ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE INFORMÁTICA Y ELECTRÓNICA

ESCUELA DE TELECOMUNICACIONES Y REDES

INVESTIGACION OPERATIVA

TEMA:ÁRBOL DE COSTO MÍNIMO

OBJETIVOS GENERAL:• Investigar acerca del tema árbol de costo

mínimo y los algoritmos que pueden dar solución a este problema.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:•Conocer los conceptos básicos acerca de

grafos y del árbol de costo mínimo.•Diferenciar los algoritmos de árbol de costo

mínimo y ejemplos de cada uno, para tener una mejor comprensión del tema.

•Dar a conocer las aplicaciones que tienen el árbol de costo mínimo en nuestra vida diaria.

ÁRBOL DE COBERTURA MÍNIMO

•GRAFOS

Es una estructura que se puede representar gráficamente la cual permite interrelacionar elementos dentro de un sistema.

Está formado por un conjunto de elementos denominados nodos o vértices y un conjunto de aristas o arcos que permiten la unión entre vértices

• Notación

Los grafos suelen utilizar la notación:

G=(V,A)Donde:V es el conjunto de vértices A es el conjunto de aristas

• Utilidad

Los grafos sirven para representar de manera grafica a las relaciones entre un grupo de elementos comunes, por ejemplo:La distancia entre elementosRepresentar redes de computadoras

Tipos de grafos• Grafos dirigidos • Grafos no dirigidos

Grafos no dirigidos

•Son aquellos grafos cuyas aristas no tienen una dirección definida, en este caso podemos observar que la unión entre los vértices está dada únicamente por aristas en las cuales el flujo puede tomarse según nuestra facilidad para analizar el camino o recorrido que toma.

•Es lo mismo decir la arista A-B que la arista B-A, citando como caso particular.

ÁRBOLES

Definición

Es una estructura de datos que puede ser representada gráficamente, que está compuesta por dos conjuntos similares a los estudiados en grafos, es decir, presenta vértices y aristas.

Características

• Se distingue un único nodo en el cual inicia el árbol, el cual es llamado nodo raíz, éste nodo es padre de los nodos que le siguen y están conectados a él, y a su vez estos nodos son padres de los nodos que les siguen, así de forma sucesiva.

• Los nodos resultantes o de inferior rango se denominan nodos hijos.

• Los últimos nodos se denominan nodos hojas

•Los árboles poseen en cada nodo un nombre que lo identifica del resto y cada arista puede tener un valor representativo de algún tipo de magnitud.

•Esta forma de analizar los árboles, nos permite utilizarlos para diferentes fines, sin embargo son utilizados frecuentemente para representar estructuras jerárquicas.

Organigrama de una empresaEstructuras de redes

Clasificación

•Árboles dirigidos

• Árboles binarios• Árboles B• Árboles rojo negro

•Árboles no dirigidos

De forma análoga a los grafos no dirigidos, los arboles no dirigidos se caracterizan por no tener una dirección en sus aristas lo que permite que el flujo se lo realice en cualquier dirección.Esto implica que cualquier nodo puede asumir el rol de raiz

•Dado un grafo no dirigido, un árbol de cobertura mínimo de ese grafo es un subgrafo que tiene que ser un árbol y contener todos los vértices del grafo inicial.

•Cada arista tiene asignado un peso, que es un número representativo de algún objeto, distancia, etc.; y se usa para asignar un peso total al árbol de cobertura mínimo computando la suma de todos los pesos de las aristas del árbol en cuestión.

•Un árbol de cobertura mínima es un árbol recubridor que pesa menos o igual que otros árboles recubridores.

Problema árbol de cobertura mínima

•Este problema surge de la necesidad de encontrar dentro de un grafo no dirigido, un árbol que recorra todos los nodos del grafo, y cuya suma de los peso o valores de las aristas sea menor entre todos los arboles que se puedan formar en el grafo en cuestión.

•El árbol resultante es el llamado: “Árbol de cobertura mínima”

Ejemplo del problema

•Podemos encontrar dentro del grafo, el árbol de cobertura mínima, puesto que observamos que el numero de arboles que se pueden generar es significativo.

ALGORITMO DE PRIM•El algoritmo de Prim es un algoritmo

perteneciente a la teoría de los grafos para encontrar un árbol de cobertura mínimo dentro de un grafo no dirigido.

•En otras palabras, el algoritmo encuentra un subconjunto de aristas que forman un árbol con todos los vértices, donde el peso total de todas las aristas en el árbol es el mínimo posible.

Ejercicio:

• Primero elegimos un nodo que tomara la función de nodo raíz y lo señalamos

• Luego se encuentran las aristas que estén conectadas al nodo raíz

• De las aristas encontradas se procede a determinar cual es la que tiene menor peso y se la señala.

• En el caso de encontrarse con aristas que tengan el mismo peso se procede a seleccionar una de ellas de forma aleatoria.

• Se procede a marcar el nodo al cual se encuentra conectada la arista anteriormente seleccionada.

• Luego se vuelve a comparar los pesos entre los nodos relacionados, en este caso A-C, como los pesos son iguales se puede escoger cualquier arista.

• Se vuelve a marcar el nodo que resulto estar conectada a la arista y se repite de forma continua los mismos pasos asta tener un árbol que una todos los vértices.

• Finalmente podemos observar que todos los nodos están unidos, es decir, el árbol de cobertura mínimo para el nodo raíz A, esta dado por la siguiente figura:

ALGORITMO DE KRUSKAL•De igual forma el algoritmo de kruskal es

un algoritmo de la teoría de grafos, que es utilizado para encontrar el árbol de cobertura mínimo dentro de un grafo determinado.

•Es decir, busca un subconjunto de aristas que, formando un árbol, incluyen todos los vértices y donde el valor total de todas las aristas del árbol es el mínimo.

Ejercicio:• Se tiene un grafo inicial del

cual partimos:

• Primero procedemos a determinar de entre todos las aristas, cuál es la arista que tiene el menor peso y la seleccionamos

• Procedemos a señalar la arista y los vértices que une tomando en cuenta lo explicado anteriormente.

• Realizamos el mismo procedimiento, encontramos el valor menor de los pesos y marcamos los vértices que una dicha arista.

• Se debe tomar en cuenta que lo que se desea es encontrar un árbol, es decir, que no deben existir recorridos cerrados.

• Podemos observar que el siguiente valor de arista a tomar debe ser el número 3, pero en ese caso estaríamos generando un recorrido cerrado así que tomamos el siguiente valor que en este caso será el 4.

• Si podemos observar, se vuelve a generar el inconveniente anterior así que elegimos el valor que le sigue.

• En el caso de que el valor que le siga se repita, se puede escoger cualquiera de las dos aristas, tomando en cuanta que no se debe generar un lazo cerrado.

• En la grafica se puede observar que las dos aristas coinciden en un punto, pero es necesario aclarar que no se genera un lazo cerrado ya que solo son trayectorias que están pasando por un lugar en común más no están en ningún momento en intersección.

• El árbol expandido que se genera es el siguiente:

APLICACIONES COBERTURA MÍNIMA

•La aplicación de estos problemas de optimización dentro de nuestra especialidad y nuestro diario vivir se ubica en las redes de comunicación eléctrica, telefónica, carretera ferrovía, aérea, marítima, etc., donde los nodos representan puntos de consumo eléctrico, teléfonos, aeropuertos, computadoras, y las aristas podrían ser de alta tensión, cable de fibra óptica, rutas aéreas, etc.

GRACIAS POR SU

ATENCIÓN

Por:Marilin Carrión Ángel OrtegaJhonattan Illapa Iván ArmijoCristian Jacho Alex YautibugFranklin López John TeneCristian Colala Alex SeguraJairo Arce