TEMA 2 Intersecciones inversas MÉTODOS TOPOGRÁFICOS Curso...

Apuntes de Métodos topográficos 2015/2016

(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 1

TEMA 2Intersecciones inversas

MÉTODOS TOPOGRÁFICOSCurso 2015/2016

MÉTODOS TOPOGRÁFICOS: Intersecciones inversas 2

Intersecciones angulares

• Basadas en la determinación tridimensional de UN SOLO punto

• Medidas exclusivamente angulares

• Según la naturaleza del punto a determinar, se clasifican en:

– INTERSECCIÓN DIRECTA. Punto desconocido no

estacionable

– INTERSECCIÓN INVERSA. Punto estación desconocido

– INTERSECIÓN MIXTA. Combinación de los dos anteriores o

con inclusión de distancias

• Según el número de soluciones, se clasifican en:

– INTERSECCIONES SIMPLES

– INTERSECCIONES MÚLTIPLES




Aplicaciones de la intersección inversa

• Estacionamientos Libres o “No forzados” en Replanteos:

– Obras lineales que requieren elevada precisión

– Construcción de grandes edificaciones

– Control dimensional:

Aeronáutica

Naval

Elementos industriales

• Basada en:

– Estacionar en un sitio que interese, aunque no se conozca

su posición

– Mediante una intersección inversa, a veces con medida de

distancias, determinar la ubicación de la estación






Fundamento de la intersección inversa

• Realizada desde puntos desconocidos

• Se observa angularmente a puntos conocidos

• También denominado Trisección inversa o Método de

Pothenot

• Muy utilizado en Astronomía o

Geodesia

• Observando a dos vértices,

por geometría → P se

encuentra en cualquier punto

del arco capaz de ángulo



• Observando a un tercer vértice C → arco capaz de

ángulo

• Intersección de los arcos capaces en P

• Existe un tercer arco

capaz, de ángulo

(+)

• Sólo serviría de

comprobación de los

resultados





• Analíticamente → Calcular los ángulos A y C

• Para obtener buenos resultados → Ángulos de

intersección > 25g



• Puede suceder que P se encuentre en la circunferencia

que pasa por A, B y C → caso sin solución

• Sólo habría un arco capaz

• Es denominada circunferencia peligrosa, cuando +y B fueran ángulos suplementarios:

ˆ 200gB

• Es improbable que suceda

• Pero la solución será menos precisa

y fiable cuando esta suma tienda a

200g




Resolución de la Intersección inversa

• Métodos gráficos:

– Cassini

– Punto auxiliar de

Collins

– De los arcos

capaces

• Métodos analíticos:

– Cassini

– Punto auxiliar de

Collins

– De los arcos

capaces

– Pothenot

– Mayer

– De las constantes

– Gauss…



• Si A o C son negativos → problema de difícil solución

ˆ sensen

ˆ sensen

PB a

A

PB b

C

ˆsen

sen

ˆsen

sen

a APB

b CPB

ˆ ˆˆsen sen sen sen

ˆsen sen sensen

a A b C C a

bA





• En P confluyen tres ángulos

• Para evitar el problema:

– Situar aproximadamente P

– Elegir y en el sentido de las agujas del reloj y en este orden

– Que no superen 200g

– El lado a se opondrá al ángulo


Método de las constantes

• Haciendo:

• Se tendrá:

• Por otra parte:

• Siendo:

sen

sen

aH

b

ˆˆsen senH A C

ˆˆ ˆ ˆ400gA C B K

ˆ ˆ ˆC K A




Método de las constantes

• Sustituyendo:

• Dividiendo por cos A:

• Sustituyendo los valores de K y H, se obtiene A y C:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsen sen sen cos cos senH A K A K A K A

ˆ ˆ ˆ ˆtan sen cos tan

ˆ ˆ ˆsen tan cos

H A K K A

K A H K

ˆsenˆtanˆcos

KA

H K

ˆsen 400ˆ arctan

sen ˆcos 400sen

ˆ ˆ ˆ400

g

g

g

BA

aB

b

C A B

→


Solución analítica de Cassini

• Propuso dos variantes,

basadas en su método de

resolución gráfica:

– Desde B, se construye el

ángulo 100-

– Se traza perpendicular

en A

– Se obtiene d como

intersección

– Análogamente para e

– P es la intersección de la

recta d-e con la

perpendicular desde B

– Bd y Be: diámetros

– BAd, BPd, BPe y BCe:

triángulos rectángulos

– dPe: recta

– BP: perpendicular a dPe





• Analíticamente, basándose en los incrementos de

coordenadas:

• Sustituyendo:

sen cosD D

D A A D A AE E AD N N AD

100

sen sen 100 cos

cos cos 100 sen

D B g

A A

D B g B

A A A

D B g B

A A A

cos senB B

D A A D A AE E AD N N AD



• Como:

• Sustituyendo:

• Como:

• Volviendo a sustituir:

tan

ABAD

cos sen

tan tan

B B

A A

D A D A

AB ABE E N N

cos senB B

A B A A B AAB N N AB E E

tan tan

tan tan

B A B A

D A D A

B A B A

D A D A

N N N NE E E E

E E E EN N N N





• Análogamente se podría hacer con el punto E

• Con D y E se podría sacar el acimut entre B y P

• Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

• Siendo:

tan tanE PP D P B

D B

P D P B

E E E E

N N N N

5 2 4

5 1 3

P B

P B

E E X X X

N N X X X

1 21 2 4 2 1 3

5 22

1 3 2 43 4

tan tan

tan tan

B A B AB A B A

B C B CB C B C

N N E EX E E X N N

X X X X X XX

N N E E X X X XX E E X N N


Solución del punto auxiliar de Collins

• También apoyada en su resolución gráfica

• Por el teorema de los senos en AQC se calculan las

coordenadas de Q:

• Ahora, se tiene:

sen

sen sen sen

AQ AC ACAQ

sen

cos

Q

Q A A

Q

Q A A

E E AQ

N N AQ

tanB QB P B

Q Q Q

B Q

E E

N N

Q C

A A





• Deduciéndose:

• También:

• Por lo que puede resolverse otra intersección directa

en APC:

200

200

200

B B g

P Q

A B P A g

P P A P

C B P C g

P P C P

1̂

2̂

P C

A A

A P

C C

ˆsen2

ˆ sen sensen2

AP AC ACAP

sen

cos

P

P A A

P

P A A

E E AP

N N AP



• Resolución calculando dos

intersecciones directas: a Q

y a P

• Si la figura no corresponde

con la anterior, porque uno

(o los dos) ángulos son

obtusos:

– Los ángulos hacia Q

son los suplementarios

de los y




Propiedades de las tangentes a

los arcos capaces

• El ángulo que forman dos arcos capaces al cortarse es

el de sus tangentes en el punto en cuestión



los arcos capaces

• Se debe conocer su comportamiento y construcción

• Suponiendo el problema resuelto → TT’ es la tangente

al arco capaz de ángulo

• El ángulo A es inscrito y

abarca el arco BP

• El ángulo en P es

semiinscrito y contempla

el mismo arco

• Los ángulos A y BPT’ son

iguales

• Ídem para el ángulo B1





los arcos capaces

• La tangente TT’ cumple la condición de

antiparalelismo respecto de la base AB, por crearse los

ángulos A y B en posiciones opuestas con respecto al

par de rectas PA y PB

• Primera propiedad: La

tangente al arco capaz es

antiparalela a la base

• Sólo es necesario construir

uno de los ángulos A o B1 en

P, a partir de las visuales

correspondientes, dirigidas a

los vértices


• Si se traza una paralela a la

tangente en cualquier posición entre

P y los vértices, se formarán los

triángulos semejantes:


los arcos capaces

• Segunda propiedad: Toda paralela a la tangente,

corta a las visuales trazadas desde P hacia los

vértices, bajo distancias inversamente

proporcionales a la longitud de las mismas

PAB PbaPb Pa

PA PB

PA Pa PB Pb K K K

Pa PbPA PB




Ángulo de intersección de dos tangentes

• Influye en gran medida en la precisión de las

observaciones

• Según la primera propiedad se trazan las tangentes

utilizando los ángulos B1 y B2

1 2 200gB B

ˆ 200gB

• Cuando la suma B++tiende hacia los 200g, el

ángulo de las tangentes

se hace más agudo

• Cuando es igual a 200g,

no existirá intersección


Comportamiento de las tangentes

debido a errores angulares

• Como consecuencia de los

errores accidentales, los arcos

capaces serán otros diferentes

• Existirán los arcos capaces de

ángulos y 2·σ

• Al desplazarse el arco capaz,

así lo hace su tangente en la

misma medida






• Si no hubiera error:

– P: punto intersección

– : ángulo del arco capaz

– TT’: tangente al arco capaz

• Debido a los errores σ en cada una de las visuales:

– P’: punto intersección

– - 2·σ: ángulo del arco capaz

– QQ’: tangente al arco capaz

• Desplazamiento de la tangente: d


• Contemplando el ángulo σ como error en una sola visual

• El incremento del ángulo será la mitad

• Según la teoría de errores, el desplazamiento total será:

• Prolongando la recta AP hasta a, se forma un triángulo Pba, semejante a PAB

• El desplazamiento sufrido por la tangente es Pm

• Si por b se traza una perpendicular a Pa → punto de intersección l



2d n






• Se crean dos triángulos rectángulos

y semejantes: Pma y bla

• Como ba es antiparalela de AB:

Pm Pa

bl ba

Pa blPm

ba

ba Pa

AB PB

Pa PB

ba AB *

PB blPm

AB




• Equiparando bl al arco de

desplazamiento que sufre la visual

PA por efecto del error angular σ :

bl PA PB PA

PmAB

PB PAL

AB

Pm L n

*

• Como el desplazamiento real es la componente cuadrática de los errores en las visuales:

2 2d n L






• Igual que el movimiento lateral que experimenta una visual en la intersección directa

• Tercera propiedad: La tangente, por efecto de los errores angulares accidentales, sufre un desplazamiento paralelo a sí misma idéntico al que corresponde a una visual de intersección directa, cuyo error angular fuese σ y su longitud obedeciese a la expresión:

cuya magnitud se denominará distancia ficticia de la tangente

PA PBL

AB


Error máximo en la intersección inversa

• Cualquier error en la medida de un ángulo →

desplazamiento paralelo de las tangentes

• Este desplazamiento es función directa de la distancia

ficticia de la tangente y del error angular cometido:

• Esta figura se asemeja a la forma en la intersección

directa

2a

PA PBPM

AB

2a

PB PCPN

BC




• El ángulo de intersección de las tangentes:

• Si no es el más agudo:

• Los semidiámetros conjugados:

Error máximo en la intersección inversa

ˆ 200gB

ˆ200g B

2

sen

2

sen

a

a

PA PBPV b

AB

PB PCPV c

BC


Error máximo planimétrico

• Los semidiámetros

conjugados b y c forman

un ángulo , intersección

de las visuales








de las visuales

• Semidiámetro mayor de

la elipse, coincide con el

radio de la circunferencia

mayor






de las visuales




mayor

• Se abate 100g uno de los

semidiámetros

ˆ 200 100 100g g gA








de las visuales




mayor

• Se abate 100g uno de los

semidiámetros

ˆ 200 100 100g g gA



• Determinación del semidiámetro mayor de la elipse:

– Determinación de O’T:

Aplicando el teorema del coseno

– Determinación de PO’:

Aplicando el teorema de la mediana

• Finalmente:

a PO O T

2 2QN dO T

2 2 2 cosd b c bc A

2 2 21 22dPO m b c d

12da m d




Error máximo de posición de un punto,

contemplando la correspondiente a los vértices

• Tres maneras de contemplar estos errores:

– Como error de dirección → Se alterará el σa del

aparato a través del σd:

siendo σs el error estimado de posición

planimétrica de los vértices. La distancia es la

promedio

2 2

e s

dD


Error máximo de posición de un punto,

contemplando la correspondiente a los vértices

– Como un error más a añadir en la componente

cuadrática del error angular. σs sería el

desplazamiento que tendría la visual por la

indeterminación del punto visado:

– Como errores a añadir al semieje mayor de la

elipse componiéndolos cuadráticamente:

2 2 2 2 2

a p l v d s cc

s

mr

AP

2 2 2 2ˆ ˆ ˆP A B CEN EN EN EN a 2 23 ˆ

P AEN EN aó




Consideraciones sobre la trisección inversa

• Basado únicamente en observaciones angulares, como la intersección directa

• A priori, gozará de las mismas propiedades que aquella, en cuanto a precisiones y relaciones angulares

• Se puede hacer un estudio comparativo con la intersección directa en las mismas condiciones

• Factores perturbadores:

– Los errores angulares

– Los ángulos de intersección

– Las distancias


Consideraciones sobre la trisección inversa

• La figura que mejor se adaptaba

para atenuarlos lo más posible

era la de la Y

• Los desplazamientos de las

tangentes son idénticos a los de

las visuales

• La situación presentada es la

misma

• La figura más adecuada: vértices

bajo la forma de un triángulo

equilátero y el punto P en su

centro geométrico

120º

120º

ˆ 60º

ˆ360º 60º

B

B




• Las precisiones obtenidas dependerán del tamaño que

tome el semieje mayor de la elipse

• Cuanto mayor resulte éste, menor será la precisión

• Tres supuestos atendiendo a la relación existente

entre la longitud de las bases y la de las visuales:

– Supuesto con bases más

cortas que las distancias de

observación: la intersección

directa es más precisa que

la inversa

Estudio comparativo en precisión entre

los dos tipos de intersección

2a

PA PBb

AB

2am L


Estudio comparativo en precisión entre

los dos tipos de intersección

– Supuesto con bases iguales a

las distancias de

observación: ambos métodos

tienen la misma precisión

– Supuesto con bases más

anchas que las distancias de

observación: la intersección

inversa es más precisa que la

directa




Solución altimétrica

• Una vez obtenidas las coordenadas planimétricas

• En campo se toman las cenitales, así como la altura

del instrumento y la de observación de los vértices

• Las distancias se deducen de las coordenadas de los

puntos

• Existen dos formas de resolver el cálculo altimétrico:

– Sistema de coordenadas locales (Tierra plana)

– Sistema de coordenadas en una proyección

conforme


Solución altimétrica: coordenadas locales

2 2A

P A P A PD E E N N

tan

AA PP P A erA

P

DH i m C

V

tan

BB PP P B erB

P

DH i m C

V

2 2B

P B P B PD E E N N

P

A

V A PH H H P

B

V B PH H H

tan

CC PP P C erC

P

DH i m C

V

2 2C

P C P C PD E E N N

C

C

V C PH H H

Estudio de tolerancias y ponderación




Solución altimétrica: coordenadas UTM

• Puesto que el sistema proyectivo es conforme, las

distancias sufren deformaciones y estas habrán de ser

tenidas en cuenta para el cálculo de la altitud

ARCO

UTMr

DD

K

cos 2

sen

ESTr

g V

EST

DD

V r

tan

AA PP P A erA

P

DH i m C

V

cosA A A

P gP P P A erH D V i m C

ARCO

EST

r P

r

D R HD

R

A

P A PH H H

tanARCOrA

P P A erA

P

DH i m C

V


Ponderación en la solución altimétrica

2

2AP

A

P rHD

2

2ˆAAPA

H HHP

2 2

A C P PA CP P H HH H

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

1 1 11 1 1

1 1 1 1 1 1

A B CA B C

P P PA B C

P P PA B C

P P PP P P A B CH H H P P P

P

A B CH H H P P P

H H HH H HD D D

H

D D D

2

2BP

B

P rHD

2

2ˆBBPB

H HHP

2

2CP

C

P rHD

2

2ˆCCPC

H HHP

2 2

A B P PA BP P H HH H

2 2

C B P PC BP P H HH H




Error máximo altimétrico

• Error altimétrico “a priori”, en una intersección

inversa simple:

• Error altimétrico “a posteriori”, en una intersección

inversa simple:

2 2 2 2 2 2ˆ ˆ ˆA B CP A B CP P P

H H H HH H H

2

ˆprom P

i

i i P H

vv H H

m n


Intersección inversa múltiple

• La intersección inversa simple no ofrece comprobación

de los resultados

• La múltiple más sencilla: compuesta por cuatro

• El número de soluciones viene determinado por:

• Para 4 visuales → 4 soluciones, para 5 → 10

soluciones y para 6 → 20 soluciones

• Con cuatro visuales, si una es errónea no puede

conocerse cuál de ellas es

• Para asegurar el resultado, al menos cinco visuales

!con 3

! !

n

m

mC n

m n n





• Si son correctas, las soluciones no deben sobrepasar

los límites tolerables

• El estudio de tolerancias se hará comparando las dos

soluciones más extremas con sus respectivas

desviaciones típicas a posteriori

2 22 2

1 2 1 21 2

2 22 2

1 3 1 31 3

2 22 2

1 4 1 41 4

P P

P P

P P

EN EN

EN EN

EN EN

E E N N

E E N N

E E N N

2 2 2 2

11

2 2 2 2

22

2 2 2 2

33

2 2 2 2

44

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

P A B C

P A B D

P A C D

P B C D

EN EN EN EN

EN EN EN EN

EN EN EN EN

EN EN EN EN

a

a

a

a



• Si son válidas, las coordenadas definitivas se

obtendrán como media ponderada inversamente

proporcional al cuadrado de sus semiejes de error

2 23 31 4 1 42 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 1 2 3 4

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1P P

E NE NE E N Na a a a a a a a

E N

a a a a a a a a




Intersección inversa por MM.CC.

• Con cinco observaciones se tienen diez soluciones

• Se procede al cálculo por MM.CC.

• Válidos los razonamientos planteados para la

intersección directa

• Se parte unas coordenadas aproximadas para P,

obtenidas a través de una de las intersecciones

• Resolución mediante relaciones de observación de

dirección



• Forma general de la relación de observación:

• O:

• Fundamento de los MM.CC.: Encontrar el residuo

• Resolución a través de los acimuts:

– Aproximados, si se utilizan las coordenadas

calculadas a priori del punto

– Observados, si se utilizan las observaciones de

campo

Valor aproximado + Corrección = Valor observado + Residuo

Residuo = Corrección + Valor calculado - Valor observado





• Forma de la ecuación:

• Nº de ecuaciones de observación > Nº de incógnitas

• Se pretenden obtener las coordenadas ajustadas, no

los acimuts

• Relación entre acimuts y coordenadas: Tangente

Corrección cal obsV

tan A A PP

A P

E E

N N



• Es no lineal: no puede formar un sistema de

ecuaciones

• Linealización por desarrollo en serie de Taylor,

despreciando términos de segundo orden

• Se va a derivar respecto de las dos incógnitas

• Forma general:

• Particularizando:

uy

v

2

' ''

u v v uy

v

2 2cos

AA P A P A P A PP

A

P A P

E E N N N N E E

N N





• Operando:

• Teniendo en cuenta:

• Se tiene, en radianes, la expresión linealizada:

2 2

2

2

cos

cos

AA A P P A P A A P P A PP

A

P A P

AA PP A A P P A P A A P P A P

A P

E N N E N N N E E N E E

N N

E N N E N N N E E N E EN N

2 2 2

cos

cos

A A

A P P P

A

A P P

N N N D

N N D

2

2 2

cos1A

P

A PD N N

2 2 2 2

A A A AA P P P PP A A P P

N E N EE N E N

D D D D



• La expresión en segundos centesimales:

• Volviendo a la fórmula general:

• cal se obtiene de las coordenadas aproximadas de P y

las correspondientes del vértice considerado fijo

• Para la determinación del obs, se debe utilizar la

desorientación de P

2

ccA A A A A

P P A P A P P P P

rN E E N N E E N

D

A A A

P P cal P obsV

A A

P obs P PL





• Como las coordenadas de P son aproximadas, no es

posible conocer su desorientación

• Se recurre a una aproximada, que puede calcularse

como promedio de todas las que puedan obtenerse:

• Sumando a esta desorientación las lecturas de campo

se obtienen unos acimuts de observación falsos

A

B

A A

P P cal P

B B

P P cal P P P P P

L

L



• Sustituyendo en la fórmula:

• Particularizando sobre la intersección inversa, donde

las coordenadas del punto visado no sufren alteración:

A A A

P P cal P P PV L

2

ccA A A A A A

P A P A P P P P P cal P P P

rV N E E N N E E N L

D

2

ccA A A A

P P P P P cal P P P

rV N E E N L

D





• Sistema de ecuaciones formado:

• Tres incógnitas y tantas ecuaciones como visuales

• Resolución de este sistema:

– Por notaciones de Gauss

– Matricialmente

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

n n n n n

a E b N c k v

a E b N c k v

a E b N c k v


Resolución por notaciones de Gauss

• La suma de los cuadrados de los residuos debe ser

mínima. Derivando parcialmente, el segundo término

será cero

• Se obtiene el sistema de ecuaciones normales:

0

0

0

aa E ab N ac ak

ba E bb N bc bk

ca E cb N cc ck

2

1 1 1

2

1 1 1

2

1 1 1

[ ]

[ ]

[ ]

n n n

i i i i i

n n n

i i i i i

n n n

i i i i i

aa a ak a k ab ba a b

bb b bk b k ac ca a c

cc c ck c k bc cb b c




Resolución matricial

• El sistema de ecuaciones es de la forma:

– A: matriz de los coeficientes

– x: matriz de las incógnitas

– L: matriz de los términos independientes

– V: matriz de los residuos

• La suma del cuadrado de los residuos tiene que ser

mínima:

• Es un escalar → sus sumandos también → un escalar

es igual a su traspuesto:

Ax L V

TT T T T T T T T T TV V Ax L Ax L x A L Ax L x A Ax x A L L Ax L L

2 2T T T T T T T T Tx A Ax x A L L L x Nx x A L L L



• Como ø tiene que ser mínimo:

• Propiedades de N-1:

– Simétrica

– También denominada Q: matriz de varianzas-covarianzas

– Diagonal principal → Varianzas de las incógnitas

1

1

2 2 0T

T

T

Nx A Lx

Nx A L

x N A L

x N t





• Precisión de las coordenadas del punto estación:

• Siendo, la desviación estándar de la serie:

• Donde:

– n: número de incógnitas

– m: número de ecuaciones

– m-n: redundancia o grados de libertad

1 1

1,1 2,2ˆ ˆ ˆ ˆE NN y N

22ˆ ˆ

TiVV V

m n m n



• Elipse de error del punto: semieje mayor, menor y

orientación:

22 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2

2 2

1ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ˆ

2

1ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ˆ

2

2 ˆ1arctan

2 ˆ ˆ

E N E N EN

E N E N EN

EN

E N

a

b




Altimetría mediante MM.CC.

• Coordenadas planimétricas ya resueltas → se obtienen

las distancias


o o

V V V

E E i V E E iH H H H H

1

2

3

oA

A P P

oB

B P P

oC

C P P

on

n P P n

H H H

H H H

H H H

H H H

• Se dispondrán de tantas

ecuaciones como

observaciones de desnivel se

hallan realizado

• Sistema de n ecuaciones con

una incógnita



• Cada ecuación tiene una precisión distinta

• Conveniente ponderar las observaciones: inversamente

proporcional a la desviación típica “a priori” de cada desnivel

• Para ponderar, se puede proceder de dos formas:

– Formación de la matriz de pesos: en la diagonal principal se

situarán la inversa de la varianza de cada observación, el

resto de la matriz será nula

– Ponderar las ecuaciones de desnivel inversamente

proporcional a la desviación típica de cada desnivel

• Ambos procedimientos aportan idénticos resultados, con la

ventaja del segundo sobre el primero de no tener que manejar

tantas matrices





Formación de la matriz de pesos

• Sistema de ecuaciones de observación sin ponderar

• Sistema de Ecuaciones Normales

• Solución del Sistema

ad m mm

A x L V

21 1

0

tN

T T

mmm

A P A x A P L

2

1

1m mm

x N t




1

1

1

1

P

ad

H

A

2

2

2

2

2

1

1 0 0 0

10 0 0

10 0 0

0

10 0 0 0

AP

BP

CP

nP

H

H

H

H

m

P P

m

x H

i

A

P A

B

P B

C

P C

n

P n

m

t

H H

H H

L H H

H H





Ponderación de las ecuaciones de desnivel

• Sistema de ecuaciones de observación ponderadas



1

1 1 1 1

1

1

m ad adm

A A P

L L P A x L V

V V P

1 1 1 1 0

0

T T

T T

N t

A A x A L

A P P A x A P P L

2

1

1m mm

x N t




1

1

1

1

1

1

AP

BP

CP

nP

P

H

H

H

H

m

H

A P

m

x H

1

1

1

1

1

AP

BP

CP

nP

i

A

P A

H

B

P B

H

C

P C

H

n

P n

H

ad

t

H H

H H

LH H

H H

1

2

3

1

1

1

1

AP

BP

CP

nP

oA

A P P

H

oB

B P P

H

oC

C P P

H

on

n P P n

H

H H H

H H H

H H H

H H H





Análisis de los residuos

• Residuos ponderados

(adimensionales). Desviación

típica “a priori” como

referencia

• Residuos peso unidad, en

metros y sin ningún patrón

de referencia

• Desviación típica media “a

posteriori”

• Desviación típica “a

posteriori” de los parámetros

1 1 1

1 m ad adm

A x L V

1 1ˆT

ad

V V

m n

1ˆiH ii

admm

N

1

1

1 1 1

1

ji

j j ji i i

ji

H

mmH H H

ad ad Hm

V

A x L V V


Problema de Hansen

• Aplicación: cuando sólo son visibles dos vértices de coordenadas conocidas desde el punto de observación

• No puede aplicarse la resolución de la trisección inversa, por necesitarse al menos tres

• Dos situaciones diferentes que se resuelven del mismo modo:

– Recurrir a otro punto auxiliar visible desde el anterior

– Conocer los datos de una base a partir de dos vértices:

Distancia

Coordenadas de los extremos

Orientación




• También llamado de reducción o ampliación de bases

• La resolución de Hansen no presenta comprobación de

los resultados

• Las observaciones se realizan desde los puntos desconocidos, teniendo entonces los valores de los ángulos 1, 2, 3 y 4

• Los ángulos que corresponden a 5 y 6 se pueden obtener de sus triángulos respectivos

• Los ángulos A y C son desconocidos

Problema de Hansen


Problema de Hansen

• Ordenando:

ˆsen

ˆ ˆ ˆsen1 sen sen1

ˆ ˆsen sen6

ˆ ˆ ˆ ˆsen3 sen6 sen1 sen3

ˆ ˆ ˆsen sen6 sen2

ˆ ˆ ˆˆ ˆsen2sen5 sen1 sen3 sen5

ˆ ˆ ˆ ˆsen sen6 sen2 sen4

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆsen sen4 sen1 sen3 sen5 sen

AC AM AC CAM

C

AM MN AC CMN

MN NC AC CNC

NC AC AC CAC

A A

ˆˆ ˆ ˆsen sen1 sen3 sen5

ˆ ˆ ˆˆsen sen2 sen4 sen6

C

A




Problema de Hansen

• Teniendo en cuenta:

• Resulta:

• y ya que el ángulo en el vértice intersección de las

visuales MC y NA es el mismo, se tiene:

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5 200 2 3 4 sen5 sen 2 3 4

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 200 1 2 3 sen6 sen 1 2 3

g

g

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsen1 sen3 sen 2 3 4ˆsen

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆsen sen2 sen4 sen 1 2 3

C

A

ˆ ˆ ˆˆ 2 3A C


Problema de Hansen

• Recurriendo al método de las constantes de la

intersección inversa:

• Conociendo con ello toda la figura:

• Por tanto:

ˆsenˆˆ 6ˆsen1

M C

A A

AC CA AM

sen

cos

M

M A A

M

M A A

E E AM

N N AM

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsen1 sen3 sen 2 3 4ˆsen ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ tansen2 sen4 sen 1 2 3

ˆcosˆ ˆˆ 2 3

H KA C K A

H K

K




Problema de Hansen: Solución analítica por

aplicaciones homotéticas

• La figura de campo es semejante a

otra, mediando entre ellas una

simple relación de escala donde

puede darse a la distancia MN la

magnitud que se desee, por

ejemplo, el valor 1

• Las relaciones angulares se

mantienen en las dos:

ˆ ˆsen3 sen3

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsen3 sen6sen 1 2 3 sen 1 2 3

ˆ ˆˆ ˆsen 3 4 sen 3 4

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ sen5sen 3 4 sen 2 3 4 sen 2 3 4

AM MN MNAM

MNCM MNCM




• y entonces, por el teorema del coseno:

• También, por el teorema del seno:

de donde se deduce el valor de C

• Además:

• Con lo que el problema queda resuelto

2 2 ˆ2 cos1AC AM CM AM CM

ˆsen1ˆsenˆ ˆsen sen1

AM AC AMC

ACC

ˆ ˆ ˆˆ 2 3A C






• Puede presentarse una resolución

con otra geometría que resulta

muy difícil de determinar por el

método de las constantes

• Aplicando las relaciones

homotéticas:

ˆsen4

ˆ ˆ ˆˆ ˆsen4 sen 1 4 sen 1 4

ˆsen3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsen3 sen 2 3 sen 2 3

AN MN MNAN

CN MN MNCN




• y entonces:

• deduciendo el valor de A, que será:

• Del mismo modo, los otros dos ángulos:

2 2 ˆ ˆ2 cos 1 2AC AN CN AN CN

ˆ ˆsen 1 2

ˆsenˆ ˆ ˆsen sen 1 2

ANAN ACC

ACC

ˆ ˆ ˆˆ 200 1 2gA C

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ5 200 1 4 6 200 2 3g gA C




Altimetría en el problema de Hansen

• Coordenadas planimétricas ya

resueltas → se obtienen las

distancias

• Tres soluciones para cada uno de

los puntos

• La solución será idéntica a la

tratada en la intersección inversa

• Diferencia: existen visuales entre

los puntos M y N cuyas cotas son

desconocidas



• Para aprovechar tales visuales → resolución por

MM.CC.


o o

V V V

E E i V E E iH H H H H

1

2

3

4

5

6

oA

A M M

oC

C M M

oN

N M M

oA

A N N

oC

C N N

oM

M N N

H H H

H H H

H H H

H H H

H H H

H H H

• Se dispondrán de tantas

ecuaciones como observaciones

de desnivel se hayan realizado:

en el caso del problema de

Hansen es de seis

• Sistema de 6 ecuaciones con 2

incógnitas





• Cada ecuación tiene una precisión distinta

• Conveniente ponderar las observaciones: inversamente

proporcional a la desviación típica “a priori” de cada desnivel

• Para ponderar, se puede proceder de dos formas:

– Formación de la matriz de pesos: en la diagonal principal se

situarán la varianza de cada observación, el resto de la

matriz será nula

– Ponderar las ecuaciones de desnivel inversamente

proporcional a la desviación típica de cada desnivel

• Ambos procedimientos aportan idénticos resultados, con la

ventaja del segundo sobre el primero de no tener que manejar

tantas matrices




• Sistema de ecuaciones de observación sin ponderar



ad m mm

A x L V

21 1

0

tN

T T

mmm

A P A x A P L

2

1

1m mm

x N t






1 0

1 0

1 1

0 1

0 1

1 1

M N

ad

H H

A

2

2

2

2

2

2

2

1

1 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

AM

CM

NM

AN

CN

MN

H

H

H

H

H

H

m

P

M

N

m

Hx

H

i

A

M A

C

M C

N

M

A

N A

C

N C

M

N

m

t

H H

H H

HL

H H

H H

H




• Sistema de ecuaciones de observación ponderadas



1

1 1 1 1

1

1

m ad adm

A A P

L L P A x L V

V V P

1 1 1 1 0

0

T T

T T

N t

A A x A L

A P P A x A P P L

2

1

1m mm

x N t






1

10

10

1 1

10

10

1 1

AM

CM

N NM M

AN

CN

M MN N

M N

H

H

H H

z

H

H H

m

H H

A

M

N

m

Hx

H

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

AM

AM

AM

AN

CN

MN

oA

A M M

H

oC

C M M

H

oN

N M M

H

oA

A N N

H

oC

C N N

H

oM

M N N

H

H H H

H H H

H H H

H H H

H H H

H H H

1

1

1

1

1

1

AM

CM

NM

AN

CN

MN

i

A

M A

H

C

M C

H

N

M

H

A

N A

H

C

N C

H

M

N

H

ad

t

H H

H H

H

L

H H

H H

H



Análisis de los residuos

• Residuos ponderados

(adimensionales). Desviación

típica “a priori” como

referencia

• Residuos peso unidad, en

metros y sin ningún patrón

de referencia

• Desviación típica media “a

posteriori”

• Desviación típica “a

posteriori” de los parámetros

1 1 1

1 m ad adm

A x L V

1 1ˆT

ad

V V

m n

1ˆiH ii

admm

N

1

1

1 1 1

1

ji

j j ji i i

ji

H

mmH H H

ad ad Hm

V

A x L V V




Cálculo del factor de escala

• Dos formas de dar factor de escala:

– Con dos puntos fijos

– Distancias medidas con MED

• Podrían ser diferentes

• Necesario introducir una variable más en el sistema que controle y permita calcular la diferencia entre ambos factores

• Ejemplos:

– Que los vértices de la base no tengan la precisión suficiente

– Que el distanciómetro puede estar mal calibrado e introduzca errores sistemáticos en la medida de distancias

• Da idea de la bondad de la escala de la red

• Para introducir la variable factor de escala en las ecuaciones del sistema, se va a suponer que la distancia observada posee un grado de incertidumbre



• La ecuación de distancia tendría la forma:

• Donde representa la variable factor de escala

• Se puede calcular a priori para una sola dirección:

• El factor de escala vendrá expresado como la media de todos los

referentes a cada medida

• Su introducción en el sistema de ecuaciones reduce los grados

de libertad

• Sin embargo, los resultados finales de las precisiones mejoran

con su utilización

1P

A P A P P A P cal obs obsV E E E N N N D D DD

cal obs

obs

D D

D





• Ejemplo: Intersección múltiple CON DISTANCIAS en la que se

han realizado las observaciones de dirección y de distancia que

aparecen en el siguiente gráfico:

– La distancia entre los puntos

A y B errónea, por ejemplo,

0,10 m mayor que la que

realmente existe.

– El distanciómetro utilizado

para la medida de distancias

está mal calibrado y adolece

de un error de 100 ppm

AB

V

A

B’

V’



• La distancia entre los puntos A y B es 0,10 m mayor que la que

realmente existe

AB

V

A

B’

V’

– En el caso de medir sólo

direcciones:

El punto V pasaría a V’

Se obtendrían residuos

admisibles

La figura resultante será

semejante a la anterior

– En el caso de medir direcciones

y distancias:

Conflicto entre la escala

definida por los puntos fijos y la

definida por el distanciómetro

utilizado




– En cualquier ajuste topográfico

donde exista más de un punto

fijo (exista transmisión de

escala) y se realicen medidas de

distancia, se deberá plantear el

factor de escala como incógnita

– Con ello, se podrá establecer la

proporción existente entre la

escala definida entre puntos

fijos y la definida por el

distanciómetro


• En el caso de que el distanciómetro estuviera mal calibrado y en

cada 1000 m midiera 1000,10 m, equivaldría a tener un factor de

escala entre la establecida por los puntos fijos y el distanciómetro

de 100 ppm

AB

V

A

B’

V’



• Utilización de ecuaciones de observación de distancia

conjuntamente con las de dirección:

– Se deberán expresar en las mismas unidades ambas

ecuaciones y deberán tener la misma representatividad en el

ajuste, a igualdad de precisión

– Para conseguir estos dos requisitos se introduce la

ponderación como criterio homogeneizador

• Residuos en segundos y metros, respectivamente

2

ccP P P P P

A P A P A A A A AcalP

A

rN E E N LH V

D

1 P P P P P P

A P A P A A A AP obs cal obsA

E E N N D D D VD




Consecuencia de utilizar sistemas no

consistentes

TEMA 2 Intersecciones inversas MÉTODOS TOPOGRÁFICOS Curso...

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