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UNIDAD 1: ALGEBRA DE

VECTORES

Tema 1.4: Operaciones con

Vectores s!s "ropie#a#es

CALCULO VECTORIAL

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Competencias:

1. Efectuar operaciones de suma, resta de vectores y mutipicaci!n de un

escaar por un vector.

". Representar as anteriores operaciones ana#ticamente y $r%ficamente.

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Vectores en e pano

De$inici%n #e &a s!ma #e 'ectores #e &a m!&tip&icaci%n por !n esca&ar

Sean y vectores y sea c un escalar 

1. La s!ma 'ectoria& de ! y ' es el vector .2. El m(&tip&o esca&ar de c y ! es el vector .

3. El ne)ati'o de ' es el vector 

.

4. La #i$erencia de ! y ' es

.

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La suma de vectores y la multiplicación por un escalar comparten muchas

 propiedades de la aritmética ordinaria, como se muestra en el teorema siguiente

"ropie#a#es #e &as operaciones con 'ectores

Sean !, ' y * los vectores en el plano, y sean c y d escalares.

1. ! + ' + ' + ! ropiedad conmutativa2. !! + '" + * # ! + !' + *"  ropiedad asociativa,. ! - $ + ! ropiedad de la identidad aditiva4. ! - ! % !" + $  ropiedad del inverso aditivo5. c(d  !" # !cd "!&. !c + d "! # c! + d ! ropiedad distri'utiva

7. c!! + '" # c! + c' ropiedad distri'utiva(. 1!!" # !, $!!" # $

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En muchas aplicaciones de los vectores es )til encontrar un vector unitario *ue tenga

la misma dirección *ue un vector dado. continuación se proporciona un

 procedimiento para hacer eso.

Vector !nitario en &a #irecci%n #e '

Si ' es un vector distinto de cero en el plano, entonces el vector 

iene longitud 1 y la misma dirección *ue '.

or tanto, ! tiene longitud 1 y la misma dirección *ue '.

l vector ! se le llama un 'ector !nitario en &a #irecci%n #e '. El proceso de

multiplicar ' por para o'tener un vector unitario se llama norma&iaci%n #e '.

 

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Vectores unitarios can!nicos o est%ndar 

los vectores unitarios y se les llama 'ectores

!nitarios can%nicos o est/n#ar en el plano y se

denota por 

-omo se muestra en la igura 1.1$. Estos vectores

 pueden usarse para representar cual*uier vector de

manera )nica, como sigue.

l vector se le llama una com0inaci%n &inea& de i y

 . los escalares y se les llama las componentes

2orionta& y 'ertica& #e '.

 

/ectores unitarios canónicos o est0ndar 

 

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Vectores en e Espacio

En el espacio los vectores se denotan mediante ternas

ordenadas . El 'ector cero se denota por sando los

vectores unitarios , y en la dirección

del ee positivo , la notaci%n emp&ean#o &os 'ectores !nitarios can%nicos o est/n#ar para ' es

 

como se muestra en la igura 11.15. Si ' se representa

 por el segmento de recta dirigido de a como se muestra

en la igura 11.2$, las componentes de ' se o'tienen

restando las coordenadas del punto inicial de las

coordenadas del punto inal, como sigue

 

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Las propiedades de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar dadas en

 para los vectores en el plano, son tam'ién v0lidas para vectores en el espacio.