TEMA 5 - Flujo Con Costo Minimo

TEMA 5: El problema del flujo con costo mnimo

Explotacin del Transporte Areo, 5 Ing. Aeronutico

Profesor: Jose M del Castillo Granados

1

Definicin del problema Definicin del problema: Una red compuesta por n nodos, a los que se asocia un valor ki que indica el nivel ofertado o demanda por el nodo i. Si ki>0, existe una oferta en el nodo i denominndose fuente u origen . Si ki= 0 que representa el flujo que circula por l y un coste unitario de transporte cij. El flujo est limitado por el limite inferior lij y el limite superior uij. Todos los nodos tienen que cumplir las leyes de conservacin de Kirchhoff.kj j i xij cij

j



2

Formulacin matemtica del problema. La formulacin matemtica del problema de flujo con costo mnimo queda como:n n ij ij

Minimizar s.a.

c xi !1 j !1

kD ( j )

x jk

i A ( j )

xij !k j

j ! 1, 2,..., n

lij e xij e uij

i, j ! 1, 2,..., n



3

Ejemplo:k1=1 1 0 k4=-3 4 1 3 3 k3=0 1 2 2 -2 6 5 k5=6 2 k2=-4

Minimizar s.a.

2 x12 3 x13 x14 2 x23 6 x35 x45 2 x52 x12 x13 x14 ! 1, x12 x23 x52 ! 4, x13 x23 x34 x35 ! 0, x14 x34 x45 ! 3, x35 x45 x52 ! 6, 0 e xij e g.



4

Propiedades del problema El problema puede reescribirse, en forma matricial, como: Minimizar cx

s.a. Ax = k l e xeuMatriz de incidencia, A=[aij], [aij]=ei-ej y ei es el vector unitario i-simo.



5

Propiedades del problema

Adicionando todas las filas de la matriz A se tiene que k ! 0 para que el problema tenga solucin, es decir las restricciones deben ser combinaciones lineales; y por consiguiente, el rango de la matriz A es como mximo rango (A) todos los arcos en la direccin del sentido en el ciclo incrementarn su flujo Anlogamente, los arcos orientados en sentido contrario vern decrementados los valores. El mximo incremento posible vendr limitado por el mnimo decremento en el ciclo que se denotar por I. Este mnimo decremento vendr determinado por el valor de la variable bsica ms pequea de entre los arcos orientados en sentido opuesto al definido en el ciclo. Esta variable bsica, con valor ms pequeo, se bloquear alcanzando el valor cero y dejando de ser bsica.

1 I

I

5 I

3 2

I

4



13

Algoritmo simplex para redes Para conocer, de entre todos los arcos no bsicos, aquel arco que entra en la base, se aplica el criterio de optimalidad del Simplex, que consistir en calcular todos los costos relativos no bsicos. Considerando como nuevo arco bsico aqul con costo relativo ms negativo.

Para calcular el costo relativo de un arco no bsico, se identifica el ciclo formado por el y otros arcos que sean bsicos; se le asocia un sentido que coincidir con la orientacin del arco no bsico. El costo relativo de dicho arco vendr definido por la diferencia entre su costo absoluto y la suma algebraica de los costos de los arcos bsicos del ciclo multiplicados por +1 si estn orientados en sentido contrario al ciclo I multiplicados por -1 si lo esta a favor. 5 1 Para el ciclo de la figura, se tiene: I

r34 ! c34 (c13 c15 c54 )

I

3 2

I

4



14

Ejemplo Obtener el flujo mximo con costo mnimo en la siguiente red, donde a cada arco se le asocia el costo absoluto unitario cij, a cada nodo su nivel de oferta/demanda ki y no existen restricciones de cota mxima para los flujos que circulan por cada arco.k1=1 1 0 k4=-3 4 2 3 3 k3=0 1 2 -2 6 5 k5=6 k2=-4

1

2

Una solucin bsica factible puede obtenerse definiendo un rbol tal como: Donde en cada arco se define el flujo que circula y que es factible ya que cumple las leyes de Kirchhoff en cada nodo.Explotacin del Transporte Areo, 5 Ing. Aeronutico

k1=1 1

1 3 3

1 3 3 k3=0 1

2 6 6 5

k2=-4

k4=-3

4

k5=6


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Ejemplo Los costos relativos de los arcos no bsicos sern:r14 ! c14 c34 c23 c12 ! 1 0 2 2 ! 3 r13 ! c13 c12 c23 ! 3 2 2 ! 1 r35 ! c35 c52 c23 ! 6 2 2 ! 6 r45 ! c45 c34 c23 c52 ! 1 0 2 2 ! 1

k1=1 1

1 3 3

1 3 3 k3=0 1

2 6 6 5

k2=-4

k4=-3

4

k5=6

Introduciendo el arco r14 en la base:r12 ! c12 c14 c34 c23 ! 2 1 0 2 ! 3 r13 ! c13 c14 c34 ! 3 1 0 ! 2 r35 ! c35 c52 c23 ! 6 2 2 ! 6 r45 ! c45 c34 c23 c52 ! 1 0 2 2 ! 1

k1=1 1

1 3 2

1 2 3 k3=0 1

2 6 6 5

k2=-4

k4=-3

4

k5=6

Habindose el ptimo.

alcanzadoProfesor: Jose M del Castillo Granados16


Obtencin de una solucin bsica factible inicial. Para la definicin del algoritmo Simplex para un problema de redes es imprescindible partir de una solucin bsica factible con la que iniciar el proceso de iteracin. La obtencin de esta solucin bsica factible puede realizarse haciendo uso de variables de holgura y resolviendo la Fase I del sistema de ecuaciones as obtenido. Para aplicar la Fase I al problema: Minimizar cx s.a. Ax = k, x>= 0



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Obtencin de una solucin bsica factible inicial. se ampla el sistema de ecuaciones de restricciones con variables de holgura [ ; dichas variables sern positivas en las ecuaciones donde k > O y negativas en las ecuaciones donde k < O , a fin de obtener una solucin bsica que sea factible para el problema primal. Por consiguiente, el problema a resolver ser: Fase I:Minimizar s.a. [ Ax [ = k, (x,[) >= 0

Su optimizacin definir una base inicial.



18

Ejemplo: Obtener el flujo mximo con costo mnimo en la red. k2=2 2 2 k1=4 1 -5 3 k3=-1 6 -1 3 4 4 k4=-5

donde a cada arco se le asocia el costo absoluto unitario cij, a cada nodo su nivel de oferta/demanda ki y no existen restricciones de cota mxima para los flujos que circulan por cada arco.



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Ejemplo: Obtener el flujo mximo con costo mnimo en la red. k2=2 2 2 k1=4 1 -5 3 k3=-1 6 -1 3 4 4 k4=-5

la matriz de incidencia nodo-arco es:

1, 2 1,3 2,3 2, 4 3, 2 3, 4 1 1 2 1 A! 3 0 4 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1



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Ejemplo: Obtener el flujo mximo con costo mnimo en la red.

Para la obtencin de una solucin bsica factible, se k =2 resuelve el problema en la Fase I: 22

2 k1=4 1 -5 3 k3=-1 6 -1

4 4 k4=-5 3

Minimizar s.a.

[ Ax s [ ! k ,

x, [ u 0donde Ax s [ ! k viene dada por: 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 4 0 1 0 0 2 x! 1 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0



21


La tabla de simplex es:k1=4 1

k2=2 2 2 6 -5 3 k3=-1 -1 3 4 4 k4=-5

x12

x13

x23

x24

x32

x34

[

[

[

[

k

1 -1x (-1)

1 0 -1 0 0

0 1 -1 0 0

0 1 0 -1 0

0 -1 1 0 0

0 0 1 -1 0

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 0 -1 0 1

0 0 0 -1 1

4 2 -1 -5

0 0 0



22


La tabla de simplex es:k1=4 1

k2=2 2 2 6 -5 3 k3=-1 -1 3 4 4 k4=-5

x12

x13

x23

x24

x32

x34

[

[

[

[

k

1 -1 0 0 0

1 0 1 0 0

0 1 1 0 0

0 1 0 1 0

0 -1 -1 0 0

0 0 -1 1 0

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

4 2 1 5



23

Ejemplo: Obtener el flujo mximo con costo mnimo en la red.k2=2 2 2 4 6 -5 3 k3=-1 -1 3 4 k4=-5

Aplicando Simplex se tiene:

k1=4

1

x12

x13

x23

x24

x32

x34

[

[

[

[

k

ki/aij

1 -1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 -2

0 1 1 0 0 -2

0 1 0 1 0 -2

0 -1 -1 0 0 2

0 0 -1 1 0 0

1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 1 0

4 2 1 5

4 1



24



k1=4

1

x12

x13

x23

x24

x32

x34

[

[

[

[

k

ki/aij

1 -1 0 0 0

0 0 1 0 0

-1 1 1 0 0

0 1 0 1 -2

1 -1 -1 0 0

1 0 -1 1 -2

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

-1 0 1 0 2

0 0 0 1 0

3 2 1 5 5 2



25



k1=4

1

x12

x13

x23

x24

x32

x34

[

[

[

[

k

ki/aij

1 -1 0 1 -2

0 0 1 0 0

-1 1 1 -1 2

0 1 0 0 0

1 -1 -1 1 -2

1 0 -1 1 -2

1 0 0 0 0

0 1 0 -1 2

-1 0 1 0 2

0 0 0 1 0

3 2 1 3

3

3



26



k1=4

1

x12

x13

x23

x24

x32

x34

[

[

[

[

k

ki/aij

1 0 0 0 0

0 0 1 0 0

-1 0 1 0 0

0 1 0 0 0

1 0 -1 0 0

1 1 -1 0 0

1 1 0 -1 2

0 1 0 -1 2

-1 -1 1 1 0

0 0 0 1 0

3 5 1 0

Se ha alcanzado el final de la fase I y la solucin bsica factible es: x12=3 x13=1 x24=5Explotacin del Transporte Areo, 5 Ing. Aeronutico Profesor: Jose M del Castillo Granados27

Ejemplo: Obtener el flujo mximo con costo mnimo en la red.k2=2 2 3 k1=4 1 1 3 k3=-1 Aplicando el criterio de optimalidad: r23=c23-(c13-c12)= -1-(-5-2)=7 r32=c32-(c12-c13)=6-(2+5)=-1 r34=c34-(-c13+c12+c24)=3-(--5+2+4)=-8 Introduciendo x34 en la base, se tiene: 5 4 k4=-5



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Ejemplo: Obtener el flujo mximo con costo mnimo en la red.Introduciendo x34 en la base, se tiene: k2=2 2 5-3=2 Aplicando el criterio de optimalidad: r12=c12-(c13+c34-c24)= 2-(-5+3-4)=8 r23=c23-(c24-c34)=-1-(4-3)=-2 r32=c32-(c34-c24)=6-(3-4)=7 Introduciendo x23 en la base, se tiene: r12=c12-(c13-c23)= 2-(-5+1)=6 r24=c24-(c23+c34)=-1-(-1+3)=2 r32=c32-(-c23)=6-(1)=5 Todos positivos ptimo k1=4 1 3 k3=-1 3 k1=4 1 3 k3=-1 k2=2 2 5-3=2 4 k4=-5 3 4 k4=-5

1+3=4

1+3=4



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