tema 2: Juegos Estáticos Con Información Completahurkens.iae-csic.org/teaching/transparencias_Tema...

1

1

Tema 2:

Juegos estáticos con información completa

Teoría de las decisiones y de los juegos.

2

Juego en forma normal

g = ( N={1,2,…,n},(S1,…,Sn), (u1,…,un) )N conjunto de jugadores, i œ N (finito)Si, conjunto de estrategias del jugador i ui: SØ√ pago (utilidad, beneficio) del jugador i (S = S1x…x Sn)

No publicidadPublicidad

No publicidad Publicidad5080-C

2050-C

2

3

Juego en forma normal

g = ( I={1,2,…,I},(S1,…,SI), (u1,…,uI) )I conjunto de jugadores, i œ I (finito)Si, conjunto de estrategias del jugador i ui: SØ√ pago (utilidad, beneficio) del jugador i (S = S1x…x SI )

No publicidadPublicidad

No publicidad Publicidad5080-C

2050-C

5050-C80-C

20

4

¿Qué caracteriza a los juegos estáticos con información completa?

Supuestos básicos:Elección simultanea.

Información completa de pagos, estrategias, número de jugadores.

Racionalidad (cada uno maximiza su pago)

Conocimiento mutuo de la racionalidad. Yo soy racional y sé que los otros jugadores son racionales y también sé que ellos saben que yo sé que ellos son racionales y que yo sé que ellos saben que yo sé que ellos son racionales ….

3

5

Conceptos de solución

Dominancia y dominancia iterativa.

Equilibrio de Nash

6

2.2 Dominancia y dominancia iterativa

Definición de estrategia estrictamente dominada:La estrategia si œ Si es estrictamente dominada por si’ œ Si si,

( ) ( ) ,, iiiiiiii Ssssussu −−−− ∈∀>′

4

7


Definición de estrategia débilmente dominada:La estrategia si es débilmente dominada por si’si

( ) ( )( ) ( ) ,, que tal

,,

iiiiiiii

iiiiiiii

ssussuSsySsssussu

−−−−

−−−−

>′∈∃∈∀≥′

8

Ejemplo 2.1: El dilema del prisionero

(-1,-1)

(0,-12)NC

(-12,0)NC

(-10,-10)CCA/B

2.2

Alfonso (A) y Bernardo (B) han sido arrestados bajo sospecha dehaber cometido un crimen juntos. Ambos permanecen en celdas separadas. A cada uno se le da la oportunidad de confesar el crimen e incriminar al otro. Si solo uno de ellos escoge esta opción, este es premiado con la libertad mientras su compañero sufre una pena de 12 años. Si ambos confiesan, la evidencia recolectada es suficiente para condenar a ambos con una pena de 10 años. En cambio si ninguno confiesa no hay suficientes pruebas y ambos son condenados a 1 año de prisión.

1),(12),(

0),(10),(

},{

−=−=

=−=

==

NCNCuCNCu

NCCuCCu

NCCSS

A

A

A

A

BA

5

9

¿Hay alguna estrategia estrictamente o débilmente dominada?Para el jugador A:

Confesar maximiza la utilidad de A si B confiesa.

Confesar maximiza la utilidad de A si B no confiesaNo confesar (NC) es una estrategia estrictamente dominada por confesar (C) para A.

…El dilema del prisionero

),(),(

),(),(

NCNCuNCCuy

CNCuCCu

AA

AA

>

>

2.2

10

… El dilema del prisionero

Para el jugador B:

Confesar maximiza la utilidad de A si B confiesa.

Confesar maximiza la utilidad de A si B no confiesaNo confesar (NC) es una estrategia estrictamente dominada por confesar (C) para B.

),(),(

),(),(

NCNCuCNCuy

NCCuCCu

BB

BB

>

>

2.2

6

11

¿Cuál podría ser una solución natural de este juego?

… El dilema del prisionero

12


Eliminación iterativa de estrategias dominadas.Ningún jugador elegirá una estrategia estrictamente dominada. Para el ejemplo 2.1 (dilema del prisionero) podemos eliminar la estrategia estrictamente dominada para el jugador A: NC.El juego se reduce a:

(0,-12)NC

(-10,-10)CCA B

7

13


El jugador B también tiene una estrategia dominada. Dado que el jugador B es racional no jugará la estrategia dominada: NCEl juego se reduce:

(-10,-10)CCA/B

La solución del juego por eliminación iterativa de estrategias dominadas es {C, C}

14

Ejemplo 2.2: Eliminación iterativa de estrategias dominadas

(0,1)(2,0)M

(3,2)

(2,2)

R

(2,1)D

(1,3)U

L1/2

8

15

Ejemplo 2.2: Eliminación iterativa de estrategias dominadas

(0,1)(2,0)M

(3,2)

(2,2)

R

(2,1)D

(1,3)U

L1/2

(3,2)(2,1)D

(0,1)(2,0)M

RL1/2U es estrictamente dominada

2

L es una estrategia dominada para 2

16

… Eliminación iterativa de estrategias dominadas

(3,2)(2,1)D

(0,1)(2,0)M

RL1/2

(3,2)D

(0,1)M

R1/2L es estrictamente dominada

3

(3,2)DR1/2

4

M es estrictamente dominada

Solución {D, R}

9

17

Ejemplo 2.3: Limitaciones de la eliminación iterativa de estrategias dominadas.

(3,5)

(0,4)

(4,0)

C

(5,3)(4,0)M

(6,6)

(5,3)

D

(3,5)B

(0,4)A

I1/2

Considérese el juego G= {S1={A, M, B},S2={I, C, D}, u1,u2}

¿Cuáles son las estrategias dominadas?

¿Que predicciones de solución tenemos para este juego?

18

Ejemplo 2.4: Limitaciones de la eliminación iterativa de estrategias dominadas (II)

(4,4)

(3,1)

(4,0)

D

(6,0)M

(6,4)B

(5,1)A

I1/2

Considérese el juego G= {S1={A, M, B},S2={I, D}, u1,u2}.

¿Cuáles son las estrategias dominadas?

¿Cuáles son las estrategias dominadas débilmente?


Conclusión: eliminar estrategiasdominadas débilmente puedellevarnos a predicciones distintas.

10

19

Definición: En el juego de forma normal , las estrategias forman un equilibrio de Nash si, para cada jugador i, si* es la mejor respuesta del jugador i (o al menos una de ellas) a las estrategias de los otros n-1jugadores, :

para cada posible si en Si; esto es, si*, es una solución de:

{ }{ }n

iini uSNG 11};{; ===

2.3 Equilibrio de Nash

),...,,,...,( **1

*1

*1 niii sssss +−− =

),...,,,,...,(),...,,,,...,( **1

*1

*1

**1

**1

*1 niiiiniiii sssssusssssu +−+− ≥

),...,,,,...,(max **1

*1

*1 niiiiSs

sssssuii

+−∈

),...,( **1 nss

20

Ninguna desviación unilateral es beneficiosa. Esto implica que es mejor respuesta a denotamos MRi{ } la mejor respuesta del jugador i a la estrategia Con dos jugadores, en el equilibrio de Nash se intersecan las MRs;

*is−

2.3 Equilibrio de Nash

*is*is−

*is−

}{ *21

*1 sMRs =

}.{ *12

*2 sMRs =

11

21

Ejemplo 2.3

Considérese el juego G= {S1={A, M, B},S2={I, C, D}, u1,u2}

(3,5)

(0,4)

(4,0)C

(5,3)(4,0)M

(6,6)

(5,3)D

(3,5)B

(0,4)AI1/2

Vamos a buscar las mejores

respuestas de cada jugador

Si encontramos algún par de

estrategias tal que

y

Entonces es un

equilibrio de Nash.

}{ *21

*1 sMRs =

),( *2

*1 ss

}{ *12

*2 sMRs =),( *

2*1 ss

22

Ejemplo 2.4Considérese el juego G= {S1={A, M, B},S2={I, C, D}, u1,u2}

(3,5)

(0,4)

(4,0)C

(5,3)(4,0)M

(6,6)

(5,3)D

(3,5)B

(0,4)AI1/2

),(),( *2

*1 DBss =

21

BDMRACMRMIMR

===

}{}{}{

1

1

1

DBMRCMMRIAMR

===

}{}{

}{

2

2

2

Existe un único equilibrio de Nash:

12

23

Ejemplo 2.5: La batalla de los sexos.

(-1,-1)(1,2)C

(2,1)

F

(0,0)F

CA/B

Considera el siguiente juegoAlbert (A) y Berta (B) deben decidir que hacer el sábado por la noche. Deben elegir entre cine o fútbol. Ambos prefieren ir juntos a cualquiera de las actividades a ir solos. Albert prefiere ir al fútbol, pero Berta prefiere ir al cine.G = {SA=SB={C,F}; uA, uB}Los pagos (utilidad) están representados en la matriz de pagos:

24

… Batalla de los sexos

21(-1,-1)(2,1)C

(2,1)

F

(0,0)F

CA/B

FFMRCCMR

A

A

==

}{}{

Sea G = {SA=SB={C,F}; uA,uB}:

FFMRCCMR

B

B

==

}{}{

Existen múltiples equilibrios de Nash:

)},(),,{( FFCCEN =

13

25

Votación por mayoría

Tres votantes 1,2,3Tres opciones A,B,CEstrategias Si={ vA , vB , vC }.La opción ganadora es la que obtiene mayoría de votos. En caso de empate, la opción ganadora es A. Utilidad depende solo de la opción ganadora.

u1(A)=u2(B)=u3(C)=2u1(B)=u2(C)=u3(A)=1u1(C)=u2(A)=u3(B)=0

26

Votación por mayoría: EN

¿Es votar por la opción favorita (vA,vB,vC)un equilibrio de Nash?¿Cuál es un equilibrio de Nash?

(vA,vA,vA), (vB,vB,vB), (vC,vC,vC)

(vA,vB,vA), (vA,vC,vC)

14

27

Ejemplo 2.6: Los ciclos de Edgeworth o Bertrand con restricciones de capacidad.

Dos empresas idénticas A y B compiten en precios (la llamada competencia a la Bertrand). Ambas ofrecen un bien homogéneo.

La demanda total D(p)=10 – p donde p = min{pA, pB}.

Restricción de capacidad: la que vende al precio mas barato sólo podrá proveer a 6 consumidores.

(versión corregida)

28

Ejemplo 2.6: Los ciclos de Edgeworth o Bertrand con restricciones de capacidad.

De este modo si una empresa vende más caro no saldría del mercado, vendería solamente a D(p) - 6consumidores. Si ambas empresas eligen el mismo precio se reparten el mercado a medias. Para simplificar suponemos que las empresas sólo pueden elegir tres precios: 2, 3 y 5. Supongamos que el coste de producir el bien es cero.

g = {{A,B},SA=SB={ 2, 3, 5 }; πA, πB}

(versión corregida)

15

29

… Bertrand con restricciones de capacidad

3

3

2

5

5

2A/B

( )18,5( )12,10

( )6,12

Dado que los costos marginales son nulos sólo necesitamos calcular los ingresos para escribir la matriz de pagos.

¿Existe un equilibrio de Nash?


( )8,8 ( )10,12

( )12,6 ( )221

221 ,

( )225

225 ,

( )5,18

30

… Bertrand con restricciones de capacidad

En el juego de Bertrand con restricciones de capacidad no existe ningún equilibrio de Nash …

EN ESTRATEGIAS PURAS.

BA

3}5{2}3{5}2{

===

B

B

B

MRMRMR

3}5{2}3{5}2{

===

A

A

A

MRMRMR

16

31

Hemos definido Si como el conjunto de estrategias con que cuenta el jugador i, un equilibrio de Nash en estrategias puras es una combinación de estrategias si, para cada jugador i si* es la mejor respuesta del jugador i a las estrategias de los otros n-1 jugadores.

2.4 Estrategias mixtas

),...,( **1 nss

32

Como hemos visto no existe un EN enestrategias puras en el juego de Bertrand con restricciones de capacidad (también conocido como duopolio de Edgeworth).

Otro ejemplo: El juego de piedra, papel o tijera; Si el otro jugador sabe que escogemos piedra con certeza éste escogerá papel. Nos conviene elegir “al azar” entre las distintas estrategias.


17

33

Definición: En el juego en forma normal G={N; S1,…,Sn; u1,…,un } supongamos que Si = {si1,…,siK}.

En este caso para el jugador i una estrategia mixta es una distribución de probabilidad pi= (pi1,…, piK), dondepara k = 1,…,K y pi1 + …+piK = 1.


10 ≤≤ ikp

34

Ejemplo 2.7: El juego de las monedas.

Imaginemos que cada jugador tiene una moneda y debe elegir si mostrar una cara de la moneda. Si las dos monedas coinciden, esto es, ambas muestran la misma cara, el jugador 2 gana la moneda del jugador 1. Si las caras de las monedas no coinciden entonces el jugador 1 gana la moneda del jugador 2.G = {{1,2},S1=S2={cara,cruz }; u1, u2}

(1, -1)(-1, 1)cara

(-1,1)

cruz

(1, -1)cruz

cara1/2

18

35

Ejemplo 2.7: El juego de las monedas.

(1, -1)(-1, 1)cara

(-1,1)

cruz

(1, -1)cruz

cara1/2 BA

caracruzMRcruzcaraMR

==

}{}{

1

1

cruzcruzMRcaracaraMR

==

}{}{

2

2

No existe ningún equilibrio de Nash en estrategias puras.

36

… El juego de las monedas.

¿Cómo hallar un EN en estrategias mixtas?Para este juego un equilibrio de Nash es una distribución de probabilidad pk para el jugador 1 y qk para el jugador 2 con k ={cara, cruz}. Como tenemos sólo dos estrategias posibles un EN, en estrategias mixtas es (p*, q*) tal que,

Donde p es la probabilidad de que 1 juegue cara y qes la probabilidad de que 2 juegue cara.

),(),( ),(),(

*2

**2

*1

**1

qpuqpuyqpuqpu

≥≥

19

37


¿Cómo calcular los pagos?

pq = Probabilidad de que 1 juegue cara y 2 juegue cara (eventos independientes)

p(1-q) = Probabilidad de que 1 juegue cara y 2 juegue cruz (eventos independientes).

(1-p)q = Probabilidad de que 1 juegue cruz y 2 juegue cara (eventos independientes).

(1-p)(1-q) = Probabilidad de que ambos jueguen cruz (eventos independientes)

)1)(1)(1( )1()1()1)(1()1(),( )1)(1)(1()1()1()1)(1()1(),(

2

1

qpqpqppqqpuqpqpqppqqpu−−+−−+−−+=

−−−+−+−+−=

38

… El juego de las monedas.Jugador 1: ¿cuál es la mejor respuesta (p) a q ?

La utilidad es lineal en p. El jugador 1 escogerácara con probabilidad 1 si -4q + 2 > 0. Es decir, escoge p = 1 si q < ½.Si -4q + 2 < 0 entonces jugará cruz con probabilidad 1. Es decir, escoge p = 0 si q > ½.Si q = ½ el jugador 1 puede elegir cualquier p(entre cero y uno) ya que le daría la misma utilidad.

12)24(),( 1224),(

1),(

1

1

1

−++−=⇒−++−=⇒

−++−−+−+−=

qpqqpuqppqqpu

pqpqpqqpqppqqpu

20

39

… El juego de las monedas.Correspondencia de mejor Correspondencia de mejor

respuesta del jugador 1: respuesta del jugador 2:

p q1 1

1/2 q 1/2 pp = 1 si q < ½. p = 0 si q > ½.

024 si 0024 si 1

12)24(),(2

<−=>−=

+−−=

pqpq

pqpqpu

40


p

q1/2

1/2

El equilibrio de Nash en estrategias mixtas es (p*, q*) = (1/2, 1/2)

MR1(q)

MR2(p)

21

41

i. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias mixtas del juego del ejemplo 2.5 (batalla de los sexos)?

ii. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias mixtas del juego del ejemplo 2.6 (Bertrand con restricciones de cantidad)?

iii. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias mixtas del juego del ejemplo 2.1 (dilema del prisionero)?

iv. ¿Qué relación existe entre el EN (enestrategias puras o mixtas) y la eliminación iterativa de estrategias dominadas?


42

2.4 Estrategias mixtasi. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias

mixtas del juego del ejemplo 2.5 (batalla de los sexos)?

Proposición (Propiedad de “neutralizar”)(p*, q*) es un equilibrio de Nash en estrategiasmixtas si y sólo si cada jugador escoge las probabilidades de tal manera que las estrategiascon probabilidad estrictamente positiva tengan elmismo pago esperado.

),(),(

),(),(**

**

FpuCpu

qFuqCu

BB

AA

=

=En el ejemplo 2.5:Facilita los cálculos!

22

43


ii. Para el juego del ejemplo 2.6 (Bertrandcon restricciones de cantidad), ¿cuál es el equilibrio de Nash en estrategias mixtas donde todas las estrategias tienen probabilidad >0?

La proposición también se verificasi hay más de 2 jugadoreso si los jugadores tienen más de 2 estrategias:

44


Proposición:Si después de la eliminación iterativa de estrategiasdominadas sólo queda un perfil de estrategias (es decir,una estrategia para cada jugador),entonces este perfil es el único equilibrio de Nash.

iii. ¿Cuál es el equilibrio de Nash en estrategias mixtas del juego del ejemplo 2.1 (dilema del prisionero)?

23

45


Proposición:Cada equilibrio de Nash (en estrategias puraso mixtas) sobrevive la eliminación iterativade estrategias dominadas.

46


(4,0)(1,5)(2,4)a2

(2,1)

b2

(1,3)(1,0)a1

b3b1A/B

iv. ¿Cuáles son los equilibrios de Nash del siguiente juego?

¿Cuál es la conclusión?

(¡Ojo!)

24

47


v. ¿Cuáles son los equilibrios de Nash del siguiente juego?(¡Todavía más ojo!)

(0,0)(1,1)(2,4)a2

(2,1)

b2

(1,4)(1,0)a1

b3b1A/B

¿Cuál es la conclusión final?

48

Ejemplo 2.8: Juego de inspección

Trabajador: {Trabajar, Vago}Jefe: { Inspeccionar, No inspeccionar}

4 , 404, 40-cTrabajar

10 , -100 , -cVago

No InspeccionarInspeccionar

25

49


c=5No hay EN puro

4 , 404, 35Trabajar

10 , -100 , -5Vago


p

1-p

q 1-q

50


c=6

4 , 404, 34Trabajar

10 , -100 , -6Vago


p

1-p

q 1-q

26

51

2.4 Existencia del equilibrio de Nash

TeoremaEn el juego de forma normal G = {N; S1,…, Sn; u1,…, un}, si n es un numero finito y Si es finito para cada i, existe al menos un equilibrio de Nash, que posiblemente incluye estrategias mixtas.

52


Demostración para juegos 2x2c>a, b >d

dc1-p

bap

1-qq

p

q

MR1(q)

0 1

1

0 q*

q* tal quea q*+b(1-q*)=c q*+d(1-q*)

27

53


Demostración para juegos 2x2a>c, d >b

dc1-p

bap

1-qq

p

q

MR1(q)

0 1

1

0 q*

q* tal quea q*+b(1-q*)=c q*+d(1-q*)

54


Demostración para juegos 2x2a>c, b >d

dc1-p

bap

1-qq

p

q

MR1(q)

0 1

1

0

28

55


Demostración para juegos 2x2c>a, d >b

dc1-p

bap

1-qq

p

q

MR1(q)

0 1

1

0

56


p

q0 1

1

0 q*

Un único equilibrio de Nash en estrategias mixtas

p*

29

57


p

q0 1

1

0 q*

Tres equilibrios de Nash, uno en estrategias mixtas

p*

58


p

q0 1

1

0

Un único equilibrio de Nash

30

59


p

q0 1

1

0

Un único equilibrio de Nash

60

Demostración formal:Si el conjunto de estrategias forman un equilibrio de Nash, entonces para todo i, es equivalente a

El equilibrio de Nash es un punto fijo de f.

)s(s )s(

**

**

fMRs ii

==


)(,mixtassestrategiaEn

** σfσ =

31

61

Demostración:La demostración hace uso de los siguientes teoremas:Teorema de punto fijo de Kakutani.Sea S un conjunto no vacío, compacto y convexo en Rn

y sea f: S → S una correspondencia s.c.s f tiene al menos un punto fijo que satisface s*œ S y s* œ f(s*).

Teorema del máximo.Sea h = maxy u(x,y) y G = arg maxy u(x,y)(Berge) Sea X œ Rm y Yœ Rk. Sea u : X × Y → R continua y Γ : X → Y continua con Y compacto. Entonces h : X →R es continua y G : X → Y es no vacío, Y es compacto, y s.c.s (semi continuo superiormente)


62

¿Se cumplen las condiciones?(En estrategias mixtas)Σ es compacto: Recuérdese que 0 ≤ σ ≤ 1. Es cerrado y acotado.Σ no esta vacío: Maximizamos u en un conjunto compacto. Existe un maximo entonces MR(σ -i) no esta vacio.Σ es convexo: supongamos que no. Existen dos MR σ’ y σ’’ como ambas pertenecen a Σ, ambas proporcionan el mismo pago u(σ’) = u(σ’’). Tenemos σ’’’= λ σ’ +(1-λ) σ’’, necesariamente u(σ’’’)< u(σ’)=u(σ’’).u(σ’’’)= ∑i σi’’’ si = λ ∑i σi’ si +(1-λ) ∑i σi’ si = u(σ’)llegamos a una contradicción, entonces Σ es convexo.Para que la correspondencia de mejor respuesta sea u.h.c. necesitamos que u sea continua.


32

63

1) Oligopolio de CournotModelo de Oligopolio de Cournot (nempresas)Ejemplo con 2 empresas y función de demanda lineal.Existencia del equilibrio de Nash, en estrategias puras, en juegos infinitos con funciones de pago continuas.

2.5 Aplicaciones

64

Oligopolio de Cournot

Sea un determinado mercado de un cierto producto homogéneo cuyos consumidores reaccionan agregadamente de acuerdo a una función de demanda Q(p), pœR+ Satisface la llamada ley de la demanda (es estrictamente decreciente). Su función inversa es P(Q).Supongamos que participan n empresas en el mercado identificadas con el subíndice i, cada empresa tiene asociada una función de costes Ci (qi), creciente y convexa.La variable de decisión de las empresas es su cantidad producida qi decidida simultáneamente por todas ellas. La cantidad total Q = q1 + q2 + … + qn.Los beneficios obtenidos por la empresa i son πi(q) = P(Q)qi –Ci(qi) ; q = (q1 , q2 , … , qn)

33

65

Duopolio de Cournot

Sea un determinado mercado de un cierto producto homogéneo. La función inversa de demanda viene determinada por P(Q) = max { 12 – 3 Q, 0}.Supongamos que participan 2 empresas en el mercado identificadas con el subíndice i, cada empresa tiene asociada una función de costes Ci (qi) = ci qi. La variable de decisión de las empresas es su cantidad producida qi decidida simultáneamente por ambas. La cantidad total Q = q1 + q2.Los beneficios obtenidos por la empresa i son πi(q) = P(Q)qi –Ci(qi) ; q = (q1 , q2 , … , qn)Suponemos además que c1 = 2 , c2 = 3.

66

Existencia del equilibrio de Nash/Cournot

La función de mejor respuesta de cada empresa es qi = fi (qj ) donde

212

)(

0212 CPO

)12(maxarg)(

ijji

iji

iiijii

ji

cqqf

cqq

qcqqqqqf

−−=

=−−−

−−−=

34

67

Existencia del equilibrio de Nash/Cournot

f1(q2 )=(10-q2)/2f2(q1 )=(9-q1)/2EN: q1 = f1(q2 ) ; q2 = f2(q1 )q*1 = 11/3 ; q*2 = 8/3

))(),(()

de fijo puntoun es ),(

122121

**1 2

qfqf,q(q

qq

a

q1

q2

4.5

5

f1

f2

68

Existencia del equilibrio de Nash en estrategias purasTeorema: Sea g=(I,S,u) un juego en

forma normal, tal que, para cada iSi es compacto y convexo, yui continua en s=(s1,…,sn)ui concava en si

Entonces, g tiene un equilibrio en estrategias puras.

35

69

… Aplicaciones

2) El modelo de DownsEl modelo de Downs y el teorema del votante medianoLos juegos de suma cero o suma constante.

70

El modelo de Downs

Dos candidatos A y B intentan conseguir el máximo de número de votos en unas elecciones. Ambos deben elegir una posición política en la línea de [-X, X] donde –X se interpreta como la extrema izquierda y X la extrema derecha. Ambos candidatos eligen simultáneamente las posiciones políticas, xA y xB con xA, xB œ [-X, X] El electorado tiene preferencias ideológicas sobre la política: cada votante tiene su política ideal x y votará al candidato A si | xA -x| < | xB -x| y al B si | xA -x| > | xB -x| . (En caso de | xA -x| = | xB -x| votará a cada candidato con probabilidad ½ . )Suponemos que las políticas ideales del electorado son caracterizadas por la función de distribución F(x) con x œ[-X, X] y F’(x)>0.

36

71

El modelo de Downs

Pagos: si xA = xB

uA(xA, xB)= ½ , uB(xA, xB)= ½si xA < xB

uA(xA, xB)= F((xA+xB)/2),uB(xA, xB)= 1- F((xA+xB)/2).

-X XxA xB

72

El modelo de Downs

Equilibrio de Nash: (xA, xB) xA < xB ?

-X XxA xB

-X XxB

37

73

El modelo de Downs

Equilibrio de Nash: (xA, xB) xA = xB < xM ? ( donde F(xM)= ½ )

-X XxA= xB xM

-X XxA xM

74

El modelo de Downs

Equilibrio de Nash: (xA, xB) xA = xB = xM ? ( donde F(xM)= ½ )

-X XxA=xB=xM

-X XxA=xM

38

75

Juegos suma constante

u1(s)+u2(s)=c para cada s ejemplos: Downs, juego moneda

Sea v = maxp minq u1(p,q)

Teorema (von Neumann):Para cualquier equilibrio de Nash (p*,q*),u1(p*,q*) = v,y además v = minq maxp u1(p,q).

76

… Aplicaciones

3) Contribuciones privadas a un bien público

Contribuciones privadas a un bien público y el problema del “free rider”Comparación con el nivel óptimo de bien público.Aplicación a la economía del medioambiente.

39

77

Contribuciones privadas a un bien público

Considérese una comunidad de n individuos que desea financiar un bien público cuyo nivel de dotación lo denotamos por y. Este bien público se ha de costear mediante la contribución de la comunidad yi , i=1,…,n. Supongamos que la tecnología que transforma las contribuciones en bien público tiene rendimientos constantes a escala: y = ∑ yi.La función de utilidad de cada individuo es igual aUi (y1,…,yn) = ◊xi +◊y ; i=1,…,n. xi es el nivel de consumo del individuo i: renta menos contribución, xi = ω – yi , con ω >0.

78

Contribuciones privadas a un bien públicoEjemplo númerico: n=3, ω=4Comportamiento estratégicoUi(y1, y2 ,y3) = ◊(4- yi)+◊(y1+y2 +y3)

y1=y2 =y3=1 , Ui (1, 1 ,1) = 2 ◊3

i

yyyy

yyyyi

−=++

=+=∂∂++−

−

4

0yU cpo

321

21

421

ii321

40

79

Contribuciones privadas a un bien públicoEjemplo númerico: n=3, ω=4Maximizando bienestar totalUT(y1, y2 ,y3) = Si◊(4- yi) +3◊(y1+y2 +y3)

y1=y2 =y3=3 , Ui (3, 3 ,3) = 4 > 2 ◊3

i

yyyy

yyyyi

−=++

=+=∂∂++−

−

43

0yUT cpo

321

23

421

i321

80

Contribuciones privadas a un bien públicoComportamiento estratégicoUi(y1, … ,yn) = ◊(w- yi)+◊(y1+…+yn)

y1=… =yn= w/(n+1) , Ui = 2 ◊n w/(n+1)

Si nØ¶ , yiØ0, UiØ2◊w

in

yyy

yyyni

−=++

=+=∂∂++−

−

ω

ω

L

L

1

21

21

ii

0yU cpo1

41

81

Contribuciones privadas a un bien público

Maximizando bienestar totalUT(y1, … ,yn) = Si◊(w - yi) +n◊(y1+… +yn)

y1=… =yn=nw/(n+1) , Ui =◊w(n+1) > 2 ◊n w/(n+1)

Si nØ¶ , yiØ w, UiØ¶

in

yyn

y

ynyyni

−=++

=+=∂∂++−

−

ω

ω

L

L

1

221

i

0yUT cpo1

tema 2: Juegos Estáticos Con Información Completahurkens.iae-csic.org/teaching/transparencias_Tema...

Documents

Transcript of tema 2: Juegos Estáticos Con Información Completahurkens.iae-csic.org/teaching/transparencias_Tema...