeres?

A) 8

102 B)

516

C) 7

102

D) 15

102 E)

18

Resolución

Tema: Probabilidades

Como necesitamos grupos de 3 personas de un total de 10 8 18+ = , entonces:

• Sea el evento A: grupo formado por 3 mujeres

•183# total de casos posibles C=

•83# casos favorables a A C=

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8


9

Entonces la probabilidad del evento A, es:

83183

8 7 6 8 7 6 73 2 1(A)

18 17 16 18 17 16 102 3 2 1

CP

C

× ×× ×× ×

× × × ×× ×

= = = =

Respuesta:Por lo tanto, la probabilidad de que todos sean mujeres es

7102 Alternativa C

PREGUNTA N.º 20¿Cuántas palabras de 6 letras diferentes que terminen en A, pueden obtenerse con las letras de la palabra ROSITA, sin que se repita ninguna palabra y sin importar el sentido de la palabra?

A) 24 B) 48 C) 50D) 120 E) 720

Resolución


Como las palabras deben terminar en A, entonces consid-eremos a esta letra como un elemento fijo y el resto deben permutarse entre si

FijoR O S I T A

Estas letras sedeben permutar

55

5!# de palabras 5! 120

(5 5)!P= = = =

−

Respuesta:Por lo tanto, se podrán obtener 120 palabras

Alternativa D

PREGUNTA N.º 21Halle el número de triángulos que se pueden contar en la siguiente figura.

1 2 3 13 14 15

A) 1000 B) 1225 C) 1240D) 1300 E) 1350

Resolución

Tema: Conteo de Figuras

Se pide calcular el número total de triángulos.En este caso vamos a realizar el conteo de triángulos por in-ducción, para ello analizaremos los casos particulares.

1 1 1 22 3

1 5 14

4+ 9+

22 23

Luego piden:2 2 2 2 15 16 31

1 2 3 15 12406

× ×+ + + + = =

Respuesta:Por lo tanto, el total de triángulos es 1240

Alternativa C

PREGUNTA N.º 22¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados hay?

A) 225 B) 180 C) 170D) 115 E) 200

ResoluciónTema: Operadores MatemáticosEn el gráfico

1 2

2

3

3

4

4 5

5


8

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9 9

5 6 5 6#de cuadriláteros 225

2 2× × = =

2 2 2 2 2 5 6 11#de cuadrados 1 2 3 4 5 55

6× ×

= + + + + = =

Ahora, considerando que:

# de # de cuadriláteros # total de

cuadrados que no son cuadrados cuadriláteros

+ =

# de cuadriláteros total de total de

no cuadrados cuadriláteros cuadrados

= −

# de cuadriláteros255 55 170

no cuadrados

= − =

Respuesta:

Por lo tanto, hay 170 cuadriláteros que no son cuadrados.Alternativa C

PREGUNTA N.º 23Determinar el perímetro de la región sombreada; si todos son círculos de radio 1m.

A) 6 mπ B) 7 mπ C) 8 mπ

D) 4 mπ E) 14 mπ

Resolución

Tema: Perímetros

En la figura, si contorneamos toda la región sombreada, no-taremos que lo pedido (el perímetro) será la longitud de las 4 circunferencias de radio 1 m. luego:

( ) [ ]Perímetro 4 4 2 (1) 8L= = π = π

Respuesta:

Por lo tanto, el perímetro de la región sombreada es 8 m.π

Alternativa C

PREGUNTA N.º 24Una persona de 1,60 m de estatura recorre por toda la línea ecuatorial. ¿Cuánto más ha recorrido su coronilla que la plan-ta de sus pies?

A) 9,82 m. aprox. B) 8,30 m. aprox. C) 10,92 m. aprox. D) 9,8 m. aprox. E) 10,05 m. aprox.

Resolución


Si representamos la línea ecuatorial mediante una circunfer-encia, entonces según el gráfico se tiene:

1,60 m

r

Como la persona recorre toda la línea ecuatorial, enton-ces calculamos lo que recorre la planta de sus pies (círculo pequeño) y lo que recorre su coronilla (círculo grande)

• pies 2L r= π

• coronilla 2 ( 1,60)L r= π +

Ahora calculamos cuanto más a recorrido su coronilla que la planta de sus pies

piescoronilla 2 ( 1,60) 2

2 2 (1,60) 2

2 (1,60) 10,053

L L r r

r r

− = π + − π

= π + π − π= π =

Respuesta:

Por lo tanto, su coronilla ha recorrido 10,05 m. más que la planta de sus pies aproximadamente.

Alternativa E

PREGUNTA N.º 25Calcular la longitud mínima que debe recorrer la punta de un lápiz para dibujar la siguiente figura.

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10

3 cm 3 cm 3 cm

2 cm

2 cm

A) 39 cm. B) 49 cm. C) 48 cm.D) 36 cm. E) 42 cm.

Resolución

Tema: Trazo de Figuras

Observemos atentamente el gráfico:

3 cm 3 cm 3 cm

2 cm

2 cm

P P

PP

P P

I I

I

II

I

# de puntos impares 6=

6 2# de lineas repetidas 2

2−

= =

En la figura se muestra, mediante líneas curvas, las líneas que se repetirán, entonces el mínimo recorrido será:

3(9) 2(8) 3(2) 49+ + =

Respuesta:Por lo tanto, la longitud mínima es 49 cm

Alternativa B

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