Tema 02. Flujo de Gases

Universidad de OviedoÁrea de Mecánica de Fluidos

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Instalaciones de Fluidos

5º Curso - EPSIG

2Instalaciones de Fluidos

5º Curso - EPSIGUniversidad de Oviedo

Área de Mecánica de Fluidos

TEMA 2: Flujo de Gases.

ÍNDICE:

2.1. Características especiales del flujo de gases.

2.2. Conceptos clave:

Número de Mach.

Gas perfecto.

Proceso isentrópico.

Velocidad del sonido.

2.3. Flujo de gas estacionario adiabático e isentrópico.

2.4. Flujo de gas isentrópico con cambios de área.

2.5. La onda de choque normal.

2.6. Operación con toberas convergentes y divergentes.

2.7. Flujo de gases en conductos con fricción.





ÍNDICE:



Número de Mach.

Gas perfecto.












•Si un fluido se mueve a velocidades comparables a las del sonido, las variaciones de densidad son importantes y el flujo se denomina compresible.

•Son flujos difíciles de obtener en líquidos, pero bastante habituales en gases, por lo que el estudio del flujo sónico se suele denominar dinámica de gases oflujo de gases.

•Los dos efectos más importantes del flujo de gases compresibles, son:

El bloqueo, que limita fuertemente el flujo en conductos cuando se dan condiciones sónicas.

Las ondas de choque, que son cambios casi discontinuos en las propiedades de los flujos supersónicos.





ÍNDICE:



Número de Mach.

Gas perfecto.











2.2. Conceptos clave. Número de Mach.

• Es el parámetro dominante en el análisis de los flujos compresibles:

Ma vc

=v velocidad del flujo

c velocidad del sonido en el fluido

• Se distingue entre los siguientes regímenes de flujo en función de Ma:

Ma<0.3 flujo incompresible.

0.3<Ma<0.8 flujo subsónico, efectos de la densidad importantes, no aparecen ondas de choque.

0.8<Ma<1.2 flujo transónico, aparecen ondas de choque que separan regiones subsónicas y supersónicas dentro del flujo.

1.2<Ma<3 flujo supersónico, aparecen ondas de choque pero sin regiones subsónicas.

Ma>3 flujo hipersónico, con ondas de choque muy fuertes.




2.2. Conceptos clave. Gas Perfecto.

•La mayor parte de los análisis experimentales con flujos compresibles se limitan a gases perfectos con calores específicos constantes:

p RTρ= ctep vR C C= − = ctep

v

CC

γ = =

•Las relaciones de energía interna y entalpía de un gas perfecto con calores específicos constantes son:

( )( )

2 1 2 1

2 1 2 1

ˆ ˆ v

p

u u C T T

h h C T T

− = −

− = −•Para el aire, se tienen los siguientes valores:

( )( )

2 2aire

aire

8314 J/kmol K287 m /

28.97)R

R s KM= ⋅

= ==

1.4γ =

2 21005 m /pC s K= 2 2718 m /vC s K=




2.2. Conceptos clave. Proceso isentrópico.

•La aproximación de flujo isentrópico es muy habitual en la teoría de flujo compresible.

•Las variaciones de entropía se calculan a partir de la 1ª y 2ª Ley de la Termodinámica:

dpTds dhρ

= − pdh C dT=

2 2 2 22 1

1 1 1 1

ln ln ln lnp vT p Ts s C R C RT p T

ρρ

− = − = −

•Para flujo isentrópico, la entropía no varía y así:

( )/ 1

2 2 2

1 1 1

p Tp T

γ γ γρρ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠




2.2. Conceptos clave. Velocidad del sonido.

•Es la velocidad de propagación de un pulso infinitesimal de presión a través de un fluido en reposo, y es una propiedad termodinámica del fluido:

2 pcρ

∂=

∂•Puesto que se trata de un proceso adiabático (no hay gradientes de temperatura excepto en el interior de la onda de presión), para cualquier fluido, líquido o gas, se tiene:

1/ 2 1/ 2

s T

p pc γρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

•Para un gas perfecto:

( )1/ 2

1/ 2pc RTγ γρ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

•Valores típicos son: caire=340 m/s y cagua=1490 m/s.





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Número de Mach.

Gas perfecto.












•Las aproximaciones de flujo isentrópico y/o adiabático, simplifican el cálculo del flujo compresible.

•Consideremos el flujo de un gas a altas velocidades cerca de una pared aislada. Como no hay trabajo de partes móviles:

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2 vh v gz h v gz q W+ + = + + − +

Se desprecian los términos de energía potencial, y fuera de la capa límite la transferencia de calor y el trabajo de los esfuerzos viscosos son nulos. Así, en la corriente exterior se cumple que:

2 21 1 2 2 0

1 1 cte2 2

h v h v h+ = + = =

•La ecuación es válida para flujo estacionario adiabático de cualquier fluido compresible fuera de la capa límite.

•La constante h0 es la entalpía de remanso máxima entalpía que puede alcanzar el fluido cuando se le lleva al reposo adiabáticamente.





•En gases perfectos ph C T= 2102p pC T v C T+ = donde T0 es la

temperatura de remanso.

•Adimensionalizando con la velocidad del sonido, aparece como parámetro el número de Mach:

20 11 Ma2

TT

γ −= +

1/ 2 1/ 220 0 11 Ma

2c Tc T

γ −⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

•Si además de adiabático, el flujo es isentrópico:

( ) ( )/ 1 / 120 0 11 Ma

2p Tp T

γ γ γ γγ− −−⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠( ) ( )1/ 1 1/ 1

20 0 11 Ma2

TT

γ γρ γρ

− −−⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠





•Las magnitudes de remanso (c0, T0, p0, ρ0) son referencias útiles en flujo compresible, pero también lo son las condiciones sónicas o críticas (Ma=1), que se relacionan con las magnitudes de remanso mediante:

( )/ 1

0

* 2 0.52831

pp

γ γ

γ

−⎛ ⎞

= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )1/ 1

0

* 2 0.63391

γρρ γ

−⎛ ⎞

= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

0

* 2 0.83331

TT γ

= =+

1/ 2

0

* 2 0.91291

cc γ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

•En flujo isentrópico condiciones críticas constantes.

•En flujo adiabático no isentrópico c* y T* ctes, ρ* y p* variables.

•Velocidad crítica igual a la velocidad del sonido c*:

( )1/ 2

1/ 20

2* * *1

v c RT RTγγγ

⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟+⎝ ⎠

•Para γ =1.4 se obtienen las siguientes relaciones numéricas:

20 1 0.2MaTT

= + ( )3.520 1 0.2Mapp

= + ( )2.520 1 0.2Maρρ

= +





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Número de Mach.

Gas perfecto.












•Combinando las relaciones de flujo isentrópico y/o adiabático con la ec. de continuidad, se pueden estudiar problemas prácticos de flujos compresibles si se emplea la aproximación de flujo unidimensional.

•Para flujos estacionarios 1D:

0d dv dAv A

ρρ

+ + =

0dp vdvρ

+ =

2dp c dρ=

2 2

1Ma 1

dv dA dpv A vρ

= = −−

•Relaciona las variaciones de velocidad y de área en flujo isentrópico en conductos.

•Pone de manifiesto que: las variacionesde las propiedades cambian de signo al pasar de flujo subsónico a supersónico.





Hay cuatro combinaciones posibles de variaciones de área y de número de Mach:

Conducto divergente:

Subsónico.

Supersónico.

Conducto convergente:

Subsónico.

Supersónico.

En el punto sónico:





•La ec. de continuidad puede convertirse en una expresión que relacione los cambios de área con el número de Mach:

( )( )

( )( ) ( )1/ 2 1 / 1212

12

1 1 Ma1* Ma 1AA

γ γγγ

+ −⎡ ⎤+ −

= ⎢ ⎥+⎣ ⎦para γ = 1.4 ( )321 0.2Ma1

* Ma 1.728AA

+=

•Para condiciones de remanso dadas, el gasto másico máximo que puede atravesar un conducto se obtiene cuando en la garganta se dan condiciones sónicas: el conducto está bloqueado:

( )( ) ( )

( )1/ 2 1 / 1

1/ 21/ 2max 0 0

2* * * *1

m A v A RTγ γ

ρ γ ργ

+ −⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟+⎝ ⎠&

para γ=1.4 ( )

( )1/ 2

max 0 0 1/ 20

0.6847 *0.6847 * Am A RTRT

ρ= =&

•El gasto másico real se calcula como( )2 / 1 /

0 0

2FGM 11

p pp p

γ γ γγ

γ

−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦





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Número de Mach.

Gas perfecto.












•La onda de choque normal es un fenómeno común en los flujos supersónicos, por lo general son muy estrechas y aproximan un cambio discontinuo en las propiedades del fluido.

•Los cambios en las propiedades del fluido se calculan empleando relaciones de flujo estacionario 1D:

1 1 2 2 ctev vρ ρ= = 2 21 2 2 2 1 1p p v vρ ρ− = − 2 21 1

1 1 2 2 02 2 cteh v h v h+ = + = =1 2

1 1 2 2

; ; ctepp p h C TT T

γρ ρ

= = =

•Las áreas se cancelan (A1≈A2) como consecuencia del pequeño espesor de la onda de choque.

•Las relaciones que gobiernan el comportamiento de la onda de choque normal son las relaciones de Rankine-Hugoniot:

( )2 1 2 11 2

1 1 12

h h p pρ ρ

⎛ ⎞− = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠





•Introduciendo las ec. de los gases perfectos: 2 2 1

1 2 1

1 / 1; / 1

p pp p

ρ β γβρ β γ

+ += =

+ −

•El cambio en la entropía a través del choque es:2 1 2 1

1 2

lnV

s s pC p

γρρ

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

¡¡Una onda de choque por rarefacción es imposible en un gas perfecto!!

•Para un gas perfecto, los cocientes entre las propiedades dependen del nº de Mach aguas arriba:

( ) ( )2

22 1 11

1 1

21 11 2 Ma 11 1

p vp p

ρ γ γ γγ γ

⎡ ⎤⎡ ⎤= − − = − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦+ +⎣ ⎦

El nº de Mach del flujo aguas arriba debe ser supersónico





•Reescribiendo la ec. de cantidad de movimiento, se obtiene el nº de Mach aguas abajo del flujo:

( )( )

22122 1

22 21 2 1

1 Ma 21 Ma Ma1 Ma 2 Ma 1

pp

γγγ γ γ

− ++= ⇒ =

+ − −

•Puesto que aguas arriba el nº de Mach debe ser supersónico, aguas abajo el nºde Mach debe ser subsónico.

•Los cambios de las propiedades en función del nº de Mach, son:

( )( )

212 1

21 1 2

1 Ma1 Ma 2

vv

γρρ γ

+= =

− +( ) ( )

( )

2122

1 2 21 1

2 Ma 12 1 Ma

1 MaTT

γ γγ

γ

− −⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ +

( )( )

( ) ( )( )

( )/ 1 1/ 12102 02

2 201 01 1 1

1 Ma 12 1 Ma 2 Ma 1

pp

γ γ γγ γρ

ρ γ γ γ

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +

= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )( )

( )( ) ( )1/ 2 1 / 12*12 2

* 21 1 2

2 1 MaMaMa 2 1 Ma

AA

γ γγγ

+ −⎡ ⎤+ −

= ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

A* área de garganta crítica





•Principios básicos:

Flujo aguas arriba supersónico, flujo aguas abajo subsónico.

En gases perfectos son imposibles choques por rarefacción, sólo pueden existir choques por compresión.

La entropía se incrementa a través del choque: decrecen la presión y la densidad de estancamiento, aumenta el área efectiva de la garganta sónica.

Las ondas de choque débiles son prácticamente isentrópicas.





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Número de Mach.

Gas perfecto.












•Tobera convergente:





•Tobera convergente – divergente:





ÍNDICE:



Número de Mach.

Gas perfecto.












•Hipótesis:

Flujo adiabático estacionario 1D.

Gas perfecto con Cp, CV constantes.

Conducto recto de sección constante.

Variación del trabajo sobre el eje y la energía potencial despreciables.

Tensiones de cizalladura correlacionadas por un factor de fricción.

LEYES DE CONSERVACIÓN:

0d dvv

ρρ

+ = 4 0wdxdp vdvD

τ ρ+ + =

0pC dT vdv+ =dp d dTp T

ρρ

= +





•Asumiendo que τw está correlacionado con el factor de fricción y empleando la definición del nº de Mach, se obtienen las siguientes relaciones:

( )( )

22

2

1 1 MaMa

2 1 Madp dxfp D

γγ

+ −= −

−

( )2

2

Ma2 1 Ma

d dx dvfD v

ρ γρ

= − = −−

20 0

0 0

1 Ma2

dp d dxfp D

ρ γρ

= = −

( )( )

4

2

1 Ma2 1 Ma

dT dxfT D

γ γ −= −

−

( )( )

22 12 2

2 2

1 1 MaMa MaMa 1 Mad dxf

Dγ

γ+ −

=−

El flujo subsónico y el supersónico tienen efectos opuestos.





•En función de las propiedades críticas o sónicas:

( )

1/ 2

2

1 1* Ma 2 1 Mapp

γγ

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

( ) 1/ 222 1 Ma1* * Ma 1

vv

γρρ γ

⎡ ⎤+ −= = ⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )2

*2 2

1* 2 1 MaT cT c

γγ

+= =

+ −

( ) ( )( ) ( )1/ 2 1 / 120 0

0 0

2 1 Ma1* * Ma 1pp

γ γγρ

ρ γ

+ −⎡ ⎤+ −

= = ⎢ ⎥+⎣ ⎦

• Para encontrar los cambios entre puntos no sónicos:

2 2

1 1

**

p p pp p p

= ⋅





ÍNDICE:



Número de Mach.

Gas perfecto.








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