VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSANES

Tema 1.- Variables aleatorias.

TEMA 1.- VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES1.1 VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES.

Definicin de variable aleatoria (v.a.)Es una funcin que asigna un valor numrico a cada suceso elemental del espacio muestral. Se designa con X.

Ejemplo: Si se lanzan tres monedas al aire y se observan los posibles resultados, podemos definir la variable aleatoria X = n de caras obtenidas y as observamos que:

Suceso aleatorioX (n de caras)

(c,c,c)3

(c,c,x)2

(c,x,c)2

(x,c,c)2

(c,x,x)1

(x,c,x)1

(x,x,c)1

(x,x,x)0

Se ha definido una autntica variable aleatoria, porque a cada suceso elemental le corresponde un nmero.Variable aleatoria discreta.Una v.a. X es discreta si puede tomar un nmero finito o infinito numerable de posibles valores. Ejemplo: El nmero de piezas defectuosas de un lote de piezas fabricadas. El nmero de llamadas a una centralita en un intervalo de tiempo.

Variable aleatoria continua.Una v.a. X se dice que es continua cuando puede tomar infinitos valores no numerables, o bien, cuando puede tomar cualquier valor de un intervalo de la recta real. Ejemplo: Tiempo que tarda un alumno en hacer un examen para el que se ha dado un mximo de 2 horas. La duracin de las llamadas telefnicas de una empresa. El tiempo que transcurre entre la llegada de dos coches consecutivos a una gasolinera.

1.1.1 Distribucin de Probabilidad de una Variable Aleatoria Discreta. Supongamos una v.a. X que toma los valores x1, x2, x3, ... xr y sea p1, p2, p3, ...pr las probabilidades con que toma esos valores. Se suele denotar pi = p(X = xi) = p(xi)

Funcin de probabilidad o funcin de cuanta de una v.a. X discreta es la funcin que asigna a cada valor de X su probabilidad que pondremos p(X = xi) = piLa Funcin de probabilidad o funcin de cuanta se puede presentar de tres formas:

a) En forma de tabla:

Xx1x2xr

Pp1p2pr

b) En forma de frmula. Ejemplo: Si k = 0, 1 2, ...n

c) En forma de grfica de diagrama de barras.

(Ver la funcin de probabilidad de la variable aleatoria del ejemplo de las tres monedas)

Propiedades que ha de cumplir una funcin de probabilidad1- para todo xi

2-

Observar que la v.a. del ejemplo cumple estas propiedades.

Ejemplo 1.2 (pag 20) Un lote de 100 lmparas contiene 10 defectuosas. Un minorista decide tomar dos lmparas aleatoriamente y si ninguna de las dos es defectuosa acepta el lote de las 100. Estudiar la v.a. n de lmparas defectuosas en una seleccin aleatoria de dos lmparas.

Funcin de distribucin

Se define la funcin de distribucin de una v.a. como una funcin acumulativa tal que

Obsrvese que el valor de x vara desde - hasta + y toma valores desde cero hasta 1, que es lo mximo que puede acumular. Las funciones de distribucin de las v.a. discretas son escalonadas.

(Ver el ejemplo de construir la funcin de distribucin del experimento de lanzar tres monedas)

1.1.2 Distribucin de Probabilidad de una Variable Aleatoria Continua.Una v.a. es continua cuando puede tomar cualquier valor de un intervalo de la recta real R. Por tanto, no toma valores en unos cuantos puntos, sino en todos los de un intervalo. Se ha de verificar, por tanto, que la funcin de distribucin sea continua (sin saltos) y derivable en todos sus puntos salvo en un nmero finito de ellos.

Funcin de densidad de una variable aleatoria continua es el lmite al que tiende la densidad de frecuencias relativas del histograma de frecuencias relativas cuando la amplitud de los intervalos tiende a cero. Se representa por f(x).

Ver el ejemplo del tiempo de llegada de un autobs

Propiedades que ha de cumplir una funcin f(x) para ser una funcin de densidad.

a) Para cualquier valor de x.

b)

Esta segunda propiedad indica que el rea que hay bajo la curva es 1 y representa el total de la probabilidad.

Por tanto es que, grficamente, se representa:

Se verifica, por tanto, que P(X = x) = 0 y tambin que

Funcin de distribucin F(x)

Es por definicin, igual que en caso discreto, Por tanto, es el rea que hay bajo la curva a la izquierda de x. Grficamente se representa:

Propiedades de la funcin de distribucin de las variables aleatorias continuas

La funcin de distribucin de una v.a. continua verifica las siguientes propiedades:1.- F(-() = 0

2.- F(+() = 1

3.- Si xi < xj entonces F(xi) F(xj)

4.- = F(b) F(a) y

5.- Se verifica tambin que F(x) = f(x) para cualquier valor x de la recta real.Ejemplo 1.3 (pg. 32 del libro)

Sea una variable aleatoria continua X cuya funcin de densidad f(x) es:

Se pide:

a) Probar que es una funcin de densidad.b) Hacer su representacin grfica.c) Hallar P(15