T1 Intro No Lineal

T1. Introduccin al anlisis no lineal

1.Introduccin

2.Tipos de no linealidades y ejemplos

3.Introduccin al MEF

4.Planteamiento general del problema no lineal

Mtodos numricos de solucin

5.NSTAR: mdulo de clculo no lineal de Cosmos/m v.2.95

6.Ejemplos

T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.1 Introduccin

1. Actualmente es posible abordar numricamente casi cualquier problema no lineal.

2. La utilizacin de nuevos materiales con comportamiento claramente no lineal, y la exigencia de estructuras ms ligeras y seguras provoca un mayor uso de los modelos no lineales.

3. El M.E.F es uno de los mtodos numricos ms utilizados, en especial en el caso de problemas no lineales.

4. La clasificacin lineal o no lineal es artificial. Todo tiene un cierto grado de no linealidad, el problema es saber si la aproximacin lineal es vlida o catastrfica.

5. El coste de un anlisis no lineal es entre 10 y 100 veces el de un anlisis lineal sobre el mismo modelo. Con la complejidad de la solucin y del mtodo sucede algo similar, siendo en ocasiones excesiva.

6. Nunca usar una nica estrategia de anlisis. Antes de realizar un calculo no lineal se debe haber realizado un estudio lineal.

Formulacin de un problema estructural en desplazamientos:

Problema lineal K, R independientes de u

Problema no lineal K= K(u) y/o R= R(u)

_1077119591.unknown

Ejemplo: Estructura de un grado de libertad con no linealidad geomtrica


BuscamosKu = P

Ecuaciones:Geometra:

No linealidad geomtrica

Compatibilidad (u-):

con

Pequeas deformaciones

Comportamiento (-):

Material lineal

Equilibrio:

_1077100421.unknown

_1077100749.unknown

_1077105740.unknown

_1077105858.unknown

_1077100590.unknown

_1077100282.unknown

Ejemplo: Estructura de un grado de libertad con no linealidad geomtrica


A) Solucin lineal:

pequeos desplazamientos

Compatibilidad:

Comportamiento:

Equilibrio:

_1077102307.unknown

_1077106101.unknown

_1077106195.unknown

_1077106258.unknown

_1077106008.unknown

_1077102264.unknown

B) Grandes desplazamientos:

Compatibilidad :

Comportamiento :

Equilibrio :

Se obtiene

con

_1077102854.unknown

_1077106341.unknown

_1077106356.unknown

_1077102922.unknown

_1077102793.unknown

Grfico3

-1.6374237637-1.4310835056

-1.5509383128-1.3595293303

-1.4646742513-1.287975155

-1.3786538206-1.2164209798

-1.2929020683-1.1448668045

-1.2074472732-1.0733126292

-1.1223214463-1.0017584539

-1.0375609214-0.9302042786

-0.9532070551-0.8586501034

-0.8693070566-0.7870959281

-0.7859149769-0.7155417528

-0.7030928906-0.6439875775

-0.6209123116-0.5724334022

-0.5394558943-0.500879227

-0.4588194842-0.4293250517

-0.3791145957-0.3577708764

-0.3004714122-0.2862167011

-0.2230424268-0.2146625258

-0.1470068653-0.1431083506

-0.0725760635-0.0715541753

00

0.07042478190.0715541753

0.13834560840.1431083506

0.20334220560.2146625258

0.26491310240.2862167011

0.32245980220.3577708764

0.3752688750.4293250517

0.42249262990.500879227

0.463129930.5724334022

0.49601023670.6439875775

0.51978637140.7155417528

0.53294499130.7870959281

0.53384834230.8586501034

0.5208256550.9302042786

0.49233519631.0017584539

0.44721359551.0733126292

0.38501047631.1448668045

0.30636761381.2164209798

0.21334683211.287975155

0.10956471891.3595293303

-01.4310835056

-0.10956471891.5026376809

-0.21334683211.5741918562

-0.30636761381.6457460314

-0.38501047631.7173002067

-0.44721359551.788854382

-0.49233519631.8604085573

-0.5208256551.9319627326

-0.53384834232.0035169078

-0.53294499132.0750710831

-0.51978637142.1466252584

-0.49601023672.2181794337

-0.463129932.289733609

-0.42249262992.3612877842

-0.3752688752.4328419595

-0.32245980222.5043961348

-0.26491310242.5759503101

-0.20334220562.6475044854

-0.13834560842.7190586606

-0.07042478192.7906128359

02.8621670112

0.07257606352.9337211865

0.14700686533.0052753618

0.22304242683.076829537

0.30047141223.1483837123

0.37911459573.2199378876

0.45881948423.2914920629

0.53945589433.3630462382

0.62091231163.4346004134

0.70309289063.5061545887

0.78591497693.577708764

0.86930705663.6492629393

0.95320705513.7208171146

1.03756092143.7923712898

1.12232144633.8639254651

1.20744727323.9354796404

Grandes desplazamientos

Pequeos desplazamientos

u/a

P/EA

Hoja1

abloto (angulo)uluKuu/aP/EA=ku*ulineal

1.0000000.5000001.1180341.107149-1.000002.061551.63742-1.00000-1.63742-1.4310835056

-0.950002.013081.63257-0.95000-1.55094-1.3595293303

c=(2a3/(a2+b2)*3/2-0.900001.964691.62742-0.90000-1.46467-1.287975155

1.431084-0.850001.916381.62195-0.85000-1.37865-1.2164209798

-0.800001.868151.61613-0.80000-1.29290-1.1448668045

-0.750001.820031.60993-0.75000-1.20745-1.0733126292

-0.700001.772001.60332-0.70000-1.12232-1.0017584539

-0.650001.724091.59625-0.65000-1.03756-0.9302042786

-0.600001.676311.58868-0.60000-0.95321-0.8586501034

-0.550001.628651.58056-0.55000-0.86931-0.7870959281

-0.500001.581141.57183-0.50000-0.78591-0.7155417528

-0.450001.533791.56243-0.45000-0.70309-0.6439875775

-0.400001.486611.55228-0.40000-0.62091-0.5724334022

-0.350001.439621.54130-0.35000-0.53946-0.500879227

-0.300001.392841.52940-0.30000-0.45882-0.4293250517

-0.250001.346291.51646-0.25000-0.37911-0.3577708764

-0.200001.300001.50236-0.20000-0.30047-0.2862167011

-0.150001.253991.48695-0.15000-0.22304-0.2146625258

-0.100001.208301.47007-0.10000-0.14701-0.1431083506

-0.050001.162971.45152-0.05000-0.07258-0.0715541753

0.000001.118031.431080.000000.000000

0.050001.073551.408500.050000.070420.0715541753

0.100001.029561.383460.100000.138350.1431083506

0.150000.986151.355610.150000.203340.2146625258

0.200000.943401.324570.200000.264910.2862167011

0.250000.901391.289840.250000.322460.3577708764

0.300000.860231.250900.300000.375270.4293250517

0.350000.820061.207120.350000.422490.500879227

0.400000.781021.157820.400000.463130.5724334022

0.450000.743301.102240.450000.496010.6439875775

0.500000.707111.039570.500000.519790.7155417528

0.550000.672680.968990.550000.532940.7870959281

0.600000.640310.889750.600000.533850.8586501034

0.650000.610330.801270.650000.520830.9302042786

0.700000.583100.703340.700000.492341.0017584539

0.750000.559020.596280.750000.447211.0733126292

0.800000.538520.481260.800000.385011.1448668045

0.850000.522020.360430.850000.306371.2164209798

0.900000.509900.237050.900000.213351.287975155

0.950000.502490.115330.950000.109561.3595293303

1.000000.50000-0.000001.00000-0.000001.4310835056

1.050000.50249-0.104351.05000-0.109561.5026376809

1.100000.50990-0.193951.10000-0.213351.5741918562

1.150000.52202-0.266411.15000-0.306371.6457460314

1.200000.53852-0.320841.20000-0.385011.7173002067

1.250000.55902-0.357771.25000-0.447211.788854382

1.300000.58310-0.378721.30000-0.492341.8604085573

1.350000.61033-0.385801.35000-0.520831.9319627326

1.400000.64031-0.381321.40000-0.533852.0035169078

1.450000.67268-0.367551.45000-0.532942.0750710831

1.500000.70711-0.346521.50000-0.519792.1466252584

1.550000.74330-0.320011.55000-0.496012.2181794337

1.600000.78102-0.289461.60000-0.463132.289733609

1.650000.82006-0.256061.65000-0.422492.3612877842

1.700000.86023-0.220751.70000-0.375272.4328419595

1.750000.90139-0.184261.75000-0.322462.5043961348

1.800000.94340-0.147171.80000-0.264912.5759503101

1.850000.98615-0.109911.85000-0.203342.6475044854

1.900001.02956-0.072811.90000-0.138352.7190586606

1.950001.07355-0.036121.95000-0.070422.7906128359

2.000001.118030.000002.000000.000002.8621670112

2.050001.162970.035402.050000.072582.9337211865

2.100001.208300.070002.100000.147013.0052753618

2.150001.253990.103742.150000.223043.076829537

2.200001.300000.136582.200000.300473.1483837123

2.250001.346290.168502.250000.379113.2199378876

2.300001.392840.199492.300000.458823.2914920629

2.350001.439620.229562.350000.539463.3630462382

2.400001.486610.258712.400000.620913.4346004134

2.450001.533790.286982.450000.703093.5061545887

2.500001.581140.314372.500000.785913.577708764

2.550001.628650.340902.550000.869313.6492629393

2.600001.676310.366622.600000.953213.7208171146

2.650001.724090.391532.650001.037563.7923712898

2.700001.772000.415672.700001.122323.8639254651

2.750001.820030.439072.750001.207453.9354796404

Hoja1

Grandes desplazamientos

Pequeos desplazamientos

u/a

P/EA

Hoja2

Hoja3

Relacin carga generalizada (P/EA) - desplazamiento generalizado (u/a)

para o = 15, en teora lineal y no lineal

El anlisis no lineal evita la aparicin de puntos singulares en los que la solucin tensional diverge

Estos problemas desaparecen utilizando el anlisis no lineal adecuado, aunque en muchos casos no es necesario aplicarlo.


En general no se dispone de la solucin analtica, luego es necesario resolver de forma iterativa un sistema de ecuaciones no lineales con la forma:

La solucin obtenida depender de la aproximacin inicial utilizada.

Pueden existir mltiples soluciones incluso en problemas elsticos, en general la solucin que buscamos depende de la historia

utilizar mtodos incremntales de resolucin de sistemas de ecuaciones no lineales.

_1077103255.unknown

_1077106731.unknown

Grfico4

1.65

3.1

6.166

12.138

24.014

47.65

GDL

Tensin de VMen punto 1

Divergencia de la solucin con carga puntual

Hoja1

Carga puntual

error

Vmmaxx100000ndgdl

1.6574148

3.1134268

6.166319638

12.138478956

24.0146441288

47.658381676

Chapa

errorVM1x105VM2VM3ndgdl

136213501725105210

179816602358236472

2760168024505561112

39211756259612772554

55421720259829345868

110861748260338177634

Hoja1

GDL

Tensin de VMen punto 1

Divergencia de la solucin con carga puntual

Hoja2

Punto 1

Punto 2

Punto 3

GDL

Tensin de VM (Kg/cm2)

Hoja3

Material no lineal: relacin no lineal entre tensiones y deformaciones

T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

Material no lineal

No linealidad geomtrica por grandes desplazamientos y pequeas deformaciones

No linealidad geomtrica por grandes desplazamientos y deformaciones

No linealidad de contorno

Consideracin del proceso constructivo

Material no lineal: material elastoplastico

Dimensionamiento de un rigidizador transversal aligerado de acero

T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

Grandes desplazamientos y pequeas deformaciones

Rigidizacin o flexibilizacin de la respuesta estructuralPlaca a flexin:T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

Teora lineal:

uymax = -5.28 cm, VMmax = 1.076e6 KN/m2

Teora no lineal: uymax = -2.68 cm, VMmax = 6.32e5 KN/m2

Grandes desplazamientos y pequeas deformaciones: estructuras de edificacin

Efectos de segundo orden: PD y Pd

Efecto PD: Efecto dominante debidos al movimiento relativo horizontal de las plantas Efecto Pd: Efecto debido a la flexin de las barras, slo es significativo en elementos muy esbeltosT1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

Grandes desplazamientos y pequeas deformaciones: Pandeo T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

Grandes desplazamientos y pequeas deformaciones: PandeoArco parablico articulado de 30 m. de luz y 5m. de altura, utilizando un nico perfil IPE de acero S235. Se supone impedido el pandeo fuera del plano del arco. Se discretiza el arco mediante 50 elementos barra rectos, obtenindose los esfuerzos de clculo N y M en cada barra. A partir de estos esfuerzos y considerando b = 1 se obtiene un perfil mnimo IPE 160. Sin embargo, es necesario comprobar el pandeo global mediante un anlisis a pandeo o un clculo que inluya la no linealidad geomtrica, donde se obtiene:Modo de pandeo 1: lcr1 = 0.289Modo de pandeo 2: lcr1 = 0.66El diseo con IPE160 es incorrecto y fallara por pandeo global para una carga de 0.289 T/mT1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

Grandes desplazamientos y grandes deformaciones Contacto e impacto T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

Contacto T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

a)b)

Material lineal: Campo de movimientos verticales a) y horizontales b)

a)b)

Tensin equivalente de Von Mises a) en el caso lineal, y deformaciones plsticas equivalentes b) en el caso de material elastoplastico

Proceso constructivo T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

Etapas del proceso en una seccin transversal

Fase 1 Fase 2 Fase 3

Movimientos verticales en cada etapa de avance

Proceso constructivo T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

Deformacin plstica equivalente en el terreno

Grfico2

-3.908833266-8.128936291-9.5127773

-3.802526228-7.877386758-9.224424475

-3.51222619-7.190991459-8.434266767

-2.883527787-5.729141348-6.752566768

-2.204270897-4.199703955-4.980689819

-1.241851243-2.123574914-2.553127633

-0.4068502523-0.567200823-0.6680829199

Frente

Salida escudo

Final

X (m)

Uy (mm)

Tensores utilizados segn el tipo de anlisis T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.2. Tipos de no linealidades y ejemplos

Tipo

Descripcin

Formulacin

Medidas de tensin y Deformacin

Material no lineal

Relacin no lineal

u, infinitesimal

Material no lineal solo

Tensiones y deformaciones ingenieriles

Grandes desplazamientos y rotaciones con pequeas deformaciones

Las fibras tienen grandes movimientos y rotaciones, pero las extensiones y el cambio de ngulo entre fibras es pequeo

Relacin - no lineal o lineal

TL:Lagrangiana total

UL:Lagrangiana actualizada

TL: Tensin segunda de Piola-Kirchhoff. Deformacin de Green-Lagrange

UL: Tensin de Cauchy

Deformacin de Almansi

Grandes deformaciones, desplazamientos y rotaciones

Las fibras tienen grandes movimientos y rotaciones con grandes extensiones y cambio de ngulo entre fibras

Relacin - no lineal o lineal

TL:Lagrangiana total

UL:Lagrangiana actualizada

TL: Tensin segunda de Piola-Kirchhoff. Deformacin de Green-Lagrange

UL: Tensin de Cauchy

Deformacin logaritmica

Formulacin fuerte T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.3. Introduccin al MEF

Dado un cuerpo 3D definido sobre el dominio con un contorno superficial , y referido a un sistema de coordenadas estacionario X, Y, Z. Sobre l actan unas cargas por unidad de volumen rb, cargas por unidad de superficie rt en el rea t ; y unos desplazamientos prescritos

en u.

Se busca calcular el campo de desplazamientos u y los correspondientes estados de tensiones y deformaciones , que cumplen

_993404770.unknown

Siendo

un vector unitario normal t, y las tensiones y deformaciones:

_1017045452.unknown

= D

Formulacin dbil T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.3. Introduccin al MEF

Aplicando el PTV, denominando u al campo virtual y al campo de deformaciones virtuales asociado, la expresin resultante es

Mtodos variacionales:

Se parte de un funcional y se le aplica la condicin de primera variacin sea nula, es decir que sea estacionario:

.

El funcional es una expresin integral que de forma implcita contiene las E.D. que rigen el problema, en estructuras el funcional ms habitual es la energa potencial p, y la condicin de primera variacin nula equivale al principio de energa potencial estacionaria: entre todas las configuraciones admisibles de un sistema conservativo, la que satisface las condiciones de equilibrio hace la energa potencial del sistema estacionaria para pequeas variaciones admisibles de los desplazamientos.

_1070027643.unknown

Para el caso de elasticidad, la expresin general de la energa potencial es:

Formulacin dbil T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.3. Introduccin al MEF

En el caso de un sistema de un grado de libertad (GDL) como el muelle de la figura, la aplicacin de la condicin de variacin nula permite encontrar la configuracin de equilibrio del sistema, en la que la energa potencial es mnima.

En sistemas con mltiples GDL, puesto que las variaciones de cada uno de los GDL son independientes y arbitrarias, la condicin de variacin nula de la energa potencial permite establecer un sistema de ecuaciones de equilibrio:

Formulacin de elementos finitos T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.3. Introduccin al MEF

Discretizando el dominio por un conjunto de elementos interconectados por sus nudos es posible interpolar el campo de movimientos u en un punto interior de un elemento a partir de los movimientos nodales ae del elemento.

Siendo n el nmero de nudos del elemento, ae el vector de desplazamientos nodales elemental y Ne la matriz de funciones de forma del elemento.

Considerando elementos isoparamtricos:

Las deformaciones se interpolan a partir de los desplazamientos nodales como:

en 3D

donde Be es la matriz de deformacin del elemento.

_997724616.unknown

_1015944295.unknown

_1077137420.unknown

_993805730.unknown

Formulacin de elementos finitos T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.3. Introduccin al MEF

Aplicando las expresiones anteriores a la expresin integral del PTV:

uT = aT NT ; T = aT BT

Luego:

La expresin anterior se reduce a

K a = R

Siendo K la matriz de rigidez global de la estructura y R el vector de fuerzas nodales equivalentes.

con

,

Si en el vector tensin se incluyen las posibles deformaciones y tensiones iniciales:

Se aaden al vector de fuerzas nodales los trminos:

y

_1077137774.unknown

_1077138020.unknown

_1077138246.unknown

_1077138279.unknown

_1077138021.unknown

_1077137889.unknown

_1015944771.unknown

_1077137698.unknown

_997724644.unknown

T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.4. Planteamiento no lineal y mtodos numricos

En la formulacin lineal del M.E.F. se obtiene un sistema de ecuaciones de equilibrio en la forma

K a = R

Definiendo el vector de fuerzas nodales internas F, producido por el estado tensional alcanzado en el equilibrio, como

es posible plantear las ecuaciones de equilibrio como una igualdad entre las fuerzas externas aplicadas y las fuerzas internas desarrolladas por el sistema

R F = 0

La resolucin de un problema no lineal mediante el M.E.F. se basa en un planteamiento incremental del mismo, en el que en cada paso o incremento se resuelven de forma iterativa aproximaciones lineales del problema.

Siendo t una variable de paso que indica el nivel de carga o de desplazamientos en que se encuentra el sistema.

El problema que se plantea es encontrar la solucin en t+t caracterizada por: t+tR t+tF = 0, conocida la solucin en t: tR tF = 0 y el incremento de carga asociado al paso.

_1077138982.unknown

_1077139328.unknown

La obtencin de a no es inmediata puesto que las variables del problema dependen del estado de desplazamientos. Para resolverlo se utilizan un conjunto de tcnicas numricas que se pueden agrupar en tres grandes bloques:

Ecuacin de equilibrio K a = RR F = 0 Planteamiento incremental iterativo Elementos del algoritmo de solucin: mtodo de control, esquema iterativo, controlador de convergencia Mtodos de control: Conducen el proceso de solucin incremental a lo largo del camino no lineal. Si la carga externa est prescrita, el ms habitual es el control en fuerzas, introducindose en cada paso un incremento de carga Mtodos iterativos: Dentro de cada paso resuelven de forma iterativa la ecuacin hasta alcanzar la solucin Esquemas de control de convergencia: Indican cuando debe concluir el proceso iterativo T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.4. Planteamiento no lineal y mtodos numricos

control en fuerzas

control en desplazamientos

control de longitud de arco

Esquema iterativoT1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.4. Planteamiento no lineal y mtodos numricos

Reescribiendo el sistema de ecuaciones t+tR t+tF = 0 como (t+ta) = 0, y aproximando la funcin mediante su desarrollo en serie de Taylor de primer orden, en torno a la solucin se obtiene

donde el ndice i indica la aproximacin i-sima del vector de desplazamientos buscado.

Si las fuerzas externas son independientes de la deformacin, se define la matriz jacobiana o de rigidez tangente en la iteracin i1 como

Definiendo el incremento de movimientos de la iteracin i como:

ai = t+tai t+tai1

La ecuacin se transforma en:

El trmino derecho de la ecuacin anterior se denomina vector de fuerzas residuales t+ti e indica el desequilibrio entre las cargas externas totales y las fuerzas internas desarrolladas.

La ecuacin anterior con las condiciones iniciales siguientes constituye el mtodo iterativo de Newton-Raphson (N.R.)

_1017859215.unknown

_1077139811.unknown

_1077140403.unknown

_1016017484.unknown


Representacin grfica del mtodo de N.R. con control en fuerzas

Representacin grfica del mtodo de NRM. con control en fuerzas

En el caso del mtodo de Newton-Raphson modificado (N.M.R.) nicamente se actualiza la matriz de rigidez tangente al principio de cada paso, mantenindose constante durante las iteraciones del paso.


En el caso de los mtodos de tipo Cuasi-Newton como el B.F.G.S, se utilizan matrices con aproximacin secante entre dos iteraciones.

Mtodos secantes con control en fuerzas

Entre todos los mtodos iterativos, el nico con convergencia cuadrtica es el de N.R., sin embargo, si la matriz de rigidez es grande, el coste computacional para actualizarla en cada iteracin puede hacer ms eficiente el mtodo de N.R.M. o el B.F.G.S, aunque el nmero de iteraciones necesario para alcanzar la convergencia sea superior.


La matriz de rigidez tangente se calcula en funcin del tipo de no linealidad presente en el problema. Por ejemplo, en el caso de elasticidad no lineal en pequeos desplazamientos y deformaciones, la relacin entre tensiones y deformaciones ser de la forma = () y la matriz de rigidez tangente se expresa en funcin de la matriz elstica tangente DT como:

Los criterios de convergencia, se basan en normas de las variaciones del incremento de desplazamientos iterativo, de las fuerzas residuales o de la energa, obligando a que sus valores sean inferiores a una cierta tolerancia prescrita. En el caso de utilizar una norma eucldea de las fuerzas residuales el criterio de terminacin sera de la forma

siendo el vector de fuerzas residuales final del paso t, R el vector de cargas externas del paso, y una tolerancia prescrita con unos valores tpicos entre 103 y 105 en funcin del grado de precisin de la mquina utilizada.

_1077140602.unknown

_1077140659.unknown

T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.5. NSTAR. Anlisis no linel Cosmosm v.2.8.

El anlisis no lineal se ejecuta siempre sobre el caso de carga LC = 1.

La eleccin del tipo de no linealidad se realiza en las opciones del tipo de elemento (EGROUP):

Op5: Tipo de material:

0 = LE = elstico lineal

1 = VMI = Von Mises Isotrpico (elastoplastico)

2 = VMK = Von Mises Cinemtico (elastoplastico)

3 = MR = Mooney-Rivlin (Hiperelstico incompresible)

4 = NLE

= No lineal elstico (curva - definida por el usuario mediante el comando Material Curve)

5 = DP

= Drucker-Prager (elastoplastico para suelos granulares)

6 = OH

= Ogden (Hiperelstico incompresible)

8 = VEM = Viscoelasticidad

9 = B-K = Blatz-Ko (Hiperelstico compresible)

11 = CT

= Hormign

12 = TRI

= Tresca-Saint Venant Isotrpico

13 = TRK

= Tresca-Saint Venant Cinemtico

-1...-50

= Materiales programados por el usuario

Op6: Formulacin de desplazamientos:

0 = Small = pequeos desplazamientos

1 = UL

= Lagrangiana actualizada

2 = TL = Lagrangiana total

Op7: Fluencia:

-1...n

= Ley de fluencia programada por el usuario

0 = No, 1 = Si

Op8: Pequeas o grandes deformaciones:

0 = Small

1 = Large

T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.5. NSTAR. Anlisis no linel Cosmosm v.2.8. Comando relacionados con el anlisis no lineal

En funcin del tipo de material elegido se introducen sus parmetros mediante las propiedades del material (MPROP) o mediante la definicin por puntos de curvas tensin-deformacin (Comando Material Curve de LoadsBC > Function Curve).

Cuando se definen curvas de material, quedan asociadas al material activo en ese momento.

En el caso de elementos lmina composite, el material no lineal disponible es el criterio de rotura de Tsai-Wu.

El anlisis no lineal se basa en una solucin incremental del problema, para ello se utiliza una variable tiempo, que puede ser real si el problema es dinmico, o ficticia si es esttico.

En el caso de que se utilize el mtodo de control en fuerzas todas las cargas van asociadas a curvas temporales para su aplicacin incremental, si el control es en desplazamientos se asocia la curva temporal a un grado de libertad del problema.

El programa calcula la carga aplicada o el desplazamiento de control en un instante t, como el producto del valor definido de la carga por su curva temporal asociada.

Al definir una carga, esta queda asociada a la curva temporal activa. En la tabla STATUS1 es posible identicar la curva temporal (TC) activa, por defecto la ltima definida.

Con el comando ACTSET (Control > Active) es posible cambiar la curva temporal activa. Al listar las cargas o desplazamientos se indica cual es su curva asociada.


Time Parameters: Definicin del tiempo de inicio, tiempo final e incremento temporal.

Initial Cond: Condiciones iniciales de desplazamientos, velocidades y aceleraciones en anlisis dinmico.

Time/Temp Curve: Definicin por puntos o fichero externo de curvas temporales de carga y de curvas temporales de temperatura.

Material Curve: Definicin por puntos o por fichero de una curva de material no lineal.

Material Curve Type: Tipo de curva de material (elstica, plstica...).


Initialize: Inicializa las grficas con los parmetros por defecto.

Activate Pre-Proc: Inicia el proceso de dibujo de una grfica de preproceso, como una curva temporal o del material.

Activate Post-Proc: Inicia el proceso de dibujo de una grfica de postproceso, como una curva de movimientos o tensiones en el tiempo. Para dibujar estas grficas es preciso indicar antes de lanzar el anlisis los nudos y elementos en los que se desean almacenar resultados para la elaboracin de grficas.

Activate User-Plot: Inicia el proceso de dibujo de una grfica con datos del usuario en ficheros externos.

Set Plot Parameter: Parmetros de las grficas.

Set Plot Range: Lmites numricos de los ejes de grficas.

Set Reference Line: Dibujo de lneas de referencia en las grficas.

Identify Point: Identificacin de puntos de grficas mediante ratn.

Plot Curves: Dibujo de las grficas ya activadas.


Solution Control: Seleccin del mtodo de control (fuerza, desplazamiento o longitud de arco), y del mtodo iterativo de solucin (NR, NRM, o BFGS).

Integration Options: Seleccin del mtodo de integracin temporal (Newmark, Wilson-Theta o diferencias centrales) y de sus parmetros, en el caso de anlisis dinmico no lineal.

AutoStep Options: Parmetros mximos mnimos del paso temporal, dejando que el programa determine el paso ptimo de forma automtica (line search).

Base Motion Parameters: Asociacin de las curvas ssmicas de excitacin de la base a las direcciones espaciales y definicin de sus multiplicadores.

Damping Coefficient: Definicin de los parmetros del amortiguamiento de Rayleigh, en anlisis dinmico no lineal.

Print Options: Seleccin del tipo de resultados a imprimir en el fichero *.out.

Plot Options: Seleccin de los pasos temporales en los que se almacenan resultados para dibujo en pantalla.

Response Options: Seleccin de los nudos en los que se quiere guardar la informacin para la posterior realizacin de grficas de postproceso.


NonL Analysis Options (A_NONLINEAR): Parmetros del anlisis no lineal.


Contact: Men para la definicin de las zonas de contacto.

T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.6. Ejemplos Ejemplo 1: No linealidad geomtrica. Arandela Cnica

La arandela cnica de la figura esta sometida a la carga P y puede deslizar horizontalmente sobre el plano en el que se apoya.

h = 0.4 cm

d1 = 1.6 cm

d2 = 5 cm

t = 0.24 cm

E = 2.1108 Kpa

= 0.3

El modelo axisimtrico de la arandela esta disponible en el fichero aran.gfm.

1. Calcular el desplazamiento vertical de la arandela para una carga unitaria y deducir el valor de la carga de colapso ( = h) suponiendo el problema lineal.

2. La curva carga-desplazamiento (p-) de la arandela es no lineal, debido a que la rigidez de la arandela depende de la geometra. Para obtener de forma aproximada la curva p- se puede proceder de forma incremental, se aplica un incremento de carga p y se calcula el incremento de desplazamientos u producido: K(x)u = p; con los desplazamientos calculados se actualizan las coordenadas de los nudos del modelo y se calcula una nueva K(x + x) que se utiliza en la siguiente iteracin.

Aplicando el mtodo anterior calcular la curva p- de la arandela y la carga de colapso.

3. Resolver el problema considerando la no linealidad geomtrica y comparar los resultados con los anteriores.


Resultados

1. Clculo lineal: uy1 = -0.000399 m Pcr = 10.02 KN

Fichero sesin:

File > New > Localizacin y nombre del nuevo modelo

File > Load > aran.gfm;

Display > Display_Option > Scale;

Display > View_parameter > View

VIEW, 0, 0, 1, 0

Analysis > Static > Run Static Analysis

Results > Plot > Deformed Shape;

Results > Plot > Displacement

ACTDIS/DISPLOT, 1, Uy, 0, Contour Plot;

Results > Plot > Identify Result (picar en el nudo 1)

2. Utilizando incrementos de carga de 1 KN, y con la opcin Update Coordinate Flag del comando Static Anlisis Options activa (1).

El colapso se produce entre el paso 5 y 6 con: Pcr = 5.5 KN


3. Utilizando control en fuerzas: Pcr = 2.65 KN

Fichero sesin:

Propsets > Element Group

EGROUP, 1,PLANE2D,0,1,1,0,0,2,0,0 (Grandes movimientos con TL)

LoadsBC > Load_Options > Time Parameters

TIMES > 0,1,0.025 (40 pasos)

LoadsBC > Function Curve > Time/Temp Curve

CURDEF > time,1,1,0,0,1,10 (Carga lineal entre 0 y 10 KN, en 1 s)

Analysis > Nonlinear > Solution Control

NL_CONTROL > 0,1 (Control en fuerzas y NR)

Analysis > Nonlinear > Plot Options

NL_PLOT > 1,100,1,0

Analysis > Nonlinear > Response Options

NL_NRESP > 1,1 (Generacin de grficas del nudo 1)

Analysis > Nonlinear > Run Nonlinear Analysis

---------------------------- Se corta el anlisis en el paso 11, t = 0.275 s

Results > Plot > Deformed Shape (paso 10, y poner escala 1:1)

Edit > Plot > Curves

CRPLOT;

Results > Plot > Identify Result (picar en el nudo 1)

Display > XY_Plots > Activate Post_proc

ACTXYPOST, 1, time, Uy, 1;

Display > XY_Plots > Plot Curves


En la grfica siguiente aparece la variacin en el tiempo del desplazamiento vertical del nudo 1, observndose la bifurcacin al inicio de la matriz de rigidez tangente negativa.

Para conseguir pasar la zona de rigidez negativa se ha utilizado el mtodo de paso temporal automtico con un paso mnimo de 0.001 s, y mximo de 0.02 s.

Otra forma es modificar el paso temporal, reducindolo, y aplicar el comando RESTART del men Analysis.


Modificando directamente el modelo anterior:

Fichero sesin:

Analysis > Nonlinear > Autostep Options

NL_AUTOSTEP > 1, 0.001, 0.02, 5


-------------

Results > Plot > Deformed Shape (poner escala 1:1)

Results > Plot > Animate

Probar a utilizar el comando ACTXYPRE para dibujar la curva temporal, y el comando ACTXYPOST para la grafica de desplazamientos. Al utilizar los comandos DEFPLOT y ANIMATE trabajar con escalas unitarias.


4. Utilizando control en desplazamientos: Pcr = 2.72 KN

Por el tipo de no linealidad, la convergencia es mejor en este caso que en el anterior.

En la grfica adjunta aparece la variacin en el tiempo del factor de carga (LFACT), que multiplicado por la carga unitaria definida indica la carga real en cada instante temporal.


Fichero sesin (se supone que se parte de un modelo nuevo, es decir, recin cargado el .GFM):


EGROUP, 1,PLANE2D,0,1,1,0,0,2,0,0 (Grandes movimientos con TL)


TIMES > 0,1,0.01 (100 pasos)


CURDEF > time,1,1,0,0,1,-0.01 (Desplazamiento vertical nudo 1 lineal entre 0 y 0.01 m, en 1 s)


NL_CONTROL > 1,1,1,Uy (Control en movimientos verticales del nudo 1 y NR)


NL_PLOT > 1,100,1,0

Analysis > Nonlinear > Response Options

NL_NRESP > 1,1 (Generacin de grficas del nudo 1)


T1. Introduccin al anlisis no lineal. 1.6. Ejemplos Ejemplo 2: No linealidad del material. Rigidizador transversal aligerado

Realizar un anlisis lineal y con material no lineal elastoplstico perfecto de un rigidizador transversal de un tablero, cuyas dimensiones y cargas se indican en la Figura siguiente.

La carga considerada es la reaccin mxima del apoyo, que se introduce como carga de presin en la zona superior del rigidizador: P = Rmax/(2L1t), siendo t el espesor del rigidizador y Rmax = 5500 KN.

El modelo del rigidizador transversal para anlisis lineal est disponible en el fichero rigi.gfm, con un espesor de 0.04 m, y una presin P = Rmax/(2L1t) = 34375 Kpa.

Utilizando un material elastoplastico perfecto del tipo Von Mises Isotrpico con tensin de fluencia y = 2.6e5 KPa, y modulo de elasticidad tangente Et = 0, calcular:

1. Distribucin de tensiones en anlisis lineal para un espesor t = 4 cm

2. Distribucin de tensiones lineal y no lineal para un espesor t = 2.5 cm.


Solucin

1. Clculo lineal, t = 0.04 m: Tensin mxima de Von Misses = 2.263 e5 KPa

Comandos:

File > New > Localizacin y nombre del nuevo modelo

File > Load > rigi.gfm;

Display > Display_Option > Scale;

Display > View_parameter > View

VIEW, 0, 0, 1, 0


Results > Plot > Deformed Shape;

Results > Plot > Stress

ACTSTR, 1, Von;

2A Clculo lineal, t = 0.025 m: Tensin mxima de Von Misses = 3.621 e5 KPa

Comandos:

Propsets > Real Constant

RCONST, 1,1,1,1,0.025; (Cambio de espesor a 2.5 cm)

Loads_bc > Structural > Presssure > Define by Curves

PCR, 24,-55000,24,1,-55000,2; (P = -55000 en direccin Y)



ACTSTR, 1, Von;


2B Clculo no lineal, t = 0.025 m: Tensin mxima de Von Misses = 2.5983 e5 KPa

Comandos:


EGROUP, 1,TRIANG,0,1,0,0,1; (Material no lineal tipo Von Misses Isotrpico)

Propsets > Material Properties

MPROP, 1,SIGYLD,2.6e5,ETAN,0; (Propiedades elastoplasticas)


TIMES > 0,1,0.1 (10 pasos)


CURDEF > time,1,1,0,0,1,1 (Carga lineal entre 0 y 1, en 1 s)


NL_CONTROL > 0,1 (Control en fuerzas y NR)


NL_PLOT > 1,10,1,0


Results > Plot > Deformed Shape


ACTSTR, 10, Von; (tensiones en el paso 10)

Results > Plot > Animate;

T1 Intro No Lineal

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Transcript of T1 Intro No Lineal