tema-4
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PAR ´ ABOLAS Y ECUACIONES CUADR ´ ATICAS. POLINOMIOS. 1. Par´ abolas y ecuaciones cuadr´ aticas (1) Gr´ afica de una par´ abola. Corte con los ejes. (2) Ecuaciones cuadr´aticas y bicuadradas. 2. Polinomios: divisibilidad y factorizaci´ on (1) T eore ma fundamen tal del ´algebra, ra´ ıces enteras y poli nomios sin ra ´ ıces. (2) Divisi´ on d e p olinomios y m´ etodo de Ruffini. 3. Problemas (1) Resuelve las siguien tes ecuaciones (a) 5x 2 − 15x = 0 (b) 3x 2 − 108 = 0 (c) x 2 2 − 3x 2 ( x − 2 3 ) = 2 9 (2) Dibuja l a gr´ afica de las siguientes par´ abolas (a) y = x 2 + 2x − 3 (b) x = y 2 − 2y (3) Resuelve las siguientes ecuaciones (a) x 4 − 5x 2 + 4 = 0 (b) x 6 − 19x 3 − 216 = 0 (c) x 4 − 26x 2 + 25 = 0 (4) Obt´ en todas las ra ´ ıces enteras de los siguientes p olinomios (a) x 4 − 5x 3 + 5x 2 + 5x − 6 (b) 2x 4 + 3x 3 − 12x 2 − 7x + 6 (c) x 4 − 4x 3 + x 2 + 6x (5) Comprueba las siguient es factorizaciones (a) x 4 + 2x 2 + 1 = (x 2 + 1) 2 (b) x 4 − 2x 2 + 1 = (x 2 − 1) 2 = (x + 1) 2 (x − 1) 2 (c) x 3 + x 2 + x + 1 = (x 2 + 1)(x + 1) (d) x 3 − x 2 + x − 1 = ( x 2 + 1)(x − 1) (e) x 4 − 3x 2 + 2 = (x 2 − 2)(x 2 − 1) = (x + √ 2)(x − √ 2)(x + 1)(x − 1) (f ) x 3 − 1 = ( x 2 + x + 1)(x − 1) (g) x 3 + 2x 2 + 3x + 2 = (x 2 + x + 2)(x + 1) (6) Justifica por qu´ e que los siguientes polinomios no tienen ra´ ıces reales (a) x 4 + x 2 + 1 (b) x 6 − x 3 + 1 (c) x 4 − x 2 + 1 (7) Justifica por qu´ e que el p olinomio x 6 − x 5 + 2x 4 − x 3 + x 2 − x + 3 no tie ne ra´ ıces real es nega tivas (8) F actoriza los siguientes polinomios (a) 2x 4 + x 3 − 8x 2 − x + 6 (b) 2x 3 − 7x 2 + 8x − 3 1 Universidad Carlos III de Madrid Curso cero: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales Juan Pablo Rincón Zapatero Francisco Marhuenda Hurtado
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PARABOLAS Y ECUACIONES CUADRATICAS. POLINOMIOS.
1. Parabolas y ecuaciones cuadraticas
(1) Grafica de una parabola. Corte con los ejes. (2) Ecuaciones cuadraticas y bicuadradas.
2. Polinomios: divisibilidad y factorizacion
(1) Teorema fundamental del algebra, races enteras y polinomios sin races. (2) Division de polinomios y metodo de Ruffini.
3. Problemas
− 15x = 0 (b) 3x2
9
(2) Dibuja la grafica de las siguientes parabolas (a) y = x2 + 2x− 3 (b) x = y2
− 2y (3) Resuelve las siguientes ecuaciones
(a) x4 − 5x2 + 4 = 0
(b) x6 − 19x3
− 216 = 0 (c) x4
− 26x2 + 25 = 0 (4) Obten todas las races enteras de los siguientes polinomios
(a) x4 − 5x3 + 5x2 + 5x− 6
(b) 2x4 + 3x3 − 12x2
− 7x + 6 (c) x4
(a) x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2
(b) x4 − 2x2 + 1 = (x2
− 1)2 = (x + 1)2(x− 1)2
(c) x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)(x + 1) (d) x3
− x2 + x − 1 = (x2 + 1)(x− 1)
(e) x4 − 3x2 + 2 = (x2
− 2)(x2 − 1) = (x +
2)(x + 1)(x− 1) (f) x3
− 1 = (x2 + x + 1)(x− 1) (g) x3 + 2x2 + 3x + 2 = (x2 + x + 2)(x + 1)
(6) Justifica por que que los siguientes polinomios no tienen ra ces reales (a) x4 + x2 + 1 (b) x6
− x3 + 1 (c) x4
− x2 + 1 (7) Justifica por que que el polinomio x6
− x5 + 2x4 − x3 + x2
(8) Factoriza los siguientes polinomios (a) 2x4 + x3
− 8x2 − x + 6
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Curso cero: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
Juan Pablo Rincón Zapatero
(9) Resuelve las siguientes ecuaciones (a) x4 + x3
− 5x2 + x − 6 = 0 (b) x3
− 5x2 + 7x− 3 = 0 (c) 6x3
− 25x2 + 3x + 4 = 0 (10) Halla el valor de k para que el polinomio x4
−2kx3 +x2 −x+k sea divisible
por (x− 2). (11) El resto de dividir un polinomio de segundo grado p(x) por (x − 5) es 4.
Encuentra p(x) sabiendo que es divisibe por (x − 3) y que su coeficiente
principal es 1. (12) Calcula los polinomios cociente y resto de la division (x5 + 2x3
− x − 8) : (x2
− 2x + 1). (13) Encuentra las races de los polinomios p(x) = 2x4 + x3
− 8x2 − x + 6 y
q (x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3 y halla el maximo comun divisor y el mnimo
comun multiplo de ambos. (14) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas
(a) (x + 1)3
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1. Parabolas y ecuaciones cuadraticas
(1) Grafica de una parabola. Corte con los ejes. (2) Ecuaciones cuadraticas y bicuadradas.
2. Polinomios: divisibilidad y factorizacion
(1) Teorema fundamental del algebra, races enteras y polinomios sin races. (2) Division de polinomios y metodo de Ruffini.
3. Problemas
− 15x = 0 (b) 3x2
9
(2) Dibuja la grafica de las siguientes parabolas (a) y = x2 + 2x− 3 (b) x = y2
− 2y (3) Resuelve las siguientes ecuaciones
(a) x4 − 5x2 + 4 = 0
(b) x6 − 19x3
− 216 = 0 (c) x4
− 26x2 + 25 = 0 (4) Obten todas las races enteras de los siguientes polinomios
(a) x4 − 5x3 + 5x2 + 5x− 6
(b) 2x4 + 3x3 − 12x2
− 7x + 6 (c) x4
(a) x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2
(b) x4 − 2x2 + 1 = (x2
− 1)2 = (x + 1)2(x− 1)2
(c) x3 + x2 + x + 1 = (x2 + 1)(x + 1) (d) x3
− x2 + x − 1 = (x2 + 1)(x− 1)
(e) x4 − 3x2 + 2 = (x2
− 2)(x2 − 1) = (x +
2)(x + 1)(x− 1) (f) x3
− 1 = (x2 + x + 1)(x− 1) (g) x3 + 2x2 + 3x + 2 = (x2 + x + 2)(x + 1)
(6) Justifica por que que los siguientes polinomios no tienen ra ces reales (a) x4 + x2 + 1 (b) x6
− x3 + 1 (c) x4
− x2 + 1 (7) Justifica por que que el polinomio x6
− x5 + 2x4 − x3 + x2
(8) Factoriza los siguientes polinomios (a) 2x4 + x3
− 8x2 − x + 6
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(9) Resuelve las siguientes ecuaciones (a) x4 + x3
− 5x2 + x − 6 = 0 (b) x3
− 5x2 + 7x− 3 = 0 (c) 6x3
− 25x2 + 3x + 4 = 0 (10) Halla el valor de k para que el polinomio x4
−2kx3 +x2 −x+k sea divisible
por (x− 2). (11) El resto de dividir un polinomio de segundo grado p(x) por (x − 5) es 4.
Encuentra p(x) sabiendo que es divisibe por (x − 3) y que su coeficiente
principal es 1. (12) Calcula los polinomios cociente y resto de la division (x5 + 2x3
− x − 8) : (x2
− 2x + 1). (13) Encuentra las races de los polinomios p(x) = 2x4 + x3
− 8x2 − x + 6 y
q (x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3 y halla el maximo comun divisor y el mnimo
comun multiplo de ambos. (14) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas
(a) (x + 1)3
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