GEOMETRÍA EN EL PLANO CÓNICAS · CÓNICAS En Taller de Matemática hemos presentado las distintas...

CATEDRA DE MATEMATICA

MATEMATICA BÁSICA FADU

GEOMETRÍA EN EL PLANOCÓNICAS

MATEMÁTICA BÁSICA – FADU – UNL CÓNICAS

2

GEOMETRÍA EN EL PLANO CÓNICAS

En Taller de Matemática hemos presentado las distintas cónicas, ahora haremos un estudio detallado de las mismas, sus ecuaciones y elementos característicos a partir de sus definiciones como lugares geométricos.

Circunferencia Definición: Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo del mismo llamado centro. Es decir:

Elementos característicos:

Centro: ),( 00 yxC

Radio: r

De la condición rCPd =),( tenemos: ryyxx =−+− 2

0

2

0 )()( , por lo tanto:

Ecuación de la circunferencia de radio r y centro

),( 00 yxC

Ejemplos 1) La ecuación de la circunferencia con centro en C(-3,5) y radio 4 es: Y su grafica: 2) La ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento determinado por los puntos a(-2,1) y b(3,-4) es:

rCPdyxPC == ),(/),(

22

0

2

0 )()( ryyxx =−+−

2

25)

2

3()

2

1( 22 =++− yx

16)5()3( 22 =−++ yx


3

En efecto, el centro de la circunferencia es el punto medio del segmento ab :

−=

−+−

2

3,

2

1

2

41,

2

32

Y el radio = ( ) ( ) 450425425231212),(22

=+=++−−=ACd

Elipse

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante. Es decir:

Elementos característicos En toda elipse tenemos:

ba

focal Distancia :c

menor eje-semi del Longitud :b

mayor eje-semi del Longitud :a

Como cteac)(ac)-(a ==++=+ 2),(),( FVdFVdEV

y además, si tomamos EB , tenemos: a 2),(),( =+ FBdFBd , como se muestra

en la siguiente figura: Y aplicando Pitágoras tenemos:

cteFPdFPdyxPE =+= ),(),(/),(

22 cb +=2a


4

Elipse Horizontal Elementos característicos

Cuya ecuación es:

Ejemplo

Dada la ecuación: ( ) ( )

14

1

9

222

=−

+− yx

Tenemos:

5549

44

69

)1,2(

22

2

==−=−=

===

===

cbc

b

C

2

me

ma

2

a

E 2b

E 3a a

Por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

32

8

3

42

1,52)1,52

1,5)1,11,32)1,32

=

=

+−

−+−

l

FF

VVVV

a

b :recto Lado

2b :(vertical) Menor Eje

a2 :l)(horizonta Mayor Eje

:Focos

aa :Vértices

:Centro

2

0000

0000

00

2

),(),(

),(),(

),(

=

+−

+−

l

ycxFycxF

yxVyxV

yxC

1)()(

2

2

0

2

2

0 =−

+−

b

yy

a

xx


5

Elipse Vertical Elementos característicos

Cuya ecuación es:

Ejemplo

Dada la ecuación: ( ) ( )

116

1

4

322

=−

++ yx

Tenemos:

1212416a

4E 2b4

8E 4a 16a

)1,3(

222

me

2

ma

2

==−=−=

===

===

−

cbc

b

C

Por lo tanto: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

24

8

4

42

121,3)121,3

5,3)3,341,3)41,3

==

=

+−−−

−−−+−−−

l

FF

VVVV

a

b :recto Lado

2b :l)(horizonta Menor Eje

a2 :(vertical) Mayor Eje

:Focos

aa :Vértices

:Centro

2

0000

0000

00

2

),(),(

),(),(

),(

=

+−

+−

=

l

cyxFcyxF

yxVyxV

yxC

1)()(

2

2

0

2

2

0 =−

+−

a

yy

b

xx


6

Excentricidad de la elipse

Se define como: a

ce = y mide el achatamiento de la elipse.

Como ca , tenemos: 1e 0

Valores de la excentricidad próximos a 0 nos indican que la elipse es muy parecida a una circunferencia, y valores muy próximos a 1 nos indican elipses muy alargadas. Si 0=e tenemos que: ba = , entonces la elipse se

reduce al caso particular de una circunferencia. Ejemplos

866,0

33414

22

==

=−====+•

2

3e :tanto lo por

c y 1b 2,ayx

3,01

189189

22

==

=−=====+•

3e:tanto lo por

c y 228b 3,ayx

Propiedad reflectora de la elipse En cualquier punto P de una elipse, la recta tangente forma ángulos iguales con los

segmentos PF y FP que unen el punto con los focos: ˆˆ =


7

Interpretación física:

Por ejemplo, en una sala con el techo en forma de bóveda elíptica, lo que una persona situada en uno de los focos de esa elipse habla en voz muy baja puede ser oído perfectamente por otra persona situada en el otro foco. Hay ejemplos de “salas de susurros” de esta clase en el Capitolio de Washington, en la Catedral de San pablo de Londres, en museos de la Ciencia de EEUU y en castillos medievales europeos. Problema de Aplicación de la Elipse Se desea construir un arco semielíptico horizontal con las siguientes características: 5 mts de altura máxima y altura a 3m de los extremos de 3m. ¿qué luz deberá tener dicho arco? Realizamos en primer lugar la correspondiente figura de análisis:

Tenemos:

Vemos que: 15

3((

2

2

=+2

2

a

3)-a 3) , 3-a EP

Despejando: 0225aa16a9)aaa

3)-a 222

2

2

=+−=+−=−= 15096(2525

16

25

91

(

Aplicando la fórmula resolvente: 156,1 == 21 a y a

,

Por lo tanto, para nuestro problema: 30m1522aLuz 15a ====

)0,0(

2

C

ELuz ma

y Horizontal Elipse

5b y a ===

12

2

2

2

=+b

y

a

x

Toda onda sonora o luminosa emitida desde un foco llegará, tras reflejarse en un punto P de la elipse, al otro foco.


8

Hipérbola

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia en valor absoluto de distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos. Es decir:

Elementos característicos En toda hipérbola tenemos:

focal Distancia :c

imaginario eje-semi del Longitud :b

real eje-semi del Longitud :a

Como cteaac)(aa)-(c ==−=+−=− 22),(),( FVdFVdHV

Además, aplicando Pitágoras, tenemos:

22 b+= ac2

cteFPdFPdyxPH =−= ),()',(/),(


9

Hipérbola Horizontal Elementos característicos

Cuya ecuación es:

Ejemplo

Dada la ecuación: ( )

14

1)1(

2

2 =+

−−y

x

Tenemos:

5541

44

21

)1,1(

22

2

==+=+=

===

===

−

cbc

b

C

2

imag

real

2

a

E 2b

E 1a a

Por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

81

42

)1(21:)1(21:

1,51)1,51

1,2)1,01,11)1,11

=

=

−−=+−=+

−+−−

−−−+−−

l

xyAxyA

FF

VVVV

a

b :recto Lado

a

a: :Asíntotas

2b :(vertical) imaginario Eje

a2 :l)(horizonta real Eje

:Focos

aa :Vértices

:Centro

2

00

00

0000

0000

00

2

)(:

)(

),(),(

),(),(

),(

=

−−=−

−=−

+−

+−

l

xxb

yyA

xxb

yyA

ycxFycxF

yxVyxV

yxC

1)()(

2

2

0

2

2

0 =−

−−

b

yy

a

xx


10

Hipérbola Vertical Elementos característicos

Cuya ecuación es:

Ejemplo

Dada la ecuación: ( )

14

3

9

)2(22

=+

−− xy

Tenemos:

131349

44

69

)2,3(

22

2

==+=+=

===

===

−

cbc

b

C

2

imag

real

2

a

E 2b

E 3a a

Por lo tanto: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3

8

3

42

)3(2

32:)3(

2

32:

132,3132,3

5,3)1,332,3)32,3

=

=

+−=−+=−

+−−−

−−−+−−−

l

xyAxyA

FF

VVVV

a

b :recto Lado

b

a

b

a: :Asíntotas

2b :l)(horizonta imaginario Eje

a2 :(vertical) real Eje

:Focos

aa :Vértices

:Centro

2

00

00

0000

0000

00

2

)(:

)(

),(),(

),(),(

),(

=

−−=−

−=−

+−

+−

l

xxyyA

xxyyA

cyxFcyxF

yxVyxV

yxC

1)()(

2

2

0

2

2

0 =−

−−

b

xx

a

yy


11

Excentricidad de la hipérbola

Se define como: a

ce = y determina su forma.

Como en la hipérbola ac , siempre se tendrá: 1e .

A medida que la excentricidad crece aumenta la apertura de la hipérbola. Si la excentricidad es un número grande, los focos estarán cerca del centro y las ramas de la hipérbola serán casi rectas verticales. Si la excentricidad es un número cercano a 1(uno), los focos estarán lejos del centro y las ramas de la hipérbola serán más puntiagudas. Propiedad reflectora de la hipérbola La hipérbola tiene una propiedad de reflexión similar a la de la elipse: En cualquier punto P de la hipérbola, la recta tangente forma ángulos iguales

con los segmentos PF y FP que

unen el punto con los focos: ˆˆ =


Si un foco luminoso F’ emite luz y ésta se refleja en la parte derecha de la hipérbola, los rayos de luz reflejados parecerán provenir todos de F.


12

Parábola Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen con la condición de equidistar de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo, del mismo plano, llamado foco, tal que el foco no pertenezca a la directriz. Es decir:

Elementos característicos

),(),( DVdFVdp ==

Parábola vertical Elementos característicos:

pl

xxEje

pyyD

pyxF

yxV

4

:

:

),(

),(

0

0

00

00

=

=

−=

+

:recto Lado

Cuya ecuación es:

),(),(/),( FPdDPdyxPP ==

)(4)( 0

2

0 yypxx −=−


13

Ejemplo

Dada la ecuación: )1(4)2( 2 +=− yx Tenemos:

41.4

2:

211:

)0,2()11,2(

144

)1,2(

==

=

−=−−=

=+−

==

−

l

xE

yyD

FF

pp

V

Parábola horizontal Elementos característicos:

pl

yyEje

pxxD

ypxF

yxV

4

:

:

),(

),(

0

0

00

00

=

=

−=

+

:recto Lado

Cuya ecuación es:

)(4)( 0

2

0 xxpyy −=−


14

Ejemplo

Dada la ecuación: )1(8)3( 2 −−=+ xy Tenemos:

8)2.(4

3:

3)2(1:

)3,1()3,21(

284

)3,1(

=−=

−=

=−−=

−−=−−

−=−=

−

l

yE

xxD

FF

pp

V

Propiedad reflectora de la Parábola En cualquier punto P de la parábola, la recta tangente forma ángulos iguales con

el segmento PF que une el punto con el foco y con la recta que pasa por el punto

y es paralela al eje de la parábola: ˆˆ =


Ejemplo de esto son los reflectores parabólicos, que concentran en el foco todos los rayos incidentes paralelos a su eje. Recíprocamente los rayos que salen del foco de un reflector parabólico usado como flash salen todos paralelos entre si.

Toda onda sonora o lumínica proveniente del foco de una parábola se refleja paralela a su eje de simetría. Inversamente, la onda proveniente de una fuente lejana y que es paralela al eje de simetría de una parábola, al reflejarse se concentra en el origen.


15

Problema de aplicación de la parábola

El puente de Golden Gate enmarca la entrada a la Bahía de San Francisco. Sus torres de 746 pies de altura están separadas por una distancia de 4200 pies. El puente está suspendido de dos grandes cables que forman una parábola y tocan la calzada en el centro del puente. Bajo su estructura, deja 220 pies de altura para el paso de los barcos a través de la bahía.

Se quiere encontrar la altura de los cables a una distancia de 1000 pies del centro del puente. Para ello, en primer lugar realizamos una figura de análisis:

tenemos que:

VerticalP.

)0,0(V pyx 42 =

P )526,2100(P )526(4)2100( 2 p= 526

44100004 =p Por lo tanto la ecuación de la

parábola es: yx

=

526

44100002 .

Si 1000=x y

=

526

4410000)1000( 2 27,119

4410000

526)1000000(

=y

Es decir, la altura de los cables a 1000 pies del centro es aproximadamente de 119,27 pies.


16

Ecuación general de segundo grado

Toda sección cónica puede describirse como intersección de un plano y un cono de doble hoja. Dicho plano no puede pasar por el vértice del cono, pues en ese caso la figura resultante sería una sección cónica degenerada.

Secciones cónicas Secciones cónicas degeneradas

Veremos que la ecuación general de segundo grado: 022 =+++++ feydxcybxyax

puede representar una cónica de acuerdo a el valor del discriminante de la ecuación, que

es el número: acb 42 −= . Éste discrimina el carácter de la cónica de la siguiente manera:

• Si 042 −= acb la ecuación es de tipo elíptico y su gráfica puede ser una elipse,

una circunferencia o un punto.

• Si 042 =−= acb la ecuación es de tipo parabólico y su gráfica puede ser una

parábola o una recta.

• Si 042 −= acb la ecuación es de tipo hiperbólico y su gráfica puede ser una

hipérbola o dos rectas.

Para las cónicas con ejes paralelos a los ejes coordenados (que son las que nosotros estudiamos) se tiene: 0=b .


17

Ejemplos

Vamos a analizar qué tipo de cónica representa la ecuación: 012622 =++−+ yxyx .

Tenemos: 12,6,1,0,1 ==−==== fedcba y , por lo tanto,

011442 −=−= xxacb ; entonces, representa una cónica tipo elíptica.

¿Cuál es la grafica de dicha cónica?

Vamos a necesitar expresar la ecuación general dada en su forma canónica, para ello utilizaremos el procedimiento de “completar cuadrados”:

En primer lugar, se asocian los términos en x y en y : 1)2()6( 22 −=++− yyxx

Luego se completan trinomios cuadrados perfectos; para ello tomamos la mitad del coeficiente de x (lo mismo para y) y lo elevamos al cuadrado; luego, los sumamos a

ambos lados de la ecuación: 222222 131)12()36( ++−=++++− yyxx

Finalmente, se factoriza: 9)1()3( 22 =++− yx y a partir de esta expresión concluimos

que la ecuación dada representa una circunferencia de centro en )1,3( −C y radio 3=r

cuya gráfica es:

Ahora, veremos que cónica representa la ecuación: 0322 =−−+ yxx

Tenemos: 31,2,0,0,1 −=−===== fedcba y , por lo tanto:

001442 =−=−= xxacb ;entonces, representa una cónica tipo parabólica.

Pasamos la ecuación a la forma canónica completando cuadrados:

Como en este caso el coeficiente de 2y es cero, tendremos una parábola vertical, por lo

tanto, es conveniente despejar y : 322 −+= xxy .

Agrupamos los términos en x : 3)2( 2 −+= xxy

Completamos el trinomio cuadrado perfecto: 222 13)12( −−++= xxy

Y factorizamos: 4)1( 2 −+= xy , resulta entonces: 4)1( 2 +=+ yx


18

Tenemos:

141.4

1:

417414:

)415,1()414,1(

4114

)4,1(

==

−=

−=−−=

−−=+−−

==

−−

l

xE

yyD

FF

pp

V

Por último, analizaremos la ecuación: 09864 22 =+−−+ yxyx

Tenemos: 98,6,4,0,1 =−=−==== fedcba y , por lo tanto:

041442 −=−= xxacb ;entonces, representa una cónica tipo elíptica.

Pasamos la ecuación a la forma canónica completando cuadrados:

Asociamos los términos en x y en y : 9)84()6( 22 −=−+− yyxx

Sacamos factor común en los términos en y : 9)2(4)6( 22 −=−+− yyxx

Completamos los trinomios: )1(439)12(4)36( 222222 ++−=+−++− yyxx

Factorizamos: 4)1(4)3( 22 =−+− yx

Resulta, entonces la elipse horizontal: 11

)1(

4

)3( 22

=−

+− yx

Tenemos:

3314

21

44

)1,3(

22

2

==−=−=

===

===

cbc

b

C

2

me

ma

2

a

E 1b

E 2a a

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

12

12

1,33)1,33

1,5)1,1123)1,23

=

=

+−

−+−

l

FF

VVVV


19

Curvas Planas dadas en ecuaciones paramétricas Ya hemos visto que, si un lugar geométrico tiene una representación analítica, tal representación puede expresarse usualmente por una única ecuación que contiene dos variables, por ejemplo, si la curva es la gráfica de una función, la expresamos analíticamente como )(xfy = . Veremos ahora la representación analítica de una curva

por medio de un par de ecuaciones en las cuales cada una de las variables está expresada en función de una tercera variable llamada parámetro. Definición: Se llaman ecuaciones paramétricas de una curva a las ecuaciones que dan los valores de las coordenadas de un punto del plano (x, y) de la curva en función de un único parámetro t que pertenece a un intervalo I de números reales.

=

=

)(

)(

tgy

tfx It

Ejemplo Vamos a graficar la curva dada por las ecuaciones paramétricas

=

−=

2

44 2

ty

tx con 21 − t

Con valores de t en el intervalo dado podemos construir una tabla de valores y así obtener algunos puntos (x,y) del plano correspondientes a la gráfica de la curva. Luego, unimos los puntos y obtenemos la gráfica.

Una curva plana admite infinitas parametrizaciones. Por ejemplo:

−=

−=

4 2

ty

tx con 24 − t

es también una parametrización posible para el ejemplo dado. Si realizamos la correspondiente tabla de valores tenemos:

t -4 -3 -2 -1 0 1 2

x -12 -5 0 3 4 3 0

y 4 3 2 1 0 -1 -2

t -1 -1/2 0 1 2

x 0 3 4 0 -12

y -2 -1 0 2 4


20

Gráficamente obtenemos:

que resulta igual a la gráfica anterior. Por otro lado, usando el criterio de la recta vertical podemos ver que la gráfica de esta curva no es la de una función, con lo cual vemos que las ecuaciones paramétricas pueden emplearse para representar gráficas más generales que las gráficas de funciones, como por ejemplo la gráfica de una circunferencia.

Parametrización de una curva Si bien existen muchas formas diferentes de parametrizar una curva, dependiendo de la forma de la ecuación, la manera natural de hacerlo es considerar x = t e y = f(t) como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Para parametrizar la curva dada por: xxy −= 3 consideramos:

−=

=

3 tty

tx t

realizamos la tabla eligiendo algunos valores del domino

t -2 -1 -1/2 0 ½ 1 2

x -2 -1 - ½ 0 ½ 1 2

y 6 0 3/8 0 -3/8 0 -6

Gráficamente:


21

Parametrización de las Cónicas

Parábola Ya hemos visto que la parábola vertical con vértice en el punto (x0 ,y0), es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican la ecuación:

)(4)( 0

2

0 yypxx −=−

por lo que es fácil comprobar que una parametrización para ella es:

+=

+=

p

tyy

txx

4

2

0

0

t

Para la parábola horizontal con vértice en el punto (x0 ,y0), que tiene ecuación canónica:

)(4)( 0

2

0 xxpyy −=− , una parametrización posible es:

+=

+=

4

0

2

0

tyy

p

txx

t

Ejemplo

La parábola ( ) )2(812

−−=− yx tendrá como ecuaciones paramétricas a:

−+=

+=

82

12t

y

tx t

Ya que es una parábola vertical con 4p = -8 y vértice en el punto (1,2). Su gráfica es:

Circunferencia, elipse e hipérbola

Como despejar una de las variables en las ecuaciones de estas cónicas no es tan inmediato como en el caso de la parábola, resulta más conveniente para ellas, parametrizarlas utilizando nociones de trigonometría.


22

Veremos, en primer lugar, que la parametrización:

( )( )

=

=

2

cos2

tseny

tx 20 t (1)

corresponde a una circunferencia de centro en el origen y radio r = 2. Para ello, comenzamos despejando cos t y sen t de las ecuaciones dadas:

2 cos

xt = y

2

ytsen =

Luego, elevando, en cada ecuación, cada miembro al cuadrado, nos queda: 2

2

2cos

=

xt y

2

2

2

=

ytsen

Remplazando en la identidad trigonométrica 1cos 22 =+ tsent obtenemos:

1cos 22 =+ tsent 122

22

=

+

yx, es decir:

122 2

2

2

2

=+yx

122

22

=+ yx

222 2=+ yx

Que es la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 2. Si armamos la tabla de valores correspondiente a las ecuaciones (1) podemos generar su gráfica:

t 0 4

2

43

23 2

x 2 2 0 - 2 -2 0 2

y 0 2 2 2 0 -2 0

Nota: al trabajar con razones trigonométricas el parámetro t es un ángulo, en este caso menor o igual a un giro. Es conveniente, en general, trabajar en radianes.


23

De manera análoga se pueden dar parametrizaciones para cualquier circunferencia con

centro ),( 00 yx y radio r; como así también para las elipses e hipérbolas.

Presentaremos a continuación cada una de éstas cónicas con sus correspondientes ecuaciones canónicas y paramétricas:

- Circunferencia de centro ),( 00 yx y radio r

Ecuación canónica Ecuaciones paramétricas

22

0

2

0 )()( ryyxx =−+−

+=

+=

sentryy

trxx

.

cos.

0

0, 0 ≤ t ≤ 2.

- Elipse de centro ),( 00 yx , longitud del semieje mayor a y longitud del semieje

menor b


1)()(

2

2

0

2

2

0 =−

+−

b

yy

a

xx

+=

+=

sentbyy

taxx

.

cos.

0

0, 0 ≤ t ≤ 2.

1)()(

2

2

0

2

2

0 =−

+−

a

yy

b

xx

+=

+=

sentayy

tbxx

.

cos.

0

0, 0 ≤ t ≤ 2.

- Hipérbola de centro ),( 00 yx , longitud del semieje real a y longitud del semieje

imaginario b


1)()(

2

2

0

2

2

0 =−

−−

b

yy

a

xx

+=

+=

.

sec.

0

0

tgtbyy

taxx t (-/2, /2)( /2, 3/2) (*)

1)()(

2

2

0

2

2

0 =−

−−

b

xx

a

yy

+=

+=

tayy

tgtbxx

sec.

.

0

0, t (-/2, /2)( /2, 3/2) (**)

(*) los valores de t en el intervalo (2

,2

− ) generan la rama derecha y los valores de t en

el intervalo (

2

3,

2) generan la rama izquierda de la hipérbola.

(**) los valores de t en el intervalo (2

,2

− ) generan la rama superior y los valores de t en

el intervalo (

2

3,

2) generan la rama inferior de la hipérbola.


24

Trabajo Práctico

Circunferencia-elipse 1) Hallar la ecuación de la circunferencia que cumpla con cada una de las condiciones

a) su radio es 7 y centro en el origen de coordenadas. b) pasa por el punto (5,5) y centro en el origen de coordenadas. c) tiene centro (2,3) y radio 2. d) pasa por los puntos A = (1, 2), B = (3, 4) y tiene radio r = 5. e) centro en el punto (-1,-3) y es tangente a la recta que une A = (-2,4) y B = ( 2,1).

2) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (7,-5) y cuyo centro es el

punto de intersección entre la recta 02423: =−− yxT y la recta 0972: =++ yxS .

3) a) Para cada una de las siguientes elipses determinar centro, vértice, focos, excentricidad

y lado recto. b) Graficar:

i) 1121169

22

=+yx

ii) 194

22

=+yx

iii) ( ) ( )

14

1

9

322

=+

+− yx

4) Hallar en cada caso, la ecuación de la elipse:

a) Centrada en el origen, con un foco en el punto (0,-2) y un vértice en el punto (0,-3). b) Con focos en los puntos (-1,0) y (1,0); semieje menor igual a 2. c) El centro en el punto A = (-2,-1), uno de sus vértices es el punto B = (3,-1) y la longitud

de cada lado recto es 4.

5) Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el punto (3,-1), que es tangente a la recta 01=−y y al eje de ordenadas.

6) El arco de una cubierta es semicircular y tiene una luz de 16m. Graficar ubicando los ejes

coordenados y calcular: a) la altura de la cubierta a 1m del centro. b) la altura de la cubierta a 2m de los extremos.

7) La altura de un arco semicircular medida a un metro de su extremo es de 7m. Determinar

su altura máxima. 8) Un arco tiene la forma de semielipse con luz de 150m, siendo su máxima altura de 45m.

Hallar la longitud de dos soportes verticales situados a 50m de los extremos del arco. 9) El ojo de un puente para el paso inferior de una carretera de dos carriles tiene forma

aproximada de media elipse. El arco elíptico tiene un ancho total de 18m y la altura en el centro es de 6m. a) Determinar la ecuación de la elipse que aproximadamente describe este puente. b) Las orillas de los carriles están señaladas por líneas a 3m de los bordes del arco.

¿Cuál es la altura sobre estas líneas?


25

10) Un salón está construido sobre una base elíptica plana y su cubierta se obtiene rotando la semielipse 180º alrededor de su eje mayor (cámara susurrante). Si la altura máxima del salón es de 16pies y la longitud es de 40pies, hallar la ubicación del susurro y el puesto donde se escucha.

Hipérbola – Parábola 11) Hallar centro, focos, vértices, excentricidad, lado recto y ecuación de las asíntotas de cada una de las siguientes hipérbolas. Graficar:

a) 1925

22

=−yx

b) 1169

22

=−xy

c) ( )

( ) 1316

1 22

=+−+

yx

12) Encontrar la ecuación de la hipérbola que cumpla con las condiciones dadas en cada uno de los siguientes casos:

a) focos en )0,6( y vértices en )0,4( .

b) centro en (-2,3), b = 3, distancia del centro a cada foco c = 4 y eje real vertical. c) vértices en )0,1( y asíntotas xy 5= .

d) vértices en (-2,2) y (-2,-4) y la longitud de sus lados rectos es 2. 13) Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (4,6), tiene el eje real paralelo al eje X y sus asíntotas son las recta 032 =−+ yx y 012 =−− yx .

14) En la estructura hiperbólica de la figura, calcular las alturas a 3m y 6m de los extremos. 15) Para cada una de las siguientes parábolas, hallar: vértice, directriz, foco y lado recto. Luego Graficar.

a) 2

20

1xy −= b) xy 62 = c) ( ) ( )441

2+=− yx

16) Hallar la ecuación de la parábola que cumple las condiciones enunciadas en cada inciso:

a) vértice V = ( 0, 0) y directriz la recta D : y – 5 = 0. b) vértice V = ( 2, 1), eje paralelo al eje X y que pasa por el punto ( -2, 4). c) foco F = (-3/4,1) y directriz la recta D : x = 3/4. d) pasa por los puntos (4,-2), (0,0), (3,-3) y tiene eje vertical.


26

17) Con los datos de la figura, obtener la ecuación de cada una de las parábolas dibujadas: 18) Hallar las ecuaciones de las parábolas de foco F = (-2,3) y lado recto el segmento determinado por los puntos P = (-2,2) y Q = (-2,4). Graficar. 19) El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60m y está separados 500m, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10m sobre la calzada del puente. Tomando como el eje X la horizontal que define el puente y como eje Y el de simetría de la parábola, hallar la ecuación de ésta. Calcular la altura de un punto situado a 80m del centro del puente. Realizar figura de análisis.

20) El ancho máximo de una zanja en forma parabólica es de 6,5m. Sabiendo que su máxima profundidad es de 2m, determinar:

a) La ecuación de la parábola que se ajusta al problema. Realizar gráfico de análisis. b) A cuantos metros de los extremos la profundidad de la zanja es de 1,20m.

21) Un faro reflector parabólico tiene un ancho de 10 pulgadas y tiene 6 pulgadas de profundidad; sabiendo que el filamento del bulbo debe ubicarse en el foco de la parábola, determinar a que distancia del vértice quedará.

Ecuación general de segundo grado 22) En cada una de las siguientes ecuaciones analizar qué lugar geométrico representa, hallar sus elementos y graficar:

a) 0110301055 22 =−−−+ yxyx

b) 061224 22 =+−++ yxyx

c) 0306248446 22 =++−− yxyx

d) 0661852 =+−+ xyx

e) 07130834 22 =+−−+− yxyx

23) Dados los puntos A = (-1,3), B = (2,3), C = (-1/2,1);

a) Escribir la ecuación de la recta T que pasa por A y C. Indicar su ángulo de inclinación. b) Escribir la ecuación de la recta S que pasa por B y es perpendicular a T.


27

c) Escribir las ecuaciones de las rectas que pasan por B y son paralelas a los ejes coordenados.

d) Escribir la ecuación de la elipse cuyo eje menor coincide con el segmento AB y el eje mayor es de longitud 7. e) Graficar las rectas y la elipse de los incisos anteriores.

24) Hallar la ecuación de la elipse inscripta en la circunferencia ( ) ( ) 257422=−+− yx , con

semieje mayor vertical y distancia entre sus focos igual a 6.

25) Dada la siguiente hipérbola: 016162045 22 =−+−− yxyx

a) Determinar su centro, sus focos, sus vértices y sus asíntotas. b) Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P = (2,5) y son paralelas a las rectas asíntotas de la hipérbola. c) Graficar la hipérbola y las rectas.

26) Dada la siguiente ecuación: 0366422 =−+−+ yxyx

a) Reconocer el lugar geométrico. b) Encontrar analíticamente, si existe, los puntos de intersección con la recta

01743: =+− yxR .

c) Graficar. 27)

a) Hallar analíticamente la intersección entre los siguientes lugares geométricos. Identificar previamente que figura representa cada ecuación.

i) ;62 xy = 0623 =−+ yx

ii) ( ) ( ) 203422=−+− yx ; 0202 =−+ yx

iii) xxy −= 2 ; 23 xxy −=

b) Verificar gráficamente.

28) El túnel de ferrocarril que contiene a las vías, como muestra la figura, tiene forma elíptica. El eje mayor mide 8m y el menor 4m. ¿Cuál es la altura máxima del túnel, si su ancho al nivel del suelo es de 2,6m? 29) Cada uno de los arcos parabólicos de un puente de 5m de altura apoyan sobre pilares de 3m separados 12m uno de otro. Para hacer una reparación se necesitan colocar a 2m de cada pilar, columnas provisorias apoyadas en la base. ¿Cuál será la longitud de cada columna?


28

Ecuaciones paramétricas 30) Identificar cada cónica, dar sus ecuaciones paramétricas y graficar.

a) 1416

22

=+yx

b) 14

)1( 22 =

++

yx

c) 1)5( 22 =+− xy d) ( )

1416

2 22

=−− yx

e) 2)3()3( 22 =−++ yx f) 4)1( 22 =++ yx

g) xy =− 2)6( h) )3(12)2( 2 −−=− xy

31) Identificar y graficar cada par de curvas en un mismo sistema de ejes cartesianos.

a)

+=

−−=

24

12

ty

tx y

+=

+−=

2

1

ty

tx

b) ( )

( )

+−=

+−=

21

cos41

tseny

txy

−−=

+−=

31

21

ty

tx

c) ( )

( )

+=

+=

22

cos22

tseny

txy

−=

+=

6

2

22t

y

tx

d)

=

−=

2

ty

tx 27 − t y

+=

+−=

2

2

ty

tx

32) Modelizar la puerta de las caballerizas de la finca Güell, construida por el Arq. Antonio Gaudí en Barcelona. Las medidas son las dadas en la imagen.

a) Realizar un esquema de análisis, identificando las curvas presentes.

Para la modelización estática: b) Ubicar los datos en un sistema de ejes

cartesianos. c) Escribir las ecuaciones cartesianas y

paramétricas de las curvas, hallando previamente los elementos particulares de cada una y los dominios de “t” para las ecuaciones paramétricas.

Para la modelización paramétrica: d) Definir parámetros y relaciones. e) Repetir el ítem “b” y “c” utilizando los

parámetros en lugar de los valores fijos. f) Modelizar paramétricamente utilizando Grasshopper.


29

Respuestas

1) a) 4922 =+ yx b) 5022 =+ yx c) ( ) ( ) 43222=−+− yx

d) ( ) ( ) 2539.639.122=−++ yx e) ( ) ( ) 2531

22=+++ yx

2) ( ) ( ) 53622=++− yx

3)

Excentricidad Centro Vértices Focos Lado recto

4 3 /13 (0,0) ( )0,13 ( )0,34 242/13

3/5 (0,0) (0, 3 ) ( )5,0 8/3

3/5 (3,-1) ( )1,33 − ( )1,53 − 8/3

4) a) 195

22

=+yx

b) 145

22

=+yx

c) 110

)1(

25

)2( 22

=+

++ yx

5) 14

)1(

9

)3( 22

=+

+− yx

6) a) altura = 63 b) altura = 28

7) Altura máxima = 25m 8) 42.43m

9) a) 13681

22

=+yx

b) 4.47m

10) a 12 pies del centro sobre el eje mayor, hacia un lado u otro indistintamente.

11)

Centro Focos Vértices Excentricid. Asíntotas Lado recto

(0,0) ( )0,34 ( )0,5 5/34 xy5

3=

18/5

(0,0) ( )5,0 ( )3,0 5/3 xy

4

3=

32/3

(-1,-3) ( )3,171 −− ( )3,41 −− 4/17 ( )14

13 +=+ xy

1/2

12) a) 12016

22

=−yx

b) ( ) ( )

17

2

9

322

=+

−− xy

c) 125

22 =−

yx d)

( ) ( )1

3

2

9

122

=+

−+ xy


30

13) ( ) ( ) 1111.422=−−− yx

14) A los 3 metros: m21 ; A los 6 metros : m12

15)

Vértice Directriz Foco Lado recto

(0,0) Y = 5 (0,-5) 20

(0,0) X = -3/2 (3/2,0) 6

(1,-4) Y = -5 (1,-3) 4

16) a) yx 202 −= b) ( ) )2(4

91

2−−=− xy c) ( ) xy 31

2−=− d)

+=

−

8

252

2

52

yx

17) xyP3

4: 2

1 = xyP 16: 2

2 −=

18) ( )

+−=−

2

323:

2

1 xyP ( )

+=−

2

523:

2

2 xyP

19) a) ( )10.12502 −= yx b) altura = 15,12m

20) a) )2)(28125,5(2 += yx . Fijando el eje x al nivel de la superficie y el eje y coincidente con el

eje de simetría de la parábola. b) Aproximadamente a 1,20m de los extremos. 21) 1,04 pulgadas 22)

Cónica Elementos

a) Circunferencia C = (1,3) r = 32

b) Elipse C = (-1,3/2) V = (-1 2,3/2) 2.a = 4

F = ( )2/3,31− 2.b = 2 lado recto = 1

c) Hipérbola C = (7,3) V = ( )123,7 2.a = 2. 12

F = ( )203,7 2.b = 2 8 l.recto = 3

124

d) Parábola ( E // Y ) V = (9,3) F = ( 9, 7/4) E : x = 9 D : y = 17/4 lado recto = 5

e) Cónica degenerada Dos rectas que se cortan en ( -1, 5)

23) a) 14: −−= xyT b) 2

5

4

1: += xyS c) x = 2, y = 3 d)

( )1

49

34

9

2

14 2

2

=−

+

−

yx


31

24) ( ) ( )

125

7

16

4:

22

=−

+− yx

E

25) a) ( ) ( )

15

2

4

222

=−

−− yx

C = (2,2) V = ( )2,22 F = ( )2,32 ( )22

52: −= xyA

b) ( )22

55 −= xy

26) a) El lugar geométrico es una circunferencia. b) (-11/5, 13/5). 27) a) Parábola – recta Puntos de intersección = (2/3,2) y (6, -6) b) Circunferencia – recta Punto de intersección = (6, 7) c) Parábola – Parábola Puntos de intersección = ( 0, 0 ) y ( 2, 2) 28) 3,89 metros. 29) 5,70 metros.

GEOMETRÍA EN EL PLANO CÓNICAS · CÓNICAS En Taller de Matemática hemos presentado las distintas...

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