Tema 2 Muestreo y Reconstrucción de...

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Tratamiento Digital de Señales

Tema 2 Muestreo y Reconstrucción de Señales

José Sáez Landete Fernando Cruz Roldán

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1.  Introducción

2.  Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo

3.  Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo

4.  Procesado de tiempo continuo de señales de tiempo discreto

Contenidos

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  Saber pasar una señal del dominio analógico al discreto, y viceversa, mediante muestreo ideal.

  Establecer las condiciones para realizar procesado digital de señales analógicas.

  Diseñar sistemas digitales para realizar procesado analógico.

  Diseñar sistemas analógicos para realizar procesado digital.

Objetivos

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 Muchas señales provienen del dominio analógico  Para realizar un procesado digital es necesario

digitalizarlas

1. Introducción

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 Digitalización: discretización temporal, y discretización de amplitud:

1. Introducción

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2. Muestreo ideal y reconstrucción de señales de tiempo continuo

Muestreo ideal o uniforme

 Uno de los procedimientos más sencillos para discretizar el tiempo consiste en:

 Normalización del tiempo  Esta operación se realiza con un conversor C/D:

x[n] = xc (nT ),−∞ < n < ∞donde:fs = 1 /T , o bien ω s = 2π /T

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  Es una operación no invertible ciertas restricciones sobre la señal analógica…

 Dividimos el proceso en dos etapas:

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 Las relaciones en el dominio de la frecuencia:

s t( ) = δ t − nT( )n=−∞

∞

∑ → S ω( ) = 2πT

δ ω − k 2πT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=−∞

∞

∑

xs t( ) = xc (t)s(t) → Xs ω( ) = 1T

Xc ω − kω s( )k=−∞

∞

∑

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  La señal modulada consiste en una repetición periódica de copias de Xc(ω).

ω ω ω ω

ω

ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω ω

ω

ω

ω ω ω ω

S ω( ) = 2πT

δ ω − k 2πT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=−∞

∞

∑

Xs ω( ) = 1T

Xc ω − kω s( )k=−∞

∞

∑

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 si se cumple: la señal analógica se puede recuperar con un filtro ideal paso-bajo. En la frecuencia:

ω s > 2ωN

ω ω ω ω ω ω ω ω

ω

ω ω

Hr ω( ) = T ω <ω s

20 resto

⎧⎨⎪

⎩⎪Xr ω( ) = Xs ω( )Hr ω( ) = Xc ω( )

ω

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 La señal recuperada, en el tiempo:

 Si no se cumple se produce solapamiento alrededor de la frecuencia ωs/2.

ω s > 2ωN

ω

ω

ω ω ω ω

ω

Xr ω( ) = Xs ω( )Hr ω( )xr t( ) = xs t( )∗hr t( )

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ω ω

ω

ω

ω ω ω

ω ω ω ω ω ω

ω ω

ω

ω ω ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω

ω

ω ω ω ω ω

ω


Muestreo ideal

 Ejemplo de solapamiento:

se produce solapamiento de espectros sin deformación confusión de frecuencias:

xc t( ) = cos ω0t( )

xc t( ) = cos ω0t( )′xc t( ) = cos ω s −ω0( )t( )

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Teorema de Nyquist

 Sea una señal limitada en banda:

La señal está completamente determinada por sus muestras: siempre que:

Xc ω( ) = 0, ω >ωN

x n[ ] = xc nT( ) ω s > 2ωN

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Teorema de Nyquist – ejemplo 1

 ¿Cuál es la mínima frecuencia de muestreo de la siguiente señal sin perder información?

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Teorema de Nyquist – ejemplo 2

 ¿Qué ocurre si muestreamos el sen(t) a la frecuencia de Nyquist?. Realizar el muestreo en el tiempo y representar las transformadas de Fourier.

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3. Procesado en tiempo discreto de señales de tiempo continuo

Conversión A/D en el dominio del tiempo

 Introducimos la conversión t n

Relación E/S en el dominio del tiempo:

Sistema no invariante Demostrar!!

x n[ ] = xc n ⋅T( )

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Conversión A/D en el dominio de la frecuencia

 Relación entrada/salida:

xs t( ) = xc nT( )δ t − nT( )n=−∞

∞

∑

X Ω( ) = x n[ ]e− jΩnn=−∞

∞

∑

Xs ω( ) = xc nT( )e− jωTnn=−∞

∞

∑ = 1T

Xc ω − k 2πT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=−∞

∞

∑

X Ω( ) = Xs ω( ) ω=ΩT= 1T

XcΩT− k 2π

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=−∞

∞

∑

x n[ ]TF


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  es una versión escalada de con .

 Este escalado hace que , de modo que la señal se transforma en una señal con la periodicidad adecuada…

 Esta es la consecuencia de la normalización temporal normalización en la frecuencia.

X Ω( ) Xs ω( ) Ω =ωT

ω =ω s ⇒Ω = 2πX Ω( )



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 Ejemplo: Sea una señal , que muestreamos a t = nT:

como corresponde a la relación:

xc t( ) = Acos ω0t( )

x n[ ] = Acos ω0Tn( ) = Acos Ω0n( )

Ω =ωT



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  En general, el intervalo de posibles frecuencias es:

 Al muestrear introducimos la relación y las frecuencias que podemos representar son:

 Si el sistema analógico contiene frecuencias mayores a π / T, se van a convertir en “alias” de las del rango [-π,π] generando ambigüedad.

Ω =ωT

−πT<ω <

πT

−π <Ω < π


−∞ <ω < ∞−π <Ω < π


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 Estrictamente, la relación entre las frecuencias es:

Ω

-π

π

ω ωs ωs/2 -ωs/2



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 Representar los espectros de las señales intermedias cuando fs=2,3,5 KHz

cuando:


Conversión A/D -- Ejemplo

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Conversión D/A– dominio del tiempo

Sistema no invariante


xs t( ) = x k[ ]δ t − kT( )k=−∞

∞

∑ xr t( ) = x k[ ]hr t − kT( )k=−∞

∞

∑ =

= x k[ ]sen π t − kT( )

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π t − kT( )T

k=−∞

∞

∑Hr(ω)

ω

Hr(ω)

hr t( ) =sen πt

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

πtT

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Conversión D/A– dominio del tiempo

 en los instantes de muestreo:  En el resto interpolación ideal

xr t( ) = x k[ ]sen π t − kT( )

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π t − kT( )T

k=−∞

∞

∑

xr mT( ) = x m[ ]


Hr(ω)

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Conversión D/A – dominio de la frecuencia

Xr ω( ) = Hr ω( )X ωT( )


Hr(ω)

Xs ω( ) = X ωT( )

Hr(ω)

ω

Xr ω( ) = T ⋅ X ωT( ) ω <πT

0 resto

⎧⎨⎪

⎩⎪

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 Ejemplo: representar las TF de las señales intermedias


Conversión D/A – ejemplo

Hr(ω)

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Conversión A/D y D/A -- ejemplo

 Ejemplo: Señal muestreada a diferentes frecuencias


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 Ejemplo: Señal no limitada en banda

xa t( ) = e−A t

Xa F( ) = 2AA2 + 2πF( )2

Importancia de realizar un pre-filtrado antes de muestrear


Conversión A/D y D/A -- ejemplo

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Sistema equivalente de tiempo continuo

 Limitar en banda la señal para evitar aliasing y ruido aditivo

 Hay que ajustar T  El sistema puede no ser LTI, ya que los A/D y

D/A no son LTI.  Vamos a calcular el sistema equivalente

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x n[ ] = xa nT( )

X Ω( ) = 1T

XaΩT− k 2π

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=−∞

∞

∑ya t( ) = y k[ ]

k=−∞

∞

∑ ⋅hr t − kT( )

Ya ω( ) = Y ωT( ) ⋅Hr ω( )

Sistema disccreto LTI: Y Ω( ) = X Ω( )H Ω( )

Ya ω( ) = Hr ω( )H ωT( ) 1T

Xa ω − k 2πT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=−∞

∞

∑

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 Si la señal es limitada en banda y se muestrea cumpliendo el C. de Nyquist:

 El sistema se comporta como un sistema analógico LTI con:

Ya ω( ) = H ωT( )Xa ω( ) ω <πT

0 resto

⎧⎨⎪

⎩⎪

Heff ω( ) = H ωT( ) ω <πT

0 resto

⎧⎨⎪

⎩⎪

Ya ω( ) = Heff ω( )Xa ω( )

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Sistema equivalente – diseño de filtros

 Realizar un filtrado analógico con un filtro digital:

Depende de Ωc y T. Con un mismo filtro digital podemos conseguir diferentes analógicos modificando T.

Heff ω( ) = H ωT( ) ω <πT

0 resto

⎧⎨⎪

⎩⎪

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Sistema equivalente -- ejemplo

  Ejemplo: representar la TF de yc(t):

a) 1/T1=1/T2=104 b)  1/T1=1/T2=2×104

c)  1/T1 = 2×104, 1/T2= 104

d)  1/T1 = 104, 1/T2= 2×104

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4. Procesado de tiempo continuo de señales de tiempo discreto

Simulación de sistemas--dominio de la frecuencia

Hd Ω( ) Hc ω( ) = Hd ωT( ) ω < πT

0 resto

⎧⎨⎪

⎩⎪

Hc ω( ), ω < πT

Hd Ω( ) = HcΩT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , Ω < π

periodico 2π , resto

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Sist. equivalente

Simulación

Si no está limitado en banda, lo podemos limitar si la entrada está limitada en banda ejemplo.

Hc ω( )

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Simulación de sistemas--dominio del tiempo

  ¿Qué ocurre con las respuestas al impulso? En el tiempo queda la “respuesta al impulso invariante”:

Hc ω( ) → Hd Ω( ) = HcΩT− k 2π

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=−∞

∞

∑hc t( ) → hd n[ ] = T ⋅hc nT( )

Hc ω( ), ω < πT

Hd Ω( ) = HcΩT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , Ω < π

periodico 2π , resto

⎧

⎨⎪

⎩⎪

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Simulación de sistemas--ejemplo

  Ejemplo de respuesta al impulso invariante:

hc t( ) = sen ω ct( )π t

↔ Hc ω( ) = 1 ω <ω c

0 resto

⎧⎨⎪

⎩⎪

hd n[ ] = sen ω cTn( )πn

↔ Hd Ω( ) =1 Ω <ω cT

0 ω cT < Ω < πperiodica resto

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

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Simulación de sistemas--ejemplo

  Simular un diferenciador analógico mediante un sistema digital para procesar señales limitadas en banda con ωM = π/T

yc t( ) = dxc t( )dt

Yc ω( ) = jωXc ω( )

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Situación complementaria

ω

xc t( ) = x n[ ]k=−∞

∞

∑ ⋅hr t − nT( )

Xc ω( ) = T ⋅ X ωT( ), ω <πT

0 resto

⎧⎨⎪

⎩⎪

y n[ ] = yc nT( )

Y Ω( ) =1TYc

ΩT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Ω < π

periodico 2π resto

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Y ω( ) = X ω( )H ω( )Sistema continuo LTI:

Heff Ω( ) = HcΩT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , Ω < π

periodico 2π resto

⎧

⎨⎪

⎩⎪

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ω


Situación complementaria

 Ejemplo: un sistema discreto:

–  si Δ es entero el sistema es un retardo:

–  si Δ no es entero, se puede definir mediante un sistema de procesado continuo:

–  donde la señal analógica se desplaza: –  Finalmente la señal queda:

H Ω( ) = e− jΩΔ Ω < π

y n[ ] = x n − Δ[ ]

Ha ω( ) = e− jωTΔya t( ) = xa t − ΔT( )

y n[ ] = ya nT( )

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