Cónicas

Parábola: Es el conjunto de todos los puntos (x, y) que son equidistantes de un recta fija (directriz) y un punto fijo (foco) no pertenecientes a esa recta. El punto medio entre el foco y la directriz es el vértice, y la recta que pasa por el foco y el vértice es el eje de la parábola.

Ecuación canónica de la parábola:

Convértice en (0,0 )[ [ x2=±4 pyfoco=(0 ,± p )Directriz y=± p]Parábolavertical

[ y2=±4 pxfoco=(± p ,0 )Dire ctrizx=± p ]Parábola horizontal

Convértice en (h ,k )[ [(x−h)2=±4 p ( y−k )

foco=(h , (k ± p ) )Directriz y=k ± p ]Parábola vertical

[( y−k )2=± 4 p (x−h )foco= ( (h± p ) , k )Directrizx=h± p ]Parábolahorizontal

Elipse: Es el conjunto de todos los puntos (x, y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos distintos (focos) es constante. La recta que une los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vértices. La cuerda que une los vértices es el eje mayor, y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor por el centro es el eje menor de la elipse.

Ecuación canónica de la elipse:

Concentroen (0 ,0 ) [[x2

a2+ y2

b2=1

vértices (±a ,0 )focos (±c ,0 )c=√a2−b2

]Ejehorizontal[ x2

a2+y2

b2=1

vértices (0 , ± b )focos (0 , ± c )c=√b2−a2

]Eje vertical

Concentroen (h , k )[[( x−h )2

a2+

( y−k )2

b2=1

vértices (h±a ,0 )focos (h±c ,0 )c=√a2−b2

]Eje horizontal[ ( x−h )2

a2+

( y−k )2

b2=1

vértices (0 ,K ±b )focos (0 , k ± c )c=√b2−a2

]Eje verticalCircunferencia: Lugar geométrico de todos los puntos (x , y) que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Ecuación canónica de la circunferencia:

Concentroen (0 ,0 ) [x2+ y2=r2radio=r

Con centroen (h , k )[( x−h )2+ ( y−k )2=r2

radio=r

Hipérbola: es el conjunto de los puntos (x, y) para los cuales la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos vértices. El segmento que une los vértices es el eje transversal, y su punto medio es el centro de la hipérbola.

Ecuación canónica de la hipérbola:

Concentroen (0 ,0 ) [[x2

a2− y2

b2=1

vértices (±a ,0 )focos (±c ,0 )b=√c2−a2

Asintotas : y=± bax]Eje horizontal

[x2

a2+ y2

b2=1

vértices (0 ,± b )focos (0 ,± c )c=√b2−a2

Asintotas : y=± abx]Eje vertical

Con centroen (h , k )[[(x−h )2

a2−

( y−k )2

b2=1

vértices (h±a ,k )focos (h±c , k )c=√a2−b2

Asintotas : y=k ±ba

( x−h )]Eje horizontal[

( y−k )2

a2−

( x−h )2

b2=1

vértices (h , K ±b )focos (h , k ±c )c=√b2−a2

Asintotas : y=k ± ab

( x−h )]Eje verticalEjercicios :

Representar gráficamentelas siguientes ecuaciones , encadacasoidentificar

las partes de larespectivacón ica

1. y2=4 x2.( x−2 )2

16+

( y+1 )2

4=13. x

2

9+ y2

9=14.

( x−2 )2

9− y2

4=1

5. x2+8 y=06. y2+4 y+8 x−12=07.36 x2+9 y2+48 x−36 y+43=0

¿Qué es laexcentricidad deuna elipse y deunahipérbola paraque sirve y cómo

sehalla?

Hallar la parábola que pasa por los puntos (0,3 ) , (3,4 ) y (4,11 ) , eleje es paraleloal eje y

Hallar el centro ,los focos ,los vértices y laexcentricidad de la elipseque tiene

ecuación :16 x2+25 y2−32x+50 y+31=0

Hallar el centro ,los focos ,los vértices , asintotas y laexcentricidad de la hipérbola

cuya ecuaciónes :3 x2−2 y2−6 x−12 y−27=0